MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA

KATA PENGANTAR

Keputusan Menteri Pendidikan Nasional No. 153/U/2003, tanggal 14 Oktober 2003, tentang Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 2003/2004, antara lain menetapkan bahwa dalam pelaksanaan ujian akhir nasional ada mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat dan ada mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh sekolah. Mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat untuk SMA dan MA adalah (1) Program IPA mata pelajaran Bahasa dan Sastra Indonesia, Bahasa Inggris, dan Matematika; (2) Program IPS mata pelajaran Bahasa dan Sastra Indonesia, Bahasa Inggris, dan Ekonomi; (3) program Bahasa mata pelajaran Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan bahasa asing lainnya (Bahasa Arab, Bahasa Jepang, Bahasa Jerman, Bahasa Prancis atau Bahasa Mandarin).

an

ik

Berkaitan dengan hal tersebut, Pusat Penilaian Pendidikan menyiapkan buku panduan materi untuk mata pelajaran-mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat. Buku ini memuat uraian tentang hal-hal sebagai berikut.

el

1. Gambaran umum.

lb

2. Standar kompetensi lulusan.

3. Ruang lingkup, ringkasan materi, beserta latihan dan pembahasannya.

Buku panduan materi ujian ini dimaksudkan untuk memberi arah kepada guru dan siswa tentang materi yang akan diujikan berkaitan dengan berbagai kompetensi lulusan dalam mata pelajaran-mata pelajaran tersebut. Dengan adanya buku panduan materi ujian ini, diharapkan ua para guru dapat menyelenggarakan proses pembelajaran yang lebih terarah, dan para siswa dapat

belajar lebih terarah pula. Dengan demikian, diharapkan para siswa dapat mencapai hasil ujian rj

pe

yang sebaik mungkin.

Semoga buku ini bermanfaat bagi berbagai pihak dalam rangka meningkatkan mutu

di

proses dan hasil belajar siswa.

Jakarta, Desember 2003

Kepala Pusat Penilaian Pendidikan,

da Bahrul Hayat, Ph.D. NIP 131602652

Ti

DEPDIKNAS

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

GAMBARAN UMUM

• Pada ujian nasional tahun pelajaran 2003/2004, bentuk tes Matematika

tingkat SMA/MA berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda,

an

sebanyak 40 soal dengan alokasi waktu 120 menit.

kurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan. ik

• Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalah

• Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi: el

lb

persamaan dan fungsi kuadrat; fungsi komposisi dan invers; suku

ruang; ukuran pemusatan; ukuran penyebaran; peluang; fungsi ua

banyak; sistem persamaan linear dan program linear; matriks; notasi

sigma; barisan dan deret bilangan; eksponen dan logaritma; bangun

trigonometri; persamaan dan pertidaksamaan trigonometri; logika rj

pe

matematika; lingkaran; ellips; parabola; hiperbola; transformasi; vektor;

limit; diferensial, dan integral.

di

da Ti

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Standar Kompetensi Lulusan

1. Siswa mampu memahami konsep dan operasi hitung pada bentuk aljabar, persamaan, pertidaksamaan, fungsi, sistem persamaan linear dan program linear, barisan dan deret bilangan, matriks, dan suku banyak, serta mampu menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

2. Siswa mampu memahami konsep kedudukan titik, garis, bidang, jarak, dan sudut pada bangun ruang, serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

kaidah pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta mampu an

3. Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan mampu menggunakan

ik

menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

4. Siswa mampu memahami konsep perbandingan dan fungsi trigonometri, serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

el

5. Siswa mampu memahami konsep logika matematika untuk penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.

7. Siswa mampu memahami konsep limit, diferensial, dan hitung integral, serta mampu lb

6. Siswa mampu memahami konsep irisan kerucut, transformasi, dan vektor, serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

ua

menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

rj

pe

di

da Ti

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

RUANG LINGKUP DAN RINGKASAN MATERI

KOMPETENSI 1

Siswa mampu memahami konsep dan operasi hitung pada bentuk aljabar, persamaan, pertidaksamaan, fungsi, sistem persamaan linear dan program linear, barisan dan deret bilangan, matriks, dan suku banyak, serta mampu

an

ik

menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

I. 1. Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma, fungsi eksponen, fungsi el

Ruang Lingkup

I. 3. Fungsi kuadrat, komposisi fungsi dan fungsi invers. lb

logaritma, dan fungsi rasional.

