2fungsifix

Pengertian Fungsi



Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/

menugaskan 2 himpunan



Fungsi

Misalkan

A

dan

B

himpunan. Relasi biner

f

dari

A

ke

B

merupakan suatu fungsi jika

setiap

elemen di

dalam

A

dihubungkan dengan tepat satu elemen di

dalam

B

, artinya :

 

₁

 

₂ 2

1 2

1

,

x

A

,

jika

x

x

,

maka

f

x

f

x

x









Pengertian Fungsi

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A  B

yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut

codomain dari f.

Relasi di bawah ini merupakan fungsi

a i u e

i

1 2 3 4

Pengertian Fungsi

Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :

a i u e o

1 2 3 4 5

A B

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut

jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B.

a mempunyai 2 nilai

Tidak ada kaitan

dgn anggota

Pengertian Fungsi

Jelajah :



y f

 

x y,x  A



 B

Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan R_f

Contoh :

1. Carilah domain dan range dari fungsi :

 

3 4

1

 

x x

f

Jawab :

Pengertian Fungsi

0 3 4 , 3 4 1     x x y 0 3

4x  

4

3





x

                   , 4 3 4 3 , f D          4 3

 

0







R

R 



 ,0

 

 0,



syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

Sehingga _atau

b. Mencari Range

atau



4x 3



1

Contoh

 

1 3 2    x x x f

0

1

3

x





3 1  

x

a. Mencari domain

Sehingga _

                  , 3 1 3 1 , f D

2. Carilah domain dan range dari fungsi :

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

=          3 1

Contoh

 

1

3

2









x

x

y

x

f

2

3

xy



y



x



y

x

xy





2



3



y



y

x

3



1



2



b. Range

1

3

2







y

y

x

0

1

3

y





3

1



y

                 , 3 1 3 1 , f R

















3

1

Syarat fungsi tersebut terdefinisi,

Jadi

Contoh

 

x   x2  5x  6

f

0 6

5

2

 



 x x

0

6

5

2









x

x



 2



 3



0

 x x

a. Mencari domain

TP = -2, -3

-3 -2

++ -- ++

Jadi

D

_f







3

,



2



3. Carilah domain dan range dari fungsi :

Contoh

 

x



y





x

2



5

x



6

f

6

5

2

2

_

_

_x

_

_x

_

y



6



0

5

2 2











x

x

y

 

x

b. Mencari Range

Agar , maka D ≥ 0



6



0

1

.

4

25



2







y

0

24

4

25



2







y

0

4

1



2





y



1 2



1 2



0

 y y

2 1 , 2 1   TP







       

 0,

2 1 , 2 1 f R 2 1 2 1  ++ --Jadi,















2

1

,

0

Karena y0

Soal Latihan

 





1 3    x x x x f

 

x x

f 3 2 4 f

 

x  x



x 2



Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini

 

_{x  x}2 _ 5_{x }6

f

 

3  1 2

x x x f x x

f ( )  4 

1

2

3

4 5

 

x  3 x  2

f

6 7

 

5 6

.

8 _{f x x}2 _{ x }

4 3 ) ( .

9 f x   x 

2 4 3 ) ( .

Macam-macam Fungsi

 

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

f



₀



₁



₂ 2



...



 

x a₀

f 

 

x

a

a

x

f



₀



₁

 

2

2 1

0 a x a x

a x

f   

Macam-macam fungsi :

-Fungsi konstan,

-Fungsi linier,

-Fungsi kuadrat, 1. Fungsi polinom

Macam-macam Fungsi

 

 

x

q

x

p

 





1 1

2 3

2

 

 

x x

x x

f

2. Fungsi Rasional

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0 contoh :

3. Fungsi harga/nilai mutlak

 

x 3 x  1  2 x  2

f

Bentuk umum :

Macam-macam Fungsi

 

x

 

x n  n x  n 1

 

5



5



3,2



3

4. Fungsi bilangan bulat terbesar/ floor

= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x



x



f

 

x

f   5. Fungsi Genap

dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika

terhadap sumbu y

Macam-macam Fungsi

 

_{x x}2

f 

 

x x

f 

 

x

 

x

f cos



x



f

 

x

f  

 

x

 

x

f



sin

 

_{x x}3

f 

Contoh :

6. Fungsi Ganjil

simetris terhadap titik asal, contoh :

