Generalized Inverse Pada Matriks Atas

  Generalized Inverse Pada Matriks Atas _{1 2 E-mail: corrazon_m@yahoo.co.id@uin-suska.ac.i}

_{Suatu matriks mempunyai invers apabila matriks tersebut non-singular dan bujur sangkar. Namun,}

_{apabila matriks tersebut singular atau tidak bujur sangkar, inversnya masih dapat ditentukan dengan}

_{generalized inverse . Pada tugas akhir ini dibahas bagaimana menentukan generalized inverse pada}

ABSTRAK

_{pembahasan pada tugas akhir ini dapat disimpulkan bahwa apabila}

matriks atas menggunakan aturan algoritma dan aturan pendiagonalan matriks. Berdasarkan

_{adalah lapangan dan matriks atas pasti mempunyai generalized inverse. Namun apabila} merupakan bilangan prima maka _{tidak tunggal.}

_{yang tidak mempunyai invers terhadap perkalian. Adapun generalized inverse yang diperoleh adalah}

_{generalized inverse apabila dalam proses pengerjaan tidak dibutuhkan invers dari suatu elemen atas}

_{bilangan prima maka adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan matriks atas mempunyai}

bukan _{Kata kunci: Bilangan Bulat Modulo n, Generalized Inverse, Lapangan, Rank, Ring} .

_{A matrix has an inverse if the matrix is non-singular and square. However, if the matrix is singular or}

_{determine the inverse matrix of using the rules diagonalizing matrix and algorithms rules. The result}

_{not square, inverse still can be determined with the generalized inverse. In this thesis discussed how to}

ABSTRACT

_{of this research is that if} is a field and the matrix over has a generalized

_{inverse. However if is commutative ring with unity, and the matrix over has a}

is a prime then _{KeyWords: Field, Generalized Inverse, Integer Modulo n, Rank, Ring. inverse. The generalized inverse was not obtained in a single.}

_{generalized inverse if in the process is not needed inverse of an element over has no multiplicative}

is not prime then _{Salah satu jenis himpunan matriks adalah himpunan dari matriks atas lapangan,}

Pendahuluan

_{komutatif, yang disebut dengan himpunan dari semua matriks atas ring komutatif,}

_{himpunan dari matriks atas lapangan, ada juga himpunan dari matriks yang entri-entrinya elemen ring}

. Selain

_{lain bahwa hanya matriks bujur sangkar dan non singular yang memiliki invers. Berdasarkan jurnal yang}

_{mempunyai invers apabila matriks itu merupakan matriks bujur sangkar dan non singular. Dengan kata}

_{perkalian matriks, determinan dari matriks dan menentukan invers dari matriks. Suatu matriks}

_{Dalam perhitungan matriks terdapat beberapa operasi matriks, antara lain penjumlahan matriks,} . berjudul _{singular juga mempunyai invers yang disebut generalized inverse.}

_{hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai invers, tetapi matriks yang tidak bujur sangkar atau}

“A Generalized Inverse for Matrices” karangan R. Penrose Tahun 1954 bahwasanya bukan

  Generalized inverse telah banyak yang dibahas dan diteliti diantaranya, Jeff Gill and King dalam _{yang berjudul}

_{menentukan generalized inverse pada matriks. Selanjutnya, I.A Adetunde, dkk tahun 2010 dalam jurnal}

jurnal yang berjudul “What is the Generalized Inverse of a Matrix?” yang telah membahas mengenai

_{persamaan linear. Selanjutnya penelitian yang sudah dilakukan oleh Desi Murnita (2012), yakni tentang}

_{generalized inverse pada matriks singular dan matriks bujur sangkar serta penerapannya pada sistem}

“On The Generalized Inverse of a Matrix” yang membahas tentang menentukan _{menentukan generalized inverse dari matriks yang tidak bujur sangkar berukuran}

“Penyelesaian Invers Matriks Menggunakan Metode Generalized Inverse”, yang membahas bagaimana

_{bujur sangkar yang berukuran} dan matriks _{matriks yang tidak bujur sangkar berukuran Pada penelitian ini mengemukakan tentang bagaimana menentukan generalized inverse dari} yang singular. _{inverse pada matriks atas yang singular atas . Dalam penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan langkah-langkah penyelesaian generalized} dan matriks bujur sangkar yang berukuran dengan aturan pendiagonalan matriks dan algoritma. _{bersangkutan.}

_{data dan informasi dari berbagai sumber seperti jurnal-jurnal, atau makalah-makalah dan buku-buku yang}

