ALT 8.Dekomposisi Nilai Singular

  PRAKTIKUM ALJABAR LINEAR TERAPAN Pertemuan 8

  Review Scilab Matriks Menampilkan kolom matriks

  Menampilkan baris matriks

  Review   Scilab Matriks diagonal : diag([ Matriks nol : zeros(baris, kolom) Matriks identitas : eye(baris, kolom) Matriks satuan : ones(baris,kolom)

  Review Scilab Penjumlahan : A+B Perkalian : A*B Transpose : A’ Determinan : det(A) Invers : inv(A)

  Review Scilab Vektor eigen dan Nilai eigen Syntax: [ve,va]=spec(A)

  Output: va matriks yang diagonalnya merupakan nilai eigen ve matriks yang kolom- kolomnya adalah vektor eigen normal yang bersesuaian dengan nilai

    Defiisi SVD Dekomposisi nilai singular dari suatu matriks A adalah , dimana : matriks yang diagonalnya merupakan nilai singular A : matriks yang kolomnya adalah vektor eigen dari : matriks yang kolomnya adalah vektor eigen dari Dekomposisi ini sering disebut juga Singular Value Decomposition/SVD

  Algoritma Dekomposisi Nilai   Siigular 1. Cari nilai eigen dari matriks , misalnya , .

  2. Hitung nilai singular dengan , dan .

  3. Bentuk matriks diagonal dengan elemennya .

  4. Cari basis ruang eigen yang ortonormal dari matriks .

  

5. Bentuk matriks dengan kolomnya disusun oleh vektor yang

didapat dari langkah (4) dan disusun sesuai dengan nilai yang bersesuaian.

  6. Cari nilai eigen dari matriks .

  7. Cari basis ruang eigen yang ortonormal dari matriks .

  

8. Bentuk matriks dengan kolomnya disusun oleh vektor yang

didapat dari langkah (7) dan disusun sesuai dengan nilai

eigen yang bersesuaian.

    Coitoh Misal matriks A berukuran 2x3, sebagai berikut:

    Nilai Siigular

Nilai singular matriks adalah akar kuadrat dari nilai eigen dari

pada , yaitu

  . nilai eigen Dengan syarat

    Nilai Siigular Akan dicari nilai singular dari : , memiliki nilai eigen Maka nilai singular dari adalah

      Matriks

Matriks merupakan matriks berukuran mxn, yang diagonalnya

adalah nilai singular matriks , yang berurutan secara menurun.

  Akan dicari matriks : Dari sebelumnya telah diperoleh , , maka:

Abaikan , karena hanya memuat 2 nilai singular terbesar saja.

      Matriks

Matriks merupakan matriks yang kolom-kolomnya merupakan

normalisasi vektor-vektor eigen dari .

  Dengan , vektor eigen.

  Urutan disesuaikan dengan urutan

      Matriks Akan dicari matriks :

  Matriks   � =

  [ 1 /

  √

  6 2 / √

  6 1 / √

  6 2 / √

  5 − 1 /

  √

  5 1 / √

  30 2 / √

  30 − 5 /

  √

  30 ]  

      Matriks

Matriks merupakan matriks yang kolom-kolomnya merupakan

normalisasi vektor-vektor eigen dari .

  Akan dicari matriks : memiliki nilai eigen , maka

      Matriks 1 / 2 1 /

  2 √

  √ � =

  1 / 2 − 1 /

  2 [ √

  √ ]

  Jawabai �=

  1/ √

  √

  30 −5/

  30 2/ √

  5 1/ √

  √

  5 −1/

  6 2/ √

  6 1/ √

  6 2/ √

  , � = [

  [ 1/

  10 0 ]

  12 √

  √

  , �= [

  2 ]

  √

  2 −1/

  2 1/ √

  2 1/ √

  √

  30 ]  

  Jawab Scilab

  Jawab Scilab

  Jawab Scilab

  Cek Jawabai Scilab

  Cara Cepat

    Latihai Tentukan dekomposisi nilai singular dar matriks berikut dengan cara manual dan cara cepat

  Jawabai a - Maiual

  Jawabai a - Maiual ≈ 0  

  Jawabai a – Cara Cepat

  Aplikasi SVD – Kompresi Ukurai fle Gambar (Sumber: Firdausi A., Syafwan M., &Bakar N.N., APLIKASI DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PADA KOMPRESI UKURAN FILE GAMBAR. ISSN : 2303-2910.)

Sebuah pixel pada gambar bitmap memiliki 3 nilai yaitu, nilai warna

merah, hijau dan biru (RGB) yang bernilai antara 0..255. Maka sebuah gambar dapat dibentuk menjadi 3 matriks. Contoh: misal terdapat gambar 2pxl x 2pxl.

  Matriks nilai merah = Matriks nilai hijau = Matriks nilai biru =  

  R=r1

  1 G=g

  11 B=b1

  1 R=r1

  2 G=g

  12 B=b1

  2

  Aplikasi SVD – Kompresi Ukurai fle Gambar Semakin kecil sebuah nilai singular, semakin nilai tersebut bersifat insignifkan. Dengan mengeluarkan nilai singular yang insignifkan dari perkalian, kita dapat memperoleh hasil yang mendekati aslinya, dengan perhitungan yang lebih sederhana.

  Sebelum memulai, pastikan toolbox “image processing and computer vision” sudah dijalankan terlebih dahulu. Dengan cara klik icon berikut: Pilih image processing -> “image processing and computer vision toolbox” -> install -> restart scilab.

  Aplikasi SVD – Kompresi Ukurai fle Gambar Contoh akan dilakukan kompresi pada gambar berikut:

  Lory.jpg 300x300 pixels

  Aplikasi SVD – Kompresi Ukurai fle Gambar Langkah-langkah pada scilab:

  

1. Konversi gambar kedalam matriks, dengan syntax: imread(lokasi

fle\nama fle.*)

  2. Defnisikan matriks penyusun warna masing-masingnya

  3. Konversi entri matriks ke rentang 0..1

  4. Lakukan dekomposisi nilai singular pada matriks AR, AG, AB

  Aplikasi SVD – Kompresi Ukurai fle   Gambar

  

5. Bentuk matriks aproksimasi untuk penyusun warna merah, hijau,

dan biru. merupakan jumlah nilai singular yang digunakan pada perhitungan. Misal Ukuran matriks nol sesuai dengan ukuran pixel gambar

  Aplikasi SVD – Kompresi Ukurai fle Gambar 7. Tampilkan hasil.

  Aplikasi SVD – Kompresi Ukurai fle Gambar Asli

  � =1   � =5  

  Aplikasi SVD – Kompresi Ukurai fle Gambar

�=50

 

  �=100   �=25  

    TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Langkah 1: Deklarasikan matriks dan

    TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Langkah 2: Cari nilai eigen

  TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Langkah 3: Hitung nilai singularnya Cara cepat: > ] singularvals(A)

  TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Langkah 4: Bentuk matriks S

    TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Langkah 5: Cari basis ruang eigen dan ortonormalkan

    TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Langkah 6: Bentuk matriks

    TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Langkah 7: Cari basis ruang eigen dan ortonormalkan

    TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Langkah 8: Bentuk matriks

  CEK:

  TAMBAHAN (SVD Cara Maple) Cara cepat Paket: > ] with(MTM); Syntax: > ] matriks U , matriks S , matriks V :=svd( matriks A );

  Anggap 0

  MINGGU DEPAN UTS YA!!! (Gaada alasai lagi!!) Bahan: Materi Pertemuan 3 – Pertemuan 7 TERIMA KASIH _{ASISTEN LABORATORIUM MATEMATIKA FMIPA UNPAD 2018}