TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG - ITS Repository

  TESIS – SM 142501 TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG ( ) ℝ

DENGAN FAKTOR DILASI VEKTOR

  RIZKY DARMAWAN NRP 1213201052 DOSEN PEMBIMBING: Dr. Mahmud Yunus, M. Si.

  PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

  INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2016

  THESIS – SM 142501 CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ON ( ) SPACE WITH ℝ

VECTOR DILATION

  RIZKY DARMAWAN NRP 1213201052 Supervisior: Dr. Mahmud Yunus, M. Si.

  MAGISTER’ S DEGREE MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA 2016

TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG

  p n

L (R ) DENGAN FAKTOR DILASI VEKTOR

  Nama Mahasiswa : Rizky Darmawan NRP : 1213 201 052 Dosen Pembimbing : Dr. Mahmud Yunus, M.Si

  ABSTRAK Transformasi wavelet merupakan pengembangan dari transformasi Fourier.

  Transformasi Fourier hanya memberikan informasi mengenai frekuensi dari suatu data, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasi mengenai frekuensi yang ada, melainkan juga memberikan informasi waktu dari frekuensi tersebut. Dari sisi teoritis transformasi wavelet kontinu merupakan topik matematika yang menarik untuk dikembangkan. Salah satu pengembangan tersebut

  p n

  adalah konsep transformasi wavelet kontinu pada ruang L (R ) dengan faktor dilasi vektor yang merupakan perumuman dari transformasi wavelet multivariabel. Disisi lain, identifikasi tentang transformasi linear terbatas dan kontinuitas suatu fungsi merupakan topik yang menarik untuk dikaji dalam matematika. Suatu transformasi linier yang terbatas menyatakan bahwa fungsi hasil transformasi tidak mungkin melebihi penggandaan fungsi asal. Dalam kalkulus, fungsi kontinu memiliki keterkaitan dengan sifat-sifat limit, integral, dan turunan dari suatu fungsi. Pada penelitian ini diteliti syarat kontinuitas fungsi hasil transformasi dan diselidiki

  p n

  bahwa dari transformasi wavelet kontinu pada ruang L (R ) dengan faktor dilasi vektor merupakan transformasi linear terbatas. Dalam penelitian ini diketahui

  p n

  bahwa transformasi wavelet kontinu pada ruang L ) dengan faktor dilasi vektor (R merupakan transformasi linear terbatas, serta diketahui bahwa syarat cukup agar fungsi hasil transformasinya kontinu adalah fungsi wavelet harus berupa fungsi kontinu bertumpuan kompak.

  p n

  Kata kunci: transformasi wavelet kontinu, ruang L (R ), fungsi kontinu, trans- formasi linear terbatas p n

CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ON L (R ) SPACE

WITH VECTOR DILATION FACTOR

  By : Rizky Darmawan Student Identity Number : 1213 201 052 Supervisor : Dr. Mahmud Yunus, M.Si

  ABSTRACT Wavelet transform is an enhancement of Fourier transform. Fourier transform provides information about frequency of data, while wavelet transform is not only provides information of existing frequencies, but also gives us the information of time of frequencies. From the theoretical side, the continuous wavelet transform is a mathematical topics of interest to be developed. One such development is the

  p n

  concept of continuous wavelet transform on L (R ) space with vector dilation factor, that is a generalization of multivariable continuous wavelet transform . On another hand, the identification of bounded linear transformation and continuity of a function is an interesting topic to be studied in mathematics. A bounded linier transformation represent that output function of transformation is not more than multiplication of input function. In calculus, continuous function has relation with properties of limit, integration, and derivative of a function. In this research we study condition of continuity of output function and we investigate

  p n

  also that continuous wavelet transform on L (R ) space with vector dilation factor is bounded linear transformation. In this research we show that continuous

  p n

  wavelet transform on L (R ) space with vector dilation factor is bounded linear transformation and we also show that sufficient condition for the output function to be continuous function is wavelet function must be continuous function with compact support.

  p n

  Keywords: continuous wavelet transformation, L (R ) space, continuous function, bounded linear transformation

KATA PENGANTAR

  Alhamdulillahirabbil’aalamiin, puji syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan nikmat islam, iman, dan ihsan sehinggan penulis dapat menyele- saikan Tesis yang berjudul ”Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang L

  p

  (R

  n

  ) dengan Faktor Dilasi Vektor” secara optimal. Shalawat dan salam penulis haturkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa manusia dari zaman kegelapan menuju zaman terang benderang. Tesis ini merupakan salah satu persyaratan akademis untuk memperoleh gelar magister (S-2) di Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.

  Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini, penulis mendapat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnnya kepada:

  1. Orang tua dan saudara penulis yang selalu memberikan dukungan, doa dan motivasi agar penulis dapat meyeleaikan Tesis ini.

  2. Bapak Dr. Imam Muklash, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika ITS, yang telah membantu dan memberi dukungan selama masa perkuliahan dan penyusunan Tesis ini.

  3. Bapak Dr. Mahmud Yunus, M.Si. selaku Koordinator Programa Studi Pascasarjana Matematika ITS, sekaligus sebagai dosen wali dan dosen pembimbing penulis yang telah bersedia membimbing, memotivasi, dan berbagi ilmu dengan sabar kepada penulis sehingga Tesis ini dapat tersele- saikan.

  4. Prof. Erna Aprliani, Dr. Subiono, dan Dr. Dwi Ratna selaku dosen penguji yang banyak memberikan masukan, kritik, dan saran yang membantu penulis dalam penyusunan Tesis ini.

  5. Seluruh dosen Pascasarjana Matematika ITS yang telah memberikan ilmu pengetahuan yang bermanfaat selama masa perkuliahan, serta staf admin- istrasi dan karyawan Program Studi Magister Matematika-ITS atas segala bantuannya.

  6. Keluarga besar mahasiswa Pascasarjana Matematika ITS 2013, dan semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu penulis dalam proses penyusunan Tesis ini. Semoga Allah SWT selalu memberikan karuniah dan hidayah-Nya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian Tesis ini. Penulis menyadari bahwa selama masa penelitian dan penyelesaian Tesis ini masih terdapat kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, penulis mengharap kritik dan saran dari berbagai pihak yang bersifat membangun sebagai bahan perbaikan dimasa yang akan datang. Semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

  Surabaya, Juni 2016 Penulis

  

DAFTAR ISI

  LEMBAR PENGESAHAN i

  ABSTRAK iii

  ABSTRACT v

  KATA PENGANTAR vii

  DAFTAR ISI ix

  DAFTAR GAMBAR xi

  DAFTAR SIMBOL xiii

  BAB I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

  7 2.1 Kajian Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 2.1.1 Wavelet Satu Variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 2.1.2 Wavelet Multivariabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  2.2 Dasar Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  ∞p n n

  2.2.1 Transformasi Linear pada L (R × R ) . . . . . . . . . . . . . . 15

• n

  2.2.2 Fungsi Kontinu pada R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  BAB III METODA PENELITIAN

  19 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

  21

  p n

  4.1 Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang L (R ) dengan

  Dilasi Vektor sebagai Transformasi Linear Terbatas . . . . . . . . . . . . 24

  4.2 Kontinuitas Fungsi Hasil Transformasi Wavelet W f . . . . . . . . . . . 33

  ψ

  BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

  45

  5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

DAFTAR PUSTAKA

  47 BIODATA PENULIS

  49 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Grafik Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8 Gambar 2.2 Grafik Mexican Hat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 Gambar 4.1 Grafik B-Spline Order-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Gambar 4.2 Grafik B-Spline Order-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

DAFTAR SIMBOL

  n

  ψ fungsi wavelet R

  n

  himpunan n −tupel bilangan real R

• himpunan n −tupel bilangan real positif
• L
• × R

  R

  (R

  ) ruang fungsi bertumpuan kompak

  n

  (R

  f Fungsi hasil transformasi wavelet C

  ψ

  n

  dan terbatas pada R

  n

  ) ruang fungsi dengan modulus pangkat p terintegral Lebesgue pada R

  n

  n

  ∞p

  n

  dengan modulus pangkat p terintegral Lebesgue L

  n

  n

  (R

  p

  n

  dengan elemen di R

  n

  himpunan pasangan terurut antara elemen di R

  n

  ) ruang fungsi pada R

• × R
• W

BAB I PENDAHULUAN Pada bagian ini dijelaskan mengenai hal-hal yang melatar belakangi usulan

  penelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat penelitian.

1.1 Latar Belakang

  Gagasan yang mendasari analisis wavelet berasal dari tesis Alfred Haar yang berjudul The Theory of Orthogonal Function Systems pada tahun 1909. Sedangkan kata “wavelet” sendiri diberikan oleh Jean Morlet dan Alex Grossman di awal tahun 1980-an, yang berasal dari bahasa Perancis “ondelette” yang berarti gelombang kecil. Kata “onde” yang berarti gelombang diterjemahkan kedalam bahasa Inggris menjadi “wave”, lalu digabung dengan kata aslinya sehingga terbentuk kata baru “wavelet” (Gunawan, 2014).

  Transformasi wavelet merupakan perbaikan dari transformasi Fourier. Trans- formasi Fourier hanya memberikan informasi mengenai frekuensi yang muncul dari suatu sinyal, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasi mengenai frekuensi yang muncul, akan tetapi juga memberikan informasi waktu dari frekuensi tersebut (Gunawan, 2014).

  2 Dalam kasus satu variabel, wavelet merupakan suatu fungsi ψ ∈ L (R), ψ 6= 0

  yang memenuhi kondisi Z

  ψ (t) dt = 0

  R

  2

  sedangkan transformasi wavelet dari fungsi f ∈ L (R) adalah Z t − b

1 W f f dt, a , b

  ψ (a, b) := (t)ψ ∈ R ∈ R + 1/2

  a a

  R (Daubechies, 1992). Dalam hal ini, notasi ψ (t) menyatakan konjuget dari ψ(t).

  Lebih lanjut, parameter a disebut faktor dilasi, sedangkan parameter b disebut faktor translasi. Ada dua jenis transformasi wavelet, yaitu transformasi wavelet kontinu (TWK) dan transformasi wavelet diskrit (TWD). Perbedaan diantara keduanya adalah pada nilai parameter translasi dan parameter dilasi. Untuk transformasi wavelet kontinu nilai parameter translasi bernilai real dan nilai parameter dilasi bernilai bilangan real positif, sedangkan pada transformasi wavelet diskrit nilai parameter translasi bilangan bulat dan nilai parameter dilasi bernilai bilangan bulat positif. Secara fisis, jika f (t) adalah amplitudo dari sinyal pada waktu ke-t, maka f fungsi hasil transformasi wavelet kontinu W (a, b) menyatakan amplitudo sinyal

  ψ pada frekuensi b dan waktu a (Gunawan, 2014).

  Analog dengan kasus satu variabel, untuk kasus multivariabel, suatu fungsi

  2 n

  ψ ∈ L (R ), ψ 6= 0 disebut wavelet jika memenuhi kondisi Z

  ψ (t) dt = 0

  n R 2 n

  sedangkan transformasi wavelet dari fungsi f ∈ L (R ) adalah

  Z 1 t − b

  n

  W f f dt, a , b (a, b) := (t)ψ ∈ R ∈ R

  ψ

• n/2

  n

  a R a dengan a adalah faktor dilasi dan b adalah faktor translasi (Daubechies, 1992).

  Dalam bidang teknologi, transformasi wavelet diskrit memiliki manfaat yang lebih besar dari transformasi wavelet kontinu , khususnya dalam teknologi komputasi, hal ini disebabkan semua sinyal atau data yang diolah menggunakan komputer selalu dalam bentuk sinyal atau data diskrit. Akan tetapi dari sisi teoritis, transformasi wavelet kontinu merupakan salah satu topik matematika yang mengalami pengembangan. Salah satu pengembangan tersebut adalah transformasi

  p n

  wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang L (R ).

  p n

  Diberikan f ∈ L (R ), maka transformasi wavelet dari f dengan faktor dilasi vektor adalah Z t t

  1

  1 − b 1 n − b n

  W f f , dt (1.1) (a, b) := (t)ψ · · · ,

  ψ ρ n

  a a a (a · · · a ) R

  1 2 n 1 n n n

  , a , , b , b , dengan a = (a · · · , a ) ∈ R = (b · · · , b ) ∈ R , dan ρ > 0 tetap

  1 2 n

  1 2 n

• p n

  (Pathak, 2009). Dengan demikian transformasi wavelet dari fungsi f ∈ L (R ) seperti persamaan (1.1) dapat juga ditulis ulang sebagai berikut Z n 1 t − b

  i i n n

  W f (a, b) := f (t)ψ dt, a ∈ R , b ∈ R

  ψ Q ρ n

• n

  ( a ) R a

  i i i=1 i=1

  untuk pangkat ρ > 0 tetap. Disisi lain, sifat kontinuitas suatu fungsi dan penelitian transformasi wavelet sebagai transformasi linear terbatas merupakan topik yang menarik untuk dikaji. Dalam analisis real, kontinuitas dari suatu fungsi memiliki sifat-sifat tertentu, antara lain nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsi kontinu adalah sama, fungsi kontinu yang monoton tegas memiliki invers yang juga fungsi kontinu monoton tegas, fungsi kontinu merupakan fungsi terbatas dalam R, dan fungsi kontinu memiliki nilai absolout maksimum dan minimum. Konti- nuitas suatu fungsi juga memiliki peranan dalam kalkulus integral dan diferensial,

  n

  kontinuitas suatu fungsi pada R merupakan syarat cukup agar fungsi tersebut tertintegral Riemann dan merupakan syarat perlu agar fungsi tersebut terdiferensial

  n

  pada R . Lebih lanjut, dalam analisis fungsional, himpunan semua fungsi kontinu

  n p n

  pada R membentuk ruang Banach yang bersifat padat dalam L (R ). Sedangkan, suatu transformasi linear yang terbatas menunjukkan bahwa transfromasi tersebut memiliki nilai berhingga dalam norma dan mengakibatkan transformasi tersebut kontinu di setiap domain transformasi, disamping itu dari himpunan semua trans- formasi linear terbatas dapat dibentuk suatu ruang Banach tertentu.

  Dalam (Pathak, 1998) telah ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu

  2

  2

  dari fungsi di L (R) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L (R)

  2

  ke ruang L (R × R ), sedangkan dalam (Grossman dan Morlet, 1984) diperke-

• p

  2

  nalkan transformasi wavelet pada ruang L (R), dengan mensubstitusi f ∈ L (R)

  p

  dengan f ∈ L (R), dan menunjukkan bahwa transformasi wavelet tersebut

  p n 2 p n merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L (R ) ke ruang L (R)×L (R ).

  Dalam (Pathak, 2004) juga ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu pada

  p n p

  ruang L (R ) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L (R) ke ruang

  ∞p

  L (R × R). Untuk kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet satu variabel

• 2 di ruang L (R) dapat dilihat dalam (Navarro dan Herrera, 2012).

  Sedangkan penelitian untuk mendapatkan syarat kontinuitas fungsi hasil trans- formasi dan sifat transformai linear terbatas dari transformasi wavelet pada persamaan (1.1) belum pernah dilakukan. Dalam penelitian ini, didapatkan syarat kontinuitas fungsi hasil transformasi dan diselidiki bahwa transformasi wavelet

  p n

  dengan faktor dilasi vektor pada ruang L (R ) merupakan transformasi linear

  n n

  terbatas. Kontinuitas yang dimaksud adalah kontinuitas pada R , sedangkan × R

• p n

  transformasi linear yang dimaksud adalah transformasi linear dari ruang L (R ) ke

  ∞p n n ∞p n n

  ruang L (R × R ). Ruang L (R × R ) adalah ruang fungsi yang berbentuk

  ( )

  Z 1/p

  p ∞p n n n n

  L f db < (R × R ) := : R × R → C sup |f (a, b)| ∞

  n n R a∈R

dengan norma Z 1/p

  

p

_{∞ p} ∞p n n

  db , f kf k := sup |f (a, b)| ∈ L (R × R )

  L

• n n

  R a∈R

• ∞p

  dan merupakan perumuman untuk kasus multivariabel dari ruang L (R × R)

• dalam (Grossman dan Morlet, 1984).

  Dengan demikian, dalam penelitian ini, pekerjaan yang dilakukan adalah mendapatkan konstanta real positif M > f _∞ 0 sedemikian hingga W ψ (a, b) pada

  p

  persamaan (1.1) memenuhi f , dan mendapatkan syarat kW ψ (a, b)k L ≤ M kf k p agar fungsi W f (a, b) pada persamaan (1.1) merupakan fungsi kontinu pada

  ψ n n

  R × R .

• 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang permasalahan di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah

  1. Apakah transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang

  p n

  L (R ) merupakan transformasi linear terbatas ?

  2. Bagaimana syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet kontinu

  p n

  dengan faktor dilasi vektor pada ruang L (R ) ?

1.3 Batasan Masalah

  Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi sebagai berikut:

  p n

  1. Nilai p dan n pada L (R ) masing-masing adalah bilangan asli.

  2. Kekontinuan fungsi hasil transformasi yang dibahas adalah kekontinuan pada

  n n

  R .

  × R

• 3. Transformasi wavelet kontinu yang dibahas merupakan transformasi linear

  p n ∞p n n dari ruang L (R ) ke ruang L (R × R ).

• +

  4. Range dari fungsi dalam penelitian ini adalah himpunan bilangan kompleks C.

  5. Integral yang digunakan dalam penelitian ini adalah integral Lebesgue.

  3. Sebagai referensi untuk penelitian dalam bidang sinyal multivariabel.

  n ).

  2. Sebagai referensi untuk penelitian selanjutnya mengenai transformasi wavelet.

  1. Sebagai tambahan wawasan dan keilmuan dalam matematika khususnya di bidang transformasi wavelet.

  1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini antara lain

  n .

  R

  n

  ) merupakan fungsi kontinu pada R

  n

  (R

  p

  2. Mendapatkan syarat agar fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang L

  n

  1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah yang ada, tujuan penelitian ini adalah

  (R

  ∞p

  ) ke ruang L

  n

  (R

  p

  ) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L

  n

  (R

  p

  1. Mengidentifikasi bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang L

• × R
• ×

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Pada bagian ini akan diberikan teori-teori yang menunjang dalam proses

  n

  penelitian, yaitu konsep teori ukuran dan integral di R , transformasi linear terbatas,

  p n ∞p n n n

  ruang L (R ), ruang L (R × R ), fungsi kontinu di R , himpunan kompak,

• 2

  transformasi wavelet kontinu di ruang L (R), transformasi wavelet kontinu di ruang

  2 n

  L (R ), dan transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor di ruang

  p n

  L (R ).

2.1 Kajian Pustaka

  Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari transformasi wavelet

  2 p

  satu variabel dari fungsi di ruang L (R) dan ruang L (R), transformasi wavelet

  2 n p n p n

  multivariabel L (R ) dan L (R ), dan transformasi wavelet di ruang L (R ) dengan faktor dilasi vektor.

2.1.1 Wavelet Satu Variabel

  2 n

  Diberikan L (R) adalah kelas dari fungsi-fungsi bernilai kompleks pada R yang kontinu dan modulus kuadratnya terintegral Lebesgue pada R. Dalam kasus

  2

  satu variabel, wavelet merupakan suatu fungsi ψ ∈ L (R), ψ 6= 0 yang memenuhi kondisi rata-rata nol, yaitu Z

  ψ (t) dt = 0, t ∈ R

  R

  2

  sedangkan definisi dari transformasi wavelet kontinu dari fungsi di ruang L (R) adalah sebagai berikut

  2 Definisi 2.1.1. (Daubechies, 1992) Diberikan ψ ∈ L (R) adalah suatu wavelet.

  2 Transformasi wavelet kontinu dari fungsi f ∈ L (R) adalah fungsi W f dengan ψ

  Z 1 t − b W f (a, b) := f (t)ψ dt, a ∈ R , b ∈ R (2.1)

• ψ 1/2

  a R a Notasi ψ (t) menyatakan konjuget dari ψ(t). Dalam hal ini, parameter a disebut faktor dilasi, sedangkan parameter b disebut faktor translasi. Secara fisis interpetasi dalam analisis sinyal adalah, jika f (t) adalah amplitudo sinyal pada waktu ke-t, maka fungsi hasil transformasi wavelet kontinu W f (a, b) menyatakan amplitudo

  ψ

  sinyal pada frekuensi b dan waktu a (Gunawan, 2014). Wavelet ψ memenuhi kondisi

  admissible , yaitu

  Z

  2

  |Ψ(ω)| C dω <

  

ψ = ∞

R |ω|

  R

  −itω

  dengan ψ dt adalah transformasi Fourier dari ψ. Sedangkan Ψ(ω) = (t)e

  R

  invers dari transformasi wavelet satu dimensi tersebut adalah Z Z 1 t − b da f (t) = W f (a, b)ψ db

  ψ 3/2

  C R R a a

  ψ

• (Daubechies, 1992) Salah satu contoh wavelet adalah wavelet Haar yang berbentuk

  

  1

  , 1 untuk 0 ≤ t < 

  2

  

  1

  ψ (t) = −1 untuk ≤ t < 1

  2

    untuk yang lain

  Gambar 2.1: Grafik Haar dan wavelet Topi Meksiko yang berbentuk

  2

  t

  2

  ψ (t) = 1 − t exp(− ), t ∈ R

  2 (Chui, 1992). Dalam (Grossman dan Morlet, 1984), transformasi wavelet satu variabel dari

  2 p

  2

  fungsi di L (R) diperumum di ruang L (R), yaitu dengan mensubstitusi f di L (R)

  

p

  pada persamaan (2.1) menjadi di f di L (R), dalam penelitian tersebut Grossman

  Gambar 2.2: Grafik Mexican Hat mendapatkan rumus invers transformasi wavelet kontinu satu variabel di ruang

  p

  L (R) tanpa syarat kekonvergenannya, serta menunjukkan bahwa transformasi

  p

  wavelet satu variabel di ruang L (R) merupakan transformasi linear terbatas dari

  p ∞p

  ruang L (R) ke ruang L (R × R) dengan memenuhi + _{∞ p} kW f (a, ·)k p ≤ kψk

  1 kf k .

  ψ L L L

  (Grossman dan Morlet, 1984). Dalam hal ini norma yang dimaksud adalah norma dari ruang fungsi pada R. Disisi lain, dalam (Navarro dan Herrera, 2012) diberikan

  2

  syarat sehingga fungsi hasil transformasi wavelet di L (R) merupakan fungsi kontinu pada R × R, yaitu wavelet ψ harus berupa fungsi kontinu bertumpuan

• kompak, dengan kata lain ψ ∈ C (R).

2.1.2 Wavelet Multivariabel

  Konsep transformasi wavelet dapat diperluas untuk kasus multivariabel. Dalam hal ini definisi wavelet analog dengan definisi wavelet pada kasus satu variabel.

  2 n n

  Diberikan L (R) adalah kelas dari fungsi-fungsi bernilai kompleks pada R yang

  n

  kontinu dan modulus kuadratnya terintegral Lebesgue pada R , yaitu Z

  2 2 n n

  L f dt < (R ) := : R → C| |f (t)| ∞

  n R

  2 n

  Suatu fungsi ψ ∈ L (R ), ψ 6= 0 disebut wavelet jika memenuhi kondisi rata-rata nol, yaitu Z

  n

  ψ (t) dt = 0, t ∈ R

  n R

  2 n

  sedangkan definisi dari transformasi wavelet kontinu dari fungsi di ruang L (R ) diberikan pada definisi di bawah.

  2 n

  ψ Definisi 2.1.2. (Daubechies, 1992) Diberikan ∈ L (R ) adalah suatu wavelet.

  2 n

  f f dengan

  Transformasi wavelet kontinu dari fungsi ∈ L (R ) adalah fungsi W ψ

  1

  Z t − b

  n

  W f f dt, a , b (2.2)

  ψ (a, b) := (t)ψ ∈ R ∈ R + n/2 n

  a a

  R 2 n

  Transformai wavelet di atas merupakan transformasi linear dari L (R ) ke

  ∞ n 2 n

  L (R ) × L (R ). Dalam hal ini parameter a disebut faktor dilasi dan b disebut faktor translasi. Dari definisi wavelet dan transformasi wavelet di atas, terlihat jelas bahwa fungsi hasil transformasi wavelet merupakan fungsi bernilai kompleks. Integral yang digunakan dalam perhitungan transformasi wavelet di atas adalah integral Lebesgue, hal ini bertujuan agar fungsi asal dapat dihampiri fungsi basis wavelet secara kombinasi linier dalam konsep almost everywhere, sebab pada kenyataannya terdapat basis wavelet tertentu yang menghampiri fungsi asal secara kombinasi linier tetapi tidak terintegral Lebesgue, akibatnya hampiran tersebut tidak dapat dikatakan representasi dari fungsi asal.

3 Ambil kasus di R , misalkan f

  (t, x, y) adalah ampliudo dari suatu sinyal citra hitam putih f yang bergantung pada waktu ke-t, derajat keabuan pada posisi horizontal x, dan derajat keabuan pada posisi vertikal y, maka W f (a, b) pada

  ψ

  persamaan (2.2) merupakan amplitudo sinyal citra pada frekuensi b = (b , b , b )

  1

  2

  3

  yang terjadi pada posisi waktu a, dengan b , b , b masing-masing merupakan

  1

  2

  3

  frekuensi sinyal yang bersesuaian dengan waktu ke-t, derajat warna putih x, dan derajat warna hitam y berturut-turut. Seperti halnya pada wavelet satu variabel, wavelet ψ multivariabel juga memenuhi kondis admissible yang berupa

  Z

  2

  |Ψ(ω)| C dω <

  

ψ = ∞

n

  R |ω|

  pP n

  2

  dengan , dan |ω| = |ω i | Ψ(ω) adalah transformasi Fourier dari ψ.

  i=1 2 n

  Sedangkan invers transformasi wavelet multivariabel di L (R ) berbentuk

  Z Z t − b da 1 f W f db

  (t) = (a, b)ψ

  ψ 3/2 n n

  C a a

  R R ψ

  1 n 2 n

  (Daubechies, 1992). Jika f ∈ L (R ) ∩ L (R ), maka transformasi wavelet multi-

  1 n

  variabelnya merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L (R ) ke ruang

  1 n n

  L (R × R ) dengan memenuhi

• 1/2 −1

  f

  1

  1 1 .

  kW (a, ·)k ≤ a (2π) kψk kf k

  ψ L L L

  Beberapa contoh wavelet multivariabel antara lain wavelet Haar multivariabel yang berbentuk

  n

  Y

  n

  ψ (t) = ψ (t ), t = (t , · · · , t ) ∈ R

  i i 1 n i=1

  dengan ψ adalah wavelet Haar satu variabel, serta wavelet Topi Meksiko multi-

  i

  variabel yang berbentuk

  2

  ktk

  2 n

  ψ (t) = 1 − ktk exp(− ), t = (t , · · · , t ) ∈ R

  1 n

  2

  p n

  (Chui, 1992). Untuk transformasi wavelet kontinu pada ruang L (R ), yaitu trans-

  2 n

  formasi wavelet pada persamaan (2.2) dengan mensubstitusi f ∈ L (R ) dengan

  p n

  f ∈ L (R ) dengan dilasi skalar a > 0, dapat dilihat dalam (Pathak, 2009). Selan- jutnya Pathak memperkenalkan transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi

  p n vektor pada ruang L (R ).

  2 n

  Definisi 2.1.3. (Pathak, 2009) Diberikan ψ ∈ L (R ) adalah suatu wavelet. Trans-

  p n formasi wavelet kontinu dari fungsi f ∈ L (R ) adalah fungsi W f dengan

  ψ

  Z 1 t − b t − b

  1 1 n n

  W f (a, b) := f (t)ψ , · · · , dt (2.3)

  ψ ρ n

  a a a (a

  1 2 · · · a n ) R 1 n n n dengan a , a , , b , b , , dan ρ >

  = (a

  1 2 · · · , a n ) ∈ R = (b

  1 2 · · · , b n ) ∈ R 0 tetap.

• p n

  Transformasi wavelet dari fungsi f ∈ L (R ) pada persamaan (2.3) dapat juga ditulis ulang sebagai berikut

  n

  Z 1 t − b

  i i n n

  W f (a, b) := f (t)ψ dt, a ∈ R , b ∈ R

  ψ

  Q

  n ρ + n

  a a ( i ) R i

  i=1 i=1 untuk pangkat ρ > 0 tetap.

  2 Sebagai contoh perhitungan ambil kasus di R untuk pangkat ρ = 1. Diberikan

  2

  2

  f ∈ L (R ) dengan (

  1

  1 ∞, 1 ≤ t 2 ∞ n t 1 t

  < < untuk 1 ≤ t

  2

  f t , t

  (t) = = (t ) ∈ R

  1

  2

  untuk yang lain akan dihitung transformasi waveletnya menggunakan wavelet Haar dua variabel

  2

  ψ , t (t) = ψ (t ) ψ (t ), t = (t ) ∈ R

  1

  1

  2

  

2

  1

  2

  dengan ψ adalah wavelet Haar satu variabel

  i

  

  1

  < , 1 untuk 0 ≤ t i 

  2

  

  1

  ψ (t ) = <

  i i −1 untuk ≤ t i

  1

  2

    untuk yang lain

  Untuk i = 1, 2 jelas bahwa 

  1

  < a , 1 untuk b ≤ t + b  i i i i

  2

  i i

   t − b

  1

  ψ = a < a

  

i −1 untuk + b ≤ t + b

i i i i i

  2

  a

  i 

   untuk yang lain dan f (t) dapat ditulis f

  (t) = f (t )f (t )

  

1

  1

  2

  2

  dengan (

  1

  < untuk 1 ≤ t ∞

  i t i

  f (t) = t ∈ R

  i i

  untuk yang lain Selanjutnya perhitungan transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi f adalah

  Z Z

  ∞ ∞

  1 t − b t − b

  1

  1

  2

  2 W (a, b) = f (t) ψ ψ dt dt f

  

1

  2

  1

  2

  a a a a

  1

  2

  1

  2 −∞ −∞

  dengan menggunakan teorema Fubini maka perhitungannya dapat dilakukan secara bertahap untuk masing-masing i = 1, 2.

• Untuk a i + b i ≤ 1

  Z Z

  ∞ a i +b i

  1 t − b 1 t − b

  i i i i

  ψ f ψ (t ) dt = · 0 dt

  i i i i i i

  a a a a

  i i i i −∞ −∞

  Z Z

  1 ∞

  t − b

  1

  i i

• ψ f dt

  (t 0 · + ) dt

  i i i i i

  a t

  i i a i +b i

  1

  = 0

  1

• Untuk a + b ≤ 1 dan a + b >

  1

  i i i i

  2 Z Z ∞

  1

  t t 1 − b 1 − b

  i i i i

  ψ f ψ (t ) dt = · 0 dt

  i i i i i i

  a a a a

  i i i i −∞ −∞

  Z Z

  a i +b i ∞

  1

  1

• (−1) dt 0 · dt

  i i

  t t

  i i

  

1

  1

  1

  a i +b i

  = [− ln t]

  1

  a

  

i

  1 = − ln(a + b )

  i i

  a

  i

  1

• Untuk b ≤ 1 dan a + b >

  1

  i i i

  2 Z Z Z ∞ 1 b i

  t t 1 − b

  1 − b

  i i i i

  ψ f ψ f (t ) dt = 0 · 0 dt + (t ) dt

  i i i i i i i i i

  a a a a

  i i i i −∞ −∞

  1

1 Z Z

  a i +b i a i +b i

  2

  1

  1 dt dt

• 1 · i (−1) · i

  1

  t t

  b i i a i +b i i

  2 Z ∞

  1

• 0 · dt

  i

  t

  i a i +b i

  1

  1 a i +b i

  2 a i +b i

  = [ln t] + [− ln t]

  1 b i a i +b i

  2

  a

  i

  1

  2

  a 1 ( + b )

  i i

  2

  = ln a a (a + b )

  i i i i

  berikutnya, misalkan untuk i = 1, 2 Z

  ∞

  1 t − b

  i i

  W f , b ψ f (a ) = (t ) dt

  i i i i i i i

  a a

  

i i

−∞

  maka 

  1

  1

   − ln(a + b ) untuk a + b ≤ 1 dan a + b > 1,

  i i i i i i

   a i

  2

  

  1

  2 ( a i +b i )

  1

  2

  1 W f (a , b ) = ln untuk b ≤ 1 dan a + b >

  1

  i i i i i i a i a i (a i +b i )

  2

     untuk yang lain dengan demikian

  W f , b f , b (a, b) = W (a )W (a )

  f

  1

  1

  1

  2

  2

  2 atau dapat ditulis 

  1

  1

   ln(a + b ) ln(a + b ) untuk a + b ≤ 1, a + b > 1,

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  1

  1 a 1 a

  2

  2

    

  1

    a + b ≤ 1, a + b >

  1

  2

  2

  2

  2

  2

   

  1

  2

  

  ( a 2 +b

2 )

  

  1

  2

  1

   − ln(a + b ) ln untuk a + b ≤ 1, a + b > 1,

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  

  a 1 a 2 a 2 (a

2 +b

2 )

  2

    

  1

    b a >

  ≤ 1, + b

  1

  2

  2

  2

  

  2

  

  1

  2 ( a 1 +b 1 )

  1

  2

  1 W

  a > (a, b) = − ln ln(a + b ) untuk + b ≤ 1, a + b 1,

  f

  2

  2

  2

  2

  2

  2 a 1 a 2 a 1 (a 1 +b 1 )

  2

   

  1

    b ≤ 1, a + b >

  1

  1

  1

  1

  

  2

  

  1

  2

  1

  2

  

  ( a 1 +b 1 ) ( a

2 +b

2 )

  

  1

  2

  2

  1

   a > ln ln untuk b

  1 ≤ 1, 1 + b 1 1,

  

  a 1 a 2 a 1 (a 1 +b 1 ) a 2 (a

2 +b

2 )

  2

    

  1

    b a >

  ≤ 1, + b

  1

  2

  2

  2

  

  2

     untuk yang lain

  Secara intuitif, faktor dilasi vektor a pada wavelet ψ menunjukkan bahwa nilai fungsi wavelet ψ (t − b) pada masing-masing elemen dari variabel vektor t − b

  1

  mengalami dilasi dengan nilai yang berbeda, yaitu sebesar untuk setiap elemen

  a i

  vektor t − b , untuk i = 1, 2, · · · , n. Hal ini berbeda dengan wavelet yang memiliki

  i i

  faktor dilasi bilangan real pada transformasi wavelet pada persamaan (2.2), dengan nilai fungsi wavelet ψ (t − b) mengalami dilasi dengan nilai yang sama untuk setiap elemen t − b dari variabel vektor t − b.

  i i

  Dalam (Pathak, 1998) telah ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu

  2

  2

  dari fungsi di L (R) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L (R) ke

  2

  ruang L (R × R ). Selain itu dalam buku tersebut diperoleh syarat agar trans-

• p

  formasi wavelet pada ruang L (R) dengan dilasi vektor mempunyai invers, dengan

  p n

  syaratnya adalah ψ ∈ L (R ), dan rumus inversnya berbentuk Z Z

  1

  1

  n ρ−2

  f (t) = (−1) W f (a, b)a da db

  ψ n n n

  π A R R b − t

  n

• R dengan A n ψ

  n = (t)dt. Akan tetapi penelitian untuk mendapatkan syarat konti- R

• nuitas fungsi hasil transformasi dan syarat transformasi wavelet kontinu pada ruang

  p n L (R ) dengan dilasi vektor sebagai transformasi linear terbatas belum dilakukan.

2.2 Dasar Teori

  Pada bagian ini diberikan teori-teori pendukung yang berguna dalam penelitian

  p n ∞p n

  ini, antara lain konsep transformasi linear terbatas, ruang L (R ), ruang L (R ×

• n

  R ), ketaksamaan Holder, teorema Kekontinuan Operator Translasi, fungsi kontinu, dan himpunan kompak

  

∞p n n

2.2.1 Transformasi Linear pada L (R × R )

• +

  Pada bagian ini diberikan definisi ruang bernorma, transformasi linear terbatas

  p n ∞p n n pada ruang bernorma, ruang L (R ), dan ruang L (R × R ).

• Definisi 2.2.1. (Yunus, 2005) Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor atas F.

  

Transformasi linear dari V ke W adalah pemetaan T : V → W yang memenuhi

  (TL1) Untuk setiap x, y ∈ V berlaku T (x + y) = T (x) + T (y) (TL2) Untuk setiap c

  ∈ F dan x ∈ V berlaku T (cx) = cT (x) Selanjutnya berikut ini diberikan definisi transformasi linear terbatas pada ruang bernorma.

  Definisi 2.2.2. (Yunus, 2005) Misalkan V dan W adalah dua ruang bernorma atas

F. Transformasi linear T

  : V → W dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M

  ≥ 0 sedemikian hingga kT (x)k ≤ M kxk , ∀x ∈ V

  W

  V Karena pembahasan mengenai transformasi linear terbatas pada transformasi p n

  wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor di ruang L (R ) dalam penelitian ini

  p n ∞p n n

  merupakan transformasi linear dari L (R ) ke ruang L (R × R ), maka terlebih

• p n ∞p n n dahulu diberikan definisi dari ruang L (R ) dan ruang L (R × R ).
• p n

  Diberikan nilai p yang memenuhi 1 ≤ p ≤ ∞, ruang L (R ) didefinisikan sebagai Z

  p p n n

  L f dt < , untuk (R ) := : R → C| |f (t)| ∞ 1 ≤ p < ∞

  n R

  dan

  p n n

  L (R ) := {f : R → C|ess sup |f (t)| < ∞} , untuk p = ∞

  p n p n