MAKALAH BILANGAN JAM MODULO docx
PEMBAHASAN
1.1 Pengertian bilangan jam atau modulo
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan
pengukuran. Dalam bilangan tersebut ada banyak macam macam bilangan, diantaranya
adalah aritmatika jam/modulo.
Untuk memudahkam penjelasan definisi tersebut maka perlu diilustrasikan sebuah
bilangan jam tertentu.
Modulo adalah sebuah operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu
bilangan terhadap bilangan lainnya. Misalkan dua bilangan a dan b, a modulo b (disingkat a
mod b) adalah bilangan-bilangan bulat sisa pembagian a oleh b. Misalnya, “1 mod 3”, “4
mod 3”, dan “7 mod 3” memiliki hasil 1, karena ketiga bilangan tersebut memiliki sisa 1 jika
di bagi oleh 3, sedangkan “9 mod 3” sama dengan 0. Penerapan operasi modulus dalam teori
bilangan tergolong aritmatika modulo.
Bilangan modulo adalah bilangan yang banyak bilanganya terbatas. Maksudnya
bilangan yang banyak bilanganya terbatas ini adalah angka-angka yang terdapat pada
permukaan sebuah jam. Pada aritmatika jam angka-angka yang dapat dipergunakan adalah
persis sama dengan angka-angka pada jam tersebut dan tidak mengenal adanya bilangan
negatif.
1.1.1 Teori Dasar Aritmetika Modulo
Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m
(dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m
Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 3 + 4 = 7 = 3 (mod 4)
=> 2 + 4 = 6 = 2 (mod 4)
2.) Pada modulo 5 (Z5)
3+4=....?
2+4=....?
3+6=....?
=> 3 + 4 = 7 = 2 (mod 5)
=> 2 + 4 = 6 = 1 (mod 5)
=> 2 + 6 = 8 = 3 (mod 5)
b. Asosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c
Contoh :
1.) Pada modulo 6 (Z6)
7 + (4 + 9) = (7 + 4) + 9
20 = 20
= 2 (mod 6)
2.) Pada modulo 7 (Z7)
11 + (7 + 13) = (11 + 7) + 13
31 = 31
= 3 (mod 7)
3
c. Identitas, a + i = a
Ǝ0 ϵ Zx ϶ a + 0 = a = 0 + a
Contoh :
1.) Pada modulo 3 (Z3)
2+0=2
2.) Pada modulo 5 (Z5)
4+0=4
d. Invers, a + a-1 = i
Contoh :
1.) Pada modulo 4 (Z4)
0+0=0
1+3=0
2+2=0
3+1=0
2.) Pada modulo 7 (Z7)
0+0=0
1+6=0
2+5=0
3+4=0
4+3=0
5+2=0
6+1=0
e. Komutatif, a + b = b + a
Contoh :
1.) Pada modulo 3 (Z3)
2+2 =2+2
1=1
2.) Pada modulo 5 (Z5)
3+1=1+3
4 =4
4
Untuk membuktikan sifat close, asosiatif, elemen identitas, invers, dan komutatif dari
penjumlahan
0+0=0
0+2=2
0+3=3
0+4=0
1+0=1
1+1=2
1+2=3
1+3=0
2+0=2
2+1=3
2+2=0
2+3=1
3+0=3
3+1=0
3+2=1
3+3=2
Dari perhitunganya di atas terlihat bahwa operasi penjumlahan pada modulo 4
bersifat: closed dan komutatif.
Untuk menyelidiki berlaku tidaknya sifat assosiatifnya, Cukup dengan memberikan
satu contoh saja (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 2
1 + (2 + 3) = 1 + 1 = 2. Terlihat pada
{Z4,+) berlaku sifat assosiatif. Untuk menyelidiki elemen identitasnya kita perhatikan
perhitungan penjumlahan di atas dan kita tulis lagi sebagai berikut:
0+0=0
0+1=1
0+2=2
0+3=3
1+0=1
1+1=2
1+2=3
1+3=0
2 + 0= 2
2 + 1= 3
2 + 2= 0
2 + 3= 1
3+0=3
3+1=0
3+2=1
3+3=2
Setelah memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat disimpulkan unsur
identitas bilangan modulo 4 adalah bilangan 0. Untuk mengetahui tentang elemen inversnya
kita perhatikan table penjumlahan dan kita tulis lagi sebagai berikut:
0+0=0
0+1=1
0+2=2
0+3=3
1+0=1
1+1=2
1+2=3
1+3=0
2 + 0= 2
2 + 1= 3
2 + 2= 0
2 + 3= 1
3+0=3
3+1=0
3+2=1
3+3=2
Dengan memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat kita ketahui invers
dari setiap elemen pada modulo 4 tersebut. Yaitu invers 0 adalah 0, inversnya 1 adalah 3,
inversnya 2 adalah 2, dan inversnya 3 adalah 1.