I. 2. Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat.

I. 6. Notasi sigma, barisan bilangan dan deret. ua

I. 4. Sistem persamaan linear.

I. 5. Program linear.

rj

I. 7. Matriks.

I. 8. Suku banyak.

pe

Ringkasan Materi

fungsi logaritma dan fungsi rasional. di

I. 1. Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma, fungsi eksponen,

A. Sifat-sifat eksponen

da p q p − q 2. 0 a : a= a 6. a=1

1. a × a= a 5.  a = p

Ti  

4. q ()

a . b = a . b 8. a = a

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

B. Sifat-sifat logaritma

an

log a

C. Bentuk persamaan eksponen

ik

1. Jika a f () x = 1 maka f () x =0

4. Persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat. el

2. Jika a f () x

= p a maka f ()

x =p

3. Jika a () = a ()

maka f () x = g () x

lb

D. Pertidaksamaan eksponen

1. Untuk 0 <a < 1

b. Jika a f () x ≤ a g () x maka f () x ua ≥ g () x

f () x g x

a. Jika a ≥ a () maka f () x ≤ g () x

rj

2. Untuk a > 1

a. Jika a () ≥ a () maka f () x ≥ g () x

pe

b. Jika a f () x ≤ a g () x maka f () x ≤ g () x

di

E. Bentuk persamaan logaritma

1. Jika log f ( x ) a = log p maka f () x = p

k dengan syarat : f () x > 0 dan g () x > 0

2. Jika log f ( x ) = log g ( x ) maka f ()() x = g x

da

3. Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.

F. Pertidaksamaan logaritma

Ti a a

1. Untuk 0 <a < 1

a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g ( x ) maka f () x ≤ g () x

b. Jika log f ( x ) ≤ log g ( x ) maka f () x ≥ g () x

2. Untuk a > 1

a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g ( x ) maka f () x ≥ g () x

b. Jika log f ( x ) ≤ log g ( x ) maka f () x ≤ g () x

dengan syarat : f () x > 0 dan g () x > 0

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Latihan dan Pembahasan

1. Nilai x yang memenuhi persamaan 4 = 8+ adalah …

d. (Ebtanas 2000)

= 8 x + 5 an

Pembahasan :

2 2 = 2 () 3 () 4 ik

el

3 x + 15

2x + 6 =

lb

5x = −9

x= −

ua

2. Himpunan penyelesaian log( x −x 3 rj + 2 ) < log( 10 −,xR x ) ∈ , adalah…

Kunci : A

pe

a. { x / − 2 < x < 1 atau 2 <x < 4 }

b. { x / x < 1 atau x > 2 }

di

c. { x / − 2 < x < 4 }

d. { x / x > 10 }

e. {} (Ebtanas 2002)

2 log( x 2 − 3 k x + 2 ) < 2 log( 10 − x ) ⊗ x 2 −x 3 + 2 > 0

Pembahasan : syarat :

da x −x 2 − 8 < 0 x < 1 atau x > 2

x 2 − 3 x + 2 < 10 − x ( x − 2 ) ( x − 1 ) > 0

Ti

( x − 4 ) ( x + 2< ) 0 ⊗ 10 −x > 0

− 2 < x < 4 x < 10

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

10 x <

− 2 < x < 1 atau 2 <x < 4

an

Kunci : A

a. 2 1 <x < c. − 3 < x < 2 e. − 1 < x < 2 ik

3. Nilai x yang memenuhi 3 x 2 − 3 x + 4 < 9− x 1 adalah …

(UAN 2003) el

b. 3 2 <x < d. − 2 < x < 3

3 x −x 3 + 4 < 9− x 1 lb

Pembahasan :

