Penerapan Metode Extended Kalman Filter untuk Estimasi Transmisi Filariasis

  Abstrak — Filariasis merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh cacing filaria yang ditularkan melalui berbagai jenis nyamuk. Penularan Filariasis melibatkan manusia dan nyamuk. Dalam permasalahan tersebut dilakukan analisis model transmisi penyakit Filariasis dengan proses pengobatan. Pada model ini didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan pada setiap titik kesetimbangan tersebut yang digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Selain itu dilakukan simulasi kestabilan lokal, hasil dari simulasi pada titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik menunjukan stabil asimtotik. Pada model ini juga akan diestimasi penyebarannya dengan menggunakan _{Extended Kalman Filter. Extended Kalman Filter} adalah perluasan dari metode Kalman Filter yang dapat digunakan untuk mengestimasi model sistem nonlinear dan kontinu. Awalnya dilakukan pendiskritan model terhadap waktu. Hasil akhir dari estimasi tersebut berupa grafik dan nilai error (ne) pada setiap populasinya. Pada populasi diinterval . < <

  Pada tahap ini akan dikaji tentang model dari transmisi

  

Mochamad Isman Safii, dan Erna Apriliani

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia

email : april@matematika.its.ac.id

   Estimasi Transmisi Filariasis dengan Metode Extended Kalman Filter Penerapan Metode Extended Kalman Filter untuk Estimasi Transmisi Filariasis

  E.

  Tahap ini akan dicari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik dengan memasukkan nilai kesetimbangan kedalam matriks Jacobian, sehingga didapat nilai akar – akar karakteristik dari matriks Jacobiannya untuk mengetahui kestabilan asimtotik lokal pada titik – titik tersebut.

   Tahap Menganalisis Kestabilan Lokal

  D.

  dengan pengobatan sehingga didapat titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik.

  Filariasis

  Pada tahap ini akan dilakukan analisis model transmisi

   Tahap Mencari Titik Kesetimbangan

  Extended Kalman Filter C.

  dengan pengobatan sehingga dapat dibuat model kompartemen proses pengobatan dari penyakit Filariasis dan akan diestimasi penyebarannya menggukan metode

  Filariasis

   Pemodelan Persamaan Transmisi Filariasis

  . , pada populasi diinterval . < < . ,

  B.

  dan metode Beda Hingga seta mencari parameter – parameter yang terkait.

  Extended Kalman Filter,

  Sebelum melakukan pemodelan matematika dari transmisi Filariasis, dilakukan pengkajian literatur yang sesuai untuk menunjang pemodelan tersebut, mempelajari

   Studi Literatur

  II. METODOLOGI PENELITIAN A.

  Transmisi Filariasis di suatu daerah dapat diformulasikan dalam bentuk model matematika. Pemodelan matematika yang diperoleh tersebut kemudian digunakan untuk mengestimasikan penyebaran Filariasis pada suatu daerah menggunakan Extended Kalman Filter. Diharapkan hasil dari estimasi tersebut digunakan untuk mempercepat penanggulangan dan pencegahan proses transmisi Filariasis di suatu daerah. Dan dilakukan analisa kestabilan model transmisi penyakit Filariasis

  Sampai pada tahun 2013 di Jawa Timur jumlah penderitanya paling banyak adalah kabupaten Lamongan. Penderitanya sebanyak 56 orang dari jumlah penduduknya sebanyak 1.200.558 jiwa.

  Filariasis sekitar 359 orang.

  Berdasarkan hasil survei cepat Filariasis di indonesia 42% dari 7.000 kuesioner pada tahun 2.000, jumlah penderita kronis yang dilaporkan sebanyak 6.233 orang yang tersebar di 674 puskesmas, 1.553 desa di 231 Kabupaten, 26 propinsi. Data ini belum menggambarkan keadaan yang sebenarnya karena hanya dilaporkan oleh 42% puskesman dari 7.221 Puskesmas. Tingkat endemisitas Filariasis di Indonesia bedasarkan hasil survei darah jari tahun 1999 masih tinggi dengan prevelansi mikrofilaremia 3,1% [1]. sekita 38.052.950 jiwa terdapat 341 penderita Filariasis dirawat di puskesmas yang tersebar di kota/kabupaten di Jawa Timur. Pada tahun 2013 jumlah penduduk Jawa Timur sekitar 38.318.719 jiwa dan orang yang terkena

  , terutama di daerah tropis dan beberapa daerah subtropis. Penyakit ini dapat menyebabkan kecacatan, stigma sosial, hambatan psikososial, dan penurunan produktifitas kerja penderita, keluarga dan masyarakat sehingga menimbulkan kerugian ekonomi yang besar [1].

  Filariasis

  I. PENDAHULUAN iperkirakan sekitar 20% penduduk dunia atau 1,1 milyar penduduk di 83 negara beresiko terinfeksi

  pada populasi diinterval . < < . , pada populasi diinterval . < < . , dan pada populasi diinterval . < < . . _{Kata kunci} — Model Transmisi Penyakit Filariasis dengan Pengobtan, Extended Kalman Filter

  D

• ℎ

  = Keadaan bebas penyakit terjadi saat populasi =

  ℎ dan = sehingga akan direduksi persamaan laju populasi

  ℎ =

  , 0 , 0 , , 0 ) Karena

  = ( ℎ ℎ

  = 0, = 0, = 0, = 0, = 0 maka akan diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit

  0, = 0, = 0 dengan menghitung ℎ

  ) = − sehingga didapat

  ℎ =

  = + = − ( +

  Sedangkan populasi total nyamuk jumlahnya juga tetap maka dapat dinyatakan = 0 dengan = +

  = ℎ ℎ

  ℎ ℎ sehingga didapat ℎ

  ℎ −

  ) =

  ℎ dan persamaan laju populasi dengan mensubtitusi

  ℎ =

  ℎ − (

  (6) = −

  Titik kesetimbangan endemik adalah suatu keadaan dimana terjadi infeksi penyakit di dalam populasi. Titik Kesetimbangan Endemik didapatkan dengan

   Titik Kesetimbangan

  ℎ − (8) B.

  ) ℎ

  = ( −

  ℎ (7)

  − ℎ

  ℎ ℎ kedalam persamaan (2) dan persamaan (1) dieliminasi dan mensubtitusi =

  ℎ ℎ

  ℎ ) − −

  − ℎ

  − ℎ

  ( ℎ

  = ℎ

  = kedalam persamaan (5) dan persamaan (4) dieliminasi, sehingga didapat persamaan baru dari model hasil reduksi sebagai berikut :

  ℎ ℎ

  ℎ

  ℎ =

  (1) =

  G.

  Filter dari transmisi Filariasis.

  Pada tahap ini pemodelan estimasi transmisi Filariasis tersebut disimulasikan dengan bantuan program MATLAB. Dalam kegiatan ini penulis akan mencoba untuk membuat simulasi dari model yang didapat untuk mengetahui grafik kestabilan dab grafik Extended Kalman

   Tahap Simulasi Model

  F.

  Model persamaan matematika dari transmisi Filariasis yang telah diperoleh kemudian dilakukan estimasi terhadap populasi manusi sehat yang rentan terhadap filaria, populasi manusia pembawa penyakit, populasi manusia cacat kronis, populasi nyamuk sehat yang rentan terinfeksi filaria dan populasi nyamuk terinfeksi. Kelima estimasi tersebut merepresentasikan transmisi penyakit Filariasis.

  ℎ =

  ℎ

  − ℎ

  ℎ ℎ

  − ℎ ℎ

  ℎ ℎ

  Pada tahap ini, dilakukan penarikan kesimpulan mengenai penerapan metode Extended Kalman Filter dalam estimasi transmisi Filariasis dan saran yang diperlukan untuk penelitian lebih lanjut.

  ℎ − −

  ℎ −

  ℎ (2)

  = − ℎ (3)

  = −

  ℎ − (4)

  = ℎ

  − (5) ℎ (0) > 0,

  (0) ≥ 0, (0) ≥ 0, (0) > 0, (0) ≥ 0

  Pada populasi total manusia jumlahnya tetap maka dapat dinyatakan ℎ

  = 0 dengan ℎ = ℎ + +

   Tahap Kesimpulan dan Saran

• =
• ℎ
• ℎ

III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A.

   Model Transmisi Penyakit Filariasis dengan Pengobatan

  Pada model transmisi penyakit Filariasis mempunyai definisi – definisi sebagai berikut :

a. Populasi dibagi menjadi 5 kelompok individu yaitu :

   ℎ adalah populasi manusia sehat yang rentan terhadap Filariasis.

   adalah populasi manusia terinfeksi filaria tanpa gejala klinis dan dapat menularkan penyakit.  adalah populasi manusia cacat kronis

   adalah populasi nyamuk sehat yang rentan terinfeksi filarial.

   adalah populasi nyamuk terinfeksi.

  Dari definisi – definisi tersebut maka didapatkan diagram kompartemen sebagai berikut :

  Gambar 1. Diagram Kompartemen Model Transmisi Filariasis dengan Pengobatan

• 2

  ( + ℎ ) ℎ = 0

  Matriks Jacobian persamaan (6) sampai (8) di titik kesetimbangan bebas penyakit

  1 = (0,0,0) menjadi

  [ −

  ( + ℎ )

  ℎ −

  ℎ ℎ

  ℎ −

  ] Selanjutnya dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan menggunakan

  | − | = 0 Sehingga didapat akar – akar karakteristik sebagai berikut : ( + + ℎ )( + ℎ )( + ) −

  ℎ ℎ

  (11) Persamaan (11) dapat dinyatakan dalam bentuk

   Analisis Kestabilan

  3

  2

• 1
• 2
• 3

  = 0 dengan

• 2

  1 = + 2

  ℎ

  = 2 ℎ

• ℎ

• 2

• 2
• ℎ

  Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Model transmisi penyakit Filariasis merupakan model persamaan yang tak linier, sehingga perlu dilakukan pelinieran terlebih dahulu sebelum melakukan analisis kestabilan.

  3 ∗

  ∗ ) C.

  1 ∗

  3∗ ℎ + 2 ℎ Karena pada kondisi pertama didapat

  1 ∗

  ,

  1 ∗

  , dan (1)

  ∗ bernilai nol. ini menunjukkan bahwa pada kondisi pertama dalam keadaan bebas penyakit sehinga didapatkan titik kesetimbangnya adalah

  E

  1 = (

  ,

  , (3)

  1 ∗

  , (1)

  ∗ ) = (0, 0, 0)

  Sedangkan pada kondisi kedua menjukkan bahwa pada kondisi tersebut adalah titik kesetimbangan endemik untuk model transmisi penyakit Filariasis dapat ditulis sebagai berikut:

  2 = (

  3 ∗

  ,

  2 −

  ℎ

  ℎ

  2 ℎ ℎ ℎ

  3 harus bernilai positif maka

  2 ℎ ℎ ℎ

  )  Untuk nilai

  1

  2 >

  3  Nilai

  1 akan benilai positif jika (

  3 > 0)

   Akibatnya nilai

  ( ℎ

  ℎ

  2 ) > (

  2 ℎ2 ℎ ℎ

  ) Dari tabel Routh-Hurwitz dapat dilihat bahwa variabel- variabel pada kolom pertama memiliki nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model transmisi penyakit Filariasis terbukti stabil asimtotik lokal jika memenuhi

  1 > 0,

  2 >

  0,

  3 > 0, dan

  1

  2 >

  2 ) > (

  (2 ℎ

  3 =

  1 > 0)

  (3) ∗

  2 −

  2 ℎ2 ℎ ℎ

  Titik kesetimbangan bebas penyakit dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya

  1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, 1 > 0. Dengan rumus Routh Hurwitz dapat dituliskan dalam tabel berikut ini :

  Tabel 1. Routh – Hurwitz = 1 ^{2 4 = 0} _{1 3 5 = 0 1 = 1 2 − 3 1 2 = 1 4 − 5 1 1 = 1 3 − 1 2}

  1 ^{2 = 1 5 − 1 3 1}

   Terlihat bahwa nilai 1 bernilai positif (

   Nilai

  2 harus bernilai positif maka

  1 akan bernilai positif (

  1

  2 −

  3 > 0) jika

  2 bernilai positif (

  2 > 0) dan

  1

  2 >

  3  Akibatnya nilai

  = 3∗ ℎ

  3 ∗

  ℎ dan

  2 ℎ

  2 Dengan = −

  ℎ = −

  2 ℎ

  2 ℎ −

  2 ℎ ℎ − ℎ ℎ −

  ℎ

  2 ℎ

  −

  =

  = − − √

  2 ℎ ℎ ℎ

  −

  2 ℎ

  2 −

  2 ℎ

  2 ℎ

  Terlihat bahwa nilai < 0 dan < 0 untuk < 0 jika

  2 ℎ ℎ ℎ

  2 − 4

  3 ∗

  2 ℎ

  = ∗

  dari persamaan (6) − (8) sehingga didapatkan titik kesetimbangan endemik

  2 = (

  ∗ ,

  ∗ ,

  ∗ ) dengan

  ∗ =

  ∗ ℎ

  (9) ∗

  ℎ ∗

  2

  ℎ

  ℎ (10)

  Sedangkan untuk ∗ ada tiga kondisi yaitu :

  1 ∗

  = 0

  2 ∗

  = − + √

  2 − 4

  <

  2

  = 3∗

  3 ∗ disubtitusikan ke persamaan (9) dan (10) sehingga diperoleh :  Saat

  3 ∗

  > 0 dengan syarat √

  2 − 4 >

  Setelah diselidiki, maka

  2 ∗ bukan titik kesetimbangan karena bernilai negatif atau

  2 ∗

  < 0 maka

  1 ∗ dan

  1 ∗

  2 ∗

  = 0 maka didapat

  1 ∗

  = 0 dan (1)

  ∗ = 0

   Saat

  3 ∗

  = − −√ 2−4

  2 maka didapat

  < 0 Nilai

   Untuk < 0, < 0, > 0 maka didapat Nilai

  ℎ

  2 ∗ dan

  2 ℎ untuk > 0 jika

  2 ℎ ℎ ℎ

  >

  2 ℎ

  2

  ℎ

  2 ℎ

  Akan diselidiki pada persamaan

  3 ∗ sehingga diperoleh :

  2 − 4 >

   Untuk < 0, < 0, < 0 maka didapat Nilai

  2 ∗

  < 0 dengan syarat

  2 > 4

  Nilai

  3 ∗

  > 0 dengan syarat

  2 > 4 dan

  √

• ℎ
• ℎ

  3

  − −√ 2−4 (3)∗ ℎ ℎ 3∗ 3∗ ℎ 2 ℎ ℎ

  ∗ ) > ( +

• ∗

  = = dan Saat 3 maka didapat

  3

  2 ℎ ℎ ℎ

  ℎ ∗ 3∗ ℎ 2 ℎ2 (3)∗ ℎ 3∗

  = (3)

  ) 3∗ ℎ + 2 ℎ

  ℎ2  Untuk nilai

  1 2 >

  3 Selanjutnya dicari persamaan karakteristik dari matriks  Nilai akan benilai positif jika ( > 0)

  1

  3 Jacobian tersebut dengan menggunakan harus bernilai positif maka

   Akibatnya nilai

  3 | − | = 0

  (3)∗ ℎ ℎ2 ℎ3 3∗ 3∗ ℎ2 3∗

• ( + Sehingga didapat akar – akar karakteristik sebagai berikut :

  ℎ ℎ2 ℎ (3)∗ ℎ ℎ+ ℎ 3∗

  ∗ ℎ2 ∗ ℎ3

  2 ( + + + ) ( + ) ( +

  ℎ ℎ

  3 ℎ 3 ℎ ℎ

  ℎ ℎ − (3)∗

  ∗ ℎ ℎ 2 ℎ2 (3)∗ ℎ 2 ℎ3 ℎ 3∗ 2 ℎ3 ℎ 3∗ ) − ( ( )) ( + +

  3

  ℎ ℎ ℎ ℎ2 ℎ2

  3∗ 2 (3)∗ ℎ ℎ2 (3)∗ ℎ ℎ ( 3∗)2 ℎ2

  ℎ− 3∗ ℎ− 3∗ ℎ ∗ ℎ

• ( ) − ( +

  ℎ ) ℎ

  3 ℎ2 ℎ ℎ2

  ℎ ℎ 2 ℎ3 (3)∗ ℎ 3∗

  (3)∗ ℎ ℎ+ 3∗ ℎ 3∗ ℎ 2 ℎ2 ℎ ) + ) > (

  ) (− ( ) ) = 0 (12) ℎ ℎ ℎ2

  ℎ Persamaan (12) dapat dinyatakan dalam bentuk

  3

  2 Dari tabel Routh-Hurwitz dapat dilihat bahwa variabel = 0 + + +

  1

  2

  3

• – variabel pada kolom pertama memiliki nilai yang sama dengan

  yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan endemik untuk ∗ ℎ (3)∗ ℎ ℎ

  ℎ 3∗ 1 = 3 + 2 ℎ + + + + model transmisi penyakit Filariasis terbukti stabil

  ℎ ℎ ℎ (3)∗ ℎ ℎ

  ∗ ℎ2 asimtotik lokal jika memenuhi > 0, > 0, > 0,

  1

  2

  3 = 2 + 2 + +

  2 3 ℎ ℎ ℎ

  1

  2

  > dan

  3 ℎ2 3∗ 3∗ ℎ 3∗ (3)∗ ℎ ℎ2

  ℎ2 ℎ ℎ D.

   Hasil Simulasi Kestabilan Lokal

  ∗ ℎ ℎ2 3∗

  2 parameter dan nilai awal yang digunakan sebagai

  3 ℎ ℎ − + + + + ℎ ℎ berikut [3] :

  2 ℎ (3)∗ ℎ 2 ℎ ℎ 2 ℎ2 ℎ 3∗

  Tabel 2. Nilai Parameter

  ℎ ℎ ℎ2

  NO Parameter Nilai Parameter

  2 ℎ2 (3)∗ ℎ 3∗ (3)∗ ℎ ℎ 2 ℎ2 ℎ 3∗

• −

  1 ℎ 235

  ℎ2 ℎ2 ℎ 3∗ ℎ

  2 ℎ 0.014

  ℎ

  3 0.001 _ℎ

  (3)∗ ℎ ℎ2 ℎ3 3∗ 3∗ ℎ2 3∗

• = + +

  3

  4

  0.2

  ℎ ℎ2 ℎ

  5 45000

  ∗ ℎ2 ∗ ℎ3

  2

• −

  3 ℎ 3 ℎ ℎ ℎ

  6

  12.67

  2 ℎ2 (3)∗ ℎ 2 ℎ2 ℎ 2 ℎ3 ℎ 3∗

  7

  0.5

  ℎ ℎ ℎ2

  8 300 ₁

  2 ℎ3 ℎ 3∗ 2 ℎ3 (3)∗ ℎ 3∗ − +

  ℎ2 ℎ2

  9 500 ₂

  3∗ 2 (3)∗ ℎ ℎ2 (3)∗ ℎ ℎ

  10

  0.9

  ℎ2 ℎ ( 3∗)2 ℎ2 3∗ ℎ

• Tabel 3. Nilai awal

  ℎ2 ℎ

  No Populasi ketika = Nilai awal

  Titik kesetimbangan endemik dari model dikatakan stabil jika akar-akar persamaan karakteristik dari suatu

  1

  2

  matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif

  2

  1

  > 0, > 0, > 0. Dengan rumus jika dan hanya

  1

  1 Routh Hurwitz pada Tabel 1. dengan analisa sebagai Hasil simulasi dengan mengambil parameter dan nilai berikut : awal berdasarkan yang terdapat pada Tabel 2 dan Tabel

   Terlihat bahwa nilai bernilai positif ( > 0)

  1

  1

  3. Didapatkan grafik kestabilan sebagai berikut: akan bernilai positif ( − > 0) jika  Nilai

  1

  1

  2

  3

  2 > 0) dan > bernilai positif (

  2

  1

  2

  3 harus bernilai positif maka

   Akibatnya nilai

  2 ∗ ℎ2 (3)∗ ℎ ℎ

• (2 + 2

  3 ℎ ℎ ℎ

  ℎ2 3∗ 3∗ ℎ 3∗ (3)∗ ℎ ℎ2

  ℎ2 ℎ ℎ ∗ ℎ

  ℎ2 3∗

  2

  3 ℎ ℎ ℎ ℎ 2 ℎ (3)∗ ℎ

  2 ℎ2 ℎ 3∗ 2 ℎ2 ℎ 3∗

  ℎ ℎ2 ℎ2

  Diskritisasi dilakukan dengan metode beda hingga maju untuk perubahan variabel terhadap waktu. Dilakukan pendiskritan pada persamaan (1) – (5) maka didapat persamaan berikut :

  ℎ( ) = ( + − − ) ∆

  ℎ( +1) ℎ ( ) ℎ ℎ ℎ( ) ℎ ℎ

  (13)

• ℎ( )

  ℎ( ) = ( − − − ) ∆

• 1 ( ) ℎ ℎ

  ℎ ℎ (14)

• = ( − (15)
• 1 ℎ )∆ +

  = ( − − ) ∆ + (16) ( +1) ( ) ( ) ( )

  ℎ (17)

  ( +1) = ( ( ) − ( ) ) ∆ + ( )

  Gambar 2. Grafik Kestabilan Bebas Penyakit dengan = , =

  ℎ

  , =

  Dengan memisalkan =

  1 ℎ =

  2 =

  3 =

  4 =

  5 Maka dapat dinyatakan dalam bentuk

  1

  2 3 =

  4 [ ]

  5

• 1

  2( ) 1( ) − − ) ∆ + +

  Gambar 3. Grafik Kestabilan Endemik dengan ℎ 3( ) 5( ) ℎ ℎ 1( ) 1( )

  ( ℎ ℎ

  = , = , =

  1( ) 2( ) ( − − − ) ∆ +

  5( ) ℎ 2( ) 3( ) ℎ 2( ) 2( ) ℎ ℎ

  Gambar 3 menunjukkan bahwa untuk grafik populasi ( 2( ) − ℎ 3( ) )∆ + 3( )

  , , dan pada = 300 grafiknya lebih tinggi atau titik 2( )

  ( − − ) ∆ + kesetimbangan turun saat = 500. 4( ) 4( ) 4( ) ℎ

  2( ) ( − ) ∆ +

  4( ) 5( ) 5( ) [

  ] ℎ

  Definisikan State Space

  1

  2

  3 =

  4 [ ]

  5 Model sistem = f(

  −1 ) + Persamaan pengukuran

• = H Kemudian aplikasikan algoritma Extended Kalman Filter terhadap persamaan (13) – (17)

  Gambar 4. Grafik Kestabilan Endemik dengan _F.

  = , = , = Hasil Simulasi EKF

  Parameter dan nilai awal yang digunakan dalam simulasi Pada Gambar 3 t-nya diperpanjang hingga mencapai sebagai berikut[3]:

  Tabel 4. Nilai Parameter

  700 tahun, dengan = , = . Dari gambar

  NO Parameter Nilai Parameter

  sudah tersebut terlihat bahwa populasi , , dan menunjukkan ke arah titik setimbang dan stabil pada titik

  1 235 _ℎ tersebut. 2 0.014 _ℎ 3 0.001 _ℎ 4 243

  5

  0.2

  7

  = [0 1 0 0 0] =

  Gambar 9. Grafik Perbandingan Nilai Real dan Estimasi Populai NyamukTerinfeksi ( )

  Gambar 8. Grafik Perbandingan Nilai Real dan Estimasi Populai Nyamuk Sehat ( )

  Gambar 7. Grafik Perbandingan Nilai Real dan Estimasi Populai Manusia Cacat Kronis ( )

  Gambar 6. Grafik Perbandingan Nilai Real dan Estimasi Populai Manusia Terinfeksi ( )

  Gambar 5. Grafik Perbandingan Nilai Real dan Estimasi Populai Manusia Sehat ( ℎ )

  Tabel 4 dan Tabel 5 dengan iterasi sebanyak 70 didapatkan grafik dengan waktu komputasi sebesar 3,183017 detik sebagai berikut:

  = 0.001 Hasil simulasi dan nilai RMSE dengan mengambil parameter dan nilai awal berdasarkan yang terdapat pada

  0.01 0.01]

  0.01

  0.01

  0.01

  [

  15

  12.67

  4

  7

  2

  2

  2

  80

  1 _ℎ

  = Nilai awal

  Tabel 5. Nilai awal dari masing- masing populasi No Sub populasi ketika

  0.9 12 ℎ 87 13 0.001

  11

  0.5 10 500

  8

3 Dengan menggunakan

  − +√ 2−4 ∗

  =

  3

  2 ∗ ∗ dengan pemisalan dipersamaan dan

  2

  3 = −

  ℎ

  2

  2

  2 = − ℎ ℎ − ℎ ℎ −

  2

  2 − −

  ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ

  2

  2

  2

  2

  2 = − −

  ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ Stabil asimtotik lokal terpenuhi jika > 0, > 0,

  1

  2 3 > 0, dan 1 2 >

  3

  2. Metode Extended Kalman Filter yang digunakan dapat diterapkan untuk mengestimasi transmisi Filariasisi.

  Hal ini berdasarkan RMS Error yang diperoleh relatif kecil setiap statenya.