Dari penyelidikan dapat disimpulkan bahwa operasi penjumlahan pada bilangan
modulo 4 memiliki sifat-sifat closed, komutatif, assosiatif, elemen identitas,dan setiap
elemen memiliki invers, sehingga dapata katakana group Abel.
2.1.2 Operasi Perkalian Bilangan Modulo
Z ={0,1,2,3, …} Diberikan (Z,+) maka ∀a,b,c ϵ z berlaku :
a. Close, a x b = ϵ Z
Contoh :
1.) Pada modulo 5 (Z5)
93 x7 = 651 = 1 ( mod 5)
5
2.) Pada modulo 9 (Z9)
83 x11 = 913 = 4 ( mod 9 )
b. Asosiatif, a x (b x c) = (a x b) x c
Contoh:
1.) Pada modulo 8 (Z8)
9 x (13 x 11) = (9 x 13) x 11
9 x 143 = 117 x 11
1287 = 1287
7 (mod 8) = 7 (mod 8)
2.) Pada modulo 10 (Z10)
17 x (13 x 15) = (17 x 13) x 15
17 x 195 = 221 x 15
3315 = 3315
5 ( mod 10) = 5 ( mod 10)
c. Identitas, a x 1 = 1 x a
Ǝ1 ϵ Zx ϶ a x1 = a = 1 x a
Contoh :
1.) Pada modulo 6 ( Z6)
5x1=1x5
2.) Pada modulo 9 (Z9)
1 x8=8x1
d. Invers, a x a-1 = 1
a -1= 1/a € Z
Contoh :
1.) Pada modulo 7 (Z7)
7 x a-1 = 1
a-1 = 1/7 => € Z
2.) Pada modulo 5 (Z5)
1 x a-1 = 1
a-1 = 1/1 => ϵ Z
6
e. Komutatif, a x b = b x a
Contoh :
1.) Pada modulo 10 (Z10)
8x9=9x8
72 = 72
2 (mod 10) = 2 (mod 10)
2.) Pada modulo 8 (Z8)
19 x 7 = 7 x 19
133 = 133
5 ( mod 8) = 5 (mod 8)
Untuk membuktikan sifat-sifat perkalian yaitu; close, asosiatif, elemen identitas,
invers, dan komutatif.
0x0=0
0x1=0
0x2=0
0x3=0
1x0=0
1x1=1
1x2=2
1x3=3
2x0=0
2x1=2
2x2=0
2x3=2
3x0=0
3x1=3
3x2=2
3x3=1
Berdasarkan perhitungan tersebut terlihat bahwa dalam modulo 4 berlaku sifat-sifat:
close, komutatif. Untuk menyelidiki berlaku tidaknya system asosiatif, cukup dengan memberikan satu contoh saja ( 1 x 2) x 3 = 2 x 3 = 2 dan 1 x (2 x 3) = 1 x 2 = 2. Terlihat pada ( Z 4,
x) berlaku sifat asosiatif. Selanjutnya perhatikan perhitungan perkalian bilangan modulo 4
berikut:
0x0=0
0x1=0
0x2=0
0x3=0
1x0=0
1x1=1
1x2=2
1x3=3
2x0=0
2x1=2
2x2=0
2x3=2
3x0=0
3x1=3
3x2=2
3x3=1
Setelah memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat disimpulkan unsur identitas
bilangan modulo 4 adalah bilangan 1. Kemudian perhatikan perhitungan perkalian bilangan
modulo 4 dan tulis lagi sebagai berikut:
0x0=0
0x1=0
0x2=0
0x3=0
1x0=0
1x1=1
1x2=2
1x3=3
2x0=0
2x1=2
2x2=0
2x3=2
3x0=0
3x1=3
3x2=2
3x3=1
Dengan memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat diketahui invers dari elemen
pada bilangan modulo 4 tersebut yaitu inversnya 1 adalah 1 dan 3 inversnya 3. Sedangkan 0
dan 2 tidak memiliki invers.
Dari proses penyelidikan dapat disimpulkan bahwa operasi perkalian pada modulo 4
merupakan system matematika yang memiliki sifat close, komutatif, assosiatif, memiliki elemen identitas tetapi tidak setiap elemen bilangan modulo 4 meiliki invers sehingga belum dapat dikatakan grup Abel.
Aritmatika modulo apabila a dan b adalah bilangan bulat, dan m adalah bilangan asli.
Maka a kongruensi dengan b modular n ditulis a = b ( mod n) jika dan hanya jika a – b adalah
kelipatan n.
7
2.2 Aplikasi Bilangan jam atau modulo
Teori bilangan merupakan bagian dari matematika yang tergolong sudah tua
usianya. Namun demikian, akhir-akhir ini Teori Bilangan menjadi dasar dari
pengembangan beberapa cabang matematika seperti cryptografi (tulisan rahasia/sandi)
dan ilmu pengetahuan komputer
sebagai salah satu pengembangan dalam matematika terapan. Sistem modulo
merupakan bagian yang cukup penting dalam Teori Bilangan.