3 x −x 3 + 4 < 3 2 ( x − 1 )

ua

( x − 2 )( x − 3 ) < 0 rj

x 2 −x 5 + 6 < 0

pe

2 <x < 3

Kunci : B

di  

4. Jika x dan 1 x adalah akar-akar persamaan : 2  log x  − 3 . log x + 2 = 0 ,

a. 2 c. k 8 e. 27

maka x 1 . x = …. 2

Pembahasan : da  3  log x   − 3 . 3 log x + 2 = 0

Ti  log x − 2   log x − 1  = 0

3 log x 2 atau = 3 log x = 1 x = 9 atau x = 3

x 1 . x = 9 . 3 = 27 2

Kunci : E

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

I. 2. Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat.

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c = 0 , a , b dan c ∈ dan R a ≠ 0

2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara

a. memfaktorkan

b. melengkapi kuadrat sempurna

− b ± b 2 − 4 ac

c. menggunakan rumus ABC : x 1 . 2 =

an

3. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c = 0 mempunyai : akar real berlainan jika D > 0

2 2 ik

akar real sama jika D = 0 akar tidak real jika D < 0

el

D adalah diskriminan ax + bx + c = 0 , D = b − 4 ac

4. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat : Akar-akar persamaan 2

a a lb

ax + bx + c = 0 adalah x 1 dan x 2 .

x + 1 x = 2 − dan x 1 . x = 2

b. menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut : ua

5. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara :

a. perkalian faktor : ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) =0

rj 1

6. Menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui.

pe

1. Bentuk Umum : di ax 2 + bx + c < 0 , bisa juga menggunakan tanda >, ≤

B. Pertidaksamaan Kuadrat

2. Menyelesaikan pertidak samaan kuadrat dengan menggunakan garis k

atau ≥, b a , dan c ∈,0 R a ≠

da

bilangan atau grafik fungsi kuadrat.

3. Pemakaian diskriminan persamaan kuadrat . Menentukan koefisien persamaan kuadrat yang akarnya memenuhi sifat

Ti

tertentu. misal : akar real, akar tidak real, akar berkebalikan, dsb.

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Latihan dan Pembahasan

1. Jika x dan 1 x akar-akar persamaan 2 x 2 + px + 1 = 0 , maka persamaan kuadrat

yang akar-akarnya

dan x + 1 x adalah …. 2

a. 0 x 2 − 2 p 2 x + 3 = d. x 2 − 3 px + p 2 = 0

b. 0 x 2 + 2 px + 3 p 2 = e. x 2 + p 2 x + p = 0

an

c. 0 x 2 + 3 px + 2 p 2 =

(Ebtanas 2001)

ik

Pembahasan :

Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β .

el

= − 2 p dan β = x 1 + x 2 = − p

Jadi persamaan kuadrat baru : ( x − α )( x − β ) = 0

( x + 2 p )( x + p ) = 0 lb

( x − ( − 2 p ) ) ( x − () − p ) = 0

ua

x 2 + 3 px + 2 p 2 = 0

rj

Kunci : C

x 2 x 1 pe

2. Jika x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 1 2 + x − p = 0 , p konstanta

positif, maka 1 x + 2 = ….

di p

a. − 2 − c. 2 − e. 2 +

b. 1− 2 d.

x 1 da x 2 x 2 + x 2 ( x + x ) 1 2 2 1 2 − 2 x 1 x 2 1 + 2 p

(Ebtanas 2001)

Pembahasan :

Ti

Kunci : A

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

3. Persamaan kuadrat x + ( m − 2 ) x + 9 = 0 mempunyai akar-akar nyata. Nilai m

yang memenuhi adalah ….

a. 4 m ≤ − atau 8 m ≥ c. m ≤ − 4 atau 10 m ≥ e. − 8 ≤ m ≤ 4

b. 8 m ≤ − atau 4 m ≥ d. − 4 ≤ m ≤ 8 (Ebtanas 2002)

Pembahasan :

Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata D ≥ 0

b − ac 4 ≥ 0

m 2 −m 4 − 32 ≥ 0 an

m −m 4 + 4 − 36 ≥ 0

ik

( m − 8 )( m + 4 ) ≥ 0

m ≤ − 4 atau 8 m ≥

el

Kunci : A

lb

4. Persamaan x 2 ( 1 − m )( + x 8 − 2 m ) + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai

m = ….

