University of Lampung | LPPM-UNILA Institutional Repository (LPPM-UNILA-IR)
Teorema Jacobson Density Budi Santoso
ଵ
Dimana ܽǡ ܽ
ଵ
ǡ ǥ ǡ ܽ
א ܴ, dengan demikian ܴ adalah ܴ-modul kiri. Sebelum mengkaji tentang submodul dan beberapa bentuk modul, terlebih dahulu dikaji beberapa sifat fungsi pada modul, seperti homomorfisma dan endomorfisma yang terdefinisi sebagai berikut.
Diberikan ring ܴ dan ܰǡ ܯ adalah ܴ-modul kiri. Fungsi
݂ǣ ܯ ՜ ܰ adalah homomorfisma dari R- modul jika memenuhi sifat berikut:
1.
݂(݉
ଵ
݉
ଶ
) ൌ ݂(݉
) ݂(݉
ܽ(ܽ ଵ ǡ ǥ ǡ ܽ )
ଶ
) untuk semua ݉
ଵ
ǡ ݉
ଶ
א ܯ, dan 2. ݂(ܽ݉) ൌ ݂ܽሺ݉ሻ untuk semua ݉ א ܯ .
Himpunan semua homomorfisma dari ܴ-modul ܯ ke
ܰ dinotasikan dengan ܪ݉
ோ
ሺܯǡ ܰሻ. Jika ܯ ൌ ܰ, maka ܪ݉
ோ
ሺܯǡ ܰሻ dinotasikan dengan ܧ݊݀
ோ
ൌ ሺܽܽ ଵ ǡ ǥ ǡ ܽܽ )
ൌ ܴ ൈ ǥ ൈ ܴ sebanyak ݊ pengulangan adalah R-modul kiri dengan
1
( ܣǡ ܣ), maka ܴ isomorfis pada suatu dense endomorfisma ܦ-ruang vektor ܣ.
, Fitriani
2
, Ahmad Faisol
3 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia
1 budi.klik@gmail.com Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia
2 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia
3 Abstrak. Misalkan
ܴ adalah ring (tidak harus komutatif) dan ܣ adalah ܴ-modul. ܴ-modul ܣ dikatakan sederhana jika modul tersebut hanya memiliki submodul {0} dan
ܣ. Dengan demikian, ܴ-modul ܣ siklik,
indecomposable , dan memiliki length tepat 1. Salah satu Teorema terkait dengan modul sederhana adalah
Teorema Jacobson Density dimana misalkan ܴ ring primitif dan ܴ-modul ܣ sederhana. Jika ܣ adalah ruang vektor atas ring divisi
ܦ ൌ ܪ݉
ோ
Kata Kunci : Modul, Modul Sederhana, Siklik, Indecomposable,Chain, Teorema Jacobson Density PENDAHULUAN
Dalam aljabar abstrak, Modul merupakan dua himpunan (grup abel dan ring) yang memiliki satu operasi biner. Dengan demikian, modul atas lapangan adalah bentuk umum dari ruang vektor dimana operasi penjumlahan dipenuhi oleh grup abel dan perkalian skalar dipenuhi oleh perkalian antara grup abel dengan skalar dari lapangan. Layaknya struktur aljabar, modul memiliki submodul yang didasari dari himpunan bagian dari modul yang tertutup pada operasi biner yang sama.
Modul sederhana merupakan modul yang tidak memiliki submodul sejati yaitu dapat diartikan submodul dari modul sederhana adalah submodul trivial {0} dan dirinya sendiri [1]. Sifat-sifat yang dikaji pada modul sederhana mengarah pada Teorema Jacobson Density.
Teorema Jacobson Density telah dibuktikan oleh Nathan Jacobson dalam karya tulisnya “Structure theory of simple rings without finiteness assumptions ”, Trans. Amer. Math. Soc., 1945. Dalam matematika, khususnya dalam teori ring non-komutatif, aljabar modern, dan teori modul, Teorema Jacobson Density adalah teorema yang dikonsentrasikan dalam pembahasan modul sederhana atas ring R primitif yang merupakan
dense ring endmorfisma dari ruang vektor atas ring divisi.
Modul atas ring R merupakan suatu generalisasi dari ruang vektor atas suatu lapangan/field. Berikut definisi modul dan beberapa kajian terkait untuk Teorema Jacobson Density.
Misalkan ܴ adalah ring (tidak harus komutatif)
R-modul Kiri (atau Modul Kiri dari ܴ) adalah sebuah grup abel M dengan sebuah peta perkalian skalar
ܴ ൈ ܯ ՜ ܯ yang memenuhi aksioma berikut (ditulis ሺܽǡ ݉ሻ untuk perkalian skalar dari
݉ ߳ ܯ oleh ܽ ߳ ܴ). Dalam aksioma ini,
ܽǡ ܾ adalah elemen dar ܴ dan ݉ǡ ݊ adalah elemen dari ܯ.
1.
ܽሺ݉ ݊ሻ ൌ ܽ݉ ܽ݊; 2. ሺܽ ܾሻ݉ ൌ ܽ݉ ܾ݉; 3. ሺܾܽሻ݉ ൌ ܽሺܾ݉ሻ; 4. ͳ݉ ൌ ݉ . ܴ-modul Kanan dinyatakan dengan perkalian skalar pada sisi kanan grup abel [1]. Contoh: Grup abel
ܴ
ሺܯሻ. Elemen dari disebut endomorfisma. Jika
݂ א ܧ݊݀
ୀ
memiliki submodul ℤ
ହ
ൌ ܯ Length dari chain adalah n [1]. Contoh: ℤ-modul ℤ
ؿ ڮ ؿ ܯ
ଶ
ؿ ܯ
ଵ
ؿ ܯ
dari submodul M sehingga terbentuk seperti berikut: ⟨0⟩ ൌ ܯ
}
dan {0} sehingga dapat dibentuk chain atau rantai sebagai berikut
adalah barisan { ܯ
M adalah R-modul, maka chain dari submodul M
Jika R adalah ring (tidak harus komutatif) dan
Chain submodul sebagai dasar penentuan length suatu modul, berikut definisi chain dan length.
