Persamaan dengan dengan 3 3 Variabel Variabel Tidak Tidak Diketahui Diketahui

  

Persamaan Linier Simultan

  

Pertemuan ke-5

Persamaan Linier Simultan

Metode Metode Eliminasi Eliminasi Gauss Gauss (Gaussian Elimination) (Gaussian Elimination)

  Metode Metode Eliminasi Eliminasi Gaus Gaus

• •• Suatu Suatu metode metode untuk untuk menyelesaikan menyelesaikan persamaan persamaan

  linier linier simultan simultan dari dari [A][X]=[C] [A][X]=[C]
• Dua Dua langkah langkah penyelesaian penyelesaian::
• Dua Dua langkah langkah penyelesaian penyelesaian::
• – – Eliminasi Eliminasi maju maju (Forward Elimination) (Forward Elimination)
• – – Substitusi Substitusi balik balik (Back Substitution) (Back Substitution)

• •• Hasil Hasil akhir akhir dari dari eliminasi eliminasi maju maju adalah adalah mengubah mengubah

  koefisien koefisien matriks matriks menjadi menjadi matriks matriks segitiga segitiga atas atas..

₁

  − =     

  5

  

1

  4

  

1

8 .

  

56 .

  96 106 8 .

7 .

  21 .

  735 .

       − −

     

       

     

  Eliminasi Maju Eliminasi Maju

       

  =                  

  x x

  8 1 177.2 144 12 1 279.2

  64

  =       ² ₃

             

  x x

  8 1 177.2

  64

  5 1 106.8

  25

  25 _{3 2 1} x x x

Eliminasi Eliminasi Maju Maju

  1

  1

  !" #

  . . . .

  1 . .

  1

  2

  2

  3

  

3

  

= + + + +

...

  

= + + + +

n n nn n n n

b x a x a x a x a

  21 ... b x a x a x a x a n n

  22

  3

  2

  23

  3

  2

  2

  = + + + + ... b x a x a x a x a

= + + + +

  11 ... b x a x a x a x a n n

  1

  12

  2

  13

  1 Eliminasi Maju Eliminasi Maju: 3 : 3 Persamaan Persamaan dengan 3 dengan

• = +

  a x a x a x b !" 11 1

  12 2 13 3

  1

• = = + +

  a x a x a x a x a x a x b b " " 21 1

  22 2 23 3

  2 = + + a x a x a x b

  " 31 1

  32 2 33 3

  3 %

  Eliminasi Eliminasi Maju Maju: : Langkah 1 Langkah 1--a a

• Bagi Bagi persamaan persamaan (1) (1) dengan dengan a a dan dikalikan dan dikalikan

  11

  11 dengan dengan a a

  21     a a _{21 21}

  21

• ( = )

  a x a x a x b     ^{11 1}

¹²

^{2 13 3 1}
• a

   ^{11 } a a a

  21

  21

  21 $" a x a x a x + = b +

  21 1

  12 2 13 3

  1 a a a

  11

  11

  11

• Kurangkan Kurangkan persamaan persamaan (4) (4) dengan dengan persamaan persamaan (2): (2):
• =
• =
• =

  12 2 13 3

  1

  11

  11

  11 a x a x a x b a a a

  $" %"

• =

• •• Ulangi Ulangi seperti seperti Langkah Langkah 1 1 untuk untuk persamaan persamaan (3), (3),

  dengan dengan membagi membagi persamaan persamaan (1) (1) dengan dengan a a
• =    

  11

  11 dan dan dikalikan dikalikan dengan dengan a a

  31

  31 ::

  Eliminasi Maju: Eliminasi Maju: Langkah Langkah 1 1--c c

  31 a

      ^{31 11 1}

¹²

^{2 13 3 1} ₁₁ ( ) a a x a x a x b a

   

  13

  31

  12 31 1

  31

  2

  31

  3

  1

  11

  11

  11 a a a

a x a x a x b

a a a

  21 1

  2

a x a x b

  22

2 23 3

  21

  Eliminasi Maju: Eliminasi Maju: Langkah Langkah 1 1--b b

  21

  21

  21 a a a a x a x a x b

  21 1

  22 2 23 3

  2 a x a x a x b

  " $" '

  21

  21

  22

  

' ' '

  12

  2

  23

  13

  3

  2

  1

  11

  11

  11 a a a

a a x a a x b b

a a a

     

− + − = −

       

  &"

