Materi 2: Peluang dan Aturan Bayes
Peluang & At uran Bayes
MA 2081 STATISTIKA DASAR
06 SEPTEMBER2012 Ut riweni Mukhaiyar Eksperimen
Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik): Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik):
Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain. maupun orang lain.
Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari p p p p hasil-hasil sebelumnya. hasil-hasil sebelumnya.
- Bisa diukur (diamati). Bisa diukur (diamati).
Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya galat/error. galat/error.
Ruang Sampel Ruang sampel S , yaitu himpunan g p , y p dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik). percobaan acak (statistik)
Ruang Sampel Diskrit
A. Diskrit: banyaknya ( number ) anggota pada
S S tsb dapat dihitung/dicacah ( tsb dapat dihitung/dicacah ( countable countable ). )
Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga.
Contoh 1. p pada (percobaan) pemeriksan (p ) p
S
produksi sepatu boot di pabrik AAA. Setiap pasang sepatu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai pasangan sepatu g g g p g p rusak atau tidak .
Ruang Sampel Kontinu g p B
B. K ti Kontinu: anggota dari S tsb adalah bagian t d i S t b d l h b i dari suatu interval.
Contoh 2. S pada percobaan pengukuran tinggi pasang maksimum setiap hari di suatu selat (satuan m), misalnya S { suatu selat (satuan m) misalnya S = { x x : 2 : 2 < x < 4}.
Jika kita pilih hari-hari secara acak, maka mungkin ditemukan hari-hari dengan tinggi mungkin ditemukan hari hari dengan tinggi pasang 2,1 m atau 3,5 m atau 2,75 m atau nilai lainnya yang berkisar antara 2 < < 4.
x Kejadian (Event) j ( ) (subset) dari suatu
Himpunan bagian
- ruang sampel S . ruang sampel S Notasi untuk even (kejadian) umumnya
- huruf kapital, misal A, B, dan lain-lain. huruf kapital misal A B dan lain-lain Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan, misal sebagai barisan misal , , ......dst. dst
E E E E
1
2 Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian
S
Ruang sampel, dinotasikan
S Ruang Sampel Diskrit
- Ruang sampel, dinotasikan
S
= { , , ... , }
Ruang Sampel Kontinu
E t (k j di )
S { , , ... , }
Event (kejadian)
E = {
} E
{ , , } Populasi dan sampel Populasi dan sampel
Pada Contoh 1: Semua pasang sepatu boot Pada Contoh 1: Semua pasang sepatu boot yang ada di pabrik AAA disebut populasi, sedangkan beberapa pasang sepatu boot yang diambil disebut sampel. Ruang di bil di b t l R sampel pada contoh ini adalah semua
keadaan pasang sepatu boot yang mungkin, p g p y g g ,
yaitu {rusak, tidak rusak} dan termasuk jenis
diskrit, karena banyaknya elemen pada ini
S dapat dihitung, yaitu ada 2 buah, dapat dihitung yaitu ada 2 buah (S) 2. (S) = 2 n n Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian Kejadian
Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas pengeboran.
- Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi yang bersangkutan. Tentukan ruang y g g
g sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya.
Jawab: Ruang sampelnya adalah S = J b R l d l h S { }, dimana = Sukses; = Tidak
SS,ST,TS,TT S T sukses (nominal) ( )
Contoh kejadian, mis kejadian dimana dua aktifitas
E
1 pengeboran tersebut sukses, maka E ={SS}; dan E
1
2 dimana salah satu lokasi masih belum menemukan dimana salah satu lokasi masih belum menemukan minyak, maka E = { ST,TS }.
2 Contoh 4 Dilakukan survey dan pencatatan
- tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegunungan. pegunungan
Jawab: Misalkan X : tingkat curah hujan g j (mm), ruang sampel S = { x | 0 x 600, x R} dan adalah kejadian tingkat curah
E
2 hujan lebih dari 200 mm, maka hujan lebih dari 200 mm maka = {x | 200 < x 600, x R} E
2 Perhatikan bahwa Perhatikan bahwa S S
E E
2
2
- Union dua peristiwa E
(termasuk di dalam keduanya jika ada). Contoh. Perhatikan Contoh 3.
ST,TS,TT } .
2 {
E
1
} E
2 = {
E
1
E
2 adalah kejadian tidak ada lokasi yang berhasil. Maka
1 adalah kejadian salah satu lokasi b h il k i k d E d l h berhasil menemukan minyak, dan E
Misal E
2
G b Gabungan
atau di dalam E
1
, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E atau di dalam E (termasuk di di dalam E
2
E
1
ditulis E
2
dan E
1
U i d i ti E d E dit li E E
ST TS TT
Irisan
- 1
Irisan dua peristiwa E dan E , ditulis
2 E ∩E , adalah himpunan semua elemen
1
2 yang ada di dalam E dan di dalam E .
1
2 Contoh. Perhatikan Contoh 2.
Misalkan Misalkan : himpunan : himpunan tinggi pasang tinggi pasang E E
1 maksimum le bih dari 2,65 m, dan E : himpunan
1
2 tinggi pasang maksimum kurang dari 3,70 m.
Maka ∩ = { 2,65 < < 3,70}.
E E x | x
1
2 Komplemen c
- 1
Komplemen suatu peristiwa E , ditulis E ,
1
adalah himpunan semua elemen yang tidak adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam .
E
1 Contoh. Perhatikan Contoh 4. c
E E = {0 ≤ x ≤ 200}, yaitu himpunan tingkat = {0 ≤ x ≤ 200} yaitu himpunan tingkat
2 curah hujan 0 sampai dengan 200. Peluang Suatu Kejadian g j
Prinsip dasar : frekuensi relatif
- Jika suatu ruang sampel mempunyai n (S )
- elemen, dan suatu event mempunyai ( )
E n E
elemen, maka probabilitas elemen maka probabilitas E E adalah: adalah:
n E E P E ( ) ( )
( ) n S
( ) Contoh 5 C h • Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling
Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir
bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam h i) K t t hari). Kantor tempat pengusaha tersebut bekerja 7 hari dalam 1 minggu. t h t b t b k j 7 h i d l 1 i Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?
Jawab: ( ) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal :
n SE
kejadian bulan dengan 31 hari, maka kejadian bulan dengan 31 hari maka ( ( ) = 7 yaitu ) = 7 yaitu = =
n n E E E E{Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des} n E E P E ( ) ( )
7
7 ( ) n S Aksioma Peluang 1. 0 ≤ ( ) ≤ 1.
P E
2. P P (S) = 1. (S) = 1
2
3. Jika dan adalah dua kejadian yang saling E E
1
2 lepas,maka berlaku: lepas maka berlaku:
( ) = ( ) + ( ) P E E P E P E
1
2
1
2
4. Jika E E E , E ,…,E E adalah kejadian yang saling lepas adalah kejadian yang saling lepas
4 Jika
1 2 n mutual, maka berlaku :
( ( ) = ) ( ( ) + ) + ( ( ) + + ) +…+ ( ( ) ) P P E E E E … E E P P E E P P E E P P E E
1 2 n
1 2 n Peluang Bersyarat Peluang bersyarat (
) conditional probability
- dikatakan bersyarat karena eventnya sudah y
y dibatasi.
Jika event pembatas itu Jika event pembatas itu dan event yang dan event yang A A
probabilitasnya ingin dihitung adalah , maka
B p peluang bersyaratnya adalah: g y y
P A B P B A P B A ( )
( ( ) ) P A
( ) terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru kemudian B.
Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka bebas, maka P (B|A) = P(B)
Peluang Bersyarat g y
- Dalam P(B|A), event A adalah kejadian yang
C t h
6 Contoh
6 Warna pasir Jenis pasir Halus Kasar Hitam
2
3 Abu-abu
2
4 Terang (putih, kuning)
1
2 P(Halus Hitam)
2
5
2 P(Halus| Hitam) = : P(Hitam) 14 14
5 P(Hitam) 14 14
5
- Dua kejadian
- Dua kejadian
dikatakan saling Dua kejadian
( ) P EF
dikatakan saling lepas jika berlaku:
F
dan
E
dikatakan saling lepas jika berlaku: Dua kejadian
F
dan
E
dikatakan saling Dua kejadian
F
dan
E
F
Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas
dan
E
Dua kejadian
( ) ( ). ( ) P EF P E P F
( ) ( ) ( ) P EF P E P F
dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku: bebas (independent) jika berlaku: bebas (independent) jika berlaku:
F
dan
E
dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku:
F
dan
E
Contoh 7 Contoh 7-- Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai S
- kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian t terpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa ilih b h ti T j kk b h E E dan d F F saling bebas. Apakah dan saling lepas?
E F
- Contoh 7 Contoh 7
P EF ( ) 1/ 52
Jawab: P E P E karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.
( ) ( ) 4 / 52 4 / 52 karena terdapat 4 As dalam kartu bridge P F
( ) 13 / 52
karena terdapat 13 kartu bergambar hati P E P F 4 13
52
1 P EF ( ). ( ) .
( ) 52 52
52.52
52 Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas. Peluang Bersyarat Banyak kej adian
A B 5 B 1 A
B 5 A B B 4 A B 2 5 A B 1 A B
3 A B 4 S B 2 B 3Peluang Bersyarat Banyak kej adian k k d
25 s e y
Cont oh 8 Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. tempatkan di Hotel I 50% di Hotel B dan 30% di Hotel S Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa,
a. Seseorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik. y
b. Seseorang yang mendapat kamar mandi yang tidak baik ditempatkan di Hotel S.
27
Ref erensi R f i Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and g y Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Statistics , London : Springer, 2005.
Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan
Analysis of Data Analysis of Data , USA: Duxbury Press, 1997. USA: Duxbury Press 1997 Penerbit ITB, 1995. P bit ITB 1995 Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan , Edisi 4, Bandung: 8th Ed., 2007.Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering,
in Data Analysis and Inference , USA: John Wiley&Sons,Inc.,Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. 2000.