M01114

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

1

OPTIMASI HASIL PANEN PADI MENGGUNAKAN SINGULAR VALUE

DECOMPOSITION (SVD) DAN ANT COLONY OPTIMIZATION (ACO)

Vina Puspita Dewi 1), Hanna Arini Parhusip 2), Lilik Linawati 3)

1)

Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW

2), 3)

Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

E-mail: puspitadewi_vina@yahoo.com1), hannaariniparhusip@yahoo.co.id2), lina.utomo@yahoo.com3)

Abstrak

Hasil panen padi di Kota Surakarta pada tahun 1992-2012 akan ditentukan periode tanam yang optimal. Untuk mendapatkan periode tanam yang optimal maka perlu menyusun fungsi tujuan. Fungsi tujuan yang dipilih adalah berbentuk kuadratik yang parameter-parameternya ditentukan menggunakan Singular Value Decomposition (SVD). Ant Colony Optimization (ACO) ACO merupakan algoritma optimasi yang menggunakan perilaku semut. ACO menghasilkan periode III (September – Desember) sebagai periode yang optimal. Hasil gabah per hektar yang diperoleh adalah 43.8 ton

Kata Kunci: Ant Colony Optimization (ACO), Singuler Value Decomposition (SVD)

PENDAHULUAN

Kajian optimasi hasil panen padi di kota Surakarta berdasarkan data BPS Surakarta untuk mencari periode tanam optimal (maksimal) pernah dilakukan menggunakan pemrograman kuadratik. Ada tiga periode tanam dalam satu tahun yaitu periode I (Januari-April), periode II (Mei-Agustus), dan periode III (September-Desember). Kajian didasarkan pada data hasil panen padi tahun 1992-2012. Analisis dilakukan untuk setiap periode tanam, sehingga pada masing-masing periode tanam dibuat fungsi tujuan yang berbentuk kuadratik. Parameter-parameter fungsi tujuan ditentukan menggunakan metode kuadrat terkecil dan diperoleh periode tanam yang optimal (maksimal) adalah periode tanam III. Jadi hampir setiap tahun periode yang optimal adalah pada periode III (Dewi, dkk, 2013).

Terdapat beberapa metode optimasi non linear modern diantaranya Simulated Annealing, algoritma genetik, Ant colony optimization (ACO), dan Particle Swarm Optimization (PSO). Pada penelitian ini akan digunakan ACO untuk menentukan periode tanam optimal dan diharapkan akan memberikan hasil yang sama dengan hasil penelitian menggunakan pemrograman kuadratik. ACO dibuat berdasarkan perilaku kooperatif dari koloni semut di alam yang dapat menemukan lintasan terpendek dari sarang semut ke suatu sumber makanan. Metode ini dikembangkan oleh Dorigo pada awal 1990-an (Rao, 2009). Untuk fungsi tujuan disusun menggunakan Singuler Value Decomposition (SDV) dan diharapkan nilai error terhadap parameter-parameter fungsi tujuan yang diperoleh lebih kecil.

Penelitian mengenai Ant Colony Optimiation (ACO) sudah pernah dilakukan oleh beberapa peneliti diantaranya untuk menyelesaikan permasalahan penjadwalan mesin pararel (Chang, dkk,

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

2

2008), menyelesaikan permasalahan job shop dengan menggunakan ACO (Seo & Kim, 2008), dan untuk mengoptimalkan reduksi warna pada sirup stevioside (Parhusip & Martono, 2012).

DASAR TEORI

Ant Colony Optimization (ACO)

Menurut Rao (2009) ACO dapat dijelaskan dengan menampilkan masalah optimasi dalam grafik multilayer sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1 dengan banyaknya variabel sama dengan banyaknya layer. Sedangkan banyaknya titik/node pada tiap layer sama dengan banyaknya titik diskrit yang diijinkan berkaitan dengan variabel keputusan.

