KEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 42 – 51

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

KEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT

PADA PEMETAAN TIPE-

  NONSPREADING DAN

NONEXPANSIVE

DEBI OKTIA HARYENI

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

  

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstract.

debby hy@ymail.com

We obtained some fundamental properties for k-strictly pseudononspread-

ing mappings in Hilbert space. Furthermore, we studied the approximation of common

fixed points of k-strictly pseudononspreading mappings and nonexpansive mappings in

a Hilbert space using the iterative scheme.

Kata Kunci : Fixed point, Hilbert space, Banach Space, nonexpansive mappings, non-

spreading mappings.

  1. Pendahuluan Misalkan X adalah suatu himpunan tak kosong dan T : X → X. Titik x ∈ X dinamakan suatu titik tetap dari T jika berlaku T (x) = x. Himpunan semua titik tetap dari T dinotasikan dengan F (T ).

  Pada ruang Hilbert dapat didefinisikan beberapa jenis pemetaan, seperti pemetaan nonexpansive dan pemetaan nonspreading. Titik tetap dari pemetaan tertentu pada ruang Hilbert tidak mudah untuk ditentukan secara langsung. Oleh karena itu, diperlukan prosedur iterasi sehingga titik tetap sesungguhnya dapat dihampiri. Nilai hampiran ini dinamakan aproksimasi titik tetap.

  Dalam tulisan ini penulis akan mengkaji kembali paper [5] yang membahas ten- tang aproksimasi titik tetap dari pemetaan k pseudononspreading sejati S : C → C dan pemetaan nonexpansive T : C → C dalam ruang Hilbert dengan menggunakan iterasi sebagai berikut: x ^{1 ∈ C,}

  (1.1) x x x _{n+1 = (1 − α n )(β n n + (1 − β n )Sx n ) + α n (γ n n + (1 − γ n )T x n ).}

  Selanjutnya iterasi di atas akan dipandang sebagai suatu barisan (x n ) di C.

  1.1. Norm dan Hasil Kali Dalam Definisi 1.1. [4] Suatu fungsi k·k dari suatu ruang vektor X ke R dikatakan suatu

  norm jika memenuhi kondisi berikut:

  (N 1) kxk = 0 jika dan hanya jika x = 0,

  Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert

  43

  (N 2) kαxk = |α|kxk, untuk setiap x ∈ X dan α ∈ R, (N 3) kx + yk ≤ kxk + kyk, untuk setiap x, y ∈ X.

  Pasangan (X, k.k) dinamakan ruang norm. Definisi 1.2. [4] Misalkan X adalah suatu ruang vektor kompleks. Suatu fungsi

  h., .i : X × X → C dinamakan hasil kali dalam di X jika untuk sebarang x, y, z ∈ X

  dan α, β ∈ C, berlaku:

  (H1) hx, xi > 0, dan hx, xi = 0 jika dan hanya jika x = 0, (H2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi, (H3) hαx, yi = αhx, yi, (H4) hx, yi = hy, xi (tanda bar menunjukkan konjugat kompleks).

  Pasangan (X, h., .i) dinamakan ruang hasil kali dalam (ruang pre-Hilbert). Definisi 1.3. [4] Suatu barisan dari vektor-vektor (x n ) dalam ruang norm X

  

dikatakan Cauchy jika lim m,n→∞ kx m − x n k = 0, yaitu untuk setiap ǫ > 0, ada

suatu M (ǫ) ∈ N sedemikian sehingga kx m − x n k < ǫ, untuk setiap m, n ≥ M (ǫ).

  Suatu ruang hasil kali dalam lengkap, yakni bilamana memenuhi definisi ru- ang hasil kali dalam dan setiap barisan Cauchy di X konvergen ke suatu elemen di X, dinamakan ruang Hilbert, sedangkan ruang bernorm lengkap dinamakan dinamakan ruang Banach.

