Numerical Differentiation and Integration

  http://istiarto.staff.ugm.a.cid http://istiarto.staff.ugm.ac.id Integrasi Numeris q   Acuan q   Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n   Chapter 15 dan 16, hlm. 459-523.

• +Δx) f(x
• +Δy

• +Δy

  i )

  (a) (b) (c)

  f(x i

  Δ − Δ

  ( ) ( ) x x f x x f x y _{i i x}

  Δ Δ

  Δ − Δ

  ( ) ( ) x x f x x f x y _{i i}

  i y i

  x i y i

  y x i x i

  Δ

  x

  Δ

  i y i

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Diferensial, Derivatif x i x i

• +Δx y
• +Δx y
• =
• = _{→ Δ} lim d d

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Diferensial, Derivatif

  d Δ Δ −

  Δ −

  y f x x f x y f x x f x

  ( ) ( ) _{i i} ( ) ( ) _{i i}

  lim =

  = _{Δ x →} d Δ Δ

  Δ

  x x x x

  pendekatan beda (hingga) derivatif

  difference approximation d y

  ʹ′ ʹ′ = y = f x ( ) d x

  derivatif = laju perubahan y

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Diferensial

  160

  24

  d y . ⁵ 7 .

  5 = x d x

  120 _{1 . 5}

  18

  y = 5 x x d y

  80

  12

  y/ slope = dy/dx d

  40

  6

  2

  4

  6

  8

  10

  2

  4

  6

  8

  10

  x x

Integral

  6

  y x

  10

  8

  6

  4

  2

  24

  18

  12

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

  40

  ∫ ∫

  5 d = x x y

  ∫y d x x ^{5 . 5 . 7} x y = _{5 . 1}

  10

  8

  6

  4

  2

  80 120 160

  = ^x x y d luas

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Fungsi

q   Fungsi-fungsi yang di-diferensial-kan atau di-integral-kan

dapat berupa:

q   fungsi kontinu sederhana: polinomial, eksponensial, trigonometri

q   fungsi kontinu kompleks yang tidak memungkinkan didiferensialkan atau dintegralkan secara langsung q   fungsi yang nilai-nilainya disajikan dalam bentuk tabel [tabulasi data x vs f(x)]

  4 ∫f(x) dx = luas = ∑A i

  0.5

  3 A

  2 A

  1 A

  2.5 A

  2

  1.5

  1

  4

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Cara mencari nilai integral

  3

  2

  1

  0.25 2.599 0.75 2.414 1.25 1.945 1.75 1.993

  x e x x _x x f(x)

  2

  1 1 cos

  ( ) ∫

^{2 5 . 2 3} d sin 5 .
• =

  e e x x x x x x x x x x x x

  − = =

  = =

  1 log d d cot csc csc d d tan sec sec d d csc cot d d ₂

  ln d ln

  2 a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x ^a

  = d 1 ln d d sec tan d d sin cos d d cos sin d d

  = − =

  = =

  − = _{x x}

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Derivatif x u u n x y _n

  v x v u x u v x y

  d d d d d d

  2

  d d d d d d

  u y = v u y = v u y = x v u x u v x y

  = =     dan     _n

  ( ) ( ) x f v x f u

  =

  d d d d _{1 −}

  − =

  1 d cos

  cos

  tan 1 d 1 d d ln d ln sin

  1 ₂ ²

  − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

  C b ax a x b ax ax _ax ^{ax ax}

  C x a ab ab bx a x C ax a e x e x C a e x e C x x x x x

  ( ) ( ) ( )

  1 d d d ₁

  1

  1 , ln d

  1 d sin ln d

  ∫ ∫ ₊

  ∫ ∫ ∫ ∫

  − =

  − ≠ +

  ≠ > + =

  = +

  C n n u v u u v uv v u bx _bx ^{n n}

• − =
• = +
• =

  C a a a b a x a

• =
• −
• =

  ( ) ( ) C b ax a x b ax C x x x

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Integral

• − =
• =
Metode Trapesium Metode Simpson Metode Kuadratur Gauss

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Persamaan Newton-Cotes q   Strategi

q   mengganti fungsi kompleks dan rumit atau tabulasi data dengan

yang mudah untuk diintegralkan b b d d

  I = f x x = f x x ( ) ( ) n

  ∫ a ∫ a _{2 1} n − n

  =

• ₁
₂ ... ₁ f

x

a a x a x a x a

  

( ) n n − n http://istiarto.staff.ugm.ac.id Persamaan Newton-Cotes

  ( ) x f x a b

  ( ) x f x a b

  Garis lurus (polinomial tingkat 1) Kurva parabola (polinomial tingkat 2)

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Persamaan Newton-Cotes f x

  ( )

  Fungsi yang diintegralkan didekati

  2 dengan 3 buah garis lurus (polinomial 1 tingkat 1).