Layer 1(x1) x11 x12 x13 x14 x15

Layer 2 (x2) x21 x22 x23 x24 x25

Layer 3 (x3) x31 x32 x33 x34 x35

Layer 4 (x4) x41 x42 x43 x44 x45

Gambar 1. Grafik multilayer untuk Ant Colony Optimization (ACO) = variabel ke-i. i=1,2,...,n

= lintasan pada node ke-i dan posisi ke-j. j=1,2,...,m

Berikut ini model cara semut berjalan dari rumah/sarang menuju ke node tujuan dan kembali lagi ke rumah/ sarangnya:

Tujuan (makanan) rumah

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

3

1. Sifat Perilaku Semut dalam Perjalanan Menuju Tujuan

Seekor semut berjalan dari titik awal yaitu rumah menuju ke layer pertama sampai ke layer terakhir dan akan berhenti sampai ke node tujuan (makanan).

Semut ke-k pada lokasi node i untuk menuju posisi ke-j sebagai posisi selanjutnya menggunakan jejak feromon



_ij pada probabilitas

�( ) =

�� ��

�( )

, jika �( ) 0 , jika �( )

(1)

dimanamenyatakan derajat kepentingan dari feromon dan �( ) menyatakan himpunan node-node pada persekitaran semut ke-k pada posisi i, kecuali node predesesor ( yaitu node terakhir yang dikunjungi sebelum i). Hal ini akan menjaga semut ke-k kembali ke node yang sama.

2. Lintasan Kembali dan Memperbaharui Feromon

Sebelum ke node rumah (arah mundur), semut ke-k menyimpan 



(k) feromon pada lintasan yang telah dikunjungi. Nilai feromon



ijpada lintasan (i,j) diperbarui dengan

� ← � + ∆�( ) (2)

Karena ada peningkatan pada feromon , probabilitas lintasan tersebut akan dipilih semut lain juga akan semakin meningkat.

3. Penguapan Jejak Feromon

Ketika seekor semut ke-k bergerak ke node berikutnya, feromon yang dapat dinyatakan sebagai

� ← 1− � � ; ∀ , �� (3)

dimana �(0,1] adalah laju penguapan (yang dikenal juga sebagai faktor penurunan feromon) dan A menyatakan segmen atau lintasan yang dilalui oleh semut ke-k dari rumah ke tujuan. Penurunan intensitas feromon menyebabkan eksplorasi pada lintasan yang berbeda-beda selama proses pencarian. Hal ini menyebabkan adanya eliminasi dari pemilihan lintasan yang buruk sehingga jejak feromon dapat menghasilkan nilai yang maksimum. Suatu iterasi dikatakan lengkap jika meliputi pergerakan semut, penguapan feromon dan penyimpanan feromon.

Setelah semua semut ke-k kembali ke titik sarang (rumah) , informasi feromon diperbaharui berdasarkan hubungan

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

4

dimana





ij(k)adalah banyaknya feromon yang disimpan pada lintasan ij oleh semut ke-k.

Tujuan feromon diperbaharui adalah untuk meningkatkan nilai feromon yang berkaitan dengan baik atau tidaknya lintasan. Feromon disimpan pada lintasan ij terbaik dalam bentuk

∆� (k) ₌ �

� (5)

dimana Q menyatakan suatu konstan dan L adalah panjang lintasan yang dilalui oleh _k semut ke-k (seperti dari 1 kota ke kota lain). Persamaan (5) dapat diimplementasikan sebagai

∆�( ) =

� _{; jika , perjalanan global terbaik}

0; untuk yang lain

(6)

fterbaik = nilai terbaik fungsi tujuan

fterburuk = nilai terburuk fungsi tujuan



= parameter yang digunakan untuk mengkontrol pembaharuan feromon

Fungsi Tujuan ACO Menggunakan Singular Value Decomposition (SVD)

Pada penelitian ini digunakan fungsi tujuan kuadratik dengan parameter-parameternya dicari menggunakan Singuler Value Decomposition (SDV). Parameter-parameter fungsi tujuan yang akan dicari adalah

=�1 2+�2 2+ �3 +�4 +�5 +�6 (7)

Persamaan (7) dalam bentuk matriks dapat ditulis:

� � = (8)

dimana

A=

12 12 1 1 22 22 2 2

1 1 1

2 2 1

⋮ ⋮ ⋮

2 2 ⋮ ⋮ ₁⋮

(8a)

� = �1�2�3�4�5�6

i

x = data ke- i variabel 1

i

y = data ke- i variabel 2

=S_i = data ke- i variabel 3 i = 1,2,...,n; n= banyaknya data � = parameter fungsi tujuan j = 1,2,...,6

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

5

Menurut Watkins (1991) pada persamaan (9) jika matriks Aϵ R nxm mempunyai rank r, maka terdapat matriks dengan kolom-kolom dari nilai eigen �� U ϵ Rnxn, Σ adalah matriks diagonal dari akar nilai eigen �� Σ ϵ Rnxm, dan V adalah matriks dengan kolom-kolom dari vektor eigen �� V ϵ Rmxm.