_{Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur yaitu dengan mengumpulkan}

Metode Penelitian

Jalannya penelitian dapat ditunjukkan pada Gambar 1 dibawah ini: _Mulai Aturan algoritma Aturan pendiagonalan Matriks _{Matriks dengan ordo Matriks dengan ordo} atas atas atas atau _{Menentukan matriks OBE dan matriks} dengan _{Menemukan sembarang matriks minor non-singular Menentukan rank dari matriks dengan orde menggunakan OKE Menentukan matriks diagonal} dengan _{Menghitung invers dari matriks} dinotasikan dengan _{Menghitung invers dari matriks Dalam matriks ,} Transposkan matriks _{Transposkan matriks sedangkan yang lainnya diganti dengan nol} , ganti setiap elemen matriks dengan _{Hasil Hasil} atas _Selesai Selesai

  

Gambar 1 Flowchart Metodologi Penelitian

  _{maka kita dapat menentukan invers dari matriks tersebut yang dinamakan generalized inverse. Generarlized Inverse}

_{singular. Akan tetapi bila diberikan permasalahan untuk matriks yang tidak bujur sangkar atau singular,}

_{Selama ini yang diketahui matriks yang memiliki invers adalah matriks bujur sangkar dan non}

Hasil Dan Pembahasan

Definisi 1. (J.Otero, 1998): Jika _dari adalah matriks berukuran , maka adalah generalized inverse _{1. Aturan algoritma. Ada dua cara yang digunakan untuk menemukan generalized inverse dari sebuah matriks yaitu : 2. Aturan pendiagonalan matriks.}

dengan ukuran matriks apabila berlaku . Adapun matriks ini tidak tunggal.

_{maka ditulis (R,+,} Ring (Gelanggang) _{Apabila himpunan tak kosong R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan ring,}

_{Definisi 2. (Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert,1992): Diberikan himpunan tak kosong R disebut ring}

_{(gelanggang) atas operasi penjumlahan (+) dan perkalian (} ) suatu ring, atau lebih singkat disebut R ring. _{1. Untuk setiap} ), jika memenuhi sifat : _{2. Untuk setiap} maka berlaku (sifat tertutup). _{3. Terdapat e} maka berlaku (sifat assosiatif). _{4. Untuk setiap elemen identitas).} sehingga untuk setiap berlaku bahwa (eksistensi _{5. Untuk setiap invers).} terdapat ( sehingga (eksistensi elemen _{6. Untuk setiap} berlaku (bersifat komutatif). _{7. Untuk setiap} maka (tertutup). _{8. untuk setiap} berlaku (sifat assosiatif). berlaku (distributif kanan) dan _{sehingga untuk setiap Definisi 3. (Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert,1992): Diberikan suatu ring R. Jika terdapat} (distributif kiri). _{Definisi 4. (Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert,1992): Diberikan suatu ring R dengan komutatif.}

_{sebagai ring dengan elemen satuan. Jika terhadap perkalian R bersifat komutatif, maka R disebut ring}

berlaku maka disebut elemen satuan dan R dikatakan _{dan diberikan} elemen satuan, Jika berlaku maka adalah invers perkalian dari .

  Lapangan _{Definisi 5. (Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert,1992): Diberikan}

_{Suatu lapangan adalah tipe dari ring. Adapun definisi dari lapangan dapat di lihat di bawah ini:}

_{1. lapangan jika memenuhi sifat :} suatu ring. Maka adalah sebuah _2. adalah ring komutatif. _{3. Setiap elemen tak nol dari} mempunyai elemen satuan , dan _{melihat di akibat 2.1 bahwa jika Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks adalah contoh dari lapangan. Kita akan} mempunyai invers perkalian. _{adalah bilangan prima.}

_{Akibat 6. (Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert,1992): adalah sebuah lapangan jika dan hanya jika}

adalah bilangan prima, maka adalah lapangan.