  3 Dapat pula dipakai beberapa kurva polinomial tingkat yang lebih tinggi.

  a b x

  Garis lurus (polinomial tingkat 1) http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Trapesium

q   Fungsi pendekatan untuk menghitung integral adalah

polinomial tingkat 1 q   Sebuah garis lurus dapat dinyatakan dengan persamaan

  ( ) ( ) ∫ ∫

  = = b a b a x x f x x f

  I d d ₁

  ( ) ( ) ( ) ( )

( )

a x

a b a f b f a f x f

  

−

− −
• =

  1 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Trapesium

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

• ≅

  ( ) ( )

• − ≅

  2 d b f a f a b x a x a b a f b f a f

  I b a

  ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡

  − − −

  ∫ Metode Trapesium

  ( ) x f x a b error

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Metode Trapesium Penyelesaian eksak _{. 8 2 3 4 5} I .

  2 25 x 200 x 675 x 900 x 400 x d x =

  ( − − ) ∫ _{. 8 2} 200 675 400 _{3 4 5 6}

  ⎛ ⎞

  2 12 . 5 180 1 . 640533 = + +

  x x x x x x .

  = − −

• ⎜

  ⎟

  3

  4

  6 ⎝

  ⎠

  Metode Trapesium _{2 3 4 5} .

  2 25 200 675 900 400

  f x x − x x − x x ( ) =

• .

  2     dan     . 8 . 232

  f = f = ( ) ( )

  2 . 232

• .

  E I .

  8 . 1728

  1 . 640533 . 1728 1 . 467733 89 % http://istiarto.staff.ugm.ac.id

  1

  2

  3

  4

  0.2

  0.4

  0.6

  0.8

  x f(x)

  Metode Trapesium q   Error atau kesalahan q   bentuk trapesium untuk menghitung nilai integral mengabaikan sejumlah besar porsi daerah di bawah kurva q   Kuantifikasi error pada

  Metode Trapesium error

  ( )( ) ³

  12

  1 E a b f _t − ξ

  ʹ′ʹ′ −

  =

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Metode Trapesium _{3 2 3} ʹ′ʹ′ f x − x − x x

  ( ) + = ^{400 4050 10800 8000} +

  4

  f(x) nilai rata-rata derivatif kedua: _{. 8}

  3 _{400 4050 10800 8000 d 3 2 3}

  − x − x x x ( + + )

  ∫ ₆₀ ʹ′ʹ′ f ( ) x = _{. 8} = − −

  2

  error: error

_E

_{1 . 60 . 8 3 2 . 56 a = ( )( ) =} − − −

  1 ₁₂

  order of magnitude nilai error ini sama dengan x order of magnitude nilai error terhadap nilai

  0.2

  0.4

  0.6

  0.8 penyelesaian eksak dan keduanya sama tanda http://istiarto.staff.ugm.ac.id Trapesium multi pias q   Peningkatan akurasi q   selang ab dibagi menjadi sejumlah n pias dengan lebar seragam h n a b h

  − =

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Trapesium multi pias

  4

  4 b a

  −

  f(x) f(x) h

  =

  n

  3

  3

  2

  2 h = 0.2 h = 0.1

  1

  1 x x

  0.2

  0.4

  0.6 0.8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

• ≈
• =
−<
• − ≈
• ⎭ ⎬ ⎫
• ≈
• ⎭ ⎬ ⎫

  ⎩ ⎨ ⎧

  I ^{n n i i}

  n x f x f x f a b

  2

  2

  ! ! ! ! " ! ! ! ! # $ " # $ ^{1 1} _lebar

  ( ) ( ) ( ) ( )

  2

  2

  I ¹ ₁

  ∑ − _{= n} ⁿ _{i i} x f x f x f h

  ⎩ ⎨ ⎧

  ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤

  ∫ ∫ ∫ ₋ ( ) ( ) ( )

  I ⁿ _n

  I x x f x x f x x f

  x f x f h x f x f h x f x f h

  2 ... d d d _{1 2 1 1 1} ² ₁ ¹ _{n n} ^x _x ^x _x ^x _x

  2

  2 ...