Dari persamaan (8) dan (9) diperoleh:

� � = atau � � = (10)

Misal = dan = _� , maka � = sehingga =�

Persamaan (8) diselesaikan dengan:

� = (11)

Untuk error :

Error= E = � −

. 100%

Selain itu dengan menghitung Conditional Number:

κ � ≡ �−1_∞ � _jika jika _�� _singuler nonsinguler

Menurut Anderson, dkk, (1999) jika Conditional Number dibawah 67108864 maka error invers dinyatakan baik. Sebaliknya dikatakan tidak baik (ill condition)

Setelah mendapatkan fungsi tujuan, agar fungsi tujuan menjadi tidak berkendala maka perlu disusun fungsi Lagrange untuk menyelesaikannya dengan ACO yaitu



_





m

i i

ig x

x f x

L

1

)

(

)

(

)

,

(













untuk x





C dan







0



₍₁₂₎

Kondisi Karush Kuhn Tucker (KKT) pada persamaan (13) dapat digunakan untuk menemukan titik kritis dengan menyelesaikan sistem persamaan yang diperoleh dari L0. Artinya mencari pemaksimal x*dan parameter optimal



* yang memenuhi

(1).� ∗ 0

(2). � ∗

g

i

(

x

*)



0



untuk i = 1,2,…,m. (13)

(3).













m

i

i

i g x

x f

1

0

*)

(

*

*)

(









Fungsi tujuan mempunyai titik pemaksimal jika bersifat concave (cekung). Menurut Perresini, dkk, (1998) ada beberapa cara untuk menunjukkan fungsi tujuan yang diperoleh concave:

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

6

1. Jika matriks Hessian fungsi tujuan negative semi definite (setiap nilai eigen ≤ 0) maka ∗ merupakan pemaksimal.

2. Sebuah fungsi ( ) adalah cembung pada sebuah selang



(berhingga atau tak berhingga). Jika untuk setiap dua titik dan didalam



dimana dan ϵ Rn dan untuk semua

0 � 1berlaku

� + 1− � � + 1− � ( ) (14)

Jika pernyataan diatas berlaku dengan tanda pertidaksamaan yang terbalik, maka ( ) adalah cekung .

METODE PENELITIAN

Tahap 1. Penelitian ini didasarkan pada data sekunder yang diperoleh dari BPS kota Surakarta untuk data hasil panen padi tahun 1992-2012.

Tahap 2. Data hasil panen padi akan dioptimalkan dengan menggunakan algoritma ACO, dengan parameter fungsi tujuan ditentukan dengan menggunakan SVD.

Tahap 3. Menyusun dan menyelesaikan model

a. Menyusun fungsi tujuan dengan menggunakan SVD b. Menyusun fungsi Lagrange seperti persamaan (12).

c. Mengoptimalkan fungsi Lagrange sesuai dengan algoritma ACO. Tahap 4. Menganalisis hasil dan pembahasan

Tahap 5. Membuat kesimpulan.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Penyusunan fungsi tujuan dengan menggunakan SVD menghasilkan fungsi tujuan untuk masing-masing periode tanam sebagai berikut:

�= 0.8362 2−0.0282−0.4457 −0.681 + 0.4676 + 0.8401 (15) �� =−0.2253 2−3.1680 2+ 4.6619 −2.9688 + 2.5897 + 0.3584 (16) ��� = 1.1955 2+ 0.7538 2−0.1339 −1.6698 −0.6658 −1.3404 (17) Pada Gambar 1 disajikan data aktual yang dibandingkan dengan data pendekatan untuk setiap periode tanam. Nilai error dari parameter setiap fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil maupun dengan SVD diperlihatkan pada Tabel 1.

