BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA - Peranan Fungsi Objektif Linier Dalam Metode Barrier
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan pem- bahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mem- permudah dalam hal pembahasan hasil utama berikutnya.
2.1 Pemrograman Nonlinier Menurut Bradley et al (1977), persoalan umum optimisasi adalah memilih n varia- 1 , x 2 , ..., x bel keputusan x n dari daerah layak yang diberikan untuk mengoptimasi 1 , x 2 , ..., x
(maksimum atau minimum) fungsi tujuan yang diberikan f(x n ) dari va- riabel keputusan.Persoalan ini disebut persoalan nonlinier jika fungsi tujuannya nonlinier dan atau daerah layaknya ditentukan oleh kendala nonlinier. Fokus utama dari pemrograman nonlinier adalah terkait dengan eksistensi dari solusi optimal, karakterisasi dari solusi optimal dan algoritma untuk menghitung solusi optimal.Persoalan nonlinier mempunyai 2 jenis persoalan yaitu persoalan nonlinier berkendala dan nonlinier tidak berkendala.Pada persoalan nonlinier programming berkendala yang memiliki fungsi mulus dengan kata lain dapat diturunkan secara kontinu, yaitu n minf
(2.1) (x), x ∈ R c i (x) = 0, i = 1, ..., m e (2.2) c i (x) ≥ 0, i = m e + 1, ..., m (2.3) x l ≤ x ≤ x u (2.4)
5 Disini, x adalah parameter vektor berdimensi n, disebut juga vektor varia- bel rancangan, f adalah fungsi objektif atau fungsi harga untuk meminimisasi persamaan nonlinier. Diasumsikan bahwa fungsi nya dapat diturunkan secara n
. Supaya lebih lengkap lagi maka diasumsikan bahwa batas atas kontinu dalam R dan batas bawah x u dan x l tidak bisa diberlakukan secara terpisah dengan kata lain bahwa batas-batas tersebut dikategorikan sebagai bentuk umum pertidak- samaan kendala-kendala. Sehingga diperoleh bentuk persoalan umum nonlinier programming.
Walaupun software untuk optimisasi dapat digunakan dalam black box, sa- ngat diperlukan untuk memahami sedikitnya ide dasar dari analisa persoalan ini. Salah satu alasannya adalah bahwa ada banyak kondisi dimana kita da- pat menghindari algoritma dari sebuah solusi pendekatan melalui langkah yang benar.
Menurut Zillober dan Schittkowski (2002) untuk alasan inilah, maka dasar- dasar dari teori optimisasi perlu dipahami sebelum menampilkan algoritma-algoritma pada langkah awal. Pertama, kita perlu memahami beberapa notasi untuk tu- runan pertama dan kedua dari fungsi yang terdiferensiasi. Gradien fungsi f(x)adalah T
∂ ∂
∇f(x) = f (x), ..., f (x) (2.5) ∂x 1 ∂x n
Selanjutnya dari turunan parsial diatas dibentuk sebuah matriks Hessian dari fungsi f(x) yaitu 2 2 ∂ ∇ f (x) = f (x) (2.6) i,j=1,...,n
∂x ∂x i j
1 T
Matriks Jacobian dari fungsi vektor value F (x) = (f (x), ..., f l (x)) adalah ∂ f
∇f(x) = j (x) (2.7) i=1,...,n j=1,...,l ∂x i 1 Dapat juga ditulis dalam bentuk ∇F (x) = (f (x), ..., f l (x)
Hal yang paling mendasar untuk memperoleh kondisi optimal dan algoritma op- timasi dinamakan fungsi Lagrange, yaitu X m L(x, µ) := f(x) − λ c (x) (2.8) n T m i=1 i i dan u = (u 1 , ..., u m ) . Tujuan dari
Didefinisikan untuk semua x ∈ R ∈ R L(x, u) adalah menghubungkan fungsi objektif f(x) dengan kendala c i (x), i = 1, ..., m. Variabel λ i disebut pengali Lagrangian dari persoalan nonlinier. Selan- jutnya, P sebagai daerah layak,yaitu himpunan semua daerah layak. n
