Sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK
Cindy, 2016. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola. Skripsi.
Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Sanata Dharma, Yogyakarta.
Segitiga siku-siku pada geometri bola didefinisikan sebagai segitiga yang
memiliki paling tidak satu sudut siku-siku. Skripsi ini membahas ketidakmiripan
antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga
siku-siku pada geometri Euclid. Fakta ini menginspirasi definisi baru untuk
segitiga siku-siku pada geometri bola yang disebut dengan Spherical Half-sum
Triangle. Spherical Half-sum Triangle adalah segitiga yang salah satu besar
sudutnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Kemudian dengan definisi ini
akan ditunjukkan bahwa sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki
kemiripan dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan
tersebut antara lain: sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya
lebih dari

, terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras, dan diagonal

persegi panjang selalu membentuk dua buah segitiga siku-siku.

Kata Kunci: Geometri Bola, Segitiga Siku-siku, Spherical Half-sum Triangle.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Cindy, 2016. The Characteristics of Spherical Half-sum Triangle. Thesis.
Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education
Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma
University, Yogyakarta.
Right triangle in spherical geometry defines as a triangle which is have at
least one right angle. This thesis defines about dissimilarities that arise between
the characteristics of right triangle in spherical geometry and in Euclidean
geometry. This fact inspired a new definition for spherical right triangle that
called Spherical Half-sum Triangle. Spherical Half-sum Triangle defined as a
triangle which is one angle equals the sum of the other two. Further, with this new
definition will be shown that the characteristics of Spherical Half-sum Triangle
more similar like the Euclidean one. The characteristics of Spherical Half-sum
Triangle are: measure of an angle which is opposite a diameter of a circle more

than

there are squared terms in the spherical Pythagorean theorem, and a

diagonal of spherical rectangle create two traditional right triangles.

Key Word: Spherical Geometry, Spherical Right Triangle, Spherical Halfsum Triangle.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:
CINDY
NIM: 121414079

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SIFAT-SIFAT SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:
CINDY
NIM: 121414079

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2016

i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN

On a dark gloomy day,
remember that every little drop of rain
prepares you to be even stronger
to flourish on a sunny day.

(HJ Story)

Karya ini untuk:
Kedua orang tuaku, Christian Jonatan dan Neli
Kakakku, Jhonny Jonatan
Almamaterku, Universitas Sanata Dharma
Serta setiap orang yang membacanya

iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK
Cindy, 2016. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola. Skripsi.
Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.
Segitiga siku-siku pada geometri bola didefinisikan sebagai segitiga yang
memiliki paling tidak satu sudut siku-siku. Skripsi ini membahas ketidakmiripan
antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga
siku-siku pada geometri Euclid. Fakta ini menginspirasi definisi baru untuk
segitiga siku-siku pada geometri bola yang disebut dengan Spherical Half-sum
Triangle. Spherical Half-sum Triangle adalah segitiga yang salah satu besar
sudutnya merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Kemudian dengan definisi ini
akan ditunjukkan bahwa sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki
kemiripan dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan
tersebut antara lain: sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya
lebih dari

, terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras, dan diagonal

persegi panjang selalu membentuk dua buah segitiga siku-siku.

Kata Kunci: Geometri Bola, Segitiga Siku-siku, Spherical Half-sum Triangle.

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT
Cindy, 2016. The Characteristics of Spherical Half-sum Triangle. Thesis.
Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education
Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma
University, Yogyakarta.
Right triangle in spherical geometry defines as a triangle which is have at
least one right angle. This thesis defines about dissimilarities that arise between
the characteristics of right triangle in spherical geometry and in Euclidean
geometry. This fact inspired a new definition for spherical right triangle that
called Spherical Half-sum Triangle. Spherical Half-sum Triangle defined as a
triangle which is one angle equals the sum of the other two. Further, with this new
definition will be shown that the characteristics of Spherical Half-sum Triangle
more similar like the Euclidean one. The characteristics of Spherical Half-sum
Triangle are: measure of an angle which is opposite a diameter of a circle more
than

there are squared terms in the spherical Pythagorean theorem, and a

diagonal of spherical rectangle create two traditional right triangles.

Key Word: Spherical Geometry, Spherical Right Triangle, Spherical Halfsum Triangle.

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa
karena atas berkat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi
dengan judul “Sifat-sifat Segitiga Siku-siku pada Geometri Bola”. Skripsi
ini disusun untuk melengkapi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana
Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Banyak hambatan dan rintangan yang penulis alami selama
penyusunan skripsi ini. Namun penulis tetap semangat dan dapat
menyelesaikan skripsi karena tidak terlepas dari doa, bantuan, dan

dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini
penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada beberapa pihak,
diantaranya:
1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku ketua Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahhuan Alam.
3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku ketua Program Studi Pendidikan
Matematika, Universitas Sanata Dharma.
4. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku Dosen Pembimbing Akademik.
5. Bapak Antonius Yudhi Anggoro, M.Si. selaku dosen pembimbing
skripsi yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk
membimbing penulis dengan sabar. Terima kasih atas segala masukan
dan motivasi selama penyusunan skripsi ini.
6. Bapak Hartono, Ph.D. dan Ibu Veronika Fitri Rianasari, M.Sc. atas
berbagai saran untuk proses pencarian informasi dalam skripsi ini.
7. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. dan Ibu C. Novella Krisnamurti,
M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan
untuk skripsi ini.

ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik penulis selama
menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.
9. Staf

sekretariat

JPMIPA

yang

telah

memberikan

pelayanan

kesekretariatan.
10. Staf Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan
pelayanan dan fasilitas selama pengerjaan skripsi ini.
11. Kedua orang tua penulis yang tiada henti memberi semangat,
kepercayaan, dan doa dalam studi ini.
12. Teman-teman perantau dan pejuang gelar sarjana, Andita Prastiti,
Maria Mater Dei Ayu, Elizabeth Nada, Adhi Kristian, Yunita Maria
Ndoi, Bernadette Andika, Namiera Yushendea, Stacia Elvaretta,
Nanda Ayu, Stepani Elsa, Fransisca Putri, dan Malvin Choco yang
senantiasa berbagi suka duka selama pengerjaan skripsi ini.
13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2012 khususnya kelas
B, terlebih Trisona Agustina, Natalia Ika, Yohana Kristin, Scolastika
Lintang, Dita Anggraini, Gregoria Yanu, Agustina Galuh, Rara
Maharani, Maria Sri Dian, dan Richardus Adelbertus yang telah
menyemangati, menemani, berbagi informasi, dan berjuang bersama
selama proses pembelajaran di Universitas Sanata Dharma.
14. Teman-teman satu bimbingan skripsi yang saling menyemangati,
berbagi informasi, dan berkeluh kesah bersama selama penulisan
skripsi ini.
15. Semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan wawasan yang
lebih kepada setiap pembacanya.
Yogyakarta, 22 September 2016

Cindy

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi
DAFTAR SIMBOL.............................................................................................. xiii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xvi
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
A. Latar Belakang ............................................................................................ 1
B. Batasan Masalah.......................................................................................... 4
C. Rumusan Masalah ....................................................................................... 4
D. Tujuan Penelitian ........................................................................................ 5
E. Manfaat Penelitian ...................................................................................... 5
F. Metode Penelitian........................................................................................ 6
G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 6
BAB II SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA ........................ 8

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

A. Sejarah Munculnya Geometri Bola ............................................................. 8
B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola ........................................................ 11
BAB III SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA ............................ 23
A. Spherical Half-sum Triangle ..................................................................... 23
B. Sifat-sifat Segitiga Siku-siku .................................................................... 37
BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 51
A. Kesimpulan ............................................................................................... 51
B. Saran .......................................................................................................... 52
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 53

xii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR SIMBOL

: titik
: titik berlawanan
: garis
: segmen garis dengan titik akhir
: panjang

/ jarak

ke

: sudut
: besar sudut
: segitiga
: Persegi panjang
=

: sama dengan
: tidak sama dengan
: lebih besar dari
: lebih kecil dari
: gabungan
: tegak lurus
: kongruen

xiii

dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Bagan Asal Mula Geometri Bola ...................................................... 3
Gambar 2.1 Ilustrasi Pusat Bola ............................................................................ 11
Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola ......................................................................... 12
Gambar 2.3 Ilustrasi Diameter Bola ..................................................................... 12
Gambar 2.4 Ilustrasi Lingkaran............................................................................. 13
Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar .................................................................. 14
Gambar 2.6 Ilustrasi garis dari Dua Titik.............................................................. 14
Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis ...................................................................... 16
Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan ........................................................................ 17
Gambar 2.9 Ilustrasi II Keantaraan ....................................................................... 17
Gambar 2.10 Ilustrasi III Keantaraan .................................................................... 18
Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut.................................................................................. 19
Gambar 2.12 Ilustrasi Segitiga .............................................................................. 19
Gambar 2.13 Ilustrasi Segitiga Siku-siku ............................................................. 20
Gambar 2.14 Ilustrasi Lingkaran Luar Segitiga .................................................... 21
Gambar 3.1 Ilustrasi I Teorema 3.1 ...................................................................... 24
Gambar 3.2 Ilustrasi II Teorema 3.1 ..................................................................... 25
Gambar 3.3 Ilustrasi III Teorema 3.1 .................................................................... 26
Gambar 3.4 Ilustrasi Rumus Pythagoras ............................................................... 27
Gambar 3.5 Ilustrasi Persegi Panjang

........................................................ 29

Gambar 3.6 Diagonal Persegi Panjang.................................................................. 30

xiv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.3 ......................................................................... 31
Gambar 3.8 Ilustrasi Lune ..................................................................................... 39
Gambar 3.9 Ilustrasi Lema 3.1 .............................................................................. 39
Gambar 3.10 Ilustrasi Lema 3.2 ............................................................................ 40
Gambar 3.11 Ilustrasi I Teorema 3.5 .................................................................... 43
Gambar 3.12 Ilustrasi II Teorema 3.5 ................................................................... 43
Gambar 3.13 Ilustrasi III Teorema 3.5 .................................................................. 44
Gambar 3.14 Ilustrasi IV Teorema 3.5.................................................................. 45
Gambar 3.15 Ilustrasi V Teorema 3.5 ................................................................... 46
Gambar 3.16 Ilustrasi Teorema 3.6 ....................................................................... 48
Gambar 3.17 Ilustrasi Teorema 3.7 ....................................................................... 49

xv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A.1. Segitiga Kutub
Lampiran A.2. Segitiga Kongruen
Lampiran A.3. Aturan Segitiga Sama Kaki

xvi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri berasal dari dua kata Yunani geo dan metrein. Geo
berarti bumi, dan metrein berarti ukuran. Dengan demikian, secara
etimologis geometri dapat diartikan sebagai ilmu pengukuran bumi.
Meskipun berasal dari kata Yunani, orang-orang Yunani bukanlah yang
memulai penggunaan geometri dalam kehidupan sehari-hari. Orang-orang
Mesirlah yang pertama kali menggunakan geometri dalam kehidupan
sehari-hari. Mereka menggunakan geometri untuk mengatasi masalah
banjir tahunan yang terjadi di sungai Nil.
Geometri dipandang sebagai sistem deduktif, yaitu suatu sistem
yang memiliki pengertian-pengertian pangkal atau unsur-unsur yang tidak
memiliki definisi. Sekitar 300 tahun sebelum masehi, muncul seorang
matematikawan bernama Euclid yang menulis buku mengenai geometri.
Buku yang ditulis oleh Euclid berjudul ‘Elements’ di mana isinya
menjelaskan mengenai definisi, postulat, dan teorema.
Pada geometri Euclid terdapat lima buah postulat, di mana postulat
kelima yang ditulis oleh Euclid disebut sebagai postulat kesejajaran
Euclid. Postulat tersebut berbunyi “Pada sebuah bidang, jika sebuah garis
dipotongkan dengan dua garis lainnya dan dua garis tersebut
diperpanjang hingga bertemu pada satu titik, maka jumlah sudut dalam
sepihak pada pihak yang bertemu disatu titik adalah lebih dari

1

.”

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2

Beberapa matematikawan mengatakan bahwa postulat kesejajaran Euclid
dianggap terlalu rumit untuk disebut sebagai postulat. Mereka mengatakan
bahwa postulat kesejajaran Euclid dapat dibuktikan dengan empat postulat
sebelumnya.
Playfair merupakan salah satu matematikawan yang mencoba
untuk membuktikan postulat kesejajaran Euclid. Playfair menemukan
postulat yang berbunyi “jika diberikan sebuah garis

dan sebuah titik

di luar , maka dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis dan
melalui

.” Namun postulat Playfair dianggap masih memiliki makna

yang sama dengan postulat kesejajaran Euclid. Hingga akhirnya BolyaiLobachevsky menemukan postulat kesejajarannya yang berbunyi “jika
diberikan sebuah garis

dan sebuah titik

di luar garis tersebut, maka

dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan garis dan melalui
.”

dan Riemann menemukan postulat kesejajarannya yang berbunyi

“jika diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P di luar garis tersebut,
maka tidak dapat dibuat garis lain yang sejajar dengan garis l dan
melalui P.” Karena postulat Bolyai-Lobachevsky dan postulat Riemann
tidak berlandaskan pada postulat kesejajaran Euclid, maka muncul yang
dinamakan dengan geometri non-Euclid. Berikut merupakan bagan asal
mula geometri bola bermula dari geometri Euclid.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3

Geometri Euclid:

Geometri Non-Euclid:

4 postulat Euclid

4 postulat Euclid

+

+

postulat kesejajaran Euclid

postulat kesejajaran Bolyai /
postulat kesejajaran Riemann

Geometri eliptik

Geometri hiperbolik

(berdasarkan postulat Riemann)

(berdasarkan postulat Bolyai)

Geometri

Geometri

eliptik

eliptik

tunggal

rangkap

Geometri bola

Gambar 1.1 Bagan Asal Usul Geometri Bola

Geometri bola memiliki sejumlah konsep dasar dan salah satunya
membahas mengenai segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku didefinisikan
sebagai segitiga yang memiliki setidaknya satu sudut siku-siku. Namun
dengan definisi tersebut terdapat ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga
siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada
geometri Euclid. Fakta tersebut menginspirasi definisi baru untuk segitiga

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4

siku-siku yang disebut dengan Spherical Half-sum Triangle. Spherical
Half-sum Triangle merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya
merupakan jumlah kedua sudut lainnya. Dengan definisi baru ini akan
ditunjukkan bahwa sifat segitiga siku-siku pada geometri bola memiliki
kemiripan dengan sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid. Kemiripan
sifat tersebut antara lain: besar sudut keliling yang menghadap diameter
lingkaran lebih dari

, terdapat bentuk kuadrat dalam rumus Pythagoras,

dan diagonal persegi panjang membentuk dua buah segitiga siku-siku.
B. Batasan Masalah
Dalam skripsi ini, bola diasumsikan sebagai bola satuan. Bola
satuan yang dimaksud adalah bola yang memiliki radius satu satuan.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang ada, rumusan masalah dalam
penelitian ini yaitu:
1. Bagaimana ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri
bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid,
berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku?
2. Bagaimana definisi baru segitiga siku-siku pada geometri bola?
3. Bagaimana sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola yang
sebelumnya tidak mirip dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada
geometri Euclid, berdasarkan definisi baru segitiga siku-siku?

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5

D. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk:
1. Untuk mendeskripsikan ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku
pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri
Euclid berdasarkan definisi awal segitiga siku-siku.
2. Untuk mendeskripsikan definisi baru segitiga siku-siku pada geometri
bola.
3. Untuk mendeskripsikan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri
bola yang sebelumnya tidak mirip dengan sifat-sifat segitiga siku-siku
pada geometri Euclid berdasarkan definisi yang baru.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah:
1. Bagi Pembaca
Pembaca dapat mengetahui bagaimana konsep dasar geometri bola,
definisi segitiga siku-siku, ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku
pada geometri bola dan geometri Euclid, definisi baru untuk segitiga
siku-siku pada geometri bola, dan sifat-sifat segitiga siku-siku
berdasarkan definisi baru.
2. Bagi Penulis
Penulis dapat menambah pengetahuan baru dalam bidang geometri
selain geometri Euclid, mengetahui sejarah munculnya geometri bola,
mengetahui konsep dasar dalam geometri bola, dan mendalami sifat-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6

sifat segitiga siku-siku pada geometri bola berdasarkan dengan definisi
yang telah ada maupun definisi yang baru.
3. Bagi Universitas
Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang
geometri khususnya mengenai geometri bola. Selain itu, skripsi ini
dapat menjadi referensi pembelajaran matematika mengenai geometri
non-Euclid.
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam menyusun skripsi ini adalah
metode studi pustaka. Metode ini dilakukan dengan mengkaji berbagai
referensi berupa jurnal dan buku yang berkaitan dengan geometri bola
sehingga penulis tidak menemukan suatu hal baru.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Mempelajari berbagai referensi yang diperlukan, khususnya mengenai
geometri bola.
2. Menyajikan kembali definisi-definisi serta teorema-teorema yang
menjadi dasar dalam geometri bola.
3. Menyusun materi-materi yang telah dikumpulkan secara sistematis
untuk memudahkan pembaca dalam memahaminya.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut. Bab
pertama, membahas latar belakang penulisan skripsi, rumusan masalah,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7

batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian,
dan sistematika penulisan dalam skripsi ini.
Bab kedua membahas sejarah munculnya geometri bola serta
konsep dasar dalam geometri bola yang akan digunakan pada pembahasan
bab berikutnya.
Bab ketiga yang merupakan inti dari penulisan skripsi ini,
membahas ketidakmiripan antara sifat-sifat segitiga siku-siku pada
geometri bola dan geometri Euclid, teorema yang mendasari munculnya
definisi baru segitiga siku-siku, definisi baru segitiga siku-siku, dan sifatsifat segitiga siku-siku pada geometri bola berdasarkakn definisi baru.
Bab keempat berisi kesimpulan dan saran untuk penelitian lebih
lanjut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II
SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA

Bab ini membahas sejarah munculnya geometri bola dan konsep
dasar yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab
berikutnya. Konsep dasar yang akan dibahas antara lain titik, garis, sudut,
lingkaran, keantaraan, segitiga, dan kongruensi segitiga pada geometri bola.
Berikut merupakan penjelasan mengenai sejarah munculnya geometri bola.
A. Sejarah Munculnya Geometri Bola
Euclid menyebutkan lima buah postulat dalam geometri, kelima
postulat tersebut antara lain (Own Byer, 2010):
1.

Dari dua titik sembarang dapat dibentuk sebuah garis.

2.

Sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak hingga.

3.

Jika diberikan sebuah titik dan jari-jari, maka dapat dibentuk sebuah
lingkaran dengan titik tersebut sebagai pusatnya.

4.

Semua sudut siku-siku sama besar.

5.

Pada sebuah bidang, jika sebuah garis dipotongkan dengan dua garis
lainnya dan dua garis tersebut diperpanjang hingga bertemu pada satu
titik, maka jumlah sudut dalam sepihak pada pihak yang bertemu
disatu titik adalah lebih dari

.

Postulat terakhir dari lima postulat yang ditulis oleh Euclid disebut
sebagai postulat kesejajaran. Lima postulat ini bertahan sebagai dasar
pembelajaran geometri hingga abad ke-20, sampai akhirnya beberapa

8

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9

matematikawan menganggap bahwa postulat kesejajaran yang ditulis oleh
Euclid

terlalu

rumit

untuk

disebut

sebagai

postulat.

Beberapa

matematikawan menganggap bahwa postulat kesejajaran tersebut dapat
dibuktikan dengan menggunakan empat postulat sebelumnya. Beberapa
matematikawan tersebut antara lain Proclus dari Aleksandria (410-485),
John Wallis (1616-1703), dan Girolamo Saccheri dari Italia (1667-1733).
Mereka mencoba untuk membuktikan kebenaran dugaan tersebut, namun
usaha yang dilakukan gagal hingga akhirnya matematikawan asal
Skotlandia yaitu John Playfair (1748-1819) menemukan postulat yang
ekuivalen dengan postulat kesejajaran Euclid. Postulat tersebut berbunyi:
“jika diberikan sebuah garis

dan sebuah titik

di luar , maka dapat

dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis dan melalui .”
Postulat tersebut dinamakan postulat Playfair, dan postulat ini
dianggap lebih sederhana jika dibandingkan dengan postulat kesejajaran
Euclid. Postulat Playfair dan postulat kesejajaran Euclid dianggap masih
memiliki makna yang sama.
Karena dua postulat tersebut dirasa masih kurang tepat, maka pada
tahun 1830 J.Bolyai dan N.I. Lobachevsky merevisi postulat kesejajaran
Euclid dan postulat Playfair. Kemudian mereka memperkenalkan postulat
baru yang disebut sebagai postulat Bolyai-Lobachevsky. Postulat tersebut
berbunyi “jika diberikan sebuah garis

dan sebuah titik

di luar garis

tersebut, maka dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan
garis

dan melalui

.” Felix Klein menyebut empat postulat pertama

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10

Euclid yang digabung dengan postulat Bolyai-Lobachevsky sebagai
postulat hiperbolik, dan lima postulat ini menjadi dasar dari geometri
hiperbolik.
Munculnya geometri hiperbolik dirasa masih belum mampu
menjawab sejumlah pertanyaan geometri dalam bidang astronomi.
Bernhard Riemann (1826-1866) menawarkan postulat baru untuk
menggantikan postulat kesejajaran Euclid guna mengatasi masalah dalam
bidang astronomi. Pada postulat yang ditawarkan Riemann, diasumsikan
bahwa tidak ada garis yang sejajar. Postulat tersebut berbunyi “jika
diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P di luar garis tersebut, maka
tidak dapat dibuat garis lain yang sejajar dengan garis l dan melalui P.”
Postulat ini menjadi dasar munculnya geometri eliptik guna mengatasi
masalah pada bidang astronomi. Geometri eliptik sendiri terbagi menjadi
geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap. Geometri eliptik
tunggal direpresentasikan dalam setengah bola, sedangkan geometri eliptik
rangkap direpresentasikan dalam bola utuh. Geometri bola merupakan
bagian dari geometri eliptik rangkap (David Gans, 1973).
Geometri hiperbolik dan geometri eliptik berlandaskan pada
postulat kesejajarannya masing-masing, bukan berlandaskan pada postulat
kesejajaran Euclid. Sehingga geometri hiperbolik dan geometri eliptik
merupakan bagian dari geometri non-Euclid.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11

B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola
Dalam pembahasan geometri bola di bawah ini, akan diasumsikan
bahwa bola memiliki radius ukuran satu satuan.
Definisi 2.1 (Wentworth, 1899: 381)
Bola merupakan permukaan di mana setiap titik pada permukaan tersebut
berjarak sama dari sebuah titik yang disebut pusat.
Titik yang dimaksud pada definisi di atas merupakan titik pusat
bola. Pada gambar 2.1, titik

merupakan pusat bola .