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

7

Periode I Periode II Periode III

Gambar 2. Grafik hasil panen padi menurut data aktual dan hasil pendekatan fungsi kuadratik pada setiap periode tanam.

Tabel 1. Nilai error berdasarkan metode kuadrat terkecil dan SVD serta nilai Conditional Number.

Metode yang digunakan

Periode I Periode II Periode III

Error

Kuadrat terkecil 9.4% 13.8342% 18.5405%

SVD 7.27% 11.89% 8.43%

Conditional number

Kuadrat terkecil 23568 37013 22201

SVD 162.86 221.188 160.35

Metode SVD memberikan nilai error dan Conditional Number yang lebih kecil jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil. Begitu juga dengan Conditional Number yang diperoleh. Hal ini dapat disimpulkan bahwa parameter-parameter fungsi tujuan yang diperoleh menggunakan SVD lebih baik jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil.

Perlu dibuat persamaan Lagrange seperti persamaan (12) dengan kendala yaitu ≤ dan . Sehingga persamaan (15) sampai (17) menjadi:

� ,� = 0.8362 2−0.0282 2−0.4457 −0.681 + 0.4676 + 0.8401 +

�1 −1 +�2 − − �3 − �4 (18)

� ,� = −0.2253 2−3.1680 2+ 4.6619 −2.9688 + 2.5897 + 0.3584 +

�1 −1 +�2( − ) − �3 − �4 (19)

� ,� = 1.1955 2+ 0.7538 2−0.1339 −1.6698 −0.6658 −1.3404 +

�1 −1 +�2( − )− �3 − �4 (20)

Masing-masing fungsi tujuan diselesaikan berdasarkan algoritma ACO, dan diperoleh penyelesaian seperti pada Tabel 2.

0 5 10 15 20 25

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 indeks f u n g s i t u ju a n hasil pendekatan

0 5 10 15 20 25

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 indeks fu n g s i tu ju a n hasil pendekatan

0 5 10 15 20 25

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 indeks fu n g s i tu ju a n hasil pendekatan

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

8

Tabel 2. Penyelesaian optimal berdasarkan ACO untuk ketiga periode tanam. Periode I Periode II Periode III

x* 0.7434 0.7160 0.8087

y* 0.6759 0.6662 0.5663

S* 0.453 0.4396 0.5262

�1 0.62 0.0770 0.3434

�2 0.4832 0.9032 0.6415

�3 0.1436 0.2022 0.8831

�4 0.1831 0.0134 0.2934

Tabel 3. Kondisi KKT untuk setiap periode tanam. Periode

I

Periode II Periode III

Kondisi I Terpenuhi Terpenuhi Terpenuhi Kondisi II -0.1591

-0.0326 -0.1068 -0.1225

-0.0219 -0.045 -0.1448 -0.0089

-0.0657 -0.1555 -0.7142 -0.1662 Kondisi III 0.3845

0.6007 -0.4157 -0.1001 -0.8502 -0.7984

-1.3547 1.5464 -0.4088 -0.0536 -1.3627 -0.8009

-0.5233 -1.1220 -0.2920 -0.3256 -1.3275 -1.0664

Kondisi KKT pada Tabel 3 tidak terpenuhi sehingga ∗ bukan merupakan pemaksimal dan parameter � ∗tidak optimal. Selain itu dengan mencari niai eigen dari matriks Hessian fungsi Lagrange. Diperoleh nilai eigen untuk setiap periode tanam yaitu:

 Periode I: [-1.47; -1.01; 0; 0; 1.14; 2.95]

 Periode II: [-9.24; -0.65; 0; 0; 0.29; 2.81]

 Periode III: [-0.98; -0.48; 0; 0; 2.27; 4.61]

Dari ketiga periode tanam diatas nilai eigen untuk masing-masing periode tanam tidak ada yang bersifat negative semi definite, sehingga ∗ bukan merupakan pemaksimal.

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

9

Cara selanjutnya yaitu menguji persamaan (14), dari Gambar 3 dapat disimpulkan bahwa untuk setiap periode tidak terlihat secara signifikan bersifat convex atau concave.

Periode I Periode II Periode III

Ket: *: ruas kiri o: ruas kanan

Gambar 3. Fungsi tujuan convex atau concave.

