My published book (extract from Chap Appendix), "Komputasi Numerik dengan MATLAB" (Penerbit ANDI, 2005)
A
T INJAUAN S INGKAT
K ALKULUS
Salah satu syarat yang diperlukan untuk mempelajari komputasi numerik
adalah pengetahuan dasar tentang kalkulus, termasuk pengenalan beberapa notasi dalam kalkulus, sifat-sifat bilangan riil dan kompleks, pengertian kekontinyuan, limit, turunan, integral, barisan, dan deret. Hal ini
mengingat bahwa beberapa metode numerik yang dipakai dalam komputasi numerik didasarkan pada hasil-hasil dalam kalkulus. Sebagai rujukan singkat bagi pembaca yang tidak menginginkan membuka kembali
buku kalkulus, berikut disajikan beberapa pengertian dan teorema penting dalam kalkulus.
A.1 Limit dan Kekontinuan Fungsi
D EFINISI A.1 (L IMIT F UNGSI ).
Misalkan fungsi f (x) didefinisikan pada himpunan bilangan riil A. Fungsi f
dikatakan mempunyai limit L pada x = x0 , ditulis
!
lim f (x) = L
(A.1)
x x0
jika diberikan bilangan > 0 dapat ditemukan bilangan Æ > 0 sedemikian hingga
jf (x)
j
L < ;
8x 2 (x0
Æ; x0 + Æ )
A:
Jika dimisalkan x = x0 + h, maka persamaan (A.1) ekivalen dengan
lim f (x0 + h) = L
!
h 0
(A.2)
D EFINISI A.2 (F UNGSI KONTINYU ).
Misalkan fungsi f (x) didefinisikan pada himpunan bilangan riil A dan misalkan
481
Pengertian limit fungsi
A.2 Turunan Fungsi
483
pernyataan di bawah ini ekivalen:
1. Fungsi f kontinu di x0 .
2. Jika limn!1 xn
=
x0
, maka limn!1 f (xn ) = f (x0 ).
T EOREMA A.2 (T EOREMA N ILAI E KSTRIM UNTUK F UNGSI K ONTINU ).
Jika fungsi f (x) kontinu pada interval [a; b℄, maka terdapat suatu batas bawah
M1 dan suatu batas atas M2 serta dua buah titik x1 ; x2 2 [a; b℄ sedemikian
hingga
M1 = f (x1 ) f (x) f (x2 ) = M2 ;
8x 2 [a; b℄:
(A.7)
Teorema A.2 mengatakan bahwa setiap fungsi yang kontinu pada
suatu interval terbatas pada interval tersebut. M1 disebut nilai minimum
dan M2 disebut nilai maksimum fungsi f (x) pada interval [a; b℄, dan sering dituliskan
M1
=
f (x 1 )
= min
f
axb
g
f (x ) ;
dan
M2
=
f (x
2) = max
f
axb
g
f (x) :
T EOREMA A.3 (T EOREMA N ILAI A NTARA ).
Misalkan f (x) 2 C [a; b℄ dan misalkan
m
= min
f
axb
g
dan
f (x) ;
M
= max
f
axb
g
f (x) :
Maka untuk setiap L memenuhi m LleM , terdapat
yang memenuhi a <
<
b sedemikian hingga f (
) = L.
A.2 Turunan Fungsi
D EFINISI A.4.
Misalkan f (x) didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat x0 .
Fungsi f dikatakan diferensiabel (dapat diturunkan atau mempunyai turunan)
di titik x0 jika terdapat bilangan m sedemikian hingga
lim
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
x0
Pengantar Komputasi Numerik
=
m:
Pengertian fungsi
diferensiabel
(A.8)
c Sahid (2004 – 2012)
A.3 Integral
485
dapat titik
, a <
< b, sedemikian hingga f (n)
( ) = 0.
A.3 Integral
D EFINISI A.5 (I NTEGRAL R IEMANN ).
Misalkan f 2 C a; b , dan a
x0 < x1 < ::: < xn
a; b . Untuk setiap k
;
; :::; n, misalkan tk 2
xk
xk 1 . Maka jumlah
[
[
℄
℄
=
=1 2
X ( )
= adalah suatu partisi
[ k k ℄ dan k =
b
x
1; x
x
n
f tk
k=1
(A.12)
xk ;
()
[ ℄
disebut hampiran jumlah Riemann untuk integral tentu f x pada a; b . Jika
jumlah Riemann tersebut mempunyai limit untuk n menuju tak berhingga, maka
limit itu disebut integral Riemann, ditulis
Z
a
b
( ) = nlim
!1
f x
dx
X ( )
n
k=1
f tk
(A.13)
xk :
T EOREMA A.9 (T EOREMA D ASAR K ALKULUS ).
Misalkan f kontinu pada a; b .
[ ℄
Z
1. Terdapat suatu fungsi F , sedemikian hingga
b
a
dengan F 0
( ) = ()
f x
dx
( ) = ( ). Fungsi
x
f x
2. Jika a < x < b, maka
d
dx
F
Z
x
a
F b
()
disebut antiderivatif fungsi f .
() = ( )
f t
dt
f x :
T EOREMA A.10 (N ILAI R ATA - RATA UNTUK I NTEGRAL ).
Jika fungsi f kontinu pada interval a; b , maka terdapat titik
,
sedemikian hingga
Z
1
b
a
a
(A.14)
F a ;
[
℄
( ) = ()
T bf x
Pengantar Komputasi Numerik
dx
f
:
(A.15)
,
a <
< b
(A.16)
c Sahid (2004 – 2012)
A.4 Barisan dan Deret
Misalkan x0
2
[a; b℄
487
adalah suatu titik tetap. Deret
X1
f
(k )
(x0 )
k=0
k
(x
k!
x0 ) ;
disebut deret Taylor fungsi f di sekitar x0 , dan dapat dituliskan
f (x) =
X1
f
(k )
(x0 )
k!
k=0
k
(x
(A.20)
x0 ) :
Dengan memisalkan x = x0 + h, maka
f (x0 + h) =
X1
f
(k )
k!
k=0
Demikian pula, jika x = x0
f (x0
h
(x0 )
k
(A.21)
h :
, maka
h) =
X1
f
(k )
(x0 )
k!
k=0
k
(
h) :
(A.22)
T EOREMA A.13 (T EOREMA S ISA TAYLOR ).
Misalkan f 2 C n+1 [a; b℄ (artinya, f mempunyai turunan ke-1, 2, ..., dan ke-n
yang kontinu pada [a; b℄). Misalkan x0 2 [a; b℄ adalah suatu titik tetap. Untuk
setiap x 2 [a; b℄ terdapat
=
(x), a <
< b, sedemikian hingga
(A.23)
f (x) = Pn (x) + Rn (x);
dengan
X
n
Pn (x) =
f
(k )
k=0
dan
Rn (x) =
Pn (x)
f
(n+1)
(x0 )
k!
(
)
(n + 1)!
(x
(x
k
x0 ) ;
n+1
x0 )
:
(A.24)
(A.25)
disebut polinomial Taylor berderajad n1 dan Rn (x) disebut suku sisa
P1 (x) disebut polinomial Taylor linier, P2 (x) disebut polinomial Taylor kuadratik, P3 (x) disebut polinomial Taylor kubik, dst.
1
Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
489
konvergen ke nol, seperti terlihat pada relasi
n+1
O(h
)
n+1
Mh
f
(n+1)
(
)
(n + 1)!
h
n+1
;
untuk h yang cukup kecil. Notasi O(hn ) memiliki sifat-sifat:
p
p
p
p
q
r
1.
O(h ) + O(h ) = O(h )
2.
O(h ) + O(h ) = O(h )
3.
O(h )O(h ) = O(h
p
q
dengan r
f
= min p; q
g
p+q ).
T EOREMA A.15 (T EOREMA TAYLOR ).
Misalkan f 2 C n+1 [a; b℄. Jika x0 dan x =
maka
X
n
f (x0 + h) =
k=0
f
(k )
x0 + h
(x0 )
k!
k
h
terletak pada interval
n+1
+ O(h
,
[a; b℄
(A.27)
):
D EFINISI A.10.
Misalkan limn!1 xn = x dan barisan frn g1
n=1 konvergen ke nol, yakni
1
limn!1 rn = 0. Barisan frn gn=1 dikatakan konvergen ke x dengan orde kekonvergenan O(rn ) jika terdapat sebuah konstanta K > 0 sedemikian hingga
j
xn
j nj
r
x
j
K;
atau
j
xn
j j nj
x
K r
untuk n yang cukup besar. Hal ini sering dituliskan sebagai xn
atau xn ! x dengan orde kekonvergenan O(rn ).
,
= x + O(rn )
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
Misalkan Pn (x) adalah suatu polinomial berderajad n berbentuk
n
Pn (x) = an x
+ an
n
1x
1
2
+ ::: + a2 x
+ a1 x + a0 ;
6
an = 0:
(A.28)
Suatu metode untuk menghitung nilai Pn (x) dikenal dengan nama
metode Horner atau metode pembagian sintetik, yang didasarkan pada
Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
491
Hasil tersebut didasarkan pada perkalian sintetik (A.29). Dari
b2
z
Pn (z )
}|
bn
z}|{
= ((::: (
|
an
z
+ an 1 ) z + ::: + a2 ) z + a1 ) z + a0 :
{z
}
bn 1
|
{
{z
b1
|
}
{z
}
b0
dapat didefinisikan
bn
=
an
bn
1
=
bn
2
=
+ an 1
bn 1 z + a n 2
..
.
bn z
b1
=
b2 z
b0
=
b1 z
(A.32)
+ a1
+ a0 ;
yang menghasilkan
Pn (z )
= b0 :
Selanjutnya, jika didefinisikan polinomial (A.30) dengan koefisienkoefisien bk di atas, dapat diperoleh (A.31).
Hasil di atas bermanfaat untuk mencari akar polinomial dengan
mereduksi derajadnya jika salah satu akarnya sudah diketahui. Perhatikan, jika b0 = 0, maka Pn (z ) = 0, sehingga z merupakan akar persamaan Pn (x) = 0.
Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)
T INJAUAN S INGKAT
K ALKULUS
Salah satu syarat yang diperlukan untuk mempelajari komputasi numerik
adalah pengetahuan dasar tentang kalkulus, termasuk pengenalan beberapa notasi dalam kalkulus, sifat-sifat bilangan riil dan kompleks, pengertian kekontinyuan, limit, turunan, integral, barisan, dan deret. Hal ini
mengingat bahwa beberapa metode numerik yang dipakai dalam komputasi numerik didasarkan pada hasil-hasil dalam kalkulus. Sebagai rujukan singkat bagi pembaca yang tidak menginginkan membuka kembali
buku kalkulus, berikut disajikan beberapa pengertian dan teorema penting dalam kalkulus.
A.1 Limit dan Kekontinuan Fungsi
D EFINISI A.1 (L IMIT F UNGSI ).
Misalkan fungsi f (x) didefinisikan pada himpunan bilangan riil A. Fungsi f
dikatakan mempunyai limit L pada x = x0 , ditulis
!
lim f (x) = L
(A.1)
x x0
jika diberikan bilangan > 0 dapat ditemukan bilangan Æ > 0 sedemikian hingga
jf (x)
j
L < ;
8x 2 (x0
Æ; x0 + Æ )
A:
Jika dimisalkan x = x0 + h, maka persamaan (A.1) ekivalen dengan
lim f (x0 + h) = L
!
h 0
(A.2)
D EFINISI A.2 (F UNGSI KONTINYU ).
Misalkan fungsi f (x) didefinisikan pada himpunan bilangan riil A dan misalkan
481
Pengertian limit fungsi
A.2 Turunan Fungsi
483
pernyataan di bawah ini ekivalen:
1. Fungsi f kontinu di x0 .
2. Jika limn!1 xn
=
x0
, maka limn!1 f (xn ) = f (x0 ).
T EOREMA A.2 (T EOREMA N ILAI E KSTRIM UNTUK F UNGSI K ONTINU ).
Jika fungsi f (x) kontinu pada interval [a; b℄, maka terdapat suatu batas bawah
M1 dan suatu batas atas M2 serta dua buah titik x1 ; x2 2 [a; b℄ sedemikian
hingga
M1 = f (x1 ) f (x) f (x2 ) = M2 ;
8x 2 [a; b℄:
(A.7)
Teorema A.2 mengatakan bahwa setiap fungsi yang kontinu pada
suatu interval terbatas pada interval tersebut. M1 disebut nilai minimum
dan M2 disebut nilai maksimum fungsi f (x) pada interval [a; b℄, dan sering dituliskan
M1
=
f (x 1 )
= min
f
axb
g
f (x ) ;
dan
M2
=
f (x
2) = max
f
axb
g
f (x) :
T EOREMA A.3 (T EOREMA N ILAI A NTARA ).
Misalkan f (x) 2 C [a; b℄ dan misalkan
m
= min
f
axb
g
dan
f (x) ;
M
= max
f
axb
g
f (x) :
Maka untuk setiap L memenuhi m LleM , terdapat
yang memenuhi a <
<
b sedemikian hingga f (
) = L.
A.2 Turunan Fungsi
D EFINISI A.4.
Misalkan f (x) didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat x0 .
Fungsi f dikatakan diferensiabel (dapat diturunkan atau mempunyai turunan)
di titik x0 jika terdapat bilangan m sedemikian hingga
lim
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
x0
Pengantar Komputasi Numerik
=
m:
Pengertian fungsi
diferensiabel
(A.8)
c Sahid (2004 – 2012)
A.3 Integral
485
dapat titik
, a <
< b, sedemikian hingga f (n)
( ) = 0.
A.3 Integral
D EFINISI A.5 (I NTEGRAL R IEMANN ).
Misalkan f 2 C a; b , dan a
x0 < x1 < ::: < xn
a; b . Untuk setiap k
;
; :::; n, misalkan tk 2
xk
xk 1 . Maka jumlah
[
[
℄
℄
=
=1 2
X ( )
= adalah suatu partisi
[ k k ℄ dan k =
b
x
1; x
x
n
f tk
k=1
(A.12)
xk ;
()
[ ℄
disebut hampiran jumlah Riemann untuk integral tentu f x pada a; b . Jika
jumlah Riemann tersebut mempunyai limit untuk n menuju tak berhingga, maka
limit itu disebut integral Riemann, ditulis
Z
a
b
( ) = nlim
!1
f x
dx
X ( )
n
k=1
f tk
(A.13)
xk :
T EOREMA A.9 (T EOREMA D ASAR K ALKULUS ).
Misalkan f kontinu pada a; b .
[ ℄
Z
1. Terdapat suatu fungsi F , sedemikian hingga
b
a
dengan F 0
( ) = ()
f x
dx
( ) = ( ). Fungsi
x
f x
2. Jika a < x < b, maka
d
dx
F
Z
x
a
F b
()
disebut antiderivatif fungsi f .
() = ( )
f t
dt
f x :
T EOREMA A.10 (N ILAI R ATA - RATA UNTUK I NTEGRAL ).
Jika fungsi f kontinu pada interval a; b , maka terdapat titik
,
sedemikian hingga
Z
1
b
a
a
(A.14)
F a ;
[
℄
( ) = ()
T bf x
Pengantar Komputasi Numerik
dx
f
:
(A.15)
,
a <
< b
(A.16)
c Sahid (2004 – 2012)
A.4 Barisan dan Deret
Misalkan x0
2
[a; b℄
487
adalah suatu titik tetap. Deret
X1
f
(k )
(x0 )
k=0
k
(x
k!
x0 ) ;
disebut deret Taylor fungsi f di sekitar x0 , dan dapat dituliskan
f (x) =
X1
f
(k )
(x0 )
k!
k=0
k
(x
(A.20)
x0 ) :
Dengan memisalkan x = x0 + h, maka
f (x0 + h) =
X1
f
(k )
k!
k=0
Demikian pula, jika x = x0
f (x0
h
(x0 )
k
(A.21)
h :
, maka
h) =
X1
f
(k )
(x0 )
k!
k=0
k
(
h) :
(A.22)
T EOREMA A.13 (T EOREMA S ISA TAYLOR ).
Misalkan f 2 C n+1 [a; b℄ (artinya, f mempunyai turunan ke-1, 2, ..., dan ke-n
yang kontinu pada [a; b℄). Misalkan x0 2 [a; b℄ adalah suatu titik tetap. Untuk
setiap x 2 [a; b℄ terdapat
=
(x), a <
< b, sedemikian hingga
(A.23)
f (x) = Pn (x) + Rn (x);
dengan
X
n
Pn (x) =
f
(k )
k=0
dan
Rn (x) =
Pn (x)
f
(n+1)
(x0 )
k!
(
)
(n + 1)!
(x
(x
k
x0 ) ;
n+1
x0 )
:
(A.24)
(A.25)
disebut polinomial Taylor berderajad n1 dan Rn (x) disebut suku sisa
P1 (x) disebut polinomial Taylor linier, P2 (x) disebut polinomial Taylor kuadratik, P3 (x) disebut polinomial Taylor kubik, dst.
1
Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
489
konvergen ke nol, seperti terlihat pada relasi
n+1
O(h
)
n+1
Mh
f
(n+1)
(
)
(n + 1)!
h
n+1
;
untuk h yang cukup kecil. Notasi O(hn ) memiliki sifat-sifat:
p
p
p
p
q
r
1.
O(h ) + O(h ) = O(h )
2.
O(h ) + O(h ) = O(h )
3.
O(h )O(h ) = O(h
p
q
dengan r
f
= min p; q
g
p+q ).
T EOREMA A.15 (T EOREMA TAYLOR ).
Misalkan f 2 C n+1 [a; b℄. Jika x0 dan x =
maka
X
n
f (x0 + h) =
k=0
f
(k )
x0 + h
(x0 )
k!
k
h
terletak pada interval
n+1
+ O(h
,
[a; b℄
(A.27)
):
D EFINISI A.10.
Misalkan limn!1 xn = x dan barisan frn g1
n=1 konvergen ke nol, yakni
1
limn!1 rn = 0. Barisan frn gn=1 dikatakan konvergen ke x dengan orde kekonvergenan O(rn ) jika terdapat sebuah konstanta K > 0 sedemikian hingga
j
xn
j nj
r
x
j
K;
atau
j
xn
j j nj
x
K r
untuk n yang cukup besar. Hal ini sering dituliskan sebagai xn
atau xn ! x dengan orde kekonvergenan O(rn ).
,
= x + O(rn )
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
Misalkan Pn (x) adalah suatu polinomial berderajad n berbentuk
n
Pn (x) = an x
+ an
n
1x
1
2
+ ::: + a2 x
+ a1 x + a0 ;
6
an = 0:
(A.28)
Suatu metode untuk menghitung nilai Pn (x) dikenal dengan nama
metode Horner atau metode pembagian sintetik, yang didasarkan pada
Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
491
Hasil tersebut didasarkan pada perkalian sintetik (A.29). Dari
b2
z
Pn (z )
}|
bn
z}|{
= ((::: (
|
an
z
+ an 1 ) z + ::: + a2 ) z + a1 ) z + a0 :
{z
}
bn 1
|
{
{z
b1
|
}
{z
}
b0
dapat didefinisikan
bn
=
an
bn
1
=
bn
2
=
+ an 1
bn 1 z + a n 2
..
.
bn z
b1
=
b2 z
b0
=
b1 z
(A.32)
+ a1
+ a0 ;
yang menghasilkan
Pn (z )
= b0 :
Selanjutnya, jika didefinisikan polinomial (A.30) dengan koefisienkoefisien bk di atas, dapat diperoleh (A.31).
Hasil di atas bermanfaat untuk mencari akar polinomial dengan
mereduksi derajadnya jika salah satu akarnya sudah diketahui. Perhatikan, jika b0 = 0, maka Pn (z ) = 0, sehingga z merupakan akar persamaan Pn (x) = 0.
Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)