  1.2. Pemetaan nonexpansive dan nonspreading Misalkan H adalah suatu ruang Hilbert riil dan C adalah subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari H. Pemetaan T : C → C dikatakan nonexpansive apabila memenuhi kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C. (1.2) Pemetaan T : C → C dikatakan nonspreading jika memenuhi _{2 2 2}

  2kT x − T yk ≤ kT x − yk + kx − T yk , ∀x, y ∈ C. (1.3) Berdasarkan terminologi Browdwer-Petryshyn [5], T : C → H dikatakan k pseudononspreading _{2 2} sejati jika ada k ∈ [0, 1), sedemikian sehingga ₂

  , kT x − T yk ≤ kx − yk + 2hx − T x, y − T yi + kkx − T x − (y − T y)k ∀x, y ∈ C.

  (1.4) Dengan demikian jelas bahwa setiap pemetaan nonspreading merupakan pemetaan k

  pseudononspreading sejati.

  Definisi 1.4. [3] Misalkan E adalah suatu ruang Banach riil. Suatu pemetaan T

  dengan domain D(T ) dan range R(T ) di E disebut demiclosed di suatu titik

  p ∈ D(T ) jika setiap (x _{n ) yang merupakan barisan di D(T ) konvergen lemah ke} suatu titik x ∈ D(T ) dan (T x n ) konvergen kuat ke p, maka T x = p. Lema 1.5. [6] Misalkan H suatu ruang Hilbert riil, dengan demikian untuk setiap x, y, z, w ∈ H berlaku hubungan berikut

44 Debi Oktia Haryeni

  _{2 2}

₂

₂

  (1) ktx + (1 − t)yk = tkxk + (1 − t)kyk − t(1 − t)kx − yk , dengan t ∈ [0, 1], _{2 2 2 2} (2) 2hx − y, z − wi = kx − wk + ky − zk − kx − zk − ky − wk .

  Lema 1.6. [5] Misalkan C suatu subhimpunan konveks tertutup dari H. Pemetaan S

  : C → C adalah pemetaan k pseudononspreading sejati jika dan hanya jika untuk

  setiap x, y ∈ C, berlaku _{2 2 2 2} ≤ kSx − yk .

  2kSx − Syk + kx − Syk + kk(1 − S)x − (1 − S)yk (1.5) Lema 1.7. [5] Misalkan C adalah suatu subhimpunan konveks tertutup dan tak

  

kosong dari H, S : C → C suatu pemetaan k pseudononspreading sejati, dan A =

  I − S, sehingga untuk setiap x, y ∈ C diperoleh _{2 2 2}

  (2 − k)kAx − Ayk ≤ 2hx − y, Ax − Ayi + kAxk + kAyk . (1.6) Lema 1.8. [5] Misalkan C subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari

  

suatu ruang Hilbert H dan S : C → C adalah suatu pemetaan k pseudononspreading

sejati, maka I − S demiclosed di 0.

  2. Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert pada Pemetaan Tipe-nonspreading dan nonexpansive

  2.1. Teorema Utama Teorema 2.1. [5] Misalkan C adalah subhimpunan konveks tertutup tak kosong

  

dari suatu ruang Hilbert riil H, S : C → C adalah suatu pemetaan k pseudonon-

spreading sejati, dan T : C → C adalah suatu pemetaan nonexpansive sedemikian

sehingga F (S) ∩ F (T ) 6= ∅. Misalkan (α ), (β ), (γ ) adalah barisan-barisan dalam

_{n n n}

selang [0, 1] sedemikian sehingga β ∈ (k, 1]. Definisi barisan (x ) adalah sebagai

_{n n} berikut:

  x ^{1 ∈ C,} (2.1) x x x _{n+1 = (1 − α n )(β n n + (1 − β n )Sx n ) + α n (γ n n + (1 − γ n )T x n ),} untuk setiap n ∈ N.

  P ∞ α − γ α

  (T 1) Jika lim inf n→∞ n (β n n ) > 0, n (1 − γ n ) < ∞, dan 1 + k < _n=1 (2 − α )β + α γ , maka (x ) konvergen lemah ke q ∈ F (S). _{n n n n n} P ∞

  (T 2) Jika β > γ , (1 − β ) < ∞, 2β − 1 − α (β − γ ) > 0, dan _{n n n n n n n n=1} lim inf α (β − γ )(2β − 1 − α (β − γ )) > 0, maka (x ) konvergen _{n→∞ n n n n n n n n} lemah ke q ∈ F (T ).

