Computer Vision Sejauh Ini

  Computer Vision Camera and Perspective Imaging

  Fundamental Image Processing for Computer Vision Course (Even though there’re more but it’s ok)

Apa itu Gambar

• Sampai sekarang kita memahami bahwa gambar merupakan sebuah fungsi 2D dari nilai intensitas cahaya.
• Mulai hari ini, kita akan memahaminya sebagai proyeksi 2D dari lingkungan 3D.

Apa itu Kamera

• Sebuah alat yang mengijinkan proyeksi cahaya dari tiga dimensi jatuh ke sebuah medium yang akan merekam pola cahaya tersebut.
• Bisa film, bisa sensor, dan lain lain.
• Kata kunci disini adalah proyeksi.

  

Proyeksi

  

Kamera Pinhole

Cara Kerja Lensa

  Focal Length Optical Axis Parallel Rays

  

Asumsi Thin Lens

Object

  Lens Focal Point Image

  ′

Asumsi Thin Lens

  − ′ ′ ′

Asumsi Thin Lens

  − ′ ′ ′ − ′

  = ′

Asumsi Thin Lens

  − ′ ′ ′ − ′

  = ′ − ′ =

  ′ − ′ =

  ′ −

  1 = 1 −

  1 ′ 1 =

  1 ′ +

  1 Seluruh objek yang memenuhi persamaan ini ada dalam fokus Diskusi

• Diketahui sebuah lensa memiliki focal length = 50mm.
• Terdapat sebuah objek berjar
• 1 meter
• 2 meter
− ′<
• Berapa ′ agar objek berada dalam fokus pada gambar?
_{′ ′}

  

Varying in Focus

  

Field of View

  

Depth of Field

  

Depth of Field

  

Zooming vs. Moving

  

Zooming and Moving Bersamaan

  

Projective Geometry

Motivasi Utama dalam Projective Geometry • Hubungan antara objek yang ada di Lingkungan 3D dan objek yang ada di Gambar 2D

• Hubungan antara poin (pixel) dalam Gambar asal arah cahayanya dari Objek 3D.
• Orientasi kamera relatif terhadap sudut referensi tertentu.
• Menerka struktur geometri dari objek berdasarkan informasi dari gambar.

  

Masalah Utama dalam Projective Geometry

memproyeksikan dunia 3D

• Kamera menjadi 2D.
• Menyebabkan hilangnya informasi.
• Informasi apa yang hil>Kedalaman!
• Informasi 3D bisa didapatkan kembali jika tersedia informasi tambahan.
• Detail mengenai kamera.
• Ukuran objek.

  

Properti Geometri dari Gambar

• Line Preserving
• Garis lurus di Lingkungan 3D akan tetap garis lurus Gamba>Bukan Length-Preserving
• Objek besar di Lingkungan 3D akan menjadi kecil di Gamba
• Bukan Angle-Preserving
• Sudut antar dua buah garis di Lingkungan 3D akan berubah di Gambar 2D

  akan berpotongan di Gambar 2D

• Dua buah garis parallel di Lingkungan 3D

  

Vanishing Point

Point at Infinity

Horizon Line at Infinity

  

Vanishing Points dan Horizon

• Garis parallel menjadi tidak parallel lagi.

• Seluruh garis parallel berpotongan di vanishing point.
• Vanishing point, merupakan poin pada posisi tak terhingga – Point at Infinity.
• Setiap garis yang terbentuk dalam projective geometry selalu bertemu di vanishing point.

  poin pada posisi tak terhingga ?

• Bagaimana cara mendeskripsikan

  

Vanishing Points dan Horizon

  

Masalah dengan Euclidean Geometry

• Dalam Euclidean Geometry, kita bisa saja menuliskannya dengan = ( , , ∞).

• ∞ bukanlah angka, melainkan konsep, ∞ tidak dapat dioperasikan dalam matematika.
• Kalau kita mau transformasikan (rotasi, translasi) objek pada posisi ∞?
• Masalah!

  

Masalah dengan Euclidean Geometry

  1 3×3

• Transformasi rotasi ∈ ℝ = 0 cos sin 0 −sin cos

  disini merupakan poin dalam ruang 3D 3×1

• Transformasi translasi ∈ ℝ =

  ′

• Dilakukan secara terpisah, sedemikian sehingga = + • Saat transformasi semakin kompleks, komputasi juga semakin kompleks.
• Masalah!