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  x b x a = =     dan         Jika

  − = _n

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Trapesium multi pias n a b h

  ∑ − ₌

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Trapesium multi pias Error = jumlah error pada setiap pias _{3 n} b a

  ( − ) E = f ʹ′ʹ′ _t − ( ) ξ _{3 i}

  ∑

  12

  n _{i = n} ¹ ₃

  −

  b a ( )

  1 ʹ′ʹ′ ʹ′ʹ′

  ʹ′ʹ′

  f ξ = f E ≈ E − f ( ) = _{i t a 2}

  ∑

  12

  n _i n

  =1

  setiap kelipatan jumlah pias, error mengecil dengan faktor kuadrat peningkatan jumlah pias

Trapesium multi pias

  25 2 .

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

  200 675 400 900

• − + − + =

  x x x x x x f

  I ( )

  80 100 %E _t vs n

  60

  40

  20

  I (the trapezoidal rule) (exact solution)

  x x f

  ≈ ^{8 .} ₁ d

  ∫

  ∫ x x f

  n h

  1 d ^{8 .} = =

  ( ) ⁵

⁴

^{3 2}

  4 0.2 1.4848 0.1557 9%

  0.64

  2 0.4 1.0688 0.5717 35%

  2.56

  1 0.8 0.1728 1.4677 89%

  I E _t %E _t E _a

  0.16 ( ) 640533 . http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Simpson q  

  Fungsi pendekatan: polinomial tingkat 1 q  

  Peningkatan ketelitian dpt dilakukan dengan meningkatkan jumlah pias q  

  Fungsi pendekatan: polinomial: q   tingkat 2: Simpson 1/3 q   tingkat 3: Simpson 3/8

  The trapezoidal rule Simpson’s rules

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Metode Simpson

  4

  4 f(x) f(x)

  3

  3 f (x)

  3 f (x)

  2

  2

  2

  1

  1 x x

  0.2

  0.4

  0.6

  0.8

  0.2

  0.4

  0.6

  0.8 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Simpson q   Polinomial tingkat 2 atau 3 q   dicari dengan Metode Newton atau Lagrange (lihat materi tentang curve fitting)

  f a b E _t

  − =

  (x) diperoleh dengan Metode Lagrange

  ( ) ( ) ( ) [ ] ^{2 1}

  4

  3

  x f x f x f h I + +

  ≈

  a b h

  ( ) ( ) ( ) ( )

  d _{2 1 2 2} ¹ _{1 2 1 1} ² _{2 1} ^{2 1} dan f

  6

  4 _{2 1}

  x f x f x f a b

  I

  atau ( ) ( )

  ξ −

  − = ⁴ ₄ ⁵

  2

  I

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  I

  − − ≈ ^b _a

  − −

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Simpson ⅓

  ( ) ( ) ∫ ∫

  ≈ = ^b _a ^b _a

  x x f x x f

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  x x f x x x x x x x x x f

x x x x

x x x x

x f x x x x x x x x

  ( )( ) ( )( ) ( )

  x b x a = =     dan         Jika

  d d _{2 n}

• − −
• − −

  ∫

  ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎣ ⎡

  − − − −

• − ≈
• ≈
ⁿ _n ^x _x ^x _x ^x _x
• ≈
^{− −} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n x f x f x f x f a
• − ≈

  = (estimasi error, ⁴

  − −

  E _a

  ∑ ∑

⁻

₌ ⁻ ₌ ( ) ⁴ ₄ ⁵ f a b

  4 ² _{6 , 4 , 2} ¹ _{5 , 3 , 1}

  2

  3

  I ⁿ

ⁿ

^{i i n i i}

  I

  2 ^{1 2 4 3 2 2 1 n n n} x f x f x f h x f x f x f h x f x f x f h

  4

  6

  2

  

4

  6

  4 2 ...

  6

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ( ) ( )

  ... d d d

  I ₂ ⁴ ₂ ²

  x x f x x f x x f

  ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ₋

  ⅓ multi pias

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Simpson

  f rata-rata derivatif ke-4)

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Simpson ⅜ _{b b}

  d d

  I = f x x ≈ f x x ( ) ^{3 ( )}

  ∫ a ∫ a Jika     a x     dan     b x = = _n dan f (x) diperoleh dengan Metode Lagrange _b

  3 ⎡ ( x x ^{1 )( x x 2 ) ( x x 3 ) ( x x )( x x 2 ) ( x x 3 ) ( x x )( x x 1 ) ( x x 3 ) ( x x )( x x 1 )( x x 2 ) ⎤} − − − − − − − − − − − − _d I f

• x f ( ) x f ( ) x f x x ≈ ( )
^{1 2 ( ) 3} _a ⎢ ⎥

  ∫

  ( x x ^{1 )( x x 2 )( x x 3 ) ( x 1 x )( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 2 x )( x 2 x 1 ) ( x 2 x 3 ) ( x 3 x )( x 3 x 1 )( x 3 x 2 )} − − − − − − − − − − − − ⎣

  ⎦

  3

  h

  ( ) ( ) ( ) ( ) _{1 2 3}

  3 f x + + 3 f x f x + f x

  3

  [ ( ) ( ) ^{1 ( ) 2 ( ) 3 ]} I ≈ b − a atau ( )

  3 I ≈ f x f x f x f x + + +

  8 $ # " _{lebar $ ! ! ! ! ! # ! ! ! ! ! " tinggi     rata rata}

  8 ₋

  b a

  −

  h

  =

  3 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Simpson ⅜

  ( ) ( ) ξ

  − −

  = ^{4 5} 6480

  f a b E _t

  Error ( )

  ξ − = ^{4 5}

  80

  3 E f h _t

  atau

  ⅓ _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Simpson dan ⅜ ₂

₃

_{4 5}

  2 25 200 675 900 400

  f x = x − x x − x x _{. 8}

• .

  ( )

  d 1 . 640533

  I = f x x = ( ) (exact solution)

  ∫ Metode

  I E t

  Simpson ⅓ (n = 2) 1.367467 0.273067 (17%) Simpson ⅜ (n = 3)

  1.51917 0.121363 (7%) Simpson ⅓ (n = 4)

  1.623467 0.017067 (1%)

Pias tak seragam: Metode Trapesium

  

I

  0.2

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

  ( ) _{5 4 3} ^{200 2} _{675 400 900} ^{25 2 .}

  x x x x x x f

  i x _i f(x _i )

• −
• − + =
• = _{n n n}

  10 0.8 0.232 0.12975 I dihitung dengan Metode

  = ∫ x x f

  ( ) ^{594801 . 1 d 8 .}

  I

  x f x f h x f x f h x f x f h

  ( ) ( ) ( ) ( ) _{2 ... 2} ² _{1 1 2 2} ^{1 1} ₋

  Trapesium di setiap pias: ( ) ( )

  9 0.7 2.363 0.166348

  1 0.12 1.309729 0.090584

  8 0.64 3.181929 0.334461

  7 0.54 3.507297 0.317514

  6 0.44 2.842985 0.10598

  4 0.36 2.074903 0.076366

  3 0.32 1.743393 0.152432

  2 0.22 1.305241 0.130749

  5 0.4 2.456 0.090618

Pias tak seragam: Metode Simpson

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

  ( ) _{5 4 3} ^{200 2} _{675 400 900} ^{25 2 .}

  x x x x x x f

  i x _i f(x _i )

  

I

  0.2

• −
• − + =

  2 0.22 1.305241

  1 0.12 1.309729

  4 0.36 2.074903

  5 0.4 2.456

  6 0.44 2.842985

  7 0.54 3.507297

  8 0.64 3.181929

  9 0.7 2.363

  10 0.8 0.232 I dihitung dengan Metode

  Simpson ⅓  dan Simpson ⅜: PR, dikumpulkan minggu depan

  3 0.32 1.743393 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Integrasi Numeris Metode Jumlah pias Lebar pias

  Trapesium

  1 Trapesium multi pias n &gt; 1 seragam atau tak-seragam Simpson ⅓ 2 seragam Simpson ⅓  mul(  pias genap (2m, m = 2,3,…) seragam Simpson ⅜ 3 seragam Kuadratur Gauss

  1 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Kuadratur Gauss

  ( ) x f x

  ( ) x f x error terlalu besar upaya mengurangi error http://istiarto.staff.ugm.ac.id Kuadratur Gauss

  ( ) x f x

  1

  c

  !!

  − ^{− −} x x x f c x f c x x x f c x f c x x f c x f c

  ∫ ∫ ∫

  = = +

  = = + = = +

  1 ^{1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1}

  3 2 d d 2 d

  ( ) x f

  ∫ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ≈ =

  I + x f c x f c x x f

  d

  ( ) ( ) ( ) ^{1 1 1} ₁

  1 −

  1 x f x ₁ x

  ( )

  , c ₁ , x , x ₁ : !!unknowns

  = x x f ( ) x f x

  1 = x f ( )

  ( )

• 1.5 -1 -0.5

  1.5 Kuadratur Gauss ( ) x f x

  1

  0.5

  1.5

  1

• 0.5
• 1.5 -1 -0.5

  1.5

  0.5

  1

  0.5

  2

  1.5

  1

  0.5

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

• 1.5
• 1

  1.5

  =

  1

  0.5

  3

  2

  1

  1 ¹ ( ) x f x

  = ( ) ³ x x f

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

  2 x x f

  ( )

  ( ) x f x

  1

  0.5

  2

  1

• 1.5 -1 -0.5
• 1.5 -1 -0.5
• 3
• 2
• 1

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Kuadratur Gauss ₁

  1 d

  2

  c f x c f ( ) x = x = ( ) ^{1 1} ₁

• 1

  ∫ − ₁

  c c

  = = ₁

  2

  c f x c ^{1 f ( ) x 1 = x x =} x

• d

  ( ) ₁ ∫ −

  1

  3 _{1 2} = − d

  2

  3

  c f c f x = x x = x ( ) + ( ) ^{1 1} ₁ x

  1

  3

  ∫ − = ₁ ^{1 3}

• I ≈ c f x c f x

  ( ) _{1 ( ) 1 = =}

  c f x c f x x x ^{1 ( ) 1} ( ) ₁

• d

  ∫ −

  3

  1

• 1

  3 I f f ≈ −

  ( ) ( )

  _{http://istiarto.staff.ugm.ac.id} Kuadratur Gauss Untuk batas integrasi dari a ke b: yang dapat dihubungkan dengan variabel asli

  §  diambil asumsi suatu variabel x

  d x dalam suatu relasi linear

  = _{1 d}

• x a a x
• a a a

  1 ⇒ − = −1 = ( ) ₁

  §  jika batas bawah, x = a, berkaitan dengan x

  d

• b a a

  1 ⇒ = ^{1 ( )}

   = 1

  §  jika batas atas, x = b, berkaitan dengan x

  d b a b a x

  −

  ( ) ( ) + d

• x

  =

  b a b a

  2 − +

  x a a x a       dan       a

  = + = = _{1 d 1} b a

Kuadratur Gauss

  200 675 400 900

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id

  25 2 .

• −
• =
• −

  ( ) ^{5 4 3 2}

  x x x x x x f

  ( ) 640533 .

  ∫ I (exact solution) x x f

  Penyelesaian dengan Metode Kuadratur Gauss: ( ) ( ) d d ^{d d} x x x x x x

• = −
• =

  d 4 . d 2 8 . d 4 .

  4 .

  2 8 . 8 .

  = −

  =

  1 d ^{8 .} = =

  I

  25 2 .

  ∫ x x f

  =

  . 1 516741 d ^{8 .}

  1 305837 .

  x f x f ( ) 822578 .

  1 = = = − = _{d d}

  3

  1 516741 .

  3

  1

  305837 .

  ( ) ( )

  d _{d d} ^{d d d} x x x x x x x x x x x x

  200 675 900 400 d

  25 2 .

  4 . 675 4 . 4 . 200 4 . 4 . 4 .

• −

  d 4 . 4 . 400 4 . 4 . 900 4 .

  − ^{1 1 5 4 3 2 8 . 5}

⁴

^{3 2}

  = + −

  −

  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

  = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( )

  http://istiarto.staff.ugm.ac.id Kuadratur Gauss

• −
• ∫ ∫
• = ≈