Salah satu penggunaan sistem modulo yang sangat menarik adalah untuk
menentukan hari . Baik hari yang telah lampau ataupun yang akan datang.
Syaratnya adalah tanggal, bulan dan tahun yang akan dicari hari diketahui
dengan pasti. Sering kita alami kejadian untuk menentukan hari suatu tanggal yang
kita anggap begitu bersejarah bagi kita tak berhasil kita ingat dengan benar. Mau
melihat kalendar sudah lama dirobek atau bahkan sudah tidak ada lagi. Karena
kesulitan mencari kalender tahun- tahun yang telah lampau untuk menentukan hari
tanggal yang penting adalah suatu permasalahan yang harus dicari penyelesaiana atau
jawabannya secara umum dan matematis. Oleh karena itu, berikut ini akan disajikan
beberapa cara yang mudah dan sederhana untuk keperluan itu.
Cara yang akan sajikan di bawah ini tidak hanya dipakai untuk mengingat
hari yang telah lampau, melainkan juga untuk menentukan hari yang akan datang.
2.2.1 Aplikasi bilangan jam atau modulo Menentukan hari
Pandang himpunan H = {Minggu, Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at,
Sabtu}. Dengan menggunakan tiga pengertian pokok, yakni:
1. Sistem modulo 7.
2. Tahun biasa = 365 hari.
3. Tahun kabisat = 366 hari (tahun yang bilangannya habis dibagi empat).
Maka akan muncul rumus-rumus yang dapat dipakai untuk mencari hari
dari tanggal, bulan, dan tahun yang diinginkan. Pada prinsipnya jumlah semua
hari dari Kalendar Masehi dimulai dari tanggal 1 bulan Januari tahun 1 sampai
dengan tanggal x bulan y tahun z yang akan dicari harinya, dihitung kemudian
hasilnya dibagi dengan 7. Dengan beberapa percobaan yang nanti akan kami
uraikan, ternyata apabila sisanya nol jatuh pada hari sabtu, bila sisanya 1 jatuh
pada hari Minggu dan seterusnya akhirnya bila sisanya 6 jatuh pada hari Jum’at,
seperti pada tabel berikut ini.
Tabel 1 :
Sisa
0
1
2
3
4
5
6
Hari
Sabtu
Minggu
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
8
Perlu diketahui bahwa jumlah hari tahun biasa = 365 hari,
berarti 365 = 1 (modulus 7), sedangkan jumlah hari tahun kabisat = 366 hari,
berarti 366 = 2 (modulus 7).
Suatu tahun tertentu dapat dinyatakan sebagai jumlahan tahun biasa dan tahun
kabisat, sehingga jumlah harinya juga dapat dihitung.
Misal A tahun = B tahun biasa + C tahun kabisat.
Jumlah hari itu dibagi dengan 7
misalkan : A = B + 2 C = D = 7 E + F
dimana:
E : bilangan asli hasil pembagian D oleh 7.
F : sisa pembagian
maka A tahun = F hari (modulus 7).
Dengan sedikit gambaran di atas maka untuk menentukan hari tertentu dapat
dipergunakan beberapa cara sebagai berikut.
Cara I :
Menggunakan rumus :
U + V – W = S (modulus 7)
dengan,
U : jumlah tahun
V : bilangan bulat terbesar dari (U/4)
W : jumlah hari dari tanggal (p + l) sampai dengan 31 Desember (lihat tabel 2)
S : sisa pembagian modulo 7 (lihat tabel 1).
Tabel 2. Jumlah hari tiap-tiap bulan
Bulan
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Tahun biasa/kabisat
31
28/29
31
30
31
30
31
31
30
31
30
31
Contoh :
a. ) Kemerdekaan Republik Indonesia 17 agustus 1945 jatuh pada hari apa ?
Dengan menggunakan cara (1) :
U + V – W = S (modulus 7)
maka berarti :
U = 1945
V = (U/4) = (1945/4) = 486.25 = 486
W = jumlah hari dari 18 Agustus – 31 Desember
= 14 + 30 + 31 + 30 + 31 = 136
9
sehingga, U + V – W = 1945 + 486 – 136 = 2295 = 6 (modulo 7)
Kesimpulan, karena S = 6, maka menurut Tabel 2 : 17 Agustus 1945
jatuh pada hari Jum’at.
Cara II :
Menggunakan rumus :
X + Y + Z = S (modulus 7)
dengan, X : U – 1 (U adalah jumlah tahun)
Y : bilangan bulat terbesar dari (X/4)
Z : jumlah hari dari tanggal l Januari sampai tanggal yang dicari (lihat tabel 2).
S : sisa pembagian modulo 7 (lihat tabel 1).
Contoh:
a.) Kemerdekaan Republik Indonesia 17 agustus 1945 jatuh pada hari apa ?
