2x T2K t T

BAB VI I . Pers. Differensial Parsial Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT. PERSA MA A N DIFFERENSIA L PA RSIA L Fo rmula si ma te ma tik d a ri ke b a nya ka n p e rma sa la ha n d a la m ilmu

  p e ng e ta hua n d a n te kno lo g i d a p a t d ip re se nta sika n d a la m b e ntuk p e rsa ma a n d iffe re nsia l p a rsia l. Pe rsa ma a n te rse b ut me rup a ka n la ju p e rub a ha n te rha d a p d ua a ta u le b ih va ria b le b e b a s ya ng b ia sa nya a d a la h wa ktu d a n ja ra k (rua ng ).

  Pe rsa ma a n d iffe re nsia l d a p a t d ib e d a ka n me nja d i tig a je nis ya itu :

A. Pe rsa m a a n Diffe re nsia l Pa ra b o lik

  è Bia sa nya me rup a ka n p e rsa ma a n ya ng te rg a ntung p a d a wa ktu (tid a k p e rm a ne n) d a n p e nye le sa ia nnya me me rluka n ko nd isi a wa l d a n b a ta s. Pe rsa ma a n p a ra b o lik p a ling se d e rha na a d a la h p e ra mb a ta n p a na s.

2 T T

  ∂ ∂ K

  = t

  2 ∂ x

  ∂

  Pe nye le sa ia n d a ri p e rsa ma a n d i a ta s a d a la h me nc a ri te mp e ra tur T untuk nila i x p a d a se tia p wa ktu t.

B. Pe rsa m a a n Diffe re nsia l Elip tik

  è Bia sa nya b e rhub ung a n d e ng a n ma sa la h ke se timb a ng a n a ta u ko nd isi p e rma ne n (tid a k te rg a ntung wa ktu) d a n p e nye le sa ia nnya me me rluka n ko nd isi b a ta s d i se ke liling d a e ra h tinja ua n. Se p e rti a lira n a ir ta na h d i b a wa h b e nd ung a n d a n ka re na a d a nya p e mo mp a an, d e fle ksi p la t a kib a t p e m b e b a na n, d sb .

  2

  2 ∂ ϕ ∂ ϕ = +

  2

  2 x y ∂ ∂

  C . Pe rsa m a a n Diffe re nsia l Hip e rb o lik

  è Bia sa nya b e rhub ung a n d e ng a n g e ta ra n a ta u p e rma sa la ha n d ima na te rja d i d isko ntinue d a la m wa ktu, se p e rti g e lo mb a ng ke jut ya ng te rja d i d isc o ntinue d a la m ke c e p a ta n, te ka na n d a n ra p a t m a ssa .

  2

2 U U

  ∂

  2 ∂ C

  =

  2

  2 t x

  ∂ ∂ Program Semi QUE I V Jurusan Teknik Mesin Unibraw

BAB VI I . Pers. Differensial Parsial Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT. Program Semi QUE I V Jurusan Teknik Mesin Unibraw

1. Pe nye le sa ia n Pe rsa m a a n Pa ra b o lik d e ng a n Ske m a Eksp lisit

• 2
• −
• −

  x T T

  t T T

  n i 1 n i

  ∆ −

  i

  2 n 1 i n i n

  1 i

  a ta u 1 n i

  ∆

  ∆

  T

  ( )

  n 1 i n i n 1 i

  2 i n i

  T T

  2 T x t K T

  Da ri ske ma d i a ta s, p e rsa ma a n (6.1) d a p a t d itulis d a la m b e ntuk b e rikut :

  t f f 2 f

  ∂ ∂

  =

  ∂ ∂ = ∂

  ∂

  ……………. (6.1) d e ng a n : T = te m p e ra tur K = ko e fisie n ko nd uktivita s t = wa ktu x = ja ra k

  Pa d a ske ma e ksp lisit, va ria b e l p a d a wa ktu n+1 d ihitung b e rd a sa rka n va ria b e l p a d a wa ktu n ya ng sud a h d ike ta hui. De ng a n me ng g una ka n ske ma se p e rti d i b a wa h ini, fung si f(x,t) d a n turuna nnya d a la m rua ng d a n wa ktu d id e ka ti o le h b e ntuk b e rikut :

   f (x, t) = f i n t ) t , x ( f

  1 i

  t f f

  2 x T

  n i 1 n i

  ∆ −

  2

  t ) t , x ( f ∂ ∂

  =

  2 n 1 i n i n

  2 K t T

• = K

2 T

• −
• −
• =
• ………… (6.2) n + 1 n n - 1 i i - 1 i + 1
• −
• − ∆ ∆

BAB VI I . Pers. Differensial Parsial Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT. Program Semi QUE I V Jurusan Teknik Mesin Unibraw Sta b ilita s Ske m a Eksp lisit Da la m ske ma e ksp lisit,

  n i T

  te rg a ntung p a d a tig a titik se b e lumnya ya itu:

  1 n 1 i T

  − − ,

  1 n i T

  −

  d a n

  1 n 1 i T

  −

• . Ke a d a a n ini d a p a t me nye b a b ka n ke tid a ksta b ila n d a ri ske ma te rse b ut, ya ng b e rup a te rja d inya a mp lifika si ha sil hitung a n d a ri ko nd isi a wa l. Ag a r sta b il d ib utuhka n sua tu sya ra t ya itu : 0 <

  < ½ d e ng a n

  2 T

  3 T = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4

  1

  4 T

  = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6

  1

  5 T

  = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 1) = 0,8

  1

  6 T = 1 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 1 + 0,8) = 0,96 untuk n = 2 d a n i b e rg e ra k d a ri i =2 sa mp a i i = 6,

  2

  = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2

  = 0,2 + 1 . 0,1 . (0 – 2 . 0,2 + 0,4) = 0,2

  2

  3 T

  = 0,4 + 1 . 0,1 . (0,2 – 2 . 0,4 + 0,6) = 0,4

  2

  4 T = 0,6 + 1 . 0,1 . (0,4 – 2 . 0,6 + 0,8) = 0,6

  2

  5 T

  = 0,8 + 1 . 0,1 . (0,6 – 2 . 0,8 + 0,96) = 0,796

  2

  6 T = 0,96 + 1 . 0,1 . (0,8 – 2 . 0,96 + 0,8) = 0,928 De mikia n p e rhitung a n te rus d ila njutka n s/ d wa ktu ya ng d ike he nd a ki (N).

  L = 1 m

  1

  2 T

  π

  2

  =

  2

  

x

t

∆

∆

  C o nto h: Dima na : k = 1

  ∆

  x = 0,1

  ∆

  t = 0,001

  π

  =

  x t ∆ ∆

  1

  =

  2 1 , 001 ,

  = 0,1 < 0,5 (sta b il) Sya ra t b a ta s : p a d a t = 0 ; T = 2x ; 0

  ≤

  x

  ≤

  ½ L T = 2(1-x) ; ½ L

  π

  x

  ≤

  L De ng a n me ng g una ka n p e rsa ma a n (6.2), hitung a n d ila kuka n d a ri i = 2 sa m p a i d e ng a n 5 d a n d a ri n = 1 sa m p a i wa ktu ya ng d ike he nd a ki (N). Untuk n = 1 d a n i b e rg e ra k d a ri i = 2 sa mp a i i = 6 ,

  ≤

BAB VI I . Pers. Differensial Parsial Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT. Ta b e l ha sil ske m a e ksp lisit

  i =

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7 x =

  0.1

  0.2

  0.3

  0.4

  0.5

  0.6 t = 0

  0.6

  0.8

  1

  0.8

  0 .2

  0.4

  t = 0,001

  0.4

  0.6

  0.8

  0.96

  0.8

  0 .2

  t = 0,002

  0.2

  0.4 0.6 0.796 0.928 0.796 t = 0,003 0.2 0.4 0.5996 0.7896 0.9016 0.7896 . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . . . . . t = N N N N N N N N

2. Pe nye le sa ia n Pe rsa m a a n Pa ra b o lik d e ng a n Ske m a Im p lisit

  Da la m ske ma e ksp lisit, rua s ka na n d a ri p e rsa ma a n d itulis p a d a wa ktu n ya ng nila inya sud a h d ike ta hui. Se d a ng ka n p a d a ske ma imp lisit, rua s ka na n te rse b ut d itulis p a d a wa ktu n+1 d i m a na nila inya b e lum d ike ta hui. G a mb a r d i b a wa h ini me nunjukka n ja ring a n titik simp ul d a ri ske ma imp lisit. De ng a n me ng g una ka n ske ma te rse b ut, fung si f(x,t) d a n turuna nnya d a la m rua ng wa ktu d id e ka ti o le h b e ntuk b e rikut ini.

  n + 1 n n - 1 i - 1 i i + 1

  1

• n n

  f (x, t) f a ta u f = =

  i i

  1 n

• n

  f(x, t) f f ∂ −

  i i

  = t ? t

  ∂

• n

  1 n

  1

  f(x, t) f f ∂ −

  1 i

  1

• i

  − = x 2 ? x

  ∂ ⋅

  2 n

  1 n

  1

  f(x, t) f 2 f f ∂ i

  i i

• 1 n

  1

  − =

• +

  1 − ⋅

  2

  2

  x ? x ∂

   Program Semi QUE I V Jurusan Teknik Mesin Unibraw

BAB VI I . Pers. Differensial Parsial Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT. Program Semi QUE I V Jurusan Teknik Mesin Unibraw B

• i = 1 ? A
• −

• + +

  −
• −
• ⋅ − = −

  T ? x K T

  

? x

K

  

2

T ? x K T

  ? t

  1

? x

T T

  2 T K ? t T T

  n i 1 n 1 i

  1 n 1 i 2 i

  K T ) ? x

K

  1 n i 2 i

  1 n 1 i 2 i

  1 n i 2 1 n

  1 i 1 n i 1 n

  1 i i n i

  1 n i

  = −

⋅

  2 ? t 1 ( T

• −
• −

• −<
• B

  3

  3 T

  3

  4 = D

  3 T

  3

  3 T

  2

  i = 3 ? A

  4 T 3 + B

  2

  2 T 3 = D

  2 T 2 + C

  2 T 1 + B

  i = 2 ? A

  1

  i = 4 ? A

  4 T 4 + C

  1 T 1 + C

  n i i

  = ⋅ + = − = − = = + +

  1 n 1 i i

  1 n 1 i i 1 n i i

  2 i i i

  2 i i

  2 i i

  ) 3 . .......... 6 ( D T . C T . B T . A a ta u

  4 T 5 = D

  K A d e ng a n

  ? x K C ; ? x

  2 ? t 1 ( B

  K

  ? t T D ; ) ? x

  .

i = M ? A M T M-1 + B M T M + C M T M+1 = D M

  4 .

  1 T 2 = D

  1 T + B

• C

  0 0 A

  T

  3 D

  ? t T T ? x

  (ta np a me nulis n+1). Pe rsa ma a n d i a ta s d a la m b e ntuk ma trik me nja d i :

  i

  d itulis T

  i n+1

  Untuk p e nye d e rha na a n p e nulisa n, va ria b e l T

  Ap a b ila p e rsa ma a n (6.3) d itulis untuk se tia p titik hitung a n d a ri i = 1 sa mp a i M ma ka a ka n te rb e ntuk sua tu siste n p e rsa ma a n linie r ya ng d a p a t d ise le sa ika n d e ng a n me ng g una ka n me to d e ma triks. Untuk :

  0 0 0 0 0 . . . . . . A M B M T M D M De ng a n me ng g una ka n ske ma d i a ta s, ma ka d a p a t d ib e ntuk p e rsa ma a n d a la m b e ntuk b e d a hing g a :

   . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . . . . . . . . . = .

  4 D

  4 C

4 . . . . . . . . . T

  4 B

  ? x K ? t T

  3 C 3 . . . . . . . . .

  3 B

  2 C

  = −

⋅

  1 C 1 0 0 0 . . . . . . . . .

  0 T

  1 D

  1 A

  2 B

  2

  0 A

  2 i 1 n 1 i

  2 i 1 n i

  0 0 . . . . . . . . .

  T

  2 D

  2

  2 i n i

BAB VI I . Pers. Differensial Parsial Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT. Pe rsa ma a n te rse b ut d a p a t d ise le sa ika n d e ng a n me to d e

  p e nye le sa ia n p e rsa m a a n se re nta k se p e rti ya ng dib a ha s p a d a Ba b 2 untuk m e nd a p a tka n nila i T (i =1........M).

  i

  Pe nye le sa ia n d e ng a n me ng g una ka n ske ma imp lisit le b ih sulit d ib a nd ing d e ng a n ske ma e ksp lisit. Ke le b iha n d a ri ske ma imp lisit a d a la h ske ma te rse b ut sta b il ta np a sya ra t, la ng ka h wa ktu ? t d a p a t d ia mb il se mb a ra ng (b e sa r) ta np a me nimb ulka n ke sa la ha n p e mo to ng a n d a la m b a ta s-b a ta s ya ng d a p a t d ite rim a .

3. Pe nye le sa ia n Pe rsa m a a n Elip tik

  Pe nye le sa ia n d ila kuka n d e ng a n me nd iskre tisa si sua tu p e rsa ma a n d iffe re nsia l p a rsia l e lip tik d e ng a n ko nd isi b a ta s untuk d a p a t d itra nsfo rma sika n ke d a la m sua tu siste m d a ri N p e rsa ma a n d e ng a n N b ila ng a n a nu.

  Pe nye le sa ia n p e rsa ma a n e lip tik d ila kuka n d e ng a n la ng ka h- la ng ka h b e rikut ini.

  1. Me mb ua t ja ring a n titik simp ul d i d a la m se luruh b id a ng ya ng d itinja u d a n b a ta s-b a ta snya .

  2. Pa d a se tia p titik d a la m b id a ng te rse b ut d ib ua t turuna n-turuna nnya d a la m b e ntuk b e d a hing g a .

  3. Ditulis nila i-nila i fung si p a d a se mua titik d i b a ta s ke liling b id a ng d e ng a n me mp e rha tika n ko nd isi b a ta s. Da ri p e rsa m a a n b e ntuk e lip tik b e rikut :

  2

  2 ∂ ϕ ∂ ϕ

• =

  2

  2 x y ∂ ∂

  Se hing g a :

  2

  

2

ϕ − + ϕ ϕ + ϕ − ϕ ϕ i 1 , j i , j i 1 , j i , j 1 i , j i , j

  1 − − + +

• =

  2

  2 x y

  ∆ ∆

  Untuk x = y, m a ka p e rsa m a a n d i a ta s m e nja d i :

  ∆ ∆

  4 ϕ i , j − ϕ i 1 , j − ϕ i 1 , j − ϕ i , j

1 − ϕ i , j

1 =

  − + + − Program Semi QUE I V Jurusan Teknik Mesin Unibraw

BAB VI I . Pers. Differensial Parsial Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT. C o nto h So a l : De te rmine the ste a d y sta te te mp e ra ture o f the fo llo wing p la te using a = 1 a nd ? x = 1 ft.

  y 4 ft T = 40°F b

  T = 10°F T = 0°F a c

  3 ft x T = 20°F d

  Ja w a b :

  T = 40°F b

  1

  3

  5 T = 0°F c

  T = 10°F a

  2

  4

  6 T = 20°F d

  ? No de 1 ? No d e 3 T b

  T b

  1

  1

  1

  3

  5

  1

  3

  5 1 -4 1 1 -4

  1 T T a c

  T T a c

  2

  4

  6 2 4

  6

  1

  1 T T d d

  10 + 40 - 4 T + T + T = 0

  1

  2

  3 40 + T - 4 T + T + T = 0

  1

  3

  4

  5 Program Semi QUE I V Jurusan Teknik Mesin Unibraw

BAB VI I . Pers. Differensial Parsial Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.

  ? No de 2 ? No d e 4 T b

  T b

  1

  3

  5

  1 1 3

  5

  1 T a

  2

  4

6 T

  c

1 -4 T T

1 a c

  2

  4

  6 1 -4

  1

  1

  1 T d

  T d 10 + 20 + T 1 -4 T 2 + T 4 = 0 20 + T + T -4 T + T = 0

  2

  3

  4

  6 ? No de 5 ? No d e 6

  T b

  T b

  1 1 3 1 3

  1

  5 1 3 5

  5

  1 1 -4 -4

  1

  1

  1 T a

  T a

  T c

  T c

  2 2 4 6 4 6 2 4

  6

  1 1 -4

  1

  1

  1 T d T d

  20 + T + T - 4 T = 0

  4

  5

  6 40 + T -4 T + T = 0

  3

  5

6 Se hing g a ha sil p e rsa ma a n -p e rsa ma a n te rse b ut d a p a t d ib e ntuk d a la m

  sua tu m a trik :

  T = 23,561 °F

  1

• 4 1 1 1 0 0 T

  1 D

  1 1 -4 0 1 0 0 T D

  2

  2 T = 18,344 °F

  2 1 0 -4 0 0 0 T D

  3

  3 .

  = T = 25,901 °F

  3 0 1 1 -4 0 1 T

  4 D

  4 0 0 1 0 -4 1 T D

  5

  5 T = 19,814 °F

  4 0 0 0 1 1 -4 T D

  6

  6 T = 20,228 °F

  5 T = 15,010 °F

  6 Program Semi QUE I V Jurusan Teknik Mesin Unibraw