Macam-macam Fungsi

 

x

f

g

 

x

 

x

f

g

 

x



f  g

 

x  f



g

 

x





f



g

 

x

 

x

g

g

 

x

Df

7. Fungsi Komposisi

dan , komposisi fungsi antara

dan ditulis Domain dari

adalah himpunan semua bilangan x dengan domain sehingga di dalam

Diberikan fungsi

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi

maka harus



  _f g D R

Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi

Dengan cara yang sama,



g  f

 

x g



f

 

x



Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi

maka harus



  _g f D R

Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :

 



g f



g

f x D g x D

D _   

 



f g



f

g x D f x D

D _   

Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi

 



g f



f

g g t R t R

R _    R_gf 



y  R_g y g

 

t ,t  R_f



 



f t R t R



R    R 



y  R y  f

 

t ,t  R



atau atau

Fungsi Komposisi



f  g

  

x  g  f

 

x







f  g  h

 

x 



f 



g  h



 

x

Sifat-sifat fungsi komposisi :

 

x x

f  g

 

x 1 x2

f

g  f  g

Contoh :

Tentukan dan beserta domain dan range-nya! 1. Jika diketahui







 0,

f

D







 0,

f

R

 

g

D



 ,1





g

Contoh

g f D

R 



0,





g



f



g  f

 

x g



f

 

x



g

 

x 1 x

Karena = , maka fungsi

terdefinisi

f

g



 



f g



f

g x D f x D

D _   



















x

0

,

x



     



 x 0 x

Contoh





0



0





x

x



0 0



 x x

















x 0, 0,







 x 0,

f

g



 



g f



f

g

y

R

y

g

t

t

R

R

_







,































y

,

1

y

1

t

2

,

t

0

,

R

_gf

b. Mencari Range



 ,1







 ,1



 y

R_gf







,

1







y

Jadi

Contoh





_f

g

D

R



 ,1

 

 0,





 

0

,

1





g f 



f



g

 

x



f



g

 

x





f



1 x2





1

_

x

2

Karena _{, maka fungsi}

terdefinisi dengan

g

f



 



g f



g

f x D g x D

D _   







   



 x 1 x2 0,



1 2 0



 x x

c.Domain









1





1





x

x





1

,

1









Contoh

g f 

 



f g



g

f y R y f t t R

R _    , 











 0,  ,   ,1



 y y t t





0



,

0





1





y

y

t

t





0

0





1





y

y



0,





 

0,1



 

0

,

1



Contoh

 

x x x

f  g

 

x x  1

 

f

D R_f  R_g  D_g 

2. Jika diketahui fungsi

g



f

g f D

R     

g



f

Tentukan beserta domain dan range-nya!

= , sehingga terdefinisi

f

g



 



f g



f

g x D f x D

D _   



 



 x x x

a. Domain











Contoh

f g 

 



g f



f

g y R y g t t R

R _    , 



    



 y y t 1,t

b. Range

     

Soal Latihan

 





1 3

  

x x x x

f

 

x x

f 3 2 4

 

x  x



x 2



f

 

x  x2  5x 6

g

 

3  1 2

x x

x g

Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari

f o g dan domain dari f o g.

x x

f ( )  4  g(x)  x

2

3 1

 

x  3 x 2

g

4

 

5 6

Grafik dari fungsi

1. Garis Lurus

c

mx

y





persamaan garis lurus yang melewati (0,c)

3





x

y

3

-3

Garis Lurus



y



y

₁





m



x



x

₁





x

₁

,

y

₁



1 2

1 1

2

1

x x

x x

y y

y y

   





x₁, y₁

 

& x₂, y₂



Persamaan garis lurus melalui

Persamaan garis lurus melalui

c

bx

ax

y



2





ac

b

D



2



4

2. Grafik fungsi kuadrat (parabola) Diskriminan 

Grafik Fungsi Kuadrat

Titik puncak = _

  

 

 

a D a

b

4 , 2

D>0 D=0 D<0

a

_>0

x

Grafik Fungsi Kuadrat

Gambarlah grafik fungsi

y



x

2



x



₁

Contoh :

a =1 jadi a > 0

ac

b

D



2



4

4 12  

= -3 < 0

 grafik menghadap ke atas

Grafik Fungsi Kuadrat

 Titik potong dengan sumbu koordinat

 Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak

ada

 Titik potong dengan sumbu y

x = 0  y = 1

dengan demikian grafik melalui (0,1)

• Titik puncak =    

 

 

a D a

b

4 , 2

   

 

 

4 3 , 2 1

Grafik Fungsi Kuadrat

c by

ay

x  2  

   

 

 

a b a

D

2 , 4

a

b

2



Untuk persamaan kuadrat

Titik puncak = Sumbu simetri = Gambar grafik fungsi

1

2

_

_



x

x

y

-1

1

2 1



4 3

Grafik Fungsi Majemuk

3. Grafik Fungsi Majemuk

x

x

f

(

)