Kemudian, definisi dari sifat modul sederhana berikutnya yaitu length, namun sebelum dikaji tentang length maka perlu diketahui kajian terkait
ଷ .
adalah modul siklik karena dapat dibangun oleh 1 ∈ ℤ-modul ℤ
ଷ
ܰ ൌ ݕܴ untuk suatu ݕ ߳ ܰ [3]. Contoh: ℤ-modul ℤ
ܯ ൌ ⟨ݔ⟩ ൌ ܴݔ ൌ ሼݎݔȁݎ ߳ ܴሽ untuk suatu ݔ ߳ ܯ. Demikian pula, R-modul N kanan disebut siklik jika
R-modul ܯ kiri disebut siklik jika dapat dibangun oleh satu elemen yaitu
ହ
⟨0⟩ ⊊ ℤ ହ . Diberikan M adalah modul (kanan atau kiri) atas ring R. Diberikan bentuk chain submodul sebagai berikut:
Jadi ℤ-modul ℤ
dan {0} sehingga dapat dibentuk chain atau rantai sebagai berikut
ଵ
ൌ ܰ
ହ
= ⟨0⟩ ⊂ ℤ
, maka sepadan dengan bentuk ܰ
ହ
ǡ ݊ א Գ submodul dari ℤ-modul ℤ
. Jika dimisalkan submodul tersebut sebagai notasi ܰ
ହ
⟨0⟩ ⊊ ℤ
ହ
ܰ
memiliki submodul ℤ
ହ
terbesar dari setiap chain. Jika tidak ada panjang terbesarnya, maka dapat dikatakan bahwa M memiliki length tak terbatas [1]. Contoh: ℤ-modul ℤ
chain . Length dari M didefiniskan sebagai panjang
maka dapat dikatakan bahwa n adalah length dari
ؿ ڮ ؿ ܰ
ଶ
ؿ ܰ
ଵ
ؿ ܰ
ହ adalah modul sederhana.
ହ itu sendiri.
ோ
ଵ
ܽǡ ܽ
) Dengan
ǡ ǥ ǡ ܽܽ
ଵ
) ൌ ሺܽܽ
ǡ ǥ ǡ ܽ
ଵ
ܽ(ܽ
ൌ ܴ ൈ ǥ ൈ ܴ sebanyak ݊ pengulangan adalah R-modul kiri dengan
ܴ
= { ܽ א ܴ| ܽ݉ ൌ Ͳ ǡ ݉ א ܯሽ [8]. Contoh: Grup abel
( ܯ)
ோ
Jika R adalah ring dan M adalah R-modul kiri, annihilator dari M adalah ܣ݊݊(ܯ) ൌ ܣ݊݊
yang dalam pemetaan natural dapat bersesuaian dengan annihilator.
Jacobson Density perlu diketahui tentang submodul
ሺݔሻ ൌ ʹݔ, untuk setiap ݔ א Թ. merupakan homomorfisma. Selanjutnya, untuk pembuktian Teorema
ሺܯǡ ܰሻ maka dapat didefiniskan ܭ݁ݎሺ݂ሻ ك ܯ dan ܫ݉ሺ݂ሻ ك ܰ sebagai kernel dan image dari f yang berlaku pada homomorfisma grup abel [1]. Contoh : ℝ = himpunan bilangan real. Fungsi : ℝ → ℝ adalah j
ோ
ሺܯሻ Jika ݂ א ܪ݉
ோ
ሺܯሻ dapat diinverskan, maka disebut Automorfisma dari M . Grup dari semua Automorfisma M dari R-modul dinotasikan dengan ܣݑݐ
ǡ ǥ ǡ ܽ
א ܴ, dengan demikian ܴ adalah R-modul kiri dan dapat dilihat ܣ݊݊(ܴ) = ሼͲ א ܴ|Ͳݎ ൌ Ͳǡ ݎ א ܴሽ.
ℤ
ܭ adalah elemen identitas di ܩȀܭ. ܭ݁ݎ(ߨ) = {ܽ א ܩ| ߨሺܽሻ ൌ ܭሽ
tidak memilki subgrup selain {0} dan
ହ
adalah modul sederhana karena ℤ
ହ
Contoh: ℤ-modul ℤ
R -Modul tidak tereduksi jika submodulnya hanya {0} dan M saja [1].
adalah modul sederhana atau
M
Jika R adalah ring (tidak harus komutatif) dan ܯ ് {0} adalah R-Modul tidak nol, maka dapat dikatakan
∎ Dari definisi modul kemudian dikembangkan modul sederhana yang menjadi dasar topik utama dalam penelitian ini, kajian terkait definisi modul sederhana diberikan dalam paparan berikut.
Jadi, terbukti bahwa Setiap subgrup normal ܭ ٱ ܩ adalah kernel dari suatu homomorfisma.
= { ܽ א ܩ| ܽܭ ൌ ܭሽ ൌ ܭ,
ܽܭܾܭ ൌ ܾܽܭ dapat dituliskaan dengan ߨ(ܽ)ߨ(ܾ) ൌ ߨሺܾܽሻ; dengan demikian ߨ adalah homomorfisma (surjektif). Karena
Diberikan M sebagai modul atas ring R.
ߨǣ ܩ ՜ ܩȀܭ dengan ߨ(ܽ) ൌ ܽܭ. Dengan definisi ini, bentuk
K ⊲ G adalah kernel dari suatu homomorfisma [8] yang akan digunakan dalam pemahaman Teorema Isomorfisma Modul. Bukti: Didefinisikan pemetaan natural
ܴȀܫ adalah modul kuosien. Perlu diketahui bahwa setiap subgrup normal
ܴ dengan ideal ܫ dapat memilki ring kuosien ܴȀܫ. Karena ring dapat dilihat sebagai modul atas dirinya sendiri, dengan demikian
݉ ݉ ܰ adalah Homomorfisma R-modul [8]. Contoh : Ring
Pemetaan natural ߨǣ ܯ ՜ ܯȀܰ diberikan dengan
Jika N adalah submodul dari R-modul M, maka modul kuosien adalah grup kuosien ܯȀܰ (perlu dingat bahwa M adalah grup abel dan N adalah subgrup) tertutup dengan perkalian skalar ݎ(݉ ܰ) ൌ ݎ݉ ܰ.
Dalam pembahasan isomorfisma modul ditunjukan modul kuosien merupakan modul yang dihasilkan dari pemetaan natural. Oleh karena itu, diberikan kajian tentang modul kuosien dalam paparan berikut.
R .
݊ ߳ ܰ [1]. Contoh: Setiap ring dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri. Submodul dari R adalah ideal dari
subgrup dari M sehingga ܽ݊ ߳ ܰ untuk semua ܽ ߳ ܴ dan
N dikatakan submodul (atas ring R) jika N adalah
sehingga didapatkan ݊ terbesar bernilai 1. Jadi, length ℤ-modul ℤ
ହ
METODE PENELITIAN
U , maka Lemma Schur ini menegaskan bahwa D
) secara terpisah, sehingga ada unsur R dengan sifat ݔ
Ǥ ݎ ൌ ݕ
untuk semua i. Jika D adalah himpunan dari semua endomorfisma R-modul dari
adalah ring divisi, dan Teorema Jacobson Density menjawab pertanyaan pada ruang vektor dimensi terbatas dapat dibenarkan, asalkan x adalah bebas linear atas D.
