BAB8 kebenaranTumbuhdipohon(Terjemahan)IFC

Chapter 8 Di susun untuk memenuhi salah satu tugas Logika Informatika Di susun oleh: Rahmat Taufik Nugraha (206700171) Galih Septa K. (208700834) Hilman Zayinudin (208700845) Insan Mutaqin (208700857) M. Yadi Ramdhani (208700874)

  

@_Kelas IF-C / III_@

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS SAINS & TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

  

2008

   Tes untuk konsistensi, validitas, dan semantik kesetaraan

   Menggolongkan tautologies, kontradiksi, dan kontingen kebenaran pernyataan dengan pohon

   Dalam Bab 6 dan 7, saya akan menunjukkan bagaimana menggunakan tabel kebenaran dan cepat untuk mendapatkan informasi tentang sentensial logika (SL) set pernyataan dan pernyataan. Dalam bab ini, saya kenalkan anda pada ketiga (dan favorit saya!) Metode untuk memecahkan masalah logika: kebenaran pohon. Pada bagian berikut, saya akan menunjukkan bagaimana pohon kebenaran bekerja dengan proses SL meleburkan pernyataan ke sub-pernyataan mereka. Kemudian saya akan menunjukkan bagaimana untuk menggunakan pohon kebenaran untuk mengatasi jenis masalah yang sama Anda telah menangani dengan kebenaran tabel tabel dan cepat.

Memahami Cara Kerja Pohon Kebenaran

  Kebenaran pohon adalah alat yang sangat kuat dengan standar apapun. Bahkan, aku berpikir bahwa mereka adalah alat terbaik dalam buku ini untuk memecahkan hampir setiap jenis masalah yang akan datang di dalam logika. Mengapa? Senang Anda bertanya. Pertama-tama, pohon kebenaran sangat mudah: Mereka mudah untuk menguasai dan mudah digunakan. Kebenaran pohon menggabungkan fitur terbaik dari kedua kebenaran tabel dan cepat meja, tapi tanpa bagasi baik. Sebagai contoh, seperti tabel kebenaran, kebenaran pohon adalah plug-dan-metode bunyi letusan kecil (meskipun beberapa pilihan cerdas di sepanjang jalan masih bisa membantu Anda keluar), tapi mereka jauh lebih pendek. Dan, seperti meja cepat, kebenaran pohon menghindari evaluasi berulang-ulang, tetapi mereka tidak pernah menimbulkan masalah seperti menebak atau masalah dengan tiga kemungkinan jalan untuk menghilangkan. Kebenaran pohon adalah cara sempurna untuk memecahkan masalah SL dari berbagai ukuran dengan maksimum efisiensi. Mereka juga berguna dalam logika pembilang (QL), yang lebih besar logis sistem saya bahas dalam Bagian IV. Dalam Bab 5, saya membahas delapan bentuk dasar pernyataan SL. Ini menjadi penting sekali lagi sebagai kebenaran studi Anda pohon, karena pohon kebenaran menangani masing-masing bentuk ini dengan cara yang berbeda. (Jika anda memerlukan penyegaran pada delapan bentuk, flip untuk Tabel 5-1.

SL meleburkan pernyataan

  Kebenaran pohon bekerja dengan pernyataan meleburkan - yaitu, melanggar pernyataan ke sub-pernyataan yang lebih kecil. Sebagai contoh, jika Anda tahu bahwa pernyataan (P 0 Q) & (Q 0 R) adalah benar, Anda tahu bahwa kedua sub-pernyataan (P 0 Q) adalah benar dan sub-pernyataan (Q 0 R) adalah benar. Secara umum, maka, anda dapat mematahkan setiap pernyataan benar dalam bentuk x & y menjadi dua pernyataan benar, x dan y. Dalam beberapa kasus, sebuah pernyataan meleburkan berarti melanggar it off menjadi dua pernyataan, di mana setidaknya satu dari yang benar. Sebagai contoh, jika Anda tahu bahwa Q) 0 (↔ Q R) adalah benar, Anda tahu bahwa salah satu sub-pernyataanPernyataan (P →