b. − d. ua

a. 2 − c. 0 e. 2

rj

(UAN 2003)

Pembahasan :

2 b pe − ac 4 = 0

Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar : D=0

di

( 8 − 2 m ) 2 − 4 ( 1 − m ) . 12 = 0

m 2 +m 4 + 4 = 0

4 m 2 +m 16 + k 16 = 0 m = − 2

64 − 32 m + 4 m 2 − 48 + 48 m = 0 ( m + 2 ) 2 = 0

da

Kunci : A

Ti

I. 3. Fungsi kuadrat, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.

A. Fungsi Kuadrat

1. Bentuk Umum : f () x = ax 2 + bx + c , a , b dan c ∈ dan R a ≠ 0

2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, dengan persamaan :

y = ax 2 + bx + c

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

3. Nilai maksimum atau nilai minimum y = ax + bx + c adalah y = −

untuk x = −

4. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya :

a. mempunyai titik balik maksimum/minimum () p , q

adalah y = f () x = α ( x − p ) + q

b. memotong sumbu x di ( x 1 , 0 ) dan ( x 2 , 0 )

adalah y = f () x = α ( x − x 1 )( x − x 2 )

an

B. Komposisi Fungsi :

A B C ik

1. Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi (lebih) secara berturutan.

2. Notasi Komposisi Fungsi :

el

f g x ∈ A ,B y ∈ , dan z ∈ C

h lb

f ( x ) =, y g ( y ) = dan z h ( x ) = z

h ( x ) = g ( f () x )( = g o f )( ) x

f o g g o f ≠ ua

go f () x = komposisi fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g.

rj

3. Sifat Komposisi Fungsi :

f o I =o I f = f , I adalah fungsi identitas

pe

C. Fungsi Invers

di − 1

f x ∈ A dan B y ∈

f () x =, y f () y = x

f adalah fungsi invers dari f.

da − 1 − 1

Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f korespondensi satu-satu. Sifat Fungsi Invers :

Ti

1. f o f = f o f = I

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Latihan dan Pembahasan

1. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum 2 − untuk 3 x = dan untuk x = 0 nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah ....

a. f () 2 x = x + 6 x 8 d. f x + 2 () = 2 x − 12 x + 16

b. () = x − 6 x + 8 e. f () x = 2 x − 12 x − 16

c. f () x 2 = 2 x + 12 x + 16

an

(Ebtanas 2002)

Pembahasan :

Fungsi kuadrat dengan nilai minimum 2 − untuk 3 x =

f () 0= 16 f () 0 = α ( 0 − 3 ) 2 − 2 = 16 ik

adalah f () x

α = 2 el

f () x = 2 x 2 − 12 x + lb 16

∴ Fungsi kuadrat f x =x 2 − 3 ()( 2 ) − 2

2 ua

Kunci : D

rj

2. Nilai maksimum dari fungsi f () x = − 2 x + ( k + 5 ) x + 1 − 2 k adalah 5.

Nilai k yang positif adalah…

a. 1 c. 7

pe

di − Nilai maksimum adalah D y = = −  

f () x = − 2 x 2 k + ( k + 5 ) x + 1 − 2 k

da Ti

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

 2  b − 4 ac  

Nilai maksimum : y = −

 ( k + 5 ) 2 − 4 ( )( − 2 1 − 2 k ) 

−  k 2  + 10 k + 25 + 8 − 16 k  

( k +k 1 )( − 7 ) = 0 an

k −k 6 + 33 = 40

k −k 6 − 7 = 0

ik

k = − 1 atau k = 7

el

Kunci : C

lb

3. Diketahui fungsi f () x =x 6 − 3 dan g () x =x 5 + 4 Jika ( fo g )( ) a = 81 maka nilai a = ….

ua

rj

Pembahasan :

f ( g () a ) = 81

f ( 5 a + 4 ) = 81

pe

6 ( 5 a + 4 ) − 3 = 81

di

30 a = 60

4. Diketahui f k ( x − 1 ) = , x ≠ dan f1 − () x adalah invers dari f () x .

Kunci : D

da − x − 2 1 x − 1 1 x + 1

Rumus f − ( 2 x − 1 ) = ….