Gambar 2.1 Ilustrasi Pusat Bola

Definisi 2.2 (Wentworth, 1899: 381)
Segmen garis lurus yang menghubungkan titik pada permukaan bola
dengan titik pusat bola disebut sebagai radius.
Radius pada bola diilustrasikan pada gambar 2.2, di mana pada
gambar tersebut radius dinamai .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12

Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola
Definisi 2.3 (Wentworth, 1899: 381)
Segmen garis lurus yang melewati pusat bola dan berhenti pada dua titik di
permukaan bola disebut sebagai diameter.
Pada gambar 2.3, segmen garis lurus

merupakan diameter bola.

Gambar 2.3 Ilustrasi Diameter Bola
Perpotongan bola dengan sebuah bidang menghasilkan sebuah
lingkaran. Gambar 2.4, merupakan ilustrasi lingkaran dari perpotongan
bola dengan bidang
garis tebal.

Pada gambar tersebut, lingkaran dilukiskan dengan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13

Gambar 2.4 Ilustrasi Lingkaran
Jika bidang yang memotong bola melalui pusat bola, maka
lingkaran yang terbentuk disebut lingkaran besar. Sedangkan jika bidang
tersebut tidak melalui pusat bola maka lingkaran yang terbentuk disebut
lingkaran kecil. Nampak pada gambar 2.5, lingkaran besar yang terbentuk
dari perpotongan bola dengan bidang .
Setiap lingkaran besar memiliki dua buah titik pusat, dan dua titik
pusat tersebut berjarak sama terhadap setiap titik pada lingkaran besar.
Dua titik pusat dari sebuah lingkaran besar disebut sebagai titik
berlawanan. Sehingga setiap titik pada bola menentukan titik lainnya yang
disebut sebagai titik lawan. Pada gambar 2.5, titik

dan

merupakan

pusat lingkaran besar dan juga merupakan titik berlawanan. Contoh nyata
dari lingkaran besar adalah garis bujur dan garis khatulistiwa. Sedangkan
contoh nyata dari dua titik berlawanan adalah kutub utara dan kutub
selatan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14

Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar
Seperti pada geometri Euclid, garis pada geometri bola juga
ditentukan melalui dua titik pada permukaan bola. Garis pada geometri
bola adalah lingkaran besar. Melalui dua titik yang bukan merupakan titik
berlawanan dapat dibentuk sebuah garis. Jika kedua titik tersebut
merupakan titik berlawanan, maka dapat dibentuk tak hingga banyak garis.
Gambar 2.6 (a) menunjukkan bahwa dari sembarang dua titik pada
bola yaitu

dan

yang bukan merupakan titik berlawanan, dapat

dibentuk sebuah garis. Sedangkan pada gambar 2.6 (b) ditunjukkan bahwa
dapat dibentuk tak hingga banyak garis melalui titik berlawanan

(a)

(b)

Gambar 2.6 Ilustrasi Garis dari Dua Titik

dan

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15

Pada geometri Euclid, sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak
hingga panjangnya. Hal tersebut berbeda dengan garis pada geometri bola,
karena garis pada geometri bola memiliki batas. Misalkan titik
merupakan sebuah titik pada garis, jika lingkaran besar tersebut ditelusuri
mulai dari titik

, maka penelusuran tersebut akan berakhir pada titik

juga. Jika pada geometri Euclid terdapat konsep kesejajaran garis, maka
pada geometri bola tidak ada konsep kesejajaran garis sebagai akibat dari
postulat kesejajaran Riemann.
Dua titik pada garis membagi garis menjadi dua buah busur. Jika
kedua titik tersebut bukan merupakan titik berlawanan maka garis terbagi
menjadi busur panjang dan busur pendek. Dalam geometri bola, busur
terpendek dipandang sebagai segmen garis. Suatu segmen garis yang
dibatasi oleh titik

dan

dinotasikan dengan

, lalu panjang busur

terpendek tersebut didefinisikan sebagai jarak antara dua titik. Jadi jarak
antara kedua titik tersebut disebut juga sebagai panjang segmen garis pada
geometri bola. Panjang

dinotasikan dengan

.

Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 2.7 (a). Pada gambar tersebut
terdapat dua busur yang terbentuk dari dua titik

dan titik

yang

dilukiskan sebagai garis putus-putus dan garis yang tidak putus-putus.
Sesuai dengan penjelasan di atas,
putus dan

ditunjukkan oleh garis tak putus-

merupakan jarak antara titik

ke titik . Pada gambar 2.7

(b), jika kedua titik merupakan titik berlawanan, maka jarak kedua titik
tersebut sama panjang yaitu

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16

(a)

(b)

Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis
Berikut merupakan tabel perbandingan konsep jarak pada geometri
Euclid dan geometri bola:
Tabel 2.1 Perbandingan Konsep Jarak
No
1.

Pada geometri Euclid
Jarak

dua

sepanjang

titik

Pada geometri bola

diukur Jarak pada lingkaran besar diukur

garis

yang dari

dua

titik

yang

menghubungkan kedua titik menghubungkannya. Terdapat dua
tersebut. Hanya ada sebuah jarak yang dapat diukur. Jarak yang
jarak yang dapat diukur.
2.

digunakan adalah jarak terpendek.

Tidak ada jarak terpanjang Jarak terpanjang dari dua titik adalah
atau terpendek dari dua titik 180˚.
yang diberikan.