Tabel 4. Penyelesaian optimal untuk ketiga periode tanam dalam bentuk data berdimensi. Metode yang digunakan Periode I Periode II Periode III Luas Tanam

Akhir (ha)

Pemrograman Kuadratik 132.9505 54.6966 120.4908

ACO 118.944 109.55 142.33

Luas Panen (ha) Pemrograman Kuadratik 120.4864 105.2448 76.1586

ACO 98 103.9 63.99

Hasil gabah (ton)

Pemrograman Kuadratik 61.7237 55.8306 60.4087

ACO 29.18 34.31 43.8

Dapat dijelaskan dari Tabel 4 bahwa periode tanam yang optimal adalah periode III, dimana hasil gabah yang didapat dalam satu hektar sawah adalah 43.8 ton. Pada penelitian yang pernah dilakukan menggunakan pemrograman kuadratik periode optimal adalah periode III. Secara informal (dari data) periode III merupakan periode yang maksimal hampir di setiap tahunnya. Pada dasarnya ACO tidak baik karena L0 _{tidak terpenuhi, untuk itu menggunakan fungsi tujuan}

seperti persamaan (18) sampai (20) diselesaikan dengan pemrograman kuadratik menurut dewi,dkk, (2013). Hasil untuk pemrograman kuadratik diperoleh pada Tabel 5.

Tabel 5. Penyelesaian fungsi tujuan SVD dengan pemrograman kuadratik

Periode I Periode II Periode III

Luas Tanam Akhir 47.12 41.922 127.8992

Luas Panen 42.7025 95.2068 57.2006

Hasil gabah 35.8976 56.6334 59.2967

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.78 0.79 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86

ruas kiri ruas kanan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.35 0.4 0.45 0.5

ruas kiri ruas kanan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.5 -1.48 -1.46 -1.44 -1.42 -1.4 -1.38 -1.36 -1.34

ruas kiri ruas kanan

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

10

Menggunakan pemrograman kuadratik diperoleh hasil yang lebih optimal dibandingkan dengan ACO. Hasil optimasinya juga menunjukkan periode III merupakan periode optimal.

SIMPULAN DAN SARAN

Analisis hasil panen padi berdasarkan ACO yang parameternya ditentukan menggunakan SVD memberikan hasil bahwa periode III merupakan periode optimal. Hal ini mendukung hasil penelitian pada data yang sama dengan analisis menggunakan pemrograman kuadratik dan parameter ditentukan berdasarkan metode kuadrat terkecil bahwa periode III merupakan periode optimal. Menggunakan fungsi tujuan yang diperoleh dari SVD dan mengoptimasi dengan pemrograman kuadratik periode III merupakan periode yang optimal. Hasil ACO jika dibandingkan dengan pemrograman kuadratik lebih optimal pemrograman kuadratik.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, E. dkk.(1999). LAPACK User's Guide Third Edition, SIAM, Philadelphia. (http://www.netlib.org/lapack/lug/lapack_lug.html)

Chang, P.T. dkk. (2008). Ant colony optimization system for a multi-quantitative and qualitative objective job-shop parallel-machine-scheduling problem. International Journal of Production Research,Vol. 46, No. 20, 15 October 2008, 5719–5759.

Dewi, V.P. Parhusip, H.A. & Linawati, L. (2013). Analisis hasil panen padi menggunakan pemodelan kuadratik. Prosiding (dalam proses), Seminar Nasional Matematika VII yang diselenggarakan oleh jurusan Matematika FMIPA dan Prodi Pendidikan Matematika Program Pasca Sarjana UNNES tanggal 26 Oktober 2013.Semarang: Universitas Negeri Semarang.

Parhusip, H.A. &Martono, Y.(2012). Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science,ISSN:2252-7761,Vol1, pp91-101, GMU.

Peressini, A.L. Sullivan, F.E. & Uhl, J. (1998). The Mathematics of Nonlinear Programing, Springer Verlag, New York,Inc.

Rao, S.S. (2009). Engineering Optimization, Theory and Practice, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.