Dengan menggunakan cara 2 :
X + Y + Z = S (modulus 7)
Maka berarti :
X = U - 1 = 1945 - 1 = 1944
Y = (X/4) = (1944/4) = 486
Z = jumlah hari dari 1 Januari – 17 Agustus
= 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 17 = 229
sehingga, X + Y + Z = 1944 + 486 + 229 = 2659 = 6 (modulo 7)
Kesimpulan, karena S = 6, maka menurut Tabel 2 : 17 Agustus 1945
jatuh pada hari Jum’at
2.4.2 Aplikasi bilangan jam atau modulo Menentukan jam
Di setiap jam dinding yang normal, ada terdapat 12 angka. Yaitu 1, 2, 3,
4, … 12. Pada jam digital, angka 12 diganti dengan angka 0. Sehingga angkaangka yang tersedia adalah 0, 1, 2, 3 … 11. Walaupun jam digital bisa disetting sehingga menunjukkan angka 0, 1, 2, 3 … 23, banyak orang lebih
memilih memakai setting 12-jam, yaitu 0, 1, 2, 3, .. 11. Begitu pula para
matematikawan. Mereka lebih suka memakai angka 0, 1, 2, 3, … 11. Jangan
tanya kenapa.
Di dalam artikel ini, semua jam akan mengikuti sistem 12-jam ala
matematikawan, yaitu jam dinding dengan angka 0, 1, 2, 3 … 11. Angka 0
berada di posisi angka 12. Agara lebih mudah dipahami, perhatikan gambar
berikut :
10
Kita tahu bahwa dalam 12 jam, jarum jam akan kembali ke posisinya
semula, yaitu 0. Kita katakan bahwa jarum jam akan membutuhkan 12 jam
untuk melakukan satu “putaran penuh”. Dengan kata lain, satu putaran penuh =
12 jam. Sekarang, seperti layaknya kebiasaan di dunia matematika yang
membosankan, akan kita lakukan ritual simbolisasi
a = menyatakan waktu. Untuk masa lalu diberi tanda negatif (-) dan untuk
masa yang akan datang tidak diberi tanda, alias positif (+).
q = menyatakan banyaknya putaran
d = menyatakan waktu yang diperlukan untuk melakukan satu “putaran
penuh”. Dengan demikian d = 12.
r = menyatakan sisa waktu setelah berputar-putar.
Contoh :
1. Bila sekarang jarum jam tepat menunjukkan pada angka 0. Dalam 32 jam
mendatang, ke angka berapakah jarum jam akan menunjuk?
2. Bila sekarang jarum jam tepat menunjukkan pada angka 0. Empat jam yang
lalu, di angka berapakah jarum jam menunjuk?
Pembahasan
1.
Waktu yang dimiliki adalah 32 jam (di masa yang akan datang). Dengan
demikian a = 32.
Dalam 32 jam, jarum jam melakukan dua kali putaran penuh. Dengan
demikian q = 2.
Karena jarum jam berputar dua kali, maka waktu yang habis untuk berputarputar adalah 24 jam. Sisanya adalah 8 jam. Dengan demikian r = 8.
Secara matematis dapat dituliskan 32 = 2.12 + 8
2.
Waktu yang dimiliki adalah 4 jam (di masa lampau). Dengan demikian a =
-4.
Dalam 4 jam (ke belakang), jarum jam belum melakukan satu kalipun
putaran penuh. Dengan demikian q = 0.
Karena dalam 4 jam (ke belakang) si jarum belum berputar sama sekali,
maka sisa waktunya tetap 4 jam. Dengan demikian r = -4 (perhatikan tanda
negatif).
11
Secara matematis dapat dituliskan -4 = 0.12 + -4
Karena jam kita tidak memiliki angka -4, maka kita harus mengubahnya
menjadi suatu angka yang “dikenali” oleh jam kita. Karena kita tahu dalam
12 jam, si jarum pasti akan kembali ke posisinya semula, maka jam -4 akan
menunjukkan angka yang sama dengan jam -4 + 12 alias 8. Dengan
demikian, jarum jam di pukul -4.00 akan menunjukkan angka 8.
12
PENUTUP
2.3 Kesimpulan
Bahwa pada bilangan modulo sifat-sifat dari penjumlahan adalah closed, assosiatif,
komutatif, elemen identitas 0 dan inversnya di setiap elemen bilangan memiliki invers
sehingga disebut group Abel.
Sedangkan sifat-sifat perkalian pada bilangan modulo adalah closed, komutatif,
assosiatif, elemen identitas 1 dan inversnya tidak disetiap elemen bilangan modulo memiliki
invers sehingga belum dapat dikatakan group Abel.
13
DAFTAR PUSTAKA
Dedi Heryadi. 2007. Matematika. Jakarta: Yudhistira.
Sartono. 2008. Matematika Ib. Jakarta: Erlangga
Sunardi,dkk. 2008. Matematika II. Jakarta: Bumi Aksara.
https://books.google.co.id/books?
id=5B4Ww87crmQC&printsec=frontcover&hl=id&source=gbs_atb#v=onepage&q&f=false
14
1.1 Pengertian bilangan jam atau modulo
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan
pengukuran. Dalam bilangan tersebut ada banyak macam macam bilangan, diantaranya
adalah aritmatika jam/modulo.