ଵ
memiliki ܣ݊݊(ℤ
ହ
ܣ adalah modul sederhana [6]. Contoh : ℤ-modul ℤ
Ring ܴ dikatakan ring primitif jika R-modul
( ܣ) = {0}.
ோ
ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݕ
ሺݕ
R -modul
} adalah elemen well-defined dari ܪ݉
dan ߠ(ݑ) = 0 untuk
ݑ א ܷ െ ሼݑ
ଵ
ǡ ǥ ǡ ݑ
ሺܸǡ ܸሻ.
ሺݔ ଵ ǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݔ ) dan
Dalam dimensi terbatas, ܪ݉
ሺܸǡ ܸሻ adalah dense subring.
Pada penelitian ini metode yang digunakan adalah studi literatur. Pada tahap pertama, akan ditunjukkan beberapa sifat modul sederhana berdasarkan definisinya. Kemudian, ditunjukkan beberapa sifat modul sederhana dengan pengembangan bersama struktur aljabar lain seperti ring, grup, dan ruang vektor. Selanjutnya, sifat- sifat tersebut mengarah pada suatu Teorema dan Lemma Schur yang diperlukan pada Teorema
Jacobson Density . Pada Teorema Jacobson Density , misalkan R ring dan diberikan U adalah R -modul kanan sederhana. Jika u adalah elemen
adalah 1. Kemudian sifat berikutnya tentang modul sederhana adalah indecomposable atau tidak dapat dibagi yang dipaparkan pada penjelasan definisi berikut.
taknol U , ݑ ܴ ൌ ܷ (di mana ݑ ܴ adalah submodule siklik dari U yang dibangun oleh u).
Oleh karena itu, jika u dan v adalah unsur taknol U, ada unsur R yang menginduksi endomorfisma U dan mentransformasi u ke v. Pembuktian selanjutnya, adalah apakah ini dapat digeneralisasi pada ruang vektor dengan dimensi terbatas. Lebih tepatnya, akan ditunjukan untuk menemukan kondisi perlu dan cukup di tupel
ܣ dikatakan modul faithfull jika memiliki ܣ݊݊(ܣ) ൌ ܣ݊݊
ℤ.
yang berimplikasi bahwa ܯ
memilki submodul ℤ
ହ
Contoh : ℤ-modul ℤ
ଵ ൌ ܯ [1].
= ⟨0⟩ atau ܯ
ଵ
ଶ
dan {0} sehingga
۩ܯ
ଵ
. Yaitu, jika ܯ ൌ ܯ
ଵ
tidak mempunyai komplemen nontrivial submodul ܯ
R -modul M dikatakan menjadi indecomposable jika
Jika R adalah ring (tidak harus komutatif), maka
ହ
ℤ
) = { ܽ א Ժ| ܽ݉ ൌ Ͳǡ ݉ א ܯሽ ൌ {0} adalah ideal kanan regular.dari
Contoh : Setiap ring divisi adalah ring sederhana dan ܦ-modul sedehana.
ହ
memilki ܣ݊݊(ℤ
ହ
݁ א ܴ sehingga berlaku ݎ െ ݎ݁ א ܫ untuk semua ݎ א ܴ. Dengan sifat yang sama pada ideal kanan yaitu dengan sisi yang sebaliknya, maka disebut ideal kanan regular [6]. Contoh : ℤ-modul ℤ
modular jika terdapat
Ideal kiri I dari R adalah ideal regular atau ideal
ଶ ൌ ܴܴ ് Ͳ dan ܴ tidak memiliki ideal sejati [6].
ହ
Suatu ring R disebut ring sederhana jika ܴ
dense ring endomorfisma. Oleh karena itu, berikut ini adalah definisi pada istilah tersebut.
tidak memiliki nontrivial submodul. Dalam pembahasan Teorema Jacobson Density dibahas tentang ring primitif yang isomorfis pada
ହ
⨁{0} mengartikan ℤ
ହ
= ℤ
) ൌ ݒ
HASIL DAN PEMBAHASAN
} adalah bebas linear yang merupakan himpunan bagian dari ܸ, maka terdapat basis
ହ adalah modul faithfull.
ଵ
ሼݑ
positif ݊ sedemikian rupa sehingga setiap himpunan bebas linear
dense subring) jika untuk setiap bilangan bulat
ሺܸǡ ܸሻ disebut dense ring endomorfisma ܸ (atau disebut
ܧ dari ring endomorfisma ܪ݉
Diberikan ruang vektor ܸ atas ring divisi ܦ. Misalkan
Dengan demikian, ℤ adalah ring primitif.
ℤ-modul ℤ
) = { ܽ א Ժ| ܽ݉ ൌ Ͳǡ ݉ א ܯሽ ൌ ሼͲሽ sehingga
Berikut ini dikaji beberapa sifat, Lemma, dan Teorema dari modul sederhana yang mengarah pada Teorema Jacobson Density.
Teorema 4.1 (Teorema Isomorfisma Modul I)
Misalkan ܯ dan ܰ adalah ܴ-modul. Jika
݂ǣ ܯ ՜ ܰ adalah homomorfisma ܴ-modul, maka terdapat isomorfisma ߮ǣ ܯ Τ ሺܭ݁ݎሺ݂ሻሻ ՜ ܫ݉ሺ݂ሻ dengan
߮ǣ ݉ ܭ݁ݎሺ݂ሻ ݂ሺ݉ሻ [1]. Bukti : Misalkan ܭ݁ݎ(݂) ൌ ܭ. Pemetaan
߮ǣ ܯ Τ ܭ ՜ ܫ݉ሺ݂ሻ dengan ߮ǣ ݉ ܭ ݂ሺ݉ሻ adalah isomorfis
well-defined dari grup abel dengan
ହ
ǡ ǥ ǡ ݑ
ሼݒ
ܷ dari ܸ yang mengandung ݑ
ǡ ǥ ǡ ݑ
ଵ
ǡ ǥ ǡ ݑ
. Jika ݒ
ଵ
ǡ ǥ ǡ ݒ
א ܸ, maka pemetaan ߠǣ ܸ ՜ ܸ dengan ߠ(ݑ
ଵ
ଵ
ሺܸǡ ܸሻ adalah dense subring atas dirinya sendiri. Karena, jika ሼݑ
, dimana ݅ ൌ ͳǡʹǡ͵ǡ ǥ ǡ ݊ [6]. Contoh : ܪ݉
) ൌ ݒ
} dari ܸ terdapat ߠ א ܧ sedemikian rupa sehingga ߠ(ݑ
ǡ ǥ ǡ ݒ
} dari ܸ dan setiap sebarang himpunan bagian
ܲ հ ܲȀܰ mendefinisikan korespondensi satu-satu antara himpunan dari
Bukti: ܴ-modul ܯ sederhana tidak memiliki submodul komplemen nontirivial tak sejati
Jika suatu ܴ-modul ܯ sederhana, maka ܴ-modul ܯ indecomposable [1].
Proposisi 4.6
∎
ǡ ܽ א Գ dari submodul ܯ dan ditunjukkan bahwa batas maksimal ܽ ൌ ͳ adalah nilai terbesar. Jadi, terbukti bahwa modul sederhana memiliki length tepat 1.
ୀ ଵ
}
ൌ ܯ membentuk barisan { ܰ
ܯ ൌ ܯ
ଵ
ؿ ܰ
ۃͲۄ ൌ ܰ
sederhana, maka memiliki length tepat 1 [1]. Bukti: Modul sederhana hanya memiliki submodul {0} atau dirinya sendiri sehingga dapat disusun rantai submodul sebagai berikut
ܯ
ܴ
Jika suatu
ܯ ଵ . Yaitu jika
ଵ
∎
Bukti : Fungsi
ܰ dan ߨǣ ܯ ՜ ܯȀܰ adalah pemetaan natural. Maka fungsi
Misalkan ܯ adalah ܴ-modul, ܰ adalah submodul dari
Teorema 4.8 (Teorema Korespondensi )
ൌ ܣ݊݊ሺ݉ሻ ൌ ሼͲሽ Berdasarkan Teorema 4.1 (Teorema isomorfisma modul I) sehingga ܴȀܣ݊݊ሺ݉ሻ ؆ ܯ. ∎ Teorema berikut ini membantu dalam melengkapi pembuktian Proposisi 4.9 yang digunakan untuk memahami pembuktian Teorema Jacobson Density .
ൌ ሼܽ א ܴ│݂ሺܽሻ ൌ ܽ݉ ൌ Ͳǡ ݉ א ܴሽ terpenuhi dengan ܽ ൌ Ͳ
݂ merupakan injektif dengan ܭ݁ݎሺ݂ሻ ൌ ܣ݊݊ሺ݉ሻǤ ܭ݁ݎሺ݂ሻ ൌ ሼܽ א ܴ│݂ሺܽሻ ൌ Ͳሽ
ܽ݉ א ܯ dapat ditemukan ܽ א ܴ sehingga ݂ሺܽሻ ൌ ܽ݉. Kemudian dapat dinyatakan
݂ǣ ܴ ՜ ܯ didefinisikan dengan ݂ሺܽሻ ൌ ܽ݉ adalah homomorfisma ܴ-modul surjektif dimana untuk suatu
ܴ-modul siklik, maka ܯ ؆ ܴȀܣ݊݊ሺ݉ሻ [1].
ْ ܯ
Jika ܴ adalah ring dan ܯ ൌ ۃ݉ۄ adalah
Proposisi 4.7
∎
indecomposable /tidak dapat dikomposisikan.
ൌ ܯ. Jadi, terbukti bahwa modul sederhana
ଵ
berimplikasi bahwa ܯ ൌ ۃͲۄ atau ܯ
ଶ
Proposisi 4.5
ܯ adalah modul sederhana dan ܰ ് ۃͲۄ, sehingga ܯ ൌ ܰ. Jadi, terbukti modul sederhana bersifat siklik.
ܭ݁ݎ(߮) = {0} sehingga ߮ adalah monomorfisma. Kemudian, dibuktikan bahwa
߮൫(ܽ ܭ) + (ܾ ܭ)൯ ൌ ߮ሺܽ ܭሻ ߮ሺܾ ܭሻ (ii).
߮ adalah homomorfsma modul dengan sebarang ሺܽ ܭሻ,(ܾ ܭሻ א ܯȀܭ dan ݎ א ܴ maka (i).
- modul
Proposisi 4.4
ܴ-modul maka terdapat isomorfisma ܴ-modul
ߨ ǣ ܰ ՜ ሺሺܰ ܲሻሻ Τ ܲ ߨ
adalah pembatasan ߨ ke ܰ dengan demikian
ߨǣ ܯ ՜ ܯ Τ ܲ adalah pemetaan natural dan misalkan ߨ
ሺሺܰ ܲሻሻ Τ ܲ ՜ ܰ Τ ሺܰ ת ܲሻ [1]. Bukti: Misalkan
Jika ܰ dan ܲ adalah submodul dari ܯ yang merupakan
Teorema 4.2 (Teorema Isomorfisma Modul II)
ܯ Τ ሺܭ݁ݎሺ݂ሻሻ ؆ ܫ݉ሺ݂ሻ ∎
݉ א ܯ sehingga ߮ adalah epimorfisma. Jadi, terbukti bahwa
Selanjutnya, dengan ݊ א ܰ yaitu ݊ ൌ ݂ሺ݉ሻ dapat ditemukan
߮൫ݎ(ܽ ܭ)൯ ൌ ߮(ݎܽ ܭ) ൌ ݂ሺݎܽሻ ൌ ݎ݂ሺܽሻ ൌ ݎ߮ሺܽ ܭሻ
Jika suatu ܴ-modul ܯ sederhana, maka ܴ-modul ܯ siklik [1].