• =
Eliminasi Maju: Eliminasi Maju: Langkah Langkah 1 1--d d

• •• Ulangi Ulangi seperti seperti Langkah Langkah 2 2 untuk untuk persamaan persamaan (3), (3),

  persamaan persamaan (6) (6) dengan dengan persamaan persamaan (3): (3): ::
• =

  

a x a x a x b

"

  31 1

  32 2 33 3

  3 a a a a b b

  12

  12

  13

  13

  1

  1

• =

  a x a x a x a 31 1

  31

  2

  

31

  3 31 &" a a a

  11

  11

  11

     

a a a

  12

  13

  31 − − = −

a a x a a x b b

• 32

  

     

  31

  2

  33

  31

  3

  3

  1 a a a

  

     

  11

  11

  11 ' ' '

• =

  a x a x b '"

  32

2 33 3

  3 ₎ Hasil Hasil Langkah 1 Langkah

  

1

• Langkah Langkah 1 1 menghasilkan menghasilkan persamaan persamaan berikut berikut ::

• + =

  +

  a x a x a x b !" 11 1

  12 2 13 3

  1

' ' '

• %" %"

  = = a x a x

• a x a x b b

  22

  22

  2

  2

  23

  23

  3

  3

  2

' ' '

  2

• =

  a x a x b '"

  32

  2

  33

  3

  3

• Masih Masih terdapat terdapat 2 2 variabel variabel tidak tidak diketahui diketahui pada pada

  persamaan (5) persamaan (5) dan dan (7), (7), sehingga sehingga salah salah satunya satunya

  harus dieliminasi harus dieliminasi..

  Eliminasi Maju Eliminasi Maju

• Untuk Untuk sistem persamaan, , maka maka Langkah Langkah 1a 1a sistem n n persamaan hingga hingga 1d 1d akan akan menghasilkan menghasilkan ::

  a x a x a x ... a x = + b + + + _{11 1 12 ' ' ' ' 2 13 3 1 n n 1} a x a x ... a x = b + + + _{22 ' ' ' ' 2 23 3 2 n n 2} a x a x + + ... a x = b + _{32 . . . . . . . . . 2 33 3 3 n n 3}

  ' ' ' '

• ... =

  a x a x _{n n nn n n 2 2 3}

₃

a x b _!! Eliminasi Eliminasi Maju Maju: : Langkah 2 Langkah 2--a a
• Eliminasi Eliminasi x x pada persamaan pada persamaan (5) (5) dengan dengan cara cara

  2 membaginya dengan membaginya dengan a’ a’ dan mengalikannya dan mengalikannya

  2

  22 dengan dengan a’ a’ ::

  22

  32 '

  32

      a a

  ' ' '

  32 = + a x a x b

   

  22 2 23 3

  2 ( )

  ' a

   22  ' ' a a

  

' ' '

  

23

  32

a x a x + = b

  ("

  32

  2

  32

  3

  2 ' ' a a

  

22

  22

• •• Kurangkan Kurangkan persamaan persamaan (8) (8) pada pada persamaan persamaan (7): (7):

• =
• =
• =

  

2

' ' '

  2 ' '

  22

  22 a a

a a x b b

a a

  

   

− = −

   

   

  '' '' ''

  32

2 33 3

  3

a x a x b

  )"

  Hasil Hasil Langkah Langkah 2

  22

2 23 3

  

3

  2

a x a x b

  %" 11 1

  12 2 13 3

  1 a x a x a x b

  !"

  '' '' 33 3

  3 a x b =

  )"

  22

2 23 3

  2

a x a x b

  3

  32

  %"

  33

  Eliminasi Eliminasi Maju Maju: : Langkah Langkah 2 2--b b ' '

' ' '

  

23

  32 a a a x a x b

  (" ' ' '

  32

2 33 3

  3

a x a x b

  '" !

  

' ' '

  

23

  32

  32

  2

  32

  3

  2 ' '

  

22

  22 a x a x b a a

  (" ' '

' ' ' '

  23

  32

• =
• Langkah Langkah 2 2 menghasilkan menghasilkan persamaan persamaan berikut berikut ::

• + + =

• =
• =
• Persamaan Persamaan baru baru tersebut tersebut memiliki memiliki elemen elemen matriks matriks berupa berupa matriks matriks segitiga segitiga atas atas..

  Eliminasi Maju Eliminasi Maju

• Untuk Untuk sistem persamaan, , maka maka Langkah Langkah 1

  1 sistem n n persamaan akan menghasilkan akan menghasilkan ::

• ... =

  a x

• ₁₁
₁

a x a x a x

_{12 2 13}

₃

₁ b _{1 ' ' ' '} n
• ... =

  a x a x a x b _{22 2 23 " " "}

₃

_{2 n n 2} ... + = _{. . . . . .}

  a ₃₃ x a x b

₃

_{3 n n 3} " " " ...
• _{. . .}
• =

  a x a x b _{n 3 3 nn n n !%} Eliminasi Maju Eliminasi Maju

  !" # , + a x a x + a x + ... a x = b + + _{11 1 12 ' ' ' ' 2 13 3 1 n n 1}

  = + + a x a x ... a x b

• ₂₂
_{22 2 2 23 23 3 3 2 n n n n 2 2 2} " " &
• =

  a x ... a x b

  33

  3 _{. . . . . .} 3 n n

  3 ₋ ( n 1 )

  ( − ) n

  1 = a x b nn n n

Bentuk Bentuk Matriks Matriks hasil hasil Eliminasi Eliminasi Maju Maju

  33 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯

      

  − ) (n- n n

  ) (n nn n b b x x a a a

  1

  3

  3

  1

  3

  !'

       

  Substitusi Substitusi Balik Balik: : Langkah Langkah 3 3--a a ''

  3

b

x =

  !*"

  3 ''

  33 x

a

  = !*"

  ) 1 ( ) 1 (

  − − = n nn n n n a b x

     

  =     

     

  2

     

  =     

     

     

    

  " ' " " ' n ' ' n b b b x x x a a a a a a a a a

  2

  1

  1

     

  2

  23

  22

  1

  13

  12

  11 ⋯ ⋯ ⋯

       

• Dari Dari sistem sistem persamaan persamaan hasil hasil Langkah Langkah 2, 2, hitung hitung variabel variabel yang yang tidak tidak diketahui diketahui dari dari persamaan persamaan yang yang terakhir terakhir yaitu yaitu : :
• Atau Atau untuk untuk n n persamaan persamaan::

  Substitusi Balik Substitusi Balik: : Langkah Langkah 3 3--b b

• Hitung Hitung variabel variabel tidak tidak diketahui diketahui lainnya lainnya dari dari persamaan persamaan (5) (5) dan dan (1), (1), yaitu yaitu : :

  

' '

−

b a x

  2 23 3 = = x x

  !!" !!"

  2 '

a

  22 − −

b a x a x

  1

  12

  2

  13

  3 = x

  ! "

  1

a

  11 !)

  Substitusi Balik Substitusi Balik − ( n

  1 ) b n

  = x n

  − ( n 1 ) a nn i − 1 i − 1 i − 1 i −

  1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... b − a x − a x − − a x i + + + i i + , 1 i 1 i i , 2 i 2 i n , n x x = = i i −

  1 ( ) a ii

• . !, /, !

  n i − 1 i −

  1

  ( ) ( )

  − ∑ b a x i ij j j i = +

  1 = x

  . !, /, ! - i i −

  1

  ( )

  a ii

  Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss Contoh Penggunaan Contoh Penggunaan

  ! Contoh 1 Contoh

  1 0 1

  2

  3 Tabel 1 Data Kecepatan vs. waktu.

  ν ν ν ν % % !*& ( !*& ( ( !''

  ! ')

  1

  2

  3 = , 5 ≤ ≤ t + 12. + v t a t a t a

  ( )

  1

  2

  3 Tentukan kecepatan pada saat t = 6 detik! Contoh Contoh 1 Cont.

  1 Cont.

  25

  1

  8

  64

  1

  5

  25 _{3 2 1} a a a Contoh Contoh 1 Cont.

  1 Cont.

  1

  5 1 106 8

  177 2 . 106 8 .

  25 . 5 1 106 8 a .                

  5 !3

  1 ₂

  3

  64

  8 1 177 2

  64 8 1 177 2 144 12 1 279 2 144 12 1 279 2 a . . a . .

                =

  ⇒                

  1 12 144

       279 2 .

  ( ) 12. t 5 , a t a t a t v

     

  ≤ ≤ + + = _{3 2}

²

_{1 Sistem persamaan}   

     =

     

       

    _{1 2 1} ² ₁

  1

  1 v v

a

a

t t t t

₁

  3    

  =     

     

     

       ^{3 2 3 2 3 2 2}

  1

  1 v v

a

a

t t t t

₃

₂

  4 !,

  3      

     

  =











       

          Jumlah Jumlah Langkah Langkah Eliminasi Eliminasi Maju Maju: (n : (n--1) = (3 1) = (3--1) = 2 1) = 2 Eliminasi Eliminasi Maju Maju

  % 5 ! % &$,

    

     

  .

  12 1 279 2 .

  144

  5 1 106 8 4.8 1.56 96.208

  25

  6

  − − −  

    −

  25 5 1 106 8

  4.8 1.56 96.208    

      _. 64 8 1 177.2 64 12.8 2.56 273.408

  × =     64 8 1 177.2

  25    

  64 25 5 1 106.8 64 12.8 2.56 273.408

           

  .

  . .

  64 8 1 177 2 144 12 1 279 2

  − − −      

   

  25 5 1 106 8 .

   

  64 8 1 177 2 .  

  Langkah 1 Langkah 1

    144 12 1 279 2 .  

  

5 ! % !$$,

  3

  144    

  × = 25 5 1 106.8 144 28.8 5.76 615.168

     

  25     144 12 1 279.2 144 12 1 279.2 _.    

    144 22.8 5.76 615.168

  − 

    − 16.8 − 4.76 − 335.968

     

  25

  5 1 106 8 .  

  6

  − 4.8 − 1.56 − 96.208    

  − 16.8 − 4.76 335.968 −   _'

   

  25

  5 1 106 8 .  

  − 4.8 − 1.56 − 96.208  

  Langkah 2 Langkah 2

    − 16.8 − 4.76 335.968 −

   

  5 $ ( !& (,

  3

   − 16.8     

  − 4.8 − 1.56 − 96.208 × = − 16.8 − 5.46 − 336.728  

      −

  4.8  

      − −

  16.8 16.8 − −

  4.76 4.76 − − 335.968 335.968    

   

  16.8 5.46 336.728 − − − −

     

  0.7 0.76    

  25

  5 1 106 8 .  

  6

  − 4.8 − 1.56 96.208 −    

  0.7

  0.76   Substitusi Balik Substitusi Substitusi Balik Substitusi Balik Balik )

  Substitusi Balik Substitusi Balik

         

  25

  5 1 106 8 .

  25

  5 1 a 106 8 . ₁  

        ⇒

  − 4.8 − 1.56 96.208 − − 4.8 − 1.56 a = − 96.208 ₂  

         

       

  0.7

  0.76 0.7 a

  0.76       ₃

   

  7 = .

  76 a

• .

  3 .

  76 = a

  3 .

  7 = 1 . 08571 a

  3 Back Substitution (cont.) Back Substitution (cont.) 

  25

  5 1     106 . 8  a ₁

  

     

− − = − 4 .

  8 1 .

56 a

₂ 96 . 208

     

     

. 7 a .

  76    ^{3   }

  − 4 . 8 − 1 . 56 = − 96 . 208 a a _{2 3}

  96 . 208 1 .

  56

• −

  a ₃ = a ₂

  − 4 .

  8

• − 96.208 1.56 × 1.08571 =

  a ₂ −

  4.8 = 19. 6905 a _{2 !}

  Back Substitution (cont.) Back Substitution (cont.)      

  25

  5 1 a 106 . ₁

  8       − − = − 4 .

  8

1 .

56 a ₂ 96 .

  2            

.

7 a .

  76    ^{3   }

• ! !

  25 + + 5 = 106 .

  8 a a _{1 2} a ₃ 106 . 8 − 5 − a a _{2 3}

  = a ₁

  25 106 . 8 − 5 × 19 . 6905 − 1 . 08571 = 25

= . 290472

  

Hasil Eliminasi Hasil Eliminasi Gauss C Gauss Co ontoh ntoh 1

  1 

  25

  5 1     106 8  a .

  1

     

  64

  8 1 177

  2 = a .

  2

     

     

  144

  12 1 279

  2 a .      

  3 3      

   . 290472 

a

  1

   

=

  19 . 6905 a

  2

   

   

  1 . 08571 a

   3    Contoh Contoh 1 C 1 Co ont. nt.

     . 290472  a

  6 ¹    

  1

  3 = 19 . 6905 a ₂

          1 . 08571 a

   ^{3   } Persamaan kecepatan dituliskan menjadi : Persamaan kecepatan dituliskan menjadi :

  2 = + + v ( ) t a t a t a

  1

  2

  3

  2 . + + = 290472 19 . 6905 1 . 08571 , 5 ≤ ≤

  12 t t t

  Untuk t = 6 s, maka : ₂ 6 = . 290472

  6

19 . 6905

  6 + + v 1 . 08571

  ( ) ( ) ( ) = 129 . 686 m/s .