  (T 3) Jika lim inf n→∞ α n > 0, lim inf n→∞ (1 − α n ) > 0, lim inf n→∞ (1 − β n ) > 0,

  dan lim inf n→∞ γ n (1 − γ n ) > 0, maka (x n ) konvergen lemah ke q ∈ F (S) ∩ F (T ).

  I I Bukti. Misalkan U n = β n + (1 − β n )S dan V n = γ n + (1 − γ n )T . Pertama- tama akan ditunjukkan bahwa barisan (x n ) terbatas. Berdasarkan Lema 1.5(1) dan karena S adalah suatu pemetaan k pseudononspreading sejati, maka untuk setiap

  Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert

  45

  x, y ∈ C diperoleh _{2 2} x y kU n − U n k = kβ n (x − y) + (1 − β n )(Sx − Sy)k _{2 2}

  ≤ β n kx − yk + (1 − β n )(kx − yk + 2hx − Sx, y − Syi _{2 2}

• kkx − Sx − (y − Sy)k ) − β n (1 − β n )kx − Sx − (y − Sy)k
₂ ≤ kx − yk + 2(1 − β n )hx − Sx, y − Syi.

  Karena U = β _{n n n n n n} I + (1 − β )S maka (1 − β )Sy = U y − β y untuk setiap y ∈ C, sehingga diperoleh _{2 2} x y y kU n − U n k ≤ kx − yk + 2hx − Sx, y − U n i. (2.2)

  Misalkan p ∈ F (S) ∩ F (T ), dengan demikian p = Sp sehingga U p p _{n = β n + (1 − β n )Sp = p. (2.3)}

  Dari persamaan (2.2) dan persamaan (2.3), diperoleh _{2 2 2} kU x − pk x − U p k ≤ kx − pk . _{n n = kU n n n n} Karena T merupakan pemetaan nonexpansive dan F (T ) 6= ∅, maka untuk setiap p

  ∈ F (S) ∩ F (T ) diperoleh kV x − pk = kγ x + (1 − γ )T x − pk _{n n n n n n} ≤ kγ (x − p)k + k(1 − γ )(T x − p)k _{n n n n} ≤ kx − pk. (2.4) _n

  Dari persamaan (2.2) – persamaan (2.4), untuk setiap n ∈ N diperoleh _{2 2} kx n+1 − pk = k(1 − α n )U n x n + α n ₂ V n x n − pk ₂ ≤ (1 − α n )kU n x n − pk + α n kV n x n − pk ₂ .

  ≤ kx n − pk (2.5) − pk) bukan barisan naik, mengakibatkan lim kx − pk

  Dengan demikian (kx n ^{n→∞ n} ada dan karena itu (x n ) terbatas. Misalkan _n→∞ lim kx n − pk = c. (2.6) Untuk membuktikan (T 1), misalkan z = (1 − α )U x + α (γ x + (1 − γ )Sx ), (2.7) _{n+1 n n n n n n n n} dan A = I − S, maka kx − z k = α kγ x + (1 − γ )T x − γ x − (1 − γ )Sx k _{n+1 n+1 n n n n n n n n n}

  = α (1 − γ )kT x − Sx k. (2.8) _{n n n n} P ∞ P ∞

  α α Karena n (1 − γ n ) < ∞ maka dari [2,7], n (1 − γ n ) konvergen dan _{n=1 n=1}

  α lim n→∞ n (1 − γ n ) = 0. Oleh karena itu lim n→∞ kx n − z n k = 0 dan diperoleh _{n→∞ n→∞} lim kz n − pk = lim kx n − pk = c. (2.9)

  I Karena U n = β n + (1 − β n )S, diperoleh U x − Sx Ax x − x − (1 − β . _{n n n = β n n dan U n n n n )Ax n}

46 Debi Oktia Haryeni

  Dari Lema 1.7, Lema 1.8, Ap = 0, dan persamaan di atas, maka diperoleh _{2 2} x x kz n+1 − pk = k(1 − α n )U n n + α n (γ n n + (1 − γ n )Sx n ) − pk _{2 2} .

  ≤ kx n − pk − α n (β n − γ n ){(1 − k) − 2(1 − β n ) − α n (β n − γ n )}kAx n k Oleh karena itu, _{2 2 2} α − γ − γ k ≤ kx − pk − kz − pk . _{n (β n n ){(1 − k) − 2(1 − β n ) − α n (β n n )}kAx n n n+1}

  (2.10) Karena lim inf α (β − γ ) > 0 dan (1 − k − 2(1 − β ) − α (β − γ )) > 0, _{n→∞ n n n n n n n} akibatnya _{n→∞ n→∞} lim kx n − Sx n k = lim kAx n k = 0. (2.11)

  Karena (x n ) barisan terbatas, maka ada suatu subbarisan (x n i ) ⊂ (x n ) sedemikian sehingga (x n i ) konvergen lemah ke q. Dari Lema 1.8 diperoleh q ∈ F (S). Untuk menunjukkan kesimpulan perlu ditunjukkan bahwa untuk subbarisan lain (x n j ) ⊂ (x ), sedemikian sehingga jika (x ) konvergen lemah ke v ∈ F (S), maka q = v. _{n n j} Sebelum membuktikan ini terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa untuk sebarang z ∈ F (S), lim kx − zk ada. Perhatikan bahwa _{n→∞ n}

  U z z _{n = β n + (1 − β n )Sz = z, (2.12)} dan untuk setiap z ∈ F (S) diperoleh _{2 2 2} kU x − zk x − U z k ≤ kx − zk . _{n n = kU n n n n (2.13)} Dengan demikian kz n+1 − zk = k(1 − α n )U n x n + α n (γ n x n + (1 − γ n )Sx n ) − zk

  ≤ kz n − zk + kx n − z n k + α n (1 − γ n )kSx n − zk. (2.14) P ∞

  α kx −z k = 0, dan dari [3] lim kz −zk Karena n (1−γ n ) < ∞, lim n→∞ n n n→∞ n _n=1 kx − zk juga ada. Misalkan q 6= v, dari [3] diperoleh ada, mengakibatkan lim n→∞ n _{n→∞ i→∞ i→∞} lim kx n − qk = lim kx n − qk < lim kx n − vk _{i i} kx − vk = lim kx − vk

  = lim n n j _{n→∞ j→∞} < _j→∞ lim kx n j − qk = lim kx n − qk, (2.15) _n→∞ yang merupakan suatu kontradiksi. Oleh karena itu mestilah q = v dan (x n ) kon- vergen lemah ke q ∈ F (S).

  Untuk membuktikan (T 2), misalkan z x _{n+1 = (1 − α n )(β n n + (1 − β n )T x n ) + α n n n (2.16)} V x , maka diperoleh kx n+1 − z n+1 k ≤ (1 − β n )kSx n − T x n k. (2.17)

  P ∞ Karena (1 − β n ) < ∞, maka lim n→∞ (1 − β n ) = 0. Oleh karena itu _n=1 kx − z k = 0. Karena (x lim n→∞ n+1 n+1 n ) adalah barisan terbatas, maka (z n ) juga

  Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert

  47

  terbatas. Misalkan B = I − T dan untuk setiap p ∈ F (S) ∩ F (T ), maka Bp = 0 sehingga _{2 2} kz − pk x _{n+1 = k(1 − α n )(β n n + (1 − β n )T x n ) + α n n n} V x − pk Karena T pemetaan nonexpansive, T p = p, dan −Bx n = T x n − x n , dengan demikian diperoleh _{2 2} kz n+1 − pk ≤ kx n − pk − 2α n (β n − γ n )hx n − p, Bx n − Bpi + 2α n (1 − β n ) _{2 2 2} , Bx .

  (β n − γ n )hBx n n i + α (β n − γ n ) kBx n k _n dari [5] dengan B = I − T adalah 1/2 invers monoton kuat, maka diperoleh _{2 2 2} kz n+1 − pk ≤ kx n − pk − α n (β n − γ n )kBx n − Bpk + 2α n (1 − β n ) _{2 2 2 2} (β n − γ n )kBx n k + α (β n − γ n ) kBx n k _{2 n 2} . = kx n − pk − α n (β n − γ n ){1 − 2(1 − β n ) − α n (β n − γ n )}kBx n k

  (2.18) Dengan demikian untuk p ∈ F (S) ∩ F (T ), berlaku _{2 2 2}

  α _{n (β n − γ n ){1 − 2(1 − β n ) − α n (β n − γ n )}kBx n k ≤ kx n − pk − kz n+1 − pk (2.19)} . Dengan menjumlahkan persamaan (2.19) dari n = 1 hingga N , diperoleh _{N 2}

  α − γ − 1 − α − γ k Σ n (β n n )(2β n n (β n n ))kBx n _{n=1 N 2 2}

  ≤ Σ {kx n − pk − kz n+1 − pk } _{n=1 1 2 N −1 2 2} ≤ kx − pk + Σ {kx n+1 − pk − kz n+1 − pk } _{1 2 N −1 n=1}

  ≤ kx − pk + Σ (kx n+1 − pk + kz n+1 − pk)kx n+1 − z n+1 k _{1 2 N −1 n=1} ≤ kx − pk + Σ (1 − β n )(kx n+1 − pk + kz n+1 − pk)kSx n − T x n k _{1 2 N −1 n=1}

  ≤ kx − pk + M Σ (1 − β n ), (2.20) _n=1 {(kx − pk + kz − pk)kSx − T x k}. dengan M = sup n+1 n+1 n n _{n∈N ∞} Misalkan N → ∞, dan karena Σ (1 − β ) < ∞, diperoleh _{∞ n=1 n 2 2 ∞}

  α ¹ Σ n (β n −γ n )(2β n −1−α n (β n −γ n ))kBx n k ≤ kx −pk +M Σ (1−β n ) < ∞. _{n=1 n=1} (2.21)

  > Dari [7], jika α n 0, (β n − γ n ) > 0, dan 2β n − 1 − α n (β n − γ n ) > 0, maka _∞

  α α lim n→∞ n (β n − γ n )(2β n − 1 − α n (β n − γ n )) > 0 dan Σ n (β n − γ n )(2β n − 1 − _n=1

  α _{n (β n − γ n )) = ∞. Oleh karena itu diperoleh} lim inf kx − T x k = lim inf kBx k = 0. (2.22) _{n→∞ n→∞ n n n} Karena T merupakan pemetaan nonexpansive, dari [7] diperoleh kT x n+1 − x n+1 k = kT x n+1 − (1 − α n )U n x n − α n

  V n x n k ≤ kT x − x k + (1 − β )(kSx − x k + kT x − Sx k) (2.23) _{n n n n n n n}

  P ∞ Karena (1 − β n ) < ∞, dari [3] maka limit dari (kT x n − x n k) ada, dan dari _n=1 persamaan (2.22) diperoleh kT x − x k = 0. lim n n (2.24)

48 Debi Oktia Haryeni

  Karena (x n ) adalah barisan terbatas, maka ada suatu subbarisan (x n ) ⊂ (x n ) _i sedemikian sehingga (x n ) konvergen lemah ke q. Suatu pemetaan nonexpansive _i T merupakan demiclosed dengan q ∈ F (T ). Berdasarkan bukti bagian (T 1), (x n ) konvergen lemah ke q ∈ F (T ).

  (T 3). Dari persamaan (2.5) dan persamaan (2.6), untuk sebarang p ∈ F (S) ∩ F

  (T ) diperoleh _{2 2 2 2} 0 ≤ kx n − pk − kx n+1 − pk → c − c = 0. (2.25) Karena n → ∞, pertama akan ditunjukkan bahwa (x n ) konvergen lemah untuk beberapa titik di F (S). Dari persamaan (2.2) – persamaan (2.4) diperoleh _{2 2 2} x kx n+1 − pk ≤ (1 − α n )kU n n − pk + α n kx n − pk ₂ .

  ≤ kx n − pk (2.26) Oleh karena itu diperoleh _{2 2 2} x

  0 ≤ kx n − pk − (1 − α n )kU n n − pk − α n kx n − pk _{2 2} x = (1 − α n )(kx n − pk − kβ n n + (1 − β n )Sx n − pk ) _{2 2} ≤ kx − pk − kx − pk . _{n n+1 (2.27)}

  Karena lim inf n→∞ (1 − α n ) > 0, dari persamaan (2.25) dan persamaan (2.27) diperoleh _{2 2} − pk − kβ x − pk _n→∞ lim (kx n n n + (1 − β n )Sx n ) = 0. (2.28)

  Dari Lema 1.5(1) diperoleh _{2 2} kβ n x n + (1 − β n )Sx n − pk = kβ n (x n − p) + (1 − β n )(Sx n − p)k _{2 2 2} = β n kx n − pk + (1 − β n )kSx n − p)k − β n (1 − β n )kx n − Sx n k . (2.29)

  Karena S adalah suatu pemetaan k pseudononspreading sejati, p ∈ F (S), dan dari persamaan (1.4) diperoleh _{2 2 2 2} β n (1−β n )kx n −Sx n k ≤ kx n −pk +k(1−β n )kx n −Sx n k −kβ n x n +(1−β n )Sx n −pk .

  (2.30) Dengan demikian berlaku _{2 2 2}

  (1 − β n )(β n − k)kx n − Sx n k ≤ kx n − pk − kβ n x n + (1 − β n )Sx n − pk . (2.31) Karena lim inf n→∞ (1 − β n ) > 0, dari persamaan (2.28) diperoleh _{2 n→∞} lim kx n − Sx n k = 0. (2.32)

  Sebagaimana pada pembuktian (T 1), dari Lema 1.8 jika (x n i ) konvergen lemah ke v , maka v ∈ F (S). Akan ditunjukkan bahwa v ∈ F (T ). Dari persamaan (2.2) – persamaan (2.4), untuk p ∈ F (S) ∩ F (T ), maka _{2 2 2} kx − pk ≤ (1 − α − pk kγ x − pk _{n+1 n )kx n + α n n n + (1 − γ n )T x n 2} ≤ kx − pk . _n

  (2.33) Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert

  49 Oleh karena itu diperoleh _{2 2 2} x

  0 ≤ kx n − pk − (1 − α n )kx n − pk − α n kγ n n + (1 − γ n )T x n − pk _{2 2} x = α n (kx n − pk − kγ n n + (1 − γ n )T x n − pk ) _{2 2} .

  ≤ kx n − pk − kx n+1 − pk (2.34) Karena lim inf n→∞ α n > 0, dari persamaan (2.25) diperoleh _{2 2}

  − pk − kγ x − pk _n→∞ lim (kx n n n + (1 − γ n )T x n ) = 0. (2.35) Karena T merupakan pemetaan nonexpansive dan p = T p, maka _{2 2} kγ x + (1 − γ )T x − pk = kγ (x − p) + (1 − γ )(T x − p)k _{n n n n n n n n 2 2}

  ≤ kx n − pk − γ n (1 − γ n )kx n − T x n k . (2.36) γ

  Karena lim inf n→∞ n (1 − γ n ) > 0, dari persamaan (2.35) diperoleh _{2 n→∞} lim kx n − T x n k = 0. (2.37) Karena (x n ) konvergen lemah ke q, maka q ∈ F (T ). Misalkan (x n ) merupakan _{i j} subbarisan lain dari (x n ) sedemikian sehingga (x n ) konvergen lemah ke v. Oleh _j karena itu diperoleh q = v. Sebaliknya, jika q 6= v diperoleh _{n→∞ i→∞} lim kx n − qk = lim kx n − qk _i

  < _{i→∞ n→∞ j→∞} lim kx n − vk = lim kx n − vk = lim kx n − vk _{i j} < _{j→∞ n→∞} lim kx n − qk = lim kx n − qk. (2.38) _j

  Hal ini merupakan suatu kontradiksi, maka dari itu mestilah q = v. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa (x n ) konvergen lemah ke q ∈ F (S) ∩ F (T ).

  2.2. Beberapa Akibat Teorema Utama Untuk pemetaan nonspreading S, misalkan k = 0, sehingga diperoleh Akibat 2.2. [5] Misalkan C subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari

  

suatu ruang Hilbert H, S : C → C adalah suatu pemetaan nonspreading, dan

T : C → C adalah pemetaan nonexpansive sedemikian sehingga F (S) ∩ F (T ) 6= ∅. Definisi barisan (x n ) adalah sebagai berikut:

  x ^{1 ∈ C,} (2.39) x n+1 = (1 − α n )(β n x n + (1 − β n )Sx n ) + α n (γ n x n + (1 − γ n )T x n ),

  untuk setiap n ∈ N, dengan (α n ), (β n ), (γ n ) adalah barisan dalam selang [0, 1].

  P ∞ α α

  (1) Jika lim inf n→∞ n (β n − γ n ) > 0, n (1 − γ n ) < ∞, dan 1 < (2 − _n=1 α γ _{n )β n + α n n , maka (x n ) konvergen lemah ke q ∈ F (S).}

  P ∞ > γ , − 1 − α − γ

  (2) Jika β n n (1 − β n ) < ∞, 2β n n (β n n ) > 0, dan _n=1 α − γ − 1 − α − γ lim inf n→∞ n (β n n )(2β n n (β n n )) > 0, maka (x n ) konvergen

  lemah ke q ∈ F (T ).

50 Debi Oktia Haryeni

  α > (3) Jika lim inf n→∞ n 0, lim inf n→∞ (1 − α n ) > 0, lim inf n→∞ (1 − β n ) > 0,

  γ

  dan lim inf n→∞ n (1 − γ n ) > 0, maka (x n ) konvergen lemah ke q ∈ F (S) ∩

  F (T ). Akibat 2.3. [5] Misalkan C suatu subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong

  

dari ruang Hilbert H dan S : C → C suatu pemetaan nonspreading sedemikian

sehingga F (S) 6= ∅. Definisi barisan (x n ) adalah sebagai berikut:

  x ^{1 ∈ C,} (2.40) x = α x + (1 − α )Sx , _{n+1 n n n n} untuk setiap n ∈ N, dengan (α n ) adalah barisan dalam selang [0, 1].

  α > Jika lim inf n→∞ n 0, maka (x n ) konvergen lemah ke q ∈ F (S). Bukti. Dengan memisalkan β n = 0, γ n = 1 untuk n ∈ N pada Teorema 2.1, maka diperoleh akibat di atas.

  Akibat 2.4. [5] Misalkan C merupakan subhimpunan konveks tertutup yang tak

  

kosong dari suatu ruang Hilbert H dan T : C → C merupakan pemetaan nonexpan-

sive sedemikian sehingga F (T ) 6= ∅. Definisi barisan (x n ) adalah sebagai berikut:

  x ¹ ∈ C,

  (2.41) x T x , _{n+1 = (1 − α n )x n + α n n ∞} P

  α

  

untuk setiap n ∈ N, dengan (α n ) adalah barisan dalam selang [0, 1]. Jika n =

_n=1 ∞, maka (x n ) konvergen lemah ke q ∈ F (T ).

  Bukti. Dengan memisalkan β n = 1, γ n = 0 untuk n ∈ N pada Teorema 2.1, maka diperoleh akibat tersebut di atas.

  3. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Syafrizal Sy, Bapak Admi Nazra, Bapak Muhafzan, Bapak Efendi, dan Bapak Mahdhivan Syafwan yang telah mem- berikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Agarwal, R.P., D. O’Regan dan D.R. Sahu. 2009. Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications. New York: Springer.

  [2] Bartle, R.G. dan D.R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis (Third Edition). New York: John Wiley and Sons. [3] Berinde, V. 2007. Iterative Approxomation of Fixed Point. New York: Springer. [4] Debnath, L. dan P. Mikusi´ nski. 2005. Hilbert Space with Applications. California: Elsevier. [5] Kyung, S.K. 2012. Approximating common fixed points of nonspreading-type

  mappings and nonexpansive mappings in a Hilbert space. Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis. 10: 1155 – 1173.

  Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert

  51

  [6] Shigeru, I. dan W. Takahashi. 2009. Approximating common fixed point of non-

  expansive mappings and nonspreading mappings in a Hilbert space. Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications. 71: e2082 – e2089.

  [7] Tan, K.K. dan H.K Xu. 1993. Approximating fixed points of nonexpansive map-

  pings by the Ishikawa iteration process. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 178: 301 – 308.