Bukti: Misalkan
ሺ݊ሻ ൌ ݊ ܲ untuk semua ݊ א ܰ dengan demikian ܭ݁ݎ(ߨ
) ൌ ܰ ת ܲ dan
ሺܯȀܰሻ ؆ ሺܯȀܲሻȀሺܰȀܲሻǤ∎
Diberikan ܴ-modul ܯ. Jika ܰ dan ܲ adalah submodul dari
ሺܯȀܲሻȀܭ݁ݎሺ݂ሻ ؆ ܫ݉ሺ݂ሻ yaitu ሺܯȀܰሻ ؆ ሺܯȀܲሻȀሺܰȀܲሻ Ǥ Jadi, terbukti bahwa
ൌ ሼ݉ ܲ│݉ א ܰሽ ൌ ܰȀܲ Berdasarkan Teorema isomorfisma modul I, terbukti bahwa
homomorfisma modul dengan ܭ݁ݎሺ݂ሻ ൌ ሼ݉ ܲȁ݂ሺ݉ ܲሻ ൌ ݁ א ሺܯ Τ ܰሻሽ
well-defined dan memenuhi
݂
݂ǣ ܯ Τ ܲ ՜ ܯ Τ ܰ dengan ݂ǣ ݉ ܲ հ ݂ሺ݉ ܲሻ ൌ ݉ ܰ Dimana
ܯ dengan ܲ ك ܰ, maka terdapat suatu isomorfisma ሺܯ Τ ܲሻ Τ ሺܰ Τ ܲሻ ՜ ܯ Τ ܰ [1]. Bukti: Didefinisikan
Teorema 4.3 (Teorema Isomorfisma Modul III)
ܫ݉(ߨ
) yaitu ܰ Τ ሺܰ ת ܲሻ ؆ ሺܰ ܲሻȀܲ. Jadi, terbukti bahwa ሺሺܰ ܲሻሻ Τ ܲ ؆ ܰ Τ ሺܰ ת ܲ). ∎
ሻ ؆ ܫ݉ሺߨ
Berdasarkan Teorema isomorfisma modul I, terbukti bahwa ܰȀܭ݁ݎሺߨ
) ൌ ሺܰ ܲሻȀܲ
ݔ adalah elemen tak nol dari ܰ dan Karena
semua submodul ܯ yang mengandung ܰ dengan semua submodul dari
ܯȀܰ [1]. Bukti: Misalkan ܵ
ܴȀܫ faithfull yang selalu memuat ring primitif. Jadi, terbukti bahwa R adalah ring primitif.
ܴȀܫ juga merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Jika 0 merupakan elemen nol dan dan 1
. Karena ܴ merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, maka
ோ
ݎ א ܴ yaitu ݁ ൌ ͳ
ܫ ൌ Ͳ adalah regular, terdapat ݁ א ܴ sehingga ݎ ൌ ݎ݁ ൌ ݁ݎ untuk semua
ܣ ؆ ܴȀܫ untuk suatu I ideal kiri maksimal yang regular dari ܴ. Dengan demikian, ܴ merupakan ring komutatif, ring primitif yang memiliki identitas serta memiliki ܫ ideal maksimal dari ܴ yaitu ܫ ؿ ܣ݊݊(ܴȀܫ) ൌ ܣ݊݊(ܣ) = {0} berdasarkan Proposisi 4.9. Karena
faithfull dan berdasarkan Proposisi 4.9
ܴ adalah ring primitif sehingga suatu ܴ-modul ܣ sederhana
komutatif dengan demikian field adalah ring primitif berdasarkan Proposisi 4.10. Pembuktian pada arah sebaliknya, Diberikan
Field merupakan ring dengan elemen identitas dan
ܴ adalah field [6]. Bukti:
Ring komutatif ܴ adalah ring primitif jika dan hanya jika
Proposisi 4.11
∎
, ܣ݊݊ሺܴȀܫሻ ൌ ሼͲሽ berdasarkan Proposisi 4.9. Oleh karena itu,
merupakan elemen satuan dari ܴ, maka ሺͲ ܫሻ merupakan elemen nol dan
ோ
1
. Karena ܣ݊݊ሺܴȀܫሻ adalah sebuah ideal yang tidak mengandung
ோ
ݎ א ܴ, maka berlaku ݎ െ ݎ݁ א ܫ yaitu ݁ ൌ ͳ
reguler yaitu jika terdapat
ܫ di ܴ yang memuat ܫ. Karena ܴ memiliki elemen identitas maka ܫ adalah ideal
ܴ terpenuhi dengan ܫ ൌ ሼͲሽ karena tidak ada ideal lain selain
Bukti: ܴȀܫ ؆ ܴ dimana ܫ haruslah ideal maksimal dari ܴ berdasarkan Proposisi 4.9. Ideal maksimal dari
Ring sederhana ܴ dengan elemen identitas 1 ோ adalah ring primitif [6].
Proposisi 4.10
∎
ܣ݊݊ሺ݉ሻ sebagai ideal kiri maksimal.
ܣ݊݊ሺ݉ሻ selain daripada ܴ dan ܣ݊݊ሺ݉ሻ. Dengan demikian menunjukan syarat bahwa
ோ
(1
⟨݉⟩ dan ⟨0⟩ dimana ܣ݊݊ሺ݉ሻ terpenuhi untuk ݎ ൌ Ͳ א ܴ sebagai ideal dari
dapat dinyatakan dalam bentuk
ܴȀܫ ൌ ܴȀሼͲሽ ൌ ܴ sehingga ܴ merupakan field.
ܴȀܫ. Jadi ܴȀܫ merupakan lapangan. Karena
ሺ ܫሻ. Dengan demikian, setiap elemen tak nol di dalam ܴȀܫ mempunyai elemen invers di
Ini berarti ሺݎ ܫሻ א ܴȀܫ merupakan elemen invers dari elemen
ோ ܫ) = (ݎ ܫ)( ܫ) = ( ܫ)ሺݎ ܫሻ
ܫ) = (ݎ ܾ) ܫ ൌ (ݎ ܫ)ሺ ܫሻ dan dengan sifat komutatif diperoleh (1
ோ
(1
ோ െ ݎ) ൌ ܾ א ܫ. Akibatnya
Ini berarti (1
ݎ א ܴ.