3.

Dari dua titik yang diberikan Dari dua titik yang bukan merupakan
hanya dapat dilukis sebuah titik berlawanan, terdapat sebuah
segmen garis.

segmen garis.
Jika kedua titik tersebut merupakan
titik berlawanan, terdapat tak hingga
banyak segmen garis yang terbentuk,
dan memiliki panjang yang sama
yaitu 180˚.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17

Definisi 2.4 (Moise, 1990: 60)
Pada geometri Euclid, titik

dikatakan berada diantara titik

dan

jika:
(i)

, , dan

kolinier

(ii)
Gambar 2.8 menunjukkan konsep di atas.

Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan

Konsep keantaraan pada geometri bola didefinisikan seperti pada
konsep keantaraan pada geometri Euclid, dengan menggunakan segmen
garis. Pada gambar 2.9 tampak bahwa

berada diantara

.

Gambar 2.9 Ilustrasi II Keantaraan
Namun terdapat sebuah perbedaan sifat antara konsep keantaraan
pada geometri Euclid, dengan konsep keantaraan pada geometri bola.
Perbedaan tersebut timbul karena memungkinkannya untuk tidak terdapat
keantaraan pada geometri bola. Jika diberikan tiga titik , ,

pada garis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18

dengan jarak setiap titik adalah 120˚ seperti pada gambar 2.10, maka tidak
ada satupun titik yang berada diantara kedua titik lainnya. Hal ini
dikarenakan tidak terbuktinya syarat (ii) pada konsep keantaraan.
Seharusnya

tetapi pada kasus ini

menyebabkan

tidak berada diantara

dan

menyebabkan

tidak berada diantara

dan

yang menyebabkan

tidak berada diantara

, yang

,

yang

, serta

dan .

Gambar 2.10 Ilustrasi III Keantaraan

Definisi 2.5 (Wentworth, 1899: 389)
Sudut pada geometri bola merupakan perpotongan dua buah segmen garis.
Pada gambar 2.11, sudut yang terbentuk dari
dinotasikan dengan

, sedangkan besar

dan

dinotasikan dengan

. Besar sudut dalam geometri bola didefinisikan sebagai besar
sudut antara dua bidang yang memuat dua segmen garis tersebut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19

Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut

Definisi 2.6 (Wentworth, 1899: 392)
Segitiga pada geometri bola merupakan gabungan tiga segmen garis yang
menghubungkan tiga titik non kolinear.
Misalkan terdapat tiga titik non kolinear ,
dibentuk

,

, dan

, dan . Selanjutnya

sehingga terbentuk sebuah segitiga

dinotasikan dengan

yang

. Gambar 2.12 ini merupakan contoh segitiga

dalam geometri bola, yaitu

dan

.

Gambar 2.12 Ilustrasi Segitiga
Berbeda dengan geometri Euclid, jumlah besar sudut dalam sebuah
segitiga pada geometri bola tidak sama dengan

melainkan lebih dari

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20

dan kurang dari

(Wentworth, 1899: 393), selain itu jumlah dari

ketiga sisinya kurang dari

(Wentworth, 1899: 397) .

Definisi 2.7 (Dickinson, 2008: 24)
Segitiga siku-siku pada geometri bola merupakan segitiga yang memiliki
paling tidak satu sudut siku-siku.
Gambar 2.13 merupakan contoh segitiga siku-siku pada geometri
bola. Pada gambar tersebut,
yaitu

, dan

memiliki satu sudut yang besarnya

memiliki dua sudut siku-siku yaitu

dan

.

Gambar 2.13 Ilustrasi Segitiga Siku-siku
Definisi 2.8 (Dickinson, 2008: 26)
Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang memuat semua titik
sudut segitiga.
Untuk setiap segitiga pada geometri bola, dapat dibuat lingkaran
luar segitiga yang memuat ketiga titik sudut segitiga tersebut. Pada gambar
2.14,

memiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat

mamiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat .

dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21

Gambar 2.14 Ilustrasi Lingkaran Luar Segitiga
Seperti pada geometri Euclid, pada geometri bola juga terdapat
aturan kongruensi pada segitiga. Jika
maka dinotasikan dengan

kongruen dengan

,

. Pada geometri bola jika dua

buah segitiga terletak pada bola berukuran sama memenuhi satu dari
empat syarat di bawah ini, maka kedua segitiga tersebut dikatakan
kongruen. Empat syarat tersebut antara lain:
1.

Dua buah sisi yang bersesuaian sama panjang dan sebuah sudut yang
diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.

2.

Dua buah sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi di antara kedua
sudut tersebut sama panjang.

3.

Setiap sisi yang bersesuaian sama panjang.

4.

Setiap sudut yang bersesuaian sama besar.
Selain aturan kongruensi, aturan segitiga sama kaki pada geometri

bola juga serupa dengan aturan segitiga sama kaki pada geometri Euclid.
Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi
yang sama panjang akan memiliki besar sudut yang sama. Sebaliknya, sisisisi yang berhadapan dengan sudut yang sama besar akan memiliki

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22

panjang sisi yang sama. Penjelasan lebih lanjut mengenai pembuktian
aturan kongruensi dan aturan segitiga sama kaki dapat dilihat pada
lampiran A1-A3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB III
SEGITIGA SIKU-SIKU PADA GEOMETRI BOLA

A. Spherical Half-sum Triangle
Pada bab sebelumnya telah disebutkan definisi dari segitiga sikusiku pada geometri bola, yaitu segitiga yang memiliki paling tidak satu
sudut siku-siku. Bab ini membahas definisi baru segitiga siku-siku yang
disebut dengan Spherical Half-sum Triangle sebagai akibat dari adanya
ketidakmiripan sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri bola dengan
sifat-sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid berdasarkan definisi
awal segitiga siku-siku. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa Spherical
Half-sum Triangle memiliki kemiripan sifat dengan segitiga siku-siku
pada geometri Euclid.
Segitiga siku-siku pada geometri bola dan geometri Euclid
memiliki sejumlah kesamaan sifat, misalnya aturan kongruensi dan aturan
segitiga sama kaki. Namun nampak juga tiga ketidakmiripan sifat
berdasarkan fakta-fakta berikut:
1. Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya selalu
lebih dari

.

Teorema 3.1 (Dickinson, 2008: 24)
Jika

merupakan sudut keliling yang menghadap diameter

lingkaran yang berpusat pada titik
maka

lebih dari

.

23

seperti nampak pada gambar 3.1,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24

Gambar 3.1 Ilustrasi I Teorema 3.1
Bukti:
Pada gambar 3.1, perhatikan bahwa
membentuk
yaitu

yaitu
dengan

dan

Karena

membentuk sebuah segitiga,

sebagai titik pusat lingkaran luar

merupakan pusat lingkaran dan
sehingga

dan segmen garis yang

berada pada

dan

merupakan diameter lingkaran,
membagi dua

sama panjang.

merupakan titik pada lingkaran dan

lingkaran, mengakibatkan
maka

dan

merupakan pusat

. Karena
merupakan segitiga sama kaki, hal ini

menyebabkan
itu, karena

. Titik

dan
berada pada

. Selain

, menyebabkan

dan

. Karena jumlah sudut dalam segitiga lebih dari
, maka

sehingga:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25

Gambar 3.2 Ilustrasi II Teorema 3.1
Sekarang

perhatikan

gambar

3.2,

gambar

tersebut

mengilustrasikan sudut keliling yang menghadap sebuah diameter
lingkaran pada geometri Euclid. Pada geometri Euclid, besar sudut
keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah

, sehingga

. Sehingga segitiga yang terbentuk dari segmen garis
lurus

,

, dan

selalu segitiga siku-siku karena salah satu

sudutnya merupakan sudut siku-siku. Kemudian jika kita perhatikan
kembali gambar 3.1, sudut yang menghadap diameter lingkaran yaitu
besarnya lebih dari
,

, dan
atau

. Sehingga segitiga yang terbentuk dari

belum tentu merupakan segitiga siku-siku. Jika
besarnya tidak sama dengan

, maka

bukan merupakan segitiga siku-siku. Dari sini nampak ketidakmiripan
antara sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid dan geometri bola.
Gambar 3.3 berikut merupakan contoh bahwa segitiga yang
terbentuk belum tentu merupakan segitiga siku-siku. Contoh berikut
telah diuji kebenarannya dan tidak perlu diragukan lagi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26

Gambar 3.3 Ilustrasi III Teorema 3.1
Perhatikan gambar 3.3,

merupakan sudut yang

menghadap diameter lingkaran yaitu

. Selain itu,

membentuk sebuah segitiga yaitu

di mana

, dan

dan
,

. Tidak terbentuk satupun

sudut siku-siku pada

sehingga

bukan merupakan

segitiga siku-siku.
2. Pada geometri Euclid dan geometri bola terdapat teorema Pythagoras,
namun ada perbedaan diantara keduanya. Perbedaan tersebut timbul
karena tidak terdapat bentuk kuadrat pada rumus Pythagoras geometri
bola. Diberikan

di mana

, dan

Jika

, maka rumus Pythagoras pada geometri Euclid adalah
. Sedangkan pada geometri bola rumusnya adalah
.
Teorema 3.2 (Brink, 1942)
Pada
maka
Bukti:

di mana

, dan
.

. Jika

,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27

(a)
(b)
Gambar 3.4 Ilustrasi Rumus Pythagoras
merupakan segitiga siku-siku pada geometri bola dan
Pada gambar 3.4 (a),

diandaikan sebagai segmen

garis yang melalui garis khatulistiwa dan

merupakan segmen garis

yang melalui garis lintang. Pada gambar 3.4 (b) diberikan bidang yang
memotong tegak lurus segmen garis lurus
pada

garis lurus
lurus

pada

dan segmen

. Bidang tersebut juga memotong segmen garis

.

siku-siku pada
siku-siku pada
siku-siku pada
siku-siku pada
Dari

pada

didapatkan bahwa:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28

Dari persamaan (1) dan (2) :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29

3. Diagonal persegi panjang tidak selalu membentuk dua buah segitiga
siku-siku pada geometri bola.
Persegi panjang pada geometri bola didefinisikan sebagai segi
empat yang keempat sudutnya kongruen. Suatu persegi panjang yang
titik sudutnya ,

, , dan

dinotasikan dengan

. Diagonal

persegi panjang tidak selalu membentuk segitiga siku-siku pada
geometri bola. Gambar 3.5 merupakan

.

Gambar 3.5 Ilustrasi Persegi Panjang
Berikut merupakan contoh persegi panjang pada geometri bola
yang diagonalnya tidak membentuk dua buah segitiga siku-siku, dan
semua ukuran pada contoh berikut telah diuji kebenarannya, sehingga
tidak perlu diragukan lagi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30

Gambar 3.6 Diagonal Persegi Panjang Tidak
Membentuk Dua Segitiga Siku-siku

Perhatikan gambar 3.6, terbentuk

di mana
dan ini sesuai dengan

definisi persegi panjang yang telah disebutkan sebelumnya. Jika
dilukis sebuah diagonal yaitu

, maka terbentuk

dan

Pada kedua segitiga tersebut,

dan
Pada

satupun sudut yang besarnya
diagonal

.

dan

tidak terdapat

, berarti segitiga yang terbentuk dari

bukan merupakan segitiga siku-siku.

Karena terdapat beberapa perbedaan ini, timbul inspirasi untuk
definisi baru segitiga siku-siku. Definisi baru tersebut didapatkan melalui
pembuktikan teorema di bawah ini. Teorema ini berhubungan dengan
lokasi dari pusat lingkaran luar segitiga, berikut pembuktiannya:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31

Teorema 3.3 (Dickinson, 2008: 26)
Jika diberikan
a.

dan

dengan pusat lingkaran luar segitiga , maka:

berada pada sisi yang sama terhadap

jika dan hanya jika

.
b.

berada pada

jika dan hanya jika

.
c.

dan

berada pada sisi yang berlawanan dengan

jika

jika dan hanya

.

Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.3
Bukti (a) :

Misalkan

dan

berada pada sisi yang sama terhadap

seperti pada gambar 3.7 (a). Jika

merupakan jari-

jari lingkaran luar segitiga, maka

. Jika

dan

, maka

dan

kaki. Karena hal tersebut, menyebabkan
. Di lain pihak,
sehingga:

merupakan segitiga sama
dan
dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32

Jadi,

Misalkan
benar bahwa
Maka

. Andaikan tidak

dan

berada pada sisi yang sama terhadap

berada pada

berbeda terhadap

atau

.

dan

berada pada sisi yang

, maka

dan

.

Kasus 1
Jika

berada pada
. Karena

lingkaran luar segitiga, maka
, maka
Karena

dan

dan

. Jika

dan

merupakan segitiga sama kaki.
merupakan segitiga sama kaki, maka

dan

Jadi,

merupakan jari-jari

, sehingga:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33

Telah didapatkan bahwa
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Kasus 2
Jika

dan

berada pada sisi yang berbeda terhadap

maka

dan

,

. Karena

merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga, maka
. Karena

dan

maka

merupakan segitiga sama kaki. Karena

dan
dan

merupakan segitiga sama kaki, maka

dan

, sehingga:

Jadi,

.

Telah didapatkan bahwa
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Dari dua kasus tersebut, ternyata muncul kontardiksi dan hal ini
menunjukkan bahwa asumsi salah.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34

Bukti (b):

Misalkan

berada pada

Karena

seperti pada gambar 3.7 (b).

merupakan jari-jari lingkaran luar

segitiga, maka
maka

. Karena

dan

merupakan segitiga sama kaki. Hal ini

menyebabkan

dan

lain pihak,

sehingga:

.

Misalkan

dan andaikan tidak benar
berada pada

sama terhadap
terhadap

. Di

dan

Jadi,

bahwa

dan

atau

, maka
dan

dan

berada pada sisi yang

berada pada sisi yang berbeda

.

Menurut teorema 3.3 (a) didapatkan
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Pada pembuktian kasus 2 teorema 3.3 (a) didapatkan
,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35

hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Dari kedua kasus tersebut ternyata muncul kontardiksi, hal ini
menunjukkan bahwa asumsi salah.
Bukti (c) :

Misalkan

dan

berada pada sisi yang berbeda terhadap

seperti pada gambar 3.7 (c). Karena
merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga, maka
Karena

dan

.

, maka

dan

merupakan segitiga sama kaki. Hal tersebut menyebabkan
dan

.

dan

Jadi,

Dilain

pihak,

, sehingga:

.

Misalkan

. Andaikan tidak

benar bahwa

dan

maka

berada pada sisi yang sama terhadap

dan

berada pada

berada pada sisi yang berbeda terhadap

.

Menurut teorema 3.3 (a) didapatkan

atau

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36

,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Selain itu, pada teorema 3.3 (a) kasus 1 didapatkan
,
hal ini kontradiksi dengan permisalan di atas bahwa
.
Dari kedua kasus tersebut ternyata muncul kontardiksi, hal ini
menunjukkan bahwa asumsi salah.

Teorema 3.3 juga berlaku pada geometri Euclid, di mana pusat
lingkaran lu r segitig ber

‘ i

l m’ segitig jik

h y jik

semua sudut pada segitiga merupakan sudut lancip, pusat lingkaran luar
segitiga berada pada segitiga jika dan hanya jika salah satu sudut pada
segitiga merupakan sudut siku-siku, pusat lingkaran luar segitiga berada
‘ i lu r’ segitig
merup k

jik

h y jik

su ut tumpul. Ko sep ‘ i

s l h s tu su ut p
l m’

‘ i lu r’

segitig

p t ip h mi

dengan mudah dalam geometri Euclid karena bidang terbagi dalam daerah
e g

lu s

berhi gg

ti k berhi gg . Su tu titik ber

‘ i

l m’

segitiga jika titik berada pada luasan daerah berhingga. Sedangkan suatu
titik ber

‘ i lu r’ segitig jik titik ber

p

lu s

er h t k

berhingga. Namun karena segitiga pada geometri bola membagi bola
menjadi dua bagian yang masing-masingnya berhingga, m k ko sep ‘ i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37

l m’

‘ i lu r’ segitig ti k

p t i

pt si sec r l gsu g. Oleh

karena itu, pada geometri bola, konsep ini digantikan dengan konsep
‘ber

p

sisi y g s m ’

‘ber

p

sisi y g berbe ’ e g

hipotenusa, seperti nampak dalam teorema 3.3 di atas.
Salah satu sifat segitiga siku-siku pada geometri Euclid adalah
pusat lingkar luarnya berada pada hipotenusa. Melihat hal tersebut, timbul
inspirasi dalam membuat definisi baru untuk segitiga siku-siku pada
geometri bola. Karena diinginkan adanya kemiripan antara sifat-sifat
segitiga siku-siku pada geometri bola dengan sifat-sifat segitiga siku-siku
pada geometri Euclid, maka dinyatakan bahwa pusat lingkaran luar
segitiga siku-siku pada geometri bola juga terletak pada hipotenusan