  

Projective Geometry vs. Euclidean Geometry

• Di Projective Geometry, matematika akan lebih sederhana dibanding Euclidean Geometry.

• Komputasi sebenarnya bisa saja dilakukan di Euclidean Geometry, tapi lebih sulit.
• Sistem koordinat yang digunakan oleh P.G. disebut sebagai Homogeneous Coordinate.
• Dengan Homogeneous Coordinate, poin pada posisi tak terbatas dapat di representasikan dengan koordinat yang terbatas.

• • Dengan Homogeneous Coordinate, transformasi (rotasi dan translasi) bias dilakukan hanya

  menggunakan satu matrix.

Projective Geometry

• Secara matematis, Projective Geometry didefinisikan sebagai : • Saya yakin, dalam hati kalian sekarang berkecamuk melihat definisi diatas.
• Tenang, tugas saya adalah menerangkan apa maksud pengertian diatas secara intuitif 

  

Homogeneous Coordinate

homogeneous jika

• Representasi x, koordinat sebuah objek, adalah x = x merepresentasikan objek yang sama untuk ≠ 0. _{Cartesian Coordinate}

  ≠ _{Homogeneous Coordinate} x = x

  

Homogeneous Coordinate

• Homogeneous Coordinate menggunakan + 1 dimensi, untuk mendeskripsikan dimensi.

• • Poin 2D di Cartesian Coordinate, direpresentasikan dengan 3D di Homogeneous Coordinate

  = x = _{Cartesian Coordinate Homogeneous Coordinate}

  1 x = = / / /

  =

  

Homogeneous Coordinate

• Untuk konversi kembali dari Homogeneous Coordinate ke Cartesian Coordinate

  

1

=

  

Projective Geometry &amp; Homogeneous Coordinate

Hanya itu?

  

Motivasi Mengapa Homogeneous Coordinate Diciptakan

• Matematikawan tidak suka pengecualian! Mereka benar-benar benci.

• Goal dalam membuat sebuah teorema adalah harus berlaku untuk seluruh situasi.
• Dalam Euclidean Geometry: Dua garis berbeda, akan selalu berpotongan di satu poin.
• Kecuali
• le mathematicians , dua garis tersebut parallel.

  

Part 1: Ide Impresif Matematikawan

• “Sebentar, Bagaimana jika kita generalisir Euclidean Geometry?”

  2D menjadi 3D,

  3D menjadi 4D”

• “Kita perkaya dimensi Euclidean Geometry menjadi +1 nya,

  garis

  3D yang melewati Origin poin “

• “Kita akan menyebut

  (0,0,0) sebagai bidang planar

• “Juga, kita akan menyebut

  3D yang melewat Origin garis ”

  (0,0,0) sebagai • Jadi, matematikawan menyarankan kita untuk meningkatkan dimensi. menjadi garis

• Poin

  menjadi bidang planar

• Garis

Part 1: Ide Impresif Matematikawan Mari sebut garis hijau

  ini sebagai “poin” Mari sebut planar merah ini sebagai “garis”

  

Part 1: Ide Impresif Matematikawan

, tidak apa, cepat atau lambat akan semakin jelas.

• Jika kalian seperti ini
• “Poin”

  dapat ditulis dengan , ,

• Ini berarti 3,2,1 akan sama dengan 6,4,2
• Karena 6,4,2 = 2 3
• Contoh:
• 5, 3, 1

  akan sama dengan 10, 6, 2

  akan sama dengan 2.5, 1.5, 0.5

• 5, 3, 1
• Karena 5,3,1 = 2 5,3,1 = 0.5(5,3,1) Part 2: Poin dalam H.C.

  x = x

  

Part 3: H.C. dan C.C.

garis hijau planar merah ), dan planar Projective Plane )

  ),“garis” (

• Pandang “poin” (

  = 1 (

• Lihat pada “poin” ( garis hijau ).
• Kedua

  “poin” yang terbentuk dari , , dengan

  ≠ 0, akan selalu berpotongan dengan Projective Plane .

• , , kita sebut sebagai Homogeneous Coodinate dari sebuah “poin” .
• Dan titik perpotongan “poin” dengan Projective Plane adalah yang kita pahami sebagai poin di Cartesian Coordinate

  Part 3: H.C. dan C.C.