ൌ ܾ ݎ, untuk suatu ܾ א ܫ dan
ோ
1
ோ
ோ
ב ܫ dan ൌ Ͳ ͳ
ܫሻ merupakan elemen satuan dari ܴȀܫ. Akan ditunjukkan bahwa
ܴȀܫ merupakan lapangan. Dapat diambil sebarang elemen tak nol ሺ ܫሻ di dalam ܴȀܫ. Karena
( ܫ) ൌ ሺͲ ܫሻ jika dan hanya jika ൌ Ͳ, maka haruslah
് Ͳ. Selanjutnya, misalkan ܲ adalah ideal utama di dalam ܴ yang dibangun oleh , berarti
ܲ ൌ ⟨⟩ ൌ ሼݎ|ݎ א ܴሽ karena jumlah ideal di dalam ring ܴ merupakan ideal di dalam ring
ܴ, maka ܫ ܲ juga merupakan ideal di dalam ܴ yang memuat ܫ. Sekarang, karena
ோ
א ܫ ܲ. Akibatnya 1
א ሺܫ ܲሻ, sehingga ܫ merupakan subset sejati dari ܫ ܲ. Dengan, ܫ merupakan ideal maksimal di dalam
ܴ, maka ܫ ܲ ൌ ܴ. Karena
1
ோ
א ܴ, maka 1
ோ
ܴ dan juga berarti ܣ݊݊(݉) = {0} adalah ܴ-submodul ܯ yang tidak mempunyai submodul (ideal) yang mengandung
ܯ adalah modul sederhana. Kemudian arah pembuktian sebaliknya, ܴ-modul ܯ = ⟨݉⟩ siklik sederhana dengan demikian memiliki submodul
ଵ
ଶ
ଶ
ܰ א ܲ
ଵ
. Sehingga
ଵ
א ܲ
ଵ
. Diberikan
ଶ
ൌ ܲ
ଵ
. Dapat dinyatakan ܲ
ଵ
א ܵ
ǡ ܲ
ଵ
ଵ
Ȁܰ dimana ܲ
ଶ
Ȁܰ ൌ ܲ
ଵ
ܲ
oleh ߙ(ܲ) ൌ ܲȀܰ ൌ ܫ݉ሺߨȁܲሻ. Andaikan
ଶ
՜ ܵ
ଵ
ߙǣ ܵ
= {submodul dari ܲȀܰሽ didefiniskan
ଶ
ൌ ሼܲȁܲ submodul ܯ yang mengandung ܰ} dan ܵ
Ȁܰ, dengan demikian
ܰ ൌ
ܯ tidak mempunyai submodul selain ܯ ൌ ⟨݉⟩ dan ⟨0⟩ yang berarti
ଶ
⟨݉⟩ adalah modul sederhana jika dan hanya jika ܣ݊݊ሺ݉ሻ adalah ideal kiri maksimal [1]. Bukti: Dapat dipahami dengan Proposisi 4.7 bahwa ܯ ؆ ܴȀܣ݊݊ሺ݉ሻǡ dengan demikian jika ܣ݊݊ሺ݉ሻ adalah ideal maksimal, maka Teorema Korespondensi menunjukan bahwa
Jika R adalah ring, maka sebuah ܴ-modul ܯ siklik =
Proposisi 4.9
∎
ଶ .
dan ܵ
ଵ
ߙ adalah korespondensi satu-satu antara ܵ
( ܭ)ሻ א ܭ sehingga ߙ adalah surjektif. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
ିଵ
ሺܭሻ א ܵ ଵ dan ߙሺߨ
ିଵ
ܭ א ܵ ଶ maka ߨ
sehingga ߙ adalah satu-satu. Jika
ൌ ܲ
ଶ
ك ܲ
ܰ dimana
ଶ
א ܲ
ଶ
. Oleh karena itu, ܲ
ଵ
ଶ
ଵ
dan hal yang serupa juga dapat ditunjukkan sebaliknya dengan cara yang sama sehingga
ܲ
ଶ
ك ܲ
ଵ
. Dengan demikian ܲ
∎ Untuk membahas Teorema Jacobson Density dibutuhkan dua Lemma yaitu Schur’s Lemma dan Lemma 4.13. Berikut ini pembahasan tentang Schur’s Lemma dan Lemma 4.13.
Lemma 4.12 (Lemma Schur)
ݎ א ܴ, didefinisikan pemetaan ∝
Berdasarkan Schur’s Lemma dan Lemma 4.13 yang telah dibahas akan digunakan dalam pembahasan Teorema Jacobson Density sebagai berikut.
Teorema 4.14 (Teorema Jacobson Density) Misalkan R ring primitif dan R-modul A sederhana.
Jika A adalah ruang vektor atas ring divisi ܦ ൌ ܧ݊݀
ோ
( ܣ), maka R isomorfis pada suatu dense endomorfisma D-ruang vektor A [6].
Bukti: Untuk suatu
ܽ ൌ ߠݑ െ (ߠݑ െ ܽ) א ܦݑ ܹ ൌ ܸǡ Hal ini menimbulkan kontradiksi dengan fakta bahwa
ǣ ܣ ՜ ܣ yang diberikan oleh ∝
ሺܽሻ ൌ ݎܽ adalah suatu D-endomorfisma ܣ sehingga ∝
א ܧ݊݀
ோ ሺܣሻ.
ܽ ב ܸ. Oleh karena itu, terdapat ݎ א ܴ sehingga ݎܽ ് Ͳ dan ݎܸ ൌ Ͳ. ∎
Oleh karena itu, ߠ(ݑ) െ ܽ א ܹ berdasarkan catatan diatas dan berakibat
ଵ
െ ݎ
ଶ
) ܽ ൌ Ͳ. Oleh karena itu,
ߠ(ݎ
ଵ
ݑ) ൌ ݎ
ܽ ൌ ݎ
( ܣ) ൌ ܦ maka untuk setiap ݎ א ܫ. Ͳ ൌ ߠ(ݎݑ) െ ݎܽ ൌ ݎߠ(ݑ) െ ݎܽ ൌ ݎ(ߠ(ݑ) െ ܽ).
ଶ
ܽ ൌ ߠሺݎ
ଶ
ݑሻ. Akan ditunjukkan bahwa ܽ א ܸ, dimana berdasarkan
Schur’s Lemma ߠ א ܧ݊݀
ோ
∝
adalah suatu bentuk fungsi dalam ܧ݊݀
ݎ
( ݔ)൯ ൌן
( ݏݔ)
=∝
൫ן
௦
( ݔ) = (ݎݏ)ݔ
∘∝
௦
(2) dengan demikian, suatu pemetaan ןǣ ܴ ՜ ܧ݊݀
ሺܣሻ dapat didefinisikan dengan ∝ (ݎ) =∝
ൌ ݎ(ݏݔ) =∝
( ௦)
ோ
( ݔ) +∝
ሺܣሻ sehingga untuk semua ݎǡ ݏ א ܴ sebagai indeks fungsi dapat dibentuk
∝ ሺା௦ሻ =∝ +∝ ௦ yaitu dimisalkan dengan pemetaan ݔ א ܣ sehingga berlaku ∝ (
ା௦)
( ݔ) = (ݎ ݏ)ݔ
ൌ ݎݔ ݏݔ =∝
( )
( ௦)
yaitu dimisalkan dengan pemetaan ݔ א ܣ sehingga berlaku ∝
ሺݔሻ (1) dan
∝
௦
=∝
∘∝
௦
ଵ
)( ܹ۩ܦݑ) = 0 berdasarkan hipotesis bahwa (
Misalkan ܯ adalah ܴ-modul sederhana dan diberikan
ܽ א ܣ െ ܸ, maka terdapat ݎ א ܴ sedemikian rupa sehingga ݎܽ ് Ͳ dan ݎܸ ൌ Ͳ [6].
ܦ adalah unit Hal ini mengartikan ܦ adalah ring divisi. ∎
Lemma 4.13 Misalkan A adalah modul sederhana atas ring R.
A adalah ruang vektor atas ring divisi D=
ܧ݊݀
ோ
( ܣ). Jika V adalah D-subruang vektor dengan dimensi terbatas dari D-ruang vektor A dan
Bukti: Bukti diberikan dengan pembuktian induksi dimana ݊ ൌ ݀݅݉
ோ
ܸ. Jika ݊ ൌ Ͳ, maka ܸ ൌ Ͳ dan ܽ ് Ͳ.
Karena ܣ adalah modul sederhana, ܣ ൌ ܴܽ ൌ ⟨ܽ⟩ berdasarkan Proposisi 4.4. Akibatnya, terdapat
ݎ א ܴ sedemikian rupa sehingga ݎܽ ൌ ܽ ് Ͳ dan ݎܸ ൌ ݎͲ ൌ Ͳ. Anggap
݀݅݉
ܸ ൌ ݊ Ͳ
dan teorema bernilai benar untuk dimensi kurang dari
( ܯ) ൌ ܦ sehingga setiap elemen tak nol dari
ൌ ݃ א ܧ݊݀
. Diberikan ሼݑ
ܭ݁ݎሺ݂ሻ adalah submodul dari ܯ dan ܭ݁ݎሺ݂ሻ ് ܯ karena ݂ ് Ͳ berdasarkan definisi. Oleh karena itu,
ܰ suatu ܴ-modul.
1. Setiap homomorfisma ܴ-modul taknol ݂ǣ ܯ ՜ ܰ adalah monomorfisma.
2. Setiap homomorfisma ܴ-modul taknol ݃ǣ ܰ ՜ ܯ adalah epimorfisma.
3. Endomorfisma ring ܦ ൌ ܧ݊݀
ோ
ሺܯሻ adalah ring divisi [6]. Bukti: 1.
ܭ݁ݎ(݂) = {0}. Akibatnya, ݂ adalah monomorfisma.
ିଵ
2.
ܫ݉(݃) adalah submodul tak nol dari ܴ-modul ܯ karena
݃ ് Ͳ maka ܫ݉(݃) ൌ ܯ. Dengan demikian, ݂ adalah epimorfisma.
3. Jika ݄ א ܦ ൌ ܧ݊݀
ோ
ሺܯሻ, maka ℎ ≠ 0 memenuhi sifat bijektif yang mengikuti pembuktian 1 dan 2.
݂ memiliki invers ݂
݊
ଵ
ଶ
) ݑ ൌ Ͳ, dimana
א ܫ ൌ ܣ݊݊ሺܹሻ) , maka (
ݎ
ଵ
െ ݎ
ଶ
( ݎ
ଶ
ଵ
െ ݎ
ଶ
) ܸ ൌ (ݎ
ଵ
െ ݎ
ݑ ሺݎ
ݑ ൌ ݎ
ǡ ǥ ǡ ݑ
} ( ܹ ൌ Ͳ jika ݊ ൌ ͳ). Dengan demikian,
ିଵ
ǡ ݑሽ adalah D-basis ܸ dan ܹ adalah D-subruang vektor dengan dimensi (
݊ െ ͳ) yang direntang oleh ሼݑ
ଵ
ǡ ǥ ǡ ݑ
ିଵ
ܸ ൌ ܹ۩ܦݑ (jumlah langsung ruang vektor). Dapat dilihat bahwa ܹ mungkin bukan R-submodul A karena submodul dari modul sederhana hanya ada dua berdasarkan Proposisi 4.6, tetapi dalam kaitan annihilator kiri
ଵ
ܫ ൌ ܣ݊݊ሺܹሻ di ܴ dari ܹ adalah ideal kiri dari ܴ. Maka dari itu, ܫݑ adalah R-submodul dari
ܣ. Karena ݑ א ܣ െ ܹ, hipotesis pembuktian induksi mengartikan bahwa terdapat
ݎ א ܴ sehingga ݎݑ ് Ͳ dan ݎܹ ൌ Ͳ (maka berarti ݎ א ܫ ൌ ܣ݊݊(ܹ)).
Akibatnya, Ͳ ് ݎݑ א ܫݑ dimana ܫݑ ് Ͳ. Dengan demikian, ܣ ൌ ܫݑ karena ܣ adalah modul siklik dan juga modul sederhana.
(Catatan: kontraposisi dari pernyataan induksi tersebut menunjukan bahwa jika ݒ א ܣ dan ݎݒ ൌ Ͳ untuk semua
ݎ א ܫ, maka ݒ א ܹ ). Oleh karena itu, harus ditemukan
ݎ א ܴ sehingga ݎܽ ് Ͳ dan ݎܸ ൌ Ͳ. Jika tidak terdapat ݎ yang memenuhi, maka dapat didefiniskan pemetaan ߠǣ ܣ ՜ ܣ berdasarkan definisi Lemma dimana untuk ݎݑ א ܫݑ ൌ ܣ diberikan ߠ(ݎݑ) ൌ ݎܽ א ܣ dan ߠ dapat dinyatakan well-defined. Yaitu jika ݎ
yaitu merupakan homomorfisma ring yang
well-defined
א ܴ sedemikian rupa sehingga ݐ
ݑ
dari ܣ adalah tidak nol, dengan demikian
ܴݎ
ݑ
ൌ ܣ. Kemudian, untuk subruang vektor yang lebih dari 0 terdapat ݐ
≠ 0, ܴ-submodul ܴݎ
ݎ
ݑ
ൌ ݒ
. Yaitu diberikan ݎ ൌ ݐ
ଵ
ݎ
ଵ
ଶ
א ܴ sehingga ݏ
≠ 0 dan ݎ
ܸ
= 0. Pertama, sesuai Lemma 4.13 diterapkan pada subruang vektor nol dengan elemen taknol ݎ
ݑ
sehingga terdapat ݏ
ݑ
ݎ
ݑ
≠ 0 dan ݏ
. 0 = 0.