Q) atau sub-pernyataan (↔ Q R) adalah benar. Secara umum, maka, Anda dapat mematahkan(P → pernyataan sejati dari bentuk x 0 y menjadi dua pernyataan, x dan y, di mana pada

  setidaknya satu dari yang benar. Bentuk pernyataan-pernyataan sejati yang membawa langsung ke pernyataan benar lainnya disebut single pernyataan percabangan. Bentuk yang mengarah pada dua kemungkinan arah disebut pernyataan percabangan ganda. Pernyataan percabangan ganda selalu mengarah pada salah satu atau dua sub-pernyataan di setiap cabang.

  Gambar 8-1 memperlihatkan daftar dari semua delapan bentuk dasar pernyataan SL dengan dekomposisi. Sebagai contoh, jika Anda meleburkan pernyataan (P → Q) V (Q→R) anda mulai dengan memecahnya menjadi dua sub-pernyataan sebagai berikut: Setelah aku meleburkan itu. Perhatikan bahwa saya memeriksa pernyataan (P → Q) V (Q→R) ke dalam dua sub-pernyataan. The checkmarks membiarkan Anda tahu bahwa aku sudah selesai dengan pernyataan ini - meskipun sekarang aku perlu berurusan dengan dua sub-pernyataan.

  Berikutnya, Anda istirahat setiap sub-pernyataan dalam sub-pernyataan yang lebih kecil, menurut aturan-aturan yang diberikan dalam Gambar 8-1.

  Anda dapat melihat kebenaran pohon sekarang bagaimana mendapatkan nama mereka. Menyerupai struktur akhir sebuah pohon terbalik, seperti ini: Di sini, saya kembali memeriksa pernyataan-pernyataan bahwa aku meleburkan. Perhatikan juga berputar-putar konvensi. Setelah Anda meleburkan pernyataan ke salah satu konstan atau negasi, berputar-putar membuatnya lebih mudah untuk melacak. Dalam kasus ini, Aku berputar ~ P, Q, ~ Q,

  Setiap cabang memberi tahu Anda sesuatu tentang satu atau lebih interpretasi yang akan membuat pernyataan asli benar. Menemukan interpretasi ini, jejak dari awal batang sampai ke ujung cabang dan catatan semua berputar pernyataan yang Anda melewati sepanjang jalan. Sebagai contoh, menelusuri dari awal batang sampai akhir pertama cabang, satu-satunya pernyataan mengelilingi Anda melewati adalah ~ P. Jadi, cabang ini memberitahu Anda bahwa setiap interpretasi di mana P adalah palsu akan membuat asli pernyataan benar.

Memecahkan masalah dengan pohon-pohon kebenaran

  Anda dapat menggunakan kebenaran pohon untuk memecahkan masalah yang dapat diselesaikan menggunakan tabel kebenaran atau meja cepat. Sebagaimana dengan alat lain ini, kebenaran pohon mengikuti langkah-demi-langkah proses. Berikut adalah langkah-langkah untuk sebuah pohon kebenaran:

  1. Set up. Untuk mengatur sebuah pohon kebenaran, membangun batangnya menurut jenis masalah yang sedang berusaha untuk memecahkan. Bagasi terdiri dari pernyataan atau pernyataan yang Anda butuhkan untuk meleburkan.

  2. Isi masuk Untuk mengisi sebuah pohon kebenaran, gunakan aturan-aturan yang tercantum dalam dekomposisi Gambar 8-1 untuk menciptakan semua cabang-cabangnya.

  3. Membaca. Untuk membaca kebenaran selesai pohon, periksa yang berikut dua hasil telah terjadi:

  • Sedikitnya satu cabang dibiarkan terbuka: Setidaknya satu penafsiran membuat setiap pernyataan dalam batang pohon benar.
  • Semua cabang tertutup: Tidak ada interpretasi membuat setiap pernyataan dalam batang pohon benar. (Pada bagian berikut, Saya akan menunjukkan bagaimana untuk menutup cabang.)

Menunjukkan Konsistensi atau Inkonsistensi

  Anda dapat menggunakan pohon kebenaran untuk mengetahui apakah satu set pernyataan adalah konsisten atau tidak konsisten. (Lihat Bab 6 untuk lebih pada konsistensi.) Sebagai contoh, misalkan Anda ingin mencari tahu apakah tiga pernyataan P & ~ Q, Q V ~ R, dan ~ P → R adalah konsisten atau tidak konsisten. Untuk memutuskan apakah suatu set pernyataan adalah konsisten (setidaknya satu interpretasi membuat semua pernyataan yang benar) atau tidak konsisten (tidak ada interpretasi membuat semua dari mereka benar), membangun sebuah pohon kebenaran menggunakan serangkaian pernyataan sebagai batangnya. Berikut bagasi Anda:

  

P & ~Q

Q V ~R

~P R

  Setelah Anda membuat bagasi, Anda dapat mulai meleburkan pernyataan pertama, P & ~ Q. Berikut adalah apa yang Anda dapatkan:

  Aku memeriksa pernyataan P & ~ Q setelah aku meleburkan itu ke dalam dua substatements dan mengitari satu konstanta - P dan ~ Q. Pernyataan berikutnya adalah Q 0 ~ R, yang terurai sepanjang dua cabang sebagai berikut: Ketika menelusuri dari awal sebuah trunk ke ujung cabang akan memaksa Anda untuk melewati sepasang berputar pernyataan kontradiktif, menutup bahwa cabang dengan X. Dalam kasus ini, menelusuri sepanjang jalan dari awal batang sampai akhir cabang di sebelah kiri memaksa Anda untuk melewati tiga pernyataan dilingkari P, ~ Q, dan Q. Tapi ~ Q dan Q adalah pernyataan yang saling bertentangan, jadi aku tertutup cabang. Alasan ditutupnya cabang ini masuk akal ketika Anda berpikir tentang hal itu. Cabang ini memberitahu Anda bahwa setiap interpretasi di mana pernyataan P, ~ Q, dan Q benar akan membuat semua tiga pernyataan benar asli. Tapi, ~ Q dan Q bisa tidak keduanya benar, sehingga cabang ini tidak memberikan interpretasi yang mungkin. Pernyataan akhir untuk meleburkan adalah ~ P → R. Seperti yang Anda ketahui dari Gambar 8-1, yang cabang untuk pernyataan ini akan terlihat seperti ini:

  Anda bisa melihat lagi di sini bahwa IA € ™ ve tertutup cabang di mana kontradiksi telah tercapai. Dalam hal ini, kontradiksi adalah R dan ~ R. Pohon kebenaran Anda selesai ketika salah satu dari berikut terjadi:

  Setiap pernyataan atau konstan telah baik diperiksa atau berputar-putar

   Setiap cabang telah ditutup

   Dalam contoh ini, setiap item telah diperiksa atau mengelilingi baik, sehingga pohon selesai.

   Setelah pohon itu selesai, periksa untuk melihat apakah ada cabang masih terbuka. Kehadiran atau ketiadaan membuka cabang di pohon kebenaran selesai memungkinkan Anda untuk menentukan apakah serangkaian pernyataan asli konsisten atau tidak konsisten. Ikuti panduan berikut: Jika pohon kebenaran selesai setidaknya memiliki satu cabang yang terbuka, himpunan

   pernyataan konsisten. Jika kebenaran selesai semua yang ditutup pohon memiliki cabang, himpunan pernyataan di

   bawah ini konsisten. Seperti yang anda lihat, contoh di bagian ini masih memiliki satu cabang yang terbuka, yang berarti bahwa interpretasi yang ada di bawah tiga pernyataan semua benar. Jadi, dalam kasus ini, himpunan pernyataan adalah konsisten. Jika Anda ingin tahu apa penafsiran ini, hanya jejak dari trunk ke akhir dari cabang ini. Bila Anda melacak panjang pohon, Anda menemukan bahwa dilingkari item P, ~ Q, dan ~ R dan terakhir P. Jadi, satu-satunya penafsiran yang membuat tiga pernyataan asli benar adalah ketika nilai P adalah T dan nilai-nilai dari kedua Q dan R F.

Pengujian untuk Validity atau ketidakabsahan

  Pohon Kebenaran juga berguna jika anda ingin menentukan sebuah argumen keabsahan atau ketidakabsahan (lihat Bab 6 untuk lebih tentang validitas). Misalnya misalkan Anda ingin mencari tahu apakah argumen berikut sah atau valid: Bangunan: ~ P ↔ Q ~ (P 0 R) Kesimpulan: ~ T & ~ R Untuk memutuskan apakah sebuah argumen yang valid atau tidak valid, membangun suatu kebenaran pohon menggunakan bangunan dan negasi dari kesimpulan sebagai bagasi.

  Menggunakan contoh yang saya diperkenalkan pada awal bagian ini, menciptakan sebuah koper yang terlihat seperti ini:

Anda tidak Namun, harus mulai di bagian atas pohon. Meleburkan pernyataan

dalam urutan yang berbeda sering membantu. Gambar 8-1 membagi delapan dasar Pernyataan bentuk menjadi tiga kolom. Divisi ini dapat membantu Anda memutuskan apa yang

untuk meleburkan pernyataan Anda. Kapanpun Anda memiliki lebih dari satu

pernyataan dalam batang pohon kebenaran Anda, meleburkan mereka dalam urutan ini:

  1. Percabangan tunggal

  2. Percabangan ganda dengan dua sub-pernyataan

  3. Percabangan ganda dengan satu sub-pernyataan

  Meleburkan pernyataan dalam urutan ini masuk akal. Setiap kali Anda dapat, pilih satu cabang jalan untuk menjaga pohon-pohon sekecil mungkin. Tetapi, bila Anda tidak punya pilihan lain kecuali dua cabang, memilih cabang ganda dengan dua sub-pernyataan. Menambahkan dua pernyataan meningkatkan kemungkinan bahwa Anda akan mampu menutup salah satu cabang. Dalam contoh ini, hanya pernyataan kedua, ~ (P 0 R), mengarah pada satu cabang. Jadi, Anda meleburkan dulu, seperti ini: Kedua pernyataan yang tersisa mengarah pada cabang ganda. Tapi hanya pertama pernyataan, (~ P ↔ Q), terurai menjadi dua sub-pernyataan. Jadi, kau meleburkan yang satu berikutnya:

  Pada titik ini, satu cabang yang tertutup: Tracing dari awal trunk ke ujung cabang ini memaksa Anda untuk melewati kedua ~ P dan P, yang merupakan kontradiksi. Langkah terakhir, meleburkan ~ (~ T & ~ R), menyebabkan Anda kebenaran pohon agar tampak seperti ini:

  

Perhatikan bahwa Anda hanya perlu menambahkan dekomposisi baru cabang yang terbuka

namun tidak tertutup-off cabang. Sekarang setiap pernyataan yang baik diperiksa atau mengelilingi, sehingga pohon selesai.

  Ketika memeriksa sebuah pohon kebenaran untuk keabsahan atau ketidakabsahan panduan berikut berlaku: Jika kebenaran pohon memiliki setidaknya satu membuka cabang, argumen yang valid.

   Jika pohon kebenaran semua yang ditutup cabang, argumen yang valid.

   Dalam hal ini € ™ s sectionâ contoh, salah satu cabang masih terbuka, sehingga argumen yang tidak valid. Trace dari bagasi ke ujung cabang ini dan Anda akan menemukan dilingkari pernyataan ~ P, Q, dan ~ R. Ini memberi tahu Anda bahwa satu-satunya penafsiran di bawah yang argumen ini tidak valid adalah ketika nilai P dan R sama-sama F dan yang nilai Q T.

  

Memisahkan Tautologies, Kontradiksi, dan Kontinjensi Pernyataan

Dalam Bab 6, aku akan menunjukkan bahwa setiap pernyataan dalam SL dikategorikan sebagai tautologi (pernyataan yang selalu benar), sebuah kontradiksi (pernyataan yang selalu palsu), atau pernyataan kontingen (pernyataan yang dapat benar atau salah, tergantung pada nilai dari konstanta). Anda dapat menggunakan pohon kebenaran untuk memisahkan SL pernyataan ke dalam tiga kategori.

  Tautologies Misalnya anda ingin menguji pernyataan ((P & ((P ↔ Q) 0 (R 0 Q) 0 R) →

  (P & ~ Q)) untuk menentukan apakah itu adalah tautologi.

Untuk menunjukkan bahwa sebuah pernyataan adalah sebuah tautologi, membangun

sebuah pohon kebenaran menggunakan negasi dari pernyataan itu sebagai bagasi.

Menggunakan contoh negasi dari pernyataan saya hanya diperkenalkan, Anda dapat

membuat sebuah koper yang terlihat seperti ini:

   ~(((P & Q) 0 R) →((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q)))

  Meskipun pernyataan ini tampak besar dan berbulu, Anda tahu bahwa itu sesuai ke salah satu dari delapan bentuk dasar dari Bab 5 (tercantum dalam Tabel 5-1.) Anda hanya perlu mengetahui yang formulir yang benar. Aku masuk ke dalam Bab 5 ini, tapi sedikit penyegar di sini tidak akan terluka.

  Operator utama pertama ~-operator - satu-satunya operator yang berada di luar semua kurung - jadi pernyataan adalah salah satu dari empat bentuk negatif. Dan lingkup →-operator mencakup seluruh pernyataan, jadi pernyataan ini y). Seperti yang dapat Anda lihat pada Gambar 8-1, form ini singlebranching,adalah bentuk ~ (x → sehingga pohon kebenaran Anda sekarang harus terlihat seperti ini:

   ~(((P & Q) 0 R) →((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))) (P & Q) 0 R ~((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q)))

  Perhatikan bahwa saya dihapus kurung luar dari sub-pernyataan ((P & Q) 0 R). Ini adalah langkah yang sah, seperti yang saya jelaskan dalam Bab 14. Sekarang, pernyataan terakhir dalam bentuk ~ (x 0 y), yang juga satu-percabangan. Oleh karena itu, menurut urutan di mana Anda harus meleburkan beberapa pernyataan (lihat bagian "Menguji Validitas atau tidak sah" di awal bagian bab ini), itu pernyataan untuk bekerja pada berikutnya. Silakan mengisi tabel kebenaran sebagai berikut:

  ~(((P & Q) 0 R) →((  P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))) (P & Q) 0 R ~(P ↔Q) ~(R 0 (P & ~Q)) ~((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q)))

  Sekali lagi, pernyataan terakhir dalam bentuk ~ (x 0 y), jadi satu cabang, dan Oleh karena itu, selanjutnya up:

  ~(((P & Q) 0 R) →((  P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))) (P & Q) 0 R ~(P ↔Q) ~(R 0 (P & ~Q)) ~((P ↔Q) 0 (R 0 (P & ~Q))) ~R ~(P & ~Q)

  Meskipun contoh ini mungkin terlihat panjang, mundurlah satu menit dan perhatikan bahwa Anda sudah mengambil tiga langkah tanpa percabangan ganda. Tidak harus double-cabang ton menghemat kerja sambil Anda melanjutkan, karena Anda harus khawatir hanya satu cabang daripada dua (atau empat, atau delapan!).

  Akhirnya, walaupun, Anda harus double-cabang dengan contoh ini. Karena ke urutan dekomposisi yang saya berikan dalam "Pengujian untuk Validity atau

Ketidakabsahan "bagian sebelumnya. Pohon kebenaran Anda sekarang harus terlihat seperti

ini:

  Sekarang meleburkan (P & Q) 0 R: Langkah ini ditutup dari dua dari empat cabang. Sekarang, P & Q adalah percabangan tunggal, jadi meleburkan pernyataan ini pada kedua sisa cabang, seperti ini:

  

Anda sekarang telah menutup semua cabang yang tersisa. Perhatikan bahwa

pernyataan ~ (P & ~ Q) tidak dicentang. Hal ini tidak membuat perbedaan, meskipun, karena

setelah setiap cabang adalah tertutup, pohon selesai.

Ketika pengujian untuk menentukan apakah sebuah pernyataan adalah sebuah tautologi, ikuti

pedoman:

  

 Jika kebenaran pohon memiliki setidaknya satu cabang yang terbuka, pernyataan

bukan tautologi Baik itu kontradiksi atau pernyataan kontingen. (Untuk mengkonfirmasi atau mengesampingkan kontradiksi sebagai suatu kemungkinan,

anda akan membutuhkan satu lagi pohon, seperti yang saya jelaskan di bagian

berikutnya.)  Jika pohon kebenaran tidak membuka cabang, pernyataan ini adalah suatu tautologi.

  Dalam bagian ini contoh, pohon menunjukkan bahwa pernyataan adalah tautologi.

Kontradiksi

  Misalnya anda ingin menguji pernyataan (P ↔ Q) & (~ (P & R) & (↔ Q R)) untuk menentukan apakah itu suatu kontradiksi.

  Untuk menunjukkan pernyataan kontradiksi, gagasan pohon kebenaran digunakan untuk

pernyataan bercabang. Untuk contoh pernyataan bercabang, saya hanya mengenalkan seperti

contoh dibawah ini : (P ↔Q) & (~(P & R) & (Q ↔R))

  Untungnya, dekomposisi pertama dari pernyataan ini adalah single-percabangan:

  (P ↔Q) & (~(P & R) & (Q ↔R)) P ↔Q ~(P & R) & (Q ↔R)

  Untungnya, dekomposisi pertama dari pernyataan ini adalah single-percabangan: Sekarang Anda memiliki pilihan untuk meleburkan baik P ↔ Q atau ~ (P & R) & (↔ Q R). Tapi, menurut Gambar 8-1, pernyataan terakhir adalah single-bercabang, jadi ambil rute yang pertama:

  (P ↔Q) & (~(P & R) & (Q ↔R)) P & R) Q ↔R P ↔Q ~(P & R) & (Q ↔R)

  Karena Anda sudah kehabisan pernyataan percabangan tunggal, saatnya untuk doublebranch, dimulai dengan pernyataan yang menghasilkan dua sub-pernyataan. Mulai dengan P ↔ Q:

Dan sekarang meleburkan ↔ Q R:

  Langkah ini ditutup dari dua dari empat cabang. Langkah terakhir Anda adalah untuk meleburkan ~ (P & R) seperti ini:

  Karena setiap pernyataan yang baik diperiksa atau berputar-putar, pohon sekarang lengkap. Ketika pengujian untuk menentukan apakah sebuah pernyataan adalah suatu kontradiksi, berlaku pedoman ini:

  Jika kebenaran pohon memiliki setidaknya satu cabang yang terbuka, pernyataan bukan

   kontradiksi â € "ita € ™ s baik tautologi atau pernyataan kontingen. (Untuk mengkonfirmasi atau mengesampingkan tautologi sebagai kemungkinan, Anda akan perlu pohon yang lain, seperti yang saya jelaskan pada bagian sebelumnya.) Jika pohon kebenaran tidak membuka cabang, pernyataan ini adalah suatu kontradiksi.

   Dalam contoh ini, dua cabang tetap terbuka, sehingga pernyataan isna € ™ ta kontradiksi. Walaupun dua cabang tetap terbuka di pohon ini, hanya satu interpretasi membuat pernyataan asli benar. Trace dari bagasi sampai akhir baik membuka cabang untuk melihat bahwa penafsiran ini adalah bahwa P, Q, dan R adalah palsu.

  Kontingen pernyataan

  Memeriksa untuk melihat apakah sebuah pernyataan adalah kontingen adalah, seperti biasa,hanya masalah memerintah bahwa ita € ™ s baik tautologi atau kontradiksi. (Flip Bab 6 untuk rincian tentang pernyataan kontingen.) Ketika pengujian untuk menentukan apakah suatu pernyataan kontingen, gunakan sebelumnya dua tes untuk tautologi dan kontradiksi. Jika pernyataan isna € ™ t sebuah tautologi dan isna € ™ ta kontradiksi, itu harus menjadi kontingen pernyataan.

Memeriksa Semantic Ekuivalensi atau Inequivalence

  Jika Anda harus memeriksa sepasang pernyataan untuk kesetaraan atau inequivalence semantik,

Anda beruntung, karena pohon sebenarnya dapat membantu Anda keluar. (Seperti yang saya

jelaskan

Bab 6, ketika dua pernyataan yang secara semantik setara, mereka berdua telah nilai kebenaran yang sama di bawah setiap penafsiran.)

  Untuk memutuskan apakah sepasang pernyataan adalah setara atau inequivalent semantik, Anda harus membangun dua pohon kebenaran:

  Satu pohon menggunakan pernyataan pertama dan negasi dari pernyataan kedua

   sebagai batang. Pohon lain menggunakan negasi dari pernyataan pertama dan kedua

   pernyataan batangnya Misalnya anda ingin mengetahui apakah pernyataan â ~ P † '(Q â †' ~ R) dan ~ (P 0 ~ Q) â † '~ R semantik setara atau inequivalent. Dalam hal ini, Anda perlu untuk membuat dua pohon, dengan batang sebagai berikut:

  Dimulai dengan Pohon # 1, pernyataan kedua adalah dari bentuk percabangan tunggal ~ (x → y), jadi pertama meleburkan pernyataan ini:

  Pernyataan ~ (P 0 ~ Q) adalah juga satu-bercabang, jadi mengerjakannya berikutnya: Selanjutnya, beralih ke pernyataan pertama, karena Anda melewatkan itu awalnya:

Langkah ini ditutup dari satu cabang. Sekarang, meleburkan Q → ~ R, Anda mendapatkan: Pohon # 1 sekarang lengkap

  Ketika pengujian sepasang pernyataan untuk menentukan apakah theyâ € ™ re semantik setara atau inequivalent, ikuti petunjuk ini: Jika salah satu pohon kebenaran setidaknya memiliki satu cabang yang terbuka, pernyataan

   yang semantik inequivalent.

  Jika kedua kebenaran pohon memiliki semua yang ditutup cabang, pernyataan yang semantik

   setara

  

Jika pohon pertama setidaknya memiliki satu cabang yang terbuka, pernyataan yang secara

semantik inequivalent, yang berarti anda dapat melewati pohon kedua. Karena pohon pertama dalam contoh memiliki semua yang ditutup cabang, Anda perlu beralih ke pohon berikutnya. Dalam kasus ini, pernyataan pertama adalah single-cabang, jadi meleburkan itu pertama sebagai berikut:

  Pernyataan ~ (Q → ~ R) adalah juga satu-bercabang, jadi mengerjakannya berikutnya:

  Pernyataan yang tersisa, ~ (P 0 ~ Q) → ~ R, adalah double-cabang, jadi meleburkan itu berikutnya, seperti ini:

  Langkah ini ditutup dari satu cabang. Akhirnya, meleburkan P 0 ~ Q memberi Anda:

  

Semua cabang-cabang di setiap pohon yang tertutup, sehingga Anda tahu bahwa pernyataan

adalah semantik setara.