• Lihat pada “poin” (garis hijau).
• Kedua “poin” yang terbentuk dari , , dengan ≠ 0, akan selalu berpotongan dengan Projective Plane.
• , , kita sebut sebagai Homogeneous Coodinate dari sebuah “poin” .
• Dan titik perpotongan

  “poin” dengan Projective Plane adalah yang kita pahami sebagai poin di Cartesian Coordinate

Part 3: H.C. dan C.C.

  

Part 4: H.C. dan Point at Infinity

dengan

  “poin”

• Pandang sebuah &gt; 0, maka

  “poin” akan berpotongan dengan Projective Plane .

• Semakin kecil :
• Semakin sejajar “poin” dengan planar kuning
• Semakin besar (jauh) nilai perpotongan dengan Projective Plane (C.C).
• Jika = 0 maka tidak ada perpotongan dengan Projective Plane.
• Nilai perpotongan dengan Projective Plane (C.C) adalah ∞

  

Part 4: H.C. dan Point at Infinity

• Pandang sebuah “poin” dengan &gt; 0, maka “poin” akan berpotongan dengan Projective Plane.
• Semakin kecil :

  dengan planar kuning “poin”

• Semakin sejajar
• Semakin besar (jauh) nilai perpotongan dengan Projective Plane (C.C).
• Jika = 0 maka tidak ada perpotongan dengan Projective Plane .

  Projective Plane

• Nilai perpotongan dengan (C.C) adalah ∞

  

Part 4: H.C. dan Point at Infinity

dapat merepresentasikan poin pada posisi tak terhingga .

• Maka, Homogeneous Coordinate

  ∞ x = = ∞

  /0 = • Hal yang tidak dapat dilakukan oleh Cartesian Coordinate.

  

Part 5: H.C. Dan Perpotongan 2 Garis Paralel

• Mari kita ingat kembali permasalahan tentang pengecualian perpotongan untuk garis paralel yang telah membuat matematikawan kita panik.

  

Part 5: H.C. Dan Perpotongan 2 Garis Paralel

bidang

• Jika kita membuat dua “garis” (

  planar ), maka mereka akan selalu berpotongan di sebuah “poin” ( garis ). tidak paralel, maka

  “garis”

• Jika perpotongan “poin” antar 2 “garis” tersebut juga akan berpotongan dengan Projective Plane .

  

Part 5: H.C. Dan Perpotongan 2 Garis Paralel

“garis” tersebut paralel.

• Jika 2 • Dalam C.C. tidak ada poin perpotongan.

  perpotongan! “poin”

• Dalam H.C. terdapat
• Dim>Diluar Projective Plane (C.C.) • “Poin” tersebut sejajar Projective Plane.
• Tepatnya di 1,0,0 , yakni sumbu

  

Part 5: H.C. Dan Perpotongan 2 Garis Paralel

“garis” tersebut paralel.

• Jika 2 • Dalam C.C. tidak ada poin perpotongan.

  perpotongan! “poin”

• Dalam H.C. terdapat
• Dimana?

  Projective Plane (C.C.)

• Diluar tersebut sejajar Projective Plane .
• “Poin”
• Tepatnya di 1,0,0 , yakni sumbu

  

Part 5: H.C. Dan Perpotongan 2 Garis Paralel

dapat menghilangkan pengecualian perpotongan garis

• Maka Homogeneous Coordinate paralel .
• Hal yang tidak dapat dilakukan oleh Cartesian Coordinate.

  

Part 6: Bermain dengan Projective Plane

Projective Plane kita.

• = 1 merupakan salah satu sudut pandang Projective Plane menjadi sedikit miring.
• Apa yang terjadi jika kita mengubah posisi

  

Part 6: Bermain dengan Projective Plane

Projective Plane kita berubah posisi, akan berpotongan dengan Projective Plane .

  

“poin”

• Saat “garis” di Projective Plane (C.C.) juga akan muncul.
• Poin perpotongan antar 2

  

Part 6: Bermain dengan Projective Plane

Projective Plane = 1

  Projective Plane yang dimiringkan

  

Part 6: Bermain dengan Projective Plane

Projective Plane yang dimiringkan