Aplikasi Metode Singular Value Decomposition (SVD) pada Sistem Persamaan Linier Kompleks
APLIKASI METODE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION(SVD)
PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER KOMPLEKS
Fitri Aryani, Dewi Yulianti
Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN SUSKA Riau
Email:
ABSTRAK
Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks AX =B. Koefisienpada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan kompleks.
Metode SVD merupakan suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks A menjadi tiga komponen
Hmatriks USV . Metode SVD dapat digunakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear kompleks
yang konsisten maupun sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten. Solusi yang diperoleh dari
sistem persamaan linear kompleks yang konsisten dengan menggunakan SVD adalah solusi tunggal dan
banyak solusi. Sedangkan, solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten
dengan menggunakan SVD adalah solusi pendekatan terbaik.Katakunci: basis ortonormal, sistem persamaan linear kompleks, Singular Value Decomposition (SVD).
ABSTRACT
Linear Equation System (SPL) into equation of matrix AX = B. Coefficient of linear equation systemthere is which is the in form of real number and there is which is the in form of complex number. Method of
HSVD a method for decomposition matrix A become three component of matrix USV . Method of SVD earn is
used to look for solution from linear equation system complex consistent and also linear equation system
complex not the consistence. While, solution obtained from linear equation system complexnot the
consistence is solution of best approach.Keywords: linear equation system complex, orthonormal base, Singular Value Decomposition (SVD).
PENDAHULUAN baik SPL riil maupun SPL Kompleks [6].
Sistem persamaan linear merupakan Berdasarkan bentuk SPL ada yang konsisten sekumpulan persamaan linear yang terdiri dan ada yang tidak konsisten mempengaruhi dari koefisien dan variabel. Koefisien pada hasil solusi dari SPL tersebut. Metode OBE sistem persamaan linear ada yang berbentuk hanya dapat menyelesaikan SPL yang bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan konsisten. kompleks. Sistem persamaan linear
Metode SVD adalah suatu metode mempunyai beberapa bentuk pemecahan atau yang juga dapat menyelesaikan SPL riil solusi, yaitu solusi tunggal, banyak solusi dan maupun SPL kompleks yang berbentuk tidak ada solusi. konsisten. Tetapi SVD mempunyai kelebihan
Beberapa metode yang dapat yaitu dapat meyelesasikan SPL yang digunakan untuk menyelesaikan sistem berbentuk tidak konsisten, dalam hal ini persamaan linear diantaranya Operasi Baris solusi yang diperoleh adalah solusi Elementer (OBE) dan Singular Value pendekatan terbaik.
Decomposition (SVD). Metode OBE adalah
Metode SVD adalah suatu metode metode yang sangat dasar sekali dalam yang mendekomposisikan suatu matriks menyelesaiakn suatu sistem persamaan linier, menjadi tiga komponen matriks , di mana merupakan matriks uniter berukuran b. adalah matriks yang berukuran
, merupakan matriks yang berukuran yang semua entri di luar diagonalnya yang semua entri di luar
, dan merupakan matriks uniter diagonalnya adalah , dan elemen- berukuran [4]. elemen diagonalnya memenuhi . Metode SVD telah digunakan oleh beberapa peneliti sebelumnya, diantaranya
Semua yang ditentukan adalah menggunakan SVD untuk menentukan invers Moore Penrose dari suatu matriks . Peneliti tunggal dan disebut nilai-nilai selanjutnya menggunakan SVD untuk singular dari matriks . mengurangi noise yang terdapat pada citra c. adalah matriks uniter berukuran digital dengan bantuan DFT (Discrete
Fourier Transform ). Kemudian
. Agar vektor-vektor kolom menggunakan SVD untuk menyelesaikan matriks membentuk himpunan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan riil. ortonormal, maka vektor-vektor eigen dari tersebut
Metode SVD untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Kompleks pada dinormalisasikan, yaitu: tulisan ini dibatasi hanya pada bentuk SPL
. kompleks yang tidak konsisten. Aplikasi metode SVD yang digunakan pada tulisan ini
5. Membentuk basis-basis ortonormal
juga berbentuk contoh-contoh Sistem dan . Persamaan Linier Kompleks yang dibatasi oleh banyak persamaan dengan banyak
6. Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear kompleks.
variabelnya dan banyak persamaan dengan banyak variabelnya .
Bahan-bahan penunjang untuk pembahasan selanjutnya akan dipaparkandi bawah ini
METODE DAN BAHAN
Adapun metodologi penelitian yang
1. Sistem Persamaan Linear
penulis gunakan adalah metode studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut: Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri
1. Diberikan sistem persamaan linear
dari persamaan , dengan kompleks.
2.
variabel , yang dapat disusun Mengubah suatu sistem persamaan linear kompleks ke dalam bentuk dalam bentuk standar persamaan matriks .
3. Mencari nilai eigen dan vektor eigen
dari matriks dengan cara membentuk matriks baru .
4. Mendekomposisikan matriks
menjadi tiga komponen matriks yang mana dan adalah konstanta.
a. adalah matriks uniter berukuran
Huruf adalah koefisiendari variabel . Basis ortonormal dari didefinisikan sebagai [2]: pada persamaan , dan bilangan adalah konstantadari persamaan .
Sistem persamaan linear pada persamaan di atas yang terdiri dari persamaan linear dengan variabel ekuivalen dengan persamaan matriks atau ,yang mana adalah matriks koefisien, adalah vektor kolom dari variabel-variabel, dan adalah vektor kolom dari konstanta.
Definisi 1 : Diketahui matriks
ortogonal jika dan hanya jika
Definisi 3 :Vektor dikatakan
dan , maka hasil kali dalam vektor dan adalah yang mana adalah konjugat dari Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai ortogonal.
5. Ortogonal dan Basis Ortonormal Definisi 2: Diketahui vektor
. Akar nilai eigen positif dari disebut dengan nilai singular dari matriks dan dinyatakan dengan untuk setiap .
dengan , yang mana . Nilai eigen dari matriks adalah
Dekomposisi Nilai Singular yang selanjutnya ditulis dengan SVD adalah suatumetode yangmendekomposisikan suatu matriks menjadi tiga komponen matriks , yang mana salah satu dari matriks tersebut entrinya merupakan nilai singular dari matriks . Proses dekomposisi ini sering juga disebut dengan faktorisasi. Berikut akan diberikan definisi dari nilai singular.
Beberapa bentuk pemecahan atau solusi dari sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:
4. Metode Singular Value Decomposition (SVD) Singular Value Decomposition atau
Sistem persamaan linear kompleks merupakan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan bilangan imajiner. Menurut Nicholson (2001) sistem persamaan linear kompleks dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Operasi Baris Elementer.
Sistem persamaan linear riil merupakan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan riil.Metode dasar yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear riil adalah Operasi Baris Elementer (OBE). OBE merupakan suatu metode untuk.
Sistem Persamaan Linear Riil
3. Tidak ada solusi Dikatakan tidak ada solusi apabila tidak ada titik potong dari sistem persamaan linear. Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan kompleks. Selanjutnya, akan diberikan penjelasan tentang sistem persamaan linear yang berkoefisien bilangan riil dan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks 2.
2. Banyak solusi Dikatakan memiliki banyak solusi apabila terdapat banyak titik potong dari sistem persamaan linear.
1. Solusi tunggal Dikatakan memiliki solusi tunggal apabila terdapat satu titik potong dari sistem persamaan linear.
3. Sistem Persamaan Linear Kompleks
Berikut akan diberikan teorema kompleks. Seperti yang telah diketahui mengenai basis ortonormal. bahwa sistem persamaan linear dapat
Teorema 1 : Jika adalah dibentuk ke dalam persamaan matriks
...............................(1) basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam yang mana matriks merupakan matriks
, dan adalah sebarang vektor dalam , koefisien yang akan dicari bentuk SVD-nya. maka
Suatu sistem persamaan linear kompleks akan konsisten jika dan hanya jika matriks
6. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 4 : Diketahui adalah matriks pada persamaan (1) berada dalam .
, maka vektor tak nol di dalam Untuk mengetahui bahwa berada dalam dinamakan vektor eigen dari jika
, maka akan diuji apakah sama adalah kelipatan skalar dari , yaitu: dengan proyeksi pada , yang mana direntang oleh vektor . untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai
Proyeksi pada diberikan oleh eigen dari dan dikatakan vektor eigen persamaan di bawah ini: yang bersesuaian dengan .
……(2) 7. Matriks Kompleks
Berdasarkan bentuk SPL Kompleks dan Matriks kompleks yaitu matriks dengan persamaan (2) di atas maka terdapat di dua entri-entri bilangan kompleks. Misalkan A kasus, yaitu: adalah matriks kompleks, jika
1. Kasus untuk adalah bilangan kompleks, maka Pada kasus untuk maka adalah konjugatnya. Konjugat dari matriks sistem persamaan linear kompleks kompleks , yang ditulis , adalah matriks konsisten dan mempunyai paling sedikit satu solusi. Karena , yang diperoleh dari dengan cara maka sehingga menghitung konjugat dari setiap entri . menurut persamaan (2) diperoleh
Notasi digunakan untuk transpos persamaan konjugat . Yaitu, Beberapa literatur menggunakan sebagai ganti .
Definisi 5 : Sebuahmatriks dengan entri-
oleh karena , maka entri bilangan kompleks disebut uniter jika
…………………(3)
dengan mensubstitusikan persamaan Dengan catatan haruslah matriks
(3) pada persamaan (1), didapatkan bujursangkar dan dapat-dibalik.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut ini akan dijelaskan bagaimana metode SVD dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
Sehingga vektor akan tegak lurus dengan setiap vektor di termasuk vektor yang merentang yaitu vektor-vektor dengan
…………………(4) dan adalah vektor yang yang merupakan solusi dari sistem persamaan linear kompleks pada ortonormal, maka berlaku: persamaan (1). Nilai solusi dari sistem persamaan linear kompleks bergantung pada ruang nol dari matriks yaitu
. Sehingga ada dua subkasus, yaitu: a. , maka sistem
Jika persamaan linear kompleks Hal ini menunjukkan bahwa mempunyai satu solusi atau solusi tunggal, yang mana solusinya adalah tegak lurus dengan setiap vektor di diberikan oleh persamaan (4). dan persamaan (4) merupakan solusi
b. , maka sistem Jika pendekatan terbaik. persamaan linear kompleks Selanjutnya, akan diberikan mempunyai banyak solusi. beberapa contoh penyelesaian sistem Solusinya diberikan oleh: persamaan linear kompleks yang tidak konsisten dengan menggunakan metode
SVD. Beberapa contoh sistem persamaan linear kompleks yang diberikan berdasarkan dengan persamaan dan variabel.
2. Kasus untuk Pada kasus untuk maka
Contoh 1: Diberikan sistem persamaan linear
sistem persamaaan linear kompleks kompleks dengan persamaan dan variabel tidak konsisten, dalam hal ini solusi sebagai berikut: yang diperoleh adalah solusi
ix x x
3
pendekatan terbaik. Solusi pendekatan
1
3
5
terbaik tersebut adalah vektor
x x ix 4 i
1
2
3
sehingga
2 x 5 ix 3 i
1
3 2 ix 2 x
5
yang mana di dalam , dan
2
3 adalah vektor yang terdekat dengan .
x x
5
4
5 Solusi pendekatan terbaik diberikan ix ix
3
1
2 oleh persamaan (4).
Penyelesaian:
disebut sebagai solusi pendekatan
1. Mengubah sistem persamaan linear
terbaik, artinya jika , maka kompleks ke dalam bentuk persamaan matriks adalah vektor di yang terdekat dengan .
Maka didapat matriks singular, yaitu
5027 , 8728 , 6143 ,
1 8547 , 2 9355 ,
5 S b.
Menyusun matriks dengan persamaan: maka didapat:
, 1121 5333 , 8333 , 0846 , 0379 , , 4705 7137 , 5188 , 0118 , 0011 , , 2996 1384 , 0811 , 0962 , 9355 ,
, 5270 2446 , 1591 , 7862 , 1379 , , 6313 3567 , 0673 , 6045 , 3230 ,
i i i i i i i i i i i i S
c.
Menyusun matriks dengan persamaan: maka didapat matriks sebagai berikut:
. 1195 2230 . 0569 . 4872 . 0312 .. 4106 3589 . 8376 . 0338 . 0066 . . 5122 4225 . 0966 . 6183 . 3617 . . 2697 0426 . 1678 . 2550 . 8969 .
diperhatikan matriks uniter , agar matriks uniter menjadi matriks persegi berukuran harus ditambahkan satu kolom lagi, yang mana kolom tersebut saling
menjadi
U
2
2
5
2
1
1
1
1 i i i i i i
, yaitu: Didapat vektor eigen untuk , yaitu: Didapat vektor eigen untuk , yaitu: Didapat vektor eigen untuk , yaitu: Didapat vektor eigen untuk , yaitu:
3
5
3
4
3
5 4 3 2 1 i i x x x x x 2.
Mencari nilai eigen dan vektor eigen
a. Didapat nilai-nilai eigen dari adalah dan
b. vektor-vektor eigennya adalah Didapat vektor eigen untuk
. 4268 4983 . 0066 . 529 . 1264 . . 5085 6266 . 5077 . 2158 . 2184 . i i i i i i i i i i i i i i
3. Mendekomposisikan matriks
Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah
tiga komponen matriks a. ortonormal dengan vektor kolom lainnya. Misalnya diambil sehingga
7137 . 1384 . 2446 . 3567 .
5333 .
6313 . , 8333 . 5188 . 0811 . 1591 . 0673 . , 0846 . 0118 . 0962 . 7862 . 6045 . , 0379 . 0011 .
b.
Untuk basis Basis dari adalah
8333 .
, 1121 . 4705 . 2996 . 5270 .
9355 . 1379 . 3230 . i i i i i i i i i i i i
Untuk basis Basis dari adalah
1
. 2230 8333 . 1195 . 0569 . 4872 . 0312 .
. 4106 3589 . 8376 . 0338 . 0066 .
. 4225 1667 . 5122 . 0966 . 6183 . 3617 . . 0426 1667 . 2697 . 1678 . 2550 . 8969 .
. 4983 5 . 4268 . 0066 . 529 . 1264 . . 5085 6266 . 5077 . 2158 . 2184 . i i i i i i i i i i i i i i i i
U
Sehingga bentuk SVD dari matriks adalah:
1
2
d.
2
5
2
1
1
1
1
i i i i i i USV A H
persamaan linear kompleks Berdasarkan perhitungan tersebut diperoleh atau . Karena berarti
5. Menentukan solusi dari suatu sistem
Untuk basis Basis dari adalah
1667 . 1667 . 5 . 6 i i u c.
4. Menentukan basis-basis ortonormal
1264 . 2184 .
i
i
i i i i i i i i i i i i
. Maka sistem persamaan linear kompleks di atas tidak konsisten, akan tetapi
untuk dan a.
Untuk basis Basis dari adalah
3617 . 8969 .
2230 . solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari, yaitu: Jadi solusi pendekatan terbaik yang diperoleh dari sistem persamaan linear kompleks di atas adalah dan
, 1195 . 4106 . 5122 . 2697 . 04628 5085 . , 0569 . 8376 . 0966 .
1678 . 0066 . 5077 .
, 4872 . 0338 . 6182 . 2550 . 5209 . 2158 .
, 0312 . 0066 .
3589 . 4225 . 0426 . 4983 . 6266 .
Untuk mengetahui bahwa merupakan solusi pendekatan terbaik akan ditunjukkan bahwa sehingga diperoleh sebagai berikut:
6
1
4
3
6
3
2
2
6
6
1
Penyelesaian: Dengan aturan yang sama
pada contoh di atas maka di dapat solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linear kompleks di atas adalah , dan
Untuk mengetahui bahwa merupakan solusi pendekatan terbaik akan ditunjukkan bahwa sehingga diperoleh sebagai berikut:
5
4
Contoh 3.2: Diberikan sistem persamaan
2
linear kompleks dengan persamaan dan variabel sebagai berikut:
i ix x i ix ix x x x x x ix x x i ix ix x i ix x i ix x
5
3
5
2
5
6
7
3
3
1
7
4
1
Berdasarkan dua contoh penyelesaian SPL kompleks yang tidak konsisten tersebut dapat disimpulkan bahwa solusi pendekatan terbaik yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik yang memiliki tingkat kesalahan yang relative kecil, karena solusi pendekatan terbaik dari dua contoh tersebut memiliki hasil kali yang mendekati nol.
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Wiley, New York. Churchill, Ruel V, dan James Ward Brown (1990).
Moore Penrose dari suatu Matriks dengan Menggunakan Dekomposisi Nilai Singular. Semarang. Universitas Diponegoro.
Yogyakarta. Mariya Dina (2008). Menentukan Invers
“Teori dan Aplikasi Aljabar Linear dan Matriks”. Andi,
McGraw-Hill, Singapore. Sutojo, T. dkk (2010).
“Elementary Linear Alg ebra”. First Edition.
Edisi Ketiga. Erlangga, Jakarta. Nicholson, W. Keith (2001).
“Aljabar Linear Schaum’s”.
Lipschutz, Seymour, dan Marc Lars Lipson (2006).
Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta.
“Aljabar Linear dan Aplikasinya”,
Leon, Steven J (2001).
Fifth Edition. McGraw-Hill, Singapore.
“Complex Variables and Applications”.
“Elementary Linear Algebra”, Eighth Edition. John
Berdasarkan pembahasan diperoleh hasil penelitian yaitu metode Singular Value
Aplikasi Teknologi Informasi (SNATI ). Yogyakarta. Anton, Howard (2000).
Singular dan Discrete Fourier Transform untuk noise Filtering pada Citra Digital . Seminar nasional
Adiwijaya dkk (2009). Dekomposisi Nilai
Kalman Dan (1996). “A Singularly Valuable Decomposition : The SVD of a Matrix”. The College Mathematics Journal, Vol. 27 No. 1 January.
Journal System Portal) , Vol. 13;40- 45.
Persamaan Linear Menggunakan Analisis SVD”. UEJS (Undip E-
. „Menyelesaikan Sistem
Ahmad, Irdam Haidir, dan Lucia Ratnasari (2010)
, dan .
b. Contoh 2 dengan persamaan dan variabel diperoleh solusi pendekatan terbaiknya adalah :
Contoh 1 dengan persamaan dan variabel diperoleh solusi pendekatan terbaiknya adalah : dan .
a.
menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks. Berdasarkan contoh yang diberikan merupakan sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten dan dengan menggunakan langkah-langkah SVD dalam penyelesaian sistem persamaan linear kompleks solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik, yaitu:
Decomposition (SVD) dapat digunakan untuk