Ti − + − + b. , x ≠ − d. , x ≠ −

a. , x ≠ − c. , x ≠ − e. ,2 x ≠

(Ebtanas 2002)

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Pembahasan :

f ()( x =

f () x =

Misal : f () x = maka y f −1 () y = x

f − = 1 () y =

an

2 xy + y = x f − 1 () x =

− = − f ( 2 x − 1 ) = ik

x ( 2 y −1 ) = − y el =

2 xy x

2 y − 1 lb

ua

Kunci : D

Jika f () x =2 x + p dan g () x =x 3 + 120 rj , maka nilai p = ….

5. Ditentukan g ( f () x ) = f ( g () x ) .

(UAN pe 2003)

di

Pembahasan :

g ( f () x ) = f ( g () x )

g ( 2 x + p ) = f ( 3 x + 120 )

3 ( 2 x + p ) + 120 = 2 ( 3 x + 120 ) + p

6 x + 3 p + 120 = 6 x + 240 + p

da p = 60

2 p = 120

Ti

Kunci : B

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

6. Fungsi f : R → didefinisikan sebagai R f () x =

Invers dari fungsi f adalah f1 − () x = ….

an

Misal : f () x y

f = , maka −1 ( y = x )

Cara I :

Cara II :

ik

f () x =

Menggunakan rumus :

− dx + el b

f () x =

2 x − 1 ax + b

3 x + 4 cx + d

2 lb x − 1

3 xy + 4 y = 2 x − 1 f () x =

cx − a

3 xy − 2 x = − 4 y − 1 f () x =

ua 3 x − 2

x ( 3 y − 2 ) = − 4 y − 1 f − 1 () x =

3 y − 2 rj 2 − 3 x

f () x =

pe

f 1 4 () 1 y = Kunci : C

di

f − 1 4 x + () 1 x =

Kunci : C

Bentuk Umum : da

I. 4. Sistem Persamaan Linear.

Ti  a 1 x + a 2 y = a 3

A. Sistem Persamaan Linear 2 peubah

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

B. Sistem Persamaan Linear 3 peubah

C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Dengan cara :

1. Substitusi

an

2. Eliminasi

3. Determinan

ik

4. Matriks

el

Latihan dan Pembahasan

lb

1. Himpunan penyelesaian :  y + z = 6

ua

adalah { ( x , y , z ) } . Nilai dari x +z = ….

b. −3 d. 2 rj

pe

Pembahasan :

x +y = 1 y +z = 6

di x = − 1

y +z = 6 2 x + y + z = 4 x −z = − 5 −x 2 = 2

x −z = − 5

da Ti

Kunci : E

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

 x y

2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan : 

 3 − 2 = 21   x y

adalah { ( x 0 , y 0 ) } . Nilai x 0 − y 0 = ….

an

ik

el

lb

3 2 ua

x = 11 = →x o =

rj

di 5 3 15 15

Kunci : C k

Nilai x 0 − y 0 = + =

da Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear

I. 5. Program linear

suatu sistem pertidaksamaan linear. Ti

(bentuk atau fungsi obyektif atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian

Nilai optimum tersebut dapat ditentukan dengan cara :

1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.

2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut.

3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut tersebut.

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Latihan dan Pembahasan

1. Nilai minimum fungsi objektif ( 5 x 10 + y ) pada himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah terasir gambar dibawah adalah… y

an

a. 400

32 b. 320

ik

el

(Ebtanas 2001)

lb

Pembahasan :

ua

32 rj

pe

di

0 16 x 36 48

k 2 x +y = 32 ……. ( garis g)

Persamaan garis yang melalui (16, 0) dan (32, 0)

Persamaan garis yang melalui (48, 0) dan (0, 16) da

Persamaan garis yang melalui (36, 0) dan (0, 24)

2 x +y 3 = 72 ……( garis g)

Ti

48 x +y 3= ……..( garis g) 3

A adalah titik potong garis 1 g dan g 2 B adalah titik potong garis 2 g dan g 3

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2 x +y = 32 x +y 3 = 48

2 x = 12 3 y = 24 x = 6 y = 8

Koordinat titik A (6, 20)

Koordinat titik B (24, 8)

Koordinat titik sudut pada daerah penyelesaian (0, 32), (6, 20), (24, 8) dan (48, 0)

Nilai optimum : Bentuk obyektif : 5x + 10y

an

Pada titik (0, 32)

ik

Nilai minimum

el

∴ Nilai minimum 200

2. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua lb

Kunci : D

jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp 200,0 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp 300,0 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp 100.000,000 dan paling ua banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah… rj

pe

di 200 x + 300 y ≤ 100000

Pembahasan :

Misal banyaknya kue jenis I = x buah dan kue jenis II = y buah

Sistem pertidaksamaan linear : 400 x +y ≤

da 100

Laba kue I = 40% =

Ti

Laba kue II = 30% =

⊗ Bentuk obyektif : 80 x + 90 y

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Daerah himpunan penyelesaian :

Garis 1000 2 x +y 3 = 1000

Titik potong dengan sumbu x (500, 0) dan sumbu y (0,

Garis x + y = 400 Titik potong dengan sumbu x (400, 0) dan sumbu y (0, 400)

Titik potong :

1000 2 x +y 3 = ×1

x +y = 400 ×2

800 Hp 2 x +y 2 = an

ik

y = 200

0 400 500 x = 200 (200, 200)

el

Bentuk obyektif : 80x + 90y Koordinat titik-titik sudut dan nilai optimum bentuk obyektif

lb

× ua 100 % = 34 %

rj

Laba maksimum Rp 34.000,0 =

Kunci : C

4 x +y 2 ≤ 60 pe

3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan :

2 x +y 4 ≤ 48 x ≥ 0 ,0 y ≥ di adalah ….

b. 118 k d. 114

da

(UAN 2003)

Pembahasan :

Daerah himpunan penyelesaian :

Ti garis 2 x +y 4 = 48

garis 60 4 x +y 2 = Titik potong dengan sumbu x (15, 0) dan sumbu y (0, 30)

Titik potong dengan sumbu x (24, 0) dan sumbu y (0, 12)

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Titik potong garis

12 x = 12 y = 6 (12, 6)

an

0 15 x 24

ik

⊗ Bentuk obyektif : z = 6 x + 8 y

Koordinat titik sudut- titik sudut : (0, 0), (15, 0), (0, 12), (12, 6)

el

Nilai optimum : z = 6 x + 8 y pada titik :

z = 6.0 + 8.0 = 0

lb

z = 6.12 + 8.6 = 120 maksimum

I. 6. Notasi Sigma, Barisan Bilangan dan Deret ua

Kunci : A

rj

Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk menyatakan Operasi penjumlahan bilangan berurutan. Sifat-sifat Notasi ∑: pe

A. Notasi Sigma

di

1. ∑ i = ∑ p

2. ∑ k k . i = k ∑ i , k = konstanta

da

3. ∑ i + ∑ k . i = ∑ k . i

Ti 4. ∑ ( i − a ) = ∑ ( i + a )

5. ∑ ai ±∑ bi = ∑ ( ai ± bi )

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

B. Barisan dan Deret Aritmetika

⊗ Barisan Aritmetika

a , a+ b , a + 2 b , …, a + ( n − 1 ) b

⊗ Deret Aritmetika

U 1 + U 2 +U 3 + …+ U n

a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n –1) b)

an

keterangan :

U 1 = a = suku pertama

b = U 2 –U 1 = beda

S = n { 2 a + ( n − 1 ) b } = { a + U n } = Jumlah n suku pertama ik

a + ( n − 1 ) b = suku ke–n

el

U = n S n− S n - 1

lb

C. Barisan dan Deret Geometri

⊗ Barisan Geometri

ua

a , ar , ar 2 … , ar n − 1

rj

⊗ Deret Geometri

pe

U 1 + U 2 +U 3 + …+ U n

a ar ar 2 … ar n − + 1 + + +

di

keterangan :

U 1 = a = suku pertama

2 r = = rasio

da

ar

= suku ke–n

Ti a  − 1 r  

, 0 <r < 1

1 − r n S = Jumlah n suku pertama n

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

D. Deret Geometri tak hingga

Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika − 1 < r < 1 , r ≠ 0

1 − r S ∞ = Jumlah sampai tak hingga

a = suku pertama r = rasio

an

Latihan dan Pembahasan

ik

1. Nilai dari ∑ 2 k + ∑ ( 3 k + 2 ) = …

(Ebtanas el 1999)

lb

Pembahasan :

∑ ( 2 k + 3 k + 2 ) = ∑ ( 5 k + 2 ) = 7 + 12 + 17 ua + … + 502

k = 1 k = 1 100

selanjutnya penjumlahan di atas dapat di cari dengan menggunakan rumus rj

pe U n = 502

jumlah n suku pertama deret aritmetika.

a=7 b=5

7 +n ( − 1 ) 5 = di 502

a + ( n − 1 ) b = 502

7 +n 5 − 5 = 502

5 n = 500

da 1

n = 100 (n dapat ditentukan dari indeks atas ∑ )

Ti S 100 = 50 ( 7 + 502 )

Kunci : A

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2. Suku kedua suatu Barisan geometri adalah 2 dan suku kelima adalah . Suku

27 ketujuh adalah ….

an

U 5 = ar =

ik

5 ar

27 3 el

r 1 2 lb

ar = 2 a = = . = 3

ua

rj

Kunci : C

aritmetika tersebut adalah …. pe

2 5 n = n + n . Beda dari deret

3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S

2 di 2

da

Pembahasan :

Ti S

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Kunci : C

4. Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46 dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah ….

an

(Ebtanas 2002)

Pembahasan :

Misal bilangan tersebut , a a + b , a + 2 b , a + 3 b .

2 ik

a ( a +b 3 ) = 46 46 a 2 + ab 3 =

46 +b 2 = 144 el

( a + b ) ( a +b 2 ) = 144 144 a 2 + 3 ab + 2 b =

b lb = 7

2 b 2 = 98

( a + 23 ua )( a − 2 ) = 0

a + ab 3 = 46

rj

a +a 21 − 46 = 0

∴ ke-4 bilangan tersebut 2, 9, 16, 23 Jumlah ke-4 bilangan tersebut = 2+9+16+23 = 50

pe

di

Kunci : B

5. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri.

a. 324 orang k c. 648 orang e. 4.374 orang

Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah ….

Pembahasan : da

b. 486 orang

d. 1.458 orang

(Ebtanas 2002)

Ti

U = ar 5 = 6 ⋅ 3 6 5 = 1 . 458 orang

Kunci : D

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah ….

Misal deret tersebut , a ar , ar 2 , ar 3 , ar 4 , ar 5 … , , ar −

an

2 S ∞ = 7 ar = 3 −  1 r  

a =1 7 ( − r ) 7 r − 7 r 2 = 3 − 3 r 2 ik

= 7 7 ( 1 − r ) r = 3 −  1 r 2  

1 −r

el

S ∞genap = 3 4 r 2 −r 7 + 3 = 0

lb

ar

= 3 ( 4 r − 3 )( r − 1 ) = 0

1 −r 2

3 ua r =

3 rj  1 7

a = 7 −  1  = 7 . =

pe

Kunci : A

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam di

I. 7. Matriks

baris dan kolom.

da  e f 

Misal : Matriks A = 

c d   

Ti

Matriks B = 

t  a c 1. Transpose  Matriks A = A =

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

 a b   ka kb 

3. k ⋅ A, = k  =

d  

k = konstanta

 c   kc kd

 a b   e f   ae + bg af + bh 

4. A ⋅ B =  =

5. Determinan matriks A = Det. A = A = ad − bc

Matriks A disebut Matriks Singular jika det. A = 0

A − 1 1  d − b Matriks  A = =

6. Invers

ad − bc   − c a  

an

7. A . I=I .

A = A, I = 

0 0   , I adalah matriks identitas 

A x = B , maka x = A . B ik

8. I A . A - 1 = A - 1 . A =

el

9. Jika

Jika

- 1 x A = B , maka x = B A .

Latihan dan Pembahasan lb

x adalah matriks

ua

Matriks C yang memenuhi ABC = I dengan I matriks Identitas adalah …. rj

1. Diketahui matriks A = 

1  dan B =

pe  1 1 

 di  

da  2 0   1 2   1 0 

ABC = I

Ti  2 4   1 0 

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Kunci : D

an

 5p − 5 

2. Diketahui matriks A = 

c. e. 2 ik

matriks A – B = C− , nilai 2p = …. 1

b. – d. 1 el

a. –1

lb

(Ebtanas 2001)

Pembahasan :

ua

A–B= C−

− 1  4 − 9   5p − 5   − 10 8 

1 rj  6p − 8 

240p = 120 di

− 60 p + 32 –8 = 240p – 128

1 p=

da

2p = 1

Ti

Kunci : D

 4 3   a b   16 3 

3. Diketahui hasil kali matriks

Nilai a+b+c+d = ….

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

a = 1, b = -3, c = 4, dan d = 5 a+b+c+d=1–3+4+5=7

ik

Kunci : B

a x n + a x n − 1 n − n 2 n − 1 + a n − 2 x +….+ a 1 x el + a 0

I. 8. Suku banyak

Bentuk Umum Suku banyak :

lb

a = konstanta n = bilangan cacah

Suku banyak sering dinyatakan dengan f () x

ua

Nilai suku banyak f () x untuk x = k adalah f () k

⊗ Jika suku banyak f () x dibagi ( x rj − maka sisanya adalah a ) f () a .

Teorema Sisa

f(x) = (x – a) . H(x) + S pe

Suku banyak f () x dapat ditulis dalam bentuk :

di H(x) = hasil bagi

k S = f(a)

(x – a) = pembagi

S = sisa

da Misal : pembagi = fungsi kuadrat

⊗ Jika f () x dibagi oleh pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n –1.

Ti Teorema faktor

Sisa = fungsi linear

⊗ Suku banyak f () x mempunyai faktor ( x− a ) jika dan hanya jika f () a =0

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Latihan dan Pembahasan

1. Jika suku banyak P(x) = 2x + 4 ax – 3 3x + 5x + b dibagi oleh 2  x 2  −1   

memberi sisa ( 6 x + 5 ) maka a . b = ….

an

Sisa = S = f(x) = 6x + 5

Pembagi   x 2 −1   = ( x + 1 ) ( x − 1 )

ik

dibagi ( x + 1 ) , maka sisa f(–1) = –1 dibagi ( x − 1 ) , maka sisa f(1) = 11

el

P(x) dibagi ( x + 1 ) sisanya P(–1) = f(–1) = –1

lb

P(x) = 2x + 4

ax – 3 3x + 5 + b 2

P(–1) = 2 – a – 3 – 5 + b = –1

– a + b = 5 ……….(1)

P(x) dibagi ( x − 1 ) sisanya P(1) = f(1) = 11

a + b = 7 ……….(2) ua

P(1) = 2 + a – 3 + 5 + b = 11

Persamaan 1 : – a + b = 5 rj

pe a= 1

Persamaan 2 : a + b = 7

2b = 12 b= 6

di

a.b= 1.6 = 6

Kunci : D

2. Diketahui ( x + 1 ) salah satu faktor dari suku banyak :

da a. ( x − 2 ) c. ( x − 1 ) e. ( x + 3 )

f () x = 2x – 4 2x + 3 px – x – 2, salah satu faktor yang lain adalah …. 2

b. ( x + 2 ) d. ( x − 3 ) Ti (UAN 2003)

Pembahasan :

Jika ( x + 1 ) faktor dari f () x , maka f () − 1 =0

f () x = 2x – 4 2x + 3 px – x – 2 2

f () − 1 = 2+2+p+1–2=0

p = –3

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

∴ ( x − 2 ) adalah faktor yang lain

an

Kunci : A

ik

el lb

ua rj

pe di

da Ti

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan