bank soal olimpiade matematika
SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA
DAN PENYELESAIANNYA
1. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b berlaku a 2 + b 2 ≥ 2ab !
Bukti :
( a − b ) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab
2. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0 berlaku
Bukti :
(
a−
b
)
2
≥ 0 ⇔ a − 2 ab + b ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 2 ab ⇔
a+ b
≥
2
a+ b
≥
2
ab !
ab
a+ b
≥ ab dikenal sebagai AM ≥ GM dimana AM singkatan Arithmetic Mean
2
sedangkan GM singkatan Geometric Mean.
Catatan : Bentuk
3. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c dan d berlaku
Bukti :
a+ b+ c+ d
=
4
a+ b c+ d
+
2
2 ≥
2
ab + cd
≥
2
a+ b+ c+ d
≥
4
ab cd =
4
abcd !
abcd
4. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dan c dengan a ≥ 0, b ≥ 0 dan c ≥ 0 berlaku
a+ b+ c 3
≥ abc
3
Bukti :
a+ b+ c
= x ⇔ a + b + c = 3x dan 3 abc = y ⇔ abc = y 3
Misal
3
a+ b c+ x
+
a
+
b
+
c
+
x
Maka
2
2 ≥ a + b c + x ≥
=
ab cx =
4
2
2 2
3x + x 4 3
≥ y x ⇔ x4 ≥ y3 x ⇔ x ≥ y
Karena a + b + c = 3 x maka
4
4
abcx =
5. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c berlaku ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc !
Bukti :
b+ c
≥
2
c+ a
≥
2
a+ b
≥
2
bc ....(1)
ca ....(2)
ab ....(3)
b+ c c+ a a+ b
≥
Jika (1) x (2) x (3) maka didapat :
2 2 2
Atau ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc
a 2b 2c 2 = abc
4
y3 x
6. Jika a bilangan positif, buktikan bahwa a +
1
≥ 0 !
a
Bukti :
2
1
1
1
a−
≥ 0 ⇔ a− 2+ ≥ 0 ⇔ a+ ≥ 2
a
a
a
7. Jika a dan b sembarang bilangan, buktikan bahwa
a b
+ ≥ 2!
b a
Bukti :
( a − b) 2 ≥
0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔
a b
+ ≥ 2
b a
8. Jika a, b bilangan positif dan a + b = 1 maka ab ≤
1
!
2
Bukti :
Karena a dan b positif dan a + b = 1 maka :
1
≥ 1 ....(1)
a
1
≥ 1 ....(2)
b
1 1
a+ b
1
≥ 2 ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ 1 ≥ 2ab ⇔ ab ≤
Jika (1) + (2) maka + ≥ 2 ⇔
a b
ab
2
9. Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd !
Bukti :
a b
c d
+ ≥ 2 ....(1) dan
+ ≥ 2 ....(2)
b a
d c
Jika (1) + (2) didapat :
a b c d
a d c b
+ + + ≥ 4 ⇔
+ + + ≥ 4
b a d c
b c d a
a 2cd + abd 2 + abc 2 + b 2cd
≥ 4 ⇔ ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd
abcd
x2
1
10. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa
!
≤
4
1+ x
2
Bukti :
(x
2
)
− 1 2≥ 0 ⇔
x4 − 2 x2 + 1 ≥ 0 ⇔
x4 + 1 ≥ 2x2
11. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa
Bukti :
x4 ≥ 0 ⇔
⇔
(x
2
)
2
(
)
2
12. Hitunglah nilai dari :
1 1
1
1
1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 +
1 2
2
3
Jawab :
1
1
1+ 2 +
=
n
( n + 1) 2
⇔
x2 + 1
(x
x4 + 4x2 + 4 ≥ 4x2 + 4 ⇔
+ 2 ≥ 2 x2 + 1
x2 + 2
2
)
≥ 2!
2
(
1
1
+ 2 + ...... +
2
3
4
n 2 (n + 1) 2 + ( n + 1) + n 2
=
n 2 (n + 1) 2
2
)
+ 2 ≥ 4 x2 + 1
x2 + 2 ≥ 2 x2 + 1 ⇔
1+
x2
≥ 2
1 + x4
⇔
1+
x2 + 2
x2 + 1
≥ 2
1
1
+
2
2004
20052
n 2 (n 2 + 2n + 1) + (n 2 + 2n + 1) + n 2
(n(n + 1)) 2
(
)
2
n 4 + 2n3 + 3n 2 + 2n + 1
n2 + n + 1
n2 + n + 1
1
1
=
=
= 1+ 2
= 1+
2
2
2
n + n
n + n
n(n + 1)
( n(n + 1) )
( n(n + 1) )
1
1
=1 + −
n n+ 1
1 1
1
1
1
1
1
1
Jadi 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ...... + 1 +
+
2
1 2
2
3
3
4
2004
20052
1 1
1 1
1 1
1
1
−
= 1 + − + 1 + − + 1 + − + ..... + 1 +
1 2
2 3
3 4
2004 2005
1
2004
2004
= 2004
= 2004 +
= (1 + 1 + 1 + .... + 1) + 1 −
2005
2005
2005
=
13. Diketahuia, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e= 19 dan a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = 99
tentukan nilai maksimumz !
Jawab :
(19 − e) 2= ( a + b + c + d ) 2
361 − 38e + e 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
361 − 38e + e 2 = 99 − e 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + a 2 + b 2 + a 2 + c 2 + a 2 + d 2 + b 2 + c 2 + b 2 + d 2 + c 2 + d 2
361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + 99 − e2 + 99 − e 2 + 99 − e 2
361 − 38e + e 2 ≤ 396 − 4e 2
5e 2 − 38e − 35 ≤ 0
2144
38 + 2144
≤ e≤
10
10
38 + 2144
Jadi nilai maksimume =
10
Dengan rumus abc didapat
38 −
14. Jika 1+2+3+4+….+n= aaa, maka tentukan nilai n dan aaa !
Jawab :
n
1 + 2 + 3 + .... + n = (n + 1)
2
aaa = 111xa = (3xa) x37
n
(n + 1) = (3xa) x37
2
n (n + 1) = (6 xa) x37
Ini merupakan perkalian berurutan.
Jadi a = 6 dan n = 36
15. Jika aabb = (xy )
2
maka tentukan nilai dari a, b, x dan y !
Jawab :
Karena (xy ) 2 adalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9.
Berarti bb = 00, 11, 44, 55, 66 atau 99
Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untukgenap) atau 1 (untukganjil)
Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirhabis dibagi 4, jadi bb = 44
aabb = aa44 = 11 x a04 maka a = 7
aabb = 7744= 882
Sehingga a = 7, b = 4, x = 8 dan y = 8
3
3
3
3
16. Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + .... + n =
1 2
1
n ( n + 1) 2 = n(n + 1)
4
2
2
Bukti :
Dibuktikan dengan induksi matematika.
1
2
3
Untukn = 1 maka 1 = .1(1 + 1) benar
2
1
3
3
3
3
Misal untukn = k benar maka 1 + 2 + 3 + .... + k = k (k + 1)
2
3
3
3
3
3
Untukn = k + 1 maka 1 + 2 + 3 + .... + k + (k + 1)
1
= k (k + 1) 2 + (k + 1) 3
2
2
1
= ( k + 1) 2 k 2 + k + 1
4
1
= (k + 1) 2(k 2 + 4k + 4)
4
1
= (k + 1) 2(k + 2) 2
4
1
= ( k + 1) ( k + 2 ) 2
2
17. Jika 20043 = A2 − B 2 dimana A dan B bilangan asli, maka tentukan nilai A dan B !
Jawab :
1
13 + 23 + 33 + .... + (n − 1) 3+ n3 = n(n + 1)
2
1
2 3 1
2
2 (n − 1)n + n = 2 n(n + 1)
1
1
n3 = n(n + 1) 2 − (n − 1)n 2
2
2
1
1
20043 = .2004.2005 2 − .2003.2004
2
2
2
2
= (1002.2005) − (1002.2003)
Jadi A = 1002.2005dan B = 1002.2003
2
2
18. Jika A = 13 − 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + .... + 20053 , maka tentukan nilai A !
Jawab :
13 + 23 + 33 + .... + 20053 − 2(23 + 33 + .... + 20043 )
(
(
)
)
= 1 + 2 + 3 + .... + 20053 − 2.23 (13 + 23 + 33 + .... + 10023 )
3
3
3
1
1
= .2005.2006 2 − 16( .1002.1003) 2
2
2
2
2
= 1003 (2005 − (4.501) 2 )
= 10032 (20052 − 2004 2 )
= 10032 (2005 + 2004)(2005 − 2004)
= 10032.4009
19. a1 , a2 , a3 ,...., an adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2 a1 + 2 a 2 + 2 a3 + .... + 2a n = 2005 maka
tentukan nilai dari a1 + a2 + a3 + .... + an !
Jawab :
2005 = 111110101012
2005 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 0 + 24 + 0 + 2 2 + 0 + 20
a1 + a2 + a3 + .... + an = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 4 + 2 + 0 = 46
20. Diketahuix, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhipersamaan :
x + y + z = t .... (1)
1 1 1 1
+ + =
.... (2)
x y z t
x3 + y 3 + z 3 = 10003 .... (3)
Tentukan nilai dari x + y + z + t
Jawab :
1 1 1 xy + xz + yz 1
+ + =
=
⇔
x y z
xyz
t
xy + xz + yz =
xyz
t
(x +
y + z ) 3= x3 + y 3 + z 3 + 3( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) − 3 xyz
xyz
t 3 = x3 + y 3 + z 3 + 3t.
− 3xyz
t
x3 + y 3 + z 3 = t 3 = 10003 → t = 1000
x + y + z + t = t + t = 2t = 2000
ex
21. Suatu fungsi dinyatakan sebagai f ( x) = x
.
e + e
1
2
2004
)+ f(
) + ... + f (
)
Tentukan nilai dari f (
2005
2005
2005
Jawab :
ex
e1− x
e + e x e + e + e1− x e
2e + e x e + e1− x e
f ( x) + f (1 − x) = x
+ 1− x
= x 1− x
=
=1
e + e e + e e e + e x e + e1− x e + e 2e + e x e + e1− x e
1
2004
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
2
2003
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
.....
.....
1002
1003
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
+
= 1002
22. Diketahuia dan b adalah bilangan real yang memenuhisyarat :
i.
a 3 − 3ab 2 = 44
ii.
b 3 − 3a 2b = 8
Tentukan nilai a 2 + b 2 !
Jawab :
a 3 − 3ab 2 = 44 ⇒ (a 3 − 3ab 2 ) 2 = 44 2 ⇔ a 6 − 6a 4b 2 + 9a 2b 4 = 1936
b 3 − 3a 2b = 8
⇒
(b
3
)
− 3a 2b 2 = 82
⇔
b 6 − 6a 2b 4 + 9a 4b 2 = 64
+
a + 3a b + 3a b + b = 2000
6
(a
2
4 2
)
2 4
+ b 2 3= 2000 ⇔
6
a 2 + b2 =
3
2000 = 103 2
23. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiridari 4 digit angka abcd sehingga memenuhipersamaan abcd
+ 1 = (ac + 1)(bd + 1) !
Jawab :
abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1)
1000a + 100b + 10c + d + 1 = (10a + c + 1)(10b + d + 1)
= 100ab + 10ad + 10a + 10bc + cd + c + 10b + d + 1
990a + 90b + 9c - 100ab - 10ad - 10bc – cd = 0
(900a – 100ab) + (90a – 10ad) + (90b – 10 bc) + 9c – cd = 0
100a (9 – b) + 10a (9 – d) + 10b (9 – c) + c (9 – d) = 0
Jadi : b = d = c = 9
a = 1, 2, 3, …., 9
Sehingga bilangan-bilangan itu : 1999, 2999, 3999, …., 9999
24. Tentukan nilai dari
3
4
5
2005
+
+
+ .... +
1
2
3
1x 2 x 2 2 x3x 2
3x4 x2
2003 x 2004 x 22003
Jawab :
k+ 2
a
b
a (k + 1) − kb (a − b)k + a
= k − k
=
=
k
k .(k + 1).2
2 .k 2 .(k + 1)
k (k + 1).2 k
k (k + 1).2 k
jadi a – b = 1 karena a = 2 maka b = 1
2
1
1 2
1
2
1
2
( k − k
= 1 − 1 + 2 − 2 + .... + 2003
− 2003
2003
2 .k 2 .(k + 1) 2 .1 2 .2 2 .2 2 .3
2 .2003 2 .2004
∑k = 1
1
= 1 − 2003
2 .2004
2
2
25. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhipersamaan xy + x + y = 71 dan x y + xy = 880 maka
tentukan nilai x 2 + y 2 !
Jawab :
Misal xy = a dan x + y = b maka :
xy + x + y = 71 ⇔ a + b = 71 ⇔ a = 71 – b ….. (1)
x 2 y + xy 2 = 880 ⇔ xy(x + y) = 880 ⇔ ab = 880 …. (2)
Dari (1) dan (2) didapat :
i. b = 55 dan a = 16 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 552 − 2.16 = 2993
ii.
b = 16 dan a = 55 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 162 − 2.55 = 146
26. Tentukan nilai A2 dimana A adalah jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan :
x=
19 +
91
19 +
91
19 +
91
19 +
9
x
Jawab :
x=
91
⇔
x
19 ± 383
2
19 +
x1.2 =
A=
x 2 − 19 x − 91 = 0
19 + 383
+
2
19 − 383
=
2
19 + 383
+
2
383 − 19
=
2
383
A2 = 383
1
27. Didefinisikan f (n) =
n 2 + 2n + 1 + 3 n 2 − 1 +
nilai dari f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) !
Jawab :
x− y =
3
3
x −
3
3
3
y =
(
3
x−
3
y
)(
3
x2 +
3
xy +
Misal :
x 2 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2
⇒
x = n+ 1
y = n − 2n + 1 = ( n − 1)
⇒
x = n− 1
2
2
2
xy = (n + 1)(n − 1) = n − 1 ⇒
2
f ( n) =
1
3
x2 +
3
xy +
3
y2
=
3
(
n 2 − 2n + 1
3
)
y2 ⇔
untuk semua n bilangan asli. Tentukan
1
=
3
3
x2 +
xy +
3
y2
(
1000000 −
3
999999
3
x− 3 y
x− y
xy = n 2 − 1
x− 3 y
x− y
n+ 1− 3 n− 1 3 n+ 1− 3 n− 1
=
(n + 1) − (n − 1)
2
f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999)
3
2− 3 0 + 3 4− 3 2 + 3 6− 3 4 + 3 8−
=
2
0 + 100
= 50
=
2
f ( n) =
3
3
) (
) (
) (
3
)
6 + .... +
3
)
3
4
5
28. Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana z < y < x < 2004 dan memenuhipersamaan x + y = z !
Jawab :
x3 = z 5 − y 4
Misal z = a 5 dan y = a 6 maka x3 = a 25 − a 24 = a 24 (a − 1) ⇔
a –1 harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb.
Misal a = 2 maka x = 28 3 2 − 1 = 256
x = a8
3
a− 1
z = 25 = 32
y = 26 = 64
n
n
n
n
29. Tunjukkanbahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 121 − 25 + 1900 − (− 4) selalu habis digai
2000!
Jawab :
2000= 125 x 16
Gunakan teori a n − b n habis dibagi a – b
121n − 25n + 1900n − (− 4) n
=
1900n − 25n + 121n − (− 4) n
habis dibagi 16 habis dibagi 16
habis dibagi 125 habis dibagi 125
n
n
n
n
Jadi 121 − 25 + 1900 − (− 4) habis dibagi 125 x 16 = 2000
30. Buktikan bahwa 1998+ 1999 x 2 2004 habis dibagi 7 !
Bukti :
1998+ 1999x 2 2004 = (7n + 3) + (7n + 4) x (7 + 1)668
Kita lihat satuannya : 3 + 4 x 1 668 = 3 + 4 = 7
Jadi 1998+ 1999x 2 2004 habis dibagi 7
31. Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga
x3 + y 3 2006
=
x 3 + z 3 2005
Jawab :
x3 + y 3 ( x + y ) x 2 − xy + y 2
=
x 3 + z 3 ( x + z ) x 2 − xz + z 2
Karena 2006dan 2005 relatif prima, maka diantara faktor-faktor pembilang dan penyebut harus ada
yang sama.
x + y = x + z tidak mungkin, karena y = z.
x 2 − xy + y 2 = x 2 − xz + z 2
(
(
)
)
y 2 − z 2 = xy − xz
( y − z )( y + z ) = x( y − z )
x = y+ z
x + y 2006
y + z + y 2006
=
⇒
=
x + z 2005
y + z + z 2005
2 y + z = 2006
⇒ y = 669 dan z = 668 sehingga x = y + z = 1337
2 z + y = 2005
32. Tentukan rumus untuk (1x1!) + (2 x 2!) + (3x3!) + ... + (n x n!) !
Jawab :
1x1!= [ (1 + 1) x1!] − (1x1!) = (2 x1!) − (1x1!) = 2!− 1!
2 x 2!= [ ( 2 + 1) x 2!] − (1x 2!) = (3 x 2!) − (1x 2!) = 3!− 2!
3 x3!= 4!− 3! dst
(1x1!) + (2 x 2!) + (3 x3!) + .... + (n x n!) = (2!− 1!) + (3!− 2!) + (4!− 3!) + ... + ((n + 1)!− n!)
= − 1!+ (n + 1)!
= (n + 1)!− 1!= (n + 1)!− 1
a
1 1 1 1 1
1
= 1 − + − + − + .... −
dimana a relatif prima dengan b. Tunjukkanbahwa
b
2 3 4 5 6
1336
a adalah kelipatan dari 2005!
Jawab :
1 1 1 1 1
1
1 1
1
1 1
1
= (1 + + + ... +
1 − + − + − + .... −
) − 2( + + ... +
)
2 3 4 5 6
1336
2 3
1336
2 3
1336
1 1
1
1 1
1
= (1 + + + ... +
) − (1 + + + ... +
)
2 3
1336
2 3
668
1
1
1
=
+
+ .... +
669 670
1336
1
1 1
1
1
1
+
=
+
+
+
+ .... +
1002 1003
669 1336) 670 1335
33. Diketahui
1336 + 669 1335 + 670
1003 + 1002
+
+ .... +
669.1336
670.1335
1002.1003
2005
2005
2005
=
+
+ .... +
669.1336 670.1335
1002.1003
1
1
1
= 2005(
+
+ .... +
)
669.1336 670.1335
1002.1003
Jadi kelipatan 2005.
=
x = 2+
34. Jika
3
2+
3
3
2+
2+
maka tentukan nilai x !
3
x
Jawab :
x = 2+
3
x
⇔
( x − 3)( x + 1) =
x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔
0 ⇒
x = 3 yang memenuhi.
12 22 32
10022
12 2 2 32
10022
+
+
+ .... +
dan b =
+
+
+ .... +
1 3
5
2003
3 5 7
2005
Tunjukkanbilangan bulat terdekat dari a – b !
Jawab :
12 22 32
1002 2
12 2 2 32
1002 2
a− b = ( +
+
+ .... +
+
+ .... +
)− ( +
)
1 3 5
2003
3 5 7
2005
1002 2 10012 1002 2
12 22 12 32 22
+ .... +
−
=
+
− + −
−
1 3 3 5 5
2003 2003 2005
35. Diketahui a =
10022
+ (1 + 1 + 1 + ..... + 1)
2005
1002 2 1002(2005 − 1002) 1002.1003
= 1002 −
=
=
≈ 501
2005
2005
2005
= 1−
36. Diketahuia, b, c, d, e dan f adalah bilangan real. Jika
a c e
=
=
= 64 maka tentukan
b d
f
5a 2c − 4c 2e + e3
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
Jawab :
a
= 64 ⇔ a = 64b
b
c
= 64 ⇔ c = 64d
d
e
= 64 ⇔ e = 64 f
f
5a 2c − 4c 2e + e3
=
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
=
643 (5b 2 d − 4d 2 f + f 3 )
=
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
37. Diketahui A =
643 = 512
1
. Tentukan nilai A !
k = 1 1 + 2 + 3 + ... + k
2004
∑
Jawab :
1 + 2 + 3 + .... + k =
2004
5(64b) 2 .64d − 4(64d ) 2 .64 f + (64 f )3
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
k ( k + 1)
2
1
∑k = 1 1 + 2 + 3 + ..... + k =
2004
2
∑k = 1 k (k + 1) =
2004
2
2
−
k+1
k=1 k
∑
2
2
4008
2 2 2 2 2 2
2
= − + − + − + ..... +
−
=
= 2−
2005 2005
1 2 2 3 3 4
2004 2005
1
= 3 x dan x ≠ 0 maka tentukan penyelesaian untukf(x) = f(-x) !
x
38. Jika f ( x) + 2 f
Jawab :
1
f ( x) + 2 f ( ) = 3 x ......(1)
x
1
3
⇒ f ( ) + 2 f ( x) = ....(2)
x
x
1
2 − x2
Jika f ( ) dihilangkan maka f ( x) =
x
x
2
2
2− x
2− x
f ( x) = f (− x) ⇒
=
⇒ x= ± 2
x
− x
39. Tentukan nilai dari x + y jika diketahui x + y +
3
3
x
x 2 + xy
= 19 dan
= 60 !
y
y
Jawab :
Misal x + y = a dan
x+ y+
x
= b maka :
y
x
= 19 ⇒ a + b = 19 atau a = 19 – b ……(1)
y
x 2 + xy
x
= 60 ⇔
( x + y ) = 60 ⇒ ab = 60.........(2)
y
y
Dari (1) dan (2) didapat :
i.
b = 4 dan a = 15 maka x + y = 15 dan x = 4y sehingga x = 12 dan y = 3 jadi x3 + y 3 = 1755
3376
3
3
ii.
b=15dan a = 4 maka x + y = 4 dan x = 15y sehingga x = 15/4dan y = ¼ jadi x + y =
64
x + y + xy = 11
40. Tentukan penyelesaian (x,y,z) dari sistem persamaan : y + z + yz = 14
z + x + zx = 19
Jawab :
11 − x
x+ 1
19 − x
x + zx = 19 ⇔ z =
x+ 1
11 − x 19 − x
z + yz = 14 ⇒
+
+
x+ 1
x+ 1
3 ⇒ y = 2, z = 4
− 5 ⇒ y = − 4, z = − 6
x + y + xy = 11 ⇔ y =
z+
y+
x=
x=
11 − x 19 − x
2
= 14 ⇔ x + 2 x − 15 = 0
x + 1 x + 1
41. Jika x, y, z adalah bilangan real yang memenuhipersamaan :
x+ y+ z = 1
x2 + y 2 + z 2 = 2
x3 + y 3 + z 3 = 3
Maka tentukan nilai x 4 + y 4 + z 4 !
Jawab :
( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + xz + yz) ⇔
1
xy + xz + yz = −
2
12 = 2 + 2( xy + xz + yz )
(x +
y + z ) 3= x3 + y 3 + z 3 + 3( xy + xz + yz )( x + y + z ) − 3xyz
1
1
13 = 3 + 3(− ).1 − 3xyz ⇔ xyz =
2
6
2
2
2 2
4
4
4
2 2
x + y + z = x + y + z + 2( x y + x 2 z 2 + y 2 z 2 )
(
)
[
= x 4 + y 4 + z 4 + 2 ( xy ) + ( xz ) 2 + ( yz ) 2
2
]
= x 4 + y 4 + z 4 + 2[ ( xy + xz + yz ) − 2 xyz ( x + y + z )]
1
1
2 2 = x 4 + y 4 + z 4 + 2 − 2 − 2. .1
6
2
1
x4 + y 4 + z 4 = 4
6
42. Diketahui f ( x ) = ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81 . Tulislah f(x) dalam bentuk
4
yang paling sederhana dan tentukan f(2005)!
Jawab :
4
4
3
2
x 4 = [ ( x + 3) − 3] = ( x + 3) − 4( x + 3) .3 + 6( x + 3) .32 − 4( x + 3).33 + 34
= ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81
4
= x4
f ( 2005) = 20054
43. Tentukan nilai x, y, z yang memenuhipersamaan
xy
1
= ,
x+ y 2
Jawab :
xy
1
x+ y
1 1
= ⇔
= 2⇔
+ = 2 ⇒ a + b = 2 ....(1)
x+ y 2
xy
x y
yz
1
y+ z
1 1
= ⇔
= 3⇔
+ = 3 ⇒ b + c = 3 ....(2)
y+ z 3
yz
y z
zx
1
z+ x
1 1
= ⇔
= 7⇔
+ = 7 ⇒ a + c = 7 ....(3)
z+ x 7
zx
x z
Dari (1), (2) dan (3) didapat :
1
1
a= 3= ⇔ x=
x
3
1
b = −1=
⇔ y = −1
y
1
1
c= 4= ⇔ z=
z
4
44. Tentukanlah nilai dari 1 −
1
1
1
1
1 − 1 − .... 1 −
!
2
3
4
2004
Jawab :
1 2 3
2002 2003
1
. . .......
.
=
2 3 4
2003 2004 2004
45. Tentukan nilai dari
1
1
1
1
+
+
+ ...... +
!
1.2 2.3 3.4
2004.2005
Jawab :
1
1
1
= −
k (k + 1) k k + 1
yz
1
= ,
y+ z 3
zx
1
=
z+ x 7
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
−
+
+
+ ...... +
= − + ( − ) + − + ..... +
2 3 3 4
1.2 2.3 3.4
2004.2005 1 2
2004 2005
1
2004
= 1−
=
2005 2005
46. Tentukan nilai dari
1
+
1+ 2
1
+
2+ 3
1
+ .... +
3+ 4
1
!
9999 + 10000
Jawab :
1
1
1
1
+
+
+ .... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
9999 + 10000
= − 1 + 2 + − 2 + 3 + − 3 + 4 + ..... + − 9999 + 10000 = − 1 +
(
) (
57
= a+
17
b+
47. Jika
) (
)
(
)
10000 = 99
1
1
1
c+
d+1
maka tentukan nilai a x b x c x d !
Jawab :
57
6
1
1
1
1
1
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
17
5
1
1
1
17
17
2+
2+
2+
2+
6
1
1
6
6
1+
1+
5
5
4+ 1
Jadi a = 3, b = 2, c = 1 dan d = 4
Sehingga a x b x c x d = 3.2.1.4 = 24
2005 yz + 2005 zx + 2005 xy
x + 2 y 2 y + 3z 3z + x
=
=
maka tentukan nilai dari
!
x2 + y 2 + z 2
6
10
8
Jawab :
10 x + 20 y = 12 y + 18 z ⇔ 5 x + 4 y − 9 z = 0 .......(1)
8 x + 16 y = 18 z + 6 x ⇔ x + 8 y − 9 z = 0 ........(2)
16 y + 24 z = 30 z + 10 x ⇔ 5 x − 8 y + 3z = 0 ........(3)
dari (1), (2) dan (3) didapat x = y = z
2005 yz + 2005 zx + 2005 xy 2005 x 2 + x 2 + x 2
=
= 2005
x2 + y 2 + z 2
x2 + x2 + x2
47. Jika
(
)
48. Diketahui:
1 1 1 1
1
1
A = 1 − + − + − ..... +
−
2 3 4 5
2003 2004
1
1
1
1
B=
+
+
+ ..... +
1003 1004 1005
2004
2
2
Maka hitunglah nilai dari A − B !
Jawab :
1 1 1 1
1
1
A = 1 − + − + − ..... +
−
2 3 4 5
2003 2004
1 1
1
1
1 1 1
= 1 + + + .... +
− 2 + + + ..... +
2 3
2004
2004
2 4 6
1 1
1
1 1
1
= 1 + + + .... +
− 1 + + + .... +
2 3
2004
2 3
1002
1
1
1
=
+
+ ...... +
1003 1004
2004
Jadi A = B maka A2 − B 2 = 0
50. Buktikan bahwa
1 1 1
1
+ + + ..... +
< 2 !
1! 2! 3!
2005!
Jawab :
1 1 1
1
1 1
1
1
+ + + ..... +
< 1 + 2 + 3 + .... + 2004 =
1! 2! 3!
2005! 2 2
2
2
2004
1
2
1
1−
2
1
(1 −
2
2004
)
1
= 1−
2
2004
1
1
Karena
> 0 maka 1 −
DAN PENYELESAIANNYA
1. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b berlaku a 2 + b 2 ≥ 2ab !
Bukti :
( a − b ) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab
2. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0 berlaku
Bukti :
(
a−
b
)
2
≥ 0 ⇔ a − 2 ab + b ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 2 ab ⇔
a+ b
≥
2
a+ b
≥
2
ab !
ab
a+ b
≥ ab dikenal sebagai AM ≥ GM dimana AM singkatan Arithmetic Mean
2
sedangkan GM singkatan Geometric Mean.
Catatan : Bentuk
3. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c dan d berlaku
Bukti :
a+ b+ c+ d
=
4
a+ b c+ d
+
2
2 ≥
2
ab + cd
≥
2
a+ b+ c+ d
≥
4
ab cd =
4
abcd !
abcd
4. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dan c dengan a ≥ 0, b ≥ 0 dan c ≥ 0 berlaku
a+ b+ c 3
≥ abc
3
Bukti :
a+ b+ c
= x ⇔ a + b + c = 3x dan 3 abc = y ⇔ abc = y 3
Misal
3
a+ b c+ x
+
a
+
b
+
c
+
x
Maka
2
2 ≥ a + b c + x ≥
=
ab cx =
4
2
2 2
3x + x 4 3
≥ y x ⇔ x4 ≥ y3 x ⇔ x ≥ y
Karena a + b + c = 3 x maka
4
4
abcx =
5. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c berlaku ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc !
Bukti :
b+ c
≥
2
c+ a
≥
2
a+ b
≥
2
bc ....(1)
ca ....(2)
ab ....(3)
b+ c c+ a a+ b
≥
Jika (1) x (2) x (3) maka didapat :
2 2 2
Atau ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc
a 2b 2c 2 = abc
4
y3 x
6. Jika a bilangan positif, buktikan bahwa a +
1
≥ 0 !
a
Bukti :
2
1
1
1
a−
≥ 0 ⇔ a− 2+ ≥ 0 ⇔ a+ ≥ 2
a
a
a
7. Jika a dan b sembarang bilangan, buktikan bahwa
a b
+ ≥ 2!
b a
Bukti :
( a − b) 2 ≥
0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔
a b
+ ≥ 2
b a
8. Jika a, b bilangan positif dan a + b = 1 maka ab ≤
1
!
2
Bukti :
Karena a dan b positif dan a + b = 1 maka :
1
≥ 1 ....(1)
a
1
≥ 1 ....(2)
b
1 1
a+ b
1
≥ 2 ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ 1 ≥ 2ab ⇔ ab ≤
Jika (1) + (2) maka + ≥ 2 ⇔
a b
ab
2
9. Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd !
Bukti :
a b
c d
+ ≥ 2 ....(1) dan
+ ≥ 2 ....(2)
b a
d c
Jika (1) + (2) didapat :
a b c d
a d c b
+ + + ≥ 4 ⇔
+ + + ≥ 4
b a d c
b c d a
a 2cd + abd 2 + abc 2 + b 2cd
≥ 4 ⇔ ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd
abcd
x2
1
10. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa
!
≤
4
1+ x
2
Bukti :
(x
2
)
− 1 2≥ 0 ⇔
x4 − 2 x2 + 1 ≥ 0 ⇔
x4 + 1 ≥ 2x2
11. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa
Bukti :
x4 ≥ 0 ⇔
⇔
(x
2
)
2
(
)
2
12. Hitunglah nilai dari :
1 1
1
1
1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 +
1 2
2
3
Jawab :
1
1
1+ 2 +
=
n
( n + 1) 2
⇔
x2 + 1
(x
x4 + 4x2 + 4 ≥ 4x2 + 4 ⇔
+ 2 ≥ 2 x2 + 1
x2 + 2
2
)
≥ 2!
2
(
1
1
+ 2 + ...... +
2
3
4
n 2 (n + 1) 2 + ( n + 1) + n 2
=
n 2 (n + 1) 2
2
)
+ 2 ≥ 4 x2 + 1
x2 + 2 ≥ 2 x2 + 1 ⇔
1+
x2
≥ 2
1 + x4
⇔
1+
x2 + 2
x2 + 1
≥ 2
1
1
+
2
2004
20052
n 2 (n 2 + 2n + 1) + (n 2 + 2n + 1) + n 2
(n(n + 1)) 2
(
)
2
n 4 + 2n3 + 3n 2 + 2n + 1
n2 + n + 1
n2 + n + 1
1
1
=
=
= 1+ 2
= 1+
2
2
2
n + n
n + n
n(n + 1)
( n(n + 1) )
( n(n + 1) )
1
1
=1 + −
n n+ 1
1 1
1
1
1
1
1
1
Jadi 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ...... + 1 +
+
2
1 2
2
3
3
4
2004
20052
1 1
1 1
1 1
1
1
−
= 1 + − + 1 + − + 1 + − + ..... + 1 +
1 2
2 3
3 4
2004 2005
1
2004
2004
= 2004
= 2004 +
= (1 + 1 + 1 + .... + 1) + 1 −
2005
2005
2005
=
13. Diketahuia, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e= 19 dan a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = 99
tentukan nilai maksimumz !
Jawab :
(19 − e) 2= ( a + b + c + d ) 2
361 − 38e + e 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
361 − 38e + e 2 = 99 − e 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + a 2 + b 2 + a 2 + c 2 + a 2 + d 2 + b 2 + c 2 + b 2 + d 2 + c 2 + d 2
361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + 99 − e2 + 99 − e 2 + 99 − e 2
361 − 38e + e 2 ≤ 396 − 4e 2
5e 2 − 38e − 35 ≤ 0
2144
38 + 2144
≤ e≤
10
10
38 + 2144
Jadi nilai maksimume =
10
Dengan rumus abc didapat
38 −
14. Jika 1+2+3+4+….+n= aaa, maka tentukan nilai n dan aaa !
Jawab :
n
1 + 2 + 3 + .... + n = (n + 1)
2
aaa = 111xa = (3xa) x37
n
(n + 1) = (3xa) x37
2
n (n + 1) = (6 xa) x37
Ini merupakan perkalian berurutan.
Jadi a = 6 dan n = 36
15. Jika aabb = (xy )
2
maka tentukan nilai dari a, b, x dan y !
Jawab :
Karena (xy ) 2 adalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9.
Berarti bb = 00, 11, 44, 55, 66 atau 99
Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untukgenap) atau 1 (untukganjil)
Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirhabis dibagi 4, jadi bb = 44
aabb = aa44 = 11 x a04 maka a = 7
aabb = 7744= 882
Sehingga a = 7, b = 4, x = 8 dan y = 8
3
3
3
3
16. Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + .... + n =
1 2
1
n ( n + 1) 2 = n(n + 1)
4
2
2
Bukti :
Dibuktikan dengan induksi matematika.
1
2
3
Untukn = 1 maka 1 = .1(1 + 1) benar
2
1
3
3
3
3
Misal untukn = k benar maka 1 + 2 + 3 + .... + k = k (k + 1)
2
3
3
3
3
3
Untukn = k + 1 maka 1 + 2 + 3 + .... + k + (k + 1)
1
= k (k + 1) 2 + (k + 1) 3
2
2
1
= ( k + 1) 2 k 2 + k + 1
4
1
= (k + 1) 2(k 2 + 4k + 4)
4
1
= (k + 1) 2(k + 2) 2
4
1
= ( k + 1) ( k + 2 ) 2
2
17. Jika 20043 = A2 − B 2 dimana A dan B bilangan asli, maka tentukan nilai A dan B !
Jawab :
1
13 + 23 + 33 + .... + (n − 1) 3+ n3 = n(n + 1)
2
1
2 3 1
2
2 (n − 1)n + n = 2 n(n + 1)
1
1
n3 = n(n + 1) 2 − (n − 1)n 2
2
2
1
1
20043 = .2004.2005 2 − .2003.2004
2
2
2
2
= (1002.2005) − (1002.2003)
Jadi A = 1002.2005dan B = 1002.2003
2
2
18. Jika A = 13 − 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + .... + 20053 , maka tentukan nilai A !
Jawab :
13 + 23 + 33 + .... + 20053 − 2(23 + 33 + .... + 20043 )
(
(
)
)
= 1 + 2 + 3 + .... + 20053 − 2.23 (13 + 23 + 33 + .... + 10023 )
3
3
3
1
1
= .2005.2006 2 − 16( .1002.1003) 2
2
2
2
2
= 1003 (2005 − (4.501) 2 )
= 10032 (20052 − 2004 2 )
= 10032 (2005 + 2004)(2005 − 2004)
= 10032.4009
19. a1 , a2 , a3 ,...., an adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2 a1 + 2 a 2 + 2 a3 + .... + 2a n = 2005 maka
tentukan nilai dari a1 + a2 + a3 + .... + an !
Jawab :
2005 = 111110101012
2005 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 0 + 24 + 0 + 2 2 + 0 + 20
a1 + a2 + a3 + .... + an = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 4 + 2 + 0 = 46
20. Diketahuix, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhipersamaan :
x + y + z = t .... (1)
1 1 1 1
+ + =
.... (2)
x y z t
x3 + y 3 + z 3 = 10003 .... (3)
Tentukan nilai dari x + y + z + t
Jawab :
1 1 1 xy + xz + yz 1
+ + =
=
⇔
x y z
xyz
t
xy + xz + yz =
xyz
t
(x +
y + z ) 3= x3 + y 3 + z 3 + 3( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) − 3 xyz
xyz
t 3 = x3 + y 3 + z 3 + 3t.
− 3xyz
t
x3 + y 3 + z 3 = t 3 = 10003 → t = 1000
x + y + z + t = t + t = 2t = 2000
ex
21. Suatu fungsi dinyatakan sebagai f ( x) = x
.
e + e
1
2
2004
)+ f(
) + ... + f (
)
Tentukan nilai dari f (
2005
2005
2005
Jawab :
ex
e1− x
e + e x e + e + e1− x e
2e + e x e + e1− x e
f ( x) + f (1 − x) = x
+ 1− x
= x 1− x
=
=1
e + e e + e e e + e x e + e1− x e + e 2e + e x e + e1− x e
1
2004
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
2
2003
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
.....
.....
1002
1003
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
+
= 1002
22. Diketahuia dan b adalah bilangan real yang memenuhisyarat :
i.
a 3 − 3ab 2 = 44
ii.
b 3 − 3a 2b = 8
Tentukan nilai a 2 + b 2 !
Jawab :
a 3 − 3ab 2 = 44 ⇒ (a 3 − 3ab 2 ) 2 = 44 2 ⇔ a 6 − 6a 4b 2 + 9a 2b 4 = 1936
b 3 − 3a 2b = 8
⇒
(b
3
)
− 3a 2b 2 = 82
⇔
b 6 − 6a 2b 4 + 9a 4b 2 = 64
+
a + 3a b + 3a b + b = 2000
6
(a
2
4 2
)
2 4
+ b 2 3= 2000 ⇔
6
a 2 + b2 =
3
2000 = 103 2
23. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiridari 4 digit angka abcd sehingga memenuhipersamaan abcd
+ 1 = (ac + 1)(bd + 1) !
Jawab :
abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1)
1000a + 100b + 10c + d + 1 = (10a + c + 1)(10b + d + 1)
= 100ab + 10ad + 10a + 10bc + cd + c + 10b + d + 1
990a + 90b + 9c - 100ab - 10ad - 10bc – cd = 0
(900a – 100ab) + (90a – 10ad) + (90b – 10 bc) + 9c – cd = 0
100a (9 – b) + 10a (9 – d) + 10b (9 – c) + c (9 – d) = 0
Jadi : b = d = c = 9
a = 1, 2, 3, …., 9
Sehingga bilangan-bilangan itu : 1999, 2999, 3999, …., 9999
24. Tentukan nilai dari
3
4
5
2005
+
+
+ .... +
1
2
3
1x 2 x 2 2 x3x 2
3x4 x2
2003 x 2004 x 22003
Jawab :
k+ 2
a
b
a (k + 1) − kb (a − b)k + a
= k − k
=
=
k
k .(k + 1).2
2 .k 2 .(k + 1)
k (k + 1).2 k
k (k + 1).2 k
jadi a – b = 1 karena a = 2 maka b = 1
2
1
1 2
1
2
1
2
( k − k
= 1 − 1 + 2 − 2 + .... + 2003
− 2003
2003
2 .k 2 .(k + 1) 2 .1 2 .2 2 .2 2 .3
2 .2003 2 .2004
∑k = 1
1
= 1 − 2003
2 .2004
2
2
25. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhipersamaan xy + x + y = 71 dan x y + xy = 880 maka
tentukan nilai x 2 + y 2 !
Jawab :
Misal xy = a dan x + y = b maka :
xy + x + y = 71 ⇔ a + b = 71 ⇔ a = 71 – b ….. (1)
x 2 y + xy 2 = 880 ⇔ xy(x + y) = 880 ⇔ ab = 880 …. (2)
Dari (1) dan (2) didapat :
i. b = 55 dan a = 16 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 552 − 2.16 = 2993
ii.
b = 16 dan a = 55 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 162 − 2.55 = 146
26. Tentukan nilai A2 dimana A adalah jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan :
x=
19 +
91
19 +
91
19 +
91
19 +
9
x
Jawab :
x=
91
⇔
x
19 ± 383
2
19 +
x1.2 =
A=
x 2 − 19 x − 91 = 0
19 + 383
+
2
19 − 383
=
2
19 + 383
+
2
383 − 19
=
2
383
A2 = 383
1
27. Didefinisikan f (n) =
n 2 + 2n + 1 + 3 n 2 − 1 +
nilai dari f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) !
Jawab :
x− y =
3
3
x −
3
3
3
y =
(
3
x−
3
y
)(
3
x2 +
3
xy +
Misal :
x 2 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2
⇒
x = n+ 1
y = n − 2n + 1 = ( n − 1)
⇒
x = n− 1
2
2
2
xy = (n + 1)(n − 1) = n − 1 ⇒
2
f ( n) =
1
3
x2 +
3
xy +
3
y2
=
3
(
n 2 − 2n + 1
3
)
y2 ⇔
untuk semua n bilangan asli. Tentukan
1
=
3
3
x2 +
xy +
3
y2
(
1000000 −
3
999999
3
x− 3 y
x− y
xy = n 2 − 1
x− 3 y
x− y
n+ 1− 3 n− 1 3 n+ 1− 3 n− 1
=
(n + 1) − (n − 1)
2
f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999)
3
2− 3 0 + 3 4− 3 2 + 3 6− 3 4 + 3 8−
=
2
0 + 100
= 50
=
2
f ( n) =
3
3
) (
) (
) (
3
)
6 + .... +
3
)
3
4
5
28. Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana z < y < x < 2004 dan memenuhipersamaan x + y = z !
Jawab :
x3 = z 5 − y 4
Misal z = a 5 dan y = a 6 maka x3 = a 25 − a 24 = a 24 (a − 1) ⇔
a –1 harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb.
Misal a = 2 maka x = 28 3 2 − 1 = 256
x = a8
3
a− 1
z = 25 = 32
y = 26 = 64
n
n
n
n
29. Tunjukkanbahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 121 − 25 + 1900 − (− 4) selalu habis digai
2000!
Jawab :
2000= 125 x 16
Gunakan teori a n − b n habis dibagi a – b
121n − 25n + 1900n − (− 4) n
=
1900n − 25n + 121n − (− 4) n
habis dibagi 16 habis dibagi 16
habis dibagi 125 habis dibagi 125
n
n
n
n
Jadi 121 − 25 + 1900 − (− 4) habis dibagi 125 x 16 = 2000
30. Buktikan bahwa 1998+ 1999 x 2 2004 habis dibagi 7 !
Bukti :
1998+ 1999x 2 2004 = (7n + 3) + (7n + 4) x (7 + 1)668
Kita lihat satuannya : 3 + 4 x 1 668 = 3 + 4 = 7
Jadi 1998+ 1999x 2 2004 habis dibagi 7
31. Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga
x3 + y 3 2006
=
x 3 + z 3 2005
Jawab :
x3 + y 3 ( x + y ) x 2 − xy + y 2
=
x 3 + z 3 ( x + z ) x 2 − xz + z 2
Karena 2006dan 2005 relatif prima, maka diantara faktor-faktor pembilang dan penyebut harus ada
yang sama.
x + y = x + z tidak mungkin, karena y = z.
x 2 − xy + y 2 = x 2 − xz + z 2
(
(
)
)
y 2 − z 2 = xy − xz
( y − z )( y + z ) = x( y − z )
x = y+ z
x + y 2006
y + z + y 2006
=
⇒
=
x + z 2005
y + z + z 2005
2 y + z = 2006
⇒ y = 669 dan z = 668 sehingga x = y + z = 1337
2 z + y = 2005
32. Tentukan rumus untuk (1x1!) + (2 x 2!) + (3x3!) + ... + (n x n!) !
Jawab :
1x1!= [ (1 + 1) x1!] − (1x1!) = (2 x1!) − (1x1!) = 2!− 1!
2 x 2!= [ ( 2 + 1) x 2!] − (1x 2!) = (3 x 2!) − (1x 2!) = 3!− 2!
3 x3!= 4!− 3! dst
(1x1!) + (2 x 2!) + (3 x3!) + .... + (n x n!) = (2!− 1!) + (3!− 2!) + (4!− 3!) + ... + ((n + 1)!− n!)
= − 1!+ (n + 1)!
= (n + 1)!− 1!= (n + 1)!− 1
a
1 1 1 1 1
1
= 1 − + − + − + .... −
dimana a relatif prima dengan b. Tunjukkanbahwa
b
2 3 4 5 6
1336
a adalah kelipatan dari 2005!
Jawab :
1 1 1 1 1
1
1 1
1
1 1
1
= (1 + + + ... +
1 − + − + − + .... −
) − 2( + + ... +
)
2 3 4 5 6
1336
2 3
1336
2 3
1336
1 1
1
1 1
1
= (1 + + + ... +
) − (1 + + + ... +
)
2 3
1336
2 3
668
1
1
1
=
+
+ .... +
669 670
1336
1
1 1
1
1
1
+
=
+
+
+
+ .... +
1002 1003
669 1336) 670 1335
33. Diketahui
1336 + 669 1335 + 670
1003 + 1002
+
+ .... +
669.1336
670.1335
1002.1003
2005
2005
2005
=
+
+ .... +
669.1336 670.1335
1002.1003
1
1
1
= 2005(
+
+ .... +
)
669.1336 670.1335
1002.1003
Jadi kelipatan 2005.
=
x = 2+
34. Jika
3
2+
3
3
2+
2+
maka tentukan nilai x !
3
x
Jawab :
x = 2+
3
x
⇔
( x − 3)( x + 1) =
x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔
0 ⇒
x = 3 yang memenuhi.
12 22 32
10022
12 2 2 32
10022
+
+
+ .... +
dan b =
+
+
+ .... +
1 3
5
2003
3 5 7
2005
Tunjukkanbilangan bulat terdekat dari a – b !
Jawab :
12 22 32
1002 2
12 2 2 32
1002 2
a− b = ( +
+
+ .... +
+
+ .... +
)− ( +
)
1 3 5
2003
3 5 7
2005
1002 2 10012 1002 2
12 22 12 32 22
+ .... +
−
=
+
− + −
−
1 3 3 5 5
2003 2003 2005
35. Diketahui a =
10022
+ (1 + 1 + 1 + ..... + 1)
2005
1002 2 1002(2005 − 1002) 1002.1003
= 1002 −
=
=
≈ 501
2005
2005
2005
= 1−
36. Diketahuia, b, c, d, e dan f adalah bilangan real. Jika
a c e
=
=
= 64 maka tentukan
b d
f
5a 2c − 4c 2e + e3
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
Jawab :
a
= 64 ⇔ a = 64b
b
c
= 64 ⇔ c = 64d
d
e
= 64 ⇔ e = 64 f
f
5a 2c − 4c 2e + e3
=
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
=
643 (5b 2 d − 4d 2 f + f 3 )
=
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
37. Diketahui A =
643 = 512
1
. Tentukan nilai A !
k = 1 1 + 2 + 3 + ... + k
2004
∑
Jawab :
1 + 2 + 3 + .... + k =
2004
5(64b) 2 .64d − 4(64d ) 2 .64 f + (64 f )3
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
k ( k + 1)
2
1
∑k = 1 1 + 2 + 3 + ..... + k =
2004
2
∑k = 1 k (k + 1) =
2004
2
2
−
k+1
k=1 k
∑
2
2
4008
2 2 2 2 2 2
2
= − + − + − + ..... +
−
=
= 2−
2005 2005
1 2 2 3 3 4
2004 2005
1
= 3 x dan x ≠ 0 maka tentukan penyelesaian untukf(x) = f(-x) !
x
38. Jika f ( x) + 2 f
Jawab :
1
f ( x) + 2 f ( ) = 3 x ......(1)
x
1
3
⇒ f ( ) + 2 f ( x) = ....(2)
x
x
1
2 − x2
Jika f ( ) dihilangkan maka f ( x) =
x
x
2
2
2− x
2− x
f ( x) = f (− x) ⇒
=
⇒ x= ± 2
x
− x
39. Tentukan nilai dari x + y jika diketahui x + y +
3
3
x
x 2 + xy
= 19 dan
= 60 !
y
y
Jawab :
Misal x + y = a dan
x+ y+
x
= b maka :
y
x
= 19 ⇒ a + b = 19 atau a = 19 – b ……(1)
y
x 2 + xy
x
= 60 ⇔
( x + y ) = 60 ⇒ ab = 60.........(2)
y
y
Dari (1) dan (2) didapat :
i.
b = 4 dan a = 15 maka x + y = 15 dan x = 4y sehingga x = 12 dan y = 3 jadi x3 + y 3 = 1755
3376
3
3
ii.
b=15dan a = 4 maka x + y = 4 dan x = 15y sehingga x = 15/4dan y = ¼ jadi x + y =
64
x + y + xy = 11
40. Tentukan penyelesaian (x,y,z) dari sistem persamaan : y + z + yz = 14
z + x + zx = 19
Jawab :
11 − x
x+ 1
19 − x
x + zx = 19 ⇔ z =
x+ 1
11 − x 19 − x
z + yz = 14 ⇒
+
+
x+ 1
x+ 1
3 ⇒ y = 2, z = 4
− 5 ⇒ y = − 4, z = − 6
x + y + xy = 11 ⇔ y =
z+
y+
x=
x=
11 − x 19 − x
2
= 14 ⇔ x + 2 x − 15 = 0
x + 1 x + 1
41. Jika x, y, z adalah bilangan real yang memenuhipersamaan :
x+ y+ z = 1
x2 + y 2 + z 2 = 2
x3 + y 3 + z 3 = 3
Maka tentukan nilai x 4 + y 4 + z 4 !
Jawab :
( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + xz + yz) ⇔
1
xy + xz + yz = −
2
12 = 2 + 2( xy + xz + yz )
(x +
y + z ) 3= x3 + y 3 + z 3 + 3( xy + xz + yz )( x + y + z ) − 3xyz
1
1
13 = 3 + 3(− ).1 − 3xyz ⇔ xyz =
2
6
2
2
2 2
4
4
4
2 2
x + y + z = x + y + z + 2( x y + x 2 z 2 + y 2 z 2 )
(
)
[
= x 4 + y 4 + z 4 + 2 ( xy ) + ( xz ) 2 + ( yz ) 2
2
]
= x 4 + y 4 + z 4 + 2[ ( xy + xz + yz ) − 2 xyz ( x + y + z )]
1
1
2 2 = x 4 + y 4 + z 4 + 2 − 2 − 2. .1
6
2
1
x4 + y 4 + z 4 = 4
6
42. Diketahui f ( x ) = ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81 . Tulislah f(x) dalam bentuk
4
yang paling sederhana dan tentukan f(2005)!
Jawab :
4
4
3
2
x 4 = [ ( x + 3) − 3] = ( x + 3) − 4( x + 3) .3 + 6( x + 3) .32 − 4( x + 3).33 + 34
= ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81
4
= x4
f ( 2005) = 20054
43. Tentukan nilai x, y, z yang memenuhipersamaan
xy
1
= ,
x+ y 2
Jawab :
xy
1
x+ y
1 1
= ⇔
= 2⇔
+ = 2 ⇒ a + b = 2 ....(1)
x+ y 2
xy
x y
yz
1
y+ z
1 1
= ⇔
= 3⇔
+ = 3 ⇒ b + c = 3 ....(2)
y+ z 3
yz
y z
zx
1
z+ x
1 1
= ⇔
= 7⇔
+ = 7 ⇒ a + c = 7 ....(3)
z+ x 7
zx
x z
Dari (1), (2) dan (3) didapat :
1
1
a= 3= ⇔ x=
x
3
1
b = −1=
⇔ y = −1
y
1
1
c= 4= ⇔ z=
z
4
44. Tentukanlah nilai dari 1 −
1
1
1
1
1 − 1 − .... 1 −
!
2
3
4
2004
Jawab :
1 2 3
2002 2003
1
. . .......
.
=
2 3 4
2003 2004 2004
45. Tentukan nilai dari
1
1
1
1
+
+
+ ...... +
!
1.2 2.3 3.4
2004.2005
Jawab :
1
1
1
= −
k (k + 1) k k + 1
yz
1
= ,
y+ z 3
zx
1
=
z+ x 7
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
−
+
+
+ ...... +
= − + ( − ) + − + ..... +
2 3 3 4
1.2 2.3 3.4
2004.2005 1 2
2004 2005
1
2004
= 1−
=
2005 2005
46. Tentukan nilai dari
1
+
1+ 2
1
+
2+ 3
1
+ .... +
3+ 4
1
!
9999 + 10000
Jawab :
1
1
1
1
+
+
+ .... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
9999 + 10000
= − 1 + 2 + − 2 + 3 + − 3 + 4 + ..... + − 9999 + 10000 = − 1 +
(
) (
57
= a+
17
b+
47. Jika
) (
)
(
)
10000 = 99
1
1
1
c+
d+1
maka tentukan nilai a x b x c x d !
Jawab :
57
6
1
1
1
1
1
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
17
5
1
1
1
17
17
2+
2+
2+
2+
6
1
1
6
6
1+
1+
5
5
4+ 1
Jadi a = 3, b = 2, c = 1 dan d = 4
Sehingga a x b x c x d = 3.2.1.4 = 24
2005 yz + 2005 zx + 2005 xy
x + 2 y 2 y + 3z 3z + x
=
=
maka tentukan nilai dari
!
x2 + y 2 + z 2
6
10
8
Jawab :
10 x + 20 y = 12 y + 18 z ⇔ 5 x + 4 y − 9 z = 0 .......(1)
8 x + 16 y = 18 z + 6 x ⇔ x + 8 y − 9 z = 0 ........(2)
16 y + 24 z = 30 z + 10 x ⇔ 5 x − 8 y + 3z = 0 ........(3)
dari (1), (2) dan (3) didapat x = y = z
2005 yz + 2005 zx + 2005 xy 2005 x 2 + x 2 + x 2
=
= 2005
x2 + y 2 + z 2
x2 + x2 + x2
47. Jika
(
)
48. Diketahui:
1 1 1 1
1
1
A = 1 − + − + − ..... +
−
2 3 4 5
2003 2004
1
1
1
1
B=
+
+
+ ..... +
1003 1004 1005
2004
2
2
Maka hitunglah nilai dari A − B !
Jawab :
1 1 1 1
1
1
A = 1 − + − + − ..... +
−
2 3 4 5
2003 2004
1 1
1
1
1 1 1
= 1 + + + .... +
− 2 + + + ..... +
2 3
2004
2004
2 4 6
1 1
1
1 1
1
= 1 + + + .... +
− 1 + + + .... +
2 3
2004
2 3
1002
1
1
1
=
+
+ ...... +
1003 1004
2004
Jadi A = B maka A2 − B 2 = 0
50. Buktikan bahwa
1 1 1
1
+ + + ..... +
< 2 !
1! 2! 3!
2005!
Jawab :
1 1 1
1
1 1
1
1
+ + + ..... +
< 1 + 2 + 3 + .... + 2004 =
1! 2! 3!
2005! 2 2
2
2
2004
1
2
1
1−
2
1
(1 −
2
2004
)
1
= 1−
2
2004
1
1
Karena
> 0 maka 1 −