Aplikasi matriks pada penyelesaian rangkaian listrik - USD Repository

APLIKASI MATRIKS PADA PENYELESAIAN RANGKAIAN LISTRIK

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh: Putriana Setiarini NIM: 091414045

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2013

HALAMAN PERSEMBAHAN Kesuksesan tidak datang secara tiba-tiba, kesuksesan adalah buah dari ketekunan, kerja keras, dan kesabaran disertai dengan doa

Kupersembahkan karya ini untuk: 

Ayah dan Ibukutercinta



Adikku tersayang



Seseorang yang selalu mencintaiku



Keluargaku dan orang-orang yang selalu menyayangiku

ABSTRAK

Putriana Setiarini. 2013. Aplikasi Matriks Pada Penyelesaian Rangkaian

Listrik. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan analisis pada rangkaian listrik menggunakan matriks. Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, sehingga dalam penulisan ini belum ditemukan hal-hal yang baru. Pada rangkaian seri yang terdiri dari beberapa sumber tegangan dan resistor, namun resistor-resistornya tidak dapat direduksi menggunakan resistor pengganti

∑ digunakan analisis loop. Persamaan untuk arus yang dihasilkan adalah = .

∑

Pada rangkaian listrik yang terdiri dari beberapa loop dan tidak mengandung sumber arus digunakan analisis jaring, dimana rangkaian disusun atas jaring dan , , … , disimbolkan dengan . Pada analisis ini digunakan Hukum Tegangan

Kirchhoff dan akan dihasilkan persamaan RI= Vs dimana R adalah matriks _, koefisien arus, I adalah matriks dari arus, dan Vs adalah matriks sumber tegangan. Untuk rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan digunakan analisis simpul. Simpul-simpul ini disimbolkan dengan , , … , . Pada analisis ini digunakan Hukum Arus Kirchhoff dan akan dihasilkan persamaan GV=Cs, dimana G adalah matriks koefisien tegangan, V adalah matriks dari tegangan, dan

Cs adalah matriks sumber arus. Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan-

persamaan tersebut, dapat digunakan beberapa cara, antara lain dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau dengan menggunakan invers matriks.

Kata kunci: Analisis Loop, Analisis Jaring, Analisis Simpul, Matriks

ABSTRACT

Putriana Setiarini. 2013. Application of Matrix on Completion Of Electrical

Circuits. Research. Mathematics Education Program, Department of

Mathematics and Natural Sciences, Faculty of Teaching and Education,

Sanata Dharma University, Yogyakarta.

The purpose of this research is to solve the electrical circuits analisys by using matrix. The method that used in this research is study literature method, so we haven’t found new things in this research yet. In the series electric circuit that consisting of some voltage source and resistors, but the resistors can’tbe reduced using a replacement resistors, we used

∑

loop analysis. The current equation is = .In the electrical circuit which is

∑

composed of several loop and does not contain the current source is used mesh analysis. The circuits is prepared on the smaller loops or mesh and currents is , , … , symbolized by the . Kirchhoff's Voltage Law applied to each mesh and formed current equation RI = Vs, with R is the magnitude of the resistance of the resistor, I is the current flowing in the mesh, and Vs is the voltage source in the circuit. Nodal analysis is used to find the voltage that flows in the circuit that does not contain a voltage source. Voltage at the node symbolized by , , … , . . Apply Kirchhoff's Current Law at node and formed voltage equation GV = Cs, where G is the magnitude of the conductance of the resistor, V is the voltage of the node, and Cs is the source of the current flowing in the circuit. In order to obtain completion of such equations, can be used several ways, among others, by using Gauss-Jordan elimination method or by using the inverse matrix.

Keywords: Loop Analysis, Mesh Analysis, Nodal Analysis, Matrix

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan atas segala kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Aplikasi

Matriks pada Penyelesaian Rangkaian Listrik”.

Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam memperoleh gelar sarjana di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas sanata Dharma. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menemaniku dan mendengarkan setiap doaku,

2. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi dan dosen pembimbing akademik yang telah memberikan arahan dalam proses penulisan skripsi ini,

3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. dan Bapak Drs. A. Sardjana, M.Pd.selaku dosen penguji yang memberikan kritik dan saran guna menyempurnakan skripsi ini,

4. Bapak Andi Rudhito, S.Pd., M.Si. selaku kepala Program Studi Pendidikan Matematika,

5. Segenap dosen Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pengetahuan Universitas Sanata Dharma,

6. Segenap staf administrasi JPMIPA dan staf perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang selalu melayani dengan penuh keramahan, x

7. Kedua orang tuaku Bapak F.X. Wisnu Broto dan Ibu Veronika Samiasih, juga adikku Leonardus Prasetyo Andy yang tak henti-hentinya memberikan cinta, kasih sayang mendukung dan selalu mendoakanku,

8. Mas Denny yang selalu setia dan sabar menemani dan mendukung setiap langkahku,

9. Dian, Ririn, Merry, Adi, Chintia, dan semua teman-temanku dari Pendidikan Matematika angkatan 2009. Terimakasih telah berbagi hari yang menyenangkan dan penuh kenangan selama proses perkuliahan di kampus ini,

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, terimakasih atas bantuan dalam penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun.

Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi segenap pembaca.

Yogyakarta, 31 Juli 2013 Penulis

Putriana Setiarini

DAFTAR ISI Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................ ii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................... v ABSTRAK ................................................................................................. vi ABSTRACT ............................................................................................... vii LEMBAR PERNYATAAN PERASETUJUAN PUBLIKASI KARYA

ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS …………………....... viii KATA PENGANTAR ............................................................................... ix DAFTAR ISI .............................................................................................. xi DAFTAR GAMBAR ................................................................................. xiii DAFTAR NOTASI .................................................................................... xv BAB I PENDAHULUAN ..........................................................................

1 A. Latar Belakang Masalah ................................................................

1 B. Pembatasan Masalah ......................................................................

3 C. Rumusan Masalah ..........................................................................

4 D. Tujuan Penulisan ............................................................................

4 E. Manfaat Penulisan ..........................................................................

4 F. Metode Penulisan ...........................................................................

xii

BAB II KAJIAN PUSTAKA ..................................................................... A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear ........................................... B. Istilah-istilah pada Rangkaian Listrik ............................................ C. Simpul, Lintasan, Loop, Cabang, Jaring, dan Rangkaian Planar.... D. Hukum-hukum pada Rangkaian Listrik ......................................... E. Kerangka Pikir ............................................................................... BAB III Aplikasi Matriks pada Penyelesaian Rangkaian Listrik .............. A. Analisis Loop Tunggal pada Rangkaian Seri yang Tidak Mengandung Sumber Arus ............................................................ B. Analisis Jaring (Mesh Analysis) pada Rangkaian yang Tidak Mengandung Sumber Arus ............................................................ C. Analisis Simpul (Nodal Analysis) pada Rangkaian yang Tidak Mengandung Sumber Tegangan .................................................... BAB IV PENUTUP ................................................................................... A. Kesimpulan .................................................................................... B. Saran .............................................................................................. DAFTAR PUSTAKA ................................................................................

xiii

DAFTAR GAMBAR Halaman

Sumber tegangan dan arah arusnya ...................................

Rangkaian tiga sumber tegangan ....................................... Rangkaian dua sumber tegangan dan sebuah resistor ....... Rangkaian seri dengan n elemen ....................................... Rangkaian yang dilengkapi dengan referensi arus dan tegangan ............................................................................

Rangkaian listrik dengan simpul untuk contoh 2.30…….. Rangkaian planar dan non planar ...................................... Penerapan Hukum Arus Kirchhoff pada simpul sederhana ...........................................................................

Salah satu cara mempresentasikan arus ............................ Sumber tegangan ............................................................... Sumber tegangan bebas dan tak bebas .............................. Sumber arus bebas dan tak bebas ...................................... Resistor, kapasitor, dan induktor ....................................... Rangkaian seri ................................................................... Rangkaian paralel .............................................................. Rangkaian dengan dua sumber tegangan dan tiga resistor untuk contoh 2.29 ..............................................................

Gambar 3.3 Rangkaian paralel sederhana .............................................

Gambar 1.1 Gambar 2.1 Gambar 2.2 Gambar 2.3 Gambar 2.4 Gambar 2.5 Gambar 2.6 Gambar 2.7 Gambar 2.8 Gambar 2.9 Gambar 2.10 Gambar 2.11 Gambar 2.12 Gambar 2.13 Gambar 3.1 Gambar 3.2

xiv

resistor ...............................................................................

53 Gambar 3.5 Rangkaian yang tersusun dari dua sumber tegangan dan resistor ...............................................................................

55 Gambar 3.6 Rangkaian dengan dua jaring ............................................

56 Gambar 3.7 Rangkaian yang tersusun atas dua sumber tegangan dan sembilan resistor ................................................................

60 Gambar 3.8 Rangkaian yang dilengkapi dengan arah jaring ................

60 Gambar 3.9 Rangkaian yang tersusun atas dua sumber arus dan sembilan resistor ................................................................

76 Gambar 3.10 Rangkaian beserta tanda simpul dan arusnya ....................

DAFTAR NOTASI Cs sumber arus G konduktansi resistor I arus R resistansi resistor V tegangan Vs sumber tegangan ■ akhir definisi

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah aljabar linear elementer

yang di dalamnya memuat materi tentang matriks. Matriks merupakan himpunan bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom.

Banyak persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan matriks. Salah satu diantaranya adalah untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi, substitusi, maupun campuran keduanya.

