1 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016

PROGRAM LINEAR

  Intisari Teori A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV)

  Suatu pernyataan yang berbentuk ax  by  c  (tanda ketidaksamaan “  “ dapat diganti dengan

  “  “, “ > ”, atau “ < “) dengan a dan b tidak semuanya nol dinamakan pertidaksamaan linear dua variabel PtLDV) Grafik PtLDV adalah himpunan semua titik x , y pada sistem koordinat Cartesius yang

   

  memenuhi PtLDV itu. Grafik ini biasanya digambarkan sebagai suatu daerah yang diarsir pada sistem koordinat Cartesius yang dinamakan daerah himpunan penyelesaian.

1. Menentukan Persamaan Garis

  y a.

  Persamaan Segmen Garis Persamaan garis yang melalui titik-titik a , dan , b

      b bx  ay  ab x y adalah atau   .

    1 bx ay ab

  a b x a

  O b. x , y dan gradien m adalah y y m x x .

     Persamaan garis yang melalui titik    

  1

  1

  1

  1   x x y y _{1 1}

  c. x , y dan x , y adalah atau

  

  Persamaan garis yang melalui titik    

  

1

  1

  2

  2   x x y y _{2 1 2 1}

   y y _{2 1}

     , dengan x x y y x x  _{1  1 }

  1

  2  x x _{2 1} 2.

   Menentukan Persamaan Garis

  Untuk menggambarkan grafik atau daerah himpunan penyelesaian PtLDV berbentuk

    bx ay ab (tanda ketidaksamaan “  “ dapat diganti dengan “  “, “ > ”, atau “ < “) ditempuh tahapan sebagai berikut.

  1. bx  ay  ab dengan dua strategi.

  Gambarkanlah garis

  a. Jika koordinat titik potongnya dengan sumbu-sumbu koordinat mudah diukur (mudah digambarkan), maka tentukan koordinat titik potongnya itu.

     bx ay ab memotong sumbu-x, jika y , maka

• bx  a   ab

  Grafik

   x  a Koodinat titik potong grafik itu dengan sumbu-x adalah a , .

      x 

• bx ay ab memotong sumbu-y, jika , maka

  Grafik

   0    b ay ab  y b Koodinat titik potong grafik itu dengan sumbu-y adalah , b .

    b.

  Jika koordinat titik potongnya dengan sumbu-sumbu koordinat sukar diukur (sukar digambarkan), maka pilihlah dua titik yang terletak pada garis bx  ay  ab sedemikian, sehingga kedua koordinat titik ini mudah digambarkan pada bidang koordinat Cartesius.

  Gambarkanlah kedua titik itu pada bidang Cartesius kemudian tariklah garis lurus yang menghubungkan kedua titik itu, sehingga garis ab ay bx   terlukis.

2. Metode Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian PtLDV a.

  Substitusikan titik

  1

  , y x adalah bukan himpunan penyelesaiannya.

  1

  1

  ab ay bx , daerah yang memuat titik  

    

  1

  1

  , y x adalah himpunan penyelesaiannya.

  1

   

   Metode Substitusi

    

  1

  1

  Jika

  ab ay bx   , 1.

  , y x yang tidak terletak pada garis

  1

  1

  ab ay bx , daerah yang memuat titik  

2. Jika

b. Metode Melihat Koefisien y 1.

  ab ay bx   .

  b ab ay bx

   

  x y O  a

   b

   ab ay bx 

   

  x y O

   a

   

  x y O a b

   

  x y O a

   b

   ab ay bx 

   

   a

  Jika

   ab ay bx 

  sebagai garis batas termasuk pada daerah himpunan penyelesaiannya, maka garis ini digambarkan sebagai garis penuh (tidak terputus-putus).

  2. Jika

  4. Jika

   a , maka ab ay bx

   

  (perhatikan tanda ketidaksamaan “  “), maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis ab ay bx   .

  3. Jika

  , maka ab ay bx   ( perhatikan tanda ketidaksamaan “  “), maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas garis

   

  (perhatikan tanda ketidaksamaan “  “), maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis ab ay bx   .

   a

  ab ay bx  

  , maka ab ay bx   (perhatikan tanda ketidaksamaan “  “), maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas garis

  ab ay bx   .

  5. Arsirlah daerah himpunan penyelesaiannya.

   Catatan:

  Bilamana garis

  ab ay bx   sebagai garis batas tidak termasuk pada daerah himpunan

  penyelesaiannya, maka garis ini digambarkan terputus-putus. Tetapi bilamana garis

   a , maka ab ay bx

  Contoh:

  Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan x  y

  2  4 .

   Solusi: x  y 2  4  Persamaan garisnya: x  y 2 

  

4

y x x y   

  2   4   4 

  4 ,

    x

     y 2  4  y  2  ,

  2

   

  2

   y  x

  2

  4 Koordinat titik potong garis  y  dengan sumbu-x dan x

  2

  4

  sumbu-y masing-masing adalah (4,0) dan (0,2). x

  O

  4 Karena koefisien y dari  y  adalah positif, maka daerah

  x

  2

  4

  himpunan penyelesaian dari PtLDV adalah daerah

  x  y 2 

  4 di bawah garis  y  . x

  2

4 B.

   SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV)

  Sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) adalah suatu sistem yang komponen- komponennya sejumlah berhingga pertidaksamaan linear dua variabel. Grafik atau daerah himpunan penyelesaian dari SPtLDV adalah daerah di bidang datar yang merupakan irisan dari semua komponen-komponennya. Sebagai ilustrasi dari SPtLDV:

   x  y 

  4    2 x y

  4   x 

    y 

   C.

MODEL MATEMATIKA

  Untuk menentukan solusi dari suatu masalah sehari-hari yang memerlukan penerapan matematika, langkah pertama adalah menyusun model matematika dari masalah itu. Data yang terdapat dalam soal itu diterjemahkan ke dalam satu atau beberapa persamaan atau pertidaksamaan. Kemudian solusi dari persamaan atau pertidaksamaan itu digunakan untuk memecahkan masalah itu. Penerapan sistem pertidaksamaan linear (SPtLDV) kelak sering Anda gunakan dalam menentukan solusi dari suatu masalah. Sebagai ilustrasi: “Afifah ingin membuat dua jenis roti, jenis roti I dan jenis roti II. Jenis roti I membutuhkan 150 g tepung dan 50 g mentega. Jenis roti II membutuhkan 75 g tepung dan 75 g mentega.

  Persedian tepung hanya sebanyak 2,25 kg dan mentega hanya sebanyak 1,5 kg. Dengan persediaan tepung dan mentega yang terbatas, Dinda ingin membuat roti sebanyak mungkin dan memperoleh keuntung an seoptimal mungkin” Untuk menentukan solusi dari masalah tersebut dengan matematika, pertama kita terjemahkan soal itu ke dalam bahasa matematika. Hal ini dinamakan merancang atau membuat model matematika. Model Matematika: Data dari soal itu dapat dinyatakan sebagai berikut.

  Bahan Jenis roti I Jenis Roti II Persediaan (g) Tepung (g) 150 75 2.250

  Mentega (g)

  50 75 1.500 Misalnya jenis roti I dan II masing-masing dibuat sebanyak x buah dan y buah. Tersedia 2,25 kg tepung, maka tepung yang dibutuhkan sebanyak 150 75 g tak dapat

  x  y  

  melebihi tepung yang tersedia, yaitu 2,25 kg atau 2.250 g, sehingga diperoleh hubungan

  150 x  75 y  2 . 250  y  .

  2 x 30 … (1)

  Tersedia mentega 1,5 kg, maka mentega yang dibutuhkan sebanyak 50 x 75 y g tak dapat 

   

  melebihi mentega yang tersedia, yaitu 1,5 kg atau 1.500 g, sehingga diperoleh hubungan

  50 x  75 y  1 . 500  y  .... (2) 2 x

  3

60 Karena x dan y bilangan bulat yang tidak negatif, maka

  x 

  …. (3)  .

  y … (4)

  Mudah dipahami bahwa dalam kasus ini, tujuan Afifah sebenarnya adalah memperoleh laba atau keuntungan seoptimal mungkin, dengan kondisi bahan tepung dan mentega yang terbatas. Untuk tujuan ini dibuat suatu fungsi yang dinamakan fungsi tujuan. Dalam kasus ini, fungsi tujuannya adalah fungsi laba atau keuntunga. Misalnya jenis roti I dijual dengan keuntungan Rp 500,00 per buah dan jenis roti II dijual dengan keuntungan Rp 300,00 per buah, maka fungsi keuntungan dapat ditulis sebagai

  f x , y 500 x 300 y .

   

    Model matematika yang telah tersusun dapat ditulis sebagai berikut.

  Syarat (kendala):

     2 x y

  30  2 x  3 y 

  30    x

     y

   Memaksimumkan f x , y  500 x  300 y .

   

  Apabila soal ini telah diselesaikan, maka kita akan mendapatkan program untuk membuat roti, itulah asal nama program linear.

  Kesimpulan:

  Model matematika dari masalah program linear memuat tiga kumpulan unsur, yaitu variabel keputusan, syarat batas (kendala atau constraints), dan fungsi tujuan (fungsi objetif atau fungsi sasaran), yaitu tujuan yang akan dioptimumkan. Jika variabel keputusan yang terlibat

  f x , y

  dalam fungsi ini adalah x dan y, maka fungsi tujuannya ditulis dan dirumuskan

    f x , y ax by a , b R a  b  sebagai   , dengan  , , .

    D.

MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DARI FUNGSI TUJUAN

  Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum atau minimum dari fungsi linear f x , y  ax  by yang dinamakan fungsi tujuan (fungsi objetif atau fungsi

   

  sasaran) terhadap suatu piligon (segi banyak) X yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, termasuk persyaratan variabel-variabel yang

  x

  tidak negatif  dan y  . Setiap titik dalam polygon dinamakan feasible solution (penyelesaian yang mungkin) dari masalah, dan suatu titik dalam polygon X di mana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum. Nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) dari fungsi tujuan

     by ax y x f 

     c y x f , ini dinamakan garis selidik. Tentukan nilai-nilai sebarang

  Tahapan yang ditempuh dalam menentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan menggunakan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.

  1. Memisalkan variabel keputusan atau variabel utama dengan x dan y.

  2. Menyusun model matematika yang terdiri dari menentukan syarat batas fungsi tujuan dan fungsi tujuan.

  3. Perlihatkanlah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan (syarat batas fungsi tujuan) pada bidang Cartesius dan menentukan titik-titik sudutnya.

  4. Gambarlah garis

     c y x f , , c konstanta dengan cara menentukan satu nilai c

  sebarang. Garis

  untuk fungsi f, misalnya c ₁ , c ₂ , c _{3 , … , c n} . Garis

  b.

   

  1

  , c y x f  ,

   

  2

  , c y x f  , … ,

    _n  c y x f , saling sejajar. Sebagian garis-garis itu akan melalui daerah himpunan

  

Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Metode Garis

Selidik

  hal itu tidak perlu selalu demikian.

  , dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan metode garis selidik.

  5. Menterjemahkan penyelesaian atau hasil yang didapat dari bahasa matematika ke dalam bahasa sehari-hari sebagai penyelesaian masalah. Untuk menentukan penyelesaian mana yang terbaik di antara penyelesaian yang mungkin itu digunakan teorema berikut ini.

  a.

  

Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Metode Uji Titik

Pojok

  Langkah-langkah yang ditempuh dalam menentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan menggunakan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.

  1. Memisalkan variabel keputusan atau variabel utama dengan x dan y.

  2. Menyusun model matematika yang terdiri dari menentukan syarat batas fungsi tujuan dan fungsi tujuan.

  3. Perlihatkanlah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan (syarat batas fungsi tujuan) pada bidang Cartesius dan menentukan titik-titik sudutnya.

  4. Memilih solusi yang terbaik (optimal) dari penyelesaian-penyelesaian yang mungkin itu dengan cara membandingkan nilai fungsi tujuan.

  Teorema:

  C y x  ,

  Jika R b a 

  , dan

    by ax y x f z

     , , dengan

    , y x berkorespondensi dengan suatu titik di

  dalam poligon yang merupakan daerah himpunan penyelesaian syarat batas fungsi tujuan, maka nilai-nilai x dan y yang membuat maksimum atau minimum dari z atau f tercapai pada titik-titik pojok poligon itu. Titik-titik optimum untuk

  R y x  ,

  selalu terletak pada titik-titik sudut atau pada sisi daerah poligon yang mungkin. Tetapi bila

  penyelesaian dan satu di antaranya akan menyentuh salah satu titik sudutnya. Garis yang menyentuh titik sudut inilah yang akan menghasilkan nilai optimum dari fungsi tujuan. Ambillah daerah yang memenuhi syarat batas adalah suatu poligon, maka terdapat dua nilai c, katakanlah c ^{1 dan c 2 , sehingga daerah itu tepat terletak di dalam pita}

  . Titik sudut polygon yang dilalui garis

  c  f x , y  c f x , y  adalah titik c

     

  1

  2

  1

  yang memberikan nilai minimum pada fungsi tujuan dan titik sudut

  x , y f x , y

     

  polygon yang dilalui garis yang memberikan nilai

  

f x , y  adalah titik c x , y

   

  2 maksimum pada fungsi tujuan . f x , y

    y

  Pita

  f x , y   f x , y c

  

  

 

  2 D f x , y  c

    C

  1

  ,

  f x y   

  A x O B f x , y c

   f x , y c

     3  

  4 Adakalanya kita menghadapi suatu kasus di mana garis selidik sejajar dengan sala h

  satu sisi dari daerah himpunan penyelesaian, berarti salah satu sisi dari daerah himpunan penyelesaian atau garis f ( x , y ) menyentuh dua titik sudut yang berdekatan. Dalam kasus ini setiap pasangan titik (x,y) yang terletak pada sisi yang disentuh memberikan nilai optimum dari fungsi tujuan dengan nilai optimum yang sama. Jelaslah bahwa nilai optimum dari fungsi tujuan dicapai lebih dari sebuah titik.

  

SOAL-SOAL LATIHAN

1.

   UN A35 dan E81 2012

  Daerah yang diarsir pada gambar merupakan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai minimum , 4 3 yang memenuhi daerah yang diarsir

  f x y  x  y

 

adalah ….

  Y A.

  36

  30 B.

  60 C.

  66

  12 D.

  90 X E.

  96 O

  15

  24 2.

   UN B47 2012

  Nilai minimum dari f x , y  6 x  5 y yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar adalah

    ….

  Y A.

  96 B.

  72

  6 C.

  58 D.

  4

  30 E.

  24 X

  O

  12 16 3.

   UN C61 2012

  Nilai maksimum dari f x , y  2 x  5 y   yang memenuhi daerah yang diarsir adalah ….

  A.

  8 Y B.

  16

  8 C.

  19 D.

  20

  4 E.

  30 X

  O

  4

  6 4.

   UN D74 2012 Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan penyelesaian system pertidaksamaan.

    A.

  Nilai maksimum dari bentuk objektif f x , y 5 x 4 y   adalah ….

  16 Y B.

  20

  8 C.

  22 D.

  23 E.

  4

  30 X

  O

  4

  6 5.

   UN P12 2011 f x , y

  5 x 4 y  y   y  Nilai maksimum   yang memenuhi pertidaksamaan x

  8 , x

  2 12 ,   x  , y  adalah …. A.

  24 C. 36 E. 40 B.

  32 D. 40 6.

   UN P12 2011

  Nilai minimum Fungsi objektif dari daerah yang diarsir pada gambar

  f x , y 

  3 x  2 y

    adalah….

  Y A.

  4

  4 B.

  6 C.

  7

  3 D.

  8 E.

  9 X

  3 O

  2 7.

   UN P12 2010

    Y

  Niali minimum fungsi obyektif f x , y 3 x 2 y   dari daerah yang diarsir pada gambar adalah ….

  A. 4 B.

  6

  4 C.

  7

  3 D.

  8 E.

  9 X O

  2

  3 8.

   UN P12 2009

  Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f x , y  5 x  6 y   adalah ….

  A.

  18 Y B.

  20

  5 C.

  27 D.

  28

  4 E.

  45 X O

  5

  6 9.

   UN P12 2009

  Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear  y  ,  y  , x  ,  yang

  3 x

  5

  15 2 x 6 y ditunjukkan gambar berikut adalah ….

  Y

  A. I

  6 B. II

  C. III

  II D. IV

  I

  3 E. II dan IV

  III

  IV X

  3

  5 O

10. UN P12 2008

  Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi dari daerah yang diarsir pada gambar ad alah ….

  x

  A. x  y

  2  4 , 3 x  y 2  6 ,  , y  .

  Y B.  y  ,  y  , x  ,  . x

  2

  4 3 x

  2 6 y

  3 C.  y  ,  y  , x  ,  .

  x

  2

  4 3 x

  2 6 y x

  D. x  y

  2  4 , 3 x  y 2  6 ,  , y  .

  2 E.  y  ,  y  , x  ,  .

  x

  2

  4 3 x

  2 6 y

  1 X

  O

  2

  1

  4

  5 11.

EBTANAS R4-D11 2000

  Himpunan penyelsaian sistem pertidaksamaan

  Y

• 2 ≤ 6

  4

• ≥ 4 ≥ 0

  IV

  3 ≥ 1

  V p ada daerah ….

  I A.

  I

  1 II B.

II C.

  III

  III

  X D.

  IV O

  4

  6 E.

  V 12.

   EBTANAS 2000

  Nilai minimum dari bentuk 3

• 12 pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

  2

• ≥ 4

  2

• 3 ≥ 8 ≥ 0 ≥ 0 a dalah….

  A.

48 B. 27 C. 12 D. 6 E. 0 13.

EBTANAS P2-D11 999

  Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

  2 Y

• ≤ 6
• 3 ≥ 6

  6 ≥ 0 ≥ 0

  IV Pada gambar terletak didaerah …

  2 III A.

  I I B.

  III

  II X C.

  O

  6 D. I dan II E.

  3 IV

  I dan IV 14.

EBTANAS P2-D11 1999

  Nilai maksimum dari , = 2 + yang memenuhi system pertidaksamaan

• 2 ≤ 8
• ≤ 6 ≥ 0 ≥ 0 adalah… A.

  4 B. 6 C. 10 D. 12 E. 16 15.

   EBTANAS 1998

  Daerah yang diasir pada gambar diatas merupakan grafik himpunan penyelesaian s istem pertidaksamaan .

  …

  Y A.

  3 + 2 ≤ 12, − 3 ≥ 6, ≥ 0, ≥ 0 B. 3 + 2 ≤ 12, − 3 ≤ 6, ≥ 0, ≥ 0

  (0,4) C. 2 + 3 ≤ 12, − 3 ≤ 6, ≥ 0, ≥ 0 D.

  2 + 3 ≤ 12,3 − ≥ 6, ≥ 0, ≥ 0

  X E.

  2 + 3 ≤ 12,3 − ≤ 6, ≥ 0, ≥ 0

  O

  (2,0) (6,0) (0, 6) 16.

   EBTANAS 1998

  Titik

• – titik pada gambar berikut merupakan grafik himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum 3
• 4 pada himpunan penyelesaian itu adalah.… A.

  12 Y B.

  21

   6 C.

  26

  2

  5     D.

  30

   4

  2     E.

  35 3      

  2

   2 2      

  1    2           

  X

  2 O

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  8

  7

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 17.

EBTANAS P7-D7 1995

  Pada gambar di samping, yang merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

  3 x  y 

  6  Y

     x 4 y

  8 

  6

  x  y 

  4   y  

  3 x

  6  x

  

  4

    y

   I adalah daerah ....

  II  y  x

  4 IV

  2 x  y

  4 

  8 II

  V X

  8 O

  2

  4 A. I B. II C. III D. IV E. V

  18. EBTANAS 1994

  15 dan 1 E. 15 dan 10

  4 3  untuk daerah yang diarsir pada grafik berikut ini ....

  A. 12

  B. 16

  C. 17

  D. 18

  E. 20 22.

   EBTANAS 1988

  Daerah dalam segilima ABCDE adalah merupakan himpunan suatu program linear. Nilai maksimum dan minimum fungsi objektif

  

y x

  2

  3  untuk y x

  , bilangan asli adalah ....

  A.

  10 dan 1 B. 10 dan 6 C. 15 dan 6 D.

   

  21. EBTANAS 1990

  3 ,

  C (6,4) D (5,0) E (1,0)

  X Y O A (0,3) B (3,5)

  (4,0) (6,0)

  (0,8) (0,4)

  Y O

  5 B

   

  5 ,

  6 A

  ,

  X  

  D 3 ,

   

  2 C

  Nilai optimum dari y x

  C y x  , adalah ....

  Daerah OABCD (diarsir) pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum dari

  E. 9 19.

  ,

  9  y 3  x

  ,

  8  y 2  x

  Nilai maksimum dari y x  3 pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

   EBTANAS 1993

  D. 12

  

  C. 15

  B. 25

  A. 29

  pada daerah himpunan penyelesaian tersebut adalah ....

  5 2 

  y x

   x ,

  y untuk C y x  , adalah ....

  , untuk

  8

  y

  ,  x , 

  3   y x

  9

  ,

  2   y x

  5  pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

  A. 5 B. 9

  6

  y x

  Nilai maksimum dari

   EBTANAS 1992

  E. 24 20.

  C. 14 D.19

  X Y O

23. EBTANAS 1987

  Daerah yang diarsir dalam diagram di bawah adalah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ....

  x  x 

     

  y  y 

    A.

  D. Y  

  x 

  2 y  8 x  2 y 

  8    

  6 2 x  2 y 

  12 3 x  2 y 

  12  

   x  

  4

   x  y 

   B.

  E.

  

  

  x  2 y 

  8 y 

   

  

   3 x  2 y 

  12 X  x 

  2 y 

  8

  8 O 

  4 

  x 

  3 x  2 y 

  12 

   

  y 

   C. 

  x 

  2 y 

  8   3 x 

  2 y 

  12  24.

   UN A35, B47, C61, D74, dan E81 2012 ₂ Tempat Parkir seluas 600 m hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil _{2 2} membutuhkan tempat seluas 6 m dan bus 24 m . Biaya parkir tiap mobil Rp2.000,00 dan bus

  Rp3.500,00. Berapa hasil dari biaya parkir maksimum, jika tempat parkir penuh? A.

  Rp87.500,00 C. Rp137.000,00 E. Rp203.000,00 B. Rp116.000,00 D. Rp163.000,00 25.

UN B47 2012

  Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 g dan 30 g. Sebuah kapsul mengandung 5 g kalsium dan 2 g zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 g kalsium dan 2 g zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah ….

  A.

  Rp12.000,00 C. Rp18.000,00 E. Rp36.000,00 B. Rp14.000,00 D. Rp24.000,00 26.

UN P12 2011

  Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direancanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika untuk masalah ini adalah ....

       

  A. x y

  20 , 3 x 2 y 50 , x , y

  B. x  y 

  20 , 2 x  3 y  50 , x  , y 

  C. x  y 

  20 , 2 x  3 y  50 , x  , y 

  D.      

  x y 20 , 2 x 3 y 50 , x , y

  E. x  y 

  20 , 3 x  2 y  50 , x  , y 

27. UN P12 2011

  Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal Rp.10.000,00 sedangkan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp.15.000,00 per kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp.500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp.2.500,00 dan keripik rasa keju Rp.3.000,00 perkilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah....

  A.

  Rp.110.000,00 D. Rp.89.000,00 B. Rp.100.000,00 E. Rp.85.000,00 C. Rp.99.000,00 28.

UN P12 2010

  Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70 m kain batik. Penjahit tersebut akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4 m kain polos dan 2 m kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 3 m kain polos dan 5 meter kain batik. Jika pakaian I dijual dengan laba Rp40.000,00 dan pakaian jenis II dijual dengan laba Rp60.000,00 per potong. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah …. A.Rp1.180.000,00 D. Rp840.000,00

  B. Rp1.080.000,00 E. Rp800.000,00

  C. Rp960.000,00 29.

UN P12 2009

  Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I dibeli dengan harga Rp 60.000,00 setiap pasang dan sepatu jenis II dibeli dengan harga Rp 80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunyai modal Rp 3.000.000,00 untuk membeli sepatu jenis I dan jenis II. Maka model matematika dari masalah tersebut adalah ….

  x A. 3 x  y 4  150 , x  y  40 ,  , y  . x B. 3 x  y 4  150 , x  y  40 ,  , y  .

  C.  y  ,  y  , x  ,  .

  3 x 4 150 x 40 y D.  y  ,  y  , x  ,  .

  6 x 8 300 x 40 y x E. 6 x  y 4  300 , x  y  40 ,  , y  .

30. UN P12 2009

  Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk dijual, pakaian jenis I memerlukan 2 m kain katun dan 4 m kain sutera, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 meter kain sutera Bahan katun yang tersedia 70 m dan sutera 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba Rp 25.000,00/buah dan pakaian jenis II mendapat laba Rp 50.000,00/buah. Agar ia memperoleh laba yang sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II berturut- turut adalah ….

  A. 15 dan 8 D. 13 dan 10

  B. 8 dan 15 E. 10 dan 13

  C. 20 dan 3 31.

UN P12 2008

  Sebuah pesawat terbang memiliki tempat duduk tidak lebih dari 60 buah. Setiap penumpang bagasinya dibatasi, untuk penumpang kelas utama 30 kg dan untuk penumpang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi 1500 kg. Jika tiket setiap penumpang kelas utama Rp600.000,00 dan untuk kelas ekonomi Rp450.000,00, maka penerimaan maksimum dari penjualan tiket adalah ….

  A. Rp13.500.000,00 D. Rp31.500.000,00

  B. Rp18.000.000,00 E. Rp41.500.000,00

  C. Rp21.500.000,00 32.

EBTANAS P2-D11 1999

  Harga 1 kg beras Rp2.500,00 dan 1 kg gula Rp4.000,00. Seorang pedagang memiliki modal Rp300.000,00 dan tempat yang tersedia hanya memuat 1 kuintal. Jika pedagang tersebut membeli x kg beras dan y kg gula, maka sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah ....

  A.  y   y   5 x 8 600 ; x 100 ; x ; y 

  B.  y   y   5 x 8 600 ; x 100 ; x ; y  C.

  5 x  y 8  600 ; x  y  100 ; x  ; y  D.

  5 x  y 8  10 x 1 x  ; y  y  

  E.  y   5 x 8 10 x  y  1 x ; y  33.

   EBTANAS 1998

  Seorang pedagang roti ingin membuat dua jenis roti. Roti jenis A memerlukan 200 gram tepung dan 150 gram mentega. Roti jenis B memerlukan 400 gram tepung dan 50 gram mentega. Tersedia 8 kg tepung dan 2,25 kg mentega. Roti jenis A dijual dengan harga Rp7.500,00 per buat dan roti jenis B dengan harga Rp6.000,00 per buah. Misalkan banyak roti A = x buah dan roti B =

  y buah.

  a. Tentukan sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi oleh x dan y b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan hasil (a).

  c. Tentukan bentuk objektif yang menyatakan harga penjualan seluruhnya.

  d. Tentukan pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pedagang roti tersebut.

  34. EBTANAS D11-P1 1997

  Suatu perusahaan perumahan merencanakan pembangunan rumah tipe A dan tipe B. Tiap unit _{2 2} rumah A memerlukan lahan 150 m dan tipe B memerlukan lahan 200 m . tersedia lahan 30.000 ₂ m . Perusahaan hanya mampu membangun paling banyak 180 unit rumah untuk kedua tipe tersebut. keuntungan yang diharapkan dari tiap unit rumah tipe A Rp3.000.000,00 dan tiap unit rumah tipe B Rp3.500.000,00.

  a.

  Misalkan dibangun rumah tipe A sebanyak x unit dan rumah tipe B sebanyak y unit, tulislah sistem pertidaksaman dalam x dan y untuk keterangan di atas.

  b.

  Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan itu c. Tentukan bentku objektif yang menyatakan keuntungan dari penjualan rumah.

  d.

  Berapakah banyaknya masing-masing tipe rumah harus dibangun, agar diperoleh keuntungan sebesar-besarnya? Hitunglah keuntungan itu.\

  35. EBTANAS P2-D7 1996

  Untuk menghasilkan barang jenis A seharga Rp20.000,00 diperlukan bahan baku 20 kg dan waktu kerja mesin 2 jam. Untkuk barang jenis B seharga Rp30.000,00 diperlukan bahan baku 30 kg dan waktu kerja mesin 1 jam. Bahan baku yang tersedia adalah 270 kg, waktu kerja mesin 17 jam.

  a.

  Misalkan banyaknya barang A = x dan banyaknya barang B = y, tulislah sistem pertidaksamaan dalam x dan y untuk keterangan di atas. b.

  Gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya pada satu sistem koordinat cartesius.

  c.

  Tentukan bentuk objektif hasil penjualan barang.

  d.

  Tentukan banyaknya masing-masing jenis barang yang harus dihasilkan, agar diperoleh hasil penjualan maksimum? Hitunglah hasil penjualan maksimum itu.

36. EBTANAS 1991

  Seorang pembuat kue satu hari paling banyak membuat 80 kue. Biaya kue jenis pertama Rp250,00 sebuah dan kue jenis kedua Rp150,00 sebuah. Keuntungan kue jenis pertama Rp50,00 sebuah dan jenis kedua Rp40,00 sebuah. Jika modal pembuat kue Rp17.000,00 maka keuntunga n maksimum adalah ....

  A. Rp3.200,00

  D. Rp4.000,00

  B. Rp3.400,00

  E. Rp4.530,00

  C. Rp3.700,00 37.

   EBTANAS 1989 ₂ Luas tanah 10.000 m akan dibangun perumahan dengan tipe D.36 dan tipe D.21 masing-masing _{2 2} luas tanah per unit 100 m dan 75 m . Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 125 unit.

  Harga jual tiap-tiap tipe D.36 adalah Rp6.000.000,00 dan tipe D.21 adalah Rp4.000.000,00 maka harga jual maksimum adalah ....

  A. Rp425.000.000,00

  D. Rp575.000.000,00

  B. Rp525.000.000,00

  E. Rp600.000.000,00

  C. Rp550.000.000,00