Matamatika Falensius Nango
faiqah-tutorial.blogspot.com
Falensius Nango
Fransiskus Slamet Harjaya
Reza A.A Wattimena
Kata Pengantar
Prof. Dr. Paul Suparno, SJ
PENERBIT PT KANISIUS
MATAMATIKA
Taktik Menemukan Karakter dalam Matematika
Oleh: Falensius Nango, Fransiskus Slamet Harjaya,
Reza A.A Wattimena
1015004113
©2015 PT Kanisius
PENERBIT PT KANISIUS
Anggota SEKSAMA (Sekretariat Bersama) Penerbit Katolik Indonesia
Anggota IKAPI (Ikatan Penerbit Indonesia)
Jl. Cempaka 9, Deresan, Caturtunggal, Depok, Sleman,
Daerah Istimewa Yogyakarta 55281, INDONESIA
Telepon (0274) 588783, 565996; Fax (0274) 563349
E-mail: office@kanisiusmedia.com
Website: www.kanisiusmedia.com
Editor: Dimas Andika Wahyuanto
Ilustrator: Damianus Novianto Wibisono
Desainer isi: Yustinus Saras
Desainer cover: Kartika Dewi Purwaningsih
Edisi elektronik diproduksi oleh Divisi Digital Kanisius tahun 2015.
ISBN 978-979-21-4354-6 (pdf)
ISBN 978-979-21-4250-1 (cetak)
Hak cipta dilindungi undang-undang.
Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk
dan dengan cara apa pun tanpa izin tertulis dari Penerbit.
Dipersembahkan untuk para Guru,
Orang Tua, Peserta didik, Pencinta
dan “Simpatisan” Matematika.
Prakata
Saat masih menjalani masa-masa di sekolah menengah, ada satu istilah yang cukup terkenal yaitu
“Releksi”. Saat pertama kali mendengar kata itu, tentu
saja semuanya bingung karena istilah releksi hanya
ditemui pada waktu pembelajaran isika tentang cermin.
Jika dilihat lebih jauh, ternyata releksi memiliki makna
yang lebih dalam.
Menurut KBBI (Kamus Besar Bahasa Indonesia),
releksi /re·lek·si/ /réléksi/ n yaitu:
1. gerakan, pantulan di luar kemauan (kesadaran)
sebagai jawaban suatu hal atau kegiatan yang datang
dari luar,
2. gerakan otot (bagian badan) yang terjadi karena suatu
hal dari luar dan di luar kemauan atau kesadaran,
3. cerminan; gambaran. mereleksikan /me·re·lek·si·
kan/ v mencerminkan kata atau ucapan seseorang,
biasanya ~ isi hatinya.
Jika diartikan lebih dalam lagi, releksi adalah satu
penulisan ilmiah mengenai pengalaman seseorang dalam mengarungi sesuatu peristiwa. Dikatakan sebagai
sesuatu yang ilmiah karena diharapkan apa yang ditulis
dapat membantu perkembangan kemampuan dalam hal
intelektual, rasa, dan batin bagi si pembuat releksi atau
pembacanya.
Mereleksikan sesuatu dalam proses pembelajaran
adalah sesuatu yang sangat penting. Selain karena proses–5–
nya yang ilmiah, seperti telah djelaskan sebelumnya,
releksi juga dapat membuat sebuah pembelajaran menjadi lebih bermakna bagi kehidupan si pembelajar. Paling
penting adalah sifat releksi yang sangat unik. Unik di sini
berarti semua hasil releksi antara orang yang satu dengan
yang lain bisa berbeda walaupun mengalami proses
pembelajaran yang sama.
Sebuah releksi adalah hasil perpaduan antara pengolahan berbagai macam hal seperti olah rasa, olah batin,
dan kemampuan intelektual. Sementara saat ini proses
pembelajaran hanya merupakan proses pengolahan intelektual saja yang akhirnya hanya menjadi proses pembelajaran saja dan tidak berkembang menjadi proses hidup
yang holistis. Kemampuan mereleksikan sesuatu yang
dipelajari merupakan hal mutlak yang harus dimiliki oleh
para pembelajar. Jika seseorang mampu mereleksikan
dengan baik apa yang dipelajarinya, kemungkinan dia
juga mampu mengimplementasikannya secara baik dan
benar dalam hidup.
Releksi juga bukan sesuatu yang sementara. Proses releksi itu kontinu. Proses releksi akan terus-menerus berkembang seiring dengan kedewasaan dan kemampuan berpikir orang tersebut. Unik dan kontinu
inilah yang membuat releksi sebagai sebuah cara untuk
mengembangkan diri agar menjadi baik, benar, dan
terarah.
Selama ini, penulis melihat bahwa mata pelajaran
matematika menjadi momok bagi kebanyakan orang.
Melalui buku MATAMATIKA ini, penulis ingin menunjukkan bahwa persoalan matematika itu mengasyikkan jika dikerjakan dengan cara-cara yang cerdas, singkat,
–6–
jelas, apalagi ditambah releksi mendalam yang mengulas
taktik untuk menemukan karakter dalam matematika.
Setiap kasus atau materi pada buku ini mempunyai
tingkat kompleksitas yang berbeda. Perbedaan yang ada
bertujuan supaya setiap pembaca bisa melihat bahwa
perbedaan itu indah dan sebenarnya semua kesulitan
yang selama ini ada dapat diselesaikan dengan cara yang
sederhana dan mendalam.
Ada tiga hal yang difokuskan dalam proses releksi
dalam membaca buku ini, pertama dilihat dari ilmu
matematikanya, kedua nilai-nilai apa yang didapat, dan
ketiga apa yang dirasakan setelah membaca setiap bab
pada buku ini. Releksi dan metode menjawab pada buku
ini bersifat tidak mutlak karena setiap pribadi adalah
unik dan penulis mengharapkan ada releksi dan metode
menjawab lain yang bisa lebih baik.
Selamat membaca, mencoba, dan mereleksikannya.
Penulis
–7–
Kata Pengantar
Saat ini pendidikan formal di Indonesia sejak dari
SD sampai dengan Perguruan Tinggi mulai menekankan
perlunya pendidikan nilai atau pendidikan karakter.
Tujuannya agar generasi muda kita tidak hanya belajar mengembangkan pengetahuan saja, tetapi mengembangkan pribadinya sebagai manusia yang lebih
utuh. Dalam kurikulum 2013 dengan jelas setiap mata
pelajaran harus memuat kompetensi inti yang terdiri
dari kompetensi ketakwaan, karakter, pengetahuan, dan
aplikasi pengetahuan itu. Jelas bahwa pendidikan karakter,
pendidikan nilai, atau pendidikan hati mendapatkan
tekanan.
Siapa yang harus bertanggung jawab terhadap
pendidikan nilai itu? Jelas bukan hanya guru pendidikan
nilai, atau guru Pancasila, guru PKn, atau guru agama;
tetapi semua guru harus menjadi pendidik nilai bagi
peserta didik di sekolahnya. Ini berarti bahwa setiap guru
apa pun bidang kajian yang diajarkan, harus juga ikut
terlibat dalam membantu peserta didik mengembangkan
karakternya. Maka guru matematika juga tidak luput
dari tugas mulia itu, yaitu membantu anak didik
mengembangkan karakter lewat pelajaran matematika.
Itu berarti bahwa guru matematika tidak hanya
bertugas mengajarkan bahan matematika kepada siswa,
tetapi juga lewat bahan matematika itu mengajarkan
dan menanamkan nilai atau karakter yang dikehendaki.
Maka guru matematika harus mencari akal agar lewat
–9–
pelajaran matematika, mereka dapat juga menanamkan
nilai kebaikan dan kemanusiaan pada anak didik.
Salah satu cara menanamkan nilai karakter adalah
lewat releksi terhadap bahan matematika yang diajarkan
dan juga releksi terhadap cara mengajarkan matematika
sendiri. Maka guru bukan hanya mengajarkan bahan
tetapi juga mengajak siswa melihat apakah di balik bahan
itu ada nilai-nilai kehidupan yang dapat diambil dan dapat
digunakan dalam kehidupan. Misalnya, lewat membahas
persamaan siswa diajak untuk melihat dan menggali
bahwa di situ ada nilai kesamaan, keadilan, kejujuran, dan
kesetaraan. Kemudian nilai itu dicoba diperluas dalam
kehidupan sehari-hari yang dialami siswa.
Melakukan releksi berarti guru harus mengajak
siswa melihat lebih mendalam dari bahan matematika,
yaitu nilai kehidupan dan kegunaan bagi kehidupan
mereka selanjutnya. Untuk itu guru perlu memberikan
beberapa pertanyaan untuk menantang siswa bereleksi
dan menggali nilai di balik itu. Untuk ini guru harus
berani memberi kesempatan yang luas agar anak didik
bermenung, menggali, mendiskusikan, dan menemukan
nilai-nilai yang mungkin tidak ditemukan oleh guru
sendiri, karena situasi siswa yang khusus kadang dapat
memacu untuk menemukan nilai yang berbeda.
Dengan model ini maka pelajaran matematika
menjadi lebih kaya, menyenangkan serta menjadikan
anak mendapatkan sesuatu nilai yang berguna bagi
kehidupannya. Matematika menjadi tidak gersang dan
kering karena ada nilai kemanusiaan yang digali di
dalamnya.
Buku MATAMATIKA yang Anda baca ini adalah
buku yang mengajak Anda untuk dapat mereleksikan
– 10 –
beberapa topik matematika yang diajarkan di sekolah.
Penulis membantu kita untuk menggali beberapa nilai
dalam topik matematika yang biasa sehingga ditemukan
nilai yang sungguh dapat berguna dan mewarnai hidup
orang. Tentu penulis hanya memberikan beberapa contoh penggalian, sedangkan Anda sendiri harus dapat
mengembangkan pencarian makna lain yang lebih banyak.
Harapannya dengan beberapa contoh penggalian
atau releksi itu, Anda semakin kreatif untuk menggali
nilai karakter dan nilai kehidupan di balik topik matematika yang kadang dianggap kering tanpa kehidupan
di dalamnya. Dengan cara ini Anda akan menjadi guru
matematika yang dapat memperluas gagasan dan kehidupan siswa. Dan bagi Anda yang mendalami topik
matematika sendirian, Anda sendiri akan diperkaya dengan bahan yang Anda dalami.
Semoga buku ini membantu banyak orang untuk
menemukan nilai yang mendalam dan bahkan aneh dari
topik matematika yang biasanya dianggap kering. Semoga
banyak orang dicerahkan dengan bantuan tulisan yang
sederhana ini.
Yogyakarta, 31 Juli 2014
Paul Suparno, S.J.
Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta
– 11 –
Daftar Isi
Prakata ................................................................................
Kata Pengantar ..................................................................
Datar Isi .............................................................................
BAB 1 – Ilmu “Pokoknya”................................................
BAB 2 – Hubungan antara yang Positif dan Negatif ...
BAB 3 – Kenapa ini Berbeda? ..........................................
BAB 4 – Aljabar = Sulit??? ................................................
BAB 5 – 0 = Tidak Tentu .................................................
0
5
9
13
15
19
23
27
31
BAB 6 – Cara Pandang Minus Dikali dengan Plus ...... 35
BAB 7 – Pernyataan dan Alasan ...................................... 37
BAB 8 – Kesalahan Berpikir 2=1 ...................................... 43
BAB 9 – Berpikir di Luar Kebiasaan ............................... 47
BAB 10 – Dua Lebih Baik daripada Satu ....................... 51
BAB 11 – Aku Ingin Bebas ............................................... 57
BAB 12 – Deret “Guntur” ................................................ 61
BAB 13 – Menyederhanakan Masalah ........................... 65
BAB 14 – (-) x (-) = (+) ........................................................ 69
BAB 15 – The Square of X5................................................. 73
BAB 16 – Makna “ITU” .................................................... 77
BAB 17 – Penerapan Geometri ........................................ 79
BAB 18 – Bertumbuh di dalam Metode ......................... 85
BAB 19 – Mengubah Desimal Berulang ke Pecahan .... 89
BAB 20 – Selangkah ke Tujuan ........................................ 95
BAB 21 – Hidup dalam Keseimbangan ......................... 101
BAB 22 – Uji Coba dan Berani Salah .............................. 105
BAB 23 – Aritmatika Kehidupan .................................... 109
– 13 –
BAB 24 – Sekali Untung Tetap Untung ..........................
BAB 25 – “Silent Problem”...............................................
BAB 26 – Sederhana tetapi Sistematis ............................
BAB 27 – Kurung, Kurung, dan Kurung .......................
BAB 28 – Pecahan Keadilan .............................................
BAB 29 – Menurunkan Rumus dari Pola .......................
BAB 30 – BE SMART.........................................................
Datar Pustaka ...................................................................
Testimoni ............................................................................
Biodata Penulis ..................................................................
– 14 –
113
117
125
129
133
137
141
145
147
151
BAB 1
Ilmu “Pokoknya”
“Segala sesuatu yang bersifat “POKOKNYA”
membuat kita tidak kreatif”
Banyak orang mengetahui bahwa berapa pun bilangan
berpangkat nol misalnya 10, 20, 30, …, 10000, dan a0 hasilnya
sama dengan 1. Tahukah kamu, darimanakah asalnya?
Mengapa demikian?
Bukti bahwa: a0 = 1.
Kita tahu bahwa
a
= 1.
a
(Bukti sederhana kenapa
a
= 1 dapat digunakan
a
sebagai metode mengganti huruf a dengan angka tertentu,
misalkan a = 2 maka
2
= 1)
2
Dengan menggunakan aturan perpangkatan, yaitu
a
am
= a m − n maka = 1 menjadi a1-1 = 1
an
a
Dari penjabaran di atas, diperoleh kesimpulan bahwa
a = 1 di mana a ∈ R (dibaca a pangkat nol sama dengan satu
di mana a adalah anggota bilangan real) (q.e.d)
0
Refleksi dan Nilai Hidup
Kita sering mendengar kata “POKOKNYA” di kehidupan sehari-hari, baik saat masih sekolah maupun
sekarang ini, saat sudah bekerja. Kata tersebut sering terlontar dari beberapa pihak. Anda bisa terka sendiri, siapa
saja pihak-pihak itu. Coba Anda rasakan jika Anda selalu
dihadapkan dengan kata tersebut! Tentunya, hanya sedikit
– 16 –
orang yang senang dengan kata tersebut. Jumlahnya pun
sangat kecil jika dipersentasekan.
Segala sesuatu yang bersifat “POKOKNYA” membuat kita tidak kreatif. Kita pun merasa tidak puas dengan penjelasan yang diberikan. Namun kata tersebut
memang mujarab untuk membuat orang setuju dengan
keinginan kita. Namun coba sekali lagi bayangkan jika
Anda dihadapkan dengan kata “POKOKNYA”! Nyamankah Anda? Oleh karenanya diperlukan namanya PEMBUKTIAN. Dengan membuktikan, biasanya ada kepuasan
tersendiri yang tidak dapat dilukiskan dengan kata-kata.
Semua pilihan ada di tangan Anda, apakah masih mau dipaksa dengan kata POKOKNYA atau tidak?
