TINJAUAN TEORI GALAT SECARA STATISTI
TINJAUA
AN TEORI GALAT SECARA STATI SKRIPSI
Dia PROGRAM S F
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Oleh :
Wuri Johana Fransiska NIM: 053114005
STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2012
TISTIS
EMATIKA
STATISTI STICAL ANALYSIS OF ERROR THEOR THEORY
THESIS
Presente nted As a Partial Fulfillment of The Requirement ents to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics
By : Wuri Johana Fransiska
Student Number: 053114005 MATHEMATICS ST STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MA MATHEMATICS FACU CULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Y SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
2012
I do not like to repeat successes, I like to go on to other things.
- Walt Disney- Dia yang bisa menaklukkan orang lain adalah manusia kuat, dia yang bisa menaklukkan dirinya adalah manusia super.
- Lao Tze- Guard your heart with all vigilance, for from it are the sources of life.
- Psalm 4:23-
Skripsi ini kupersembahkan kepada: Bapak, ibu, kakak-kakakku, dan nenekku, untuk seluruh keluarga besarku, sahabat, teman, dosen, dan
ABSTRAK
Setiap pengukuran yang dilakukan pasti akan menghasilkan galat. Galat menunjukkan simpangan antara nilai pengukuran dan nilai sebenarnya serta ketidakpastian dalam suatu percobaan. Galat sendiri dapat diklasifikasikan menjadi: galat acak, galat sistematis, dan galat tidak sah.
Teori galat bertujuan untuk mengetahui pendugaan galat sehingga suatu pengukuran dapat dilaporkan dengan lengkap dan benar. Analisis galat adalah studi dan evaluasi ketidakpastian dalam pengukuran. Dengan adanya pemahaman yang benar tentang teori galat, maka kemampuan untuk mengevaluasi ketidakpastian dan menjaganya untuk minimum dapat tercapai. Dari ketiga klasifikasi galat, hanya galat acaklah yang dapat dianalisis secara statistis.
Analisis ini meliputi analisis standar deviasi dan standar deviasi nilai rata- x
rata n sebagai galat pada pengukuran tunggal. Keunggulan dari x x
standar deviasi nilai rata-rata adalah faktor n pada penyebutnya, sehingga galat perlahan-lahan akan berkurang selama n meningkat. Jika x ,..., x adalah hasil n 1 n pengukuran besaran x yang sama, maka pendugaan terbaik untuk besaran x adalah x dan galat yang berhubungan dengan pengukuran besaran tersebut adalah '
x , sehingga secara statistis galat dinyatakan dalam bentuk x x x , x '
dimana x x .
ABSTRACT
Every measurement will produce error. Error indicates the deviation between the measurement and the true value and also a measure of uncertainty in an experiment. Error can be classified into: random error, systematic error, and illegitimate error.
The error theory aims to find the error estimation so that a measurement can be reported completely and correctly. Error analysis is a study and an evaluation of measurement uncertainty. A better understanding of the error theory, the better ability of evaluating the uncertainty and keep the uncertainty minimum as possible. Of the three classification of error, only random error that can be analyzed statistically. This analysis includes the analysis of standard deviation
and standard deviation of the mean n as an error in a single
x x x measurement. An important feature of the standard deviation of the mean is the factor in the denominator, so that the error would slowly decrease as long as
n n increase. Consider x ,..., x are the result of n measurements of the same 1 n x
quantity x , then the best estimate of the quantity x is and the error related to the measurement of the quantity is x , so that the error can be expressed ' ' x
statistically as x x x , where x x .
KATA PENGANTAR
Puji syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis mendapat bantuan, bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada :
a. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
b. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
c. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selau dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu dan membantu serta sabar membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
d. Prof. Dr. Frans Susilo, S.J. selaku dosen pembimbing akademik.
e. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna kepada penulis.
f. Seluruh karyawan sekretariat FST yang telah memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa kuliah.
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................ v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................... vi HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............ vii ABSTRAK............................................................................................. viii ABSTRACT .......................................................................................... ix KATA PENGANTAR ........................................................................... x DAFTAR ISI ........................................................................................ xii DAFTAR TABEL ................................................................................. xvi DAFTAR GAMBAR............................................................................. xvii BAB I PENDAHULUAN .....................................................................
1 A. Latar Belakang Masalah .............................................................
1 B. Perumusan Masalah ....................................................................
2 C. Pembatasan Masalah ...................................................................
3 D. Tujuan Penulisan.........................................................................
3 E. Metode Penulisan........................................................................
3 F. Manfaat Penulisan.......................................................................
4 G. Sistematika Penulisan .................................................................
4
B. Deskripsi Awal Analisis Galat .................................................
8 1. Galat sebagai Ketidakpastian ............................................
9 2. Sifat yang tidak dapat Dihindarkan dari Galat ..................
9 3. Pentingnya Mengetahui Galat ...........................................
11 4. Menduga Galat dalam Pembacaan Skala ..........................
15 5. Menduga Galat dalam Pengulangan Pengukuran..............
17 C. Cara Memperoleh Galat............................................................
19 D. Klasifikasi Galat .......................................................................
21 1. Galat Acak .........................................................................
22 2. Galat Sistematis .................................................................
24 3. Galat tidak Sah ..................................................................
27 E. Melaporkan dan Menggunakan Galat.......................................
28 1. Pendugaan Terbaik dan Galat............................................
28 2. Angka Penting ...................................................................
29 3. Penyimpangan ...................................................................
31
4. Membandingkan Nilai Terukur dengan Nilai Sebenarnya
33 5. Perbandingan Dua Bilangan Hasil Pengukuran ................
36 6. Memeriksa dengan Grafik .................................................
39 7. Galat Fraksional.................................................................
48 8. Angka Penting dan Galat Fraksional .................................
52 9. Mengalikan Dua Bilangan Terukur ...................................
54 F. Nilai Harapan............................................................................
59 G. Variansi dan Kovariansi ...........................................................
62
A. Galat pada Pengukuran Langsung ............................................
66 B. Metode Akar Kuadrat untuk Percobaan Membilang................
69 C. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian...........
73 1. Penjumlahan dan Pengurangan..........................................
73 2. Perkalian dan Pembagian ..................................................
75 D. Besaran yang Diukur kali Nilai Eksak ....................................
81 E. Pangkat .....................................................................................
83 F. Kovariansi pada Perambatan Galat...........................................
86 G. Galat Independen dalam Penjumlahan .....................................
96 H. Lebih Jauh tentang Galat Independen ...................................... 103
I. Fungsi Sebarang Satu Variabel ................................................ 108 J. Rumus Umum Rambat Galat.................................................... 115
BAB IV ANALISIS STATISTIS GALAT ACAK ............................... 121 A. Nilai Rata-rata dan Standar Deviasi ......................................... 121 B. Standar Deviasi sebagai Galat pada Pengukuran Tunggal ....... 128 C. Standar Deviasi Nilai Rata-rata ................................................ 135 D. Galat Sistematis ........................................................................ 139 E. Pertimbangan dalam Galat Penjumlahan Kuadrat.................... 146
1. Besaran Hasil Pengukuran Ditambah Nilai tertentu.......... 146
2. Besaran Hasil Pengukuran Dikalikan Nilai tertentu.......... 148
3. Penjumlahan Dua Besaran Hasil Pengukuran.................... 149
4. Kasus Umum................................................................. .... 153
BAB V PENUTUP............................................................................ .... 155
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................... 158
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 2.2.5.1............................................................................................
18 Tabel 2.5.5.1............................................................................................
37 Tabel 2.5.5.2............................................................................................
38 Tabel 2.5.6.1............................................................................................
41 Tabel 2.5.6.2............................................................................................
43 Tabel 2.5.8.1............................................................................................
54 Tabel 3.6.1...............................................................................................
89 Tabel 3.6.2...............................................................................................
92 Tabel 3.6.3...............................................................................................
93 Tabel 4.1.1............................................................................................... 123 Tabel 4.1.2............................................................................................... 124 Tabel 4.2.1............................................................................................... 131 Tabel 4.2.2............................................................................................... 134 Tabel 4.3.1............................................................................................... 138 Tabel 4.3.2............................................................................................... 138
DAFTAR GAMBAR
42 Gambar 2.5.6.3........................................................................................
98 Gambar 3.7.2...........................................................................................
67 Gambar 3.7.1...........................................................................................
48 Gambar 3.1.1...........................................................................................
47 Gambar 2.5.6.8........................................................................................
47 Gambar 2.5.6.7........................................................................................
46 Gambar 2.5.6.6........................................................................................
45 Gambar 2.5.6.5........................................................................................
44 Gambar 2.5.6.4........................................................................................
41 Gambar 2.5.6.2........................................................................................
Halaman Ganbar 2.1 ...............................................................................................
39 Gambar 2.5.6.1........................................................................................
36 Gambar 2.5.5.2........................................................................................
33 Gambar 2.5.5.1........................................................................................
32 Gambar 2.5.3.2........................................................................................
25 Gambar 2.5.3.1........................................................................................
17 Gambar 2.4.2.1........................................................................................
16 Gambar 2.2.4.2........................................................................................
12 Gambar 2.2.4.1........................................................................................
7 Gambar 2.2.3.1........................................................................................
98
Gambar 3.9.2........................................................................................... 111 Gambar 4.2.1........................................................................................... 129 Gambar 4.2.2........................................................................................... 131 Gambar 4.6.1.1........................................................................................ 146 Gambar 4.6.1.2........................................................................................ 147 Gambar 4.6.3.1........................................................................................ 149 Gambar 4.6.3.2........................................................................................ 149 Gambar 4.6.3.3........................................................................................ 150
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Semua pengukuran, meskipun dilakukan secara hati-hati dan ilmiah, tidak
terlepas dari ketidakpastian. Analisis galat adalah studi dan evaluasi dari ketidakpastian ini. Dua fungsi utamanya adalah untuk memungkinkan ilmuwan menduga seberapa besar ketidakpastian tersebut dan untuk membantunya mengurangi ketidakpastian tersebut jika diperlukan. Analisis ketidakpastian atau analisis galat adalah bagian penting dari setiap percobaan ilmiah, oleh karena itu analisis galat adalah bagian penting dari setiap materi di bidang ilmu pengetahuan yang bersifat percobaan. Tantangan pendugaan ketidakpastian dan pengurangannya ke tingkat yang memungkinkan diambilnya suatu kesimpulan tepat dapat mengubah suatu pengukuran yang biasa dan membosankan ke suatu penggunaan yang benar-benar menarik.
Tulisan ini menjadi pengantar untuk analisis galat dalam materi dasar fisika yang bersifat percobaan dalam bidang ilmu pengetahuan atau teknik. Analisis galat bukanlah bagian yang paling penting dari materi tersebut, tetapi justru paling sering disalahgunakan dan diabaikan. Pada banyak materi, analisis galat "diajarkan" dengan membagi-bagikan beberapa halaman catatan berisi beberapa rumus, dan para praktikan kemudian diharapkan mengerjakan suatu laporan laboratorium berdasarkan rumus-rumus tersebut. Hasilnya adalah bahwa analisis baris perhitungan sampai akhir setiap laporan laboratorium, bukan karena dia memahami mengapa, tetapi hanya karena instruktur telah mengatakan untuk melakukannya. Harus diakui bahwa tanpa memahami dasar teori, mustahil suatu praktikum di laboratorium dapat dikerjakan dengan baik. Tugas praktikum dan pelaporannya tidak jarang dianggap sesuatu yang terpaksa dilakukan karena tercantum dalam kurikulum. Karena itu kerja praktikum dilakukan dengan semangat ingin tahu yang minimum. Percobaan dilakukan dengan tidak banyak pengertian yang cukup tentang maksud dan tujuannya, karena kurang dipersiapkan. Pengukuran dilakukan dengan cara otomatis tanpa ada kesadaran tentang apa yang sebenarnya terjadi. Ini semua berakibat timbulnya rasa bosan dan jemu, dan waktu di laboratorium seolah-olah merupakan waktu yang sia-sia. Hal ini bersumber pada kurang diberikannya motivasi pada para praktikan untuk melakukan suatu percobaan.
Dalam skripsi ini, topik yang akan dibahas adalah tentang galat, deskripsi awal analisis galat, cara memperoleh galat, klasifikasi galat, cara melaporkan dan menggunakan galat, rambat galat, dan analisis statistis galat acak yang berkonsentrasi hanya pada pengukuran variabel-variabel fisika.
B. Perumusan Masalah
Berdasarkan atas uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud dengan galat?
3. Bagaimana cara memperoleh galat?
4. Bagaimana klasifikasi galat?
5. Bagaimana cara melaporkan dan menggunakan galat?
6. Apa yang dimaksud dengan rambat galat?
7. Bagaimana analisis statistis galat acak?
C. Pembatasan Masalah
Pembahasan masalah teori galat dalam skripsi ini dibatasi pada aplikasi teori galat dalam pengukuran variabel-variabel fisika.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah: 1. Mengetahui galat.
2. Mengetahui deskripsi awal analisis galat.
3. Mengetahui cara memperoleh galat.
4. Mengetahui klasifikasi galat.
5. Mengetahui cara melaporkan dan menggunakan galat.
6. Mengetahui rambat galat.
7. Mengetahui analisis statistis galat acak.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode ilmiah yang telah dipublikasikan. Jadi, dalam skripsi ini tidak ada penemuan baru.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah: 1. Dapat mengetahui galat.
2. Dapat mengetahui deskripsi awal analisis galat.
3. Dapat mengetahui cara memperoleh galat.
4. Dapat mengetahui klasifikasi galat.
5. Dapat mengetahui cara melaporkan dan menggunakan galat.
6. Dapat mengetahui rambat galat.
7. Dapat mengetahui analisis statistis galat acak.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi ini yang meliputi
latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.
BAB II TEORI GALAT Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan bab selanjutnya
yaitu galat, deskripsi awal analisis galat, cara memperoleh galat, klasifikasi galat, melaporkan dan menggunakan galat, nilai harapan,
BAB III RAMBAT GALAT Bab ini membahas tentang galat pada pengukuran langsung, metode akar
kuadrat untuk percobaan membilang, penjumlahan; pengurangan; perkalian; dan pembagian, besaran yang diukur kali nilai eksak, pangkat, kovariansi pada perambatan galat, galat independen dalam penjumlahan, lebih jauh tentang galat independen, fungsi sebarang satu variabel, dan rumus umum rambat galat.
BAB IV ANALISIS STATISTIS GALAT ACAK Bab ini membahas tentang nilai rata-rata dan standar deviasi, standar
deviasi sebagai galat pada pengukuran tunggal, standar deviasi nilai rata- rata, galat sistematis, dan pertimbangan dalam galat penjumlahan kuadrat.
BAB V KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah dipaparkan dan saran.
BAB II TEORI GALAT Galat akan selalu muncul karena ketidaksempurnaan. Tidak ada manusia
yang sempurna, begitu juga dengan semesta ini. Hal-hal yang ada di dalamnya pun serba kekurangan. Tuhan memang memberikan alam dan segala isinya kepada manusia, namun tidak semuanya dapat dipergunakan secara langsung oleh manusia. Manusia dibekali logika dan ilmu pengetahuan untuk memaksimalkan fungsi alam, salah satunya adalah dengan melakukan pengamatan. Setiap pengamatan pasti menghasilkan galat. Galat ini memberikan informasi sejauh mana tingkat kesalahan pengamatan tersebut.
Sebelum masuk ke rincian analisis galat, penting untuk memahami makna kesalahan dalam ilmu pengetahuan. Galat dalam pengukuran ilmiah biasanya tidak berarti kesalahan. Sebaliknya istilah "galat" atau "ketidakpastian" keduanya merujuk pada ketidaktepatan yang tidak dapat dihindari dalam pengukuran. Tentu saja, tidak semua pengukuran memiliki galat. Jika ditanya berapa banyak orang ada di dalam ruangan, seseorang biasanya dapat memberikan angka yang tepat sebagai jawaban. Namun, jika ingin mengetahui berapa banyak atom yang ada dalam sebuah ruangan, memberikan jawaban yang pasti adalah hal yang hampir mustahil, seperti diilustrasikan dalam gambar di bawah ini.
Gambar 2.1 Atom dalam RuanganPengukuran yang sering dilakukan sebagian besar adalah pengukuran dari jenis kedua yaitu penentuan banyak atom dalam sebuah ruangan. Karena ketidakmampuan mengukur sesuatu dengan presisi tinggi, maka harus diketahui cara untuk mengukur ketidaktepatan hasilnya.
Misalkan dilakukan pengukuran suatu besaran fisika. Pengukuran tersebut tidak pernah dilakukan hanya untuk kepentingan sendiri. Pengukuran biasanya diteruskan ke dunia luar agar orang lain memperoleh manfaatnya, baik untuk keperluan ilmu ataupun keperluan praktis. Misalnya adalah:
mengukur panjang dan lebar meja untuk mengetahui luasnya agar dapat memesan jumlah cat yang cukup, mengukur modulus kekenyalan besi agar dapat merencanakan pembuatan jembatan kereta api dengan tepat.
A. Galat
Kata ini mempunyai dua makna yaitu :
1. Untuk menunjukkan simpangan antara nilai pengukuran dan nilai nilai sebenarnya tidak diketahui dan besarnya galat didasarkan pada nilai hipotetik yaitu nilai yang diasumsikan dengan hipotesis. 10
2. Dalam penulisan bilangan seperti , 000008 10 , galat menunjukkan ketidakpastian dalam suatu percobaan dan dinyatakan dalam beberapa istilah sebagai simpangan baku, simpangan rata-rata, probabilitas galat, atau indeks presisi.
Pengukuran dari besaran fisis tidak akan pernah dibuat dengan ketelitian yang sempurna, akan selalu ada beberapa galat yang muncul. Untuk beberapa pengukuran ada tak hingga bilangan dari faktor yang dapat menyebabkan sebuah nilai yang diperoleh dari percobaan menyimpang dari nilai sebenarnya.
Kebanyakan dari faktor ini mempunyai pengaruh yang dapat diabaikan pada hasil percobaan. Bagaimanapun, beberapa pengaruh dapat menyebabkan perubahan yang signifikan atau galat percobaan. Jika sebuah pengukuran bermanfaat, sangatlah penting untuk mempunyai gambaran kuantitatif dari besarnya galat.
Oleh karena itu, ketika hasil percobaan dilaporkan, maka hasil percobaan ini disertai dengan pendugaan yang dinamakan galat. Galat menyatakan seberapa besar dapat dipercayanya suatu hasil pengukuran yang dilakukan seorang peneliti.
B. Deskripsi Awal Analisis Galat Analisis galat adalah studi dan evaluasi ketidakpastian dalam pengukuran.
Pengalaman menunjukkan bahwa tidak ada pengukuran, meskipun dilakukan secara hati-hati, yang dapat benar-benar bebas dari ketidakpastian. Karena seluruh struktur dan penerapan ilmu tergantung pada pengukuran, kemampuan untuk mengevaluasi ketidakpastian dan menjaganya untuk minimum sangat penting.
1. Galat sebagai Ketidakpastian Dalam ilmu pengetahuan, kata galat tidak sama dengan kata kekeliruan.
Galat dalam pengukuran ilmiah berarti ketidakpastian yang tak terelakkan yang hadir dalam semua pengukuran. Dengan demikian, galat bukanlah kekeliruan.
Galat tidak bisa dihilangkan sekalipun dengan hati-hati. Hal terbaik yang bisa dilakukan adalah memastikan bahwa galat sekecil mungkin dan memiliki perkiraan yang dapat dipercaya tentang seberapa besar galat tersebut. Galat digunakan semata-mata dalam pengertian ketidakpastian, sehingga galat dan ketidakpastian dapat digunakan secara bergantian.
2. Sifat yang tidak dapat Dihindarkan dari Galat
Salah satu cara untuk menggambarkan terjadinya galat yang tidak dapat dihindarkan adalah dengan memeriksa setiap pengukuran sehari-hari dengan hati-hati.
Contoh 2.2.2.1
Seorang tukang kayu yang harus mengukur tinggi pintu sebelum memasang pintu. Sebagai pengukuran kasar pertama, dia memperkirakan tinggi pintu adalah 210 cm. Pengukuran mentah ini tentu saja menjadi persoalan pada galat. Jika didesak, tukang kayu itu mungkin mengungkapkan galat ini dengan mengakui bahwa ketinggian pintu bisa suatu bilangan berapapun diantara 205 menggunakan meteran dan mungkin menemukan tingginya 211,3 cm. Pengukuran ini tentu lebih tepat daripada pendugaan aslinya, tapi hal ini jelas masih menjadi persoalan karena tidak mungkin baginya untuk mengetahui tinggi pintu tepatnya yaitu apakah 211,3000 cm atau 211,3001 cm.
Galat ini didapat dari banyak sumber. Sebagai contoh, salah satu sumber galat adalah bahwa pencahayaan yang buruk menghambat pembacaan meteran.
Masalah ini dapat diperbaiki dengan meningkatkan pencahayaan. Di sisi lain, beberapa sumber galat adalah hakiki pada proses pengukuran yang tidak dapat dihapus seluruhnya. Sebagai contoh, andaikan meteran tukang kayu dibagi dalam setengah sentimeter, maka pengukuran pintu akan lebih baik. Dengan membeli meteran yang lebih baik dan tanda skala lebih halus, tukang kayu dapat mengurangi galat, tapi tidak bisa menghilangkan itu sepenuhnya. Jika dia berkeinginan untuk menemukan ketinggian pintu dengan kemungkinan presisi terbaik maka dia bisa membeli sebuah interferometer laser mahal. Tetapi ketepatan interferometer juga terbatas pada jarak dari urutan panjang 6
gelombang cahaya (sekitar , 5 10 m). Meskipun setelah itu tukang kayu akan mampu mengukur tinggi dengan presisi yang lebih baik, dia tetap tidak akan tahu ketinggian pintu secara tepat. Selanjutnya, selama tukang kayu berupaya untuk mendapatkan presisi yang lebih baik, ia akan menghadapi masalah penting dari prinsip dasar. Dia pasti akan menemukan bahwa ketinggian akan berbeda di tempat yang berbeda. Bahkan di satu tempat, dia akan menemukan bahwa tinggi bervariasi jika suhu dan kelembaban berbeda.
Apa yang dialami tukang kayu menggambarkan bahwa tidak ada besaran fisis (misalnya: panjang, waktu, dan suhu) dapat diukur dengan pasti. Dengan perhatian yang benar, galat dapat dikurangi, namun tidak mungkin untuk menghilangkan sepenuhnya. Jika dikatakan bahwa jarak antara rumah dan sekolah adalah 3 mil, apakah ini berarti "suatu tempat antara 2,5 mil dan 3,5 mil" atau "suatu tempat antara 2,99 mil dan 3,01 mil" biasanya tidak penting.
Ketika tukang kayu menyesuaikan pintu, ia harus tahu tinggi pintu dengan galat yang kurang dari 1 mm atau lebih. Selama galat yang kecil ini, pintu akan menjadi sesuai dengan ambangnya, dan kekhawatirannya terhadap analisis galat pun berakhir.
3. Pentingnya Mengetahui Galat
Contoh tukang kayu mengukur pintu menggambarkan bagaimana galat selalu hadir dalam pengukuran. Sekarang akan diberikan contoh yang menggambarkan lebih jelas tentang pentingmya mengetahui seberapa besar galat ini.
Contoh 2.2.3.1
Misalkan dihadapkan dengan suatu masalah yang telah dipecahkan oleh Archimedes, yaitu diminta untuk mencari tahu apakah sebuah mahkota terbuat dari emas 18 karat atau logam campuran yang lebih murah. Berdasarkan Archimedes, maka diputuskan untuk menguji berat jenis mahkota tersebut yaitu dengan mengetahui bahwa berat jenis emas 18 karat dan logam
3
3 3
emas emas emas
15
15
15 , , ,
5 5 g/cm g/cm g/cm
5
dan dan dan 3 3 3
campuran campuran campuran
13
13 13 , , ,
8 Jika berat jenis mahkota dapat diukur, maka berdasarkan saran Archimedes Jika berat jenis mahkota dapat diukur, maka berdasarkan saran Archimedes Jika berat jenis mahkota dapat diukur, maka berdasarkan saran Archimedes
8 8 g/cm g/cm g/cm . . .
harus mampu untuk memutuskan apakah mahkota tersebut benar-benar emas harus mampu untuk memutuskan apakah mahkota tersebut benar-benar emas harus mampu untuk memutuskan apakah mahkota tersebut benar-benar emas dengan membandingkan dengan membandingkan dengan membandingkan dengan dengan dengan dan dan dan . . . emas campuran Misalkan pengukuran berat jenis ini menggunakan dua orang yang ahli di Misalkan pengukuran berat jenis ini menggunakan dua orang yang ahli di Misalkan pengukuran berat jenis ini menggunakan dua orang yang ahli di bidangnya. Ahli pertama, Deni, membuat pengukuran cepat dan melaporkan bidangnya. Ahli pertama, Deni, membuat pengukuran cepat dan melaporkan bidangnya. Ahli pertama, Deni, membuat pengukuran cepat dan melaporkan 3 3 3
15 15 g/cm g/cm g/cm
15
bahwa pendugaan terbaik untuk bahwa pendugaan terbaik untuk bahwa pendugaan terbaik untuk adalah adalah adalah dan interval nilai dan interval nilai dan interval nilai 3 3 3 3 3 3 dugaannya terletak antara dugaannya terletak antara dugaannya terletak antara
13
13
13 , , ,
5
5
5 g/cm g/cm g/cm dan dan dan
16 5 g/cm g/cm g/cm . Ahli kedua, Keli, . Ahli kedua, Keli, . Ahli kedua, Keli,
16 16 , , ,
5
5
membutuhkan waktu yang sedikit lebih lama dan kemudian melaporkan membutuhkan waktu yang sedikit lebih lama dan kemudian melaporkan membutuhkan waktu yang sedikit lebih lama dan kemudian melaporkan 3 3 3
13 9 g/cm g/cm g/cm
13
13 , , ,
9
9
pendugaan terbaiknya yaitu pendugaan terbaiknya yaitu pendugaan terbaiknya yaitu dengan interval nilai dugaannya dengan interval nilai dugaannya dengan interval nilai dugaannya 3 3 3
( ( (
13 13 , , ,
13
7
7
7
14 14 , , ,
14
1
1 1 ) ) ) g/cm g/cm g/cm . . . Hasil dari pengukuran ini adalah bahwa meskipun pengukuran Keli jauh lebih tepat, namun pengukuran Deni mungkin juga benar. Masing-masing ahli menyatakan interval yang mereka percayai berada, dan interval tersebut saling berhimpitan sehingga sangat mungkin bahwa kedua pernyataan adalah benar.
Selanjutnya perhatikan bahwa ketidakpastian dalam pengukuran Deni begitu besar sehingga hasilnya tidak ada gunanya. Berat jenis emas 18 karat 3
( 13 ,
5 16 , 5 ) g/cm
dan berat jenis campuran berada dalam intervalnya, yaitu sehingga tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik dari pengukuran Deni. Di sisi lain, pengukuran Keli menunjukkan dengan jelas bahwa mahkota tidak asli, 3 berat jenis dari campurannya diduga 3 13 , 8 g/cm terletak dalam interval pendugaan Keli yaitu ( 3 13 , 7 14 , 1 ) g/cm , tetapi berat jenis emas 18 karat yaitu 15 ,
5 g/cm tidak masuk dalam interval tersebut. Jadi kesimpulannya adalah
mahkota tersebut lebih mungkin terbuat dari logam campuran daripada logam emas. Jelas sekali, jika pengukuran bertujuan untuk mendapatkan kesimpulan, galat dalam suatu penelitian tidak boleh terlalu besar, tetapi tidaklah harus terlalu kecil. Dalam hal ini, contoh tersebut adalah jenis pengukuran ilmiah, yang ketidakpastiannya harus cukup kecil (mungkin beberapa persen dari nilai terukur) tetapi tidaklah perlu menggunakan presisi yang terlalu ekstrim.
Karena keputusan bergantung pada klaim Keli bahwa terletak pada 3
( 13 ,
7 14 , 1 ) g/cm
interval , maka dia harus memberikan alasan yang cukup peneliti pemula yang hanya menyatakan hasil galat mereka tetapi mengabaikan pembenaran apapun. Tanpa penjelasan singkat tentang bagaimana galat diduga, kesimpulan yang dihasilkan hampir tidak ada gunanya.
Poin yang terpenting tentang pengukuran yang dilakukan oleh dua ahli tersebut adalah, seperti kebanyakan pengukuran ilmiah, pengukuran mereka tidak akan berguna jika mereka tidak menyertakan pernyataan yang reliabel dari galat mereka. Kenyataannya, jika hanya diketahui dua pendugaan terbaik ( 3 3
15 g/cm untuk Deni dan 13 , 9 g/cm untuk Keli), maka selain tidak dapat
menarik kesimpulan yang valid, sebenarnya kedua pendugaan tersebut 3 menyesatkan karena hasil pendugaan Deni yaitu
15 g/cm memberikan hasil bahwa mahkota adalah asli atau terbuat dari logam emas.
Contoh lain yang lebih kompleks adalah dalam ilmu terapan, misalnya:
a. para insinyur yang ingin merancang pembangkit listrik harus mengetahui karakteristik bahan baku dan bahan bakar yang digunakan untuk membuatnya,
b. produsen kalkulator saku harus mengetahui komponen-komponen elektronik yang dibutuhkan untuk proses pembuatannya.
Pada tiap kasus di atas, peneliti harus mengukur parameter yang relevan dan setelah mengukurnya harus menentukan reliabilitasnya yang menghasilkan analisis galat. Seorang insinyur yang mengurusi keselamatan pesawat terbang, kereta, atau mobil harus memahami galat waktu reaksi pengemudi terhadap jarak pengereman, dan berbagai variabel lain. Kegagalan dalam melakukan ilmu pengetahuan, yakni pada industrri pembuatan pakaian, analisis galat dalam bentuk pengendalian mutu mempunyai peran yang sangat penting.
Dalam ilmu pengetahuan dasar, analisis galat mempunyai peran yang sangat penting. Ketika teori-teori baru ditemukan, teori-teori tersebut harus dites terlebih dulu dengan teori yang lama dengan cara melakukan satu atau beberapa kali percobaan (yang diduga baik oleh teori baru maupun teori lama) yang menghasilkan hasil yang berbeda. Pada dasarnya, seorang peneliti hanya melakukan percobaan dan baru menyimpulkan setelah hasilnya terlihat. Dalam prakteknya, kondisinya sangatlah rumit karena adanya galat dalam percobaan yang tidak dapat dihindari. Galat ini harus dianalisa secara rinci dan efeknya akan berkurang sampai akhirnya dihasilkan satu teori yang dapat diterima dari percobaan itu. Teori tersebut (hasil dari percobaan yang memuat galat) harus konsisten dengan prediksi dari salah satu teori dan harus tidak konsisten dengan teori-teori yang lainnya. Intinya adalah, keberhasilan dari suatu prosedur bergantung pada pemahaman ilmuwan atau peneliti terhadap analisis galat dan bergantung pada kemampuannya untuk meyakinkan semua orang akan pemahaman ini.
4. Menduga Galat dalam Pembacaan Skala
Sejauh ini, telah diberikan beberapa contoh yang menggambarkan mengapa setiap pengukuran tidak lepas dari galat dan mengapa besarnya galat penting untuk diketahui. Pendugaan yang wajar dari galat beberapa pengukuran dapat dilakukan dengan akal sehat yang sederhana. Berikut ini terdapat dapat dilakukan dengan akal sehat yang sederhana. Berikut ini terdapat dapat dilakukan dengan akal sehat yang sederhana. Berikut ini terdapat beberapa contoh tentang bagaimana menghitung besarnya galat. beberapa contoh tentang bagaimana menghitung besarnya galat. beberapa contoh tentang bagaimana menghitung besarnya galat.
Contoh 2.2.4.1 Contoh 2.2.4.1 Contoh 2.2.4.1
Mengukur panjang pensil menggunakan penggaris Mengukur panjang pensil menggunakan penggaris Mengukur panjang pensil menggunakan penggaris
Gambar 2.2.4.1 Mengukur Panjang dengan Penggaris Gambar 2.2.4.1 Mengukur Panjang dengan Penggaris Gambar 2.2.4.1 Mengukur Panjang dengan PenggarisPanjang yang ditampilkan ternyata lebih dekat ke 36 mm dari pada 35 mm atau Panjang yang ditampilkan ternyata lebih dekat ke 36 mm dari pada 35 mm atau Panjang yang ditampilkan ternyata lebih dekat ke 36 mm dari pada 35 mm atau 37 mm tetapi tidak bisa dijamin bahwa ukuran itu tepat, sehingga 37 mm tetapi tidak bisa dijamin bahwa ukuran itu tepat, sehingga 37 mm tetapi tidak bisa dijamin bahwa ukuran itu tepat, sehingga kesimpulannya adalah kesimpulannya adalah kesimpulannya adalah pendugaan panjang terbaik =36 mm. pendugaan panjang terbaik =36 mm. pendugaan panjang terbaik =36 mm. kemungkinan jangkauan =35,5-36,5 mm . kemungkinan jangkauan =35,5-36,5 mm . kemungkinan jangkauan =35,5-36,5 mm . Dari pengamatan tersebut, kesimpulan yang bisa dibuat adalah besaran terletak Dari pengamatan tersebut, kesimpulan yang bisa dibuat adalah besaran terletak Dari pengamatan tersebut, kesimpulan yang bisa dibuat adalah besaran terletak lebih dekat ke nilai yang diberikan yaitu 36 mm daripada nilai yang lainnya. lebih dekat ke nilai yang diberikan yaitu 36 mm daripada nilai yang lainnya. lebih dekat ke nilai yang diberikan yaitu 36 mm daripada nilai yang lainnya.
Dengan alasan ini, banyak ilmuwan menyepakati bahwa pernyataan Dengan alasan ini, banyak ilmuwan menyepakati bahwa pernyataan Dengan alasan ini, banyak ilmuwan menyepakati bahwa pernyataan p p p =36 mm =36 mm =36 mm tanpa pembatasan apapun dianggap berarti bahwa tanpa pembatasan apapun dianggap berarti bahwa tanpa pembatasan apapun dianggap berarti bahwa p lebih dekat ke 36 mm lebih dekat ke 36 mm lebih dekat ke 36 mm daripada 35 mm atau 37 mm, yaitu daripada 35 mm atau 37 mm, yaitu daripada 35 mm atau 37 mm, yaitu
p p p
=36 mm =36 mm =36 mm yang artinya adalah yang artinya adalah yang artinya adalah
Contoh 2.2.4.2 Contoh 2.2.4.2 Contoh 2.2.4.2
Mengukur tegangan menggunakan voltmeter Mengukur tegangan menggunakan voltmeter Mengukur tegangan menggunakan voltmeter
Gambar 2.2.4.2 Membaca Skala pada Voltmeter Gambar 2.2.4.2 Membaca Skala pada Voltmeter Gambar 2.2.4.2 Membaca Skala pada VoltmeterJarak antar satuan hitung pada voltmeter pada gambar lebih lebar daripada Jarak antar satuan hitung pada voltmeter pada gambar lebih lebar daripada Jarak antar satuan hitung pada voltmeter pada gambar lebih lebar daripada jarak antar satuan hitung pada penggaris. Jarum terletak di antara dua angka. jarak antar satuan hitung pada penggaris. Jarum terletak di antara dua angka. jarak antar satuan hitung pada penggaris. Jarum terletak di antara dua angka.
Karena jarak antar angkanya lebih lebar daripada jarak angka pada penggaris, Karena jarak antar angkanya lebih lebar daripada jarak angka pada penggaris, Karena jarak antar angkanya lebih lebar daripada jarak angka pada penggaris, maka dari melihat gambar saja bisa diperkirakan letak jarum voltmeter tersebut maka dari melihat gambar saja bisa diperkirakan letak jarum voltmeter tersebut maka dari melihat gambar saja bisa diperkirakan letak jarum voltmeter tersebut berada. Dengan demikian, kesimpulan yang mungkin adalah berada. Dengan demikian, kesimpulan yang mungkin adalah berada. Dengan demikian, kesimpulan yang mungkin adalah pendugaan tegangan terbaik =5,3 volt, pendugaan tegangan terbaik =5,3 volt, pendugaan tegangan terbaik =5,3 volt, kemungkinan jangkauan:(5,2-5,4) volt. kemungkinan jangkauan:(5,2-5,4) volt. kemungkinan jangkauan:(5,2-5,4) volt. Proses menduga posisi antara skala bertanda disebut interpolasi yang Proses menduga posisi antara skala bertanda disebut interpolasi yang Proses menduga posisi antara skala bertanda disebut interpolasi yang keterampilan melakukannya dapat ditingkatkan dengan banyak latihan. keterampilan melakukannya dapat ditingkatkan dengan banyak latihan. keterampilan melakukannya dapat ditingkatkan dengan banyak latihan.
5. Menduga Galat dalam Pengulangan Pengukuran
5. Menduga Galat dalam Pengulangan Pengukuran
5. Menduga Galat dalam Pengulangan Pengukuran
Banyak pengukuran melibatkan galat yang jauh lebih sulit untuk diduga Banyak pengukuran melibatkan galat yang jauh lebih sulit untuk diduga Banyak pengukuran melibatkan galat yang jauh lebih sulit untuk diduga waktu menggunakan stopwatch, sumber utama galat bukanlah kesulitan membaca angka tetapi pada waktu reaksi individu yang tidak diketahui dalam memulai dan menghentikan stopwatch. Kadang-kadang jenis galat dapat diduga dengan tingkat kepercayaan yang tinggi jika pengukuran dapat diulang beberapa kali.
Contoh 2.2.5.1
Sebuah pendulum yang diayunkan dengan waktu periode satu kali mendapatkan hasil sebesar 2,3 detik. Jika hanya dilakukan satu kali pengukuran saja, maka tidak akan bisa disimpulkan tentang galat percobaan. Tetapi jika pengukuran diulangi dan kemudian misalnya didapatkan 2,4 detik, maka dapat dikatakan bahwa ketidakpastiannya mungkin adalah sebesar
,
1
detik. Misalnya dilakukan empat kali pengukuran sebagai berikut
Tabel 2.2.5.1 Pengukuran Periode PendulumNo. Waktu (detik) 1 2,3
2 2,4 3 2,5 4 2,4 maka akan dapat dibuat beberapa pendugaan yang cukup realistis. Pertama, asumsi alaminya adalah bahwa pendugaan terbaik periode tersebut adalah nilai rata-ratanya yaitu
2 , 4 detik. Kemudian asumsi selanjutnya adalah bahwa periode tersebut benar terletak di antara nilai terendah yaitu detik dan nilai
2 ,
3
tertinggi detik. Jadi, bisa disimpulkan bahwa
2 ,
5
pendugaan terbaik = rata-rata = detik,
2 ,
4
interval kemungkinan: 2 , 3 2 , 5 detik.
C. Cara Memperoleh Galat Cara memperoleh galat adalah dengan pengukuran. Definisi 2.3.1.1 Pengukuran
Pengukuran adalah tindakan atau proses menentukan kuantitas, kapasitas, atau dimensi dari suatu kejadian berdasarkan suatu aturan.
Pengukuran dapat dibagi menjadi tiga jenis menurut cara melakukannya, yaitu: a. Pengukuran langsung
Pengukuran ini dilakukan dengan cara membandingkan langsung sesuatu yang akan diukur dengan sebuah standar yang dipakai sebagai alat ukurnya.
Misalnya seseorang mengukur panjang seutas tali, ia akan membandingkan panjang tali itu dengan mistar yang dimilikinya.
b. Pengukuran tidak langsung Pengukuran ini terpaksa dilakukan karena berbagai macam sebab, antara lain keterbatasan panca indra manusia sebagai sensor terhadap gejala alam yang akan diukur. Untuk melihat benda-benda mikroskopis, manusia perlu alat bantu yaitu mikroskop. Untuk mengukur arus listrik manusia perlu mengubah dulu c. Pengukuran dengan perhitungan Pengukuran ini dilakukan berdasarkan pada hasil-hasil pengukuran yang dilakukan sebelumnya. Hasil ukurnya didapat melalui suatu perhitungan data pengukuran langsung maupun tidak langsung. Contohnya adalah volume tabung dapat diukur langsung dengan gelas ukur, dan dapat juga dihitung dari hasil ukur diameter dan tingginya. Contoh lain adalah massa jenis suatu zat cair dapat diukur dengan densimeter, dan dapat juga dihitung dengan mengukur lebih dulu massa dan volumenya.
Definisi 2.3.1.2 Percobaan
Definisi percobaan menurut Robert, Steel, dan Torrie (1989) adalah penyelidikan terencana untuk mendapatkan fakta baru.
Percobaan merupakan kegiatan yang tidak terpisahkan dengan istilah penelitian di bidang fisis. Kegiatan ini meliputi tiga hal sekaligus yaitu: pengukuran, pengolahan dan analisa data. Ketiga hal ini terkait satu dengan lainnya demikian erat sehingga pembahasannya pun tidak dapat dipisahkan secara tegas.