  Gambar 10. Grafik Error antara Nilai Real dan Nilai Estimasi Semua

  PUSTAKA

  Populasi

  V. DAFTAR

  Tabel 6. Nilai rata – rata RMSE [1] Anonim. (2006). “Epidemiologi Filariasi”.

  Nilai rata – rata RMSE Simulasi

  Departemen kesehatan republik Indonesia, direktorat

  ke _ℎ jendral PP & PL, Jakarta.

  [2] Supriana, A.K., Serviana, H., Soewono, E. (2008).

  0.7414 0.0728 0.7725 0.2042 0.8377

  1

  “A Mathematical Model to Investigate the Long-

  0.5243 0.0578 0.4831 0.1449 0.6182

  2 Term Effects of the Lymphatic Filariasis Medical 0.7098 0.0926 0.5330 0.2341 0.9467

  3 Treatment in Jati Sampurna, West Java”. ITB: 0.4393 0.0536 0.8032 0.1743 0.3232

  4 Bandung 0.3166 0.0777 0.9310 0.2119 0.2119

  5

  [3] Husain, H. S.,(2007). “Model penebaran Penyakit

  0.2698 0.0492 1.1651 0.1692 0.4359

  6 Kaki Gajah di kelurahan Jati Sampurna”. ITB : 0.3713 0.0917 0.5593 0.1956 0.7022 Bandung 7 [4] Djoko, Luknanto. (2003). “Model Matematika”.

  0.4690 0.0966 0.5283 0.2512 0.8088

8 Universitas Gadjah Mada: Yogyakarta..

  0.6099 0.0627 0.7904 0.3287 0.5126

  9

  [6] Welch, G. Dan Bishop, G. (2011). “An introduction

  0.3817 0.1237 0.5199 0.2536 0.4587

  10

  to the Kalman Filter”. University of North Carolina: Chapel Hil, Amerika.

  Pada Tabel 6 terlihat bahwa nilai RMSE dari

  [7] Thieme HR. (1992). “Epidemic and Demographic

  setiap populasi relatif kecil yaitu nilai error (ne) pada

  Interaction in The Spread of Potentially Fatal

  populasi diinterval 0.27 < < 0.74, pada populasi Diseases in Growing Populatio”. Math Biosci.

  ℎ diinterval 0.04 < < 0.12, pada populasi diinterval [8] Sun, C, Hsieh, Ying-Hen. (2010). “Global Analysis 0.48 < < 1.16, pada populasi of an SEIR Model with Varying Population Size and diinterval 0.14 < < 0.32, dan pada populasi Vaccinatio”. Applied Mathematical Modelling diinterval 0.21 < <

  [9] Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E.

  0.94. Sehingga secara keseluruhan hal ini dapat dikatakan bahwa metode EKF cocok untuk mengestimasi transmisi (1999). “Metode dan Aplikasi Peramalan”. Edisi penyakit Filariasis. kedua. Jakarta: Binarupa Aksara

IV. KESIMPULAN

  Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan yang telah diberikan pada bab sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

  1. Model transmisi penyakit Filariasis yang telah dikaji, telah didapatkan titik setimbang dan analisis kestabilan sebagai berikut :

a. Titik kesetimbangan bebas penyakit

  ∗ ∗ ∗ 1 = ( 1 , 1 , (1) ) = (0,0,0)

  > 0, > 0, Stabil asimtotik lokal terpenuhi jika

  1

  2 > 0, dan >

  3

  1

  2

  3 b.

  Titik kesetimbangan endemik ∗ ∗ ∗

  = ( , , )

  2

  3 3 (3) dengan

  ∗ 3∗ =

  3 ℎ