Untuk memudahkam penjelasan definisi tersebut maka perlu diilustrasikan sebuah
bilangan jam tertentu.
Modulo adalah sebuah operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu
bilangan terhadap bilangan lainnya. Misalkan dua bilangan a dan b, a modulo b (disingkat a
mod b) adalah bilangan-bilangan bulat sisa pembagian a oleh b. Misalnya, “1 mod 3”, “4
mod 3”, dan “7 mod 3” memiliki hasil 1, karena ketiga bilangan tersebut memiliki sisa 1 jika
di bagi oleh 3, sedangkan “9 mod 3” sama dengan 0. Penerapan operasi modulus dalam teori
bilangan tergolong aritmatika modulo.
Bilangan modulo adalah bilangan yang banyak bilanganya terbatas. Maksudnya
bilangan yang banyak bilanganya terbatas ini adalah angka-angka yang terdapat pada
permukaan sebuah jam. Pada aritmatika jam angka-angka yang dapat dipergunakan adalah
persis sama dengan angka-angka pada jam tersebut dan tidak mengenal adanya bilangan
negatif.
1.1.1 Teori Dasar Aritmetika Modulo
Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m
(dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m
Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 3 + 4 = 7 = 3 (mod 4)
=> 2 + 4 = 6 = 2 (mod 4)
2.) Pada modulo 5 (Z5)
3+4=....?
2+4=....?
3+6=....?
=> 3 + 4 = 7 = 2 (mod 5)
=> 2 + 4 = 6 = 1 (mod 5)
=> 2 + 6 = 8 = 3 (mod 5)
b. Asosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c
Contoh :
1.) Pada modulo 6 (Z6)
7 + (4 + 9) = (7 + 4) + 9
20 = 20
= 2 (mod 6)
2.) Pada modulo 7 (Z7)
11 + (7 + 13) = (11 + 7) + 13
31 = 31
= 3 (mod 7)
3
c. Identitas, a + i = a
Ǝ0 ϵ Zx ϶ a + 0 = a = 0 + a
Contoh :
1.) Pada modulo 3 (Z3)
2+0=2
2.) Pada modulo 5 (Z5)
4+0=4
d. Invers, a + a-1 = i
Contoh :
1.) Pada modulo 4 (Z4)
0+0=0
1+3=0
2+2=0
3+1=0
2.) Pada modulo 7 (Z7)
0+0=0
1+6=0
2+5=0
3+4=0
4+3=0
5+2=0
6+1=0
e. Komutatif, a + b = b + a
Contoh :
1.) Pada modulo 3 (Z3)
2+2 =2+2
1=1
2.) Pada modulo 5 (Z5)
3+1=1+3
4 =4
4
Untuk membuktikan sifat close, asosiatif, elemen identitas, invers, dan komutatif dari
penjumlahan
0+0=0
0+2=2
0+3=3
0+4=0
1+0=1
1+1=2
1+2=3
1+3=0
2+0=2
2+1=3
2+2=0
2+3=1
3+0=3
3+1=0
3+2=1
3+3=2
Dari perhitunganya di atas terlihat bahwa operasi penjumlahan pada modulo 4
bersifat: closed dan komutatif.
Untuk menyelidiki berlaku tidaknya sifat assosiatifnya, Cukup dengan memberikan
satu contoh saja (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 2
1 + (2 + 3) = 1 + 1 = 2. Terlihat pada
{Z4,+) berlaku sifat assosiatif. Untuk menyelidiki elemen identitasnya kita perhatikan
perhitungan penjumlahan di atas dan kita tulis lagi sebagai berikut:
0+0=0
0+1=1
0+2=2
0+3=3
1+0=1
1+1=2
1+2=3
1+3=0
2 + 0= 2
2 + 1= 3
2 + 2= 0
2 + 3= 1
3+0=3
3+1=0
3+2=1
3+3=2
Setelah memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat disimpulkan unsur
identitas bilangan modulo 4 adalah bilangan 0. Untuk mengetahui tentang elemen inversnya
kita perhatikan table penjumlahan dan kita tulis lagi sebagai berikut:
0+0=0
0+1=1
0+2=2
0+3=3
1+0=1
1+1=2
1+2=3
1+3=0
2 + 0= 2
2 + 1= 3
2 + 2= 0
2 + 3= 1
3+0=3
3+1=0
3+2=1
3+3=2
Dengan memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat kita ketahui invers
dari setiap elemen pada modulo 4 tersebut. Yaitu invers 0 adalah 0, inversnya 1 adalah 3,
inversnya 2 adalah 2, dan inversnya 3 adalah 1.
Dari penyelidikan dapat disimpulkan bahwa operasi penjumlahan pada bilangan
modulo 4 memiliki sifat-sifat closed, komutatif, assosiatif, elemen identitas,dan setiap
elemen memiliki invers, sehingga dapata katakana group Abel.
2.1.2 Operasi Perkalian Bilangan Modulo
Z ={0,1,2,3, …} Diberikan (Z,+) maka ∀a,b,c ϵ z berlaku :
a. Close, a x b = ϵ Z
Contoh :
1.) Pada modulo 5 (Z5)
93 x7 = 651 = 1 ( mod 5)
5
2.) Pada modulo 9 (Z9)
83 x11 = 913 = 4 ( mod 9 )
b. Asosiatif, a x (b x c) = (a x b) x c
Contoh:
1.) Pada modulo 8 (Z8)
9 x (13 x 11) = (9 x 13) x 11
9 x 143 = 117 x 11
1287 = 1287
7 (mod 8) = 7 (mod 8)
2.) Pada modulo 10 (Z10)
17 x (13 x 15) = (17 x 13) x 15
17 x 195 = 221 x 15
3315 = 3315
5 ( mod 10) = 5 ( mod 10)
c. Identitas, a x 1 = 1 x a
Ǝ1 ϵ Zx ϶ a x1 = a = 1 x a
Contoh :
1.) Pada modulo 6 ( Z6)
5x1=1x5
2.) Pada modulo 9 (Z9)
1 x8=8x1
d. Invers, a x a-1 = 1
a -1= 1/a € Z
Contoh :
1.) Pada modulo 7 (Z7)
7 x a-1 = 1
a-1 = 1/7 => € Z
2.) Pada modulo 5 (Z5)
1 x a-1 = 1
a-1 = 1/1 => ϵ Z
6
e. Komutatif, a x b = b x a
Contoh :
1.) Pada modulo 10 (Z10)
8x9=9x8
72 = 72
2 (mod 10) = 2 (mod 10)
2.) Pada modulo 8 (Z8)
19 x 7 = 7 x 19
133 = 133
5 ( mod 8) = 5 (mod 8)
Untuk membuktikan sifat-sifat perkalian yaitu; close, asosiatif, elemen identitas,
invers, dan komutatif.
0x0=0
0x1=0
0x2=0
0x3=0
1x0=0
1x1=1
1x2=2
1x3=3
2x0=0
2x1=2
2x2=0
2x3=2
3x0=0
3x1=3
3x2=2
3x3=1
Berdasarkan perhitungan tersebut terlihat bahwa dalam modulo 4 berlaku sifat-sifat:
close, komutatif. Untuk menyelidiki berlaku tidaknya system asosiatif, cukup dengan memberikan satu contoh saja ( 1 x 2) x 3 = 2 x 3 = 2 dan 1 x (2 x 3) = 1 x 2 = 2. Terlihat pada ( Z 4,
x) berlaku sifat asosiatif. Selanjutnya perhatikan perhitungan perkalian bilangan modulo 4
berikut:
0x0=0
0x1=0
0x2=0
0x3=0
1x0=0
1x1=1
1x2=2
1x3=3
2x0=0
2x1=2
2x2=0
2x3=2
3x0=0
3x1=3
3x2=2
3x3=1
Setelah memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat disimpulkan unsur identitas
bilangan modulo 4 adalah bilangan 1. Kemudian perhatikan perhitungan perkalian bilangan
modulo 4 dan tulis lagi sebagai berikut:
0x0=0
0x1=0
0x2=0
0x3=0
1x0=0
1x1=1
1x2=2
1x3=3
2x0=0
2x1=2
2x2=0
2x3=2
3x0=0
3x1=3
3x2=2
3x3=1
Dengan memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat diketahui invers dari elemen
pada bilangan modulo 4 tersebut yaitu inversnya 1 adalah 1 dan 3 inversnya 3. Sedangkan 0
dan 2 tidak memiliki invers.
Dari proses penyelidikan dapat disimpulkan bahwa operasi perkalian pada modulo 4
merupakan system matematika yang memiliki sifat close, komutatif, assosiatif, memiliki elemen identitas tetapi tidak setiap elemen bilangan modulo 4 meiliki invers sehingga belum dapat dikatakan grup Abel.
Aritmatika modulo apabila a dan b adalah bilangan bulat, dan m adalah bilangan asli.
Maka a kongruensi dengan b modular n ditulis a = b ( mod n) jika dan hanya jika a – b adalah
kelipatan n.
7
2.2 Aplikasi Bilangan jam atau modulo
Teori bilangan merupakan bagian dari matematika yang tergolong sudah tua
usianya. Namun demikian, akhir-akhir ini Teori Bilangan menjadi dasar dari
pengembangan beberapa cabang matematika seperti cryptografi (tulisan rahasia/sandi)
dan ilmu pengetahuan komputer
sebagai salah satu pengembangan dalam matematika terapan. Sistem modulo
merupakan bagian yang cukup penting dalam Teori Bilangan.