Seo, M. & Kim, D. (2010). Ant colony optimisation with parameterised search space for the job shop scheduling problem. International Journal of Production Research.Vol. 48, No. 4, 15 February 2010, 1143–1154

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

5

Menurut Watkins (1991) pada persamaan (9) jika matriks Aϵ R nxm mempunyai rank r,

maka terdapat matriks dengan kolom-kolom dari nilai eigen �� U ϵ Rnxn, Σ adalah matriks

diagonal dari akar nilai eigen �� Σ ϵ Rnxm, dan V adalah matriks dengan kolom-kolom dari vektor

eigen �� V ϵ Rmxm.

Dari persamaan (8) dan (9) diperoleh:

� � = atau � � = (10)

Misal = dan = _� , maka � = sehingga =�

Persamaan (8) diselesaikan dengan:

� = (11)

Untuk error :

Error= E = � −

. 100%

Selain itu dengan menghitung Conditional Number:

κ � ≡ �−1_∞ � _jika jika _�� _singuler nonsinguler

Menurut Anderson, dkk, (1999) jika Conditional Number dibawah 67108864 maka error invers dinyatakan baik. Sebaliknya dikatakan tidak baik (ill condition)

Setelah mendapatkan fungsi tujuan, agar fungsi tujuan menjadi tidak berkendala maka perlu disusun fungsi Lagrange untuk menyelesaikannya dengan ACO yaitu



_





m

i i ig x

x f x

L

1

)

(

)

(

)

,

(













untuk x





C dan







0



₍₁₂₎

Kondisi Karush Kuhn Tucker (KKT) pada persamaan (13) dapat digunakan untuk menemukan titik

kritis dengan menyelesaikan sistem persamaan yang diperoleh dari L0. Artinya mencari

pemaksimal x*dan parameter optimal



* yang memenuhi

(1).� ∗ 0

(2). � ∗

g

i

(

x

*)



0



untuk i = 1,2,…,m. (13)

(3).













m

i

i

i g x

x f

1

0

*)

(

*

*)

(









Fungsi tujuan mempunyai titik pemaksimal jika bersifat concave (cekung). Menurut Perresini, dkk, (1998) ada beberapa cara untuk menunjukkan fungsi tujuan yang diperoleh concave:

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

6

1. Jika matriks Hessian fungsi tujuan negative semi definite (setiap nilai eigen ≤ 0) maka ∗

merupakan pemaksimal.

2. Sebuah fungsi ( ) adalah cembung pada sebuah selang



(berhingga atau tak berhingga).

Jika untuk setiap dua titik dan didalam



dimana dan ϵ Rn dan untuk semua

0 � 1berlaku

� + 1− � � + 1− � ( ) (14)

Jika pernyataan diatas berlaku dengan tanda pertidaksamaan yang terbalik, maka ( )

adalah cekung .

METODE PENELITIAN

Tahap 1. Penelitian ini didasarkan pada data sekunder yang diperoleh dari BPS kota Surakarta untuk data hasil panen padi tahun 1992-2012.

Tahap 2. Data hasil panen padi akan dioptimalkan dengan menggunakan algoritma ACO, dengan parameter fungsi tujuan ditentukan dengan menggunakan SVD.

Tahap 3. Menyusun dan menyelesaikan model

a. Menyusun fungsi tujuan dengan menggunakan SVD

b. Menyusun fungsi Lagrange seperti persamaan (12).

c. Mengoptimalkan fungsi Lagrange sesuai dengan algoritma ACO.

Tahap 4. Menganalisis hasil dan pembahasan Tahap 5. Membuat kesimpulan.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Penyusunan fungsi tujuan dengan menggunakan SVD menghasilkan fungsi tujuan untuk masing-masing periode tanam sebagai berikut:

�= 0.8362 2−0.0282−0.4457 −0.681 + 0.4676 + 0.8401 (15)

�� =−0.2253 2−3.1680 2+ 4.6619 −2.9688 + 2.5897 + 0.3584 (16)

��� = 1.1955 2+ 0.7538 2−0.1339 −1.6698 −0.6658 −1.3404 (17)

Pada Gambar 1 disajikan data aktual yang dibandingkan dengan data pendekatan untuk setiap periode tanam. Nilai error dari parameter setiap fungsi tujuan menggunakan metode kuadrat terkecil maupun dengan SVD diperlihatkan pada Tabel 1.

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

7

Periode I Periode II Periode III

Gambar 2. Grafik hasil panen padi menurut data aktual dan hasil pendekatan fungsi kuadratik pada setiap periode tanam.