Akan tetapi untuk sistem persamaan linear dengan banyak variabel dan persamaan, metode ini dirasa kurang praktis. Oleh karena itu dibutuhkan alat bantu yaitu menggunakan matriks. Sistem persamaan linear diubah menjadi bentuk matriks dan kemudian penyelesaiannya dapat dicari menggunakan sifat-sifat dari matriks.

Persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan sistem persamaan linear dan matriks antara lain adalah permasalahan di bidang ekonomi, dimana matriks digunakan untuk mencari penyelesaian dari analisis

input-output. Selain itu, dalam bidang fisika matriks dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari analisis rangkaian listrik.

Permasalahan-permasalahan yang sering muncul dan dihadapi pada suatu rangkaian listrik adalah menentukan tegangan atau arus yang mengalir

2 elemennya terdiri dari sebuah sumber tegangan dan resistor-resistor yang disusun secara seri atau paralel sederhana, besarnya arus dan tegangan yang mengalir melalui elemen dapat diketahui. Dengan mengaplikasikan Hukum Ohm, maka nilai-nilai dari arus dan tegangan pada elemen rangkaian akan dapat ditentukan. Namun jika rangkaian listrik tidak dirangkai secara seri atau paralel sederhana, besar arus dan tegangan tidak mudah ditentukan jika hanya menggunakan Hukum Ohm.

Gambar 1.1. Rangkaian paralel sederhana

Pada gambar 1.1 di atas, besarnya arus yang mengalir dapat ditentukan menggunakan Hukum Ohm dan mereduksi resistor-resistor tersebut menjadi sebuah resistor pengganti.

Untuk menenentukan besarnya tegangan dan arus yang mengalir pada elemen rangkaian dimana elemen-elemennya tidak disusun secara seri atau paralel sederhana, diperlukan analisis. Pada rangkaian seri, dimana rangkaian tersusun atas beberapa sumber tegangan dan resistor, analisis dasar yang digunakan adalah analisis loop. Sedangkan untuk rangkaian paralel, dimana resistor yang disusun tidak mudah untuk direduksi menjadi resistor pengganti, maka dilakukan analisis jaring, dan untuk rangkaian yang tidak mengandung

3 Aplikasi Hukum Kirchhoff pada analisis rangkaian tersebut nantinya menghasilkan persamaan-persamaan yang akan membentuk sistem persamaan linear dalam variabel I maupun V. Dimana I adalah arus dan V adalah tegangan. Oleh karena itu diperlukan suatu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut. Sistem persamaan linear tersebut diubah menjadi bentuk matriks. Sehingga untuk penyelesaiannya dapat dicari menggunakan matriks yang diperbesar kemudian diselesaikan menggunakan operasi baris elementer dan invers matriks.

Materi tentang matriks pernah dipelajari dalam perkuliahan, namun hanya sebatas perhitungan-perhitungannya saja. Dari beberapa uraian di atas, dapat dilihat bahwa aplikasi matriks untuk menyelesaikan permasalahan dalam bidang lain sangat menarik untuk dipelajari. Oleh karena itu penulis berminat untuk mengangkat judul

“APLIKASI MATRIKS PADA PENYELESAIAN RANGKAIAN LISTRIK”, hasil penulisan ini diharapkan dapat menarik minat untuk mempelajari matriks dan aplikasinya dalam ilmu yang lain.

B. Pembatasan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini dibatasi pada menentukan penyelesaian analisis loop tunggal, analisis jaring (mesh analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber arus, dan analisis simpul (nodal

analysis ) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan

4 mengalir melalui tiap elemen pada rangkaian listrik. Rangkaian yang dianalisis pun dibatasi hanya pada rangkaian planar saja.

C. Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini antara lain:

1. Bagaimana mencari besar tegangan dan arus yang mengalir pada tiap-tiap elemen pada rangkaian listrik menggunakan analisis loop, analisis jaring (mesh analysis), dan analisis simpul (nodal analysis)?

2. Bagaimana mencari penyelesaian dari suatu analisis rangkaian listrik menggunakan matriks?

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini antara lain:

1. Untuk menentukan besarnya tegangan dan arus yang mengalir pada tiap- tiap elemen pada rangkaian listrik menggunakan analisis loop, analisis jaring (mesh analysis), dan analisis simpul (nodal analysis).

2. Untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu analisis menggunakan matriks, sehingga diperoleh besar tegangan dan arus yang mengalir.

E. Manfaat Penulisan

1. Bagi penulis, penulisan ini bertujuan untuk meningkatkan pemahaman penulis tentang matriks dan aplikasinya untuk menyelesaikan suatu

2. Bagi pihak lain, hasil penulisan ini diharapkan dapat memperjelas aplikasi dari matriks dalam mencari penyelesaian khususnya dalam analisis rangkaian listrik.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku acuan yang digunakan, sehingga belum ditemukan hal-hal yang baru.

G. Sistematika Penulisan

Skripsi ini terdiri dari empat bab. Bab I membahas tentang pendahuluan yang berisi latar belakang, pembatasan masalah, perumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

Bab II membahas tentang tinjauan pustaka yang digunakan untuk membahas analisis rangkaian listrik sederhana dan penyelesaiannya menggunakan matriks. Bab II ini berisi konsep dasar tentang matriks dan sistem persamaan linear yang meliputi definisi matriks, dua matriks berukuran sama, matriks persegi, matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks baris, matriks kolom, definisi matriks nol, definisi matriks diagonal, definisi matriks identitas, definisi transpose suatu matriks, operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Selain itu ada juga operasi baris elementer, determinan suatu matriks, definisi minor dan kofaktor,

6 terakhir definisi invers sebuah matriks dan cara mencarinya menggunakan determinan dan adjoin, metode operasi baris elementer,dan metodepartisi. Ada pula definisi sistem persamaan linear dan cara menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan dan invers matriks.

Selain itu terdapat pula istilah-istilah pada rangkaian listrik meliputi definisi muatan, arus, tegangan, elemen rangkaian, dan rangkaian listrik.

Selain itu terdapat definisi simpul, lintasan, loop, cabang, jaring, dan rangkaian planar pada rangkaian listrik. Ada pula hukum-hukum pada rangkaian listrik antara lain Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff. Pada bab ini juga disampaikan kerangka pikir.

Pada bab III, penulis memaparkan pembahasan rumusan masalah yang diangkat dalam skripsi ini, yaitu tentang menganalisis rangkaian listrik menggunakan analisis loop tunggal pada rangkaian listrik, analisis jaring (mesh analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber arus dan analisis simpul (nodal analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan dan penggunaan matriks untuk mencari penyelesaian dari beberapa permasalahan dalam rangkaian listrik beserta contohnya.

Bab IV berisi kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan sebagai jawaban masalah yang diangkat pada skripsi ini serta disampaikan saran untuk mengembangkan penelitian selanjutnya. tentang matriks. Berikut disajikan beberapa definisi tentang matriks dan sistem persamaan linear yang dibutuhkan.

1. Matriks

Definisi 2.1. Matriks (Ayres, 1989: 1)

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegipanjang yang diapit sepasang kurung siku.

■ Bilangan dalam susunan tersebut disebut entri, anggota atau elemen dari matriks. Suatu matriks biasanya dinyatakan dalam huruf kapital, seperti matriks A, matriks B, matriks C, dan seterusnya. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks disusun menurut baris dan kolom. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks disebut ukuran matriks. Misalkan, matriks A memiliki baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka matriks A tersebut memiliki ukuran . Sedangkan anggota atau ditulis pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A dinyatakan sebagai . Bentuk umum suatu matriks A adalah: (2.1)

[ ] Contoh 2.1 Misalkan terdapat matriks A yang disajikan sebagai berikut:

[ ]

Matriks A tersebut memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka dapat dikatakan bahwa matriks A berukuran 2 . Sedangkan anggota pada 3, ditulis matriks A adalah

Dua buah matriks, misalkan matriks A dan B, dikatakan berukuran sama jika banyaknya baris pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya kolom pada matriks B, sehingga jika matriks A berukuran maka matriks B juga berukuran , atau jika dinotasikan: dan .

Contoh 2.2 Misalkan terdapat matriks A, B, dan C yang disajikan sebagai berikut:

[ ] [ ] [ ]

Matriks A berukuran , matriks B berukuran , dan matriks C matriks A dan C ukurannya tidak sama, maka matriks A dan matriks C bukan matriks yang berukuran sama, begitu pula dengan matriks B dan C.

Matriks yang mempunyai ukuran disebut matriks atau persegi. Berikut bentuk umum matriks persegi:

(2.2) [ ]

Entri-entri disebut entri-entri diagonal utama. Matriks persegi dengan ukuran disebut matriks berordo n. Contoh matriks persegi ditunjukkan pada contoh 2.3 berikut:

Contoh 2.3. Misalkan terdapat matriks A dan B sebagai berikut: dan [ [ ]

] Matriks A adalah matriks persegi berordo 2 dengan entri-entri pada diagonal utamanya adalah 2 dan 6. Matriks B adalah matriks persegi berordo 3 dengan entri-entri pada diagonal utamanya 4, 3, dan 3.

Matriks persegi yang entri-entri di bawah diagonal utama adalah nol disebut matriks segitiga atas. Sedangkan matriks persegi yang entri-entri di atas diagonal utama adalah nol disebut matriks segitiga bawah.

Berikut disajikan contoh dari matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah: Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks [ ] dan

[ ]. Matriks A merupakan matriks segitiga atas dan matriks B merupakan matriks segitiga bawah.

Matriks yang hanya terdiri dari satu baris saja disebut matriks baris. Sedangkan matriks yang hanya terdiri dari satu kolom saja disebut matriks kolom.

Untuk memperjelas pengertian matriks baris dan matriks kolom, berikut disajikan contoh dari matriks baris dan matriks kolom: Contoh 2.5 Misalkan diketahui matriks ].

[ ] dan [ A adalah matriks baris berukuran dan B adalah matriks kolom berukuran .

Matriks yang semua entrinya nol disebut matriks nol. Berikut diberikan definisi matriks nol:

Definisi 2.2.

Matriks Nol (Howard Anton, 2000: 62) Matriks nol adalah matriks berukuran yang semua entrinya adalah nol dan dinotasikan dengan atau 0.

■ Berikut disajikan contoh dari matriks nol: [ ] [ [ ]

] Selain matriks nol, ada pula matriks diagonal. Definisi matriks diagonal adalah sebagai berikut:

Definisi 2.3.

Matriks Diagonal (Jain & Gunawardena, 2004: 42) Matriks diagonal adalah matriks persegi yang setiap entri, kecuali pada diagonal utamanya adalah nol.

■ Matriks diagonal dinotasikan sebagai berikut:

(2.3) [ ]

Contoh 2.7 Berikut adalah contoh matriks diagonal: [ [ ]

] Matriks diagonal yang setiap entri pada diagonalnya adalah 1 disebut matriks identitas. Berikut definisi dari matriks identitas:

Definisi 2.4.

Matriks Identitas (Howard Anton, 2000: 63) Matriks identitas adalah matriks persegi dengan entri 1 pada diagonal utama dan 0 (nol) untuk anggota selain diagonal utamanya.

■ Contoh 2.8. Berikut adalah contoh matriks identitas: [ [ ]

] Pada sebarang matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu dengan menukarkan baris dengan kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini dinamakan transpose dari A dan dinyatakan dengan

Definisi 2.5.

Transpose suatu Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 49) Misalkan terdapat matriks yang berukuran . Transpose dari matriks A ditulis adalah matriks berukuran dimana entri untuk semua i, j. ■ adalah

Dengan kata lain, jika A adalah sebarang matriks berukuran , maka adalah matriks berukuran yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A. Kolom pertama matriks adalah baris pertama matriks A, kolom kedua matriks adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh berikut: Contoh 2.9 Misalkan terdapat matriks ].

[ ] dan [ Maka [ ] dan [ ] [ ].

Jika matriks persegi A=A maka matriks A merupakan matriks simetris.

Matriks merupakan susunan bilangan yang berbentuk persegipanjang. Oleh karena itu, seperti halnya bilangan, matriks juga dapat dioperasikan. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Berikut disajikan definisi penjumlahan pada matriks.

Definisi 2.6. Penjumlahan pada Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 34)

Jika dan , A dan B matriks berukuran sama, maka dimana adalah suatu matriks untuk setiap i dan j.

■ Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh berikut: Contoh 2.10 Misalkan terdapat matriks dan maka

[ [ ] ]

[ ] [ ] [ ] [

] Untuk pengurangan dua buah matriks disajikan definisi berikut:

Definisi 2.7. Pengurangan pada Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 35)

Jika dan , A dan B matriks berukuran sama, maka dimana adalah suatu matriks untuk setiap i dan j.

■ Contoh 2.11. Pengurangan dua buah matriks: Misalkan terdapat matriks dan maka

[ [ ] ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

Matriks dapat dikalikan, baik dengan skalar maupun dengan matriks lain. Berikut disajikan definisi perkalian matriks dengan skalar:

Definisi 2.8. Perkalian Matriks dengan Skalar (Howard Anton, 2000: 48)

Jika adalah sebarang matriks dan c adalah sebarang skalar, maka ■

Contoh 2.12. Berikut contoh perkalian suatu matriks dengan skalar: Misalkan terdapat matriks . Jika matriks A dikalikan

[ ] dengan 2, maka akan diperoleh dan jika matriks A

[ ] dikalikan dengan akan diperoleh

[ ].

Selain dengan skalar, matriks juga dapat dikalikan dengan matriks.

Definisi 2.9. Perkalian Matriks dengan Matriks (Howard Anton, 2000: 49)

Jika A adalah sebuah matriks berukuran dan B adalah matriks berukuan

, maka hasil kali AB adalah matriks berukuran yang anggota-anggotanya disefinisikan sebagai berikut: Untuk mencari entri-entri dalam baris i dan kolom j pada matriks AB, pilih baris i pada matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

■ Contoh 2.13. Perkalian dua buah matriks Misalkan terdapat matriks dan matriks .