  _{menggunakan matriks yang entri-entrinya anggota dari himpunan dan} Dalam contoh yang akan digunakan di bawah ini, perhitungan yang akan dilakukan kita Adapun perbedaan dari

1. Menentukan Generalized Inverse pada Matriks atas Menggunakan Aturan Berikut ini akan diberikan contoh matriks bujur sangkar atas berordo Algoritma Contoh 1: memenuhi sifat-sifat lapangan. generalized inverse dengan menggunakan aturan algoritma. ini sudah terbukti lapangan, karena telah untuk menentukan Akan ditentukan rank dari matriks Penyelesaian : Tentukan generalized inverse dari matriks menggunakan aturan algoritma.

  sebagai berikut : Jadi rank dari matriks _{a. Diberikan matriks algoritma adalah sebagai berikut: Adapun langkah-langkah untuk menentukan generalized inverse dengan menggunakan aturan} adalah 2. _{non-singular dengan orde :} dengan ordo dengan , temukan sembarang matriks minor . Notasikan dengan

  2

  4    

  2

  1 _{b. Menemukan invers matriks , yaitu kemudian tranposkan :}  

  4

  4 ₌    

  2

  3  

  4

  2    

  4

  3 _{c. Dalam matriks dengan elemen matriks dan ganti}   _{elemen lainnya dengan nol, yaitu :} , diganti setiap elemen matriks

  4

  2    

  4

  3     _{d. Transposkan matriks}  

  , diperoleh:

  4

  4         _{e. Hasilnya berupa matriks , generalized inverse dari matriks}  

  adalah:

  4

  4    

  2

  3     _{Matriks ini merupakan salah satu generalized inverse dari matriks}   _{Selanjutnya akan ditunjukkan adalah generalized inverse dari} .

  apabila berlaku

  2

  4

  4

  4

  2

  4

  2

  4                

  2

  1

  3

  2

  3

  2

  1

  3

  2

  1

  3         

  1 2    

  1 2  

          1 2  _{Jadi, terbukti adalah generalized inverse dari matriks matriks Dengan langkah-langkah yang sama, akan ditemukan generalized inverse yang lainnya pada} . _{. Dari hasil di atas dapat dilihat bahwa generalized inverse dari matriks} Dengan ditunjukkan adalah generalized inverse dari matriks atas _himpunan atas adalah tidak tunggal. Maka dari itu _{Contoh 2 : Berikut ini akan diberikan contoh matriks atas yang berordo} merupakan lapangan. _{sifat-sifat ring komutatif dengan elemen satuan.}

_{generalized inverse . ini sudah terbukti ring komutatif dengan elemen satuan, karena telah memenuhi}

untuk menentukan

  1

  5

  4   _{Tentukan generalized inverse dari matriks}  

  5

  1

  3

  5

  dengan menggunakan aturan

    

  1

  2

  _{Penyelesaian :} 5 1  _{Akan ditentukan rank dari matriks algoritma.}  

  sebagai berikut :

  1

  5

  4    

  5

  1

  3

  5    

  1

  2

  5

  1  

  1

  5

  4    

  1

  2

  3   

    2 3  _{Jadi rank dari matriks algoritma adalah sebagai berikut: Adapun langkah-langkah untuk menentukan generalized inverse dengan menggunakan aturan} adalah 3. a. Diberikan matriks dengan ordo dengan , temukan sembarang matriks minor _{non-singular dengan orde} . Notasikan dengan ^,

      

  5

  3

  2

  2

  1

  2

  5

       

  1      

  5

  4

  1

  3

  3

  5

  1

  2

  5

  1

      

  4 Matriks ini merupakan salah satu generalized inverse dari matriks . _{Selanjutnya akan ditunjukkan adalah generalized inverse dari} apabila berlaku     

  3

  5

  5

  4     

  2

      

  5

  4

  5

  1

  3

  5

  1

  2

  5

  1

  1     

      

  5

  4

  5

  1

  3

  5

  1

  2

  5

  1

  3

  2

      

  2

      

      

  c. Dalam matriks , diganti setiap elemen matriks dengan elemen matriks ^{dan ganti} _{elemen lainnya dengan nol, yaitu :}

  4

  3

  1

  3

  2

  2

  5

  5

  2

      

      

  5 b. _{Temukan invers matriks , yaitu kemudian tranposkan , untuk mencari invers matriks diperoleh dari operasi baris elementer.}

  4

  1

  3

  5

  2

  5

  1

  5

  5

  1

  2

  2

  5

       

       

  e. Hasilnya berupa matriks , generalized inverse dari matriks adalah:

  4

  3

  5

  3

  2

  1

  2

  2

  5

       

       

  d. Transposkan matriks , diperoleh:

  4

  3

  1

  3

  2

  1 Jadi, terbukti adalah generalized inverse dari matriks . _{Dengan langkah-langkah yang sama, akan di tunjukkan generalized inverse yang lainnya, yaitu : a. Diberikan matriks} dengan ordo dengan , temukan sembarang matriks minor _{non-singular dengan orde} . Notasikan dengan ^,

  1

  5        

  1

  2

  5 _b.   _{, yaitu kemudian tranposkan , untuk mencari invers}

  Temukan invers matriks _{matriks diperoleh dari operasi baris elementer.}

  Matriks ^{tidak mempunyai} _{invers terhadap perkalian pada , sehingga matriks}

di atas tidak dapat dicari generalized inverse nya karena

tidak mempunyai generalized inverse.

  

2. Menentukan Generalized Inverse pada Matriks Atas Menggunakan Aturan

_{Contoh 3:} Pendiagonalan Matriks

  2

  4   _{Tentukan generalized inverse dari matriks menggunakan aturan pendiagonalan}  

  2

  1

  3    

  1

  2 _matriks.   _{a. Diketahui matriks pendiagonalan matriks adalah sebagai berikut :} Penyelesaian : _{Adapun langkah-langkah untuk menentukan generalized inverse dengan menggunakan aturan Sehingga diperoleh matriks elementer (OBE).} ordo . Akan dicari matriks dengan melakukan operasi baris

  :

  1    

  P 

  1 3 .   

  1

    1 1  _{Selanjutnya akan dicari untuk matriks Sehingga diperoleh matriks} dengan melakukan operasi elementer kolom (OKE).

  :

  1

  3    

  Q 

  1

  1    1    b. Setelah didapatkan matriks dan matriks , selanjutnya akan ditentukan matriks dengan _{menggunakan persamaan} , yaitu :

      

      

  

  1

  1

c. Kemudian akan dicari invers matriks sehingga diperoleh:

      

  1

  1

  3

  1

  2

  4

  2     

      

  2

  3

      

  1

  2

  4

  2 Jadi, terbukti

  adalah generalized inverse dari matriks . Matriks ^{ini tidak tunggal.} _{Untuk menentukan generalized inverse lainnya dengan langkah-langkah yang sama.}

  

Kesimpulan

_{Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan, maka diperoleh suatu invers dari matriks atas dengan}

_{metode generalized inverse, terdapat dua aturan yaitu algoritma dan aturan pendiagonalan matriks.}

_{Sehingga dapat diperoleh beberapa kesimpulan adalah sebagai berikut:}

  1. Apabila merupakan bilangan prima, maka ^{adalah lapangan dan matriks atas pasti} _{mempunyai generalized inverse. 2. Apabila} bukan bilangan prima, maka ^{adalah ring komutatif dengan elemen satuan.} _{3. Apabila} bukan bilangan prima, maka matriks atas ^{mempunyai generalized inverse jika} _{dalam pengerjaan tidak dibutuhkan invers dari suatu elemen atas yang tidak mempunyai invers terhadap perkalian.}

  

Daftar Pustaka

[1] Adi, Ben-Israel, N.E. Greville, Thomas. 1973. Generalized Inverse Theory and Application.

_{Second Edition, Canadian Mathematical Society Societe mathematique du canada.}

  [2] ^{Anton, Howard dan Rorres, Chriss. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi} _{Kedelapan. Erlangga. Jakarta.} [3] ^{Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linier, Jilid 1. Interaksara. Batam Center.}

  2

  1     

  

      

  1

  1

  d. Selanjutnya akan ditentukan matriks yaitu , yaitu :

      

      

  3

  1

  1 Selanjutnya akan ditunjukkan adalah generalized inverse dari

  apabila berlaku

      

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  4

  2     

      

  3

      

  

[4] Gilbert, Jimmie, dan Gilbert Linda. 1992. Elements of Modern Algebra. KENT Publishing

_{Company. Boston.} [5] Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York. [6] ^{Murnita, Desi. 2012. Penyelesaian Invers Matriks Menggunakan Metode Generalized Inverse.} _{Skripsi. UIN SUSKA RIAU. Pekanbaru.} [7] ^{Otero,J. 1998. Generalized Inverse matrices and the Gauss-Markov Theorema, Seccion} _{Departamental de Astronomia y Geodesia Universidad Complutense de Madrid. Publicacion num 192.}

  [8] Ruminta. 2009. Matriks Persamaan Linier dan Pemograman Linier. Rekayasa Sains. Bandung. [9] Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Edisi ketiga. Informatika Bandung. Bandung. [10] ^{Udjiani, Titi. 2004. Invers Matriks Moore Penrose Atas Ring Komutatif dengan Elemen Satuan.}

_{Vol.7. No. 1. 20-30. Program Studi Matematika FMIPA. Universitas Diponegoro. Semarang .}