https://drive.google.com/file/d/0B z5oZTdyBW1cHlzMFJzWTBuc2M/view

DERET
FOURIER
Oleh : Anita Triska

PENDAHULUAN
 Dalam bab ini akan dibahas fungsi-fungsi periodik

yang dinyatakan dalam bentuk deret tak hingga
 Fungsi periodik sering muncul dalam permasalahan
getaran mekanik, arus listrik bolak balik, gelombang
bunyi, gelombang elektromagnet, hantaran panas,
dsb.
 Fungsi-fungsi periodik yang rumit dapat dianalisis
dengan menguraikan fungsi tersebut ke dalam
sebuah deret fungsi periodik sederhana yang
dibentuk oleh fungsi sinus, cosinus, dan
eksponensial.

 Uraian deret fungsi periodik seperti itu

disebut DERET FOURIER

 Ditemukan oleh seorang matematikawan
berkebangsaan Perancis bernama JOSEPH
FOURIER
 Pertama kali dirumuskan mengenai
hantaran panas tahun 1807.

KURANG MENARIK ???

FAKTA TENTANG DERET FOURIER
Fakta tentang deret Fourier dalam kehidupan seharihari :
 Gelombang suara yang masuk ke dalam telinga
manusia merupakan gelombang sinus.
 Gelombang suara yang merupakan gelombang sinus

yang masuk ke telinga kemudian dipecah menjadi
deret Fourier sehingga dapat didengar.

FAKTA TENTANG DERET FOURIER
 Alat ECG (Electronic Cardio Graphic)
 Sebagai sistem kendali gerak sebuah robot yang

pergerakannya menggunakan deret Fourier

FUNGSI PERIODIK
Definisi 1:
Sebuah fungsi
dikatakan periodik dengan periode
� jika untuk setiap berlaku
+� =
, dimana
� konstanta positif.
 Nilai � positif terkecil dinamakan periode

. Jika
� adalah periode terkecil maka � disebut periode
dasar dan selang ≤ ≤ + � disebut selang
dasar dengan adalah sebuah konstanta.

 Konstanta

pada selang dasar dapat diplih
�
sembarang, bisa 0 atau negatif. Namun = −
sering dipilih untuk memberikan selang dasar yang
simetris terhadap

�

= . − ≤

≤

�

.

Contoh 1:
 Fungsi f

= sin mempunyai periode �, �,

�, … karena sin + � , sin + � , sin +
� sama dengan sin .
� merupakan periode terkecil sehingga disebut juga
periode sin .
 Periode fungsi sin
atau cos
dimana adalah
bilangan bulat positif, adalah �/ .
 Periode f
= tan adalah �.

DERET FOURIER
Definisi 2:
Misalkan
adalah sebuah fungsi periodik yang
didefinisikan pada selang dasar −�, � dan di luar
selang dasar didefinisikan
+ � =
, dengan
periode fungsi � = � . Maka fungsi

dapat
diuraikan dalam deret Fourier yang bersesuaian
sebagai berikut :
a0 
nx
nx
(1)
f ( x) 
)
  (a n cos
 bn sin
2

n 1

L

L



, � , dan
dengan:

disebut koefisien-koefisien Fourier

�

1
nx
a n   f ( x) cos
dx
L L
L
L

bn 

dengan

nx
1
f
x
(
)
sin
dx

L L
L
L

= , , , ,…

 Definisi 2 digunakan jika fungsi dengan

periode � = � memiliki selang dasar
simetris terhadap =
−�, � .

 Sedangkan jika selang dasar tidak simetris,

misal ≤ ≤ + � atau
maka gunakan Defenisi 3.

≤

≤ + �

Definisi 3:
Jika
adalah sebuah fungsi periodik dengan
periode � yang terdefinisi pada selang dasar
+� =
c ≤ ≤ + � atau c ≤ ≤ + �, yaitu
. Maka
dapat diuraikan dalam deret Fourier
sebagai berikut :
a0 

nx
nx
f ( x) 
  (a n cos
 bn sin
)
2 n 1
L
L

Untuk koefisieen Fourier, karena untuk

=

an 

1
L



→

c2L

���
�
�

f ( x) cos

=

nx
dx
L

sehingga
1
menjadi a 0  L

 f ( x)dx

c2L

1
Atau dapat juga dihitung dengan a 0  L  f ( x)dx
L
c

c

L

Ini akan memberikan hasil yang sama karena
adalah fungsi periodik.
c2L
Sedangkan
1
nx
bn 

L


c

f ( x) sin

L

dx

� = periode, � = periode = �

CATATAN PENTING !!!!!!!!!!
 Pada dasarnya Definisi 2 dan Defenisi 3 bermakna

sama.
 Definisi 2 hanya berlaku khusus untuk selang dasar
simetris −� ≤ ≤ � .
 Namun Definisi 3 berlaku umum, baik untuk selang
dasar simetris −� ≤ ≤ � maupun yang tidak
simetris c ≤ ≤ + � atau c ≤ ≤ + � .
 Sehingga definisi 3 dapat digunakan untuk fungsi
periodik dengan selang dasar simetris.