Salah satu penggunaan sistem modulo yang sangat menarik adalah untuk
menentukan hari . Baik hari yang telah lampau ataupun yang akan datang.
Syaratnya adalah tanggal, bulan dan tahun yang akan dicari hari diketahui
dengan pasti. Sering kita alami kejadian untuk menentukan hari suatu tanggal yang
kita anggap begitu bersejarah bagi kita tak berhasil kita ingat dengan benar. Mau
melihat kalendar sudah lama dirobek atau bahkan sudah tidak ada lagi. Karena
kesulitan mencari kalender tahun- tahun yang telah lampau untuk menentukan hari
tanggal yang penting adalah suatu permasalahan yang harus dicari penyelesaiana atau
jawabannya secara umum dan matematis. Oleh karena itu, berikut ini akan disajikan
beberapa cara yang mudah dan sederhana untuk keperluan itu.
Cara yang akan sajikan di bawah ini tidak hanya dipakai untuk mengingat
hari yang telah lampau, melainkan juga untuk menentukan hari yang akan datang.
2.2.1 Aplikasi bilangan jam atau modulo Menentukan hari
Pandang himpunan H = {Minggu, Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at,
Sabtu}. Dengan menggunakan tiga pengertian pokok, yakni:
1. Sistem modulo 7.
2. Tahun biasa = 365 hari.
3. Tahun kabisat = 366 hari (tahun yang bilangannya habis dibagi empat).
Maka akan muncul rumus-rumus yang dapat dipakai untuk mencari hari
dari tanggal, bulan, dan tahun yang diinginkan. Pada prinsipnya jumlah semua
hari dari Kalendar Masehi dimulai dari tanggal 1 bulan Januari tahun 1 sampai
dengan tanggal x bulan y tahun z yang akan dicari harinya, dihitung kemudian
hasilnya dibagi dengan 7. Dengan beberapa percobaan yang nanti akan kami
uraikan, ternyata apabila sisanya nol jatuh pada hari sabtu, bila sisanya 1 jatuh
pada hari Minggu dan seterusnya akhirnya bila sisanya 6 jatuh pada hari Jum’at,
seperti pada tabel berikut ini.
Tabel 1 :
Sisa
0
1
2
3
4
5
6
Hari
Sabtu
Minggu
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
8
Perlu diketahui bahwa jumlah hari tahun biasa = 365 hari,
berarti 365 = 1 (modulus 7), sedangkan jumlah hari tahun kabisat = 366 hari,
berarti 366 = 2 (modulus 7).
Suatu tahun tertentu dapat dinyatakan sebagai jumlahan tahun biasa dan tahun
kabisat, sehingga jumlah harinya juga dapat dihitung.
Misal A tahun = B tahun biasa + C tahun kabisat.
Jumlah hari itu dibagi dengan 7
misalkan : A = B + 2 C = D = 7 E + F
dimana:
E : bilangan asli hasil pembagian D oleh 7.
F : sisa pembagian
maka A tahun = F hari (modulus 7).
Dengan sedikit gambaran di atas maka untuk menentukan hari tertentu dapat
dipergunakan beberapa cara sebagai berikut.
Cara I :
Menggunakan rumus :
U + V – W = S (modulus 7)
dengan,
U : jumlah tahun
V : bilangan bulat terbesar dari (U/4)
W : jumlah hari dari tanggal (p + l) sampai dengan 31 Desember (lihat tabel 2)
S : sisa pembagian modulo 7 (lihat tabel 1).
Tabel 2. Jumlah hari tiap-tiap bulan
Bulan
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Tahun biasa/kabisat
31
28/29
31
30
31
30
31
31
30
31
30
31
Contoh :
a. ) Kemerdekaan Republik Indonesia 17 agustus 1945 jatuh pada hari apa ?
Dengan menggunakan cara (1) :
U + V – W = S (modulus 7)
maka berarti :
U = 1945
V = (U/4) = (1945/4) = 486.25 = 486
W = jumlah hari dari 18 Agustus – 31 Desember
= 14 + 30 + 31 + 30 + 31 = 136
9
sehingga, U + V – W = 1945 + 486 – 136 = 2295 = 6 (modulo 7)
Kesimpulan, karena S = 6, maka menurut Tabel 2 : 17 Agustus 1945
jatuh pada hari Jum’at.
Cara II :
Menggunakan rumus :
X + Y + Z = S (modulus 7)
dengan, X : U – 1 (U adalah jumlah tahun)
Y : bilangan bulat terbesar dari (X/4)
Z : jumlah hari dari tanggal l Januari sampai tanggal yang dicari (lihat tabel 2).
S : sisa pembagian modulo 7 (lihat tabel 1).
Contoh:
a.) Kemerdekaan Republik Indonesia 17 agustus 1945 jatuh pada hari apa ?
Dengan menggunakan cara 2 :
X + Y + Z = S (modulus 7)
Maka berarti :
X = U - 1 = 1945 - 1 = 1944
Y = (X/4) = (1944/4) = 486
Z = jumlah hari dari 1 Januari – 17 Agustus
= 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 17 = 229
sehingga, X + Y + Z = 1944 + 486 + 229 = 2659 = 6 (modulo 7)
Kesimpulan, karena S = 6, maka menurut Tabel 2 : 17 Agustus 1945
jatuh pada hari Jum’at
2.4.2 Aplikasi bilangan jam atau modulo Menentukan jam
Di setiap jam dinding yang normal, ada terdapat 12 angka. Yaitu 1, 2, 3,
4, … 12. Pada jam digital, angka 12 diganti dengan angka 0. Sehingga angkaangka yang tersedia adalah 0, 1, 2, 3 … 11. Walaupun jam digital bisa disetting sehingga menunjukkan angka 0, 1, 2, 3 … 23, banyak orang lebih
memilih memakai setting 12-jam, yaitu 0, 1, 2, 3, .. 11. Begitu pula para
matematikawan. Mereka lebih suka memakai angka 0, 1, 2, 3, … 11. Jangan
tanya kenapa.
Di dalam artikel ini, semua jam akan mengikuti sistem 12-jam ala
matematikawan, yaitu jam dinding dengan angka 0, 1, 2, 3 … 11. Angka 0
berada di posisi angka 12. Agara lebih mudah dipahami, perhatikan gambar
berikut :
10
Kita tahu bahwa dalam 12 jam, jarum jam akan kembali ke posisinya
semula, yaitu 0. Kita katakan bahwa jarum jam akan membutuhkan 12 jam
untuk melakukan satu “putaran penuh”. Dengan kata lain, satu putaran penuh =
12 jam. Sekarang, seperti layaknya kebiasaan di dunia matematika yang
membosankan, akan kita lakukan ritual simbolisasi
a = menyatakan waktu. Untuk masa lalu diberi tanda negatif (-) dan untuk
masa yang akan datang tidak diberi tanda, alias positif (+).
q = menyatakan banyaknya putaran
d = menyatakan waktu yang diperlukan untuk melakukan satu “putaran
penuh”. Dengan demikian d = 12.
r = menyatakan sisa waktu setelah berputar-putar.
Contoh :
1. Bila sekarang jarum jam tepat menunjukkan pada angka 0. Dalam 32 jam
mendatang, ke angka berapakah jarum jam akan menunjuk?
2. Bila sekarang jarum jam tepat menunjukkan pada angka 0. Empat jam yang
lalu, di angka berapakah jarum jam menunjuk?
Pembahasan
1.
Waktu yang dimiliki adalah 32 jam (di masa yang akan datang). Dengan
demikian a = 32.
Dalam 32 jam, jarum jam melakukan dua kali putaran penuh. Dengan
demikian q = 2.
Karena jarum jam berputar dua kali, maka waktu yang habis untuk berputarputar adalah 24 jam. Sisanya adalah 8 jam. Dengan demikian r = 8.
Secara matematis dapat dituliskan 32 = 2.12 + 8
2.
Waktu yang dimiliki adalah 4 jam (di masa lampau). Dengan demikian a =
-4.
Dalam 4 jam (ke belakang), jarum jam belum melakukan satu kalipun
putaran penuh. Dengan demikian q = 0.
Karena dalam 4 jam (ke belakang) si jarum belum berputar sama sekali,
maka sisa waktunya tetap 4 jam. Dengan demikian r = -4 (perhatikan tanda
negatif).
11
Secara matematis dapat dituliskan -4 = 0.12 + -4
Karena jam kita tidak memiliki angka -4, maka kita harus mengubahnya
menjadi suatu angka yang “dikenali” oleh jam kita. Karena kita tahu dalam
12 jam, si jarum pasti akan kembali ke posisinya semula, maka jam -4 akan
menunjukkan angka yang sama dengan jam -4 + 12 alias 8. Dengan
demikian, jarum jam di pukul -4.00 akan menunjukkan angka 8.
12
PENUTUP
2.3 Kesimpulan
Bahwa pada bilangan modulo sifat-sifat dari penjumlahan adalah closed, assosiatif,
komutatif, elemen identitas 0 dan inversnya di setiap elemen bilangan memiliki invers
sehingga disebut group Abel.
Sedangkan sifat-sifat perkalian pada bilangan modulo adalah closed, komutatif,
assosiatif, elemen identitas 1 dan inversnya tidak disetiap elemen bilangan modulo memiliki
invers sehingga belum dapat dikatakan group Abel.
13
DAFTAR PUSTAKA
Dedi Heryadi. 2007. Matematika. Jakarta: Yudhistira.
Sartono. 2008. Matematika Ib. Jakarta: Erlangga
Sunardi,dkk. 2008. Matematika II. Jakarta: Bumi Aksara.
https://books.google.co.id/books?
id=5B4Ww87crmQC&printsec=frontcover&hl=id&source=gbs_atb#v=onepage&q&f=false
14