[ [ ] ]

Jika matriks A dikalikan dengan matriks B, maka: [

] [ ] [

] [

] Selain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, terdapat pula operasi baris elementer. Menurut Ayres (1989: 39) operasi baris elementer merupakan operasi pada sebuah matriks yang dilakukan dengan cara:

a. mempertukarkan baris ke-i dan baris ke-j dan dinyatakan dengan ,

b. mengalikan baris ke-i dengan konstanta c. menjumlahkan entri-entri baris ke-i dengan k kali entri-entri padanannya dari baris ke-j, dimana k suatu skalar dan dinyatakan dengan .

Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh dari operasi baris elementer, sebagai berikut: Contoh 2.14 Misalkan terdapat matriks [ ]. Operasi baris elementer yang dilakukan terhadap matriks A tersebut antara lain

[ ], [ ] dan [ ].

Operasi baris elementer akan menghasilkan matriks baru yang disebut dengan matriks ekuivalen dan disimbolkan dengan “~”.

Contoh 2.15 Misalkan terdapat matriks [ ]. Matriks ekuivalen yang dapat dibentuk dari matriks A adalah [ ] ] .

[ Sehingga dapat dituliskan . Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan. Berikut disajikan definisi dari determinan:

Definisi 2.10. Determinan suatu Matriks (Howard Anton, 2000: 114)

Misalkan A adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan dengan

det

, dan mendefinisikan det (A) sebagai jumlah semua hasil kali bertanda dari A. Angka det (A) disebut determinan A.

■ Determinan suatu matriks A dilambangkan dengan | | atau . Secara umum, determinan matriks A dengan ordo n dapat dituliskan sebagai berikut:

| | ∑ ∑ dimana: |A| adalah determinan matriks A, adalah elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks dari determinan matriks A, adalah minor dari unsur yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari determinan matriks A, dan kofaktor dari unsur .

Determinan untuk matriks berukuran misal, [ ], ditentukan dengan cara .

| | Untuk matriks berukuran , misalkan [ ], determinannya ditentukan oleh

| | Untuk lebih jelasnya disajikan contoh berikut: Contoh 2.16. Determinan dari matriks berukuran dan Misalkan terdapat matriks dan

[ [ ] maka ]

| | dan

| | Berikut disajikan definisi dari minor dan kofaktor dari suatu matriks dalam definisi 2.11 dan definisi 2.12:

Definisi 2.11. Minor (Howard Anton, 2000: 135)

Misakan A adalah matriks persegi. Minor anggota dinyatakan dengan dan didefinisikan sebagai determinan sub matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.

■ Berikut disajikan contoh mengenai minor dari suatu matriks: Contoh 2.17 Misalkan terdapat matriks A sebagai berikut: dan ! [ ]. Tentukan minor anggota Minor anggota dan adalah dan .

| | | |

Definisi 2.12. Kofaktor (Howard Anton, 2000: 135)

Jika minor dari dikalikan dengan hasilnya dinamakan kofaktor dari dan dinyatakan dengan .

■ Contoh 2.18 Misalkan terdapat matriks

[ ]. Tentukan kofaktor anggota dan ! Minor anggota adalah , sehingga kofaktornya adalah

| |

Minor anggota adalah sehingga kofaktornya adalah |

| |

| Kofaktor-kofaktor anggota dari matriks A jika disusun menjadi sebuah matriks maka akan menghasilkan matriks kofaktor. Berikut definisi

Definisi 2.13. Matriks Kofaktor (Howard Anton, 2000: 140)

Jika A adalah sebarang matriks persegi berukuran adalah maka kofaktor dari , maka matriks disebut

[ ] matriks kofaktor dari A.

■ Transpose dari matriks ini disebut adjoin A dan dinyatakan oleh adj (A).

Contoh 2.19 Misalkan terdapat matriks

[ ]. Tentukan matriks kofaktor dari A dan adj (A)! Kofaktor dari matriks A adalah:

| |

Matriks kofaktornya adalah [ ] dan [ ].

Jika suatu matriks mempunyai determinan nol maka disebut matriks singular. Sebaliknya, jika determinan matriks tidak nol maka disebut matriks taksingular.

Determinan untuk matriks diagonal A atau diperoleh dari perkalian entri pada diagonal utama. Demikian pula jika A adalah matriks segitiga, diperoleh dengan mengalikan entri-entri pada diagonal utamanya. Untuk memperjelas, disajikan contoh berikut:

Contoh 2.20 Misalkan terdapat matriks [ ] dan [ ]. dan .

