Full Paper AdMathEdu Juni 2011 Dwi Lestari UNY
ISSN: 2088-687X
13
MODEL PELATIHAN ULANG (RETRAINING) PEKERJA PADA
SUATU PERUSAHAAN BERDASARKAN PENILAIAN REKAN KERJA
Dwi Lestari
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA
Universitas Negeri Yogyakarta
E-mail: dwilestari@uny.ac.id
ABSTRAK
Pada paper ini akan dibahas mengenai model pelatihan ulang untuk pekerja di suatu
perusahaan. Untuk meningkatkan kualitas pekerja biasanya diadakan pelatihan (training) untuk
pekerja terutama pekerja baru atau pekerja yunior. Namun demikian tidak tertutup kemungkinan
adanya pelatihan ulang untuk para pekerja yang semangatnya menurun. Kondisi tersebut menjadi salah
satu dasar dalam merumuskan model pelatihan ulang untuk pekerja di suatu perusahaan.
Model matematika untuk pelatihan ulang yang dibahas merupakan model pelatihan ulang
untuk pekerja berdasarkan penilaian rekan kerjanya. Model ini berbentuk sistem persamaan
diferensial. Pada model ini terdapat dua titik ekuilibrium yakni titik ekuilibrium trivial dan titik
ekuilibrium non trivial. Kestabilan lokal titik ekuilibrium trivial dipenuhi saat kondisi nilai bilangan
reproduksi dasarnya kurang dari satu. Ini berarti untuk waktu yang lama pekerja baik tidak perlu
menjadi pekerja master sehingga tidak dilakukan pelatihan ulang. Simulasi numerik diberikan dengan
mengambil nilai parameter tertentu yang menggambarkan perubahan besarnya populasi masingmasing kelas terhadap suatu waktu.
Kata Kunci: model pelatihan, sistem persamaan diferensial, kestabilan lokal
ABSTRACT
In this paper, its discussed about the model re-training for workers in a company. To improve
the quality of workers is usually held training (training) for workers, especially new workers or junior
employees. However it is also the possibility of retraining for workers who decline spirit. The
condition was one of the bases in formulating a model of retraining for workers in a company.
Mathematical models for retraining discussed is a model re-training for workers based on an
assessment of his colleagues. This model is shaped system of differential equations. In this model
there are two equilibrium points namely the trivial equilibrium point and non-trivial equilibrium point.
Local stability of the trivial equilibrium point of time fulfilled the conditions of the reproductive
number is essentially less than one. This means that for a long time a good worker does not need to be
a master so that workers do not re-training. Numerical simulation is given by taking the value of
certain parameters that describe the changes in population size of each class of a time.
Keywords: training models, differential equations system, local stability
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
Model… (Dwi Lestari)
14
ISSN: 2088-687X
pekerja
Pendahuluan
Suatu perusahaan memiliki aturan-
yang
Selanjutnya
keluar
simulasi
di
setiap
kelas.
diberikan
untuk
aturan atau sistem yang berlaku di dalamnya.
memberikan gambaran perubahan banyaknya
Sistem tersebut dibuat dan diberlakukan
pekerja di masing-masing kelas dari waktu
untuk seluruh komponen dalam perusahaan.
ke waktu. Beberapa asumsi berikut yang
Adapun
perusahaan
diperlukan
perusahaan,
pelatihan ulang pekerja.
komponen
meliputi:
suatu
pimpinan
karyawan/pekerja dan penanam modal. Pada
untuk
1. banyaknya
antara pekerja senior dengan pekerja yunior.
konstan
meningkatkan
kualitas
pekerja
biasanya diadakan pelatihan (training) untuk
model
Asumsi:
paper ini akan dibahas mengenai interaksi
Untuk
membentuk
pekerja
pada
saat
t
2. laju keluar pekerja di tiap kelas
3. peluang
masuk
menjadi
pekerja
pekerja terutama pekerja baru atau pekerja
dikelompokkan menjadi dua kelas:
yunior. Namun demikian tidak tertutup
pekerja
kemungkinan adanya pelatihan ulang untuk
enggan/semangat kerja kurang.
bagus
dan
pekerja
para pekerja yang semangatnya menurun.