P , c : c i (x) = 0, i = 1, ..., m e i (x) ≥ 0, i = m e + 1, ..., m} (2.9)
:= {x ∈ R Pertidaksamaan kendala aktif yang mengacu pada nilai x ∈ P ditunjukkan dalam
< i bentuk I(x) := {i : c i (x) = 0, m e ≤ m
2.2 Optimisasi Nonlinier dengan kendala pertidaksamaan Menurut Forsgren et al (2002) Bentuk umum persoalan nonlinier dengan pertidaksamaan berkendala adalah n min f kendala c x∈ℜ (x) i (x) ≥ 0 (2.10) dengan c(x) adalah m-buah vektor dari fungsi {c i (x)}, i = 1, ..., m dan diasum- sikan f dan {c i } kontinu dan dapat diturunkan dua kali. Gradien fungsi f dino- 2 tasikan ∇f(x) atau g(x) dan ∇ f (x) dinotasikan sebagai matriks Hessian dari
2
c turunan kedua f. Gradien dan Hessian yaitu c i (x) dan ∇ i (x). Matriks Jaco- ′ T bian m x n yaitu c (x) dari c(x) memiliki barisan {∇c i (x) } Syarat kondisi optimal untuk optimisasi nonlinier berkendala adalah sebagai be- rikut :
2.2.1 Kondisi Karush Kuhn Tucker (KKT) Kondisi KKT adalah kondisi yang diperlukan bagi penyelesaian permasala- han optimasi nonlinier. Jaminan akan diperoleh solusi optimal jika kondisi KKT terpenuhi. Menurut Forsgren et al(2002) ada beberapa definisi untuk menyatakan suatu kon- disi KKT, antara lain Definisi 1 (Operator · sebagai komponen pengali) Diberikan dua buah vektor x dan y dari r - dimensi, x · y adalah sebuah r - vektor dimana komponen ke - i adalah x y . i i Definisi 2 (Daerah layak) Diberikan kendala c(x) ≥ 0,maka daerah layaknya n adalah F : c(x) ≥ 0}
, {x ∈ R Definisi 3 (first order titik KKT) First-Order dari kondisi KKT untuk persoalan ∗ pertidaksamaan berkendala diperoleh dari (2.11) dipenuhi pada titik x atau setara ∗ ∗ dengan, x adalah kondisi first order KKT, jika terdapat sebuah m-vektor λ maka disebut vektor pengali Lagrange,sedemikian sehingga ∗ c ∗ ∗ ∗ (x ) ≥ 0(kelayakan) (2.11) T g λ
(x ) = J (x ) (stasioner) (2.12)
∗
λ ≥ 0(P engaliyangnonnegatif) (2.13) ∗ ∗ c (x ) · λ = 0(kelengkapan) (2.14)
Definisi 4 (kendala aktif, tidak aktif dan terlarang) Himpunan kendala-kendala c x x
(x) ≥ 0,kendala ke - i dikatakan kendala aktif pada titik ¯ jika c i (¯ ) = 0 dan x x tidak aktif jika c i (¯ ) > 0. Himpunan kendala aktifA(¯ )adalah himpunan yang x x x mengindikasi kendala-kendala aktif pada ¯ , yakni A(¯ ) = {i : c i (¯ ) = 0}; argu- men A akan dihilangkan jika sudah terlihat jelas. Kendala c i (x) ≥ 0 dikatakan x terlarang pada ¯ jika c i (x) < 0. ∗ ∗ ∗
Untuk memenuhi kondisi kelengkapan c(x ) · λ = 0 (2.15),komponen λ diga- bungkan dengan kendala tidak aktif akan sama dengan nol yang berarti gradien ∗ dari f pada titik KKT x harus merupakan kombinasi linier dari gradien kendala aktif yaitu ∗ ∗ ∗ A T g λ , A (x ) = J (x ) A (2.15) ∗ dimana J menyatakan kendala aktif dari Jacobian dan λ A vektkor pengali untuk kendala yang aktif. ∗
Definisi 5 (Pengali Lagrange yang diterima) Diberikan titik KKT x dari (2.11), maka himpunan pengali yang diterima didefinisikan sebagai ∗ ∗ ∗ ∗ m T M (x ) : g(x ) = J (x ) λ, λ ≥ 0, dan c (x ) · λ = 0} (2.16) λ , {λ ∈ R ∗
Dalam hal ini syarat kelengkapan c(x ) · λ = 0 membuat nilai λ i menjadi nol jika kendala ke i merupakan kendala tidak aktif tetapi sangat mungkin bahwa λ i = 0 pada saat kendala ke i aktif. Syarat-syarat strict complementary terjadi saat semua pengali kendala aktif bernilai positif.
Definisi 6 (strict complementary) strict complementary dipenuhi pada titik KKT ∗ ∗ ∗ ∗ x > jika terdapat λ ∈ M λ sedemikian sehingga λ 0 untuk semua i ∈ A(x ) i
2.2.2 Konveksitas dan Kualifikasi kendala Menurut Forsgren et al (2002) untuk persoalan dengan kendala linier, kondisi first order KKT adalah penting untuk kondisi optimal, tetapi ciri ini tidak dapat di aplikasikan pada persoalan dengan kendala nonlinier. Untuk spesifikasi kon- disi penting first order pada kendala yang nonlinier dibutuhkan bahwa kendala- ∗ kendala tersebut harus memenuhi kualifikasi pada titik (x ), jika hal ini tidak ∗ dipenuhi maka kemungkinan x tidak memenuhi titik KKT.
Definisi 7 (Kualifikasi kendala bebas linier) Misalkan sebuah persoalan pertidak- samaan kendala dengan kendala c(x) ≥ 0. Kualifikasi kendala bebas linier dipenuhi pada titik layak ¯ x jika ¯ x strictly feasible(berarti tidak ada kendala aktif) atau jika Jacobian dari kendala aktif pada ¯ x memiliki full row rank, yaitu jika gradien dari kendala aktif adalah bebas linier.
Definisi 8 (Kualifikasi kendala Mangasarian-Fromovitz) Misalkan sebuah per- soalan dengna pertidaksamaan kendala c(x) ≥ 0. Kualifikasi kendala Mangasarian Fromovitz dipenuhi pada titik ¯ x jika ¯ x srtictly feasible atau jika terdapat sebuah T vektor p sedemikian sehingga ∇c i (¯ x ) p > 0 untuk semua i ∈ A(¯ x ) yaitu jika A
J (¯ x ) p > Kondisi kualifikasi kendala Mangasarian-Fromovitz ternyata lebih lemah diband- ingkan dengan kualifikasi kendala bebas linier. Kualifikasi kendala Mangasarian- x x
Fromovitz dipenuhi pada titik ¯ jika ¯ strictly feasible atau jika terdapat sebuah
T
x p > x vektor p sedemikian sehingga ∇c i (¯ ) 0 untuk semua i ∈ A(¯ ) dengan kata A x lain jika J (¯ )p > 0.
2.3 Metode Titik Interior Zillober dan Schittkowski (2002) mengatakan pengembangan dari program linier salah satunya adalah variasi dari bentuk metode barrier modern yang di- turunkan sehingga disebut dengan metode titik interior. Berdasarkan kondisi tersebut, himpunan fungsi minima barrier tak berkendala membentuk kurva mu- lus x(µ) untuk µ ∈ (0; ∞)pada persoalan optimisasi konveks, yang disebut central pada iterasi x dihitung dengan eksplorasi linier path. Sebuah arah pencarian d k k sepanjang garis singgung central path. Untuk mendukung hal ini, abaikan per- samaan kendala untuk masalah yang sederhana, dan memperkenalkan variabel slack untuk pertidaksamaan tanpa batas dengan kata lain, diproses dari sebuah perluasan persoalan n m
, y ∈ R min f(x), x ∈ R g (x) − y = 0 y ≥ 0 T dimana g(x) = (g 1 (x), ..., g m (x)) menunjukkan hubungan kondisi Karush Kuhn Tucker terhadap fungsi Lagrange. T T
L(x, y, u, v) = f(x) − (g(x) − y) u − v y (2.17) dengan ∇f(x) − ∇g(x)u = 0, g (x) − y = 0, y ≥ 0, v ≥ 0,
v y j j = 0, j = 1, ..., m 1 , ..., u T dimana u = (u m ) adalah vektor-vektor pengali.Tetapi, aplikasi metode Newton dalam penyelesaiannya pada persoalan nonlinier secara langsung sangat y dihalangi oleh kondisi pada saat v j j = 0, yang menyatakan bahwa slack variabel haruslah bernilai 0. Oleh karena itu, dengan mengganti kondisi tersebut menjadi y bentuk v j j = µ, dengan parameter µ sebagai parameter positif yang sesuai dan kemudian mengalikan ketiga persamaan dengan (-1). Dengan mengasumsikan strict feasibility dari v dan y, yakni v > 0 dan y > 0, maka diperoleh persamaan
∇f(x) − ∇g(x)u = 0, (2.18) y − g(x) = 0, v y j j = µ, j = 1, ..., m
Pada kondisi yang lain,dapat diperoleh persamaan yang sama mewakili sebuah solusi optimal, jika dimasukkan titik stasioner pada fungsi logaritma barrier yaitu X m T
1 v logy L(x, y, v, r) = f(x) − (g(x) − y) − j (2.19) r j=1 k k
Andaikan x k dan y k merupakan iterasi saat ini, y k = (y , ..., y ) > 0 sebagai va- k k 1 m , ..., v riabel slack iterasi saat ini juga, v k = (v ) > 0 sebagai estimasi pengali dan 1 m
{µk} himpunan barisan parameter positif yang mendekati nilai 0.Oleh karena itu digunakan Metode Newton kedalam persamaan (2.19), ketiga persamaan diatas k k y ditulis dalam bentuk µ k − v 2 1 = 0 menghasilkan m ∇ L(x k , v k ) −∇g(x k ) d a k x T − = = (2.20)
−∇g(x k ) −V k
1Y k p b k Dalam hal ini L(x k , v k ) mengacu pada fungsi Lagrangian dari persoalan asli NLP.
V k dan Y k adalah matriks diagonal yang mengandung koefisien v k dan y k dan
persamaan sebelah kanan didefinisikan sebagai a k := −(∇f(x k ) − ∇g(x k )v k ) (2.21) dan −1 m b k := (µ k − g(x k )), c ∈ ℜ (2.22) V c adalah sebuah vektor yang mengandung nilai satu pada masing-masing komponen.
Jika d k dan p k menotasikan solusi dari sistem linier, iterasi baru diperoleh yakni x , v k+1 = x k + d k k+1 = v k + p k (2.23) −1 p c Hubungan variabel slack dihitung dari y k+1 = −V (Y k k − µ k ) dengan menga- 2 −1 k
L sumsikan bahwa ∇ ada, maka dapat direduksi menjadi T −1 −1 T −1 2 x 2 L , v Y L , v (∇g(x k ) ∇ (x k k )∇g(x k ) + V k )p = −∇g(x k ) ∇ (x k k )a k − b k x k x
(2.24) Asumsi variabel slack y k dan variabel dual v k harus tetap positif selama iterasi,hal ini dijalankan melalui strategi line search. Manfaat utama adalah, bahwa ke- layakan variabel awal x k tidak dibutuhkan. Beberapa koefisien konvergen ke nol, jika hubungan masing-masing kendala menjadi aktif. Parameter Barrier µ k di update setelah melakukan masing-masing langkah, tidak hanya setelah siklus mi- nimisasi tak berkendala lengkap sebagai metode penalty.