Tabel 1. Nilai error berdasarkan metode kuadrat terkecil dan SVD serta nilai Conditional

Number.

Metode yang digunakan

Periode I Periode II Periode III

Error

Kuadrat terkecil 9.4% 13.8342% 18.5405%

SVD 7.27% 11.89% 8.43%

Conditional number

Kuadrat terkecil 23568 37013 22201

SVD 162.86 221.188 160.35

Metode SVD memberikan nilai error dan Conditional Number yang lebih kecil jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil. Begitu juga dengan Conditional Number yang diperoleh. Hal ini dapat disimpulkan bahwa parameter-parameter fungsi tujuan yang diperoleh menggunakan SVD lebih baik jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil.

Perlu dibuat persamaan Lagrange seperti persamaan (12) dengan kendala yaitu ≤

dan . Sehingga persamaan (15) sampai (17) menjadi:

� ,� = 0.8362 2−0.0282 2−0.4457 −0.681 + 0.4676 + 0.8401 +

�1 −1 +�2 − − �3 − �4 (18)

� ,� = −0.2253 2−3.1680 2+ 4.6619 −2.9688 + 2.5897 + 0.3584 +

�1 −1 +�2( − ) − �3 − �4 (19)

� ,� = 1.1955 2+ 0.7538 2−0.1339 −1.6698 −0.6658 −1.3404 +

�1 −1 +�2( − )− �3 − �4 (20)

Masing-masing fungsi tujuan diselesaikan berdasarkan algoritma ACO, dan diperoleh penyelesaian seperti pada Tabel 2.

0 5 10 15 20 25

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 indeks f u n g s i t u ju a n hasil pendekatan

0 5 10 15 20 25

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 indeks fu n g s i tu ju a n hasil pendekatan

0 5 10 15 20 25

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 indeks fu n g s i tu ju a n hasil pendekatan

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

8

Tabel 2. Penyelesaian optimal berdasarkan ACO untuk ketiga periode tanam.

Periode I Periode II Periode III

x* 0.7434 0.7160 0.8087

y* 0.6759 0.6662 0.5663

S* 0.453 0.4396 0.5262

�1 0.62 0.0770 0.3434

�2 0.4832 0.9032 0.6415

�3 0.1436 0.2022 0.8831

�4 0.1831 0.0134 0.2934

Tabel 3. Kondisi KKT untuk setiap periode tanam. Periode

I

Periode II Periode III

Kondisi I Terpenuhi Terpenuhi Terpenuhi

Kondisi II -0.1591

-0.0326 -0.1068 -0.1225

-0.0219 -0.045 -0.1448 -0.0089

-0.0657 -0.1555 -0.7142 -0.1662

Kondisi III 0.3845

0.6007 -0.4157 -0.1001 -0.8502 -0.7984

-1.3547 1.5464 -0.4088 -0.0536 -1.3627 -0.8009

-0.5233 -1.1220 -0.2920 -0.3256 -1.3275 -1.0664

Kondisi KKT pada Tabel 3 tidak terpenuhi sehingga ∗ bukan merupakan pemaksimal dan

parameter � ∗tidak optimal. Selain itu dengan mencari niai eigen dari matriks Hessian fungsi

Lagrange. Diperoleh nilai eigen untuk setiap periode tanam yaitu:

 Periode I: [-1.47; -1.01; 0; 0; 1.14; 2.95]

 Periode II: [-9.24; -0.65; 0; 0; 0.29; 2.81]

 Periode III: [-0.98; -0.48; 0; 0; 2.27; 4.61]

Dari ketiga periode tanam diatas nilai eigen untuk masing-masing periode tanam tidak ada yang

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

9

Cara selanjutnya yaitu menguji persamaan (14), dari Gambar 3 dapat disimpulkan bahwa untuk setiap periode tidak terlihat secara signifikan bersifat convex atau concave.

Periode I Periode II Periode III

Ket: *: ruas kiri

o: ruas kanan

Gambar 3. Fungsi tujuan convex atau concave.

Tabel 4. Penyelesaian optimal untuk ketiga periode tanam dalam bentuk data berdimensi.

