Ogive (Poligon Frekuensi Kumulatif)

MINITAB: Graph -> Histogram

Pie Chart

MINITAB: Graph -> Pie Chart

Pie Chart Pemilih

Bar Chart

C (1500, 35.5%)

B ( 500, 11.8%)

MINITAB: Graph ->

A ( 350, 8.3%)

Chart

E ( 680, 16.1%)

D (1200, 28.4%)

Stem-and-leaf

MINITAB: Graph -> Character Graph -> Stem-and-leaf

ili h m 1000

Char ac t er St em- and- Leaf Di s pl ay

Ukuran Lokasi pada data tak

terkelompok

St em- and- l eaf of Hr gTanah

N = 50

Leaf Uni t = 10

Mean = rata-rata hitung = rata-rata

µ = rata-rata populasi, = rata-rata sampel X

Median = nilai tengah dari data yang diurutkan

Mode = nilai yang paling sering terjadi pada suatu data

Persentil = ukuran lokasi yang membagi sekelompok ( 18) 9 000000345555556779

data menjadi 100 bagian

8 11 0000 Quartil = ukuran lokasi yang membagi sekelompok data

menjadi 4 bagian atau subkelompok

Ukuran Lokasi pada data tak Ukuran Variabilitas pada data tak terkelompok (lanjutan)

terkelompok

Mencari persentil ke p:

Range = maksimum – minimum

- Urutkan n data dari kecil ke besar

Interquartile range = Q 3 –Q 1

- Hitung lokasi persentil i = (p/100) * n Q 3 = persentil ke 75, Q 1 = persentil ke 25 - Jika i = bil bulat, maka persentil ke p

MAD = ∑ X − adalah (bil ke i + bil ke i+1) / 2 µ Deviasi absolut rata-rata

- Jika i bukan bil bulat, maka persentil ke p adalah bil ke int(i) + 1 Varians populasi

Ukuran Variabilitas pada data tak Ukuran Variabilitas pada data tak terkelompok (lanjutan)

terkelompok (lanjutan)

Varians sampel:

Deviasi Standar Populasi

Deviasi Standar Sampel

Catatan: N = ukuran populasi, n = ukuran

sampel

Note: Koefisien Variasi

CV = 100 %

Ukuran Lokasi pada data Ukuran Variabilitas pada data terkelompok

terkelompok

Rata-rata Varians populasi dan deviasi standar populasi fM µ 2

grouped = ∑ fM = ∑ fM

f ( M − µ ) 2 fM 2 − ( Σ N )

f = frekuensi kelas Varians sampel dan deviasi standar sampel N = frekuensi total

f ( M − X ) 2 2 Σ 2 2 fM − ( fM

Ukuran Bentuk Ukuran Bentuk (lanjutan)

Skewness Kurtosis (peakedness of a distribution)

Median Mode

simetris Negatively skewed

Positively skewed

Distr. Platikurtis

Distr. Mesokurtis

Distr. Leptokurtis

(datar dan menyebar)

(normal)

(tinggi dan tipis)

Probabilitas

P(A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A

terjadi

Bagian 2

0 < P(A) < 1 P(A) = 0 artinya A pasti terjadi P(A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi Penentuan nilai probabilitas:

Probabilitas

Metode Klasikal Menggunakan Frekuensi Relatif Kejadian Dengan carai subyektif

Metode Klasikal untuk menentukan Metode Frekuensi Relatif Kejadian Probabilitas

untuk Menentukan Probabilitas

Metode ini menggunakan: Eksperimen, yaitu proses yang menghasilkan outcome, dan

Pada metode ini probabilitas suatu event

Event, yaitu outcome dari suatu ekrperimen

didapat dari banyaknya event tersebut

terjadi di masa lalu, dibagi dengan banyak P ( E ) = e total kesempatan event tersebut terjadi.

N = total banyaknya outcome yang mungkin pada suatu eksperimen

n e = banyaknya outcome di mana event E terjadi Pada metode ini probabilitas dapat ditentukan sebelum

eksperimen dilakukan (a priori)

Probabilitas Subyektif

Struktur Probabilitas

Hanya didasarkan atas perasaan, intuisi, Eksperimen. Contoh: Mencatat kurs US$ terhadap rupiah setiap hari Senin pukul 9 pagi

atau pengetahuan orang yang

selama 12 bulan

menentukan probabilitas Event. Contoh: mendapati kurs US$ terhadap

Meskipun bukan merupakan cara yang rupiah kurang dari 10000 Elementary Event: adalah event yang tidak

ilmiah, namun pendekatan ini dapat saja dapat dipecah lagi menjadi event lain. menghasilkan probabilitas yang cukup

Ruang sampel (sample space): adalah daftar akurat

atau tabel lengkap yang memuat semua elementary event pada suatu eksperimen.

Struktur Probabilitas (lanjutan) Struktur Probabilitas (lanjutan)

Union = “atau” = gabungan. Simbol: U. Contoh Ruang Sampel:

Intersection = “dan” = irisan. Simbol: ∩. Wawancara dengan pertanyaan jenis

Contoh: Jika diketahui X = {1, 4, 7, 9} dan Y = penanaman modal (PMA atau PMDN),

{2, 3, 4, 5, 6}, maka

maka ruang sampelnya adalah: XUY = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

X ∩Y = {4}

Utk 1 responden: {PMA, PMDN}

Utk 2 responden: {PMA-PMA, PMA-PMDN, PMDN-PMA, PMDN-PMDN}

XUY

X ∩Y

Struktur Probabilitas (lanjutan) Struktur Probabilitas (lanjutan)

Mutually Exclusive Events: adalah kejadian- Independent Events: adalah kejadian-kejadian kejadian yang tidak mempunyai irisan. Artinya,

satu sama lain tidak saling mempengaruhi. kejadian yang satu meniadakan kejadian yang

Artinya, terjadi atau tidak terjadinya satu lainnya; kedua kejadian tidak dapat terjadi X ∩Y

kejadian tidak mempengaruhi terjadi atau tidak X ∩Y secara simultan. Jadi:

terjadinya kejadian yang lainnya. Jadi: P(X|Y) = P(X) dan P(Y|X) = P(Y)

P(X ∩Y) = 0 apabila X dan Y adalah kejadian independen.

apabila X dan Y mutually exclusive. P(X|Y) artinya probabilitas bahwa X terjadi apabila diketahui Y telah terjadi.

Struktur Probabilitas (lanjutan)

Aturan hitungan mn

Collectively Exhaustive Events: adalah daftar semua kejadian elementer (elementary events) yang mungkin

Untuk suatu operasi yang dapat dilakukan

terjadi pada sebuah eksperimen. Jadi sebuah ruang

dengan m cara dan operasi ke dua yang

sampel selalu terdiri atas Collectively Exhaustive Events.

dapat dilakukan dengan n cara, maka

Komplemen dari kejadian A, diberi notasi A’ yang artinya “bukan A” adalah semua kejadian elementer pada suatu

kedua operasi dapat terjadi dalam mn

eksperimen yang bukan A. Jadi: P(A)+P(A’) = 1

cara. Aturan ini dapat dikembangkan

untuk tiga atau lebih operasi.

A’ A

Pengambilan Sampel dari Suatu

Marginal, Union, Joint, and

Populasi

Conditional Probabilities

Pengambilan sampel berukuran n dari dari Marginal Probability: P(A) = probabilitas bahwa populasi berukuran N dengan penggantian (with

A terjadi

replacement) akan menghasilkan N n kemungkinan

Union Probability: P(AUB) = probabilitas bahwa

A atau B terjadi

Joint Probability: P(AB) = P(A ∩B) = probabilitas (without replacement) akan menghasilkan

Pengambilan sampel berukuran n dari dari populasi berukuran N tanpa penggantian

bahwa A dan B terjadi

C N ! n = ⎜⎜ n ⎟⎟ =

Conditional Probability: P(A|B) = probabilitas

n ! ( N − n )!

bahwa A terjadi apabila diketahui B telah terjadi

kemungkinan

Aturan Perjumlahan

Aturan Perkalian

Aturan Umum Perjumlahan:

Aturan Umum Perkalian:

P(X ∩Y) = P(X) * P(Y|X) = P(Y) * P(X|Y) P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X ∩Y)

Aturan Khusus Perkalian:

Aturan Khusus Perjumlahan: Apabila X dan Y adalah kejadian yang

Apabila X dan Y adalah kejadian yang mutually exclusive, maka

independen, maka

P(XUY) = P(X) * P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y)

Aturan untuk Probabilitas Bersyarat Contoh Soal tentang Probabilitas (Conditional Probability)

Di sebuah kota, diketahui bahwa:

41% penduduk mempunyai sepeda motor Probabilitas bahwa X terjadi apabila

19% mempunyai sepeda motor dan mempunyai mobil

diketahui Y telah terjadi

22% mempunyai mobil

Apakah kepemilikan sepeda motor dan kepemilikan mobil di kota tersebut independen? Gunakan data di atas untuk menjawabnya.

Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak berapa

probabilitas bahwa ia memiliki sepeda motor dan tidak memiliki

P mobil? ( Y ) P ( Y )

Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak dan diketahui ia memiliki mobil, berapa probabilitas bahwa ia tidak memiliki sepeda motor?

Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak, berapakah probabilitas bahwa ia tidak memiliki sepeda motor dan tidak memiliki mobil?

Jawab

Contoh Soal tentang Probabilitas

0.22 0.19 0.03 0.56 Hasil sebuah survai yang menanyakan “Apakah Anda mempunyai komputer dan/atau kalkulator

di rumah?” adalah sebagai berikut. Apakah S = memiliki sepeda motor; M = memiliki mobil

kepemilikan kalkulator dan kepemilikan P(S) = 0.41, P(SM) = 0.19, P(M) = 0.22.

komputer independen?

Karena P(S)P(M) ≠ P(SM), maka kepemilikan sepeda Kalkulator motor dan kepemilikan mobil tidak independen.

Tdk P(S’|M) = P(S’M) / P(M) = 0.03 / 0.22 = 0.1364

dengan diagram Venn didapatkan P(SM’) = 0.22.

46 3 P(S’M’) = 0.56 (dari diagram Venn)

Jawab

A = memiliki komputer; B = memiliki kalkulator

Komputer Ya

Tdk

11 15 26 Bagian 3

P(A) = 49 = 0.653

75 P(B) = 57 = 0.76

Variabel Acak Diskret

P(AB) = 46 = 0.613 75 P(A) * P(B) = 0 . 653 * 0 . 76 = 0.49628 ≠ P(AB)

→ A dan B tidak independen

Variabel Acak (X)

Variabel Acak Diskret

Variabel acak diskret: X hanya mempunyai sejumlah terbatas nilai

Variabel acak kontinu: X dapat mempunyai tak hingga nilai

Deviasi Standar

P (X ) =1

∫ f ( dx x ) − =1 ∞

Distribusi Binomial Distribusi Binomial (lanjutan)

Distribusi Binomial

X ! ( n − X )!

n = # trials X = # sukses p = probabilitas sukses pada satu trial q = 1 - p = probabilitas gagal pada satu trial

Rata-rata Distribusi Binomial

Deviasi Standar Distribusi Binomial

Terjadi pada: eksperimen yang terdiri atas n trials, dengan setiap trial mempunyai probabilitas sukses p (konstan)

MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Binomial

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson:

X = 0, 1, 2, ….

λ = rata-rata e = 2.718282 Rata-rata Distribusi Poisson µ = λ

Deviasi standar Distribusi Poisson σ = √λ Distribusi Poisson merepresentasikan kejadian yang

amat jarang. X = banyaknya kejadian tersebut terjadi pada suatu waktu atau area

MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Poisson

Distribusi Normal dan Normal Standar

Distribusi Normal (=Gauss)

Parameter: µ = rata-rata, dan σ = deviasi standar

Bagian 4 f(x)

Variabel Acak Kontinu

Distribusi Normal dan Normal Pilihan Distribusi Probabilitas di Standar (lanjutan)

dalam MINTAB

Distribusi Normal Standar = distribusi normal untuk µ = 0 dan

σ = 1. Konversi dari X yang terdistribusi normal ke Z Calc -> Probability Distribution -> [nama

yang terdistribusi normal standar:

distribusinya, misalnya Normal].

Ada 3 Pilihan:

Probability Density Cumulative Probability

MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Normal

Inverse Cumulative Probabilty

Probability Density

Cumulative Probability

f(x)

f(input) = output (untuk kontinu)

P(X < input) = output

P(X = input) = output (untuk diskret) output

Contoh Soal Distribusi Kontinu Inverse Cumulative Probabilty

Contoh: Diketahui X terdistribusi normal dengan rata-rata 120 dan deviasi standar 15. Carilah x agar P(X>x) = 5%.

f(x)

P(X < output) = input

intput

output

Ans: x = 144.6728

Contoh Pendekatan Normal untuk Pendekatan Normal untuk Binomial

Binomial

Binomial: diskret, parameter n dan p Untuk X yang terdistribusi bimonial Normal: kontinu, parameter µ dan σ

dengan n = 80 dan p = 0.3, carilah Untuk n besar, distribusi binomial akan

P(X=24)

menyerupai distribusi normal. Jadi untuk masalah binomial dengan n besar, dapat

P(X>30)

didekati dengan distribusi normal

P(30<X<34)

Ingat:

P(X<33)

Untuk diskret: P(X=x) = ada nilai Untuk kontinu: P(X=x) = 0

Jawab:

P ( X > 30 ) = P ( X > 30 . 5 ) = P ( Z > 30 . 5 − 24 Untuk distribusi bimonial: )

Rata-rata = µ = np = 80*0.3 = 24

= P(Z > 1.5858 )

Deviasi Standar = = 4.0988 σ = n * p * q = 0 . 5 − 0 . 4441 = 0.0559 Rata-rata dan deviasi standar tersebut

diskret

kontinu

koreksi kontinuitas

digunakan sebagai parameter distribusi normal P ( 30 < X ≤ 34 ) = P ( 30 . 5 < X < 34 . 5 ) = P ( 30 . 5 − 24 < Z < 34 . 5 − 24 )

P ( X = 24 ) = P ( 23 . 5 < X < 24 . 5 ) = P ( 4 . 0988 < Z < 4 . 0988 )

= P(1.5858 < Z < 2.5617 )

= P(-0.122 < Z < 0 . 122 )

diskret kontinu

koreksi kontinuitas

P ( X ≤ 33 ) = P ( X < 33 . 5 ) = P ( Z < 33 . 5 − 24 )

koreksi kontinuitas

Cek dengan rumus Binomial:

= P(Z < 2.3177 )

koreksi kontinuitas

Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial (lanjutan)

− λ f x ( x ) = λ e Adalah distribusi kontinu Adalah kelompok distribusi dengan parameter = λ yang dengan x ≥ 0 terjadi pada X = 0 Mempunyai ekor di sebelah kanan

λ > 0 Nilai x mulai dari nol sampai tak hingga Puncaknya selalu ada di X = 0

e = 2 . 71828 ...

Kurvanya selalu mengecil untuk X yang membesar Menunjukkan distribusi probabilitas untuk waktu antara

kejadian acak Rata-rata dan deviasi standarnya:

dan σ =

Contoh Soal Distribusi

Distribusi Eksponensial (lanjutan)

Eksponensial

f(X) Di restoran sebuah kota kecil kedatangan pelanggan dapat dianggap terdistribusi Poisson λ

− λ x 0 P dengan rata-rata 3.2 pelanggan per 30 menit. ( X ≥ x

0 ) = e Berapa menit waktu rata-rata antar kedatangan

pelanggan di restoran tersebut? Berapa probabilitas bahwa antar kedatangan

pelanggan ada selang 1 jam atau kurang? Berapa probabilitas bahwa dua pelanggan datang

dengan selang waktu kedatangan 15 menit atau lebih?

Jawab

µ = 1/3.2 = 0.313. Jadi rata-rata 0.313*30 menit = 9.39 menit waktu antar kedatangan pelanggan

Bagian 5

1 jam = 2 interval, yaitu 2 * 30 menit. Jadi x = 2. P(X>2) = 1-exp( -3.2*2) = 0.998

Sampling dan Distribusi

15 menit = 0.5 interval. Jadi x = 0.5.

Sampling

P(X>0.5) = exp( -3.2*0.5) = 0.202

Sampling (pengambilan sampel)

Random Sampling

Dapat menghemat biaya

Simple random sampling

Dapat menghemat waktu Untuk sumberdaya yang terbatas, pengambilan

Stratified random sampling

sampel dapat memperluas cakupan studi

Systematic random sampling

Bila proses riset bersifat destruktif, pengambilan sampel dapat menghemat produk

Cluster random sampling

Apabila akses ke seluruh populasi tidak dapat dilakukan, pengambilan sampel adalah satu- satunya pilihan

Sampling Distribution (distribusi sampling)

Nonrandom Sampling

untuk Rata-rata Sampel

Sampel

Convenience sampling

Populasi

Ukuran sampel = n

Judgement sampling

Rata-rata sampel =

Quota sampling

Rata-rata = µ

Deviasi standar = σ

Sampel

Ukuran sampel = n

Rata-rata sampel =

X Jadi X Variabel acak

Teorema Limit Tengah untuk Rata-

Sampling Distribution (distribusi sampling)

rata untuk Proporsi Sampel

Sampel

Apabila sampel berukuran n besar (>30) diambil dari

populasi yang mempunyai rata-rata µ dan deviasi standar

Populasi

Proporsi =

σ, maka rata-rata sampel X akan terdistribusi normal

Ukuran sampel = n

dengan rata-rata µ dan deviasi standar σ/√n

Proporsi = P

Khusus: apabila populasinya terdistribusi normal, maka n pada teorema di atas tidak harus besar. Jadi

X Sampel − Z =

Sampel

σ Λ Proporsi =

adalah normal standar

Proporsi =

n Ukuran sampel = n

pˆ Ukuran sampel = n

Variabel acak

Teorema Limit Tengah untuk Proporsi

Apabila sampel berukuran n diambil dari populasi yang proporsinya P, dengan n*P > 5 dan n*Q > 5, Λ maka proporsi sampel p akan terdistribusi

Bagian 6

normal dengan rata-rata P dan deviasi standar √(P*Q/n). Jadi

Estimasi untuk Populasi P * Q

adalah Normal standar

Tunggal

Statistika Inferensial Estimasi Interval untuk µ

Selang kepercayaan

Populasi

100(1- α)% untuk µ

pada sampel besar:

Sampel

Artinya: P X − Z ⎜⎜ σ α ≤ µ ≤ X + Z σ

⎟⎟ = 100 ( 1 − α ⎝ )% 2 n ⎠

Distribusi Normal Standar Simpulkan (estimasi) tentang parameter

mendapatkan statistik

Note: apabila σ 2 1- tidak diketahui α 2 dapat digantikan

dengan s Z Estimasi: Estimasi titik, estimasi interval, uji hipotesa

Estimasi Interval untuk µ (lanjutan) Estimasi Interval untuk µ (lanjutan)

MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1-sample z

Output MINITAB:

Conf i denc e I nt er v al s

The as s umed s i gma = 120 Var i abl e N Mean St Dev

SE Mean 95. 0 % CI

Hr gTanah

Estimasi Interval untuk µ, sampel kecil.

Estimasi Interval untuk µ sampel

Asumsi: Populasi terdistribusi Normal

kecil (lanjutan)

Selang kepercayaan

X ± t MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1-sample t 100(1- α)% untuk µ

2 , n − pada sampel kecil: 1 n

Artinya: ⎜⎜ , n − 1 n

2 2 , n − 1 n ⎟⎟ ⎠

distribusi t dengan df = n-1

1- α

Estimasi Interval untuk µ sampel

Estimasi Interval untuk P

kecil (lanjutan) Syarat: nP>5 dan nQ>5

Output MINITAB: Populasi

Sampel

Conf i denc e I nt er v al s

Proporsi = P

Ukuran = n

(akan diestimasi)

proporsi pˆ

Var i abl e N Mean St Dev

SE Mean 95. 0 % CI

Hr gTanah 15 952. 7 243. 4 62. 8 ( 817. 9, 1087. 5)

Selang kepercayaan

100(1- α α)% untuk P

Estimasi Interval untuk Varians Estimasi Interval untuk Varians Populasi 2 Populasi σ 2 σ

Syarat:

Selang kepercayaan 100(1- α)% untuk varians populasi σ 2 -

Populasi terdistribusi Normal -

Sampel besar

2 2 ⎟ Varians Populasi = ⎞ σ Ukuran = n

P ⎜ ( n − 1 ) S ≤ σ 2 ( n − 1 ) Varians sampel S 2 ≤ 2 ⎟ = 100 ( 1 − α

(akan diestimasi)

=S 2 χ

Estimasi Interval untuk Varians Estimasi Interval untuk Varians Populasi 2 σ (lanjutan)

Populasi 2 σ (lanjutan)

Distribusi χ 2 Contoh distribusi χ 2 untuk df = 34 dan α = 0.05

f () χ

MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Chisquare

2 1- 2 α 0 χ 2 α

χ 2 1 2 −n − α

1 2 , n − 1 χ dengan derajat bebas = n-1

Estimasi Interval untuk Varians

Ukuran Sampel dalam

Populasi 2 σ (lanjutan) Mengestimasi Rata-rata Populasi µ

f () χ 2

Dalam mengestimasi rata-rata populasi µ, ukuran sampel minimum untuk suatu α dan E yang ditetapkan, adalah

E = galat estimasi = error of estimation =

0 σ = deviasi standar populasi,

χ 2 0 2 . 975 , 34 χ 2 0 . 025 , 34 χ dengan derajat

= range/4 apabila tidak diketahui

α = taraf keterandalan 100(1 – α)% = tingkat keyakinan = level of confidence

Contoh

Jawab

Seorang manajer bank ingin menentukan rata-

X = besarnya deposito bulanan nasabah, rata deposito bulanan per nasabah di bank

dinyatakan dalam juta rupiah

tersebut. Untuk itu ia akan mengestimasi dengan menggunakan selang kepercayaan. σ = 1000 Berapa ukuran sampel yang harus ia ambil

Tingkat keyakinan 99% → α = 0.01 dan α/2 = apabila ia ingin yakin 99% dan kesalahannya

0.005, sehingga z α/2 =z 0.005 = 2.5758 tidak lebih dari 200 juta rupiah. Ia asumsikan

E = 200

bahwa deviasi standar untuk deposito bulanan semua nasabah adalah 1 milyar rupiah

Ukuran sampel minimum

n = ⎛ α / 2 σ ⎞ = ⎛ 2 . 5758 * 1000 ⎜ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = 165 . 87 = 166

Ukuran Sampel dalam

Contoh

Mengestimasi Proporsi Populasi p

Dalam mengestimasi proporsi populasi p, ukuran sampel Seseorang ingin menyelidiki berapa proporsi minimum untuk suatu α dan E yang ditetapkan, adalah

sekretaris di seluruh perkantoran di Bandung

n = α / 2 pq

yang diperlengkapi dengan komputer di ruang

E 2 kerjanya. Ia akan menjawab pertanyaan ini

dengan dengan melakukan survai acak. Berapa ukuran

sampel yang harus ia ambil apabila ia ingin p = proporsi populasi,

E = galat estimasi = error of estimation = p ˆ − p

yakin 95% dan galat pada selang kepercayaan = 0.5 apabila tidak diketahui (agar n maksimum)

q=1-p tidak dapat lebih dari 0.05? Anggap bahwa

α = taraf keterandalan proporsi aktual tidak diketahui sebelumnya. 100(1 – α)% = tingkat keyakinan = level of confidence

Jawab

p = proporsi sekretaris di seluruh perkantoran di Bandung yang diperlengkapi dengan komputer di ruang kerjanya

Bagian 7

Karena p tidak diketahui, asumsikan nilainya 0.5

q = 1 – p = 0.5 Tingkat keyakinan 95% → α = 0.05 dan α/2 = 0.025,

sehingga z α/2 =z 0.025 = 1.96

Uji Hipotesa untuk Populasi

E = 0.05

Ukuran sampel minimum

Tunggal

2 = 384 . 16 = E 385 0 . 05

z 2 α 2 / 2 pq 1.96 * 0 . 5 * 0 . 5

Beberapa Uji Hipotesis pada Uji Hipotesis

Statistika Parametrik

Hipotesis Riset:

Uji z 1 sampel: mengestimasi rata-rata populasi dengan menyatakan hubungan

H 0 benar

H 0 salah

menggunakan sampel besar

Uji t 1 sampel: mengestimasi rata-rata populasi dengan Hipotesa nol (H 0 ) vs

menggunakan sampel kecil pada populasi yang terdistribusi normal Hipotesa alternatif (H 1 =

Uji t 2 sampel: mengestimasi perbedaan rata-rata 2 populasi H a )

terdistribusi normal independen dengan menggunakan sampel kecil pada populasi yang Galat (error) tipe I, galat

Pertahank

Keputusan

Galat Tipe

an H 0 benar

II (

Anova 1 arah (completely randomized design): mempelajari apakah tipe II, dan power

Tolak H 0 Galat Tipe

Keputusan

rata-rata c populasi semuanya sama, atau ada yang berbeda

I( α)

benar

Anova 2 arah (factorial design):

(power)

mempelajari apakah rata-rata c populasi semuanya sama, atau ada yang berbeda mempelajari apakah rata-rata r populasi semuanya sama, atau ada yang berbeda

R = Rejection Region. Apabila statistik uji (test statistic)

mempelajari apakah efek interaksi ada atau tidak ada

ada di daerah ini, maka tolak H 0 . Bila tidak, maka

pertahankan H 0.

Beberapa Uji Hipotesis pada Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi

dengan menggunakan Sampel Besar, Uji

Statistika Nonparametrik

z 1 sampel

Uji U Mann-Whitney: membandingkan dua

Statistik uji

populasi independen

Uji peringkat bertanda Wilcoxon:

membandingkan dua populasi yang related Uji K Kruskal-Wallis: menguji apakah c populasi

H 0 :µ=µ 0 vs H 1 :µ>µ 0

identik atau berbeda pada completely random

Distribusi Normal Standar

design

R: Z > Z α

Uji Friedman: menguji apakah c populasi identik atau berbeda, pada randomized block design

1- α

Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Besar, Uji

dengan menggunakan Sampel Besar, Uji z 1 sampel (lanjutan)

z 1 sampel (lanjutan)

H 0 :µ=µ 0 vs H 1 :µ<µ 0 H 0 :µ=µ 0 vs H 1 :µ ≠µ 0

Distribusi Normal Standar

R: Z < -Z α

Distribusi Normal Standar

2 1- α

1- α

Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Besar, Uji

dengan menggunakan Sampel Besar, Uji z 1 sampel (lanjutan)

z 1 sampel (lanjutan)

Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value),

Distribusi

berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif: Normal Standar Tolak H 0 jika p < α

Nilai p

Untuk kasus: H 1 :µ<µ 0

Distribusi Normal Standar

Nilai p

Untuk kasus:

H a :µ>µ 0 Untuk kasus:

H 1 :µ ≠µ 0

0 Z Z -Z 0 Z

Jumlahnya = nilai p

Contoh Aplikasi Uji Z 1 sampel 10. 5 Data

Sebuah laporan menyebutkan bahwa rata-

rata penjualan harian di restoran A tidak 8. 0

melebihi 10 juta rupiah. Untuk menguji 9. 5

apakah hal ini benar, maka 9. 5

dikumpulkanlah data penjualan di restoran 10. 5

A selama 30 hari (dalam juta rupiah).

Gunakanlah taraf keterandalan 9. 8 α = 5%.

Kesimpulan apakah yang dapat ditarik?

MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1-sample Z Note: Hitung dahulu deviasi standar sampel, S

Output MINITAB

Z- Tes t Tes t of mu = 10. 000 v s mu < 10. 000

The as s umed s i gma = 1. 71 Var i abl e N Mean St Dev

SE Mean Z P

Mas uk

30 9. 373 1. 715 0. 313 - 2. 00 0. 023 • Dengan metode nilai p: terlihat bahwa nilai p = 0.023 < α=

0.05. Jadi, tolak H 0 . Artinya: rata-rata penjualan di restoran A

tidak melebihi 10 juta rupiah. • Dengan metode nilai kritis: Z = -2.00 berada di R, yaitu Z < -

1.645. Kesimpulan: tolak H 0 . Artinya: rata-rata penjualan di

restoran A tidak melebihi 10 juta rupiah.

Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1

menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1 sampel. sampel. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal

Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan)

X − µ Statistik uji

H 0 :µ=µ 0 vs H 1 :µ<µ 0

Distribusi t dengan derajat bebas = n-1

H 0 :µ=µ 0 vs H 1 :µ>µ 0 R: t < -t α

Distribusi t dengan derajat bebas = n-1

Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1 sampel.

menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1 sampel. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan)

Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan) H 0 :µ=µ 0 vs H 1 :µ ≠µ 0 Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value),

Distribusi t dengan

berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif:

derajat bebas = n-1

Tolak H 0 jika p < α

Distribusi t dengan derajat bebas = n-1

α 2 1- α

Untuk kasus: − t α

Nilai p

H 1 :µ>µ 0

Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1 sampel.

Contoh Aplikasi Uji t 1 sampel

Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan)

Distribusi t dengan derajat bebas = n-1

Majalah A menyebutkan bahwa rata-rata usia

Nilai p

Untuk kasus:

direktur utama bank di sebuah kota 41 tahun.

H 1 :µ<µ 0 Untuk menguji apakah hal ini benar, maka dikumpulkanlah data acak dari 11 direktur utama

bank di kota tersebut. Asumsikan bahwa usia

Distribusi t dengan derajat bebas = n-1

direktur utama bank di kota tersebut terdistribusi normal. Gunakanlah taraf keterandalan α = 5%. Kesimpulan apakah yang dapat ditarik?

Untuk kasus:

MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1 Sample t

Jumlahnya = nilai p

Output MINITAB

T- Tes t of t he Mean Tes t of mu = 41. 00 v s mu not = 41. 00 Var i abl e N Mean St Dev

SE Mean T P

Us i a

11 45. 00 7. 07 2. 13 1. 88 0. 090 • Dengan metode nilai p: terlihat bahwa nilai p = 0.090 > α=

0.05. Jadi, pertahankan H 0 . Artinya: data yang ada mendukung pernyataan bahwa rata-rata usia direktur bank di kota tersebut

41 tahun. • Dengan metode nilai kritis: t = 1.88 berada di luar R, yaitu |t| <

2.2281. Kesimpulan: pertahankan H 0 (sama dengan kesimpulan

di atas).

Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. nP>5 dan nQ>5

nP>5 dan nQ>5 (lanjutan)

Statistik uji 0 Z =

0 0 :P=P 0 vs H 1 :P<P 0

n H 0 :P=P vs H :P>P

0 R: Z < -Z 1 0 α

Distribusi Normal Standar

R: Z > Z α

1- α

Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi. nP>5 dan nQ>5 (lanjutan)

nP>5 dan nQ>5 (lanjutan)

H 0 :P=P 0 vs H 1 :P ≠P 0 Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value),

berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif:

Distribusi Normal Standar

Tolak H 0 jika p < α

Distribusi Normal Standar α

2 1- α

Untuk kasus: − Z α

Nilai p

1 :P>P 0

Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi.

Contoh Uji Hipotesis Tentang

nP>5 dan nQ>5 (lanjutan)

Proporsi Populasi

Distribusi Normal Standar

Untuk menyelidiki kebenaran apakah manajer

Nilai p

Untuk kasus:

restoran yang wanita di sebuah kota kurang dari

H 1 :P<P 0 30%, seseorang mengumpulkan data dari 20 restoran di kota tersebut yang diambil secara

acak. Hasilnya: ada 5 restoran yang manajernya

Distribusi

Normal Standar

wanita, sisanya mempunyai manajer pria. Apa kesimpulan dari data tersebut, apabila α yang

Untuk kasus:

Jumlahnya = nilai p

Jawab

Uji Hipotesis tentang Varians Populasi.

Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal

0 : P = 0.30 vs H 1 : P < 0.30 ˆ

p = 20 = 0 . 25

Statistik uji

Z = 0 . 25 − 0 . 30

= 2 − 0 . 488 H 0 : σ = σ 2 0 vs H 1 : σ 2 < σ 2 0

0 . 30 * 0 . 70 Distribusi Normal

f () χ 2

R: Z < -1.645

Standar

Z di luar R,

jadi terima H 0 . Artinya, tidak benar

0.05 bahwa manajer

restoran yang

1- α

wanita di kota

tesrsebut kurang

dari 30% -1.645

χ 2 1 −n α , − 1 χ dengan derajat bebas = n-1

Uji Hipotesis tentang Varians Populasi. Uji Hipotesis tentang Varians Populasi. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal

Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan)

(lanjutan)

H 0 : σ 2 = σ 2 0 vs H 1 : σ 2 > σ 2 0 2 H 0 : σ 2 = σ 0 vs H 1 : σ 2 ≠σ 2 0

f () χ 2

1- α

2 1- α

2 χ 2 dengan derajat 0 χ χ 2 α ,− n 1 1 −n α , − 1 χ 2 χ α 2 , n − 1 dengan derajat

bebas = n-1

2 2 bebas = n-1

Contoh Uji Hipotesis Tentang

Varians Populasi

103 Spesifikasi mesin pemotong menyebutkan

bahwa deviasi standar hasil potongan

kurang dari 6 mm. Untuk menguji hal ini, 99

dikumpulkan 30 hasil potongan mesin

tersebut. Dengan menggunakan

kesimpulan apakah yang dapat ditarik dari

data tersebut.

Jawab

N = 30 S = 3.82 (Stat -> Basic Statistic -> Descriptive Statistics)

H 0 : σ 2 = 36 vs H 1 : σ 2 < 36

Bagian 8

Untuk df = 29 dan α = 0.10, χ 2 0.90,29 = 19.7677 (Calc ->

Probability Distribution -> Chisquare) R: χ 2 < χ 2 0.90,29 = 19.7677

Statistika Inferensi untuk Dua

Statistik uji:

Populasi

Karena 11.7550 < 19.7677, maka tolak H 0 . Artinya, benar

bahwa deviasi standar hasil potong mesin tersebut kurang dari 6 mm.

Statistika Inferensi Tentang Rata- Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2

Populasi Independen dengan menggunakan

rata Dua Populasi Independen

Sampel Besar

Populasi 1

Z = X 1 − X 2 − ( µ 1 − µ 2 ) 2 Catatan: Bila deviasi 2 standar populasi σ

Sampel 1

Statistik uji

1 σ 1 + σ 2 tidak ada, dapat digantikan dengan

Ukuran = n (besar)

deviasi standar (tidak diketahui)

Rata-rata = µ

1 Rata-rata = Deviasi Standar = S X 1 n 1 n 2

sampel S

Distribusi Normal Standar 2 >µ independen 0

Ukuran = n (besar)

(tidak diketahui)

Deviasi Standar = S 2

Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Independen dengan menggunakan

Populasi Independen dengan menggunakan Sampel Besar (lanjutan)

Sampel Besar (lanjutan)

H 0 :µ 1 –µ 2 =µ 0 vs H 1 :µ 1 –µ 2 <µ 0 H 0 :µ 1 –µ 2 =µ 0 vs H 1 :µ 1 –µ 2 ≠µ 0

Distribusi Normal Standar

R: Z < -Z α

Distribusi Normal Standar

1- α

Catatan: sebagai alternatif, metode nilai p juga

dapat digunakan

Selang Kepercayaan 100(1- α)% Perbedaan Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2

Rata-rata 2 Populasi Independen µ 1 –µ 2 Populasi Independen dengan menggunakan dengan menggunakan Sampel Besar

Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi ⎡

Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama ⎢ ( X 1 − X 2 ) ± Z

2 Statistik uji

S Artinya: 1 + 1

S = pooled standard deviation

Catatan: Bila deviasi standar populasi σ tidak ada, dapat

digantikan dengan deviasi standar sampel S

Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Independen dengan menggunakan Sampel Kecil.

Populasi Independen dengan menggunakan Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan

Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan)

terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan)

H 0 :µ 1 –µ 2 =µ 0 vs H 1 :µ 1 –µ 2 >µ 0

H 0 :µ 1 –µ 2 =µ 0 vs H 1 :µ 1 –µ 2 <µ 0

Distribusi t, df = n 1 +n 2 -2

R: t < -t

Distribusi t, df = n 1 +n 2 -2

Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Selang Kepercayaan 100(1- α)% Perbedaan Rata-rata 2 Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi:

Populasi Independen µ 1 –µ 2 dengan menggunakan Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar

Sampel Kecil. Asumsi: Kedua populasi terdistribusi normal kedua populasi sama (lanjutan)

dan deviasi standarnya sama

H 0 :µ 1 –µ 2 =µ 0 vs H 1 :µ 1 –µ 2 ≠µ 0 ⎛ ⎜

Derajat bebas t adalah

Distribusi t, df = n 1 +n 2 -2

Catatan: sebagai alternatif, metode nilai p juga dapat digunakan

Contoh Uji Hipotesis Perbedaan Rata-rata 2 Row Jakarta Bandung

Populasi dengan menggunakan Sampel 2 7.1 7.9 Data 3 6.8 5.4

Kecil 4 10.2 4.5

6 13.5 6.8 Sebuah laporan menyebutkan bahwa rata-rata

gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih tinggi

dari pada di Bandung. Untuk menyelidiki 9 9.9 7.2 kebenaran hal ini, seorang peneliti 10 10.2 4.5

mengumpulkan data yang diambil secara acak 12 7.7 6.8 di Jakarta dan di Bandung, sebagaimana 13 9.8 6.7

tercantum dalam data berikut (dalam juta

rupiah). Dengan menggunakan taraf 16 6.8 5.8

keterandalan 17 8.9 10.3 α = 5%, kesimpulan apa yang 18 9.4 4.5

dapat ditarik mengenai laporan tersebut di atas. 19 10.5 5.8

Solusi (asumsi: gaji bulanan direktur bank di Solusi (asumsi: gaji bulanan direktur bank di Bandung dan Jakarta terdistribusi normal)

Bandung dan Jakarta tidak terdistribusi normal)

H o :µ J –µ B = 0 vs H 1 :µ J –µ B >0

-> Statistika Nonparametrik

H o : µ J – µ B = 0 vs H 1 : µ J – µ B >0

Two-sample T for j vs b

Mann-Whitney Test and CI: Jakarta, Bandung

N Mean StDev SE Mean j 20 9.12 2.83 0.63

Jakarta N = 20 Median = 9.150

b 25 6.72 1.75 0.35

Bandung

N = 25 Median = 5.800 Point estimate for ETA1-ETA2 is 2.100

Difference = mu j - mu b

95.2 Percent CI for ETA1-ETA2 is (0.899,3.800)

Estimate for difference: 2.395

W = 593.5

95% lower bound for difference: 1.240

Test of ETA1 = ETA2 vs 0.0012

ETA1 > ETA2 is significant at

T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 3.48 P-Value = 0.001 DF = 43

The test is significant at 0.0012 (adjusted for ties)

Both use Pooled StDev = 2.29

Kesimpulan: tolak H : µ – µ = 0. Jadi: laporan bahwa

B o = 0. Jadi: laporan bahwa J B rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih o : µ J – µ tinggi dari pada di Bandung didukung data. rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih

Kesimpulan: tolak H

tinggi dari pada di Bandung didukung data.

Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Contoh Aplikasi. Uji Hipotesis tentang Populasi Terkait (related) dengan menggunakan

Sampel Kecil. Asumsi: Perbedaan tersebut Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Terkait Terdistribusi Normal

(related) dengan menggunakan Sampel

Banyak data: n pairs

Kecil

Sebuah lembaga kursus Bahasa Inggris mengklaim bahwa apabila seseorang mengikuti kursus selama 2 bulan di lembaga tersebut, maka nilai TOEFL orang

Populasi Yang Terkait (related)

Sampel 1

Sampel 2

tersebut akan meningkat sedikitnya 30. Untuk menguji klaim tersebut, 11 orang diukur nilai TOEFL mereka sebelum dan sesudah mengikuti kursus Bahasa Inggris di lembaga tersebut. Data terlampir. Dengan

menggunakan α = 10%, kesimpulan apakah yang dapat ditarik mengenai klaim lembaga tersebut? Asumsikan

“Before”

“After”

Hitung d = perbedaan antara before dan after untuk perbedaan nilai TOEFL seblm dan sesdh kursus setiap pasang data. Selanjutnya, lakukan uji t 1 sampel

terdistribusi normal

dengan data d tersebut.

Data Bef or e Af t er D

550 570 20 7 Gi na 525 555 30 8 Hedi

D = after - before Untuk menghitung D, Calc -> Calculator

MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1 Sample t

Output MINITAB

T- Tes t of t he Mean Tes t of mu = 30. 00 v s mu > 30. 00 Var i abl e N Mean St Dev

SE Mean T P D 12 32. 75 17. 77 5. 13 0. 54 0. 30

Nilai p = 0.30 dan α = 0.10. Ternyata nilai p > α, maka terima H 0 . Kesimpulan: klaim lembaga kursus Bahasa Inggris bahwa setelah kursus peningkatan nilai TOEFL sedikitnya 30, tidak didukung data.

Estimasi Interval untuk d, sampel kecil. Asumsi: Populasi terdistribusi Normal

Selang kepercayaan

100(1- α)% untuk d

, n pada sampel kecil: 1 2 − n

d d Bagian 9

Artinya: P d t

≤ d ≤ d + t α , n − 1 ⎟⎟ = 100 ( 1 n )% n − α

distribusi t dengan df = n-1

Anova

1- α

Anova Satu Arah (One Way Anova) Anova Satu Arah (lanjutan)

Membandingkan C (>2) populasi independen

Populasi 1

Populasi 2

Populasi C

(completely randomized design)

Varians σ 2 Varians σ 2 Varians σ 2

Asumsi:

Rata-rata = µ 1 Rata-rata = µ

2 Rata-rata = µ C

Populasi terdistribusi normal Sampel diambil secara acak dari masing-masing

populasi Varians semua populasi sama H 0 :µ 1 =µ 2 =µ 3 = …… = µ C H 1 : sedikitnya ada 1 rata-rata populasi yang

berbeda Sampel C

Ukuran n

1 2 Ukuran n c

Anova Satu Arah (lanjutan) Contoh Aplikasi Anova Satu Arah

F Untuk mengetahui apakah ada pengaruh

kemasan suatu produk kecantikan terhadap

Treatment (C

MSC = SSC

C − 1 F= MSC

penjualannya, sebuah pabrik alat-alat

kecantikan melakukan pengujian dengan

Error SSE N–C SSE MSE =

membuat 4 macam kemasan, yaitu A, B, C, D. N - C Penjualan selama beberapa bulan (dalam juta

rupiah) untuk masing-masing kemasan dicatat

(terlampir). Dengan menggunakan α = 5%,

∑ kesimpulan apakah yang dapat ditarik?

Catatan :

i i = 1 Derajat bebas F adalah C-1 (pembilang) dan N-C (penyebut)

Data Row Sal e Tr

MINITAB: Stat -> ANOVA -> One Way

Output MINITAB

Dengan Metode Nilai Kritis F α

One- Way Anal y s i s of Var i anc e

Distribusi F

Anal y s i s of Var i anc e f or Sal e

Sour c e DF SS MS F P Tr

f () F bebas = C-1 dan N-C F dengan derajat

Tot al 23 87. 83 Er r or 20 56. 62 2. 83

I ndi v i dual 95% CI s For Mean

R: F > F

Bas ed on Pool ed St Dev

Lev el N Mean St Dev

Pool ed St Dev = 1. 683 8. 0 10. 0 12. 0 14. 0

Dengan metode nilai p:

Nilai p = 0.029, sedangkan α = 0.05, sehingga nilai p < α. Tolak H

Pada contoh ini: F = 3.67 dan F

0.05 = 3.0984 untuk

Artinya sedikitnya ada satu rata-rata penjualan produk kecantikan yang

derajat bebas 3 dan 20. Karena F > F 0.05 , maka

berbeda dengan yang lainnya

tolak H 0 (sama dengan kesimpulan di atas)

Anova Dua Arah (Two Way Anova) Anova Dua Arah (lanjutan)

Membandingkan C (>2) populasi sekaligus Variabel Independen Tunggal membandingkan efek blok (randomized block design) Asumsi: Populasi terdistribusi normal

Sampel diambil secara acak dari masing-masing populasi Varians semua populasi sama

cking

H 0 :µ 1 =µ 2 =µ 3 = …… = µ C H : sedikitnya ada 1 rata-rata treatment yang berbeda

Blo

denga yang lain 1

H 0 :µ 1 =µ 2 =µ 3 = …… = µ R H : sedikitnya ada 1 rata-rata blok yang berbeda

abel

a ri V

dengan yang lain 1

Catatan: Setiap sel hanya berisi satu pengamatan

Anova Dua Arah (lanjutan) Contoh Aplikasi Anova Dua Arah

Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan

Block (R =Row)

R-1 SSR

R − 1 MSE

(warna dan ukuran kemasan) suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat

Treatment (C

MSC

kecantikan melakukan pengujian dengan membuat

kemasan berwarna: merah, kuning, biru, dan hijau

MSE

dengan ukuran kemasan kecil, sedang, dan besar.

Error

(C-1)(R-1) SSE

MSE =

SSE

Banyaknya produk kecantikan yang terjual selama satu

N–1 SST (terlampir). Dengan menggunakan α = 5%, kesimpulan

(C - 1)(R - 1)

minggu untuk masing-masing kemasan dicatat

Jumlah

apakah yang dapat ditarik mengenai pengaruh ukuran kemasan? Kesimpulan apa pula yang dapat ditarik

• N = RC = total banyaknya data yang diamati

mengenai pengaruh warna kemasan?

• Untuk pengujian efek Blok: derajat bebas F adalah R-1 (pembilang) dan (C-1)(R-1) (penyebut) • Untuk pengujian efek Treatment: derajat bebas F adalah C-1 (pembilang) dan (C-1)(R-1) (penyebut)

Data

MINITAB: Stat -> ANOVA -> Two Way

Mer ah Kuni ng Bi r u Hi j au Row NSal e Uk ur an War na

Kec i l

Sedang

Bes ar

Output MINITAB

Topik-topik Lanjut

Two- way Anal y s i s of Var i anc e

Anal y s i s of Var i anc e f or NSal e Sour c e DF SS MS F P Uk ur an

Regresi Linear Sederhana

Regresi Berganda

Er r or 6 9. 50 1. 58

Tot al 11 44. 25

Deret Waktu

Statistika Nonparametrik

Efek Blok (ukuran kemasan): F = 14.25/1.58 = 9.00. F

, kesimpulan: Tolak H 0.05 . Artinya: ada

= 5.1433

untuk df = 2 dan 6. Jadi F > F

pengaruh ukuran terhadap penjualan. 0.05 0 dan lain-lain

Efek Treatment (warna kemasan): F = 2.08/1.58 = 1.32. F

4.7571 untuk df = 3 dan 6. Jadi F < F

, kesimpulan: Pertahankan 0.05

H 0 0.05 . Artinya: tidak ada pengaruh warna kemasan terhadap penjualan

Metode nilai p juga akan menghasilkan kesimpulan yang sama.

Daftar Pustaka

Black, K. 2003. Business Statistics for Contemporary Decision Making. 4 th Ed. West Publishing Co.

Terima kasih

MINITAB, Inc. 2003. Meet MINITAB Release 14 for Windows Lind, D.A. 2002. Basic Statistics for Business and Economics . 4 nd Ed. McGraw-Hill Companies

Ogive (Poligon Frekuensi Kumulatif)