– 17 –
BAB 2
Hubungan antara yang
Positif dan Negatif
“Kekuatan bisa jadi kelemahan,
kelemahan bisa juga menjadi kekuatan”
Ada beberapa rumus perpangkatan yang dapat diturunkan dari rumus-rumus yang ada. Seperti rumus
perpangkatan
1
= a −1 . Kadang ada beberapa siswa
a
bertanya, mungkin hanya kebetulan atau memang rasa
“ingin tahu” mereka tergugah sehingga mereka bertanya
tentang pembuktiannya.
Bukti bahwa
1
= a −1
a
Sebelumnya kita sudah bisa membuktikan dengan
bantuan rumus
am
= a m − n bahwa a0 = 1.
an
0
Bentuk 1 dapat diubah menjadi a .
a1
a
m
Kita tahu bahwa aturan a = a m − n ,
an
0
dengan aturan tersebut maka a = a 0−1
a1
Jadi, dari penjabaran di atas dapat diperoleh
kesimpulan bahwa 1 = a −1 (TERBUKTI).
a
Perhatikan contoh berikut!
2x
1
= 2 x 2−1
2
– 20 –
2x
1
= 21 x 2−1 (ingat bahwa 2 = 21)
2
1 = 21+ ( −1) (aturan perpangkatan am x an = am + n)
1 = 20
(ingat bahwa a0 = 1)
1=1
Dari contoh di atas, dapat dikatakan bahwa banyak
cara untuk menyelesaikan permasalahan, baik dengan
menggunakan pangkat negatif atau pangkat positif.
Refleksi dan Nilai hidup
Setiap orang mempunyai dua sisi, yaitu negatif
(kelemahan) dan positif (kekuatan). Kita bisa sukses
jika mengembangkan kemampuan positif. Namun pada
ilustrasi di atas, ditunjukkan bahwa kelemahan ternyata
juga bisa djadikan kekuatan dalam memecahkan masalah.
Pertanyaannya, dapatkah kita menjadikan kelemahan
sebagai kekuatan?
– 21 –
BAB 3
Kenapa ini Berbeda?
“Apa pun posisi atau peran kita dalam hidup,
semua mempunyai makna, arti, dan fungsi,
asalkan bertujuan baik”
Apakah
1
= ...
2
3
hasilnya sama dengan
1
2 = ... ?
3
Jawabannya tentu TIDAK, mengapa ?
1
= ... artinya
2
3
1:
2
3 3
= ... = 1 × =
3
2 2
Sementara,
1
2 = ...
3
artinya
1
1 1 1
:3 = × =
2
2 3 6
Letak perbedaannya ada pada penulisan tanda “=”.
Ingat, penempatan tanda “=” sangat berpengaruh dalam
pecahan.
Refleksi dan Nilai Hidup
“Apalah arti sebuah nama?” Itulah salah satu contoh
kalimat yang sering kita dengar. Kalimat tersebut tampak
bermakna mengecilkan fungsi dari sebuah nama. Padahal
tanpa nama, orang lain akan sulit mengenali kita karena
hal yang paling mudah diingat oleh seseorang adalah
nama.
Bagaimana jika kita mengaplikasikan kalimat
tersebut dalam matematika, “Apalah arti sebuah tanda
‘sama dengan’???”. Dari contoh di atas, kita bisa melihat
bahwa dalam bidang matematika, tanda sama dengan
(=) memiliki arti yang sangat penting. Tidak akan ada
“persamaan” matematika, tanpa tanda sama dengan.
– 24 –
Dengan adanya soal tersebut, kita diajak untuk
memahami bahwa sebuah tanda kecil memiliki makna,
arti, serta fungsi dalam hidup ini. Apa pun posisi atau
peran kita dalam hidup ini, semua mempunyai makna,
arti, dan fungsi, asalkan itu bertujuan baik.
– 25 –
BAB 4
Aljabar = Sulit???
“Solusi sering kali datang secara sederhana
dengan metode yang sederhana pula”
Aljabar, salah satu rumpun ilmu di Matematika yang
sering kali dianggap susah, ternyata mempunyai manfaat
yang sangat luar biasa dan sederhana. Perhatikan contoh
berikut!
Salah satu rumus istimewa dalam aljabar, yaitu
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
Salah satu contoh soal yang dapat dikerjakan secara
mudah dengan rumus di atas, yaitu
Hitunglah hasil dari 1232 – 1222!
Coba hitunglah hasilnya dalam waktu 30 detik.
Apakah kamu mengalami kelelahan dalam berhitung,
atau mungkin juga tidak teliti? Jika itu yang dialami, mari
menggunakan rumus Aljabar di atas untuk menyelesaikan
soal tersebut!
Langkah bayi (ubah ke bentuk pemfaktoran rumus di
atas)
1232 – 1222 = (123 + 122) . (123-122)
= (245) . (1)
= 245 (mudah bukan)
Refleksi dan Nilai Hidup
Coba Anda rasakan jika perkalian di atas dihitung
secara manual. Rasakan saja tanpa harus menghitung!
Pastinya akan timbul perkataan berikut: pusing, susah,
capek, dan sebagainya. Namun jika diselesaikan dengan
metode pemfaktoran aljabar, akan jauh lebih mudah,
bukan? Metode pemfaktoran (memecah) digunakan untuk
membuat sesuatu yang besar “dipecah” menjadi beberapa
bagian, supaya lebih mudah dalam hal penyelesaian
– 28 –
masalahnya. Selain memudahkan, metode pemfaktoran
juga mempunyai keuntungan dalam hal ketelitian. Oleh
karenanya jika menghadapi masalah yang besar, kita
harus memfaktorkan masalah tersebut menjadi bagianbagian yang lebih kecil, supaya solusinya juga menjadi
lebih mudah.
– 29 –
BAB 5
0
= Tidak Tentu
0
“Kesepakatan yang baik didasari oleh bukti yang kuat
dan objektif, bukan berdasar pada suara mayoritas”
Perhatikan contoh konsep perkalian yang berhubungan
dengan pembagian berikut!
Konsep perkalian 2 x 3 = 6 dalam hal ini berlaku juga
konsep pembagian bahwa: 2=
6
3
Berdasar contoh di atas, mari menerapkan pada
bentuk perkalian dan pembagian berikut.
0
0
0
2x0=0 → 2=
0
0
3x0=0 → 3=
0
1x0=0 → 1=
0
0
1
1
0
x0=0 →
=
2
2
0
0
ax0=0 → a=
0
0
bx0=0 → b=
0
-1 x 0 = 0 → -1 =
Dari ilustrasi di atas dapat disimpulkan bahwa
0
=
0
tidak tentu. Sebab hasil akhirnya berbeda-beda.
Seandainya pembagian dengan 0 terdeinisi (boleh
dilakukan) maka seluruh sistem bilangan yang ada akan
rusak dan tidak berlaku. Untuk lebih jelasnya perhatikan
contoh berikut!
2x0=0
3x0=0
– 32 –
Dari dua soal di atas maka
2 × 0 3× 0
=
sehingga 2=3
0
0
Hal tersebut tentu saja tidak bisa diterima karena 2≠3.
Dari dua contoh di atas, dapat dipelajari bahwa untuk
pembagian dengan 0 “disepakati” tidak terdeinisi.
Refleksi dan Nilai Hidup
Dalam kehidupan sehari-hari, kata “Sepakat” bisa
berarti positif, bisa berarti negatif. Sebuah kesepakatan
yang negatif bisa kita temui dalam kehidupan sehari-hari.
Sekarang, bagaimana membuat kesepakatan yang positif.
Kuncinya jika melihat contoh di atas, harus ada “dasar”
(bukti) yang kuat dalam membuat sebuah kesepakatan
bersama, bukan atas suara mayoritas.
– 33 –
BAB 6
Cara Pandang Minus Dikali
dengan Plus
“Yang benar janganlah disalahkan,
yang salah janganlah dibenarkan”
Perhatikan ilustrasi di bawah ini.
..........
5 x 2 = 10
4x2=8
3x2=6
2x2=4
1x2=2
0x2=0
-1 x 2 = ...
-2 x 2 = ...
-3 x 2 = ...
-4 x 2 = ...
..........
Apakah terbentuk suatu pola
yang istimewa?
Silakan diisi dan silakan ambil
kesimpulannya.
Refleksi dan Nilai Hidup
Saat ini, banyak sekali kejadian-kejadian di mana
yang salah menjadi benar dan yang benar menjadi salah.
Tentunya kita semua bisa melihat realita hidup yang ada
di sekitar kita saat ini.
Manakala yang benar (+) disalahkan (–) ATAU yang
salah (–) dibenarkan (+) maka akan berakhir dengan
sebuah kesalahan dan berakibat fatal (–).
Semua hal tersebut selalu ada dalam hidup kita.
Sekarang, yang menjadi pertanyaan adalah
Bagaimana kita bisa mempunyai sikap yang tegas
dan berani dalam hal ini?
Bagaimana kita memaknai (–) x (–) = (+)?
– 36 –
BAB 7
Pernyataan dan Alasan
“Memompa lebih enak dibanding menggali,
namun sebelum memompa diperlukan proses yang
namanya menggali”
Dalam ilmu matematika geometri, ada yang namanya
pembuktian sebuah teorema. Sesederhana apa pun
sebuah teorema atau rumus, pasti selalu diturunkan
atau dibuktikan dengan alasan-alasan yang mendukung
teorema tersebut.
Perhatikan gambar berikut!
Right triangle ABC
(www.gogeometry.blogspot.com, Problem 58: Right Triangle,
Congruence, Perpendiculars, by Antonio Gutierrez)
ABC adalah sebuah segitiga siku-siku dengan
AB = c, BC = a dan BD = x.
AC = CD dan AC ⊥ CD
Buktikan bahwa
x 2 = a 2 + (a − c) 2
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan perpanjangan ruas garis AB.
Langkah 2: Gambarkan garis tegak lurus dari titik D
ke sisi BC.
– 38 –
Perhatikan gambar berikut!
Pada segitiga ABC
∠CBE = 90 (sudut siku-siku)
∠CBE = ∠CAB + ∠BCA (teorema sudut luar segitiga)
∠CAB + ∠BCA = 90 sehingga
∠CAB = 90 − ∠BCA
Pada sudut siku-siku ACD
∠FCD + ∠BCA = 90
(sudut-sudut yang saling berkomplemen)
Maka ∠FCD = 90 − ∠BCA sehingga
∠CAB = ∠FCD = 90 − ∠BCA
– 39 –
Pada segitiga FDC
∠FDC + ∠FCD = 90 (teorema sudut luar segitiga)
∠FDC = 90 − ∠FCD
Dari pernyataan sebelumnya kita dapatkan,
∠FCD = 90 − ∠BCA atau ∠BCA = 90 − ∠FCD
sehingga dapat dibuktikan bahwa ∠FDC = ∠BCA.
Berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa
ABC = =
FDC (sudut – sisi – sudut)
sehingga
DC = AC ; FC = AB = c dan FD = BC = a maka
BC = FB + FC (teorema penjumlahan ruas garis)
FB = BC – FC
FB = a − c
Pada segitiga siku-siku DBF
DB 2 = FD 2 + FB 2 (teorema pitagoras)
x 2 = a 2 + (a − c) 2 (q.e.d)
Khusus untuk soal-soal yang berhubungan dengan
geometri, kita juga diajak untuk sedikit berkreasi dalam
membuat sketsa dan garis-garis tertentu, guna membantu
menemukan petunjuk, hingga jawaban.
– 40 –
Refleksi dan Nilai Hidup
Dalam hidup, sering kali kita menemui masalah–
masalah yang sangat rumit di awal. Jika kita mau melihat
pengerjaan soal di atas, semuanya mempunyai alasan dan
proses yang sangat jelas. Teori yang digunakan adalah
“basic concept” (konsep dasar). Di sini yang menjadi penekanan yaitu segala permasalahan pasti ada jalannya
(proses) dan kita perlu menggunakan cara-cara yang
sederhana (basic concept) serta alasan-alasan yang masuk
akal, guna memecahkan masalah tersebut.
– 41 –
BAB 8
Kesalahan Berpikir 2=1
“Make it Simple”
Perhatikan dan analisislah pembuktian 2 = 1 pada langkahlangkah berikut!
Langkah 1:
Langkah 2:
Langkah 3:
Langkah 4:
Langkah 5:
Langkah 6:
Langkah 7:
Langkah 8:
Jika dimisalkan a = b
Kemudian a × a = a × b atau a2 = ab
a2 + a2 = a2 + ab
2a2 = a2 + ab
2a2 – 2ab = a2 + ab – 2ab
2a2 – 2ab = a2 – ab
2(a2 – ab) = 1(a2 – ab)
Dengan menghilangkan bentuk (a2 – ab)
maka di dapatkan 2 = 1.
Tahukah Anda, di mana letak kesalahannya?
Ternyata kesalahannya ada di langkah ketujuh.
Mengapa? Berikut ini penjelasannya.
Perhatikan langkah 7 di bawah ini!
Langkah 7: 2(a2 – ab) = 1(a2 – ab).
Untuk menghilangkan sebuah keadaan dari kedua
buah sisi pada sebuah persamaan, dibutuhkan dua buah
keadaan yang benar-benar identik, yaitu bentuk (a2 – ab).
Namun pada pembuktian ini, a2 – ab = 0 karena
asumsi di langkah pertama adalah a = b. Pada bab 5,
kita tahu bahwa pembagian dengan nol tidak terdeinisi
(Undeined).
Seharusnya, yang terjadi pada langkah 8 adalah
bukan mengeliminasi (a2 – ab) pada kedua ruas, tetapi
mengganti (a2 – ab) = 0 (lihat langkah 1).
– 44 –
Perhatikan langkah 8 yang seharusnya seperti berikut:
2(a2 – ab) = 1(a2 – ab)
2 (0) = 1 (0)
Sehingga diperoleh kesimpulan 0 = 0.
Refleksi dan Nilai Hidup
Sesuatu yang mudah dalam hidup ini sering kali
dipersulit oleh kita sendiri atau pihak lain dengan alasan
yang bermacam-macam. Padahal jika kita lihat proses di
atas, sudah jelas bahwa acuan dasarnya adalah a = b yang
0
mengakibatkan (a2 – ab) = 0 selain itu
= undeined.
0
Seharusnya pada langkah ke 7, kita sudah bisa mengambil
kesimpulan (keputusan), namun dipersulit dengan mengeliminasi (a2 – ab) pada kedua ruas yang mengakibatkan
kesimpulan yang salah besar. Kuncinya adalah perhatikan
acuan dasar dan make it simple (buatlah menjadi sederhana).
Di bawah ini ada contoh lain kesalahan konsep, yaitu
sebagai berikut:
−2 = −2
4 − 6 = 1− 3
9
9
4 − 6 + = 1− 3 +
4
4
3 2
3 2
(2 − ) = (1 − )
2
2
3
3
(2 − ) = (1 − )
2
2
2 =1
Dapatkah kamu menemukan dan menjelaskan kesalahan pengerjaan di atas?
– 45 –
– 46 –
BAB 9
Berpikir di Luar Kebiasaan
“Mindstream NO WAY”
Perhatikan 9 titik di bawah ini!