Metode yang digunakan Periode I Periode II Periode III

Luas Tanam Akhir (ha)

Pemrograman Kuadratik 132.9505 54.6966 120.4908

ACO 118.944 109.55 142.33

Luas Panen (ha) Pemrograman Kuadratik 120.4864 105.2448 76.1586

ACO 98 103.9 63.99

Hasil gabah (ton)

Pemrograman Kuadratik 61.7237 55.8306 60.4087

ACO 29.18 34.31 43.8

Dapat dijelaskan dari Tabel 4 bahwa periode tanam yang optimal adalah periode III, dimana hasil gabah yang didapat dalam satu hektar sawah adalah 43.8 ton. Pada penelitian yang pernah dilakukan menggunakan pemrograman kuadratik periode optimal adalah periode III. Secara informal (dari data) periode III merupakan periode yang maksimal hampir di setiap tahunnya. Pada

dasarnya ACO tidak baik karena L0 _{tidak terpenuhi, untuk itu menggunakan fungsi tujuan}

seperti persamaan (18) sampai (20) diselesaikan dengan pemrograman kuadratik menurut dewi,dkk, (2013). Hasil untuk pemrograman kuadratik diperoleh pada Tabel 5.

Tabel 5. Penyelesaian fungsi tujuan SVD dengan pemrograman kuadratik

Periode I Periode II Periode III

Luas Tanam Akhir 47.12 41.922 127.8992

Luas Panen 42.7025 95.2068 57.2006

Hasil gabah 35.8976 56.6334 59.2967

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.78 0.79 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86

ruas kiri ruas kanan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.35

0.4 0.45 0.5

ruas kiri ruas kanan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1.5

-1.48 -1.46 -1.44 -1.42 -1.4 -1.38 -1.36 -1.34

ruas kiri ruas kanan

Dewi, V.P, Parhusip,H,A, Linawati, dipresentasikan pada (prosiding dalam proses) Seminar Nasional Matematika UNS. | UNS 20 Nopember 2013

10

Menggunakan pemrograman kuadratik diperoleh hasil yang lebih optimal dibandingkan dengan ACO. Hasil optimasinya juga menunjukkan periode III merupakan periode optimal.

SIMPULAN DAN SARAN

Analisis hasil panen padi berdasarkan ACO yang parameternya ditentukan menggunakan SVD memberikan hasil bahwa periode III merupakan periode optimal. Hal ini mendukung hasil penelitian pada data yang sama dengan analisis menggunakan pemrograman kuadratik dan parameter ditentukan berdasarkan metode kuadrat terkecil bahwa periode III merupakan periode optimal. Menggunakan fungsi tujuan yang diperoleh dari SVD dan mengoptimasi dengan pemrograman kuadratik periode III merupakan periode yang optimal. Hasil ACO jika dibandingkan dengan pemrograman kuadratik lebih optimal pemrograman kuadratik.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, E. dkk.(1999). LAPACK User's Guide Third Edition, SIAM, Philadelphia. (http://www.netlib.org/lapack/lug/lapack_lug.html)

Chang, P.T. dkk. (2008). Ant colony optimization system for a multi-quantitative and qualitative objective job-shop parallel-machine-scheduling problem. International Journal of

Production Research,Vol. 46, No. 20, 15 October 2008, 5719–5759.

Dewi, V.P. Parhusip, H.A. & Linawati, L. (2013). Analisis hasil panen padi menggunakan pemodelan kuadratik. Prosiding (dalam proses), Seminar Nasional Matematika VII yang diselenggarakan oleh jurusan Matematika FMIPA dan Prodi Pendidikan Matematika Program Pasca Sarjana UNNES tanggal 26 Oktober 2013.Semarang: Universitas Negeri Semarang.

Parhusip, H.A. &Martono, Y.(2012). Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science,ISSN:2252-7761,Vol1, pp91-101, GMU.

Peressini, A.L. Sullivan, F.E. & Uhl, J. (1998). The Mathematics of Nonlinear Programing, Springer Verlag, New York,Inc.

Rao, S.S. (2009). Engineering Optimization, Theory and Practice, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.

Seo, M. & Kim, D. (2010). Ant colony optimisation with parameterised search space for the job shop scheduling problem. International Journal of Production Research.Vol. 48, No. 4, 15

February 2010, 1143–1154