ISOMETRIC AND ISOMETRIC- m OPERATORS Gunawan Universitas Muhammadiyah Purwokerto Email: gun.ogegmail.com Abstract - ISOMETRIC AND ISOMETRIC- m OPERATORS

  

ISOMETRIC AND ISOMETRIC- m OPERATORS

Gunawan

  Universitas Muhammadiyah Purwokerto Email:

  

Abstract

This paper presents the definition, samples, and natures of isometric and isometric- m

algebra operator for some m  in Hilbert space. In additions, the relationship of

both operators will also be examined. To investigate natures of isometric and isometric-

m operators, adjoint operators concepts and natures are required. Adjoint operator

concept underlies isometric operator’s natures. Later, according to the concept,

isometrc operator is expanded into isometric- m operators for some m  in Hilbert

space. The result unveils algebra natures of isometric and isometric- m operators

consisting of composition operators natures and multiplication with scalar.

Furthermore, if T operators is isometric then T operators isometric- m for some m  .

  Keywords: adjoint operators, isometric operators, isometric- m operators.

  B X X

  Lebih lanjut, dalam hal X = Y, ,

    PENDAHULUAN dituliskan B X atau B Y .

     

  Di dalam analisis khususnya analisis fungsional, beberapa ruang Untuk ruang Hilbert H, operator yang sering dibicarakan adalah ruang linear kontinu T yang memiliki sifat linear, ruang bernorma, ruang Banach,

  T x  T y   untuk setiap x y

  ( ) ( ) ruang Pre-Hilbert, dan ruang Hilbert. Ruang pre-Hilbert yang lengkap disebut

  x y ,  H

  disebut sebagai operator ruang Hilbert. Pemetaan dari suatu isometri. Hal tersebut ekuivalen dengan ruang linear ke ruang linear yang lain

  T x ( )  x , untuk setiap x  . H

  atau dari suatu ruang linear ke ruang Kemudian, operator dengan sifat linear yang sama disebut operator. tersebut diperluas menjadi

  Diberikan ruang Hilbert X dan Y atas _{m m k k m}    lapangan yang sama, yaitu F. Lapangan m k

• ^* 

  

  1 T T  0,

   

     

   F yang dimaksud pada tulisan ini adalah _k k

  

   

  T : X  Y

  . Operator dikatakan linear untuk suatu m  .

  x y  X   F

  jika untuk setiap , dan Operator tersebut dinamakan operator

  T x  y  T x  T y

  berlaku ( ) ( ) ( ) dan isometri- m. Hal tersebut kemudian

   T (  x )  T x ( )

  . Operator linear membawa pemikiran untuk menyelidiki

  T : X  Y

  dikatakan terbatas jika karakteristik pada operator isometri dan

  M  isometri- m. Pembahasan mengenai

  terdapat konstanta sehingga

  x  X karakteristik operator isometri dan T x ( )  M x untuk setiap .

  isometri- m pada tulisan ini, lebih Himpunan semua operator linear ditekankan pada memahami definisi, terbatas dari X ke Y ditulis B X Y , .

   

  contoh, sifat- sifat aljabar, dan hubungan keduanya pada ruang Hilbert.

  Aksioma | 399

  Rumusan masalah yang dibuat adalah ruang Hilbert. Jika T sebarang bagaimana sifat-sifat serta hubungan fungsional linear terbatas pada H maka antara operator isometri dan isometri- terdapat dengan tunggal

  m . Dalam penelitian ini hanya dibatasi y  H T x  x y   x H sehingga ( ) , , .

  pada ruang Hilbert. Tujuan penelitian ini adalah untuk memberikan

  Bukti: Diketahui T sebarang fungsional

  pengetahuan mengenai sifat- sifat serta linear terbatas. Misalkan keterhubungan operator isometri dan

  A  N T  x  H T x  ( ) : ( ) 0 .

    operator isometri- m pada ruang Hilbert.

  Diperoleh A ruang bagian tertutup H. Pembahasan mengenai operator

  Karena A ruang bagian tertutup dari H, isometri dan isometri- m pada ruang

  

  maka H   A A . Selanjutnya, Hilbert bermanfaat membantu

   1)

  Jika T = O maka diambil y  mengembangkan ilmu matematika dan sehingga teorema terbukti. aplikasinya, khususnya analisis

   maka  fungsional. 2) A H . Karena Jika T O jika A = H maka untuk sebarang

  Pembahasan tentang operator

  x  berakibat T = O. Oleh H

  isometri pada ruang Hilbert diawali

  

  dengan pendefinisian operator adjoint

   A karena itu, A H maka   .

   

  kemudian dilanjutkan dengan

   z  A Jadi, dapat diambil \  .

   

  pembahasan mengenai contoh dan sifat-

   A A

  Karena    maka sifat operator adjoint pada ruang

   

  Hilbert. Dalam pendefinisian operator T z ( )  .

   Dibentuk adjoint diperlukan penjelasan mengenai

  T z z ( ). 

  Teorema Representasi Riesz. Untuk

  y   A , diperoleh : ₂ z

  pembahasan tentang definisi operator adjoint dan sifatnya diacu dari buku

  T z z ( ). T z ( )

  Kreyszig (1978), Akhiezer, N.I. and

  z y ,  z ,  z z , _{2 2} .

  Glazman, M. (2013), dan Berberian

  z z

  (1961). Selanjutnya, membahas

  T z

   ( ) operator isometri pada ruang Hilbert Untuk diacu dari buku Berberian (1961).

   y A y y y T y

      , maka , ( ).

  Pembahasan mengenai operator isometri meliputi definisi, contoh, dan  , x dapat ditulis

  Untuk x H sifat- sifat aljabar. Kemudian definisi sebagai dan beberapa sifat operator isometri- m

   

  T x ( ) T x ( ) x  y  x  y

  pada ruang Hilbert diacu dari jurnal ,  

  T y ( ) T y ( )

    Saddi dan Ahmed (2010). Setelah itu, dilanjutkan membahas contoh dan sifat

   T x ( ) 

  x y

  dengan  

  A, sebab aljabar operator isometri- m serta  

  T y ( )

    hubungan antara operator isometri dan  T x ( )  T x ( ) operator isometri- m pada ruang Hilbert.

  x  y = ( ) T x  T y ( )  0.

   

  T y ( ) T y ( )

   

HASIL DAN PEMBAHASAN

  Berikut ini akan disampaikan  T x ( )  mengenai operator adjoint.

  x  y

  Karena orthogonal  

  T y

  ( )  

  Teorema 1 (Teorema Representasi

  terhadap y, maka :

  Riesz) . (Kreyszig, 1978) Diketahui H 400 | Aksioma

  x  x  T x  x y

   ( ),

  T x ( ) y   _{1 2 1 2} x  y y  ,

  T y ( )  T x y  T x y ( ), ( ), _{1 2}   x   x

  T x ( ) _y ( ) ( ) _{1 y 2}  x y ,  y y ,  T y ( ) dan x T x y T x y

        _{y  1 } ( ), ( ), _{1 1} T x ( )

   x y ,  y y ,   x T y

  ( ) ( ) ^y ₁  x y ,  T x ( )

   diperoleh: 2)

  Untuk setiap x H

  T x x y x H Diperoleh    .

  ( ) , , x  T x y  T x y

   ( ) ( ), ( ) _y Selanjutnya akan dibuktikan y tunggal.

   T x y

  Diambil sebarang y '  maka H  , K

  

T x  x y   x H Karena untuk setiap y 

( ) , ' , . Karena ^y

  merupakan pemetaan linear kontinu

  T x  x y  H ( ) , maka untuk setiap x

  pada H maka menurut Teorema 1, diperoleh:

  y '  H

  terdapat dengan tunggal

  x y ,  x y , '

  sehingga untuk setiap x  berlaku H

   x y ,  x y , ' 

   x  x y _y ( ) , ' . Berarti jelas bahwa

  x y y  ,  ' 

  untuk setiap y  menentukan dengan K

• _{* *}

  tunggal y '  . Jadi terdapat operator H

    y y ' 0    y y '

  Jadi, y tunggal. Dengan demikian

  T : K  dengan H T ( ) y  y ',   y K .

  T x  x y   x H ( ) , , .

  Oleh karena itu diperoleh :

• ^* 
_y ( ) x  T x y ( ),  x y , '  x T , ( ) y
• _* Teorema 2. (Kreyszig, 1978) Diketahui

  Jelas bahwa T tunggal. Selanjutnya dan K ruang Hilbert. Untuk setiap

• _* H

  operator T linear dan kontinu, sebab :

  T H :  operator linear kontinu, K

  1) setiap Untuk maka terdapat dengan tunggal operator

  y y  K x  H ^* ₁ , , , dan , skalar   ₂ T K  sehingga H

  linear kontinu : diperoleh:

• _* untuk setiap x  dan y K H  ,

  x T , (  y   y )

   ^{1 2 *}

  T x y ( ), x T , ( ) y berakibat .

   T x ( ),  y   y _{1 2} Bukti: Diambil sebarang

  T  L H K ( , ) dan y  K . Dibentuk _c T x y T x y

  = ( ),   ( ),  _{1 2} fungsional  pada H dengan _y

• ^{* *} = T x y ( ),   T x y ( ),

   _{1 2}  x  T x y   x H _y ( ) ( ), , . Fungsional _{* * *}

• ^* = x T , ( ) y   x T , ( ) y

   _{1 2}  merupakan fungsional linear _y

• _{* *}

  x T y x T y

  = ,  ( )  ,  ( ) _{1 2} kontinu pada H sebab: 1) setiap

  Untuk  diperoleh:

  2) Untuk setiap x H

  x x ,  H dan skalar _{1 2}  diperoleh:

  Aksioma | 401

• ( ) ( ), ( )

    ,

     

• ^{* * * * * * *}

  Bukti: Diambil sebarang H dan , x y K  

    ^{* * *} ST T S  .

  S B K L  maka

    ,

  dan

  T B H K 

  Hilbert. Jika

  Teorema 5. (Akhiezer dan Glazman, 2013) Diketahui H, K, dan L ruang

       

     

     

  T x y x T y x T y x T y T x y T x y T T

  ( ), , ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), . Jadi, .

       

• ^{* * * * * * * * *}
• _*

  ( ), , ( )( ) , ( ) ( ), ( ) = ( ), . Jadi, .

  ST x y x ST y x ST y S x T y T S x y ST T S

     

  Definisi 7. (Berberian, 1961)

  Diberikan H ruang Hilbert klasik dan

  Contoh 8.

  , untuk setiap x H  .

  Hal tersebut ekuivalen dengan ( ) T x x 

  . Operator T dikatakan isometri jika untuk setiap , x y H  , berlaku ( ) ( ) T x T y x y    .

  Diberikan H ruang Hilbert atas lapangan dan ( ) T B H 

  Selanjutnya, akan disampaikan mengenai operator isometri, contoh, dan sifat aljabarnya.

  Teorema 6. (Kreyszig, 1978) Diketahui X dan Y ruang bernorma atas lapangan F

  X       

  ( ) (0 ) 0 ( ) , . T T x T x x

  Bukti:

     .

  T

  ( )

  . Jika : T X Y  operator linear maka

  Bukti: Diambil sebarang H dan , x y K  

    ^{* *} T T 

    ^{* * *} T T    b.

  ( ) ( ), ( ) = , ( ) ( ) ( ) .

  M  ,

  . Diperoleh

  M T 

  Diambil

     

  T x T x T x x TT x T x T x T x T x

  Jika x   maka, _{2 * * * *}

  T x M x 

    

     

      

  T T T TT T T

  , ( ) ( ) 0.

  Jika x   maka, _{2 * * * *}

  402 | Aksioma a.

  sehingga ^* ( ) .

  Jadi, ^*

  a.

  T

  dan λ skalar, maka pernyataan- pernyataan berikut ini berlaku.

  S T L H K 

    , , _c

  Teorema 4. (Kreyszig, 1978) Diketahui H dan K ruang Hilbert. Jika

  Setelah disampaikan mengenai operator adjoint, berikut ini akan dibahas sifat- sifat operator adjoint pada ruang Hilbert.

  seperti yang dijelaskan pada Teorema 2 disebut operator adjoint dari T.

  linear kontinu ^*

  T terbatas.

  Definisi 3. (Kreyszig, 1978) Operator

  ( ), , ( ) , dan . T x y x T y x H y K    

   sehingga: _*

  ( , ) _c T L K H

  tunggal ^*

  T L H K  terdapat dengan

  Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap ( , ) _c

    ^{1 2 3} , , ,... x x x basis ortonormal di H. Didefinisikan operator T H :  H Teorema 9. (Berberian, 1961) dengan: Diberikan H ruang Hilbert dan

  T  B H ( ) . Pernyataan berikut T x x x , , ,...  x , x  H ,

    k  k _{1 2 3 1}

  ekuivalen: untuk setiap k  1, 2,3,... Lebih lanjut, untuk setiap x  dengan H a.

  T isometri

• _* 

  b. T T 

  I , x   x diperoleh: _{k k}

   _k  ¹

  dengan I operator identitas pada

  

  ruang Hilbert

  T x  x

  ( )  , _{k k 1}

   

  T x T y  x y  x y  H _k c. ( ), ( ) , , , .

   ¹ Bukti: Diambil sebarang x  H     , , , ,...  .

   ^{1 2 3 4 } a  b

   

  Akan ditunjukkan T linear dan ₂ ^* isometri. Diambil sebarang

  T T x x T x T x  T x

   ( ), ( ), ( ) ( )

    ₂ x y ,  H dengan x   x dan  y _{k k k k}

   

   x  x x  I x x _{k 1 k 1} , ( ), .

    _* .

  T T 

  I Jadi, .

  a.

  T linear?

  b  c  

   

    _*

      _{k k}

  T x (  y )  T x  y   T x T y ( ), ( )  T T x y ( ),  I x y ( ),  x y , . _{k k k k}

   ^{1  1}

   

  c  a 

   

    _{2 2}  T  ( x  y ) _{k k k}

     _k T x ( )  T x T x ( ), ( )  x x ,  x

   ¹

   

   T x x T  ( )  . Jadi, isometri.

  =  ( x  y ) _{k k k}

   ^{1  1}  _{k  1} Teorema 10. (Berberian, 1961)

   

    x  y _{k k k k} +

   ^{1  1}   _{k 1 k 1} Diberikan H ruang Hilbert dan

    T  B H ( )

  . Jika S, T isometri maka ST  T x ( )  T y ( ). isometri. Jadi, T linear.

  Bukti: Diambil sebarang x  . H b. x x x , , ,...

  T isometri? Diketahui  ^{1 2 3 } Diketahui S ,T isometri berarti basis ortonormal di H artinya untuk

  T x ( )  x dan S x ( )  x .

  setiap k  , x ortogonal dan _k Perhatikan bahwa,

  x  _k 1. _{2 2 2}    

   

  T x ( )  T x  x _{k k k k  1}  

    _k   _{1 k 1}  

   _{2 2}

  

    x _k  _{k  1}  T x ( )  x .

  Jadi, T isometri.

  Aksioma | 403

  2

• ( ST x )( ) ST x ST x ( ), ( ) S ST x T x ( ), ( )

     

  IT x T x ( ), ( ) T x T x ( ), ( )

  2

  2

  = T x ( )  x  ST x ( )  x Jadi, ST isometri.

• _{* *} Teorema 11.

  S S T T

   Karena maka

  Diberikan H ruang Hilbert dan _{2 2} T x ( )  S x ( )  T x ( )  S x ( ) .

  T  B H

  ( ) . Jika T isometri maka T  isometri untuk suatu   dengan Dengan demikian, S,T ekuivalen secara

  1   . metrik.

   , H

  Bukti: Diambil sebarang x

   ₂  

  T x T x T x

   ( )   ( ),  ( ) Diketahui S,T ekuivalen secara metrik _*

  T x T x

  =   ( ), ( ) berarti T x ( )  S x ( ) ,   x H . ₂ ^{2 *}   

  T x T x ( ), ( ) * _{2 2 2 2} S S x ( )  S x S x ( ), ( )  S x ( )  T x ( )

• _*   T x ( )   x = T x T x ( ), ( )  T T x x ( ), .

  T x x

    ( )  

• _{* *}

  S S T T

  Jadi,

  

    T x ( )  x

  Definisi 14. (Saddi dan Ahmed, 2010) T Jadi,  isometri.

   

  Diberikan ruang Hilbert H atas Definisi 12. (Berberian, 1961).

  T B H ( )

  lapangan dan  . Operator T dikatakan isometri- m jika Diberikan H ruang Hilbert dan _{m k m m k }

  S T ,  B H ( )

    . Operator S,T dikatakan m k

   1 T T  0, untuk suatu m  .

   

   

    ^* 

  



  ekuivalen secara metrik jika _{k k}

  



    S x ( )  T x ( ) ,   x H .

  Contoh 15. ₂ Teorema 13. (Berberian, 1961) H  T H  H

  Diberikan dan : 1 0  

  Diberikan H ruang Hilbert dan dengan T . Akan ditunjukkan   

  S T ,  B H ( )

  0 1 .  

  T merupakan operator isometri- 2? S

  ,T ekuivalen secara metrik jika dan _{* *}

  Jawab: Perhatikan bahwa: S S T T

   hanya jika .

  Bukti: H

  Diambil sebarang x 

• _* 

    _{2 *} S S x x  S x S x  S x ( ), ( ), ( ) ( ) . ₂ T T x x  T x T x  T x ( ), ( ), ( ) ( ) .

  404 | Aksioma

  Aksioma | 405 ^* 1 0

  IT k m T T k m

    

     

     

     

    

   

     

       

     

  I  

  I I

  I I

  I k m m m

  T

        

  T S ST k m T S S T k m

  m ST ST k m

  3 ^{m m k k m k k m m k k m k k m m k m k k m k m k k m m k k m k k m m k k m k k m k k}

  2

  1

  1 ...

  1 =

  1 =

  1 =

  1 =

  1

    ^{* * * * * * *}

     

     

       

        

       

  1 . , operator nol. Jadi, isometri- m. ^{m m k k m k}

^k

^{m m k k m k k m m k k m k k m m k k m k k} m T T k m

     

         

        

        

         

        

     

     

     

    

     

     

  T T k O O O T

  T T k m T T k m

  1 = 1 =

      

  1

      ^{* * * * * * * *}

     

       

       

  Bukti: Perhatikan bahwa:    

   isometri- m untuk suatu   dengan 1   .

    T

  Diberikan ( ) T B H  dan H ruang Hilbert. Jika T isometri- m , maka

  Teorema 18.

  , operator nol. O O  Berdasarkan 1 dan 2, diperoleh ST isometri- m.

       

             

             

         

       

  0 1

               

  Bukti: Diambil sebarang x H

  m .

  Hilbert. Untuk suatu m  , jika S,T isometri dan S = T, maka ST isometri-

  T B H  dan H ruang

  Diberikan ( )

  Teorema 17.

  Diberikan ( ) T B H  dan H ruang Hilbert. Jika T isometri maka T isometri- m , untuk suatu m  .

  Teorema 16.

        Jadi, T merupakan operator isometri- 2.

                 

         

  Jika m genap maka

  I I  

  T T k T T T T

  2 0 1 0 1 0 1 =O, dengan operator identitas dan O operator nol. ^{k k k k}

  1 0 1 0 1 0

  2 1 0 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 0 1

  1

  2

      ^{2 2 * 2} _{*2 2 *}

    dan

      

  T

   . Untuk suatu m 

1. Jika m ganjil maka

  3 ^{m m k k m k k m m k k m k k m m k m k k m k m k k m m k k m k k m m k k m k k m k k}

    

       

     

   

    

     

     

     

       

  I  

        

        

      

            

             

       

  , operator nol. O O  2.

     

  I I

  2

    ^{* * * * * * *}

  1

  1 = ...

  1 =

  1 =

  m ST ST k m

  1 =

  1

     

  I I

     

         

       

       

  T S ST k m T S S T k m

  T

  IT k m T T k m

  I k m m m

  1 =

  406 | Aksioma Teorema 19.

           

  Jadi, i ^{m m k k m k k m m k k m k k m m k k m k k m m k k m k k m m k k m k k} m T T k m

  T T k m T T TT k m

  T T T T k m T T T T k T T O O O

  T   

       

      

     

     

      

       

         

         

       

     

  1

     sometri- ( 1). m 

  Dengan cara yang sama, diperoleh T isometri- (m + n) untuk setiap n = 0,1,2,3,... KESIMPULAN DAN SARAN

  Berdasarkan pembahasan di atas, kesimpulan yang dapat diambil adalah contoh dan sifat- sifat aljabar masing- masing operator isometri dan operator isometri- m diantaranya sifat komposisi operator dan perkalian dengan skalar. Selain itu, apabila T operator isometri maka T operator isometri- m, untuk suatu m  .

  Dalam tulisan ini, hanya dibahas mengenai sifat-sifat operator isometri dan isometri- m beserta hubungannya pada ruang Hilbert. Untuk penelitian selanjutnya, dapat diselidiki karakteristik spektrum operator isometri maupun operator isometri- m pada ruang Hilbert.

  DAFTAR PUSTAKA Akhiezer, N.I. and Glazman, M. 2013.

  Theory of Linear Operators in Hilbert Spaces . New York:

  Dover Publication, Inc. Berberian, S.K.1961. Introduction to

  Hilbert Spaces

  . New York: Oxford University Press. Kreyszig, E.1978. Introductory

  Functional Analysis with Applications. New York: John

  Wiley and Sons. Saddi, Adel and Ould Ahmed Mahmoud

  Sid Ahmed . 2010. m- Partial Isometries On Hilbert Spaces.

  Internat J. Functional Analysis, Operator Theory,and Applications . Volume 2, No 1, Pages 67-83, 7 September.

  1 = 1 . , operator nol.

  1 =

  Diberikan ( ) T B H  dan H ruang Hilbert. Jika T isometri dan ^*

  Diberikan ( ) T B H  dan H ruang Hilbert. Jika T isometri- m dan _{* *}

  T I  ,

  maka ^{* *} T T TT  .

  Bukti: Diambil sebarang x H  _{2 * 2} ( ), ( ), ( ) ( ) , ( ),

  T T x x T x T x T x x x x I x x     

  Jadi, ^*

  ................................1) T T I  _{2 * * * * 2}

  ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ),

  TT x x T x T x T x I x I x I x I x x

      

  Jadi, ^*

  ................................2) TT I 

  Berdasarkan 1) dan 2), diperoleh _{* *} .

  TT T T  Teorema 20.

  T T TT  , maka T isometri- (m + n)

  1

  untuk setiap

  0,1, 2,3,... n  Bukti: Diambil n = 1 dan berdasarkan

  Teorema 11 diperoleh,

     

     

     

     

      ^{1 1 * 1 1 1 * 1 1 * * 1 * *}

• _* ^{1 * *}

  1

  1

  1

  1

  1 =

  Dapat diakses di http://pphmj.com/journals/ijaota. htm.