4. populasi pekerja yang dibahas disini
Kondisi tersebut menjadi salah satu dasar
merupakan populasi tertutup, artinya
dalam merumuskan model pelatihan ulang
populasi pekerja pada usia produktif
untuk pekerja di suatu perusahaan.
untuk bekerja.
ulang
Model matematika untuk pelatihan
Notasi:
yang
R(t) :
dibahas
merupakan
model
reluctant
workers
(pekerja
enggan/semangat kerja kurang)
pelatihan ulang untuk pekerja berdasarkan
penilaian rekan kerjanya. Populasi pada
P(t) :
positive workers (pekerja bagus/baik)
model yang dibahas dibagi dalam lima kelas
M(t) :
master workers (pekerja master)
yakni,
U(t) :
unchangeable
pekerja
enggan/semangat
kerja
kurang, pekerja bagus/baik, pekerja master,
pekerja kurang baik/pekerja yang dapat
workers
(pekerja
kurang baik/ yang dapat diganti)
I(t) :
inactive workers (pekerja tidak aktif)
diganti, dan pekerja tidak aktif. Pada model
ini akan diselidiki kondisi setimbangnya
dimana
kontak
terjadi
antara
pekerja
bagus/baik dengan pekerja master. Ada laju
Model… (Dwi Lestari)
Diasumsikan banyaknya pekerja N(t)
= R(t)+P(t)+M(t)+U(t)+I(t) = K, konstan
untuk setiap waktu t.
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
ISSN: 2088-687X
15
Gambar 1. Diagram Alir Model
dP
Parameter yang digunakan dalam model ini
dt
adalah sebagai berikut,
dR
•
dM
q: probabilitas menjadi pekerja yang
= β0 P
dt
dU
baik
µ : laju keluar pekerja tiap kelas
dI
•
β0 :
dt
laju kontak pekerja baik
(1.a )
M
K
(1.b )
− (γ 0 + µ ) M
(1.c )
= − µU + α 0 R
dt
•
+ δ0 R − µ P
K
= (1 − q ) K − (δ 0 + µ ) R − α 0 R
dt
Parameter:
M
= qK − β 0 P
(1.d )
= γ 0M − µI.
(1.e)
menjadi pekerja master
δ0 :
•
laju pekerja enggan menjadi
α0 :
dP
laju pekerja enggan menjadi
pekerja yang dapat diganti
dτ
dR
dτ
Nilai
model
pada
sistem
(1)
disederhanakan menjadi:
pekerja baik
•
Selanjutnya,
0 ≤ q ≤ 1 , µ0 ,
β 0 , δ 0 , dan α 0
konstan.
dM
dτ
dU
Model:
dτ
dI
dτ
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
= qc − β P
M
+δR − P
(2.a )
K
= (1 − q ) c − (α + δ + 1) R
= βP
M
− (γ + 1) M
(2.b )
(2.c )
K
= −U + α R
(2.d )
= γ M − I,
(2.e )
Model… (Dwi Lestari)
16
ISSN: 2088-687X
dengan
K
c=
µ
β =
Titik ekuilibrium trivial dan non trivial
, δ =
δ0
α
, α = 0,
µ
µ
Titik ekuilibrium model ini ada dua
yakni titik ekuilibrium trivial dan non trivial.
β0
γ
, γ = 0 , τ = µt
µ
µ
Titik ekuilibrium trivial artinya tidak ada
pekerja master sehingga tidak ada pelatihan
ulang. Titik ekuilibrium non trivial artinya
Sistem (2) dapat direduksi berdasarkan
ada pekerja master sehingga ada pelatihan
N(t) = R(t)+P(t)+M(t)+U(t)+I(t),
yakni substitusi
ulang.
P = N − R − M −U − I ,
menjadi
dR
dτ
dM
dτ
Jika R0
µ
M
K
− (γ + 1) M
dU
Teorema 1:
(3.b )
1, maka terdapat titik ekuilibrium non trivial
(
)
E1 = R* , M * ,U * , I * , N * .
= −U + α R
(3.c )
Bukti:
= γM − I
(3.d )
Titik ekuilibrium trivial diperoleh dengan
membuat ruas kanan (3.a,c,d,e) sama dengan
= c − N.
(3.e )
nol dan diasumsikan q = 1, diperoleh
N = c, I = γ M ,
R=
Didefinisikan
K
T = ( R , M ,U , I , N )∈ℜ6+ : 0 ≤ R + M +U + I ≤ N ≤
µ
himpunan
terdefinisi.
tertutup
dimana
Selanjutnya
sistem
akan
(3)
(1− q ) c
α (1− q ) c .
, U =
α +δ +1
α +δ +1
(4)
Disubtitusikan Persamaan (4) ke Persamaan
(3b), diperoleh
dibahas
mengenai eksistensi dan kestabilan titik
ekuilibrium.
Model… (Dwi Lestari)
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
ISSN: 2088-687X
β (N − R − M − U − I )
17
M
K
(
Jika diambil M=0 dan q = 1, diperoleh
− (γ + 1) M = 0
K
R=U=I =0, N=c= . Jadi titik ekuilibrium
)
M
α (1− q ) c
(1− q ) c
⇔ β c−
−M −
−γM
α +δ +1
α +δ +1
K
µ
− (γ + 1) M = 0
β (1− q )(1+α )c
2
1+γ
⇔
− c +γ +1 M = 0
β M +
K
K α +δ +1
⇔M =0
M =−
⇔
Jika
M =−
K (1− q )(1+α )
K
K
+
− .
µ ( γ +1)(α +δ +1) µ ( γ +1) β
K
*
K (1− q )(1+α )
K
K
+
−
>0
µ ( γ +1)(α +δ +1) µ ( γ +1) β
β (α +δ +1) −(1− q )(1+α )
⋅
> 1.
µ
( γ +1)(α +δ +1)
,
µ
*
I = γM
=
−γ
*
R =
didefinisikan
yakni
diperoleh
N =
Selanjutnya
M >0
K (1− q )(1+α )
K
K
+
− ,
µ ( γ +1)(α +δ +1) µ ( γ +1) β
*
atau
Nilai
M =−
K
trivialnya adalah E0 = 0,0,0,0, .
µ
*
K (1− q )(1+α )
K
K
+γ
−γ
,
µ (γ +1)(α +δ +1)
µ ( γ +1)
β
K (1− q )
α (1− q ) K
*
, U =
µ (α +δ +1)
µ (α +δ +1) .
bilangan
Jadi, titik ekuilibrium non trivialnya adalah
reproduksi dasar R0, yakni
(
)
E1 = R* , M * ,U * , I * , N * .
R0
=
β (α +δ +1) −(1− q )(1+α )
⋅
µ
( γ +1)(α +δ +1)
Kestabilan Titik Ekuilibrium Trivial
Kestabilan untuk titik ekuilibrium
sehingga
0
M = K (1− q )(1+α )
K
K
− µ γ +1 α +δ +1 + µ γ +1 − β
)(
) ( )
(
.
trivial diberikan pada teorema berikut.
, R0 ≤1
, R0 >1
Teorema 2:
Jika R0 1, maka titik ekuilibrium
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
Model… (Dwi Lestari)
18
ISSN: 2088-687X
(
non trivial E1 = R* , M * ,U * , I * , N *
)
stabil
Matrik Jacobian dari sistem (3) adalah
0
−
kestabilan,
karena
akar
K
maka titik ekuilibrium E0 = 0,0,0,0,
µ
Bukti:
J
teori
karakteristik yang diperoleh bernilai negatif,
asimtotik lokal.
−(α +δ +1)
βM
−
= αK
0
0
Menurut
γ
0
βM
−
K
−1
0
0
βM
−
K
0
−1
0
βM
−
K
0
0
0
0
0
−1
2β M β
+ ( N − R −U − I )−( γ +1)
K
K
0
stabil asimtotik lokal.
Hal ini berarti, dalam waktu yang
lama pekerja baik tidak perlu menjadi
pekerja master sehingga tidak dilakukan
pelatihan ulang. Untuk melihat perubahan
sehingga matrik Jacobian disekitar titik
ekuilibrium
banyaknya populasi pekerja akan diberikan
simulasi berikut.
K
E0 = 0,0,0,0, ,
µ
sebagai
Simulasi Numerik
berikut
−(α +δ +1)
0
J ( E0 ) =
α
0
0
Perubahan
0
2β
µ
−( γ +1)
0
γ
0
0
0
0
0
0
.
0
0
−1
0
−1 0
0 −1
0 0
dari
jumlah
populasi
dalam model yang dibahas dapat dilihat dari
(5)
simulasi numerik yang diberikan berikut ini.
Persamaan karakteristik dari Persamaan (5)
diperoleh dari λ I − J ( E0 ) = 0 , yakni
( λ + (α + δ + 1) ) λ − βµ − (γ + 1) ( λ + 1)
dengan akar-akarnya adalah
3
=0
λ1 = − (α + δ + 1) < 0 ,
λ2 = λ3 = λ4 = −1 < 0 ,
λ5 =
β
− ( γ + 1) < 0 ⇔ β < µ ( γ + 1) .
µ
Gambar 2. Banyaknya Populasi untuk
Waktu t
Model… (Dwi Lestari)
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
ISSN: 2088-687X
19
Simulasi diperoleh dengan mengambil nilainilai
tertentu
untuk
parameter
yang
Dari simulasi ini didapatkan bilangan
reproduksi
dasar
2,61,
artinya
terjadi
diperlukan, yakni
peningkatan banyaknya pekerja master dari
K:=100;mu:=0.125;q:=0.65;beta:
=0.486;delta:=0.231;c:=K/mu;al
pha:=0.231;gama:=0.05;hours:=1
5;initP:=0;initR:=0;initM:=10;
initU:=0;initQ:=0;
hasil
pelatihan
ulang
yang
diadakan
berdasarkan penilaian oleh rekan kerjanya.
Kesimpulan
Paper ini membahas tentang model
Keterangan:
Hitam
: pekerja baik P(t)
pelatihan
Hijau
: pekerja kurang baik R(t)
berdasarkan penilaian rekan kerjanya. Suatu
Merah
: pekerja master atau senior
perusahaan yang ingin meningkatkan kinerja
: pekerja yang dapat diganti
pekerja
baru
pelatihan (training) untuk pekerjanya.
Model yang dikaji disini berupa
U(t)
Abu-abu
untuk
sumber daya manusianya perlu mengadakan
M(t)
Coklat
ulang
: pekerja tidak aktif I(t)
model
untuk
pelatihan
ulang
pekerja
berdasarkan penilaian oleh rekan kerjanya.
Berdasarkan Gambar 2 dapat dilihat bahwa
Dari model yang dibahas diperoleh titik
untuk waktu t (dalam bulan) yang semakin
ekuilibrium trivial untuk bilangan reproduksi
bertambah, banyaknya pekerja baik akan
dasar kurang dari atau sama dengan satu dan
menuju
kemudian
titik ekuilibrium non trivial untuk bilangan
berkurang dan akhirnya dalam keadaan
reproduksi dasar lebih dari satu. Titik
konstan untuk nilai tertentu. Selanjutnya,
ekuilibrium trivial stabil asimtotik lokal
banyaknya pekerja yang kurang baik akan
untuk bilangan reproduksi dasar kurang dari
naik mendekati nilai maksimum dengan
satu yang berarti untuk waktu yang lama
batas 200 pekerja, sedangkan banyaknya
pekerja baik tidak perlu menjadi pekerja
pekerja master akan meningkat yang semula
master sehingga tidak dilakukan pelatihan
10 pekerja menjadi sekitar 350 pekerja.
ulang.
puncak
maksimum
Banyaknya pekerja yang dapat diganti dan
Simulasi numerik dengan mengambil
pekerja tidak aktif hanya meningkat sedikit
nilai parameter tertentu menghasilkan nilai
karena dipengaruhi besar kecilnya nilai alpha
untuk bilangan reproduksi dasar yakni 2,61.
dan gama.
ini berarti terjadi peningkatan banyaknya
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
Model… (Dwi Lestari)
20
ISSN: 2088-687X
pekerja master sebagai akibat diadakannya
pelatihan ulang berdasarkan penilaian rekan
kerjanya.
Selanjutnya
penelitian
mengenai
dapat
dilakukan
kestabilan
titik
Brauer F. and Castillo Chaves, C., 2001,
Mathematical Models in Population
Biology and Epidemiology, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg- New
York.
ekuilibrium non trivial serta kestabilan
global titik ekuilibrium trivial.
Olsder, G.J., 1994, Mathematical Systems
Theory,
Delftse
Uitgevers
Maatschappij, b.v.
Daftar Pustaka
Barnes Belinda and Glenn R Fulford,, 2002,
Mathematical Modelling with Case
Studies. Taylor & Francis, London
and New York.
Model… (Dwi Lestari)
Ross,
Shepley L., 1984, Differential
equations. 3rded, JohnWiley and
Sons, Inc, Singapore.
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
13
MODEL PELATIHAN ULANG (RETRAINING) PEKERJA PADA
SUATU PERUSAHAAN BERDASARKAN PENILAIAN REKAN KERJA
Dwi Lestari
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA
Universitas Negeri Yogyakarta
E-mail: dwilestari@uny.ac.id
ABSTRAK
Pada paper ini akan dibahas mengenai model pelatihan ulang untuk pekerja di suatu
perusahaan. Untuk meningkatkan kualitas pekerja biasanya diadakan pelatihan (training) untuk
pekerja terutama pekerja baru atau pekerja yunior. Namun demikian tidak tertutup kemungkinan
adanya pelatihan ulang untuk para pekerja yang semangatnya menurun. Kondisi tersebut menjadi salah
satu dasar dalam merumuskan model pelatihan ulang untuk pekerja di suatu perusahaan.
Model matematika untuk pelatihan ulang yang dibahas merupakan model pelatihan ulang
untuk pekerja berdasarkan penilaian rekan kerjanya. Model ini berbentuk sistem persamaan
diferensial. Pada model ini terdapat dua titik ekuilibrium yakni titik ekuilibrium trivial dan titik
ekuilibrium non trivial. Kestabilan lokal titik ekuilibrium trivial dipenuhi saat kondisi nilai bilangan
reproduksi dasarnya kurang dari satu. Ini berarti untuk waktu yang lama pekerja baik tidak perlu
menjadi pekerja master sehingga tidak dilakukan pelatihan ulang. Simulasi numerik diberikan dengan
mengambil nilai parameter tertentu yang menggambarkan perubahan besarnya populasi masingmasing kelas terhadap suatu waktu.
Kata Kunci: model pelatihan, sistem persamaan diferensial, kestabilan lokal
ABSTRACT
In this paper, its discussed about the model re-training for workers in a company. To improve
the quality of workers is usually held training (training) for workers, especially new workers or junior
employees. However it is also the possibility of retraining for workers who decline spirit. The
condition was one of the bases in formulating a model of retraining for workers in a company.
Mathematical models for retraining discussed is a model re-training for workers based on an
assessment of his colleagues. This model is shaped system of differential equations. In this model
there are two equilibrium points namely the trivial equilibrium point and non-trivial equilibrium point.
Local stability of the trivial equilibrium point of time fulfilled the conditions of the reproductive
number is essentially less than one. This means that for a long time a good worker does not need to be
a master so that workers do not re-training. Numerical simulation is given by taking the value of
certain parameters that describe the changes in population size of each class of a time.
Keywords: training models, differential equations system, local stability
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
Model… (Dwi Lestari)
14
ISSN: 2088-687X
pekerja
Pendahuluan
Suatu perusahaan memiliki aturan-
yang
Selanjutnya
keluar
simulasi
di
setiap
kelas.
diberikan
untuk
aturan atau sistem yang berlaku di dalamnya.
memberikan gambaran perubahan banyaknya
Sistem tersebut dibuat dan diberlakukan
pekerja di masing-masing kelas dari waktu
untuk seluruh komponen dalam perusahaan.
ke waktu. Beberapa asumsi berikut yang
Adapun
perusahaan
diperlukan
perusahaan,
pelatihan ulang pekerja.
komponen
meliputi:
suatu
pimpinan
karyawan/pekerja dan penanam modal. Pada
untuk
1. banyaknya
antara pekerja senior dengan pekerja yunior.
konstan
meningkatkan
kualitas
pekerja
biasanya diadakan pelatihan (training) untuk
model
Asumsi:
paper ini akan dibahas mengenai interaksi
Untuk
membentuk
pekerja
pada
saat
t
2. laju keluar pekerja di tiap kelas
3. peluang
masuk
menjadi
pekerja
pekerja terutama pekerja baru atau pekerja
dikelompokkan menjadi dua kelas:
yunior. Namun demikian tidak tertutup
pekerja
kemungkinan adanya pelatihan ulang untuk
enggan/semangat kerja kurang.
bagus
dan
pekerja
para pekerja yang semangatnya menurun.
4. populasi pekerja yang dibahas disini
Kondisi tersebut menjadi salah satu dasar
merupakan populasi tertutup, artinya
dalam merumuskan model pelatihan ulang
populasi pekerja pada usia produktif
untuk pekerja di suatu perusahaan.
untuk bekerja.
ulang
Model matematika untuk pelatihan
Notasi:
yang
R(t) :
dibahas
merupakan
model
reluctant
workers
(pekerja
enggan/semangat kerja kurang)
pelatihan ulang untuk pekerja berdasarkan
penilaian rekan kerjanya. Populasi pada
P(t) :
positive workers (pekerja bagus/baik)
model yang dibahas dibagi dalam lima kelas
M(t) :
master workers (pekerja master)
yakni,
U(t) :
unchangeable
pekerja
enggan/semangat
kerja
kurang, pekerja bagus/baik, pekerja master,
pekerja kurang baik/pekerja yang dapat
workers
(pekerja
kurang baik/ yang dapat diganti)
I(t) :
inactive workers (pekerja tidak aktif)
diganti, dan pekerja tidak aktif. Pada model
ini akan diselidiki kondisi setimbangnya
dimana
kontak
terjadi
antara
pekerja
bagus/baik dengan pekerja master. Ada laju
Model… (Dwi Lestari)
Diasumsikan banyaknya pekerja N(t)
= R(t)+P(t)+M(t)+U(t)+I(t) = K, konstan
untuk setiap waktu t.
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
ISSN: 2088-687X
15
Gambar 1. Diagram Alir Model
dP
Parameter yang digunakan dalam model ini
dt
adalah sebagai berikut,
dR
•
dM
q: probabilitas menjadi pekerja yang
= β0 P
dt
dU
baik
µ : laju keluar pekerja tiap kelas
dI
•
β0 :
dt
laju kontak pekerja baik
(1.a )
M
K
(1.b )
− (γ 0 + µ ) M
(1.c )
= − µU + α 0 R
dt
•
+ δ0 R − µ P
K
= (1 − q ) K − (δ 0 + µ ) R − α 0 R
dt
Parameter:
M
= qK − β 0 P
(1.d )
= γ 0M − µI.
(1.e)
menjadi pekerja master
δ0 :
•
laju pekerja enggan menjadi
α0 :
dP
laju pekerja enggan menjadi
pekerja yang dapat diganti
dτ
dR
dτ
Nilai
model
pada
sistem
(1)
disederhanakan menjadi:
pekerja baik
•
Selanjutnya,
0 ≤ q ≤ 1 , µ0 ,
β 0 , δ 0 , dan α 0
konstan.
dM
dτ
dU
Model:
dτ
dI
dτ
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
= qc − β P
M
+δR − P
(2.a )
K
= (1 − q ) c − (α + δ + 1) R
= βP
M
− (γ + 1) M
(2.b )
(2.c )
K
= −U + α R
(2.d )
= γ M − I,
(2.e )
Model… (Dwi Lestari)
16
ISSN: 2088-687X
dengan
K
c=
µ
β =
Titik ekuilibrium trivial dan non trivial
, δ =
δ0
α
, α = 0,
µ
µ
Titik ekuilibrium model ini ada dua
yakni titik ekuilibrium trivial dan non trivial.
β0
γ
, γ = 0 , τ = µt
µ
µ
Titik ekuilibrium trivial artinya tidak ada
pekerja master sehingga tidak ada pelatihan
ulang. Titik ekuilibrium non trivial artinya
Sistem (2) dapat direduksi berdasarkan
ada pekerja master sehingga ada pelatihan
N(t) = R(t)+P(t)+M(t)+U(t)+I(t),
yakni substitusi
ulang.
P = N − R − M −U − I ,
menjadi
dR
dτ
dM
dτ
Jika R0
µ
M
K
− (γ + 1) M
dU
Teorema 1:
(3.b )
1, maka terdapat titik ekuilibrium non trivial
(
)
E1 = R* , M * ,U * , I * , N * .
= −U + α R
(3.c )
Bukti:
= γM − I
(3.d )
Titik ekuilibrium trivial diperoleh dengan
membuat ruas kanan (3.a,c,d,e) sama dengan
= c − N.
(3.e )
nol dan diasumsikan q = 1, diperoleh
N = c, I = γ M ,
R=
Didefinisikan
K
T = ( R , M ,U , I , N )∈ℜ6+ : 0 ≤ R + M +U + I ≤ N ≤
µ
himpunan
terdefinisi.
tertutup
dimana
Selanjutnya
sistem
akan
(3)
(1− q ) c
α (1− q ) c .
, U =
α +δ +1
α +δ +1
(4)
Disubtitusikan Persamaan (4) ke Persamaan
(3b), diperoleh
dibahas
mengenai eksistensi dan kestabilan titik
ekuilibrium.
Model… (Dwi Lestari)
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
ISSN: 2088-687X
β (N − R − M − U − I )
17
M
K
(
Jika diambil M=0 dan q = 1, diperoleh
− (γ + 1) M = 0
K
R=U=I =0, N=c= . Jadi titik ekuilibrium
)
M
α (1− q ) c
(1− q ) c
⇔ β c−
−M −
−γM
α +δ +1
α +δ +1
K
µ
− (γ + 1) M = 0
β (1− q )(1+α )c
2
1+γ
⇔
− c +γ +1 M = 0
β M +
K
K α +δ +1
⇔M =0
M =−
⇔
Jika
M =−
K (1− q )(1+α )
K
K
+
− .
µ ( γ +1)(α +δ +1) µ ( γ +1) β
K
*
K (1− q )(1+α )
K
K
+
−
>0
µ ( γ +1)(α +δ +1) µ ( γ +1) β
β (α +δ +1) −(1− q )(1+α )
⋅
> 1.
µ
( γ +1)(α +δ +1)
,
µ
*
I = γM
=
−γ
*
R =
didefinisikan
yakni
diperoleh
N =
Selanjutnya
M >0
K (1− q )(1+α )
K
K
+
− ,
µ ( γ +1)(α +δ +1) µ ( γ +1) β
*
atau
Nilai
M =−
K
trivialnya adalah E0 = 0,0,0,0, .
µ
*
K (1− q )(1+α )
K
K
+γ
−γ
,
µ (γ +1)(α +δ +1)
µ ( γ +1)
β
K (1− q )
α (1− q ) K
*
, U =
µ (α +δ +1)
µ (α +δ +1) .
bilangan
Jadi, titik ekuilibrium non trivialnya adalah
reproduksi dasar R0, yakni
(
)
E1 = R* , M * ,U * , I * , N * .
R0
=
β (α +δ +1) −(1− q )(1+α )
⋅
µ
( γ +1)(α +δ +1)
Kestabilan Titik Ekuilibrium Trivial
Kestabilan untuk titik ekuilibrium
sehingga
0
M = K (1− q )(1+α )
K
K
− µ γ +1 α +δ +1 + µ γ +1 − β
)(
) ( )
(
.
trivial diberikan pada teorema berikut.
, R0 ≤1
, R0 >1
Teorema 2:
Jika R0 1, maka titik ekuilibrium
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
Model… (Dwi Lestari)
18
ISSN: 2088-687X
(
non trivial E1 = R* , M * ,U * , I * , N *
)
stabil
Matrik Jacobian dari sistem (3) adalah
0
−
kestabilan,
karena
akar
K
maka titik ekuilibrium E0 = 0,0,0,0,
µ
Bukti:
J
teori
karakteristik yang diperoleh bernilai negatif,
asimtotik lokal.
−(α +δ +1)
βM
−
= αK
0
0
Menurut
γ
0
βM
−
K
−1
0
0
βM
−
K
0
−1
0
βM
−
K
0
0
0
0
0
−1
2β M β
+ ( N − R −U − I )−( γ +1)
K
K
0
stabil asimtotik lokal.
Hal ini berarti, dalam waktu yang
lama pekerja baik tidak perlu menjadi
pekerja master sehingga tidak dilakukan
pelatihan ulang. Untuk melihat perubahan
sehingga matrik Jacobian disekitar titik
ekuilibrium
banyaknya populasi pekerja akan diberikan
simulasi berikut.
K
E0 = 0,0,0,0, ,
µ
sebagai
Simulasi Numerik
berikut
−(α +δ +1)
0
J ( E0 ) =
α
0
0
Perubahan
0
2β
µ
−( γ +1)
0
γ
0
0
0
0
0
0
.
0
0
−1
0
−1 0
0 −1
0 0
dari
jumlah
populasi
dalam model yang dibahas dapat dilihat dari
(5)
simulasi numerik yang diberikan berikut ini.
Persamaan karakteristik dari Persamaan (5)
diperoleh dari λ I − J ( E0 ) = 0 , yakni
( λ + (α + δ + 1) ) λ − βµ − (γ + 1) ( λ + 1)
dengan akar-akarnya adalah
3
=0
λ1 = − (α + δ + 1) < 0 ,
λ2 = λ3 = λ4 = −1 < 0 ,
λ5 =
β
− ( γ + 1) < 0 ⇔ β < µ ( γ + 1) .
µ
Gambar 2. Banyaknya Populasi untuk
Waktu t
Model… (Dwi Lestari)
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
ISSN: 2088-687X
19
Simulasi diperoleh dengan mengambil nilainilai
tertentu
untuk
parameter
yang
Dari simulasi ini didapatkan bilangan
reproduksi
dasar
2,61,
artinya
terjadi
diperlukan, yakni
peningkatan banyaknya pekerja master dari
K:=100;mu:=0.125;q:=0.65;beta:
=0.486;delta:=0.231;c:=K/mu;al
pha:=0.231;gama:=0.05;hours:=1
5;initP:=0;initR:=0;initM:=10;
initU:=0;initQ:=0;
hasil
pelatihan
ulang
yang
diadakan
berdasarkan penilaian oleh rekan kerjanya.
Kesimpulan
Paper ini membahas tentang model
Keterangan:
Hitam
: pekerja baik P(t)
pelatihan
Hijau
: pekerja kurang baik R(t)
berdasarkan penilaian rekan kerjanya. Suatu
Merah
: pekerja master atau senior
perusahaan yang ingin meningkatkan kinerja
: pekerja yang dapat diganti
pekerja
baru
pelatihan (training) untuk pekerjanya.
Model yang dikaji disini berupa
U(t)
Abu-abu
untuk
sumber daya manusianya perlu mengadakan
M(t)
Coklat
ulang
: pekerja tidak aktif I(t)
model
untuk
pelatihan
ulang
pekerja
berdasarkan penilaian oleh rekan kerjanya.
Berdasarkan Gambar 2 dapat dilihat bahwa
Dari model yang dibahas diperoleh titik
untuk waktu t (dalam bulan) yang semakin
ekuilibrium trivial untuk bilangan reproduksi
bertambah, banyaknya pekerja baik akan
dasar kurang dari atau sama dengan satu dan
menuju
kemudian
titik ekuilibrium non trivial untuk bilangan
berkurang dan akhirnya dalam keadaan
reproduksi dasar lebih dari satu. Titik
konstan untuk nilai tertentu. Selanjutnya,
ekuilibrium trivial stabil asimtotik lokal
banyaknya pekerja yang kurang baik akan
untuk bilangan reproduksi dasar kurang dari
naik mendekati nilai maksimum dengan
satu yang berarti untuk waktu yang lama
batas 200 pekerja, sedangkan banyaknya
pekerja baik tidak perlu menjadi pekerja
pekerja master akan meningkat yang semula
master sehingga tidak dilakukan pelatihan
10 pekerja menjadi sekitar 350 pekerja.
ulang.
puncak
maksimum
Banyaknya pekerja yang dapat diganti dan
Simulasi numerik dengan mengambil
pekerja tidak aktif hanya meningkat sedikit
nilai parameter tertentu menghasilkan nilai
karena dipengaruhi besar kecilnya nilai alpha
untuk bilangan reproduksi dasar yakni 2,61.
dan gama.
ini berarti terjadi peningkatan banyaknya
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011
Model… (Dwi Lestari)
20
ISSN: 2088-687X
pekerja master sebagai akibat diadakannya
pelatihan ulang berdasarkan penilaian rekan
kerjanya.
Selanjutnya
penelitian
mengenai
dapat
dilakukan
kestabilan
titik
Brauer F. and Castillo Chaves, C., 2001,
Mathematical Models in Population
Biology and Epidemiology, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg- New
York.
ekuilibrium non trivial serta kestabilan
global titik ekuilibrium trivial.
Olsder, G.J., 1994, Mathematical Systems
Theory,
Delftse
Uitgevers
Maatschappij, b.v.
Daftar Pustaka
Barnes Belinda and Glenn R Fulford,, 2002,
Mathematical Modelling with Case
Studies. Taylor & Francis, London
and New York.
Model… (Dwi Lestari)
Ross,
Shepley L., 1984, Differential
equations. 3rded, JohnWiley and
Sons, Inc, Singapore.
AdMathEdu | Vol.1 No.1 | Juni 2011