Pembahasan ekstrem fungsi satu variabel dan dua variabel dengan teorema taylor - USD Repository

  

PEMBAHASAN

EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL

DENGAN TEOREMA TAYLOR

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)

  

Program Studi Matematika

  Disusun oleh :

  

Sihwanto

NIM : 003114045

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, Maret 2007 Penulis

HALAMAN PERSEMBAHAN

  Skripsi ini ku persembahkan kepada: Kedua orang tuaku Almamaterku dan wiwin

  

ABSTRAK

  Skripsi ini membahas tentang penggunaan Teorema Taylor dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel

  

f (x ) mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai

• ( n ^{1 ) ( n 1 )}

  

f x f c

  nol di titik c, dan ( ) kontinu di c dengan ( ) ≠ maka terdapat ^{n 1}

• h
• ^{( n}
1<
• bilangan dengan θ &lt; θ &lt; 1 sehingga f ( c h ) − f ( c ) = f ( c ) .

  θh

• ( n 1 )!

  Apabila n gasal maka:

• ( n ^{1 )}

  a. f (x ) mencapai maksimum di c jika f ( c ) &lt;

• ( n ^{1 )}

  b. f (x ) mencapai minimum di c jika f ( c ) &gt; Apabila n genap maka tidak terjadi ekstrem di c. Untuk fungsi dua variabel jika semua turunan parsialnya mulai order

  f ( x , y )

  pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka

• f ( a h , b k ) − f ( a , b ) = R ( a , b )

  θh θk

• n
¹

  untuk suatu bilangan &lt; &lt; 1 dan

  θ dengan θ ^{n 1}

• 1 ⎡ ∂ ∂ ⎤

  = ^{n 1} ⎢ ⎥

• R ( x , y ) h k f ( x , y ) .
• ( n

  1 )! ∂ x ∂ y ⎣ ⎦

  Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari

  R a b

• R a b n &gt;

  ( , ) tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk + + ^{n 1 θh θk}

  1 mengadakan penyelidikan pada keadaan ( , ) untuk . + +

ⁿ

^{1 θh θk}
• n =

  1 Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan , yaitu untuk:

  1 _{2 2} R ( a , b ) h f 2 hkf k f ( a , b ) _{2 [ xx xy yy ]} θh θk = θh θk + + + + + + 2 !

  dengan f , f dan f tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini _{xx xy yy}

• tanda dari R ( a , b ) ditentukan oleh tanda dari R ( a , b ) , karena pada
₂ θh θk ₂ R ( x , y ) pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinu di titik (a,b). _{2 2} Jika H ( a , b ) = f ( a , b ) f ( a , b ) − f ( a , b ) , maka : _{xx yy xy}

  &gt;

  i. Jika H ( a , b ) dan f ( a , b ) &gt; terjadi minimum di (a,b) _xx

  &gt;

  ii. Jika H ( a , b ) dan f ( a , b ) &lt; terjadi maksimum di (a,b) _xx iii. Jika H ( a , b ) &lt; tidak terjadi ekstrem di (a,b) iv. Jika H ( a , b ) = belum ada keputusan, mungkin terjadi atau mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).

  

ABSTRACT

  This thesis study concerning usage of Theorem of Taylor in investigation of value of extreme for function from one and two variabe. If function one variable

  

f have first derivative up to nth derivative the valuableness zero at point of c,

(x ) _{( n 1 ) ( n}

_{1 )}

  and continuous at c with f ( x ) f ( c ) , hence there are number with ≠ θ ⁿ + ¹

  h ^{( n 1}

  &lt; &lt;

• 1 f ( c h ) f ( c ) f ( c ) θ so that − = θh .
• ( n 1 )!

  If n is odd then:

• ^{( n 1 )} a. achieve maximum at c if f ( c ) .

  f (x ) &lt; ^{( n 1 )}

• b. achieve minimum at c if f ( c ) .

  f (x ) &gt; if n is even then hasn’t extreme at c. f (x )

  For function with two variable , if all of the partial derivatives begin to

  f ( x , y )

  first order up to nth order the valuableness zero at point of (a,b), then

• f ( a h , b k ) − f ( a , b ) = R ( a , b )

  θh θk

• n
¹

  for a number &lt; &lt; 1 and

  θ with θ ^{n 1}

• 1 ⎡ ∂ ∂ ⎤

  = ^{n 1} ⎢ ⎥

• R ( x , y ) h k f ( x , y )
• ( n

  1 )! ∂ x ∂ y ⎣ ⎦

  Theoretically there is or inexistence extreme value at point of (a,b) can be checked if for values of h and k small enough and sign from

  R a b

• R a b n

  ( , ) remain to or erratic. In practice do not easy to perform a to + + ^{n 1 θh θk}

  &gt;

  1 investigation in the situation ( , ) to . + + ^{n 1 θh θk}

• In this thesis only studied for situation n =

  1 , that is to

  1 ^{2 2}

• R ( a = + , b ) h f _{2 θh θk xx xy yy θh θk}

  2 hkf k f ( a , b ) + + + +

[ ]

  2 !

  with f , f and f not all valuable zero at point of (a,b). In this case sign from _{xx xy yy 2 θh θk} + + R ( a , b ) determined by sign from R ( a , b ) , because at this solution is ₂ assumed that continuous at point of (a,b). ₂ If H ( a , b ) = f ( a , b ) f ( a , b ) − f ( a , b ) , then: _{xx yy xy}

  &gt;

  i. If H ( a , b ) and f ( a , b ) &gt; , f ( x , y ) has minimum at point of (a,b) _xx

  &gt;

  ii. If H ( a , b ) and f ( a , b ) &lt; , f ( x , y ) has maximum at point of (a,b) _xx iii. If H ( a , b ) &lt; , f ( x , y ) hasn’t extreme at point of (a,b)

KATA PENGANTAR

  Puji syukur kehadiran Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat kembali ke bangku kuliah untuk menyelesaikan tugas akhir ini, meskipun harus menempuh perjalanan yang cukup panjang.

  Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan memberi dukungan materiil maupun spiritual selama masa perkuliahan serta penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

  1. Bapak Drs. A. Tutoyo, M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan sangat sabar membimbing, memberi motivasi serta saran dalam penyusunan tugas akhir ini.

  2. Bapak Y.G. Hartono, S. Si, M. Sc, selaku ketua program studi Matematika.

  3. Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu M.V. Any Herawati, M. Si yang telah memberikan semangat dan saran dalam penyusunan tugas akhir ini.

  4. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan begitu banyak ilmu dan pengalaman yang sangat berguna sebagai bekal penulis dalam menyongsong masa depan.

  5. Seluruh staf karyawan sekretariat FMIPA, bu Warni, pak Tukijo yang telah membantu penulis dalam pelayanan administrasi perkuliahan.

  6. Bapak Ngadul Wiyardi beserta ibu selaku orang tua atas doa, kasih sayang,

  7. Winarti Harjo Wiyono, SE (Wiwin) atas kasih sayang , cinta serta doa.

  8. Sahabat-sahabat yang selalu bersama melewati masa perkulihan: Fery, Heru’su timbul’, Ayuk adikku, Lina, Bunga, Tatik, Vincent, Wiwid, Lissa, Mira, Tika, Dewi, Wahyu, Feliks, Willy, Pras, Toni, Sunarto, Prihanto, Andi, Susiantoro.

  9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

  Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.

  Yogyakarta, Maret 2007 Penulis

  

DAFTAR ISI

Halaman

  HALAMAN JUDUL ......................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................... v ABSTRAK ........................................................................................................ vi ABSTRACT ...................................................................................................... vii KATA PENGANTAR ...................................................................................... viii DAFTAR ISI ..................................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii BAB I PENDAHULUAN ................................................................................

  1 A. Latar Belakang .................................................................................

  1 B. Rumusan Masalah ............................................................................

  4 C. Pembatasan Masalah ........................................................................

  4 D. Manfaat Penulisan ............................................................................

  4 E. Tujuan Penulisan ..............................................................................

  5 F. Metode Penulisan .............................................................................

  5 G. Sistematika Penulisan ......................................................................

  5 BAB II EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL ..

  7 A. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Satu Variabel ................

  7

  BAB III TEOREMA TAYLOR ........................................................................

  52 A. Deret Pangkat ..................................................................................

  52 B. Deret Taylor ....................................................................................

  60 C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel .....................

  62 D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel ......................

  65 BABIV PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR UNTUK MENENTUKAN EKSTREM SUATU FUNGSI .............................................................

  70

  f ′′ c =

  70 A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus ( ) ....................

  73 H a b = B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus ( , ) ..................

  78 BAB V PENUTUP ...........................................................................................

  80 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................

  DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 .........................................................................................

  10

  48

  35

  33

  27

  16

  15

  14

  13

  11

  10

  9

Gambar 2.2 .........................................................................................Gambar 2.13 .........................................................................................Gambar 2.12 .........................................................................................Gambar 2.11 .........................................................................................Gambar 2.10 .........................................................................................Gambar 2.9 ...........................................................................................Gambar 2.8 .........................................................................................Gambar 2.7 .........................................................................................Gambar 2.6 .........................................................................................Gambar 2.5 .........................................................................................Gambar 2.4 .........................................................................................Gambar 2.3 .........................................................................................

  51

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Salah satu penggunaan derivatif yang menarik dan berguna adalah

  menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi. Banyak problema dalam teknik, sains, geometri dan ekonomi menuntut untuk memenuhi syarat- syarat perlu dan cukup supaya suatu fungsi itu mencapai nilai maksimum atau minimum. Selain menentukan daerah dimana fungsi itu mencapai nilai maksimum atau minimum juga untuk menentukan dimana suatu fungsi cekung ke atas atau ke bawah, penentuan titik belok, penentuan asimtot dan sebagainya.

  Grafik sebuah fungsi yang digambar dengan ketelitian yang tinggi dapat memberikan banyak informasi mengenai kelakuan fungsi tersebut. Tetapi untuk mendapatkan gambar grafik yang cukup tepat adalah sebuah pekerjaan yang membosankan.

  Di dalam penulisan ini akan dibahas tentang maksimum dan minimum fungsi satu variabel dan dua variabel yang merupakan pendalaman tentang maksimum dan minimum fungsi yang sudah diperoleh dibangku sekolah menengah maupun didalam bangku kuliah. Jadi bukan merupakan hal yang baru lagi.

  Nilai maksimum dan minimum dibagi menjadi dua yaitu nilai maksimum atau minimum mutlak dan nilai maksimum atau minimum relatif. Fungsi f disebut

  2

  selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) f (x) untuk setiap x pada selang. ≥ Sedangkan fungsi f disebut mencapai minimum mutlak pada suatu selang, jika terdapat bilangan c pada selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) f (x)

  ≤ untuk setiap x pada selang.

  Fungsi f disebut mencapai nilai maksimum relatif di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c, pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi

  f c ≥ f x ( ) ( ) untuk semua x pada selang terbuka. Sedangkan fungsi f disebut

  mencapai minimum relatif di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c

  f c ≤ f x

  pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi ( ) ( ) untuk semua x pada selang terbuka.

  Suatu fungsi yang mencapai maksimum atau minimum (mutlak/relatif) disebut mencapai ekstrem (mutlak/relatif). Dalam penulisan ini yang menjadi pokok permasalahan yang akan dibahas adalah syarat-syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi dapat mencapai maksimum atau minimum.

1. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan satu variabel

  f ′ a

  Jika (x ) ada dalam ( b , ) maka syarat perlu adanya nilai ekstrem pada

  a f

  titik x = di mana c dalam interval c ( b , ) adalah ′ c ( ) = . Sedangkan syarat

  f

  cukup adanya nilai ekstrem pada titik x = adalah c ′′ c ( ) ≠ . Kemudian didapat bahwa

  f &gt; f

  1. Jika ′′ c ( ) maka (x ) mempunyai nilai minimum di c

  f &lt; f 2. Jika ′′ c ( ) maka (x ) mempunyai nilai maksimum di c.

  3

  digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Sebagai contoh, diberikan fungsi f (x) = x ³ . Didapat turunan pertama dan keduanya berturut – turut adalah dan . Satu-satunya bilangan kritis adalah titik nol,sehingga diperoleh ²

  ( 3 ) x x f = ′

  x x f ( 6 ) = ′′

  ) ( = ′′ f

  . Jadi uji turunan kedua tidak dapat digunakan untuk menyimpulkan soal tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel .

2. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan dua variabel

  ) , ( y x f

  ) ); , (( r y x B _o ) , ( ) , ( y x y x = ) , ( = y x f _x dan . Titik disebut titik kritis.

  ) , ( = y x f _y

  Jika suatu fungsi beserta turunan parsial pertamanya kontinu dalam cakram terbuka maka syarat perlu suatu fungsi adanya nilai ekstrem pada titik adalah

  ) , ( y x f

  ) ); , (( r y x B _o ) , ( ) , (

  = y x y x

  adalah ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ² H y x f y x f y x f y x _{xy yy xx}

  − = Kemudian didapat bahwa

  1. Jika dan terjadi minimum di (a,b) ) , ( &gt; y x H ) , ( &gt; y x f _xx

  2. Jika dan ) , ( &gt; y x H

  ) , ( &lt; y x f _xx terjadi maksimum di (a,b)

  3. Jika ) , ( &lt; y x H tidak terjadi ekstrem di (a,b)

  ) , ( y x Jika fungsi dapat diturunkan dua kali dalam himpunan tersebut dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka , maka syarat cukup adanya nilai ekstrim pada titik

  4 Selanjutnya timbul masalah jika fungsi f x y dapat diturunkan dua kali dalam ( , )

  suatu himpunan dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka

  

B (( x , y ); r ) dan didapat nilai H ( x , y ) = maka uji turunan kedua tidak dapat

_o

  digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel.

  B. RUMUSAN MASALAH

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah:

  1. Bagaimana Teorema Taylor digunakan untuk menjelaskan pemecahan masalah ekstrem suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel,

  f ′′ c =

  yaitu dalam kasus ( ) dan ₂ H ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) ? = − = _{xx yy xy}

  C. PEMBATASAN MASALAH

  Dalam penulisan ini pembahasan masalah hanya dibatasi tentang pembahasan masalah ekstremum fungsi dengan satu variabel dan dua variabel dengan menggunakan Teorema Taylor.

  D. MANFAAT PENULISAN

  Manfaat yang diharapkan yaitu agar kita dapat menyelesaikan masalah

  5

  bantuan turunan tingkat tinggi dan bantuan teorema Taylor, apabila dengan uji turunan kedua tidak bisa menarik suatu kesimpulan

  E. TUJUAN PENULISAN

  Tujuan dari penulisan ini agar kita dapat menyelesaikan permasalahan seputar maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel, misalnya :

  1. Dapat mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi mencapai maksimum atau minimum.

  2. Dapat menggunakan teorema Taylor dalam membahas masalah maksimum atau minimum jika syarat-syarat suatu fungsi untuk mencapai maksimum atau minimum tidak dipenuhi.

  F. METODE PENULISAN

  Dalam penulisan ini dilakukan dengan metode pustaka yaitu dengan menelaah buku-buku pustaka sebagai acuan untuk membuktikan teorema-teorema mengenai masalah Ekstremum dengan menggunakan Teorema Taylor, sehingga dalam penulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.

  G. SISTEMATIKA PEMBAHASAN

  Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini, berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.

  6 BAB I Pendahuluan

  Bab ini berisi tentang gambaran umum tentang skripsi ini yang terdiri dari latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat penulisan, tujuan penulisan dan metode penulisan.

  Bab II Ekstrem Fungsi Satu Variabel dan Dua Variabel Bab ini berisi pembahasan tentang ekstremum fungsi satu variabel dan dua variabel beserta sifat-sifatnya. Bab III Teorema Taylor Bab ini berisi tentang deret pangkat, deret Taylor serta Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel dan fungsi dengan dua variabel.

Bab IV Penggunaan Teorema Taylor untuk Menentukan Ekstrem suatu

Fungsi Bab ini berisi tentang penyelesaian masalah ekstremum fungsi satu f

  variabel di mana ′′ c ( ) = dan ekstremum fungsi dua variabel dimana ₂ H ( x , y ) = f ( x , y ) f ( x , y ) − f ( x , y ) = . Untuk mempermudah _{xx yy xy} pemahaman dalam bab ini disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya.

  Bab V Penutup Bab ini berisi tentang kesimpulan.

BAB II EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL Ada dua hal mendasar yang muncul ketika berbicara tentang nilai

  maksimum atau minimum suatu fungsi f. Pertama, apakah fungsi f mempunyai nilai maksimum atau minimum. Kedua, jika fungsi f mempunyai nilai maksimum atau minimum, di titik-titik di mana f mencapai nilai maksimum atau minimum dan berapa nilai maksimum atau minimumnya.

  Dalam bab ini akan ditentukan titik tertinggi dan titik terendah dari grafik suatu fungsi.

A. Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dengan Satu Variabel

  Definisi maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel diberikan sebagai berikut.

  Definisi 2.1

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada titik x = jika untuk sebarang c ε &gt; yang

diberikan akan dapat ditentukan &gt; sedemikian hingga jika x − c &lt; maka

  δ δ f ( x ) − f ( c ) &lt; . ε

  Definisi 2. 2

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka ( b a , ) jika f kontinu di

  Definisi 2.3 Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [ ]

  a, b jika f kontinu di

setiap titik dari dan jika dan atau disebut

( b a , ) lim f ( x ) = f ( a ) lim f ( x ) = f ( b )

_{x → a x → b + −} kekontinuan kanan di titik a dan kekontinuan kiri di titik b.

   Definisi 2.4

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c jika terdapat interval

  − ≥ +

( c , c ) sedemikian hingga f ( c ) f ( x ) untuk setiap x dalam interval

δ δ

  ≥ + −

( c , c ) . Jika hubungan f ( c ) f ( x ) berlaku untuk setiap x dalam domain

δ δ f, maka f disebut mempunyai nilai maksimum mutlak di c.

  Definisi 2.5

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c jika terdapat interval

• ( c − , c ) sedemikian hingga f ( c ) ≤ f ( x ) untuk setiap x dalam interval

  δ δ

• ( c − , c ) . Jika hubungan f ( c ) ≤ f ( x ) berlaku untuk setiap x dalam domain f,

  δ δ maka f disebut mempunyai nilai minimum mutlak di c.

  Bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum relatif di c, maka dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem relatif di c dan bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum mutlak di c, maka dikatakan bahwa fungsi

  

f mempunyai ekstrem mutlak di c. Untuk lebih jelasnya perhatikan grafik di bawah

  1 &gt; x

  1

  ) ( &gt; x f

  1 &lt; x dan , jika . Jadi f tidak mempunyai ekstrem relatif di titik satu.

  &lt; x f , jika

  ) 1 ( = ′ f ) (

  − = ′ x x f

  ) 1 ( ( 3 )

  ) ) 1 ( ( − = x x f ₂

  Tinjau fungsi f yang didefinisikan oleh . Sket dari grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.2. Karena , maka . Akan tetapi ³

  2 dan x = a Contoh 2.1

  4

  3 dan x = b

  dari suatu fungsi f (x) dalam interval [a, b] Dari grafik di atas tampak bahwa:

  a b c 1 c

Gambar 2.1 Nilai-nilai maksimum dan minimum serta jenisnya

  4 )

  ) f (c

  2

  f (c

  3 )

  ) f (c

  1

  f (c

  3

c

4 x y y = f (x) maks multak maks relatif

min multak

min relatif

  2 c

• nilai maksimum mutlak dicapai pada x = c
• nilai maksimum relatif dicapai pada x = c
• nilai minimum mutlak dicapai pada x = c
• nilai minimum relatif dicapai pada x = c

  y

  1

  x

  3 Gambar 2.2 Grafik fungsi f ( x ) (

  1 ) = x −

  Contoh 2.2

  Misalkan diketahui fungsi f ( x ) =

  2 x . Keterangan dari grafik f pada

  selang [1, 4) diberikan pada Gambar 2.3. Fungsi f mempunyai nilai minimum mutlak sebesar 2 pada [1, 4) tetapi tidak mempunyai nilai maksimum mutlak pada interval [1, 4) karena untuk setiap ∈ selalu ada nilai x yang memberikan

  x [

1 ,

4 ) nilai yang lebih besar. f (x ) y

  8

  2

  x

  1

  4

  Contoh 2.3 ₂ Diberikan fungsi f ( x ) = − x . Sket dari grafik f pada selang (-3, 2]

  diperlihatkan pada Gambar 2.4. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak sebesar 0 pada selang (-3, 2]. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum mutlak

  ∈ −

  pada selang (-3, 2] karena untuk setiap x (

  3 , 2 ] selalu ada nilai x yang memberikan nilai f (x ) yang lebih kecil. y

• 3

  2

  x

• 4
• 9
₂ Gambar 2.4 Grafik fungsi f ( x ) = − x

  Bagaimana dapat ditentukan di mana terjadinya ekstrem relatif suatu fungsi f ? Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai titik peralihan yang memisahkan daerah di mana grafik fungsi itu naik menjadi turun atau sebaliknya.

  Teorema berikut dapat digunakan untuk melokalisir kemungkinan nilai- nilai c yang memberikan ekstrem relatif.

  Teorema 2.1 Jika fungsi f kontinu pada interval

  a, b dan terdeferensial pada interval ( b a , ) [ ] maka:

  a, b &gt; [ ] jika f ′ x ( ) untuk semua titik dalam

  1. fungsi f naik pada interval interval ( b a , ) .

  &lt; [ ]

  a, b jika f ′ x ( ) untuk semua titik dalam

  2. fungsi f turun pada interval interval ( b a , ) .

  Ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi pada titik-titik di mana fungsi f berturunan (pada titik-titik di mana garis singgung pada grafik adalah horisontal).

  Definisi 2.6 =

  

Titik kritis suatu fungsi f adalah nilai x di dalam domain di mana f ′ x ( ) atau

=

f tidak berturunan. Jika c adalah suatu titik di mana f ′ c ( ) , maka c disebut

titik stasioner.

  Dinamakan titik stasioner karena pada titik ini grafik fungsi f mendatar atau horisontal atau gais singgungnya mendatar.

  Ekstrem relatif dapat terjadi pada titik kritis. Pertama, jika fungsi f

  3

  ini tidak selalu menjadi titik ekstrem, sebagai contoh fungsi f ( x ) = x . Dalam ₃

  =

  kasus ini f ′ c ( ) , tetapi (0,0) bukan titik kritis dari grafik fungsi f ( x ) = x , seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah ini.

  3 Gambar 2.5 Grafik fungsi f ( x ) = x =

  Keadaan di mana f ′ x ( ) atau f tidak berturunan belum menjamin terjadinya ekstrem suatu fungsi. Untuk diperlukan suatu teorema yang menyatakan syarat perlu adanya ekstrem suatu fungsi.

  Teorema 2.2

Jika fungsi f mempunyai ekstrem pada c, maka f ′ c ( ) = atau f tidak berturunan.

Bukti:

  Pada kasus ini terdapat dua kemungkinan, yaitu f berturunan pada c atau f tak berturunan.

  ′ ₋ → − h c f h c f f _h

  Gambar 2.6

  ) ( ) ( lim ≥ − + =

  dan

  ′ ₊ →

  ) ( ) ( lim ≤ − + =

  , yaitu:

  − +

  = ′

  = ′

  ) ( ) ( ) ( c f c f c f ′

  ) (c f ′

  Jika berturunan pada x = c , maka ada dan ) (x f

  δ − c δ + c x y f(c) h &gt; 0 h &lt; 0

  a.

  c + h c + h

  

) ( ) (

&gt;

− +

h

c f h c f

c

  Jika maka &lt; h

  ii.

  

) ( ) (

&lt;

− +

h

c f h c f

  Jika maka &gt; h

  i.

  δ c δ c + − h c c + ≠ maka ) ( ) ( c f h c f &lt; + .

  δ c + − ] , [

  ) (c f ] , [ δ c

  Jika adalah maksimum relatif dari f, maka terdapat interval sedemikian sehingga jika c + h dalam interval dengan

• h c f h c f f _h
Jika f (c ) adalah minimum relatif dari f, maka terdapat interval b.
• [ c − , c ] sedemikian sehingga jika c + h dalam interval

  δ δ + + + [ c − , c ] dengan c ≠ c h maka f ( c h ) &gt; f ( c ) . δ δ

• f ( c h ) f ( c )

  −

  Jika h &gt; maka &gt; i.

  h

• f ( c h ) − f ( c )

  Jika h &lt; maka

  &lt; ii. h

  Jika berturunan pada x = c , maka ada dan

  f (x ) f ′ (c ) f ′ ( c ) = f ′ ( c ) = f ′ ( c ) , yaitu:

• −
• f ( c h ) − f ( c ) f ( c h ) − f ( c )

  

f ′ = lim ≥ dan f ′ = lim ≤

_{h → h →} − + _{− +} h h

  ′ ′ Karena f ≤ dan f ≥ , maka f ′ c ( ) = .

  ■

• −

   y f(c) h &lt; 0 h &gt; 0 x c − δ

• c + h c c + h c δ
Sifat suatu titik kritis sering ditentukan dengan naik turunnya kurva di sekitar titik kritis.

  Teorema 2.3 Teorema Nilai Rata-rata

Jika fungsi f kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada titik (a,b) maka

f ( b ) f ( a )

  − ′

terdapat titik c di dalam interval (a,b) sedemikian sehingga f ( c ) = .

b − a

  Bukti: Misal diberikan fungsi dan seperti gambar di bawah ini. f (x ) g (x )

  y y = f(x) s(x) f(b) y = g(x) f(a) x a x b

  Gambar 2.8 = −

  Pembuktian berdasarkan pada analisis fungsi s ( x ) f ( x ) g ( x ) . Andaikan

  =

y g (x ) adala persamaan tali busur yang menghubungkan titik ( a , f ( a )) ke

f ( b ) − f ( a )

  . Karena garis ini mempunyai kemiringan dan melalui

  ( b , f ( b )) b − a

  

( a , f ( a )) , maka bentuk kemiringan untuk persamaannya adalah

f ( b ) f ( a ) f ( b ) f ( a )

  − − + g ( x ) − f ( a ) = ( x − a ) atau g ( x ) = ( x − a ) f ( a ) . b − a b − a

  Kemudian ini menghasilkan rumus untuk s (x ) , yaitu:

  

f ( b ) − f ( a )

s x f x g x f x f a x a ( ) = ( ) − ( ) = ( ) − ( ) − ( − ) b − a Tampak bahwa = b = . s ( a ) s ( )

  Untuk setiap fungsi yang kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada

  s (x )

  interval (a,b) dan = b = maka fungsi terdapat titik c di dalam

  s ( a ) s ( ) s (x ) f ( b ) − f ( a )

  interval (a,b) sedemikan sehingga s ′ ( c ) = f ′ ( c ) − = .

  b a − f ( b ) − f ( a ) Jadi terbukti bahwa ′ . f ( c ) =

  ■

  b − a Teorema 2.4 Teorema Uji Turunan Pertama untuk Nilai Ekstrem Relatif Andaikan fungsi f kontinu dan terdeferensial pada interval terbuka ( b a , ) yang memuat titik kritis c, maka:

f (c ) adalah nilai maksimum relatif, jika f ′ x ( ) &gt; untuk semua x di dalam

1. interval ( c a , ) dan f ′ x ( ) &lt; untuk semua x di dalam interval ( b c , ) f (c ) adalah nilai minimum relatif, jika f ′ x ( ) &lt; untuk semua x di dalam 2. interval ( c a , ) dan f ′ x ( ) &gt; untuk semua x di dalam interval ( b c , ) f (c ) bukan nilai ekstrem relatif jika f ′ (x ) bertanda sama pada kedua pihak 3.
• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].

  ) ( ) ( &gt; − x f c f ) ( ) ( x f c f

  &lt;

  &lt; − c f x f atau ) ( ) ( c f x f

  Jadi ) ( ) (

  

′

f karena f ′ negatif dimana-mana pada interval (c, b).

  &gt; − c x karena c x &gt; dan ) ( &lt; ξ

  ′ − = − f c x c f x f

  atau ) ( ) ( ) ( ) ( ξ

  = − − f c x c f x f

  ) ( ) ( ) ( ξ ′

  di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga

  ξ

  Jadi terdapat suatu titik

  

&gt;

  Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (a, c).

  &gt; ξ ′ f karena f ′ positif dimana-mana pada interval (a, c).

  &gt; dan ) (

  x c

  karena

  c

  &gt; − x

  ξ ′ − = − f x c x f c f

  atau ) ( ) ( ) ( ) (

  = − − f x c x f c f

  ) ( ) ( ) ( ξ ′

  Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga

  ) ( ) ( x f c f ≥

  a) Akan dibuktikan bahwa f mempunyai maksimum relatif pada c dengan memperlihatkan bahwa untuk semua x di dalam (a, b)

  Bukti:

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].

  dan dipenuhi untuk semua x di dalam

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c].

  &lt; − x f c f atau ) ( ) ( x f c f

  Jadi ) ( ) ( &gt; − c f x f atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam

  

′

f karena f ′ positif dimana-mana pada interval (c, b).

  &gt; dan c x ) ( &gt; ξ

  &gt; − c x karena

  ξ ′ − = − f c x c f x f

  atau ) ( ) ( ) ( ) (

  = − − f c x c f x f

  ) ( ) ( ) ( ξ ′

  Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga

  dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (a, c).

  

&lt;

  Jadi ) ( ) (

  

′

f karena f ′ negatif dimana-mana pada interval (a, c).

  &gt; − x c karena x c &gt; dan ) ( &lt; ξ

  ′ − = − f x c x f c f

  atau ) ( ) ( ) ( ) ( ξ

  − f x c x f c f

  ) ( ) ( ) ( ξ ′ = −

  di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga

  ξ

  Jadi terdapat suatu titik

  ≥

  b) Akan dibuktikan bahwa f mempunyai minimum relatif pada c dengan memperlihatkan bahwa untuk semua x di dalam (a, b) ) ( ) ( x f c f

  Jadi berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b). ) ( ) ( c f x f &lt;

• Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].

  ) ( ) ( c f x f &gt; Jadi f ( x ) &gt; f ( c ) berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b).