Ada tantangan untuk kasus 9 titik ini.
Buatlah 4 garis terhubung (tanpa mengangkat pena/
media lain) dan mengenai semua titik.
KUNCI 4 Garis
Refleksi dan Nilai Hidup
Sering kali jika dihadapkan pada sebuah permasalahan, kita hanya terfokus pada masalahnya saja (9 titik dan
4 garis). Padahal jika kita mau berpikir dari sisi yang
– 48 –
berbeda (out of the box), tentunya selalu ada solusi dari
setiap masalah yang muncul.
Dalam buku the art of war by sun tzu dikatakan,
bahwa untuk memenangkan sebuah peperangan dengan
medan yang sama, strategi yang digunakan tidak boleh
sama. Mengapa?
Dengan strategi yang sama, berarti kita tidak kreatif.
Ini bisa membuat kita terjebak, dan akhirnya kalah. Pada
kasus 9 titik di atas, medannya jelas, yaitu 9 titik dan
membuat 4 garis terhubung dan melewati semua titik
(tanpa mengangkat pena). Jika kita hanya terfokus pada
medannya saja maka tidak akan muncul solusi yang
“brilian”. Oleh karena itu, diperlukan pemikiran yang
dalam dan out of the box.
– 49 –
BAB 10
Dua Lebih Baik
daripada Satu
“IDEAL = Analisis + Negosiasi“
Ada sebuah proyek renovasi pengecatan kamar tidur
sebuah rumah. Dua pengecat profesional kamar tidur
telah dipersiapkan oleh sang Tuan. Pengecat profesional A
menyanggupi akan menyelesaikan proyek tersebut dalam
kurun waktu 3 hari. Sementara, pengecat profesional B
menyanggupi akan menyelesaikan pengecatan kamar
tidur tersebut selama 6 hari. Diketahui juga, biaya jasa
pengecat profesional A perharinya Rp300.000,00 dan
pengecat B Rp200.000,00. Setelah menghitung-hitung
se jenak, akhirnya sang Tuan meminta kedua pengecat
profesional tersebut melakukan pengecatan bersamasama, supaya lebih eisien dari segi waktu dan biaya.
Pertanyaannya adalah, berapa waktu pengerjaan dan
biaya yang dibutuhkan oleh sang Tuan jika pekerjaan
pengecatan dilakukan oleh kedua pengecat profesional
tersebut?
Jawab:
BAGIAN 1 WAKTU
Gunakanlah langkah-langkah berikut ini!
Langkah 1
Misalkan Pekerjaan keseluruhan (mengecat seluruh kamar
tidur) = X
Langkah 2
(Menerjemahkan soal ke dalam model Matematika)
A mampu mengecat semua kamar tidur dalam waktu
3 hari. ARTINYA
• Biaya yang dibutuhkan Rp900.000,00
(dari 3 xRp300.000)
– 52 –
•
3 hari = 1X
1 hari = 1 X ................................................................. (i)
3
B mampu mengecat semua kamar tidur dalam waktu 6
hari. ARTINYA
• Biaya yang dibutuhkan Rp1.200.000,00
(dari 6 x Rp 200.000)
• 6 hari = 1X
1 hari = 1 X ................................................................. (ii)
6
Langkah 3
Dari persamaan (i) dan (ii) dapat dikatakan jika A dan B
bekerja bersama maka dalam 1 hari hasil kerja mereka
adalah 1 X + 1 X . Jika dituliskan dalam bahasa
6
3
matematika menjadi
1 hari = 1 X + 1 X
6
3
1 hari = 3 X ................................................................. (iii)
6
Jika persamaan (iii) diterjemahkan, artinya dalam
1 hari mereka mengerjakan 3 bagian dari pekerjaan
6
keseluruhan.
Melalui analisis di atas, dapat disimpulkan bahwa
untuk mengerjakan pekerjaan keseluruhan dibutuhkan
waktu 2 hari. Cara perhitungannya adalah sebagai
berikut:
1 hari = 3 X
6
– 53 –
1 hari × 6 = X
3
2 hari = X, di mana
keseluruhan.
a.
b.
X
adalah
pekerjaan
Kesimpulan
Waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan pekerjaan
pengecatan kamar tidur jika dilakukan berdua adalah
2 hari.
Biaya yang dibutuhkan adalah Rp1.000.000,00
Hasil tersebut diperoleh dari
= (2 hari × harga perhari Pekerja A) + (2 hari ×
harga perhari Pekerja B)
= (2 × Rp300.000) + (2 × Rp200.000).
Sering kali permasalahan seperti di atas muncul dalam
kehidupan kita. Pada perhitungan matematis di atas jika
kita menganalisis, diperoleh beberapa pernyataan sebagai
berikut.
1. Jika yang bekerja HANYA pekerja A maka waktu
yang dibutuhkan 3 hari dan biaya yang dikeluarkan
Rp900.000,00.
2. Jika yang bekerja HANYA pekerja B maka waktu
yang dibutuhkan 6 hari dan biaya yang dikeluarkan
Rp1.200.000,00.
3. Jika yang bekerja pekerja A DAN pekerja B maka
waktu yang dibutuhkan 2 hari dan biaya yang
dikeluarkan Rp1.000.000,00.
– 54 –
Refleksi dan Nilai Hidup
Pada pertanyaan awal, sang Tuan menginginkan
pekerjaan pengecatan tersebut selesai dalam WAKTU
SINGKAT dan BIAYA MURAH. Namun dari tiga hasil
perhitungan di atas, ternyata hasilnya sangat tidak IDEAL,
tidak seperti yang diharapkan sang Tuan. Dari sini dapat
dikatakan, bahwa untuk mendapatkan sesuatu yang
IDEAL tidak hanya dibutuhkan perhitungan matematis
semata. Namun, hal itu bisa diwujudkan jika kita memiliki
pendekatan-pendekatan dari sudut pandang lain, salah
satunya dengan “NEGOSIASI”. Negosiasi di sini bukan
asal negosiasi, melainkan diperlukan ANALISIS yang
matang, supaya tidak salah dalam melakukan proses
negosiasi tersebut.
– 55 –
BAB 11
Aku Ingin Bebas
“Berani mengevaluasi pola-pola lama yang ada,
supaya tidak jatuh pada kesalahan”
Perhatikan gambar berikut!
Seekor katak jantan yang tidak mudah menyerah
terjatuh ke dalam lubang sedalam 10 m. Dengan penuh
perjuangan, si katak berusaha keluar dari lubang tersebut,
untuk bertemu dengan katak betina pujaannya. Perlu
diketahui, setiap hari si katak jantan bisa naik setinggi
2 m, namun karena licin, si katak turun lagi 1 m.
Berapa harikah yang dibutuhkan si katak jantan
untuk sampai ke permukaan tanah?
Jawaban yang sering muncul adalah 10 hari, akan
tetapi jawaban yang tepat adalah 9 hari. Kenapa 9 hari?
Mari kita lihat jawaban berikut.
– 58 –
Pada hari pertama, si katak jantan naik 2 m, tetapi
turun 1 m sehingga hari pertama hanya bisa naik 1 m.
Pola ini berlanjut hingga hari kedelapan. Mengapa kita
berhenti di hari kedelapan? Sebab pada hari kedelapan,
kecepatan naik si katak jantan hanya 1m/hari, pada hari
kedelapan ketinggian si katak dari dasar adalah 8 hari x
1 m/hari = 8 m. Pada hari kesembilan, dia naik setinggi 2
m di mana keadaan 2 m + 8 m = 10 m, dan si katak jantan
telah mencapai permukaan, tanpa harus turun 1 m. Jadi,
waktu yang dibutuhkan oleh si katak jantan untuk sampai
ke permukaan guna menemui pujaannya ialah pada hari
kesembilan.
Refleksi dan Nilai Hidup
Sering kali kita terbuai dengan pola yang sudah ada.
Kita lupa untuk melakukan pemeriksaan di setiap pola
yang ada sehingga jawaban yang kita berikan menjadi
salah. Jika kita mengikuti pola yang ada, dan tidak berhenti
pada hari kedelapan, sudah pasti kita akan menjawab 10
hari (yang tentu saja salah) karena mengikuti pola yang
ada, tanpa menganalisis lebih dalam.
Kecepatan si katak jantan untuk naik 1 m/hari hanya
berlaku sampai hari kedelapan. Pada hari kesembilan, si
katak jantan sudah sampai di permukaan. Ketika sudah
sampai dipermukaan, rasanya tidak masuk akal kalau
harus turun lagi. Kita harus berani mengevaluasi polapola lama yang ada, supaya tidak jatuh pada kesalahan.
– 59 –
BAB 12
Deret “Guntur”
“Life is a choice”
Ada aturan Aljabar di Matematika yang berbunyi
demikian
(a − b)(a − c) = a 2 − ac − ab + bc
= a 2 − (b + c)a + bc
Perhatikan soal unik berikut ini!
1
1 1 1
1 − 1 − 1 − ... 1 −
=?
2 3 4 2000
Catatan: tanda ... (titik 3 kali) memiliki arti sampai
dengan.
Silakan Anda coba dalam waktu 2 menit dengan
menggunakan aturan di atas. Tuliskan prosesnya di kolom
yang sudah disediakan di bawah ini!
Solusi:
Solusi:
1
1 1 1
1 − 1 − 1 − ... 1 −
=?
2
3
4
2000
Langkah 1: Hitunglah semua operasi yang berada di
dalam kurung.
1 2 3 1998 1999
...
=
2 3 4 1999 2000
– 62 –
Langkah 2: Gunakan aturan dasar pecahan dengan
mengeliminasi angka-angka yang sama pada pembilang
dan penyebut.
1 2 3 1998 1999
...
=
2 3 4 1999 2000
Langkah 3: Finishing
1
2000
Refleksi dan Nilai Hidup
Apa yang Anda rasakan ketika mengerjakan soal
di atas menggunakan rumus aljabar yang diberikan?
Jawaban salah satunya ialah susah “Wasting Time”. Apakah
menggunakan rumus di atas itu sebuah kesalahan?
Jawabnya tentu tidak.
“Wasting Time”, itulah yang sering dikatakan kebanyakan orang jika mereka berhadapan dengan perjalanan, proses, rapat, atau acara yang bertele-tele. Apakah
perjalanan, proses, rapat, atau acara yang bertele-tele
merupakan suatu kesalahan? Jawabnya tidak.
Tentunya kita semua setuju dengan istilah “Life is a
choice”. Andaikan kita sama-sama mau pergi ke Surabaya,
pilihan kendaraan yang digunakan sangatlah beragam
dari yang bertele-tele sampai yang terbaik. Terbaik di
sini dapat diterjemahkan perjalanannya tercepat, aman,
nyaman, ekonomis, dan selamat sampai tujuan tentunya.
Untuk mendapatkan sesuatu yang terbaik, kita harus
mencari banyak informasi dan tentunya menganalisis
informasi-informasi tersebut, supaya keputusan yang diambil tepat. Seperti pada persoalan di atas, informasinya
– 63 –
sudah ada, dan analisisnya adalah memecahkan setiap
permasalahan secara parsial sehingga diperoleh hasil
yang tepat. Jadi, pilihan ada di tangan Anda.
– 64 –
BAB 13
Menyederhanakan Masalah
“Setialah pada perkara kecil“
Perhatikan soal di bawah ini!
Tentukan banyaknya kata yang dapat terbentuk dari
kalimat “MATAMATIKA”!
Jawab:
Dengan menggunakan rumus permutasi dengan
pengulangan:
Rumus umum: n !
a!
Maka dapat dibuat informasi sebagai berikut:
Jumlah huruf
= 10 huruf.
Pengulangan huruf m = 2,
Pengulangan huruf a = 4,
Pengulangan huruf t = 2.
Dari informasi di atas diperoleh bahwa banyaknya
kata yang dapat dibentuk adalah: 10! = 10! kata.
2!4!2! 96
Dengan menggunakan rumus n ! maka persoalan
a!
yang kompleks dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk
membuat dan menggunakan rumus memang mudah.
Akan tetapi, sering kali otak manusia yang terbatas
mengalami persoalan yang disebut “LUPA” sehingga
waktu kita lupa dengan rumus, bukan berarti kita tidak
bisa menyelesaikan persoalannya. Kita masih bisa
menyelesaikan dengan menyederhanakan persoalannya.
Cara di bawah ini adalah contoh menyelesaikan
sebuah persoalan kompleks seperti contoh di atas dengan
cara menyederhanakan. Kemampuan melihat pola adalah
hal yang sangat penting dan dibutuhkan.
– 66 –
Kita ambil kata “mata”, dan variasinya adalah sebagai
berikut:
Kombinasi kata
Banyaknya kata
m-a-t-a
m-t-a-a
m-a-a-t
3
t-m-a-a
t-a-m-a
t-a-a-m
3
a-m-t-a
a-m-a-t
a-t-a-m
a-t-m-a
a-a-m-t
a-a-t-m
6
12 =
Total
12
4! 4 × 3 × 2 ×1
=
2!
2 ×1
Kita ambil kata “mama”, dan variasinya adalah
sebagai berikut:
Kombinasi kata
Banyaknya kata
m-a-m-a
m-a-a-m
m-m-a-a
3
a-m-m-a
a-m-a-m
a-a-m-m
3
6=
Total
6
4!
4 × 3 × 2 ×1
=
2!2! 2 ×1× 2 ×1
– 67 –
Dari dua contoh di atas, diperoleh pola bahwa banyaknya kata yang mungkin terbentuk dari sebuah kata
atau kalimat lain, tergantung dari total huruf yang ada dan
banyaknya huruf yang sama. Pola yang berasal dari sebuah
contoh yang sederhana, dapat dibuat rumus umum untuk
menentukan banyaknya kata yang mungkin disusun dari
sebuah kata atau kalimat lain sebagai berikut:
Banyaknya kata =
(Total huruf)!
(Banyaknya huruf sama)!
Refleksi dan Nilai Hidup
Ketika kita setia pada perkara-perkara yang sederhana
atau kecil, niscaya kita akan dapat menyelesaikan perkaraperkara yang besar. Seperti contoh di atas, kita sering
dibutakan oleh masalah besar dan kompleks sehingga
kita menyerah untuk menyelesaikannya dan hanya berusaha melarikan diri. Padahal dengan melarikan diri,
permasalahan besar tetap akan mengganggu tanpa pernah
terselesaikan.
Dari pembelajaran matematika di atas, kita dapat
belajar untuk menghadapi masalah besar dengan menyederhanakan permasalahan, mencari pola penyelesaian, serta menerapkan pola yang sama dan tepat untuk
menyelesaikan masalah yang besar dan kompleks.
– 68 –
BAB 14
(-) x (-) = (+)
“Pikiran, hati nurani, dan tindakan yang selaras
akan memunculkan kesadaran positif“
Seperti kita tahu sebelumnya, pembuktian pada BAB 6
telah mengulas “Cara pandang minus kali plus” seperti pola
berikut.
(–3) x (3) = –9
(–3) x (2) = –6
(–3) x (1) = –3
(–3) x (0) = 0
Jika pola tersebut dikembangkan maka akan terbentuk
pola seperti di bawah ini,
(–3) × (3) = –9
(–3) × (2) = –6
(–3) × (1) = –3
(–3) × (0) = 0
(–3) × (–1) = .....
(–3) × (–2) = .....
(–3) × (–3) = .....
...
Apakah Anda menemukan
sesuatu? Silahkan dianalisis.
Dari ilustrasi sederhana di atas, dapat dikatakan
bahwa (–) × (–) = (+).
Pada pembuktian BAB 6, secara garis besar mengatakan bahwa sesuatu yang positif jika dipengaruhi
sesuatu yang negatif (walaupun kecil nilainya) maka
akan berakibat negatif hasilnya.
Apakah pernyataan pada bab 6 juga cocok untuk
(–) × (–) = (+)?
– 70 –
Refleksi dan Nilai Hidup
Kita tahu, bahwa menyontek itu dosa. Supaya hal
tersebut tidak kita lakukan, diperlukan koneksi 3 hal yaitu
pikiran, hati nurani, dan tindakan. Dengan pikiran, kita
tahu bahwa menyontek itu dosa. Dengan hati nurani yang
baik (peka), kita semakin dikuatkan bahwa menyontek
itu dosa. Ketika semuanya itu “on the track”, tindakan kita
pun akan menjadi positif, yakni dengan tidak menyontek.
Artinya, menyontek (–) dan juga dosa (–) akan membawa
kita pada kesadaran baik (+), bahwa keduanya harus
dihindari. Inilah cara berpikir yang perlu diterapkan
dalam hidup melalui tiga hal yang saling terhubung yaitu
pikiran, hati nurani, dan tindakan.
– 71 –
BAB 15
The Square of X5
Teratur it’s Easy to Do
Kalau dilihat dari judul di atas, mungkin banyak yang
bertanya, mengapa harus X5 bukan Xiles seperti sebuah
judul ilm ternama. Arti The Square of X5 di sini akan
djelaskan menggunakan ilustrasi sebagai berikut.
The square of X5 jika dituliskan dalam bahasa
matematika yaitu (X5)2; di mana 5 adalah digit satuannya
sedangkan X-nya adalah digit selanjutnya (bisa puluhan,
ratusan, dan seterusnya) yang merupakan bilangan
cacah.
Sebagai contoh
(15)2; (25)2; (35)2; (105)2; dan seterusnya.
Seperti diketahui, ada sesuatu yang menarik pada
bentuk (X5)2 di atas, yaitu semua angka satuannya bernilai 5.
Perhatikan pola berikut!
(5)2 = (05)2 = 025
0x1=0
(15)2 = 225
1x2=2
(25)2 = 625
2x3=6
(35)2 = 1225
3 x 4 = 12
(45)2 = 2025
4 x 5 = 20
(55)2 = 3025
5 x 6 = 30
(65)2 = 4225
6 x 7 = 42
– 74 –
Dan seterusnya…
Dari ilustrasi di atas diperoleh formula bahwa
( X 5) 2 = ( X .( X + 1))25 .
Refleksi dan Nilai Hidup
Di dalam hidup, kita banyak mengalami permasalahan
yang rumit. Polanya pun sering kali berulang. Kita juga
sering berpikir keras, bahkan berbicara dengan profesional, yang berarti harus membayar mahal guna
menyelesaikan masalah. Namun, penyelesaian biasanya
tersembunyi dari masalah yang berulang. Ada pola di
balik semua masalah. Coba tengok pola itu, pahami, dan
temukan caramu sendiri yang lebih cepat dan eisien
untuk menyelesaikannya.
Dengan melihat contoh-contoh yang diberikan
di atas, dapat juga melihat sebuah keteraturan yang
akhirnya dirumuskan. Sebuah keteraturan merupakan hal
yang sangat penting karena dari sebuah keteraturan, kita
dimudahkan untuk melakukan sesuatu.
Contoh lain di mana sebuah keteraturan sangat
penting ialah saat kita menyusun sesuatu. Sebagai contoh
penyusunan nomor telepon berdasarkan abjad. Dengan
menyusun nomor telepon berdasarkan abjad maka kita
akan dimudahkan dalam pencarian.
– 75 –
BAB 16
Makna “ITU”
Syukurilah “ITU” sebagai Rahmat
Ternyata, hidup kita juga merupakan sebuah sistem yang
sistematis. Kenapa bisa seperti itu? Perhatikan sistem
persamaan kehidupan berikut yang diturunkan dari
sistem persamaan linear dua variabel.
Dalam kehidupan kita kenal yang namanya “kasih,
kegembiraan, dan kesedihan” maka bisa dituliskan
sebagai berikut:
Kehidupan +
Kehidupan –
2 Kehidupan
Kehidupan
Kasih
Kasih
= Kegembiraaan
= Kesedihan
+
= Kegembiraan + Kesedihan
= Kegembiraan + Kesedihan
2
Sehingga:
Kehidupan =
1
1
Kegembiraan + Kesedihan
2
2
Refleksi dan Nilai Hidup
Banyak orang ingin memperoleh kebahagiaan. Mereka tidak mau hidup susah. Jika sedang gembira, mereka
ceria. Jika sedang susah, mereka mengeluh. Mengapa
mengeluh? Alasannya karena mereka tidak tahu bahwa
hidup itu merupakan campuran antara gembira dan
sedih. Keduanya merupakan satu paket, dan tidak bisa
dipisahkan. Oleh karena itu, belajarlah terbiasa dalam
perubahan hidup dengan “BERSYUKUR” sehingga kita
tidak gampang mengeluh.
– 78 –
BAB 17
Penerapan Geometri
“Hidup tanpa masalah
rasanya mustahil di dunia ini”
Bentang alam yang ada sangatlah bervariasi, baik itu
sungai, jurang, gunung, dan lain-lain. Sering kali dalam
melakukan pengukuran di lapangan, bentang alam ini
menjadi masalah. Contoh yang paling sederhana adalah
sungai. Jika kita ingin melakukan sebuah pengukuran
yang cukup akurat, akan tetapi area pengukuran kita
melewati sebuah sungai yang cukup besar, tentu saja
melakukan pengukuran akan menjadi masalah.
Dengan menggunakan ilmu geometri sederhana,
kita bisa membuat sebuah perkiraan pengukuran yang
cukup akurat untuk melakukan pengukuran-pengukuran
yang tidak bisa dilakukan secara langsung. Aplikasi
kesebangunan segitiga dalam geometri sangat bermanfaat
dalam situasi seperti ini.
Gambar 1: Rintangan Alam, Sungai
Berikut adalah salah satu metode yang mungkin
digunakan untuk melakukan pengukuran dengan aplikasi
kesebangunan segitiga dalam geometri.
– 80 –
Perhatikan gambar di bawah ini!
Berdasarkan gambar di atas, yang penting untuk
menjadi perhatian ialah semua pengukuran yang bisa
dilakukan yaitu di salah satu sisi sungai saja sehingga kita
tidak perlu melakukan penyeberangan ke sisi sungai yang
lain.
Informasi dari gambar di atas, yaitu
CE || DF;
∠ECG = ∠FDG (sudut-sudut saling sehadap)
CGE
GDF
Jika dimisalkan lebar sungai adalah ± GE maka
GE CE
=
GF DF
– 81 –
CE × GF
DF
…… (1)
Jika hanya menggunakan persamaan (1), kita masih
harus melakukan pengukuran dengan menyeberangi
sungai karena G ada di seberang sungai. Jika ingin
mengukur GF maka harus menyeberangi sungai sehingga
bagaimana mencari cara untuk mengganti GF dengan
sebuah ruas garis yang ada di sisi mula perhitungan.
Maka GF diubah menjadi GF = GE + EF sehingga
GE =
CE × (GE + EF )
DF
(CE × GE ) + (CE × EF )
GE =
DF
(GE × DF ) = (CE × GE ) + (CE × EF )
(GE × DF ) − (CE × GE ) = (CE × EF )
GE × ( DF − CE ) = CE × EF
CE × EF
GE =
DF − CE
GE =
Perhatikan persamaan terakhir di ruas kanan!
Semua variabel yang digunakan adalah semua variabel
yang dapat diukur, tanpa harus menyeberangi sungai.
Kemampuan dasar matematika sangat dibutuhkan untuk
menyelesaikan masalah-masalah, seperti contoh di atas.
Refleksi dan Nilai Hidup
Tanpa kita sadari, kemampuan matematis amat
membantu dalam menyelesaikan masalah sehari-hari.
Kita hanya perlu untuk berpikir lebih kreatif dalam
penyelesaiannya.
– 82 –
Seperti sudah disinggung sebelumnya, hidup tanpa
masalah rasanya mustahil di dunia ini. Jika kita lihat
permasalahan pada bab ini, yang ingin dicari adalah lebar
sungainya. Mencari lebar sungai ibarat permasalahan
hidup yang cukup rumit, mengapa? Untuk mencari lebar
sungai, kita harus melawan arus, tahan dengan dinginnya
air, belum lagi ditambah dengan hewan-hewan yang
berbahaya serta kedalaman sungai. Banyak permasalahan
hidup yang menyerupai hal tersebut. Ada beberapa cara
penyelesaian mengenai masalah tersebut.
Cara pertama
INSTAN, yaitu BERENANG dengan membawa
tali. Bayangkan saja, apa yang akan terjadi jika masalah
tersebut diselesaikan tanpa analisis, dan langsung
berenang. Memang ada kemungkinan berhasil namun
tidak menutup kemungkinan usaha ini gagal, dan
menimbulkan masalah yang lebih besar.
Cara kedua
MENGANALISIS, supaya hasilnya lebih AKURAT,
dan MEMINIMALKAN risiko dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
a. mengidentiikasi masalah-masalah yang ada (arus
sungai, kedalaman sungai, dan hal–hal yang sudah
disebutkan di atas),
b. merumuskan strategi penyelesaian tanpa harus
BERENANG, yaitu dengan membuat MODEL. Dalam
hal ini berarti menggunakan MODEL kesebangunan,
seperti yang sudah dibahas pada awal bab. Dengan
menggunakan MODEL, risiko pada point “a” dapat
diminimalkan,
– 83 –
c.
menyelesaikan MODEL yang sudah dibuat dengan
cerdas.
Semua penyelesaian tentunya dikembalikan kepada
Anda. Hanya saja, sebagai pribadi yang diberikan karunia
akal budi, akan lebih baik jika cara penyelesaian yang
dipilih adalah cara yang kedua.
– 84 –
BAB 18
Bertumbuh di dalam Metode
“Berpikir lebih dalam dan belajar lebih banyak“
Perhatikan soal berikut!
Dalam sebuah kandang besar terdapat dua jenis
hewan, yaitu kambing yang berkaki empat, dan ayam
yang berkaki dua. Jumlah hewan secara keseluruhan
adalah 10 ekor, dan jumlah semua kaki-kakinya adalah
28. Tentukan banyaknya kambing dan ayam yang berada
di dalam kandang tersebut!
Jawab:
Metode 1.
Dimisalkan 10 hewan tersebut merupakan hewan
berkaki 2 dahulu sehingga semua kaki-kakinya dapat
djumlahkan ke dalam kolom berikut.
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
Maka jumlah keseluruhan kaki hewan yaitu 20.
Menurut informasi, jumlah semua kaki ada 28 kaki
maka harus ditambahkan kaki sebanyak 28 – 20 = 8 kaki.
||||
||||
||||
||||
|| || || || || ||
Dari ilustrasi di atas, sudah diperoleh jawaban bahwa
terdapat 4 ekor kambing dan 6 ekor ayam.
Metode 2. (Persamaan Linear Satu Variabel)
Dari informasi di atas, diketahui bahwa banyak ayam
+ kambing = 10. Jika dimisalkan ayam = X, maka kambing
= 10 – X.
Jumlah kaki pada seekor ayam = 2 dan pada seekor
kambing = 4. Dari sini diperoleh model sebagai berikut:
Jumlah kaki ayam + jumlah kaki kambing = 28
2X + 4(10 – X) = 28
– 86 –
2X + 40 – 4X
40 – 2X
40 – 28
12
6
=
=
=
=
=
28
28
2X
2X
X
Jadi banyak ayam = 6 ekor dan banyak kambing = 4
ekor.
Metode 3. (Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)
Jika dimisalkan ayam = x dan kambing = y maka
informasi di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.
• Karena ada total 10 ekor hewan dalam sebuah
kandang maka x + y = 10.
• Karena ada total 28 kaki dalam sebuah kandang maka
2x + 4y = 28.
Dua persamaan di atas membentuk sebuah sistem
persamaan linier dua variabel dengan sebuah himpunan
penyelesaian yang identik.
x + y = 10 | × 2
2x + 4y = 28 | × 1
x+y
x+4
x
x
=
=
=
=
⇒
⇒
2x + 2y
2x + 4y
– 2y
y
=
=
=
=
20
28 –
-8
4
10
10
10 - 4
6
Maka banyaknya hewan dalam sebuah kandang
tersebut yaitu ada 4 ekor kambing dan 6 ekor ayam.
– 87 –
Refleksi dan Nilai Hidup
Dalam sebuah pengerjaan soal matematika, kita diajak
untuk semakin berkembang dalam menyelesaikan sebuah
masalah. Semakin besar dan kompleks masalah maka kita
diajak untuk semakin elegan dalam penyelesaiannya.
Dapat dilihat bahwa metode pertama hanya bisa
digunakan untuk masalah yang sederhana dengan jumlah
yang lebih sedikit. Sementara untuk metode yang kedua
dan ketiga, dapat digunakan untuk masalah dengan
jumlah yang lebih besar. Dari variasi metode ini, secara
tidak sadar kita semakin berkembang dalam analisis
berpikir, serta semakin kaya dalam metode penyelesaian.
Ada banyak cara menyelesaikan masalah. Cara yang paling
eisien biasanya adalah cara yang menuntut kemampuan
berpikir dan kemauan belajar lebih besar. Maukah Anda
berpikir lebih dalam dan belajar lebih banyak, supaya bisa
menyelesaikan masalah-masalah hidup dengan eisien?
– 88 –
BAB 19
Mengubah Desimal
Berulang ke Pecahan
“Human is the leader of technology”
Kita sering menemukan bilangan desimal dalam kehidupan sehari-hari. Ketika sedang melakukan pengukuran,
baik itu massa, panjang, suhu, dan lain-lain, bilangan
desimal lebih sering digunakan. Sering kali perhitungan
dalam bilangan desimal akan lebih menyulitkan karena
melibatkan banyak angka.
Sebagai contoh, misalnya
hasil dari 0,55 × 20 adalah ....
Jawab:
55
× 20 (eliminasi 20 dengan 100)
0,55 × 20 =
100
=
55
5
= 11.
Namun bagaimana jika pertanyaannya menjadi
Hasil dari 0,555555... × 9 adalah ....
Jawab:
Langkah 1 adalah kita harus mengubah 0,555555...
menjadi pecahan biasa.
Kita misalkan 0,555555... = x. Kemudian ikuti proses
berikut.
Karena angka yang berulang hanya 1 angka di
belakang koma (angka 5) maka kalikan x dengan 10
menjadi 10 x = 5
Falensius Nango
Fransiskus Slamet Harjaya
Reza A.A Wattimena
Kata Pengantar
Prof. Dr. Paul Suparno, SJ
PENERBIT PT KANISIUS
MATAMATIKA
Taktik Menemukan Karakter dalam Matematika
Oleh: Falensius Nango, Fransiskus Slamet Harjaya,
Reza A.A Wattimena
1015004113
©2015 PT Kanisius
PENERBIT PT KANISIUS
Anggota SEKSAMA (Sekretariat Bersama) Penerbit Katolik Indonesia
Anggota IKAPI (Ikatan Penerbit Indonesia)
Jl. Cempaka 9, Deresan, Caturtunggal, Depok, Sleman,
Daerah Istimewa Yogyakarta 55281, INDONESIA
Telepon (0274) 588783, 565996; Fax (0274) 563349
E-mail: office@kanisiusmedia.com
Website: www.kanisiusmedia.com
Editor: Dimas Andika Wahyuanto
Ilustrator: Damianus Novianto Wibisono
Desainer isi: Yustinus Saras
Desainer cover: Kartika Dewi Purwaningsih
Edisi elektronik diproduksi oleh Divisi Digital Kanisius tahun 2015.
ISBN 978-979-21-4354-6 (pdf)
ISBN 978-979-21-4250-1 (cetak)
Hak cipta dilindungi undang-undang.
Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk
dan dengan cara apa pun tanpa izin tertulis dari Penerbit.
Dipersembahkan untuk para Guru,
Orang Tua, Peserta didik, Pencinta
dan “Simpatisan” Matematika.
Prakata
Saat masih menjalani masa-masa di sekolah menengah, ada satu istilah yang cukup terkenal yaitu
“Releksi”. Saat pertama kali mendengar kata itu, tentu
saja semuanya bingung karena istilah releksi hanya
ditemui pada waktu pembelajaran isika tentang cermin.
Jika dilihat lebih jauh, ternyata releksi memiliki makna
yang lebih dalam.
Menurut KBBI (Kamus Besar Bahasa Indonesia),
releksi /re·lek·si/ /réléksi/ n yaitu:
1. gerakan, pantulan di luar kemauan (kesadaran)
sebagai jawaban suatu hal atau kegiatan yang datang
dari luar,
2. gerakan otot (bagian badan) yang terjadi karena suatu
hal dari luar dan di luar kemauan atau kesadaran,
3. cerminan; gambaran. mereleksikan /me·re·lek·si·
kan/ v mencerminkan kata atau ucapan seseorang,
biasanya ~ isi hatinya.
Jika diartikan lebih dalam lagi, releksi adalah satu
penulisan ilmiah mengenai pengalaman seseorang dalam mengarungi sesuatu peristiwa. Dikatakan sebagai
sesuatu yang ilmiah karena diharapkan apa yang ditulis
dapat membantu perkembangan kemampuan dalam hal
intelektual, rasa, dan batin bagi si pembuat releksi atau
pembacanya.
Mereleksikan sesuatu dalam proses pembelajaran
adalah sesuatu yang sangat penting. Selain karena proses–5–
nya yang ilmiah, seperti telah djelaskan sebelumnya,
releksi juga dapat membuat sebuah pembelajaran menjadi lebih bermakna bagi kehidupan si pembelajar. Paling
penting adalah sifat releksi yang sangat unik. Unik di sini
berarti semua hasil releksi antara orang yang satu dengan
yang lain bisa berbeda walaupun mengalami proses
pembelajaran yang sama.
Sebuah releksi adalah hasil perpaduan antara pengolahan berbagai macam hal seperti olah rasa, olah batin,
dan kemampuan intelektual. Sementara saat ini proses
pembelajaran hanya merupakan proses pengolahan intelektual saja yang akhirnya hanya menjadi proses pembelajaran saja dan tidak berkembang menjadi proses hidup
yang holistis. Kemampuan mereleksikan sesuatu yang
dipelajari merupakan hal mutlak yang harus dimiliki oleh
para pembelajar. Jika seseorang mampu mereleksikan
dengan baik apa yang dipelajarinya, kemungkinan dia
juga mampu mengimplementasikannya secara baik dan
benar dalam hidup.
Releksi juga bukan sesuatu yang sementara. Proses releksi itu kontinu. Proses releksi akan terus-menerus berkembang seiring dengan kedewasaan dan kemampuan berpikir orang tersebut. Unik dan kontinu
inilah yang membuat releksi sebagai sebuah cara untuk
mengembangkan diri agar menjadi baik, benar, dan
terarah.
Selama ini, penulis melihat bahwa mata pelajaran
matematika menjadi momok bagi kebanyakan orang.
Melalui buku MATAMATIKA ini, penulis ingin menunjukkan bahwa persoalan matematika itu mengasyikkan jika dikerjakan dengan cara-cara yang cerdas, singkat,
–6–
jelas, apalagi ditambah releksi mendalam yang mengulas
taktik untuk menemukan karakter dalam matematika.
Setiap kasus atau materi pada buku ini mempunyai
tingkat kompleksitas yang berbeda. Perbedaan yang ada
bertujuan supaya setiap pembaca bisa melihat bahwa
perbedaan itu indah dan sebenarnya semua kesulitan
yang selama ini ada dapat diselesaikan dengan cara yang
sederhana dan mendalam.
Ada tiga hal yang difokuskan dalam proses releksi
dalam membaca buku ini, pertama dilihat dari ilmu
matematikanya, kedua nilai-nilai apa yang didapat, dan
ketiga apa yang dirasakan setelah membaca setiap bab
pada buku ini. Releksi dan metode menjawab pada buku
ini bersifat tidak mutlak karena setiap pribadi adalah
unik dan penulis mengharapkan ada releksi dan metode
menjawab lain yang bisa lebih baik.
Selamat membaca, mencoba, dan mereleksikannya.
Penulis
–7–
Kata Pengantar
Saat ini pendidikan formal di Indonesia sejak dari
SD sampai dengan Perguruan Tinggi mulai menekankan
perlunya pendidikan nilai atau pendidikan karakter.
Tujuannya agar generasi muda kita tidak hanya belajar mengembangkan pengetahuan saja, tetapi mengembangkan pribadinya sebagai manusia yang lebih
utuh. Dalam kurikulum 2013 dengan jelas setiap mata
pelajaran harus memuat kompetensi inti yang terdiri
dari kompetensi ketakwaan, karakter, pengetahuan, dan
aplikasi pengetahuan itu. Jelas bahwa pendidikan karakter,
pendidikan nilai, atau pendidikan hati mendapatkan
tekanan.
Siapa yang harus bertanggung jawab terhadap
pendidikan nilai itu? Jelas bukan hanya guru pendidikan
nilai, atau guru Pancasila, guru PKn, atau guru agama;
tetapi semua guru harus menjadi pendidik nilai bagi
peserta didik di sekolahnya. Ini berarti bahwa setiap guru
apa pun bidang kajian yang diajarkan, harus juga ikut
terlibat dalam membantu peserta didik mengembangkan
karakternya. Maka guru matematika juga tidak luput
dari tugas mulia itu, yaitu membantu anak didik
mengembangkan karakter lewat pelajaran matematika.
Itu berarti bahwa guru matematika tidak hanya
bertugas mengajarkan bahan matematika kepada siswa,
tetapi juga lewat bahan matematika itu mengajarkan
dan menanamkan nilai atau karakter yang dikehendaki.
Maka guru matematika harus mencari akal agar lewat
–9–
pelajaran matematika, mereka dapat juga menanamkan
nilai kebaikan dan kemanusiaan pada anak didik.
Salah satu cara menanamkan nilai karakter adalah
lewat releksi terhadap bahan matematika yang diajarkan
dan juga releksi terhadap cara mengajarkan matematika
sendiri. Maka guru bukan hanya mengajarkan bahan
tetapi juga mengajak siswa melihat apakah di balik bahan
itu ada nilai-nilai kehidupan yang dapat diambil dan dapat
digunakan dalam kehidupan. Misalnya, lewat membahas
persamaan siswa diajak untuk melihat dan menggali
bahwa di situ ada nilai kesamaan, keadilan, kejujuran, dan
kesetaraan. Kemudian nilai itu dicoba diperluas dalam
kehidupan sehari-hari yang dialami siswa.
Melakukan releksi berarti guru harus mengajak
siswa melihat lebih mendalam dari bahan matematika,
yaitu nilai kehidupan dan kegunaan bagi kehidupan
mereka selanjutnya. Untuk itu guru perlu memberikan
beberapa pertanyaan untuk menantang siswa bereleksi
dan menggali nilai di balik itu. Untuk ini guru harus
berani memberi kesempatan yang luas agar anak didik
bermenung, menggali, mendiskusikan, dan menemukan
nilai-nilai yang mungkin tidak ditemukan oleh guru
sendiri, karena situasi siswa yang khusus kadang dapat
memacu untuk menemukan nilai yang berbeda.
Dengan model ini maka pelajaran matematika
menjadi lebih kaya, menyenangkan serta menjadikan
anak mendapatkan sesuatu nilai yang berguna bagi
kehidupannya. Matematika menjadi tidak gersang dan
kering karena ada nilai kemanusiaan yang digali di
dalamnya.
Buku MATAMATIKA yang Anda baca ini adalah
buku yang mengajak Anda untuk dapat mereleksikan
– 10 –
beberapa topik matematika yang diajarkan di sekolah.
Penulis membantu kita untuk menggali beberapa nilai
dalam topik matematika yang biasa sehingga ditemukan
nilai yang sungguh dapat berguna dan mewarnai hidup
orang. Tentu penulis hanya memberikan beberapa contoh penggalian, sedangkan Anda sendiri harus dapat
mengembangkan pencarian makna lain yang lebih banyak.
Harapannya dengan beberapa contoh penggalian
atau releksi itu, Anda semakin kreatif untuk menggali
nilai karakter dan nilai kehidupan di balik topik matematika yang kadang dianggap kering tanpa kehidupan
di dalamnya. Dengan cara ini Anda akan menjadi guru
matematika yang dapat memperluas gagasan dan kehidupan siswa. Dan bagi Anda yang mendalami topik
matematika sendirian, Anda sendiri akan diperkaya dengan bahan yang Anda dalami.
Semoga buku ini membantu banyak orang untuk
menemukan nilai yang mendalam dan bahkan aneh dari
topik matematika yang biasanya dianggap kering. Semoga
banyak orang dicerahkan dengan bantuan tulisan yang
sederhana ini.
Yogyakarta, 31 Juli 2014
Paul Suparno, S.J.
Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta
– 11 –
Daftar Isi
Prakata ................................................................................
Kata Pengantar ..................................................................
Datar Isi .............................................................................
BAB 1 – Ilmu “Pokoknya”................................................
BAB 2 – Hubungan antara yang Positif dan Negatif ...
BAB 3 – Kenapa ini Berbeda? ..........................................
BAB 4 – Aljabar = Sulit??? ................................................
BAB 5 – 0 = Tidak Tentu .................................................
0
5
9
13
15
19
23
27
31
BAB 6 – Cara Pandang Minus Dikali dengan Plus ...... 35
BAB 7 – Pernyataan dan Alasan ...................................... 37
BAB 8 – Kesalahan Berpikir 2=1 ...................................... 43
BAB 9 – Berpikir di Luar Kebiasaan ............................... 47
BAB 10 – Dua Lebih Baik daripada Satu ....................... 51
BAB 11 – Aku Ingin Bebas ............................................... 57
BAB 12 – Deret “Guntur” ................................................ 61
BAB 13 – Menyederhanakan Masalah ........................... 65
BAB 14 – (-) x (-) = (+) ........................................................ 69
BAB 15 – The Square of X5................................................. 73
BAB 16 – Makna “ITU” .................................................... 77
BAB 17 – Penerapan Geometri ........................................ 79
BAB 18 – Bertumbuh di dalam Metode ......................... 85
BAB 19 – Mengubah Desimal Berulang ke Pecahan .... 89
BAB 20 – Selangkah ke Tujuan ........................................ 95
BAB 21 – Hidup dalam Keseimbangan ......................... 101
BAB 22 – Uji Coba dan Berani Salah .............................. 105
BAB 23 – Aritmatika Kehidupan .................................... 109
– 13 –
BAB 24 – Sekali Untung Tetap Untung ..........................
BAB 25 – “Silent Problem”...............................................
BAB 26 – Sederhana tetapi Sistematis ............................
BAB 27 – Kurung, Kurung, dan Kurung .......................
BAB 28 – Pecahan Keadilan .............................................
BAB 29 – Menurunkan Rumus dari Pola .......................
BAB 30 – BE SMART.........................................................
Datar Pustaka ...................................................................
Testimoni ............................................................................
Biodata Penulis ..................................................................
– 14 –
113
117
125
129
133
137
141
145
147
151
BAB 1
Ilmu “Pokoknya”
“Segala sesuatu yang bersifat “POKOKNYA”
membuat kita tidak kreatif”
Banyak orang mengetahui bahwa berapa pun bilangan
berpangkat nol misalnya 10, 20, 30, …, 10000, dan a0 hasilnya
sama dengan 1. Tahukah kamu, darimanakah asalnya?
Mengapa demikian?
Bukti bahwa: a0 = 1.
Kita tahu bahwa
a
= 1.
a
(Bukti sederhana kenapa
a
= 1 dapat digunakan
a
sebagai metode mengganti huruf a dengan angka tertentu,
misalkan a = 2 maka
2
= 1)
2
Dengan menggunakan aturan perpangkatan, yaitu
a
am
= a m − n maka = 1 menjadi a1-1 = 1
an
a
Dari penjabaran di atas, diperoleh kesimpulan bahwa
a = 1 di mana a ∈ R (dibaca a pangkat nol sama dengan satu
di mana a adalah anggota bilangan real) (q.e.d)
0
Refleksi dan Nilai Hidup
Kita sering mendengar kata “POKOKNYA” di kehidupan sehari-hari, baik saat masih sekolah maupun
sekarang ini, saat sudah bekerja. Kata tersebut sering terlontar dari beberapa pihak. Anda bisa terka sendiri, siapa
saja pihak-pihak itu. Coba Anda rasakan jika Anda selalu
dihadapkan dengan kata tersebut! Tentunya, hanya sedikit
– 16 –
orang yang senang dengan kata tersebut. Jumlahnya pun
sangat kecil jika dipersentasekan.
Segala sesuatu yang bersifat “POKOKNYA” membuat kita tidak kreatif. Kita pun merasa tidak puas dengan penjelasan yang diberikan. Namun kata tersebut
memang mujarab untuk membuat orang setuju dengan
keinginan kita. Namun coba sekali lagi bayangkan jika
Anda dihadapkan dengan kata “POKOKNYA”! Nyamankah Anda? Oleh karenanya diperlukan namanya PEMBUKTIAN. Dengan membuktikan, biasanya ada kepuasan
tersendiri yang tidak dapat dilukiskan dengan kata-kata.
Semua pilihan ada di tangan Anda, apakah masih mau dipaksa dengan kata POKOKNYA atau tidak?
– 17 –
BAB 2
Hubungan antara yang
Positif dan Negatif
“Kekuatan bisa jadi kelemahan,
kelemahan bisa juga menjadi kekuatan”
Ada beberapa rumus perpangkatan yang dapat diturunkan dari rumus-rumus yang ada. Seperti rumus
perpangkatan
1
= a −1 . Kadang ada beberapa siswa
a
bertanya, mungkin hanya kebetulan atau memang rasa
“ingin tahu” mereka tergugah sehingga mereka bertanya
tentang pembuktiannya.
Bukti bahwa
1
= a −1
a
Sebelumnya kita sudah bisa membuktikan dengan
bantuan rumus
am
= a m − n bahwa a0 = 1.
an
0
Bentuk 1 dapat diubah menjadi a .
a1
a
m
Kita tahu bahwa aturan a = a m − n ,
an
0
dengan aturan tersebut maka a = a 0−1
a1
Jadi, dari penjabaran di atas dapat diperoleh
kesimpulan bahwa 1 = a −1 (TERBUKTI).
a
Perhatikan contoh berikut!
2x
1
= 2 x 2−1
2
– 20 –
2x
1
= 21 x 2−1 (ingat bahwa 2 = 21)
2
1 = 21+ ( −1) (aturan perpangkatan am x an = am + n)
1 = 20
(ingat bahwa a0 = 1)
1=1
Dari contoh di atas, dapat dikatakan bahwa banyak
cara untuk menyelesaikan permasalahan, baik dengan
menggunakan pangkat negatif atau pangkat positif.
Refleksi dan Nilai hidup
Setiap orang mempunyai dua sisi, yaitu negatif
(kelemahan) dan positif (kekuatan). Kita bisa sukses
jika mengembangkan kemampuan positif. Namun pada
ilustrasi di atas, ditunjukkan bahwa kelemahan ternyata
juga bisa djadikan kekuatan dalam memecahkan masalah.
Pertanyaannya, dapatkah kita menjadikan kelemahan
sebagai kekuatan?
– 21 –
BAB 3
Kenapa ini Berbeda?
“Apa pun posisi atau peran kita dalam hidup,
semua mempunyai makna, arti, dan fungsi,
asalkan bertujuan baik”
Apakah
1
= ...
2
3
hasilnya sama dengan
1
2 = ... ?
3
Jawabannya tentu TIDAK, mengapa ?
1
= ... artinya
2
3
1:
2
3 3
= ... = 1 × =
3
2 2
Sementara,
1
2 = ...
3
artinya
1
1 1 1
:3 = × =
2
2 3 6
Letak perbedaannya ada pada penulisan tanda “=”.
Ingat, penempatan tanda “=” sangat berpengaruh dalam
pecahan.
Refleksi dan Nilai Hidup
“Apalah arti sebuah nama?” Itulah salah satu contoh
kalimat yang sering kita dengar. Kalimat tersebut tampak
bermakna mengecilkan fungsi dari sebuah nama. Padahal
tanpa nama, orang lain akan sulit mengenali kita karena
hal yang paling mudah diingat oleh seseorang adalah
nama.
Bagaimana jika kita mengaplikasikan kalimat
tersebut dalam matematika, “Apalah arti sebuah tanda
‘sama dengan’???”. Dari contoh di atas, kita bisa melihat
bahwa dalam bidang matematika, tanda sama dengan
(=) memiliki arti yang sangat penting. Tidak akan ada
“persamaan” matematika, tanpa tanda sama dengan.
– 24 –
Dengan adanya soal tersebut, kita diajak untuk
memahami bahwa sebuah tanda kecil memiliki makna,
arti, serta fungsi dalam hidup ini. Apa pun posisi atau
peran kita dalam hidup ini, semua mempunyai makna,
arti, dan fungsi, asalkan itu bertujuan baik.
– 25 –
BAB 4
Aljabar = Sulit???
“Solusi sering kali datang secara sederhana
dengan metode yang sederhana pula”
Aljabar, salah satu rumpun ilmu di Matematika yang
sering kali dianggap susah, ternyata mempunyai manfaat
yang sangat luar biasa dan sederhana. Perhatikan contoh
berikut!
Salah satu rumus istimewa dalam aljabar, yaitu
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
Salah satu contoh soal yang dapat dikerjakan secara
mudah dengan rumus di atas, yaitu
Hitunglah hasil dari 1232 – 1222!
Coba hitunglah hasilnya dalam waktu 30 detik.
Apakah kamu mengalami kelelahan dalam berhitung,
atau mungkin juga tidak teliti? Jika itu yang dialami, mari
menggunakan rumus Aljabar di atas untuk menyelesaikan
soal tersebut!
Langkah bayi (ubah ke bentuk pemfaktoran rumus di
atas)
1232 – 1222 = (123 + 122) . (123-122)
= (245) . (1)
= 245 (mudah bukan)
Refleksi dan Nilai Hidup
Coba Anda rasakan jika perkalian di atas dihitung
secara manual. Rasakan saja tanpa harus menghitung!
Pastinya akan timbul perkataan berikut: pusing, susah,
capek, dan sebagainya. Namun jika diselesaikan dengan
metode pemfaktoran aljabar, akan jauh lebih mudah,
bukan? Metode pemfaktoran (memecah) digunakan untuk
membuat sesuatu yang besar “dipecah” menjadi beberapa
bagian, supaya lebih mudah dalam hal penyelesaian
– 28 –
masalahnya. Selain memudahkan, metode pemfaktoran
juga mempunyai keuntungan dalam hal ketelitian. Oleh
karenanya jika menghadapi masalah yang besar, kita
harus memfaktorkan masalah tersebut menjadi bagianbagian yang lebih kecil, supaya solusinya juga menjadi
lebih mudah.
– 29 –
BAB 5
0
= Tidak Tentu
0
“Kesepakatan yang baik didasari oleh bukti yang kuat
dan objektif, bukan berdasar pada suara mayoritas”
Perhatikan contoh konsep perkalian yang berhubungan
dengan pembagian berikut!
Konsep perkalian 2 x 3 = 6 dalam hal ini berlaku juga
konsep pembagian bahwa: 2=
6
3
Berdasar contoh di atas, mari menerapkan pada
bentuk perkalian dan pembagian berikut.
0
0
0
2x0=0 → 2=
0
0
3x0=0 → 3=
0
1x0=0 → 1=
0
0
1
1
0
x0=0 →
=
2
2
0
0
ax0=0 → a=
0
0
bx0=0 → b=
0
-1 x 0 = 0 → -1 =
Dari ilustrasi di atas dapat disimpulkan bahwa
0
=
0
tidak tentu. Sebab hasil akhirnya berbeda-beda.
Seandainya pembagian dengan 0 terdeinisi (boleh
dilakukan) maka seluruh sistem bilangan yang ada akan
rusak dan tidak berlaku. Untuk lebih jelasnya perhatikan
contoh berikut!
2x0=0
3x0=0
– 32 –
Dari dua soal di atas maka
2 × 0 3× 0
=
sehingga 2=3
0
0
Hal tersebut tentu saja tidak bisa diterima karena 2≠3.
Dari dua contoh di atas, dapat dipelajari bahwa untuk
pembagian dengan 0 “disepakati” tidak terdeinisi.
Refleksi dan Nilai Hidup
Dalam kehidupan sehari-hari, kata “Sepakat” bisa
berarti positif, bisa berarti negatif. Sebuah kesepakatan
yang negatif bisa kita temui dalam kehidupan sehari-hari.
Sekarang, bagaimana membuat kesepakatan yang positif.
Kuncinya jika melihat contoh di atas, harus ada “dasar”
(bukti) yang kuat dalam membuat sebuah kesepakatan
bersama, bukan atas suara mayoritas.
– 33 –
BAB 6
Cara Pandang Minus Dikali
dengan Plus
“Yang benar janganlah disalahkan,
yang salah janganlah dibenarkan”
Perhatikan ilustrasi di bawah ini.
..........
5 x 2 = 10
4x2=8
3x2=6
2x2=4
1x2=2
0x2=0
-1 x 2 = ...
-2 x 2 = ...
-3 x 2 = ...
-4 x 2 = ...
..........
Apakah terbentuk suatu pola
yang istimewa?
Silakan diisi dan silakan ambil
kesimpulannya.
Refleksi dan Nilai Hidup
Saat ini, banyak sekali kejadian-kejadian di mana
yang salah menjadi benar dan yang benar menjadi salah.
Tentunya kita semua bisa melihat realita hidup yang ada
di sekitar kita saat ini.
Manakala yang benar (+) disalahkan (–) ATAU yang
salah (–) dibenarkan (+) maka akan berakhir dengan
sebuah kesalahan dan berakibat fatal (–).
Semua hal tersebut selalu ada dalam hidup kita.
Sekarang, yang menjadi pertanyaan adalah
Bagaimana kita bisa mempunyai sikap yang tegas
dan berani dalam hal ini?
Bagaimana kita memaknai (–) x (–) = (+)?
– 36 –
BAB 7
Pernyataan dan Alasan
“Memompa lebih enak dibanding menggali,
namun sebelum memompa diperlukan proses yang
namanya menggali”
Dalam ilmu matematika geometri, ada yang namanya
pembuktian sebuah teorema. Sesederhana apa pun
sebuah teorema atau rumus, pasti selalu diturunkan
atau dibuktikan dengan alasan-alasan yang mendukung
teorema tersebut.
Perhatikan gambar berikut!
Right triangle ABC
(www.gogeometry.blogspot.com, Problem 58: Right Triangle,
Congruence, Perpendiculars, by Antonio Gutierrez)
ABC adalah sebuah segitiga siku-siku dengan
AB = c, BC = a dan BD = x.
AC = CD dan AC ⊥ CD
Buktikan bahwa
x 2 = a 2 + (a − c) 2
Jawab:
Langkah 1: Gambarkan perpanjangan ruas garis AB.
Langkah 2: Gambarkan garis tegak lurus dari titik D
ke sisi BC.
– 38 –
Perhatikan gambar berikut!
Pada segitiga ABC
∠CBE = 90 (sudut siku-siku)
∠CBE = ∠CAB + ∠BCA (teorema sudut luar segitiga)
∠CAB + ∠BCA = 90 sehingga
∠CAB = 90 − ∠BCA
Pada sudut siku-siku ACD
∠FCD + ∠BCA = 90
(sudut-sudut yang saling berkomplemen)
Maka ∠FCD = 90 − ∠BCA sehingga
∠CAB = ∠FCD = 90 − ∠BCA
– 39 –
Pada segitiga FDC
∠FDC + ∠FCD = 90 (teorema sudut luar segitiga)
∠FDC = 90 − ∠FCD
Dari pernyataan sebelumnya kita dapatkan,
∠FCD = 90 − ∠BCA atau ∠BCA = 90 − ∠FCD
sehingga dapat dibuktikan bahwa ∠FDC = ∠BCA.
Berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa
ABC = =
FDC (sudut – sisi – sudut)
sehingga
DC = AC ; FC = AB = c dan FD = BC = a maka
BC = FB + FC (teorema penjumlahan ruas garis)
FB = BC – FC
FB = a − c
Pada segitiga siku-siku DBF
DB 2 = FD 2 + FB 2 (teorema pitagoras)
x 2 = a 2 + (a − c) 2 (q.e.d)
Khusus untuk soal-soal yang berhubungan dengan
geometri, kita juga diajak untuk sedikit berkreasi dalam
membuat sketsa dan garis-garis tertentu, guna membantu
menemukan petunjuk, hingga jawaban.
– 40 –
Refleksi dan Nilai Hidup
Dalam hidup, sering kali kita menemui masalah–
masalah yang sangat rumit di awal. Jika kita mau melihat
pengerjaan soal di atas, semuanya mempunyai alasan dan
proses yang sangat jelas. Teori yang digunakan adalah
“basic concept” (konsep dasar). Di sini yang menjadi penekanan yaitu segala permasalahan pasti ada jalannya
(proses) dan kita perlu menggunakan cara-cara yang
sederhana (basic concept) serta alasan-alasan yang masuk
akal, guna memecahkan masalah tersebut.
– 41 –
BAB 8
Kesalahan Berpikir 2=1
“Make it Simple”
Perhatikan dan analisislah pembuktian 2 = 1 pada langkahlangkah berikut!
Langkah 1:
Langkah 2:
Langkah 3:
Langkah 4:
Langkah 5:
Langkah 6:
Langkah 7:
Langkah 8:
Jika dimisalkan a = b
Kemudian a × a = a × b atau a2 = ab
a2 + a2 = a2 + ab
2a2 = a2 + ab
2a2 – 2ab = a2 + ab – 2ab
2a2 – 2ab = a2 – ab
2(a2 – ab) = 1(a2 – ab)
Dengan menghilangkan bentuk (a2 – ab)
maka di dapatkan 2 = 1.
Tahukah Anda, di mana letak kesalahannya?
Ternyata kesalahannya ada di langkah ketujuh.
Mengapa? Berikut ini penjelasannya.
Perhatikan langkah 7 di bawah ini!
Langkah 7: 2(a2 – ab) = 1(a2 – ab).
Untuk menghilangkan sebuah keadaan dari kedua
buah sisi pada sebuah persamaan, dibutuhkan dua buah
keadaan yang benar-benar identik, yaitu bentuk (a2 – ab).
Namun pada pembuktian ini, a2 – ab = 0 karena
asumsi di langkah pertama adalah a = b. Pada bab 5,
kita tahu bahwa pembagian dengan nol tidak terdeinisi
(Undeined).
Seharusnya, yang terjadi pada langkah 8 adalah
bukan mengeliminasi (a2 – ab) pada kedua ruas, tetapi
mengganti (a2 – ab) = 0 (lihat langkah 1).
– 44 –
Perhatikan langkah 8 yang seharusnya seperti berikut:
2(a2 – ab) = 1(a2 – ab)
2 (0) = 1 (0)
Sehingga diperoleh kesimpulan 0 = 0.
Refleksi dan Nilai Hidup
Sesuatu yang mudah dalam hidup ini sering kali
dipersulit oleh kita sendiri atau pihak lain dengan alasan
yang bermacam-macam. Padahal jika kita lihat proses di
atas, sudah jelas bahwa acuan dasarnya adalah a = b yang
0
mengakibatkan (a2 – ab) = 0 selain itu
= undeined.
0
Seharusnya pada langkah ke 7, kita sudah bisa mengambil
kesimpulan (keputusan), namun dipersulit dengan mengeliminasi (a2 – ab) pada kedua ruas yang mengakibatkan
kesimpulan yang salah besar. Kuncinya adalah perhatikan
acuan dasar dan make it simple (buatlah menjadi sederhana).
Di bawah ini ada contoh lain kesalahan konsep, yaitu
sebagai berikut:
−2 = −2
4 − 6 = 1− 3
9
9
4 − 6 + = 1− 3 +
4
4
3 2
3 2
(2 − ) = (1 − )
2
2
3
3
(2 − ) = (1 − )
2
2
2 =1
Dapatkah kamu menemukan dan menjelaskan kesalahan pengerjaan di atas?
– 45 –
– 46 –
BAB 9
Berpikir di Luar Kebiasaan
“Mindstream NO WAY”
Perhatikan 9 titik di bawah ini!
Ada tantangan untuk kasus 9 titik ini.
Buatlah 4 garis terhubung (tanpa mengangkat pena/
media lain) dan mengenai semua titik.
KUNCI 4 Garis
Refleksi dan Nilai Hidup
Sering kali jika dihadapkan pada sebuah permasalahan, kita hanya terfokus pada masalahnya saja (9 titik dan
4 garis). Padahal jika kita mau berpikir dari sisi yang
– 48 –
berbeda (out of the box), tentunya selalu ada solusi dari
setiap masalah yang muncul.
Dalam buku the art of war by sun tzu dikatakan,
bahwa untuk memenangkan sebuah peperangan dengan
medan yang sama, strategi yang digunakan tidak boleh
sama. Mengapa?
Dengan strategi yang sama, berarti kita tidak kreatif.
Ini bisa membuat kita terjebak, dan akhirnya kalah. Pada
kasus 9 titik di atas, medannya jelas, yaitu 9 titik dan
membuat 4 garis terhubung dan melewati semua titik
(tanpa mengangkat pena). Jika kita hanya terfokus pada
medannya saja maka tidak akan muncul solusi yang
“brilian”. Oleh karena itu, diperlukan pemikiran yang
dalam dan out of the box.
– 49 –
BAB 10
Dua Lebih Baik
daripada Satu
“IDEAL = Analisis + Negosiasi“
Ada sebuah proyek renovasi pengecatan kamar tidur
sebuah rumah. Dua pengecat profesional kamar tidur
telah dipersiapkan oleh sang Tuan. Pengecat profesional A
menyanggupi akan menyelesaikan proyek tersebut dalam
kurun waktu 3 hari. Sementara, pengecat profesional B
menyanggupi akan menyelesaikan pengecatan kamar
tidur tersebut selama 6 hari. Diketahui juga, biaya jasa
pengecat profesional A perharinya Rp300.000,00 dan
pengecat B Rp200.000,00. Setelah menghitung-hitung
se jenak, akhirnya sang Tuan meminta kedua pengecat
profesional tersebut melakukan pengecatan bersamasama, supaya lebih eisien dari segi waktu dan biaya.
Pertanyaannya adalah, berapa waktu pengerjaan dan
biaya yang dibutuhkan oleh sang Tuan jika pekerjaan
pengecatan dilakukan oleh kedua pengecat profesional
tersebut?
Jawab:
BAGIAN 1 WAKTU
Gunakanlah langkah-langkah berikut ini!
Langkah 1
Misalkan Pekerjaan keseluruhan (mengecat seluruh kamar
tidur) = X
Langkah 2
(Menerjemahkan soal ke dalam model Matematika)
A mampu mengecat semua kamar tidur dalam waktu
3 hari. ARTINYA
• Biaya yang dibutuhkan Rp900.000,00
(dari 3 xRp300.000)
– 52 –
•
3 hari = 1X
1 hari = 1 X ................................................................. (i)
3
B mampu mengecat semua kamar tidur dalam waktu 6
hari. ARTINYA
• Biaya yang dibutuhkan Rp1.200.000,00
(dari 6 x Rp 200.000)
• 6 hari = 1X
1 hari = 1 X ................................................................. (ii)
6
Langkah 3
Dari persamaan (i) dan (ii) dapat dikatakan jika A dan B
bekerja bersama maka dalam 1 hari hasil kerja mereka
adalah 1 X + 1 X . Jika dituliskan dalam bahasa
6
3
matematika menjadi
1 hari = 1 X + 1 X
6
3
1 hari = 3 X ................................................................. (iii)
6
Jika persamaan (iii) diterjemahkan, artinya dalam
1 hari mereka mengerjakan 3 bagian dari pekerjaan
6
keseluruhan.
Melalui analisis di atas, dapat disimpulkan bahwa
untuk mengerjakan pekerjaan keseluruhan dibutuhkan
waktu 2 hari. Cara perhitungannya adalah sebagai
berikut:
1 hari = 3 X
6
– 53 –
1 hari × 6 = X
3
2 hari = X, di mana
keseluruhan.
a.
b.
X
adalah
pekerjaan
Kesimpulan
Waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan pekerjaan
pengecatan kamar tidur jika dilakukan berdua adalah
2 hari.
Biaya yang dibutuhkan adalah Rp1.000.000,00
Hasil tersebut diperoleh dari
= (2 hari × harga perhari Pekerja A) + (2 hari ×
harga perhari Pekerja B)
= (2 × Rp300.000) + (2 × Rp200.000).
Sering kali permasalahan seperti di atas muncul dalam
kehidupan kita. Pada perhitungan matematis di atas jika
kita menganalisis, diperoleh beberapa pernyataan sebagai
berikut.
1. Jika yang bekerja HANYA pekerja A maka waktu
yang dibutuhkan 3 hari dan biaya yang dikeluarkan
Rp900.000,00.
2. Jika yang bekerja HANYA pekerja B maka waktu
yang dibutuhkan 6 hari dan biaya yang dikeluarkan
Rp1.200.000,00.
3. Jika yang bekerja pekerja A DAN pekerja B maka
waktu yang dibutuhkan 2 hari dan biaya yang
dikeluarkan Rp1.000.000,00.
– 54 –
Refleksi dan Nilai Hidup
Pada pertanyaan awal, sang Tuan menginginkan
pekerjaan pengecatan tersebut selesai dalam WAKTU
SINGKAT dan BIAYA MURAH. Namun dari tiga hasil
perhitungan di atas, ternyata hasilnya sangat tidak IDEAL,
tidak seperti yang diharapkan sang Tuan. Dari sini dapat
dikatakan, bahwa untuk mendapatkan sesuatu yang
IDEAL tidak hanya dibutuhkan perhitungan matematis
semata. Namun, hal itu bisa diwujudkan jika kita memiliki
pendekatan-pendekatan dari sudut pandang lain, salah
satunya dengan “NEGOSIASI”. Negosiasi di sini bukan
asal negosiasi, melainkan diperlukan ANALISIS yang
matang, supaya tidak salah dalam melakukan proses
negosiasi tersebut.
– 55 –
BAB 11
Aku Ingin Bebas
“Berani mengevaluasi pola-pola lama yang ada,
supaya tidak jatuh pada kesalahan”
Perhatikan gambar berikut!
Seekor katak jantan yang tidak mudah menyerah
terjatuh ke dalam lubang sedalam 10 m. Dengan penuh
perjuangan, si katak berusaha keluar dari lubang tersebut,
untuk bertemu dengan katak betina pujaannya. Perlu
diketahui, setiap hari si katak jantan bisa naik setinggi
2 m, namun karena licin, si katak turun lagi 1 m.
Berapa harikah yang dibutuhkan si katak jantan
untuk sampai ke permukaan tanah?
Jawaban yang sering muncul adalah 10 hari, akan
tetapi jawaban yang tepat adalah 9 hari. Kenapa 9 hari?
Mari kita lihat jawaban berikut.
– 58 –
Pada hari pertama, si katak jantan naik 2 m, tetapi
turun 1 m sehingga hari pertama hanya bisa naik 1 m.
Pola ini berlanjut hingga hari kedelapan. Mengapa kita
berhenti di hari kedelapan? Sebab pada hari kedelapan,
kecepatan naik si katak jantan hanya 1m/hari, pada hari
kedelapan ketinggian si katak dari dasar adalah 8 hari x
1 m/hari = 8 m. Pada hari kesembilan, dia naik setinggi 2
m di mana keadaan 2 m + 8 m = 10 m, dan si katak jantan
telah mencapai permukaan, tanpa harus turun 1 m. Jadi,
waktu yang dibutuhkan oleh si katak jantan untuk sampai
ke permukaan guna menemui pujaannya ialah pada hari
kesembilan.
Refleksi dan Nilai Hidup
Sering kali kita terbuai dengan pola yang sudah ada.
Kita lupa untuk melakukan pemeriksaan di setiap pola
yang ada sehingga jawaban yang kita berikan menjadi
salah. Jika kita mengikuti pola yang ada, dan tidak berhenti
pada hari kedelapan, sudah pasti kita akan menjawab 10
hari (yang tentu saja salah) karena mengikuti pola yang
ada, tanpa menganalisis lebih dalam.
Kecepatan si katak jantan untuk naik 1 m/hari hanya
berlaku sampai hari kedelapan. Pada hari kesembilan, si
katak jantan sudah sampai di permukaan. Ketika sudah
sampai dipermukaan, rasanya tidak masuk akal kalau
harus turun lagi. Kita harus berani mengevaluasi polapola lama yang ada, supaya tidak jatuh pada kesalahan.
– 59 –
BAB 12
Deret “Guntur”
“Life is a choice”
Ada aturan Aljabar di Matematika yang berbunyi
demikian
(a − b)(a − c) = a 2 − ac − ab + bc
= a 2 − (b + c)a + bc
Perhatikan soal unik berikut ini!
1
1 1 1
1 − 1 − 1 − ... 1 −
=?
2 3 4 2000
Catatan: tanda ... (titik 3 kali) memiliki arti sampai
dengan.
Silakan Anda coba dalam waktu 2 menit dengan
menggunakan aturan di atas. Tuliskan prosesnya di kolom
yang sudah disediakan di bawah ini!
Solusi:
Solusi:
1
1 1 1
1 − 1 − 1 − ... 1 −
=?
2
3
4
2000
Langkah 1: Hitunglah semua operasi yang berada di
dalam kurung.
1 2 3 1998 1999
...
=
2 3 4 1999 2000
– 62 –
Langkah 2: Gunakan aturan dasar pecahan dengan
mengeliminasi angka-angka yang sama pada pembilang
dan penyebut.
1 2 3 1998 1999
...
=
2 3 4 1999 2000
Langkah 3: Finishing
1
2000
Refleksi dan Nilai Hidup
Apa yang Anda rasakan ketika mengerjakan soal
di atas menggunakan rumus aljabar yang diberikan?
Jawaban salah satunya ialah susah “Wasting Time”. Apakah
menggunakan rumus di atas itu sebuah kesalahan?
Jawabnya tentu tidak.
“Wasting Time”, itulah yang sering dikatakan kebanyakan orang jika mereka berhadapan dengan perjalanan, proses, rapat, atau acara yang bertele-tele. Apakah
perjalanan, proses, rapat, atau acara yang bertele-tele
merupakan suatu kesalahan? Jawabnya tidak.
Tentunya kita semua setuju dengan istilah “Life is a
choice”. Andaikan kita sama-sama mau pergi ke Surabaya,
pilihan kendaraan yang digunakan sangatlah beragam
dari yang bertele-tele sampai yang terbaik. Terbaik di
sini dapat diterjemahkan perjalanannya tercepat, aman,
nyaman, ekonomis, dan selamat sampai tujuan tentunya.
Untuk mendapatkan sesuatu yang terbaik, kita harus
mencari banyak informasi dan tentunya menganalisis
informasi-informasi tersebut, supaya keputusan yang diambil tepat. Seperti pada persoalan di atas, informasinya
– 63 –
sudah ada, dan analisisnya adalah memecahkan setiap
permasalahan secara parsial sehingga diperoleh hasil
yang tepat. Jadi, pilihan ada di tangan Anda.
– 64 –
BAB 13
Menyederhanakan Masalah
“Setialah pada perkara kecil“
Perhatikan soal di bawah ini!
Tentukan banyaknya kata yang dapat terbentuk dari
kalimat “MATAMATIKA”!
Jawab:
Dengan menggunakan rumus permutasi dengan
pengulangan:
Rumus umum: n !
a!
Maka dapat dibuat informasi sebagai berikut:
Jumlah huruf
= 10 huruf.
Pengulangan huruf m = 2,
Pengulangan huruf a = 4,
Pengulangan huruf t = 2.
Dari informasi di atas diperoleh bahwa banyaknya
kata yang dapat dibentuk adalah: 10! = 10! kata.
2!4!2! 96
Dengan menggunakan rumus n ! maka persoalan
a!
yang kompleks dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk
membuat dan menggunakan rumus memang mudah.
Akan tetapi, sering kali otak manusia yang terbatas
mengalami persoalan yang disebut “LUPA” sehingga
waktu kita lupa dengan rumus, bukan berarti kita tidak
bisa menyelesaikan persoalannya. Kita masih bisa
menyelesaikan dengan menyederhanakan persoalannya.
Cara di bawah ini adalah contoh menyelesaikan
sebuah persoalan kompleks seperti contoh di atas dengan
cara menyederhanakan. Kemampuan melihat pola adalah
hal yang sangat penting dan dibutuhkan.
– 66 –
Kita ambil kata “mata”, dan variasinya adalah sebagai
berikut:
Kombinasi kata
Banyaknya kata
m-a-t-a
m-t-a-a
m-a-a-t
3
t-m-a-a
t-a-m-a
t-a-a-m
3
a-m-t-a
a-m-a-t
a-t-a-m
a-t-m-a
a-a-m-t
a-a-t-m
6
12 =
Total
12
4! 4 × 3 × 2 ×1
=
2!
2 ×1
Kita ambil kata “mama”, dan variasinya adalah
sebagai berikut:
Kombinasi kata
Banyaknya kata
m-a-m-a
m-a-a-m
m-m-a-a
3
a-m-m-a
a-m-a-m
a-a-m-m
3
6=
Total
6
4!
4 × 3 × 2 ×1
=
2!2! 2 ×1× 2 ×1
– 67 –
Dari dua contoh di atas, diperoleh pola bahwa banyaknya kata yang mungkin terbentuk dari sebuah kata
atau kalimat lain, tergantung dari total huruf yang ada dan
banyaknya huruf yang sama. Pola yang berasal dari sebuah
contoh yang sederhana, dapat dibuat rumus umum untuk
menentukan banyaknya kata yang mungkin disusun dari
sebuah kata atau kalimat lain sebagai berikut:
Banyaknya kata =
(Total huruf)!
(Banyaknya huruf sama)!
Refleksi dan Nilai Hidup
Ketika kita setia pada perkara-perkara yang sederhana
atau kecil, niscaya kita akan dapat menyelesaikan perkaraperkara yang besar. Seperti contoh di atas, kita sering
dibutakan oleh masalah besar dan kompleks sehingga
kita menyerah untuk menyelesaikannya dan hanya berusaha melarikan diri. Padahal dengan melarikan diri,
permasalahan besar tetap akan mengganggu tanpa pernah
terselesaikan.
Dari pembelajaran matematika di atas, kita dapat
belajar untuk menghadapi masalah besar dengan menyederhanakan permasalahan, mencari pola penyelesaian, serta menerapkan pola yang sama dan tepat untuk
menyelesaikan masalah yang besar dan kompleks.
– 68 –
BAB 14
(-) x (-) = (+)
“Pikiran, hati nurani, dan tindakan yang selaras
akan memunculkan kesadaran positif“
Seperti kita tahu sebelumnya, pembuktian pada BAB 6
telah mengulas “Cara pandang minus kali plus” seperti pola
berikut.
(–3) x (3) = –9
(–3) x (2) = –6
(–3) x (1) = –3
(–3) x (0) = 0
Jika pola tersebut dikembangkan maka akan terbentuk
pola seperti di bawah ini,
(–3) × (3) = –9
(–3) × (2) = –6
(–3) × (1) = –3
(–3) × (0) = 0
(–3) × (–1) = .....
(–3) × (–2) = .....
(–3) × (–3) = .....
...
Apakah Anda menemukan
sesuatu? Silahkan dianalisis.
Dari ilustrasi sederhana di atas, dapat dikatakan
bahwa (–) × (–) = (+).
Pada pembuktian BAB 6, secara garis besar mengatakan bahwa sesuatu yang positif jika dipengaruhi
sesuatu yang negatif (walaupun kecil nilainya) maka
akan berakibat negatif hasilnya.
Apakah pernyataan pada bab 6 juga cocok untuk
(–) × (–) = (+)?
– 70 –
Refleksi dan Nilai Hidup
Kita tahu, bahwa menyontek itu dosa. Supaya hal
tersebut tidak kita lakukan, diperlukan koneksi 3 hal yaitu
pikiran, hati nurani, dan tindakan. Dengan pikiran, kita
tahu bahwa menyontek itu dosa. Dengan hati nurani yang
baik (peka), kita semakin dikuatkan bahwa menyontek
itu dosa. Ketika semuanya itu “on the track”, tindakan kita
pun akan menjadi positif, yakni dengan tidak menyontek.
Artinya, menyontek (–) dan juga dosa (–) akan membawa
kita pada kesadaran baik (+), bahwa keduanya harus
dihindari. Inilah cara berpikir yang perlu diterapkan
dalam hidup melalui tiga hal yang saling terhubung yaitu
pikiran, hati nurani, dan tindakan.
– 71 –
BAB 15
The Square of X5
Teratur it’s Easy to Do
Kalau dilihat dari judul di atas, mungkin banyak yang
bertanya, mengapa harus X5 bukan Xiles seperti sebuah
judul ilm ternama. Arti The Square of X5 di sini akan
djelaskan menggunakan ilustrasi sebagai berikut.
The square of X5 jika dituliskan dalam bahasa
matematika yaitu (X5)2; di mana 5 adalah digit satuannya
sedangkan X-nya adalah digit selanjutnya (bisa puluhan,
ratusan, dan seterusnya) yang merupakan bilangan
cacah.
Sebagai contoh
(15)2; (25)2; (35)2; (105)2; dan seterusnya.
Seperti diketahui, ada sesuatu yang menarik pada
bentuk (X5)2 di atas, yaitu semua angka satuannya bernilai 5.
Perhatikan pola berikut!
(5)2 = (05)2 = 025
0x1=0
(15)2 = 225
1x2=2
(25)2 = 625
2x3=6
(35)2 = 1225
3 x 4 = 12
(45)2 = 2025
4 x 5 = 20
(55)2 = 3025
5 x 6 = 30
(65)2 = 4225
6 x 7 = 42
– 74 –
Dan seterusnya…
Dari ilustrasi di atas diperoleh formula bahwa
( X 5) 2 = ( X .( X + 1))25 .
Refleksi dan Nilai Hidup
Di dalam hidup, kita banyak mengalami permasalahan
yang rumit. Polanya pun sering kali berulang. Kita juga
sering berpikir keras, bahkan berbicara dengan profesional, yang berarti harus membayar mahal guna
menyelesaikan masalah. Namun, penyelesaian biasanya
tersembunyi dari masalah yang berulang. Ada pola di
balik semua masalah. Coba tengok pola itu, pahami, dan
temukan caramu sendiri yang lebih cepat dan eisien
untuk menyelesaikannya.
Dengan melihat contoh-contoh yang diberikan
di atas, dapat juga melihat sebuah keteraturan yang
akhirnya dirumuskan. Sebuah keteraturan merupakan hal
yang sangat penting karena dari sebuah keteraturan, kita
dimudahkan untuk melakukan sesuatu.
Contoh lain di mana sebuah keteraturan sangat
penting ialah saat kita menyusun sesuatu. Sebagai contoh
penyusunan nomor telepon berdasarkan abjad. Dengan
menyusun nomor telepon berdasarkan abjad maka kita
akan dimudahkan dalam pencarian.
– 75 –
BAB 16
Makna “ITU”
Syukurilah “ITU” sebagai Rahmat
Ternyata, hidup kita juga merupakan sebuah sistem yang
sistematis. Kenapa bisa seperti itu? Perhatikan sistem
persamaan kehidupan berikut yang diturunkan dari
sistem persamaan linear dua variabel.
Dalam kehidupan kita kenal yang namanya “kasih,
kegembiraan, dan kesedihan” maka bisa dituliskan
sebagai berikut:
Kehidupan +
Kehidupan –
2 Kehidupan
Kehidupan
Kasih
Kasih
= Kegembiraaan
= Kesedihan
+
= Kegembiraan + Kesedihan
= Kegembiraan + Kesedihan
2
Sehingga:
Kehidupan =
1
1
Kegembiraan + Kesedihan
2
2
Refleksi dan Nilai Hidup
Banyak orang ingin memperoleh kebahagiaan. Mereka tidak mau hidup susah. Jika sedang gembira, mereka
ceria. Jika sedang susah, mereka mengeluh. Mengapa
mengeluh? Alasannya karena mereka tidak tahu bahwa
hidup itu merupakan campuran antara gembira dan
sedih. Keduanya merupakan satu paket, dan tidak bisa
dipisahkan. Oleh karena itu, belajarlah terbiasa dalam
perubahan hidup dengan “BERSYUKUR” sehingga kita
tidak gampang mengeluh.
– 78 –
BAB 17
Penerapan Geometri
“Hidup tanpa masalah
rasanya mustahil di dunia ini”
Bentang alam yang ada sangatlah bervariasi, baik itu
sungai, jurang, gunung, dan lain-lain. Sering kali dalam
melakukan pengukuran di lapangan, bentang alam ini
menjadi masalah. Contoh yang paling sederhana adalah
sungai. Jika kita ingin melakukan sebuah pengukuran
yang cukup akurat, akan tetapi area pengukuran kita
melewati sebuah sungai yang cukup besar, tentu saja
melakukan pengukuran akan menjadi masalah.
Dengan menggunakan ilmu geometri sederhana,
kita bisa membuat sebuah perkiraan pengukuran yang
cukup akurat untuk melakukan pengukuran-pengukuran
yang tidak bisa dilakukan secara langsung. Aplikasi
kesebangunan segitiga dalam geometri sangat bermanfaat
dalam situasi seperti ini.
Gambar 1: Rintangan Alam, Sungai
Berikut adalah salah satu metode yang mungkin
digunakan untuk melakukan pengukuran dengan aplikasi
kesebangunan segitiga dalam geometri.
– 80 –
Perhatikan gambar di bawah ini!
Berdasarkan gambar di atas, yang penting untuk
menjadi perhatian ialah semua pengukuran yang bisa
dilakukan yaitu di salah satu sisi sungai saja sehingga kita
tidak perlu melakukan penyeberangan ke sisi sungai yang
lain.
Informasi dari gambar di atas, yaitu
CE || DF;
∠ECG = ∠FDG (sudut-sudut saling sehadap)
CGE
GDF
Jika dimisalkan lebar sungai adalah ± GE maka
GE CE
=
GF DF
– 81 –
CE × GF
DF
…… (1)
Jika hanya menggunakan persamaan (1), kita masih
harus melakukan pengukuran dengan menyeberangi
sungai karena G ada di seberang sungai. Jika ingin
mengukur GF maka harus menyeberangi sungai sehingga
bagaimana mencari cara untuk mengganti GF dengan
sebuah ruas garis yang ada di sisi mula perhitungan.
Maka GF diubah menjadi GF = GE + EF sehingga
GE =
CE × (GE + EF )
DF
(CE × GE ) + (CE × EF )
GE =
DF
(GE × DF ) = (CE × GE ) + (CE × EF )
(GE × DF ) − (CE × GE ) = (CE × EF )
GE × ( DF − CE ) = CE × EF
CE × EF
GE =
DF − CE
GE =
Perhatikan persamaan terakhir di ruas kanan!
Semua variabel yang digunakan adalah semua variabel
yang dapat diukur, tanpa harus menyeberangi sungai.
Kemampuan dasar matematika sangat dibutuhkan untuk
menyelesaikan masalah-masalah, seperti contoh di atas.
Refleksi dan Nilai Hidup
Tanpa kita sadari, kemampuan matematis amat
membantu dalam menyelesaikan masalah sehari-hari.
Kita hanya perlu untuk berpikir lebih kreatif dalam
penyelesaiannya.
– 82 –
Seperti sudah disinggung sebelumnya, hidup tanpa
masalah rasanya mustahil di dunia ini. Jika kita lihat
permasalahan pada bab ini, yang ingin dicari adalah lebar
sungainya. Mencari lebar sungai ibarat permasalahan
hidup yang cukup rumit, mengapa? Untuk mencari lebar
sungai, kita harus melawan arus, tahan dengan dinginnya
air, belum lagi ditambah dengan hewan-hewan yang
berbahaya serta kedalaman sungai. Banyak permasalahan
hidup yang menyerupai hal tersebut. Ada beberapa cara
penyelesaian mengenai masalah tersebut.
Cara pertama
INSTAN, yaitu BERENANG dengan membawa
tali. Bayangkan saja, apa yang akan terjadi jika masalah
tersebut diselesaikan tanpa analisis, dan langsung
berenang. Memang ada kemungkinan berhasil namun
tidak menutup kemungkinan usaha ini gagal, dan
menimbulkan masalah yang lebih besar.
Cara kedua
MENGANALISIS, supaya hasilnya lebih AKURAT,
dan MEMINIMALKAN risiko dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
a. mengidentiikasi masalah-masalah yang ada (arus
sungai, kedalaman sungai, dan hal–hal yang sudah
disebutkan di atas),
b. merumuskan strategi penyelesaian tanpa harus
BERENANG, yaitu dengan membuat MODEL. Dalam
hal ini berarti menggunakan MODEL kesebangunan,
seperti yang sudah dibahas pada awal bab. Dengan
menggunakan MODEL, risiko pada point “a” dapat
diminimalkan,
– 83 –
c.
menyelesaikan MODEL yang sudah dibuat dengan
cerdas.
Semua penyelesaian tentunya dikembalikan kepada
Anda. Hanya saja, sebagai pribadi yang diberikan karunia
akal budi, akan lebih baik jika cara penyelesaian yang
dipilih adalah cara yang kedua.
– 84 –
BAB 18
Bertumbuh di dalam Metode
“Berpikir lebih dalam dan belajar lebih banyak“
Perhatikan soal berikut!
Dalam sebuah kandang besar terdapat dua jenis
hewan, yaitu kambing yang berkaki empat, dan ayam
yang berkaki dua. Jumlah hewan secara keseluruhan
adalah 10 ekor, dan jumlah semua kaki-kakinya adalah
28. Tentukan banyaknya kambing dan ayam yang berada
di dalam kandang tersebut!
Jawab:
Metode 1.
Dimisalkan 10 hewan tersebut merupakan hewan
berkaki 2 dahulu sehingga semua kaki-kakinya dapat
djumlahkan ke dalam kolom berikut.
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
Maka jumlah keseluruhan kaki hewan yaitu 20.
Menurut informasi, jumlah semua kaki ada 28 kaki
maka harus ditambahkan kaki sebanyak 28 – 20 = 8 kaki.
||||
||||
||||
||||
|| || || || || ||
Dari ilustrasi di atas, sudah diperoleh jawaban bahwa
terdapat 4 ekor kambing dan 6 ekor ayam.
Metode 2. (Persamaan Linear Satu Variabel)
Dari informasi di atas, diketahui bahwa banyak ayam
+ kambing = 10. Jika dimisalkan ayam = X, maka kambing
= 10 – X.
Jumlah kaki pada seekor ayam = 2 dan pada seekor
kambing = 4. Dari sini diperoleh model sebagai berikut:
Jumlah kaki ayam + jumlah kaki kambing = 28
2X + 4(10 – X) = 28
– 86 –
2X + 40 – 4X
40 – 2X
40 – 28
12
6
=
=
=
=
=
28
28
2X
2X
X
Jadi banyak ayam = 6 ekor dan banyak kambing = 4
ekor.
Metode 3. (Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)
Jika dimisalkan ayam = x dan kambing = y maka
informasi di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.
• Karena ada total 10 ekor hewan dalam sebuah
kandang maka x + y = 10.
• Karena ada total 28 kaki dalam sebuah kandang maka
2x + 4y = 28.
Dua persamaan di atas membentuk sebuah sistem
persamaan linier dua variabel dengan sebuah himpunan
penyelesaian yang identik.
x + y = 10 | × 2
2x + 4y = 28 | × 1
x+y
x+4
x
x
=
=
=
=
⇒
⇒
2x + 2y
2x + 4y
– 2y
y
=
=
=
=
20
28 –
-8
4
10
10
10 - 4
6
Maka banyaknya hewan dalam sebuah kandang
tersebut yaitu ada 4 ekor kambing dan 6 ekor ayam.
– 87 –
Refleksi dan Nilai Hidup
Dalam sebuah pengerjaan soal matematika, kita diajak
untuk semakin berkembang dalam menyelesaikan sebuah
masalah. Semakin besar dan kompleks masalah maka kita
diajak untuk semakin elegan dalam penyelesaiannya.
Dapat dilihat bahwa metode pertama hanya bisa
digunakan untuk masalah yang sederhana dengan jumlah
yang lebih sedikit. Sementara untuk metode yang kedua
dan ketiga, dapat digunakan untuk masalah dengan
jumlah yang lebih besar. Dari variasi metode ini, secara
tidak sadar kita semakin berkembang dalam analisis
berpikir, serta semakin kaya dalam metode penyelesaian.
Ada banyak cara menyelesaikan masalah. Cara yang paling
eisien biasanya adalah cara yang menuntut kemampuan
berpikir dan kemauan belajar lebih besar. Maukah Anda
berpikir lebih dalam dan belajar lebih banyak, supaya bisa
menyelesaikan masalah-masalah hidup dengan eisien?
– 88 –
BAB 19
Mengubah Desimal
Berulang ke Pecahan
“Human is the leader of technology”
Kita sering menemukan bilangan desimal dalam kehidupan sehari-hari. Ketika sedang melakukan pengukuran,
baik itu massa, panjang, suhu, dan lain-lain, bilangan
desimal lebih sering digunakan. Sering kali perhitungan
dalam bilangan desimal akan lebih menyulitkan karena
melibatkan banyak angka.
Sebagai contoh, misalnya
hasil dari 0,55 × 20 adalah ....
Jawab:
55
× 20 (eliminasi 20 dengan 100)
0,55 × 20 =
100
=
55
5
= 11.
Namun bagaimana jika pertanyaannya menjadi
Hasil dari 0,555555... × 9 adalah ....
Jawab:
Langkah 1 adalah kita harus mengubah 0,555555...
menjadi pecahan biasa.
Kita misalkan 0,555555... = x. Kemudian ikuti proses
berikut.
Karena angka yang berulang hanya 1 angka di
belakang koma (angka 5) maka kalikan x dengan 10
menjadi 10 x = 5