Ada sifat determinan yang terkait dengan operasi baris elementer. Misalkan terdapat matriks A, j ika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta

, maka . Sifat yang lain adalah jika A’ diperoleh dari A dengan menukar cara menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris yang lain, maka Perhitungan determinan dapat dipermudah menggunakan sifat-sifat tersebut. Metode ini disebut metode reduksi baris. Untuk lebih jelasnya, berikut disajikan contohnya: Contoh 2.21 Misalkan terdapat matriks

[ ]. Carilah det(A) menggunakan metode reduksi baris! Determinan dari matriks A lebih mudah dicari jika matriks tersebut diubah menjadi matriks segitiga. Sehingga nantinya merupakan perkalian dari entri-entri pada diagonal utamanya saja. Oleh karena itu untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga digunakan bantuan operasi baris elementer.

Langkah pertama yang dilakukan adalah dengan mengubah salah satu entri pada kolom pertama menjadi bernilai 1. Perlakuan ini tidak mengubah tanda maupun nilai dari determinan. diperoleh | | | | . Setelah itu pertukarkan baris pertama dan ketiga sehingga determinan menjadi negatif, maka diperoleh | | | | . Selanjutnya, untuk mengubah matriks tersebut menjadi matriks segitiga dilakukan operasi baris elementer untuk membuat entri-entri pada menjadi nol. maka | | | | . maka | | | | .

Jadi, Suatu matriks persegi akan mempunyai invers jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol. Berikut disajikan definisi invers dari sebuah matriks: Definisi 2.14.

Invers sebuah Matriks (Howard Anton, 2000: 65) Jika A dan B adalah matriks persegi berukuran sama dan bisa didapatkan sedemikian sehingga maka matriks A disebut bisa dibalik dan matriks B disebut invers dari matriks A.

■ Untuk selanjutnya, invers dari suatu matriks A dinyatakan dengan

simbol A . Sehingga dan .

Untuk matriks persegi berukuran inversnya dapat ditentukan dengan menggunakan determinan dan adjoin. Misalkan untuk sebarang matriks A maka

. Dengan syarat . Invers dari matriks berukuran misalkan [ ], dapat langsung dicari dengan aturan sebagai berikut: [ ].

Contoh 2.22 Misalkan terdapat matriks dan [ [ ].

] Invers dari matriks A dapat diperoleh dengan

[ ] .

[ ] [ ]

Invers dari matriks B dicari dengan menggunakan . Kofaktor dari matriks B adalah:

| |

| | | | .

[ ].

. [ ]

[ ] Invers matriks juga dapat dicari dengan bantuan matriks identitas I.

Langkah yang perlu ditempuh adalah membuat matriks gabungan [ | ] kemudian mereduksi matriks A pada ruas kiri menjadi matriks I dengan menggunakan operasi baris elementer. Operasi baris elementer yang sama juga dilakukan pada matriks identitas, sehingga matriks I pada ruas kanan akan tereduksi menjadi matriks B. Karena maka matriks B ini adalah matriks . Untuk lebih jelasnya disajikan contoh sebagai berikut: Contoh 2.23 Misalkan terdapat matriks [ ].

Sehingga diperlukan matriks gabungan [ | ], sedemikian sehingga matriks A

[ | ] [ | ], untuk mendapatkan direduksi menggunakan operasi baris elementer, sedemikian sehingga menghasilkan matriks identitas.

Langkah yang perlu ditempuh adalah membuat elemen selain diagonal utama menjadi nol.

[ | ] [ | ] [ | ] |

[ ] | |

[ [ ] ]

| [

] Sehingga . Invers matriks juga dapat dicari dengan menggunakan partisi. Misalkan terdapat matriks A berukuran , dengan dan inversnya yaitu matriks

, yang dipartisi menjadi matriks berordo sebagai berikut: dan .

[ ] [ ] Karena maka diperoleh persamaan berikut:

[ ] [ ] [ ] Sehingga, Misalkan , maka

( ) ( ) ( )

( ) dengan syarat det dan ( ) . Contoh 2.24: Tentukan invers dari [ ] menggunakan partisi. Partisi matriks [ ]. [ [

] ] [ ]. [ ]

, [

] [ ] ,

[ ] [ ] [ ]

, [ ] [

] [ ] ,

( ) [ ] [ ] [

] [ ] [ ] [ ] [ ],

( ) ( ) [

], ][ ] [

] [ ] [ ( ) [ ] [ ],

] [ ( ) [ ],

][ ] [

Maka [ ] [ ]

2. Sistem Persamaan Linear Suatu persamaan linear dengan n variabel adalah persamaan dengan bentuk: dimana dan b adalah bilangan real, adalah variabel.

Dengan demikian, suatu sistem persamaan linear dari n persamaan dalam n variabel adalah (2.5) dengan dan adalah bilangan real.

Berikut disajikan contoh dari sistem persamaan linear dalam variabel :

Contoh 2.25 Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, ada beberapa cara yang bisa dipilih, misalnya dengan metode substitusi, eliminasi, dan campuran keduanya. Namun, untuk sistem persamaan linear dengan banyak variabel, cara tersebut dirasa tidak mudah dan cukup menyita banyak waktu. Oleh karena itu diperlukan cara lain untuk menyelesaikannya, yaitu dengan mengubah sistem persamaan tersebut menjadi bentuk matriks, yaitu:

(2.6) [ ]

[ ] atau jika diubah menjadi bentuk perkalian matriks (2.7)

[ ] [ ]

[ ] Misalkan adalah matriks

[ ] koefisien, adalah

[ ] adalah matriks untuk variabel, dan [ ] matriks untuk konstanta, matriks-matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai

(2.8) Untuk mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut, dapat digunakan beberapa cara, antara lain: a. Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear menggunakan metode ini, persamaan linear terlebih dahulu diubah menjadi bentuk matriks yang diperbesar yaitu

(2.9) [ | ]

|| [ ]

Kemudian dilakukan operasi baris elementer pada matriks tersebut untuk mendapatkan matriks identitas pada matriks sebelah kiri dan penyelesaian pada matriks sebelah kanan.

Contoh 2.26 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear: Sitem persamaan tersebut jika dituliskan dalam bentuk matriks yang diperbesar menjadi:

[ | ]. Kemudian dilakukan operasi baris elementer sebagai berikut: [ | ] [ | ]

[ | ] | ] [

[ | ] [ | ] [ | ] [ | ]

Maka nilai dari masing-masing variabel adalah

b. Dengan menggunakan invers matriks Suatu sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk

(2.10) Untuk mencari penyelesaiannya, dapat digunakan bantuan invers matriks, yaitu

(2.11) Invers dari matriks A diperoleh dengan menggunakan metode partisi. Untuk lebih jelasnya berikut disajikan contoh.

Contoh 2.27 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut:

Bentuk perkalian matriks untuk sistem persamaan linear tersebut adalah [ ] [ ] [ ]. Dengan [ ], [ ], dan [ ]. maka dicari dengan menggunakan metode partisi.

Partisi matriks [ ]. [ [

] ] [ ]. [ ]

, [

] [ ] ,

[ ] [ ] [ ]

, [ ] [

] [ ] (

) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ], [ ],

( ) ( ) [ ]

[ ],

][ ] [ ] [

( ) [ ] [ ], ] [ Maka [ ] [ ].

[ ] [ ] [

] B.

Istilah-istilah pada Rangkaian Listrik

Salah satu konsep dasar dalam analisis rangkaian listrik adalah konsep muatan. Dalam ilmu fisika, muatan terdiri dari dua macam, yaitu muatan positif (proton) dan muatan negatif (elektron). Muatan yang tidak berubah terhadap waktu dipresentasikan oleh Q, sedangkan muatan yang berubah terhadap waktu dipresentasikan dengan q. Namun arus sendiri didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.15.

Arus (Sears & Zemansky, 1963: 502) Arus (dinotasikan dengan I) adalah jumlah pemindahan rata-rata dari muatan positif yang melewati suatu penampang penghantar atau dapat dikatakan bahwa arus adalah jumlah muatan positif yang melewati penghantar per satuan waktu.

■ Secara matematis arus dirumuskan dengan:

(2.9) Dimana dq adalah muatan listrik yang bergerak dalam satuan Couloumb dan

dt adalah waktu yang dibutuhkan muatan tersebut untuk bergerak dalam

(a) (b)

Gambar 2.1. Salah satu cara mempresentasikan arusGambar 2.1 menunjukkan dua buah arus yang besarnya sama yaitu 2 A, namun arahnya berlawanan, sehingga tandanya pun berlawanan.

Arus listrik mengalir pada rangkaian tertutup. Adanya arus listrik yang mengalir pada suatu rangkaian listrik disebabkan oleh adanya perbedaan potensial di antara dua buah titik dalam rangkaian tersebut. Arah aliran berasal dari titik yang mempunyai beda potensial tinggi ke beda potensial rendah.

Beda potensial juga disebut dengan tegangan. Definisi beda potensial atau tegangan disajikan sebagai berikut:

Definisi 2.16. Tegangan (Hayt & Kemmerly, 1990: 12)

Tegangan yang melewati suatu elemen listrik didefinisikan sebagai kerja yang diperlukan untuk menggerakkan muatan positif sebesar 1 Couloumb dari satu titik ujung ke titik ujung yang lain dari elemen tersebut.

■ Satuan dari tegangan adalah Volt (V).

Misakan terdapat suatu sumber tegangan yang digambarkan sebagai berikut:

Misalkan diketahui besarnya tegangan pada gambar tersebut adalah 5 Volt. Sehingga dapat dinyatakan bahwa tegangan atau beda potensial antara titik A dengan titik B sebesar 5V. Dapat juga dikatakan titik A mempunyai tegangan 5 V lebih tinggi daripada titik B. Dengan demikian atau dapat juga dinyatakan

Aplikasi matriks pada penyelesaian rangkaian listrik - USD Repository