Karena ݏ
ݎ
ݐ
ݎ
ݑ
ܴ-modul ܣ siklik, indecomposable, memiliki length tepat 1. Teorema Jacobson Density, misalkan ܴ ring primitif dan
ܫ݉ሺןሻ adalah dense ring dari endomorfisma ܦ-ruang vektor ܣ. Jadi, berdasarkan Teorema Isomorfisma Modul I, terbukti bahwa
ܭ݁ݎ(∝) = {0}, dan ܫ݉(∝) = dense ring ܧ݊݀
( ܣ) sehingga ܴȀܭ݁ݎ(∝) ؆ ܫ݉ሺןሻ atau dengan kata lain
ܴ ؆ ݀݁݊ݏ݁ ܧ݊݀
( ܣ). ∎
SIMPULAN
Jika ܴ-modul ܣ adalah modul sederhana, maka
ܴ-modul ܣ sederhana. Jika ܣ adalah ruang vektor atas ring divisi ܦ ൌ ܧ݊݀
ݑ )
ோ
( ܣ), maka ܴ isomorfis pada suatu dense endomorfisma
ܦ-ruang vektor ܣ.
DAFTAR PUSTAKA [1] Adkins, W.A, Weintraub, S.H. 1992.
Algebra An Approach via Module Theory .
Springer Verlag, New York. [2] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer.
Edisi Kedua. PT. Gelora Aksara, Jakarta. [3] Ash, R.B. 2007. Basic Abstract Algebra For Graduate and Advanced Undergraduates .
Dover Publications Inc., Mineola, New York. [4] Gazali, W. 2005. Matriks dan Transformasi Linear. Graha Ilmu, Yogyakarta. [5] Grillet, P.A. 1999. Algebra. John Wiley and Sons, Inc., New York. [6] Hungerford, T.W. 1974. Graduate Texts in
Mathematics Algebra . Springer, New York
[7] Nicholson, W.K. 1995. Linear Algebra With
ൌ ሺݐ ଵ ݎ ଵ ڮ ݐ ݎ ሻݑ ൌ ݐ ݎ ݑ ൌ ݒ Oleh karena itu,
∝ (
ଶ
ݎ
ڮ ݐ
ݎ
א ܴ.
Mengingat bahwa untuk ݅ ് ݇, ݑ
א ܸ
dimana ݐ
Akibatnya untuk masing-masing ݅ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ݊.
ݑ
א ݐ
( ݎ
ܸ
) ൌ ݐ
. 0 = 0.
. Karena ܣ adalah
( ܽ)൯
=∝
∘∝
௦
=∝
൫ן
=∝
(ii). Ambil sebarang ݉ א ܴ dan ݎ א Թ. Mengacu kembali pada persamaan (2) dengan
( ݉ܽ) ൌ ݎ݉ܽ ൌ ݎǤ (݉ܽ)
ൌ ݎ ן (
ܽ) ൌ ݎ ן ሺ݉ሻ Jadi, terbukti bahwa ∝ adalah homomorfisma ring. Kemudian ditunjukkan
∝ adalah monomorfisma atau injektif yaitu ܭ݁ݎ(∝) = {0}. Karena R adalah ring primitif dan R-modul
ܣ sederhana dengan demikian R-modul ܣ adalah faithfull yang memiliki
ܣ݊݊(ܣ) = {0} yang merupakan ideal maksimal dari R berdasarkan Proposisi 4.7 dan Proposisi 4.9. Dengan demikian dapat ditemukan
ܭ݁ݎ(∝) ൌ ሼݎ א ܴ|∝ (ݎ) =∝
= 0 } terpenuhi jika dan hanya jika ݎ ൌ Ͳ yang juga merupakan elemen dari
ܽ א ܣ sehingga berlaku ∝ (ݎ݉) =∝
( ݉ ݊) =∝ ା = ∝ (݉)+∝ (݊)
Sehingga ܭ݁ݎ(∝) ൌ ܣ݊݊(ܣ) = {0}. Hal ini menunjukan untuk setiap
= ∝
R-modul faithfull, maka ∝
= 0 jika dan hanya jika ݎ א ܣ݊݊(ܣ) = {0}.
Oleh karena itu, ∝ adalah monomorfisma dan kemudian R adalah isomorfis dengan
ܫ݉ሺןሻ sebagai subring dari ܧ݊݀
ሺܣሻ yang menunjukkan ∝ adalah epimorfisma.
Berikut pembuktiannya, Ditunjukkan bahwa ∝ adalah well-defined. Ambil sebarang ݉ǡ ݊ א ܴ dan dinyatakan ݉ ൌ ݊. Sehingga berlaku ݉ ൌ ݊ ֜ ݉ െ ݊ ൌ Ͳ א ܴ
⇒ ∝ (݉ െ ݊) = ∝ (0) ⇒ ∝
ሺିሻ
݉ǡ ݊ א ܴ. Mengacu kembali pada persamaan (1) sehingga berlaku ∝
⇒ ∝
−∝
= 0 ⇒ ∝
=∝
Jadi, terbukti bahwa ∝ well-defined. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
∝ adalah homomorfisma ring. (i). Ambil sebarang
ܣ݊݊(ܣ).
ݎǡ ݏ א ܴ dapat dipetakan satu-satu pada dense ring endomorfisma ܣ, yaitu anggap
א ܴ sehingga ݎ
ǡ ݑ
) ൌ ܸ
untuk ݅ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ݊ . Untuk masing-masing ݅ diberikan ܸ
adalah ܦ-subruang vektor ܣ yang direntang oleh
ሼݑ
ଵ
ǡ ǥ ǡ ݑ
ିଵ
ାଵ
ǡ ǥ ǡ ݑ
}. Karena ܷ adalah
ܦ-bebas linear, ݑ
ב ܸ
. Akibatnya, oleh Lemma 4.13 terdapat
ݎ
( ܷ
א ܫ݉ሺןሻ sehingga ∝
∝ (ݎ) ൌן ሺݏሻ sedemikian rupa sehingga ∝ (ݎ) =∝ (ݏ) ⇒ ∝
Jadi, terbukti bahwa ∝ adalah monomorfisma. Untuk melengkapi bukti, harus dibuktikan bahwa ܫ݉ሺןሻ adalah dense subring dari ܧ݊݀ ሺܣǡ ܣሻ.
=∝
௦
⇒ ∝
−∝
௦
= 0 ⇒ ∝
ሺି௦ሻ
= 0 ⇒ (ݎ െ ݏ) א ܭ݁ݎ(∝) = {0} ֜ ݎ െ ݏ ൌ Ͳ ֜ ݎ ൌ ݏ
Diberikan suatu himpunan bagian D-bebas linear ܷ ൌ ሼݑ
ଵ
ǡ ǥ ǡ ݑ
} dari ܣ dan sebarang himpunan bagian
ሼݒ
ଵ
ǡ ǥ ǡ ݒ