Contoh 2 :

Diketahui sebuah fungsi
a. Gambarkan grafik
b.
c.
d.

=

,
,

− < <
< <

diatas
Tentukan koefisien Fourier dan
Uraikan deret Fourier
Tuliskan rumus deret Fourier untuk

diatas

Jawab :
 Dari fungsi

yang diberikan dapat diketahui
bahwa periodenya adalah � = , sehingga � = .
 Selang dasar − < < .
 Maka dapat disimpulkan bahwa selang dasar yang
diberikan simetris.
 Sehingga
dapat dikerjakan dengan Definisi 2
maupun dengan Definisi 3.
Soal berikut akan dikerjakan dengan kedua definisi untuk
memperlihatkan kesamaan hasil yang diberikan.

a. Grafik fungsi
Dengan memperluas
ke kiri dan ke kanan
sumbu maka dapat digambarkan sebagai berikut :

6

� �

3
-15

-10

-5

5

10

15

b. Koefisien Fourier
 Dengan Defenisi 3

Selang dasar − < < . Menggunakan Defenisi 3,
maka selang dasar c ≤ ≤ + �. Dengan demikian
= − dan � = � = . = . Sehingga batas
pengintegralan dimulai dari:
=
→ + �=− +
=

Sehingga
1
an 
L



c  2L



c
5

n πx
f(x) cos
L

n πx
1

f(x) cos
L
5
5





5
0

n πx 
1
n πx
  f(x) cos
dx  f(x) cos

L 
5
L
0
 5






0
5

1
n πx
n πx 
  (0) cos
dx  (3) cos
dx 
5
L
L

5
0





3
nπx
an 
cos
dx
5
5
5

(*)

0

3 5
n π x
3 5

 
sin
sin
nπ
0



0

5  nπ
5  0 5  nπ

5

Sedangkan untuk = , yaitu dapat
dihitung langsung dari (*) sehingga didapat :

3
a0 
5


5

0

3
cos 0 dx 
5

 dx  3
5

0

1
bn 
L
1

5



c  2L


c
5

5



nπx
f(x) sin
dx
L

nπx
f(x) sin
dx
5



0
5

1
nπx
n π x 
  (0) sin
dx  (3) sin
dx 
5
5
5

0
 5



5

1
n π x 
bn   (3) sin
dx 
5
5

0


3

5


5

nπx
n π x
3 
sin
dx 
cos

5
nπ 
5  0

3
cos nπ  cos 0

nπ
3
3
cos nπ  1  1 cos nπ 

nπ
nπ
0

5

c. Uraian deret Fourier
a
f ( x)  0 
2

=

+




n 1

�

(a n cos

sin

�

nx
nx
 bn sin
)
L
L

+ sin

�

+ sin

�

+⋯

d. Rumus deret Fourier
=
=

+
+

�
�

sin

∞
�=

�

+ sin
−

sin

�

+ sin
−

�

�

+⋯

Dengan menggunakan Defenisi 2, karena
� = maka koefisien Fourier dapat dihitung
dengan:



n πx
1
f(x) cos
an 
L
L
L





-L
5

n πx
1
f(x) cos
L
5
5





0
5

n πx 
n πx
1
  f(x) cos
dx  f(x) cos

L 
L
5
0
 5






0
5
n πx 
n πx
1 
  (0) cos
dx 
dx  (3) cos
L
L
5

0
 5



Sedangkan
1
nπx
1
bn 
f(x) sin
dx 
L
L
5
L






5

5

nπx
f(x) sin
dx
5

0
5

n π x 
nπx
1
dx 
dx  (3) sin
  (0) sin
5
5
5

0
 5
5
5


nπx
nπx  3
1
dx
sin
dx  
  (3) sin
5
5
5
5

0

0
-L





n π x
3
3 
cos nπ  cos 0
cos




5  0 nπ
nπ 
5

3
3
cos nπ  1  1 cos nπ 

nπ
nπ

Kesimpulan

Defenisi 3 dapat digunakan untuk kasus
selang dasar simetris atau tidak simetris

Contoh 3 :

Diketahui sebuah fungsi
a. Gambarkan grafik
b.
c.
d.

=

,
,

−� < <
<