Contoh :

1. Gambarkan grafik fungsi















0

,

0

,

x

x

x

x

x

y=x y=-x

Grafik Fungsi Majemuk

 

  

 

 

2 2

2 1

x x

x x

f

1



y

2 

x

2





x

y

2. Gambarkan grafik fungsi

Grafiknya terdiri dari 2 untuk dan garis untuk x  ₂ bagian, yaitu garis

2

  _x

y

2

1



Grafik Fungsi Majemuk

3. Gambarkan grafik dari fungsi

 

2 4

2

  

x x x

f

f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga

domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2 Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :

  







2



2 2

  



x x x

x f

Grafik Fungsi Majemuk

 

x



x



2

f

x



2

atau , jika

Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4.

Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis

y



x



2

kecuali titik (2,4).

2

  _x

y

2 4

Grafik Fungsi Majemuk

3. Gambarkan grafik dari fungsi

 

x x f 1 3

  

 

 

 

0 3

1

0 3

1 3

1

x x

x x x

Kita definisikan :

1

3 1



1₃

x

Translasi



x a



f

y  

 

x f y 



x a



f

y  

 

x f y 

 

x

h

f

y





 

x f y 

 

x h

f

y  

 

x f y 

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kiri

 grafik mengalami pergeseran sejauh h ke atas

 grafik

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai

y



f

 

x

mengalami pergeseran sejauh h ke bawah

Translasi



y a



f

x  

 

y f x 



y a



f

x  

 

y f x 

 

y

a

f

x





 

y f x 

 

y a

f

x  

 

y f x 

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke bawah

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

 grafik

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai

x



f

 

y

mengalami pergeseran sejauh a ke kiri

Contoh Translasi

 

x x2  4x 5

f



2  4  4



 4 5

 x x



 2



2 1

 x

2

x

y







2

2



 x

y

digeser sejauh

1. Gambarkan grafik dari fungsi



2 ke kanan

2 4

2

x

y _{ }2

2

  _x

Contoh Translasi





2

2





x

y





2



2



1



x

y

Kemudian digeser sejauh 1 ke atas maka akan terbentuk

2 4

 2

2

  _x

y

 ₂2 ₁

 

 _x

Contoh Translasi

 

x x f 1 3

x

y



3

2. Gambarkan grafik fungsi

Kita lihat dahulu grafik

: 3

x

Contoh Translasi

x y 1 3

x y  3

Grafik dapat yang digeser dipandang sebagai grafik

ke atas sejauh 1 satuan

1

x y  3

x y1  3

Soal Latihan

 





1 3    x x x x f

 

x x

f 3 2 4

 

x  x



x 2



f

Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini

 

x  x2  5x 6

f

 

3  1 2

x x x f Diketahui

Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari

f o g dan domain dari f o g.

x x

f ( )  4  g(x)  x

, 1 2 3 4 5

 

x  3 x  2

f

6

Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini 7

 

5 6

.

Translasi



y

a



f

x





 

y f x 



y

a



f

x





 

y f x 

 

y

a

f

x





 

y f x 

 

y

a

f

x





 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke atas

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke bawah

 grafik mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

Contoh Translasi

 

x



x

2



4

x



5

f



2



4



4





4



5



x

x





2



2



1



x

2

x

y







2

2





x

y

digeser sejauh

1. Gambarkan grafik dari fungsi



2 ke kanan

2 4

2

x

y

_

_

2

2

  _x y

Contoh Translasi





2

2





x

y





2



2



1



x

y

Kemudian

digeser sejauh 1 ke atas

maka akan terbentuk

4





2

2

  _x

y



₂



2 ₁

 

 _x

Contoh Translasi

 

x

x

f



1



3

x

y



3

2. Gambarkan grafik fungsi

Kita lihat dahulu grafik

:

3

x

Contoh Translasi

x

y



1



3

x

y





3

Grafik

dapat

yang digeser

dipandang sebagai grafik

ke atas sejauh 1 satuan

1

x y  3

x

y



1



3

Soal Latihan

 





1 3    x x x x f

 

x x

f 3 2 4

 

x



x



x



2



f

Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini

 

x



x

2



5

x



6

f

 



3



1



2

x

x

x

f

Diketahui

Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari

f o g dan domain dari f o g.

x

x

f

(

)



4



g

(

x

)



x

, 1 2 3 4 5

 

x  3 x  2 f

6

Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini