KATA PENGANTAR - UTS Kalkulus
KATA PENGANTAR
Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang
berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah
susah, rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh
untuk mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara)
menjawab soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana
mendapatkan ide menyelesaikan soal.
Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup.
Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara
intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan
bukan karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana
cara mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang
difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang
lain juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS tertulis
menilai apa yang kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di
dalam otak kita.
“1001 soal dan solusi “ ini dibuat bukan dengan tujuan agar
mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya
pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan
apa yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca,
text book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soalsoal yang ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran
jawaban anda atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru
silahkan pembaca menyimak pembahasannya.
1
Semoga bermanfaat !
Arip Paryadi
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .................................................................................... 1
DAFTAR ISI .................................................................................................. 3
SOAL SOAL .................................................................................................. 4
UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 SP ............................................... 5
UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009 .................................................... 6
UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 .................................................... 7
UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008 .................................................... 8
UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007 .................................................... 9
UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006 .................................................. 10
UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005 .................................................. 11
UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001 ........................................... 12
UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000 ................................................... 13
PEMBAHASAN ........................................................................................... 14
UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 SP ............................................. 15
UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 .................................................. 18
UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009 .................................................. 21
UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008 .................................................. 24
UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007 .................................................. 28
UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006 .................................................. 32
UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005 .................................................. 35
UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001 ........................................... 37
UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000 ................................................... 41
3
SOAL SOAL
4
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2008-2009
KALKULUS II MA 1424
SENIN 13 APRIL 2009
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 SP
Kerjakan dengan Singkat dan Benar !
Berdoalah sebelum mengerjakan !
(x + 2 )n
n
n =0 (n + 1)3
∞
1. Tentukan selang kekonvergenan dari deret
2. Diketahui keluarga kurva x 2 + 2 y 2 = c
a. Tentukan trayektori orthogonal dari keluarga kurva tersebut.
b. Gambarkan keluarga kurva tersebut dan trayektori ortogonalnya
3. Tentukan solusi khusus dari y"−3 y '−10 y = e 5 x , y (0 ) = 1, y ' (0 ) =
1
7
4. Diketahui partikel P bergerak sepanjang garis I dengan persamaan gerak
(
)
partikel P adalah r (t ) = 3,2,−1 + t 2 − 3t + 5 0,3,4 , 0 ≤ t ≤ 5
Tentukan :
a. Titik awal partikel P
b. Vector kecepatan dan percepatan pada t = 2
5. Tentukan kelengkungan dari kurva x = 3 cos t , y = 2 sin t di titik
No
Bobot
1
8
2
8
3
8
4
8
(
3
2
)
3 ,1
5
8
-o0o- Semoga Sukses -o0o-
5
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009
KALKULUS II MA 1123
SENIN 13 APRIL 2009
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009
Kerjakan dengan Singkat dan Benar !
Berdoalah sebelum mengerjakan !
1. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial
xy'+ y = e3x , y(1) = 0
2. Tentukan solusi umum persamaan diferensial
y"−2 y'−15y = e x + 2x 2
3. Tentukan selang kekonvergenan
(x −1)n
2
n
n =1 2 (n + 1)
∞
6
UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009
KALKULUS II MA 1124
JUM’AT 24 JULI 2009
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009
Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan
Kerjakan dengan teliti dan jelas
∞
1. Tentukan selang kekonvergenan dari deret
n
2 x − 5)
(
(− 1) n
n
n =0
2. Tentukan solusi khusus dari
2
n +1
2
dy
− 2 xy = 3x 2 e x , y (0) = 5
dx
3. Tentukan solusi umum dari y"+ y = e x + x 3
2
4. Diketahui r (t ) = (t − 1) iˆ + 4t 2 ˆj
a. Tentukan persamaan garis singgung pada titik P(1,0)
b. Tentukan kelengkungannya di titik P tersebut.
No
Skor
1
12
2
8
3
8
4
12
7
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2007 / 2008
MA1224 KALKULUS II
SENIN / 7 APRIL 2008
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008
1. a. Periksa apakah deret
∞
(− 1)n
n =1
1
n(n + 1)
konvergen mutlak ,
konvergen bersyarat atau divergen
∞
n
b. Periksa kekonvergenan deret
n
n =1 4 + 2
2. Perderetkan fungsi f ( x) =
2
kedalam deret taylor dengan pusat di
2+ x
x= 2.
3. a. Tentukan solusi persamaan differensial (x + 1)y '+ y = 1 ; y (0) = 2
b. Tentukan solusi persamaan differensial y"−3 y'+2 y = x + 2e x
c. Tentukan solusi persamaan differensial y"−2 y '+ y =
ex
x3
4. Diketahui r (t ) = t i + t 2 j menyatakan vektor posisi dari partikel yang
bergerak pada bidang.
a. Tentukan kecepatan dan laju (besarnya kecepatan ) di titik (1,1)
b. Tentukan dan gambarkan bentuk lintasan partikel tersebut .
8
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2006/2007
MA1124 KALKULUS 11
SENIN 2 APRIL 2007
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007
∞
1. Tentukan selang kekonvergenan deret
(3x + 1)n
n =1
n2 n
2. Tentukan solusi dari y' '− y' = 2 + e x bila y(0) = 0, y’(0) = 1
3. Tentukan perderetan Mc Laurin dari : f ( x ) =
1
dan selang
2 + 3x
konvergensinya
4. Misalkan r (t ) = t i + (2 − t ) j
a. Tentukan persamaan garis singgung di titik P(1,1)
b. Tentukan kelengkungan di titik P(1,1)
5. Tentukan solusi persamaan difenrensial xy '−2 y = x 4
Soal
Nilai
Korektor
1
8
SMG
2
8
RMI
3
8
EBS
4
8
RIZKI
5
8
WDT
9
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2005/2006
KALKULUS II MA 1124
SENIN / 3 APRIL 2006
CLOSE BOOK
UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006
1. Diketahui
e 2 n − 2e n
e 2n − 4
∞
a. Periksa kekonvergenan barisan {a n }n =1
∞
an
b. Periksa kekonvergenan deret
n =1
2. Cari himpunan kekonvergenan deret
1
3
+
2( x − 3)
+
4( x − 3) 2
4
+
8( x − 3) 3
5
+ ⋅⋅⋅
6
3. Tentukan solusi umum persamaan diferensial y ' '−4 y = 2 sinh 2 x + x
(petunjuk : sinh ax =
e ax − e − ax
)
2
4. Diketahui lintasan dengan fungsi vector F (t ) = 2 cos t iˆ + 3 sin t ˆj .
tentukan kelengkungan di (0,-3)
NO
NILAI
1
10
2
10
3
10
4
10
Selamat Bekerja dengan Jujur
10
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2004/2005
KALKULUS II MA1124
SENIN 11 APRIL 2005
TANPA KALKULATOR
UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005
1. Periksa kekonvergenan deret :
∞
1
n=0
(4 + n )5 2
2. Tentukan deret Mc Laurin dari f ( x) = x ln (1 + x )
3. Tentukan persamaan trayektori ortogonal dari : y = (c − 1)x 2
4. Tentukan kuat arus yang mengalir pada rangkaian LC dengan L = 1
Henry, C = 0,01 Farad, sumber tegangan E(t) = 12 volt, jika pada saat
awal tidak ada arus yang mengalir dan tidak ada muatan pada
kapasitornya.
5. Diketahui persamaan parametrik dari kurva C di bidang :
x = cos t + sin t
y = cos t − sin t
a. Tentukan persamaan kurva C dan gambarkan!
b. Tentukan persamaan parameter garis singgung di titik (1,1).
Selamat Bekerja dengan TEKUN, TELITI, dan JUJUR
11
UJIAN TENGAH SEMESTER 2000-2001
MA/DA-1324 KALKULUS II
JUM’AT/ 6 APRIL 2001
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001
(
)
2
1. a. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial x 2 + 2 y'+ xy 2 = 0
dengan y (0) = 1
b. Tentukan solusi umum xy '+2 y =
sin x
x
2. Diketahui persamaan diferensial y ' '+2 y '+2 y = r ( x)
a. Tentukan solusi umum jika r ( x) = 0
b. Tentukan solusi umum jika r ( x) = e − x sin x
3. Diketahui f ( x, y) = 2 x 4 + y 2 − x 2 − 2 y
a. Tentukan turunan berarah dari
f ( x, y )
dititik (1,1) dalam arah
a =i + j
b. Tentukan nilai ekstrim beserta jenisnya dari f ( x, y )
4. Diketahui persamaan kurva C di ruang r (t ) = et cos t i + e t sin t j + t k
a. Tentukan vektor singgung di titik (1,0,0)
b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva C di titik (,10,0)
Selamat Bekerja dengan Jujur
12
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 1999/2000
KALKULUS II / DA-1324
JUM’AT 24 MARET 2000
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000
1. Tentukan solusi khusus dari PD
dy
+ y tan x = 2 sec x, bila y(0) = 2 .
dx
2. Diketahui PD : y ' '−3 y '+2 y = f ( x)
a. Tentukan solusi khusus PD bila f(x) = 0, y(0) = 3 dan y’(0) = 4
b. Tentukan solusi umum PD bila f ( x) =
ex
ex +1
3. Diketahui f ( x, y ) = x 3 − xy + x 2 y − 2
Tentukan :
a. Turunan berarah dari f ( x, y ) di titik (-1,2) dengan arah a = 3 i + j
b. Nilai ekstrim dan jenisnya dari f ( x, y )
4. Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal dari
permukaan 4 x 2 + y 2 + z 2 = 17 di titik ( 1,2,3)
5. Diketahui sebuah partikel bergerak sepanjang lengkungan C dengan
(
)
(
)
vektor posisi F (t ) = 3t + 2t 3 i + 3t 2 j + 3t + t 3 k
a. Tentukan vektor kecepatan dan vektor percepatan partikel di titik
(5,3,4)
b. Tentukan cosinus sudut antara vektor kecepatan dan vektor
percepatan partikel di titik (5,3,4)
13
PEMBAHASAN
14
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009
KALKULUS II MA 1124
JUM’AT 24 JULI 2009
UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 SP
∞
1. Menentukan selang kekonvergenan dari deret
n
(− 1)n (2nx − 5)
n =0
2 n +1
Untuk menentukan titik titik x yang membuat deret konvergen kita
lakukan uji hasil bagi mutlak
Untuk deret ini a n = (− 1)n
ρ = lim
n →∞
=
1
2
(2 x − 5)n
2n n +1
dan a n +1 = (− 1)n +1
(2 x − 5)n+1
.
2 n+1 n + 2
a n +1
(− 1)n +1 (2 x − 5)n +1 . 2 n n + 1
= lim
an
n →∞
2 n +1 n + 2
(− 1)n (2 x − 5)n
2 x − 5 lim
n →∞
n +1
=
n+2
1
2
2 x − 5 lim
n →∞
1 + 1n
=
1+ 2n
1
2
2x − 5
Menurut uji hasil bagi deret di atas akan divergen jika ρ > 1 dan
konvergen jika ρ < 1 yaitu jika 12 2 x − 5 < 1 atau
2x − 5 < 2
−2 < 2 x − 5 < 2
3 < 2x < 7
3
2
< x < 72 ,
sedangkan untuk ρ = 1 ( x = 32 dan x = 72 ) uji hasil bagi gagal sehingga
perlu
∞
n =0
dilakukan
uji
n
(− 1)n n(− 2 )
2
n +1
∞
=
n=0
yang
lainnya.
n n
(− 1)n (−n 1)
2
2
n +1
Bila
x=
2n
(− 1)
∞
=
n +1
n=0
3
2
∞
=
n=0
deret
1
n +1
menjadi
∞
=
1
k =1 k
1
2
yang merupakan deret divergen (deret p dengan p = ½ < 1).
Bila x = 72 deret menjadi
∞
(− 1)n
n =0
2n
2
n
∞
=
n +1
(− 1)n
n =0
1
n +1
. Untuk
memeriksa kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti tanda . untuk
deret tersebut
an =
1
n +1
dan a n+1 =
1
n+2
. Sekarang perhatikan
bahwa
15
•
•
a n +1
=
an
n +1
n+2
lim a n = lim
n →∞
n →∞
< 1 atau a n +1 < a n dan
1
=0
n +1
∞
Oleh karena itu menurut uji deret ganti tanda
(− 1)n
n =0
∞
Jadi
(− 1)n (2nx − 5)
2
n =0
1
n +1
konvergen.
n
n +1
konvergen pada interval
2. Menentukan solusi khusus dari
3
2
< x ≤ 72
2
dy
− 2 xy = 3x 2 e x , y(0) = 5
dx
Faktor integrasi untuk PD tersebut adalah I = e
−2 xdx
= e−x
2
Apabila PD awal dikalikan dengan faktor integrasi akan menghasilkan
2
dy − x 2
e
− 2 xye − x = 3x 2
dx
yang dapat kita dituliskan dalam bentuk
( ) = 3x
d (ye ) = 3x dx
d ye − x
dx
2
− x2
2
2
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
(
2
)
2
ye − x = 3x 2 dx = x 3 + c atau y = x 3 + c e x yang merupakan solusi umum
PD. Untuk mendapatkan solusi khusus kita sulihkan kondisi awal y (0 ) = 5
kedalam solusi umum PD menghasilkan c = 5 . Sehingga solusi khusus
(
)
untuk PD di atas adalah y = x 3 + 5 e x
2
3. Menentukan solusi umum dari y"+ y = e x + x 3
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah : r 2 + 1 = 0
Sehingga didapat r1 = i dan r2 = −i .
Jadi solusi homogennya y h = A sin x + B cos x
⇔
r = ±i
Untuk y p dipilih y p = Ce x + Dx 3 + Ex 2 + Fx + G sehingga
y p ' = Ce x + 3Dx 2 + 2 Ex + F
y p ' ' = Ce x + 6 Dx + 2 E
16
kemudian kita substitusi ke persamaan PD awal menghasilkan
Ce x + 6Dx + 2E + Ce x + Dx3 + Ex 2 + Fx + G = e x + x 3
2Cex + Dx3 + Ex2 + (6D + F )x + (2E + G) = e x + x 3
Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua
ruas diperoleh
2C = 1 atau C = 12
D = 1, E = 0
6D + F = 0 atau F = −6
2E + G = 0 atau G = 0
Jadi y p = 12 e x + x 3 − 6 x
x
1
2
dan solusi umum PD di atas adalah
3
y = A sin x + B cos x + e + x − 6 x
4. Diketahui r (t ) = (t − 1)2 iˆ + 4t 2 ˆj
a. Menentukan persamaan garis singgung pada titik P(1,0)
t 0 = waktu saat titik P (1,0) tercapai yaitu t 0 = 0
r ' (t ) = 2(t −1)iˆ + 8tˆj
r ' (t 0 ) = r ' (0) = −2iˆ + 0 ˆj
r (t ) = r (0) = iˆ + 0 ˆj
0
Jadi persamaan parameter garis singgung di titik P(1,0) adalah
x = 1 − 2t , y = 0
b. Menentukan kelengkungannya di titik P tersebut.
untuk kasus di atas x = (t − 1)2 dan y = 4t 2 maka :
x' = 2(t − 1)
y' = 8t
x" = 2
y" = 8
Kelengkungan untuk sembarang nilai t adalah :
κ (t ) =
x' y"− y ' x"
[(x')
2
+ ( y ') 2
=
16(t − 1) − 16t
] [4(t − 1)
3
2
2
+ 64t 2
=
] [4(t − 1)
3
2
16
2
+ 64t 2
]
3
2
Jadi kelengkungan di titik P adalah κ (t 0 ) = κ (0 ) = 2
17
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2008-2009
KALKULUS II MA 1424
SENIN 13 APRIL 2009
UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009
1. Menentukan selang kekonvergenan dari deret
( x + 2 )n
n
n =0 (n + 1)3
∞
Untuk menentukan titik titik x yang membuat deret konvergen dapat kita
lakukan uji hasil bagi mutlak
(x + 2)n dan a = ∞ (x + 2)n+1 .
n +1
n
n +1
n =0 (n + 1)3
n =0 (n + 2)3
(x + 2)n +1 . (n + 1)3n = 1 x + 2
n +1 1
= lim
=3
lim
3
n +1
n
n
n→∞ (n + 2)3
n →∞ + 2
( x + 2)
Untuk deret ini a n =
ρ = lim
n →∞
a n +1
an
∞
x+2
Menurut uji hasil bagi deret di atas akan divergen jika ρ > 1 dan
konvergen jika ρ < 1 yaitu jika 13 x + 2 < 1 atau
x+2 1 dan konvergen jika
ρ < 1 yaitu jika 12 x − 1 < 1 atau
x −1 < 2
−2 < x − 1 < 2
−1 < x < 3
sedangkan untuk ρ = 1 ( x = −1 dan x = 3 ) uji hasil bagi gagal sehingga
perlu dilakukan uji yang lainnya .
bila x = −1 deret menjadi
misalkan
bahwa
∞
n =1
(−)n
2
n =1 (n + 1)
∞
un =
=
∞
1
n =1
(n + 1)2
(−)n
2
n =1 (n + 1)
(−)n . sekarang perhatikan
=
(n + 1)2
=
u n dengan u n
n =1
∞
(− 2 )n
2
n
n =1 2 (n + 1)
∞
∞
merupakan deret konvergen (deret p dengan
p = 2 > 1 ) sekaligus menunjukkan bahwa
(−)n konvergen mutlak.
2
n =1 (n + 1)
∞
22
Bila x = 3 deret menjadi
∞
1
n =1
(n + 1)2
(deret p dengan p = 2 > 1 ).
Akhirnya dapat kita simpulkan bahwa
n
(x − 1) konvergen pada
2
n
n =1 2 (n + 1)
∞
yang merupakan deret konvergen
−1 ≤ x ≤ 3
23
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2007 / 2008
MA1224 KALKULUS II
SENIN / 7 APRIL 2008
UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008
∞
1. a. Memeriksa apakah deret
1
(− 1)n
n(n + 1)
n =1
konvergen mutlak ,
konvergen bersyarat atau divergen.
1
untuk deret ini a n = (− 1)n
n(n + 1)
1
dan a n +1 = (− 1)n +1
(n + 1)(n + 2)
.
untuk memeriksa apakah Ia konvergen mutlak kita lakukan uji hasil
bagi mutlak
ρ = lim
n →∞
a n +1
= lim
an
n →∞
n(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
n
=1
n+2
= lim
n →∞
karena ρ = 1 maka uji hasil bagi gagal mengujinya, sehingga perlu
dilakukan uji yang lain. Sekarang perhatikan bahwa karena :
an =
1
n(n + 1)
1
>
1
n +1
=
(n + 1)(n + 1)
maka uji perbandingan dapat digunakan. Selanjutnya karena
1
n
n =1 + 1
∞
merupakan deret harmonis yang divergen maka kita simpulkan bahwa
∞
n =1
a n divergen dan akibatnya deret
∞
n =1
a n tidak konvergen mutlak.
Sekarang kita lakukan uji deret ganti tanda untuk memeriksa
∞
kekonvergenan
(− 1)n
n =1
misalkan
∞
(− 1)n
n =1
•
•
bn +1
=
bn
n →∞
∞
n(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
n →∞
n(n + 1)
1
n(n + 1)
lim b n = lim
1
=
n(n + 1)
(− 1)n bn
n =1
n
=
1
.
dengan bn =
1
n(n + 1)
1 yang
2
konvergen.
2. Menentukan deret Mc Laurin dari f ( x) = x ln (1 + x )
f ( x) = x ln (1 + x )
x
1
dt
+
t
1
0
x
1
=x
dt
0 1 − (− t )
=x
x
(
)
= x 1 + (− t ) + (− t )2 + (− t )3 + ... dt
0
[
= x (x −
]
x
= x t − 12 t 2 + 13 t 3 − 14 t 4 + ... + (− 1)r +1 1r t r + ... 0
∞
=
1
2
x 2 + 13 x 3 −
1
4
)
x 4 + ... + (− 1)r +1 1r x r + ... = x
∞
(− 1)n +1 1n x n
n =1
(− 1)n+1 1n x n+1
n =1
3. Menentukan persamaan trayektori ortogonal dari : y = (c − 1)x 2
Untuk kurva tersebut belaku c =
berdasarkan (*) diperoleh y' =
y
x2
+ 1 ( *)
dan
y ' = 2(c − 1)x
.
2y
x
Trayektori ortogonal akan memenuhi persamaan diferensial
y' t = −
1
y'
y' t = −
x
2y
35
dy
x
=−
dx
2y
2 ydy = − xdx
2 ydy = − xdx
y 2 = − 12 x 2 + C
y2 +
1
2
x2 = c
Jadi Trayektori ortogonal dari keluarga kurva
parabola y = (c − 1)x 2 berupa keluarga kurva
ellips y 2 + 12 x 2 = C
4. Menentukan kuat arus yang mengalir pada rangkaian L
LC dengan L = 1
Henry, C = 0,01 Farad, sumber tegangan E(t) = 12 vol
olt, jika pada saat
awal tidak ada arus yang mengalir dan tidak ada
ad muatan pada
kapasitornya.
5. Diketahui persamaan parametrik dari kurva C di
bidang :
x = cos t + sin t
y = cos t − sin t
a. Menentukan persamaan kurva C dan gambarnya.
Dengan sedikit manipulasi aljabar kita peroleh
y
2
x 2 = cos 2 t + sin 2 t + 2 sin t cos t = 1 + 2 sin t cos t *
y 2 = cos 2 t + sin 2 t − 2 sin t cos t = 1 − 2 sin t cos t * *
Jumlahkan kedua ruas (*) dan (**) sehingga
diperoleh x 2 + y 2 = 2 . jadi kurva C adalah
sebuah lingkaran dengan pusat di titik (0,0) dan
jari jari
x
2
2 .
titik (1,1).
b. Menentukan persamaan parameter garis singgung dii ti
x ' (t ) = − sin t + cos t
y ' (t ) = − sin t − cos t
Titik (1,1) tercapai ketika t = 0 sehingga x' (0 ) = 1 dan y ' (0) = −1 .
jadi persamaan parameter garis singgung di titik
ik ((1,1) adalah :
x = 1 + t,
y =1− t
36
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER 2000-2001
MA/DA-1324 KALKULUS II
JUM’AT/ 6 APRIL 2001
UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001
(
)
2
1. a. Menentukan solusi khusus persamaan diferensial x 2 + 2 y'+ xy 2 = 0
dengan y (0) = 1
(x
2
+2
)
(x
2
+2
)
−
dy
y
−
2
2
=
2
dy
y2
dy
+ xy 2 = 0
dx
dy
= − xy 2
dx
xdx
(x
=
2
1
2
2
(
d x2 + 2
(x
d (x + 2)
(x + 2)
+2
)
=
2
+2
)
)
2
2
1
2
2
2
1
1
=−
+c
2
y
2 x +2
(
)
Untuk mendapatkan nilai c kita substitusikan kondisi awal y (0) = 1
menghasilkan c =
5
4
sehingga
1
1
5 5x 2 + 8
=−
+
=
y
2 x 2 + 2 4 4x 2 + 8
(
)
Jadi solusi khusus PD yang dimaksud adalah
y=
4x 2 + 8
5x 2 + 8
b. Menentukan solusi umum xy '+2 y =
sin x
x
Kita tuliskan PD dalam bentuk
y '+2
y sin x
= 2
x
x
Agar PD ini dapat diselesaikan terlebih dahulu kita tentukan faktor
integrasinya (I)
I =e
2
dx
x
2
= e 2 ln x = e ln x = x 2
37
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan PD terakhir dengan faktor
integrasi kita peroleh
x 2 y '+2 xy = sin x yang dapat dituliskan dalam bentuk
( )
d yx 2
= sin x atau
dx
( )
d (yx ) =
d yx 2 = sin xdx
2
sin xdx
2
yx = − cos x + c
Jadi solusi umum PD yang dimaksud adalah
y=
c − cos x
x2
2. Diketahui persamaan diferensial y"+2 y '+2 y = r ( x)
a. Menentukan solusi umum jika r ( x) = 0
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah r 2 + 2r + 2 = 0 atau
(r + 1)2 + 1 = 0
(r + 1)2 = −1
(r +1) = ±i
r = −1 ± i
Sehingga Solusi Homogennya adalah y h = e − x (c1 cos x + c 2 sin x ) .
Menurut definisinya, karena r ( x) = 0 maka PD diatas merupakan PD
homogen yang memiliki solusi umum sama dengan solusi
homogennya yaitu y = e − x (c1 cos x + c 2 sin x )
b. Menentukan solusi umum jika r ( x) = e − x sin x
Karena r ( x) ≠ 0 maka menurut definisinya PD ini termasuk dalam
PD nonhomogen yang memiliki solusi umum berupa penjumlahan
dari solusi homogen dan solusi non homogen. Untuk solusi homogen
telah kita dapatkan pada poin sebelumnya. Untuk solusi nonhomogen
y p dipilih y p = xe − x ( A cos x + B sin x ) sehingga
(
)
y p ' = e − x − xe − x ( A cos x + B sin x ) + xe − x (− A sin x + B cos x )
38
(
+ (e
)
(
)
y p " = − e − x − e − x + xe x ( A cos x + B sin x) + e − x − xe− x (− A sin x + B cos x)
−x
)
− xe− x (− A sin x + B cos x) + xe− x (− A cos x − B sin x)
(
−x
)
= −2e ( A cos x + B sin x) + 2 e − x − xe− x (− A sin x + B cos x)
Kemudian kita substitusikan ke dalam PD awal menghasilkan
(
)
− 2e − x ( A cos x + B sin x) + 2 e − x − xe− x (− A sin x + B cos x)...
((
)
)
+ 2 e − x − xe− x ( A cos x + B sin x) + xe− x (− A sin x + B cos x)
−x
−x
+ 2xe ( A cos x + B sin x) = e sin x
jika ruas kiri disederhanakan akan kita peroleh
2e − x (− A sin x + B cos x ) = e − x sin x
− 2 Ae − x sin x + 2 Be − x cos x = e − x sin x
Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua
ruas akan didapat A = − 12 dan B = 0 sehingga solusi nonhomogennya
adalah y p = − 12 xe − x cos x
Jadi solusi umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah
y = e − x (c1 cos x + c 2 sin x ) − 12 xe − x cos x
Alternatif lain kita dapat menggunakan metode variasi parameter
untuk menentukan solusi nonhomogennya. Pada metode ini kita pilih
y p = uy1 + vy 2 dengan
y1 = e − x cos x dan y 2 = e − x sin x sehingga
y1 ' = −e − x cos x − e − x sin x = −e − x (cos x + sin x ) dan
y 2 ' = −e − x sin x + e − x cos x
Untuk mendapatkan u dan v terlebih dahulu kita tentukan
Wronskiannya (W)
W ( y1 , y 2 ) = y1 y 2 '− y1 ' y 2
= −e − 2 x sin x cos x + e − 2 x cos 2 x + e − 2 x sin 2 x + e − 2 x sin x cos x
(
)
= e −2 x cos 2 x + sin 2 x = e −2 x
y r (x )
u=− 2
dx = − sin 2 xdx = 12 (cos 2 x − 1)dx = 14 sin 2 x − 12 x
W
y1 r (x )
v=
dx = sin x cos xdx = 12 sin 2 xdx = − 14 cos 2 x
W
39
Sehingga y p = (14 sin 2 x − 12 x )e − x cos x − 14 .e − x cos 2 x sin x
Jadi solusi umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah
y = e − x (c1 cos x + c 2 sin x ) +
(14 sin 2 x − 12 x )e − x cos x − 14 e − x cos 2 x. sin x
Sekilas solusi umum pada metode variasi parameter berbeda dengan
metode koefisien tak tentu pada poin sebelumnya. Pertanyaannya
apakah ada yang salah dengan matematika kita ? tentu saja tidak.
sekarang mari kita perhatikan
y = e − x (c1 cos x + c2 sin x ) +
(14 sin 2 x − 12 x)e − x cos x − 14 e − x cos 2 x.sin x
= e− x (c1 cos x + c2 sin x ) − 12 xe− x cos x + 14 e− x sin 2 x cos x − 14 e− x cos 2 x. sin x
= e− x (c1 cos x + c2 sin x ) − 12 xe− x cos x + 14 e− x 2 sin x cos2 x − 14 e− x cos 2 x. sin x
= e− x (c1 cos x + c2 sin x ) − 12 xe− x cos x + 14 e− x sin x(cos 2 x + 1) − 14 e− x cos 2 x.sin x
= e− x (c1 cos x + c2 sin x) − 12 xe− x cos x + 14 e− x sin x
(
(
)
)
= e− x c1 cos x + c2 + 14 sin x − 12 xe− x cos x
=e
−x
(c1 cos x + c * sin x) −
1
2
xe− x cos x
Sekarang terlihat bahwa solusi umum pada metode koefisien tak tentu
dan variasi parameter akan memiliki basis penyelesaian yang sama.
3. Materi UAS
4. Diketahui persamaan kurva C di ruang r (t ) = e t cos t i + e t sin t j + t k
a. Menentukan vektor singgung di titik (1,0,0)
Vektor
singgung
untuk
sembarang
nilai
t
adalah
(
) (
)
r ' (t ) = e t cos t − e t sin t i + e t sin t + e t cos t j + k
Titik (1,0,0) dipenuhi jika t = 0 , sehingga vektor singgung pada titik
ini adalah r ' (0) = i + j + k
b. Menentukan persamaan garis singgung pada kurva C di titik (1,0,0)
Persamaan parameter garis singgung di titik (1,0,0) adalah
x = 1 + t , y = t, z = t
40
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 1999/2000
KALKULUS II / DA-1324
JUM’AT 24 MARET 2000
UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000
1. Menentukan solusi khusus dari PD
dy
+ y tan x = 2 sec x, bila y(0) = 2 .
dx
Agar PD ini dapat diselesaikan terlebih dahulu kita tentukan faktor
integrasinya (I)
I =e
tan xdx
= e ln sec x = sec x
Kita kalikan PD awal dengan faktor integrasi ini menghasilkan
dy
sec x + y sec x tan x = 2 sec 2 x yang dapat kita tuliskan dalam bentuk
dx
d ( y sec x )
= 2 sec 2 x
dx
d ( y sec x ) = 2 sec 2 xdx
d ( y sec x ) = 2 sec 2 xdx
y sec x = 2 tan x + c
Sehingga solusi umum dari persamaan diferensial di atas adalah
2 tan x + c
y=
= 2 sin x + c cos x
sec x
Untuk mendapatkan solusi khususnya kita sulihkan kondisi awal y(0) = 2
ke dalam solusi umum menghasilkan c = 2 . Jadi solusi khusus PD yang
dimaksud adalah y = 2(sin x + cos x ) .
2. Diketahui PD : y' '−3 y'+2 y = f ( x)
a. Menentukan solusi khusus PD bila f(x) = 0, y(0) = 3 dan y’(0) = 4
Karena f ( x) = 0 maka menurut definisinya PD ini termasuk ke dalam
PD homogen yang memiliki penyelesaian umum sama dengan solusi
homogennya.
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah r 2 − 3r + 2 = 0 atau
(r − 2)(r − 1) = 0 sehingga diperoleh r = 2 atau r = 1 . Jadi solusi umum
PD ini adalah y = y h = c1e x + c 2 e 2 x .
Untuk mendapatkan solusi khususnya kita sulihkan kondisi awal
y (0 ) = 3 dan y ' (0 ) = 4 .
41
y' = c1e x + 2c 2 e 2 x
Dari y (0 ) = 3 diperoleh c1 + c 2 = 3 sedangkan dari y ' (0) = 4 diperoleh
c1 + 2c 2 = 4 jika kedua persamaan ini diselesaikan akan menghasilkan
c 2 = 1 dan c1 = 2 . Jadi solusi khusus PD yang dimaksud adalah
y = 2e x + ce 2 x .
b. Menentukan solusi umum PD bila f ( x) =
ex
ex +1
Karena f ( x) ≠ 0 maka menurut definisinya PD ini menjadi PD non
homogen yang memiliki penyelesaian umum berupa penjumlahan dari
solusi homogen y h dan solusi nonhomogen y p . Untuk solusi
homogen telah kita peroleh pada bagian sebelumnya, sedangkan untuk
solusi nonhomogennya kita pilih y p = uy1 + vy 2 dengan
y1 = e x dan y 2 = e 2 x sehingga
y1 ' = e x dan y 2 ' = 2e 2 x
Untuk mendapatkan u dan v terlebih dahulu kita tentukan
Wronskiannya.
W ( y1 , y 2 ) = y1 y 2 '− y1 ' y 2 = 2e 3 x − e 3 x = e 3 x .
Sehingga
u=−
= − 1−
ex
x
dx = − dx +
e +1
v=
(
)
)
= −x +
y 2 f (x )
e x +1 − e x
1
dx = − x
dx * = −
dx
W
e +1
e x +1
e x dx
(e
x
y1 f (x )
dx
=
dx = x x
W
e e +1
(
x
+1
1
)
(
e
x
−
e +1
1
) = − x + ln(e
d e x +1
1
dx = e − x dx −
x
e +1
x
x
)
+1
dx
e +1
(
)
− x + ln (e + 1)) .
Berdasarkan penyelesaian dari (*) diperoleh v = −e − x − x + ln e x + 1 .
x
Dengan demikian
(
(
x
))
y p = e − x + ln e + 1 + e
2x
(− e
−x
x
Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah
(
(
))
(
(
))
y = c1e x + c 2 e 2 x + e x − x + ln e x + 1 + e 2 x − e − x − x + ln e x + 1
3. Materi UAS
4. Materi UAS
42
5. Diketahui sebuah partikel bergerak sepanjang lengkungan C dengan
vektor posisi F (t ) = 3t + 2t 3 i + 3t 2 j + 3t + t 3 k
a. Menentukan vektor kecepatan dan vektor percepatan partikel di titik
(5,3,4)
Vektor kecepatan dan percepatan untuk sembarang nilai t secara
berturut turut adalah
(
(
)
)
(
(
)
)
v (t ) = F ' (t ) = 3 + 6t 2 i + 6t j + 3 + 3t 2 k
a (t ) = F " (t ) = 12t i + 6 j + 6t k
Titik (5,3,4) dipenuhi ketika t = 1 . sehingga vektor kecepatan dan
percepatan di titik tersebut yaitu
v (1) = 9 i + 6 j + 6 k
a (1) = 12 i + 6 j + 6 k
b. Menentukan cosinus sudut antara vektor kecepatan dan vektor
percepatan partikel di titik (5,3,4)
Misalkan sudut antara vektor kecepatan dan percepatan di titik (5,3,4)
adalah α , maka
v (1) • a (1)
9.12 + 6.6 + 6.6
=
v (1) a (1)
81 + 36 + 36 144 + 36 + 36
180
180
10
=
=
=
153 216
9 17 36 6
102
cos α =
43
Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang
berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah
susah, rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh
untuk mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara)
menjawab soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana
mendapatkan ide menyelesaikan soal.
Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup.
Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara
intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan
bukan karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana
cara mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang
difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang
lain juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS tertulis
menilai apa yang kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di
dalam otak kita.
“1001 soal dan solusi “ ini dibuat bukan dengan tujuan agar
mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya
pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan
apa yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca,
text book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soalsoal yang ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran
jawaban anda atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru
silahkan pembaca menyimak pembahasannya.
1
Semoga bermanfaat !
Arip Paryadi
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .................................................................................... 1
DAFTAR ISI .................................................................................................. 3
SOAL SOAL .................................................................................................. 4
UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 SP ............................................... 5
UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009 .................................................... 6
UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 .................................................... 7
UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008 .................................................... 8
UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007 .................................................... 9
UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006 .................................................. 10
UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005 .................................................. 11
UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001 ........................................... 12
UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000 ................................................... 13
PEMBAHASAN ........................................................................................... 14
UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 SP ............................................. 15
UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 .................................................. 18
UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009 .................................................. 21
UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008 .................................................. 24
UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007 .................................................. 28
UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006 .................................................. 32
UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005 .................................................. 35
UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001 ........................................... 37
UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000 ................................................... 41
3
SOAL SOAL
4
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2008-2009
KALKULUS II MA 1424
SENIN 13 APRIL 2009
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 SP
Kerjakan dengan Singkat dan Benar !
Berdoalah sebelum mengerjakan !
(x + 2 )n
n
n =0 (n + 1)3
∞
1. Tentukan selang kekonvergenan dari deret
2. Diketahui keluarga kurva x 2 + 2 y 2 = c
a. Tentukan trayektori orthogonal dari keluarga kurva tersebut.
b. Gambarkan keluarga kurva tersebut dan trayektori ortogonalnya
3. Tentukan solusi khusus dari y"−3 y '−10 y = e 5 x , y (0 ) = 1, y ' (0 ) =
1
7
4. Diketahui partikel P bergerak sepanjang garis I dengan persamaan gerak
(
)
partikel P adalah r (t ) = 3,2,−1 + t 2 − 3t + 5 0,3,4 , 0 ≤ t ≤ 5
Tentukan :
a. Titik awal partikel P
b. Vector kecepatan dan percepatan pada t = 2
5. Tentukan kelengkungan dari kurva x = 3 cos t , y = 2 sin t di titik
No
Bobot
1
8
2
8
3
8
4
8
(
3
2
)
3 ,1
5
8
-o0o- Semoga Sukses -o0o-
5
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009
KALKULUS II MA 1123
SENIN 13 APRIL 2009
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009
Kerjakan dengan Singkat dan Benar !
Berdoalah sebelum mengerjakan !
1. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial
xy'+ y = e3x , y(1) = 0
2. Tentukan solusi umum persamaan diferensial
y"−2 y'−15y = e x + 2x 2
3. Tentukan selang kekonvergenan
(x −1)n
2
n
n =1 2 (n + 1)
∞
6
UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009
KALKULUS II MA 1124
JUM’AT 24 JULI 2009
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009
Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan
Kerjakan dengan teliti dan jelas
∞
1. Tentukan selang kekonvergenan dari deret
n
2 x − 5)
(
(− 1) n
n
n =0
2. Tentukan solusi khusus dari
2
n +1
2
dy
− 2 xy = 3x 2 e x , y (0) = 5
dx
3. Tentukan solusi umum dari y"+ y = e x + x 3
2
4. Diketahui r (t ) = (t − 1) iˆ + 4t 2 ˆj
a. Tentukan persamaan garis singgung pada titik P(1,0)
b. Tentukan kelengkungannya di titik P tersebut.
No
Skor
1
12
2
8
3
8
4
12
7
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2007 / 2008
MA1224 KALKULUS II
SENIN / 7 APRIL 2008
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008
1. a. Periksa apakah deret
∞
(− 1)n
n =1
1
n(n + 1)
konvergen mutlak ,
konvergen bersyarat atau divergen
∞
n
b. Periksa kekonvergenan deret
n
n =1 4 + 2
2. Perderetkan fungsi f ( x) =
2
kedalam deret taylor dengan pusat di
2+ x
x= 2.
3. a. Tentukan solusi persamaan differensial (x + 1)y '+ y = 1 ; y (0) = 2
b. Tentukan solusi persamaan differensial y"−3 y'+2 y = x + 2e x
c. Tentukan solusi persamaan differensial y"−2 y '+ y =
ex
x3
4. Diketahui r (t ) = t i + t 2 j menyatakan vektor posisi dari partikel yang
bergerak pada bidang.
a. Tentukan kecepatan dan laju (besarnya kecepatan ) di titik (1,1)
b. Tentukan dan gambarkan bentuk lintasan partikel tersebut .
8
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2006/2007
MA1124 KALKULUS 11
SENIN 2 APRIL 2007
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007
∞
1. Tentukan selang kekonvergenan deret
(3x + 1)n
n =1
n2 n
2. Tentukan solusi dari y' '− y' = 2 + e x bila y(0) = 0, y’(0) = 1
3. Tentukan perderetan Mc Laurin dari : f ( x ) =
1
dan selang
2 + 3x
konvergensinya
4. Misalkan r (t ) = t i + (2 − t ) j
a. Tentukan persamaan garis singgung di titik P(1,1)
b. Tentukan kelengkungan di titik P(1,1)
5. Tentukan solusi persamaan difenrensial xy '−2 y = x 4
Soal
Nilai
Korektor
1
8
SMG
2
8
RMI
3
8
EBS
4
8
RIZKI
5
8
WDT
9
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2005/2006
KALKULUS II MA 1124
SENIN / 3 APRIL 2006
CLOSE BOOK
UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006
1. Diketahui
e 2 n − 2e n
e 2n − 4
∞
a. Periksa kekonvergenan barisan {a n }n =1
∞
an
b. Periksa kekonvergenan deret
n =1
2. Cari himpunan kekonvergenan deret
1
3
+
2( x − 3)
+
4( x − 3) 2
4
+
8( x − 3) 3
5
+ ⋅⋅⋅
6
3. Tentukan solusi umum persamaan diferensial y ' '−4 y = 2 sinh 2 x + x
(petunjuk : sinh ax =
e ax − e − ax
)
2
4. Diketahui lintasan dengan fungsi vector F (t ) = 2 cos t iˆ + 3 sin t ˆj .
tentukan kelengkungan di (0,-3)
NO
NILAI
1
10
2
10
3
10
4
10
Selamat Bekerja dengan Jujur
10
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2004/2005
KALKULUS II MA1124
SENIN 11 APRIL 2005
TANPA KALKULATOR
UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005
1. Periksa kekonvergenan deret :
∞
1
n=0
(4 + n )5 2
2. Tentukan deret Mc Laurin dari f ( x) = x ln (1 + x )
3. Tentukan persamaan trayektori ortogonal dari : y = (c − 1)x 2
4. Tentukan kuat arus yang mengalir pada rangkaian LC dengan L = 1
Henry, C = 0,01 Farad, sumber tegangan E(t) = 12 volt, jika pada saat
awal tidak ada arus yang mengalir dan tidak ada muatan pada
kapasitornya.
5. Diketahui persamaan parametrik dari kurva C di bidang :
x = cos t + sin t
y = cos t − sin t
a. Tentukan persamaan kurva C dan gambarkan!
b. Tentukan persamaan parameter garis singgung di titik (1,1).
Selamat Bekerja dengan TEKUN, TELITI, dan JUJUR
11
UJIAN TENGAH SEMESTER 2000-2001
MA/DA-1324 KALKULUS II
JUM’AT/ 6 APRIL 2001
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001
(
)
2
1. a. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial x 2 + 2 y'+ xy 2 = 0
dengan y (0) = 1
b. Tentukan solusi umum xy '+2 y =
sin x
x
2. Diketahui persamaan diferensial y ' '+2 y '+2 y = r ( x)
a. Tentukan solusi umum jika r ( x) = 0
b. Tentukan solusi umum jika r ( x) = e − x sin x
3. Diketahui f ( x, y) = 2 x 4 + y 2 − x 2 − 2 y
a. Tentukan turunan berarah dari
f ( x, y )
dititik (1,1) dalam arah
a =i + j
b. Tentukan nilai ekstrim beserta jenisnya dari f ( x, y )
4. Diketahui persamaan kurva C di ruang r (t ) = et cos t i + e t sin t j + t k
a. Tentukan vektor singgung di titik (1,0,0)
b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva C di titik (,10,0)
Selamat Bekerja dengan Jujur
12
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 1999/2000
KALKULUS II / DA-1324
JUM’AT 24 MARET 2000
TUTUP BUKU
UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000
1. Tentukan solusi khusus dari PD
dy
+ y tan x = 2 sec x, bila y(0) = 2 .
dx
2. Diketahui PD : y ' '−3 y '+2 y = f ( x)
a. Tentukan solusi khusus PD bila f(x) = 0, y(0) = 3 dan y’(0) = 4
b. Tentukan solusi umum PD bila f ( x) =
ex
ex +1
3. Diketahui f ( x, y ) = x 3 − xy + x 2 y − 2
Tentukan :
a. Turunan berarah dari f ( x, y ) di titik (-1,2) dengan arah a = 3 i + j
b. Nilai ekstrim dan jenisnya dari f ( x, y )
4. Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal dari
permukaan 4 x 2 + y 2 + z 2 = 17 di titik ( 1,2,3)
5. Diketahui sebuah partikel bergerak sepanjang lengkungan C dengan
(
)
(
)
vektor posisi F (t ) = 3t + 2t 3 i + 3t 2 j + 3t + t 3 k
a. Tentukan vektor kecepatan dan vektor percepatan partikel di titik
(5,3,4)
b. Tentukan cosinus sudut antara vektor kecepatan dan vektor
percepatan partikel di titik (5,3,4)
13
PEMBAHASAN
14
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009
KALKULUS II MA 1124
JUM’AT 24 JULI 2009
UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 SP
∞
1. Menentukan selang kekonvergenan dari deret
n
(− 1)n (2nx − 5)
n =0
2 n +1
Untuk menentukan titik titik x yang membuat deret konvergen kita
lakukan uji hasil bagi mutlak
Untuk deret ini a n = (− 1)n
ρ = lim
n →∞
=
1
2
(2 x − 5)n
2n n +1
dan a n +1 = (− 1)n +1
(2 x − 5)n+1
.
2 n+1 n + 2
a n +1
(− 1)n +1 (2 x − 5)n +1 . 2 n n + 1
= lim
an
n →∞
2 n +1 n + 2
(− 1)n (2 x − 5)n
2 x − 5 lim
n →∞
n +1
=
n+2
1
2
2 x − 5 lim
n →∞
1 + 1n
=
1+ 2n
1
2
2x − 5
Menurut uji hasil bagi deret di atas akan divergen jika ρ > 1 dan
konvergen jika ρ < 1 yaitu jika 12 2 x − 5 < 1 atau
2x − 5 < 2
−2 < 2 x − 5 < 2
3 < 2x < 7
3
2
< x < 72 ,
sedangkan untuk ρ = 1 ( x = 32 dan x = 72 ) uji hasil bagi gagal sehingga
perlu
∞
n =0
dilakukan
uji
n
(− 1)n n(− 2 )
2
n +1
∞
=
n=0
yang
lainnya.
n n
(− 1)n (−n 1)
2
2
n +1
Bila
x=
2n
(− 1)
∞
=
n +1
n=0
3
2
∞
=
n=0
deret
1
n +1
menjadi
∞
=
1
k =1 k
1
2
yang merupakan deret divergen (deret p dengan p = ½ < 1).
Bila x = 72 deret menjadi
∞
(− 1)n
n =0
2n
2
n
∞
=
n +1
(− 1)n
n =0
1
n +1
. Untuk
memeriksa kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti tanda . untuk
deret tersebut
an =
1
n +1
dan a n+1 =
1
n+2
. Sekarang perhatikan
bahwa
15
•
•
a n +1
=
an
n +1
n+2
lim a n = lim
n →∞
n →∞
< 1 atau a n +1 < a n dan
1
=0
n +1
∞
Oleh karena itu menurut uji deret ganti tanda
(− 1)n
n =0
∞
Jadi
(− 1)n (2nx − 5)
2
n =0
1
n +1
konvergen.
n
n +1
konvergen pada interval
2. Menentukan solusi khusus dari
3
2
< x ≤ 72
2
dy
− 2 xy = 3x 2 e x , y(0) = 5
dx
Faktor integrasi untuk PD tersebut adalah I = e
−2 xdx
= e−x
2
Apabila PD awal dikalikan dengan faktor integrasi akan menghasilkan
2
dy − x 2
e
− 2 xye − x = 3x 2
dx
yang dapat kita dituliskan dalam bentuk
( ) = 3x
d (ye ) = 3x dx
d ye − x
dx
2
− x2
2
2
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
(
2
)
2
ye − x = 3x 2 dx = x 3 + c atau y = x 3 + c e x yang merupakan solusi umum
PD. Untuk mendapatkan solusi khusus kita sulihkan kondisi awal y (0 ) = 5
kedalam solusi umum PD menghasilkan c = 5 . Sehingga solusi khusus
(
)
untuk PD di atas adalah y = x 3 + 5 e x
2
3. Menentukan solusi umum dari y"+ y = e x + x 3
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah : r 2 + 1 = 0
Sehingga didapat r1 = i dan r2 = −i .
Jadi solusi homogennya y h = A sin x + B cos x
⇔
r = ±i
Untuk y p dipilih y p = Ce x + Dx 3 + Ex 2 + Fx + G sehingga
y p ' = Ce x + 3Dx 2 + 2 Ex + F
y p ' ' = Ce x + 6 Dx + 2 E
16
kemudian kita substitusi ke persamaan PD awal menghasilkan
Ce x + 6Dx + 2E + Ce x + Dx3 + Ex 2 + Fx + G = e x + x 3
2Cex + Dx3 + Ex2 + (6D + F )x + (2E + G) = e x + x 3
Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua
ruas diperoleh
2C = 1 atau C = 12
D = 1, E = 0
6D + F = 0 atau F = −6
2E + G = 0 atau G = 0
Jadi y p = 12 e x + x 3 − 6 x
x
1
2
dan solusi umum PD di atas adalah
3
y = A sin x + B cos x + e + x − 6 x
4. Diketahui r (t ) = (t − 1)2 iˆ + 4t 2 ˆj
a. Menentukan persamaan garis singgung pada titik P(1,0)
t 0 = waktu saat titik P (1,0) tercapai yaitu t 0 = 0
r ' (t ) = 2(t −1)iˆ + 8tˆj
r ' (t 0 ) = r ' (0) = −2iˆ + 0 ˆj
r (t ) = r (0) = iˆ + 0 ˆj
0
Jadi persamaan parameter garis singgung di titik P(1,0) adalah
x = 1 − 2t , y = 0
b. Menentukan kelengkungannya di titik P tersebut.
untuk kasus di atas x = (t − 1)2 dan y = 4t 2 maka :
x' = 2(t − 1)
y' = 8t
x" = 2
y" = 8
Kelengkungan untuk sembarang nilai t adalah :
κ (t ) =
x' y"− y ' x"
[(x')
2
+ ( y ') 2
=
16(t − 1) − 16t
] [4(t − 1)
3
2
2
+ 64t 2
=
] [4(t − 1)
3
2
16
2
+ 64t 2
]
3
2
Jadi kelengkungan di titik P adalah κ (t 0 ) = κ (0 ) = 2
17
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2008-2009
KALKULUS II MA 1424
SENIN 13 APRIL 2009
UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009
1. Menentukan selang kekonvergenan dari deret
( x + 2 )n
n
n =0 (n + 1)3
∞
Untuk menentukan titik titik x yang membuat deret konvergen dapat kita
lakukan uji hasil bagi mutlak
(x + 2)n dan a = ∞ (x + 2)n+1 .
n +1
n
n +1
n =0 (n + 1)3
n =0 (n + 2)3
(x + 2)n +1 . (n + 1)3n = 1 x + 2
n +1 1
= lim
=3
lim
3
n +1
n
n
n→∞ (n + 2)3
n →∞ + 2
( x + 2)
Untuk deret ini a n =
ρ = lim
n →∞
a n +1
an
∞
x+2
Menurut uji hasil bagi deret di atas akan divergen jika ρ > 1 dan
konvergen jika ρ < 1 yaitu jika 13 x + 2 < 1 atau
x+2 1 dan konvergen jika
ρ < 1 yaitu jika 12 x − 1 < 1 atau
x −1 < 2
−2 < x − 1 < 2
−1 < x < 3
sedangkan untuk ρ = 1 ( x = −1 dan x = 3 ) uji hasil bagi gagal sehingga
perlu dilakukan uji yang lainnya .
bila x = −1 deret menjadi
misalkan
bahwa
∞
n =1
(−)n
2
n =1 (n + 1)
∞
un =
=
∞
1
n =1
(n + 1)2
(−)n
2
n =1 (n + 1)
(−)n . sekarang perhatikan
=
(n + 1)2
=
u n dengan u n
n =1
∞
(− 2 )n
2
n
n =1 2 (n + 1)
∞
∞
merupakan deret konvergen (deret p dengan
p = 2 > 1 ) sekaligus menunjukkan bahwa
(−)n konvergen mutlak.
2
n =1 (n + 1)
∞
22
Bila x = 3 deret menjadi
∞
1
n =1
(n + 1)2
(deret p dengan p = 2 > 1 ).
Akhirnya dapat kita simpulkan bahwa
n
(x − 1) konvergen pada
2
n
n =1 2 (n + 1)
∞
yang merupakan deret konvergen
−1 ≤ x ≤ 3
23
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2007 / 2008
MA1224 KALKULUS II
SENIN / 7 APRIL 2008
UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008
∞
1. a. Memeriksa apakah deret
1
(− 1)n
n(n + 1)
n =1
konvergen mutlak ,
konvergen bersyarat atau divergen.
1
untuk deret ini a n = (− 1)n
n(n + 1)
1
dan a n +1 = (− 1)n +1
(n + 1)(n + 2)
.
untuk memeriksa apakah Ia konvergen mutlak kita lakukan uji hasil
bagi mutlak
ρ = lim
n →∞
a n +1
= lim
an
n →∞
n(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
n
=1
n+2
= lim
n →∞
karena ρ = 1 maka uji hasil bagi gagal mengujinya, sehingga perlu
dilakukan uji yang lain. Sekarang perhatikan bahwa karena :
an =
1
n(n + 1)
1
>
1
n +1
=
(n + 1)(n + 1)
maka uji perbandingan dapat digunakan. Selanjutnya karena
1
n
n =1 + 1
∞
merupakan deret harmonis yang divergen maka kita simpulkan bahwa
∞
n =1
a n divergen dan akibatnya deret
∞
n =1
a n tidak konvergen mutlak.
Sekarang kita lakukan uji deret ganti tanda untuk memeriksa
∞
kekonvergenan
(− 1)n
n =1
misalkan
∞
(− 1)n
n =1
•
•
bn +1
=
bn
n →∞
∞
n(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
n →∞
n(n + 1)
1
n(n + 1)
lim b n = lim
1
=
n(n + 1)
(− 1)n bn
n =1
n
=
1
.
dengan bn =
1
n(n + 1)
1 yang
2
konvergen.
2. Menentukan deret Mc Laurin dari f ( x) = x ln (1 + x )
f ( x) = x ln (1 + x )
x
1
dt
+
t
1
0
x
1
=x
dt
0 1 − (− t )
=x
x
(
)
= x 1 + (− t ) + (− t )2 + (− t )3 + ... dt
0
[
= x (x −
]
x
= x t − 12 t 2 + 13 t 3 − 14 t 4 + ... + (− 1)r +1 1r t r + ... 0
∞
=
1
2
x 2 + 13 x 3 −
1
4
)
x 4 + ... + (− 1)r +1 1r x r + ... = x
∞
(− 1)n +1 1n x n
n =1
(− 1)n+1 1n x n+1
n =1
3. Menentukan persamaan trayektori ortogonal dari : y = (c − 1)x 2
Untuk kurva tersebut belaku c =
berdasarkan (*) diperoleh y' =
y
x2
+ 1 ( *)
dan
y ' = 2(c − 1)x
.
2y
x
Trayektori ortogonal akan memenuhi persamaan diferensial
y' t = −
1
y'
y' t = −
x
2y
35
dy
x
=−
dx
2y
2 ydy = − xdx
2 ydy = − xdx
y 2 = − 12 x 2 + C
y2 +
1
2
x2 = c
Jadi Trayektori ortogonal dari keluarga kurva
parabola y = (c − 1)x 2 berupa keluarga kurva
ellips y 2 + 12 x 2 = C
4. Menentukan kuat arus yang mengalir pada rangkaian L
LC dengan L = 1
Henry, C = 0,01 Farad, sumber tegangan E(t) = 12 vol
olt, jika pada saat
awal tidak ada arus yang mengalir dan tidak ada
ad muatan pada
kapasitornya.
5. Diketahui persamaan parametrik dari kurva C di
bidang :
x = cos t + sin t
y = cos t − sin t
a. Menentukan persamaan kurva C dan gambarnya.
Dengan sedikit manipulasi aljabar kita peroleh
y
2
x 2 = cos 2 t + sin 2 t + 2 sin t cos t = 1 + 2 sin t cos t *
y 2 = cos 2 t + sin 2 t − 2 sin t cos t = 1 − 2 sin t cos t * *
Jumlahkan kedua ruas (*) dan (**) sehingga
diperoleh x 2 + y 2 = 2 . jadi kurva C adalah
sebuah lingkaran dengan pusat di titik (0,0) dan
jari jari
x
2
2 .
titik (1,1).
b. Menentukan persamaan parameter garis singgung dii ti
x ' (t ) = − sin t + cos t
y ' (t ) = − sin t − cos t
Titik (1,1) tercapai ketika t = 0 sehingga x' (0 ) = 1 dan y ' (0) = −1 .
jadi persamaan parameter garis singgung di titik
ik ((1,1) adalah :
x = 1 + t,
y =1− t
36
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER 2000-2001
MA/DA-1324 KALKULUS II
JUM’AT/ 6 APRIL 2001
UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001
(
)
2
1. a. Menentukan solusi khusus persamaan diferensial x 2 + 2 y'+ xy 2 = 0
dengan y (0) = 1
(x
2
+2
)
(x
2
+2
)
−
dy
y
−
2
2
=
2
dy
y2
dy
+ xy 2 = 0
dx
dy
= − xy 2
dx
xdx
(x
=
2
1
2
2
(
d x2 + 2
(x
d (x + 2)
(x + 2)
+2
)
=
2
+2
)
)
2
2
1
2
2
2
1
1
=−
+c
2
y
2 x +2
(
)
Untuk mendapatkan nilai c kita substitusikan kondisi awal y (0) = 1
menghasilkan c =
5
4
sehingga
1
1
5 5x 2 + 8
=−
+
=
y
2 x 2 + 2 4 4x 2 + 8
(
)
Jadi solusi khusus PD yang dimaksud adalah
y=
4x 2 + 8
5x 2 + 8
b. Menentukan solusi umum xy '+2 y =
sin x
x
Kita tuliskan PD dalam bentuk
y '+2
y sin x
= 2
x
x
Agar PD ini dapat diselesaikan terlebih dahulu kita tentukan faktor
integrasinya (I)
I =e
2
dx
x
2
= e 2 ln x = e ln x = x 2
37
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan PD terakhir dengan faktor
integrasi kita peroleh
x 2 y '+2 xy = sin x yang dapat dituliskan dalam bentuk
( )
d yx 2
= sin x atau
dx
( )
d (yx ) =
d yx 2 = sin xdx
2
sin xdx
2
yx = − cos x + c
Jadi solusi umum PD yang dimaksud adalah
y=
c − cos x
x2
2. Diketahui persamaan diferensial y"+2 y '+2 y = r ( x)
a. Menentukan solusi umum jika r ( x) = 0
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah r 2 + 2r + 2 = 0 atau
(r + 1)2 + 1 = 0
(r + 1)2 = −1
(r +1) = ±i
r = −1 ± i
Sehingga Solusi Homogennya adalah y h = e − x (c1 cos x + c 2 sin x ) .
Menurut definisinya, karena r ( x) = 0 maka PD diatas merupakan PD
homogen yang memiliki solusi umum sama dengan solusi
homogennya yaitu y = e − x (c1 cos x + c 2 sin x )
b. Menentukan solusi umum jika r ( x) = e − x sin x
Karena r ( x) ≠ 0 maka menurut definisinya PD ini termasuk dalam
PD nonhomogen yang memiliki solusi umum berupa penjumlahan
dari solusi homogen dan solusi non homogen. Untuk solusi homogen
telah kita dapatkan pada poin sebelumnya. Untuk solusi nonhomogen
y p dipilih y p = xe − x ( A cos x + B sin x ) sehingga
(
)
y p ' = e − x − xe − x ( A cos x + B sin x ) + xe − x (− A sin x + B cos x )
38
(
+ (e
)
(
)
y p " = − e − x − e − x + xe x ( A cos x + B sin x) + e − x − xe− x (− A sin x + B cos x)
−x
)
− xe− x (− A sin x + B cos x) + xe− x (− A cos x − B sin x)
(
−x
)
= −2e ( A cos x + B sin x) + 2 e − x − xe− x (− A sin x + B cos x)
Kemudian kita substitusikan ke dalam PD awal menghasilkan
(
)
− 2e − x ( A cos x + B sin x) + 2 e − x − xe− x (− A sin x + B cos x)...
((
)
)
+ 2 e − x − xe− x ( A cos x + B sin x) + xe− x (− A sin x + B cos x)
−x
−x
+ 2xe ( A cos x + B sin x) = e sin x
jika ruas kiri disederhanakan akan kita peroleh
2e − x (− A sin x + B cos x ) = e − x sin x
− 2 Ae − x sin x + 2 Be − x cos x = e − x sin x
Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua
ruas akan didapat A = − 12 dan B = 0 sehingga solusi nonhomogennya
adalah y p = − 12 xe − x cos x
Jadi solusi umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah
y = e − x (c1 cos x + c 2 sin x ) − 12 xe − x cos x
Alternatif lain kita dapat menggunakan metode variasi parameter
untuk menentukan solusi nonhomogennya. Pada metode ini kita pilih
y p = uy1 + vy 2 dengan
y1 = e − x cos x dan y 2 = e − x sin x sehingga
y1 ' = −e − x cos x − e − x sin x = −e − x (cos x + sin x ) dan
y 2 ' = −e − x sin x + e − x cos x
Untuk mendapatkan u dan v terlebih dahulu kita tentukan
Wronskiannya (W)
W ( y1 , y 2 ) = y1 y 2 '− y1 ' y 2
= −e − 2 x sin x cos x + e − 2 x cos 2 x + e − 2 x sin 2 x + e − 2 x sin x cos x
(
)
= e −2 x cos 2 x + sin 2 x = e −2 x
y r (x )
u=− 2
dx = − sin 2 xdx = 12 (cos 2 x − 1)dx = 14 sin 2 x − 12 x
W
y1 r (x )
v=
dx = sin x cos xdx = 12 sin 2 xdx = − 14 cos 2 x
W
39
Sehingga y p = (14 sin 2 x − 12 x )e − x cos x − 14 .e − x cos 2 x sin x
Jadi solusi umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah
y = e − x (c1 cos x + c 2 sin x ) +
(14 sin 2 x − 12 x )e − x cos x − 14 e − x cos 2 x. sin x
Sekilas solusi umum pada metode variasi parameter berbeda dengan
metode koefisien tak tentu pada poin sebelumnya. Pertanyaannya
apakah ada yang salah dengan matematika kita ? tentu saja tidak.
sekarang mari kita perhatikan
y = e − x (c1 cos x + c2 sin x ) +
(14 sin 2 x − 12 x)e − x cos x − 14 e − x cos 2 x.sin x
= e− x (c1 cos x + c2 sin x ) − 12 xe− x cos x + 14 e− x sin 2 x cos x − 14 e− x cos 2 x. sin x
= e− x (c1 cos x + c2 sin x ) − 12 xe− x cos x + 14 e− x 2 sin x cos2 x − 14 e− x cos 2 x. sin x
= e− x (c1 cos x + c2 sin x ) − 12 xe− x cos x + 14 e− x sin x(cos 2 x + 1) − 14 e− x cos 2 x.sin x
= e− x (c1 cos x + c2 sin x) − 12 xe− x cos x + 14 e− x sin x
(
(
)
)
= e− x c1 cos x + c2 + 14 sin x − 12 xe− x cos x
=e
−x
(c1 cos x + c * sin x) −
1
2
xe− x cos x
Sekarang terlihat bahwa solusi umum pada metode koefisien tak tentu
dan variasi parameter akan memiliki basis penyelesaian yang sama.
3. Materi UAS
4. Diketahui persamaan kurva C di ruang r (t ) = e t cos t i + e t sin t j + t k
a. Menentukan vektor singgung di titik (1,0,0)
Vektor
singgung
untuk
sembarang
nilai
t
adalah
(
) (
)
r ' (t ) = e t cos t − e t sin t i + e t sin t + e t cos t j + k
Titik (1,0,0) dipenuhi jika t = 0 , sehingga vektor singgung pada titik
ini adalah r ' (0) = i + j + k
b. Menentukan persamaan garis singgung pada kurva C di titik (1,0,0)
Persamaan parameter garis singgung di titik (1,0,0) adalah
x = 1 + t , y = t, z = t
40
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 1999/2000
KALKULUS II / DA-1324
JUM’AT 24 MARET 2000
UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000
1. Menentukan solusi khusus dari PD
dy
+ y tan x = 2 sec x, bila y(0) = 2 .
dx
Agar PD ini dapat diselesaikan terlebih dahulu kita tentukan faktor
integrasinya (I)
I =e
tan xdx
= e ln sec x = sec x
Kita kalikan PD awal dengan faktor integrasi ini menghasilkan
dy
sec x + y sec x tan x = 2 sec 2 x yang dapat kita tuliskan dalam bentuk
dx
d ( y sec x )
= 2 sec 2 x
dx
d ( y sec x ) = 2 sec 2 xdx
d ( y sec x ) = 2 sec 2 xdx
y sec x = 2 tan x + c
Sehingga solusi umum dari persamaan diferensial di atas adalah
2 tan x + c
y=
= 2 sin x + c cos x
sec x
Untuk mendapatkan solusi khususnya kita sulihkan kondisi awal y(0) = 2
ke dalam solusi umum menghasilkan c = 2 . Jadi solusi khusus PD yang
dimaksud adalah y = 2(sin x + cos x ) .
2. Diketahui PD : y' '−3 y'+2 y = f ( x)
a. Menentukan solusi khusus PD bila f(x) = 0, y(0) = 3 dan y’(0) = 4
Karena f ( x) = 0 maka menurut definisinya PD ini termasuk ke dalam
PD homogen yang memiliki penyelesaian umum sama dengan solusi
homogennya.
Persamaan karakteristik yang sesuai adalah r 2 − 3r + 2 = 0 atau
(r − 2)(r − 1) = 0 sehingga diperoleh r = 2 atau r = 1 . Jadi solusi umum
PD ini adalah y = y h = c1e x + c 2 e 2 x .
Untuk mendapatkan solusi khususnya kita sulihkan kondisi awal
y (0 ) = 3 dan y ' (0 ) = 4 .
41
y' = c1e x + 2c 2 e 2 x
Dari y (0 ) = 3 diperoleh c1 + c 2 = 3 sedangkan dari y ' (0) = 4 diperoleh
c1 + 2c 2 = 4 jika kedua persamaan ini diselesaikan akan menghasilkan
c 2 = 1 dan c1 = 2 . Jadi solusi khusus PD yang dimaksud adalah
y = 2e x + ce 2 x .
b. Menentukan solusi umum PD bila f ( x) =
ex
ex +1
Karena f ( x) ≠ 0 maka menurut definisinya PD ini menjadi PD non
homogen yang memiliki penyelesaian umum berupa penjumlahan dari
solusi homogen y h dan solusi nonhomogen y p . Untuk solusi
homogen telah kita peroleh pada bagian sebelumnya, sedangkan untuk
solusi nonhomogennya kita pilih y p = uy1 + vy 2 dengan
y1 = e x dan y 2 = e 2 x sehingga
y1 ' = e x dan y 2 ' = 2e 2 x
Untuk mendapatkan u dan v terlebih dahulu kita tentukan
Wronskiannya.
W ( y1 , y 2 ) = y1 y 2 '− y1 ' y 2 = 2e 3 x − e 3 x = e 3 x .
Sehingga
u=−
= − 1−
ex
x
dx = − dx +
e +1
v=
(
)
)
= −x +
y 2 f (x )
e x +1 − e x
1
dx = − x
dx * = −
dx
W
e +1
e x +1
e x dx
(e
x
y1 f (x )
dx
=
dx = x x
W
e e +1
(
x
+1
1
)
(
e
x
−
e +1
1
) = − x + ln(e
d e x +1
1
dx = e − x dx −
x
e +1
x
x
)
+1
dx
e +1
(
)
− x + ln (e + 1)) .
Berdasarkan penyelesaian dari (*) diperoleh v = −e − x − x + ln e x + 1 .
x
Dengan demikian
(
(
x
))
y p = e − x + ln e + 1 + e
2x
(− e
−x
x
Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah
(
(
))
(
(
))
y = c1e x + c 2 e 2 x + e x − x + ln e x + 1 + e 2 x − e − x − x + ln e x + 1
3. Materi UAS
4. Materi UAS
42
5. Diketahui sebuah partikel bergerak sepanjang lengkungan C dengan
vektor posisi F (t ) = 3t + 2t 3 i + 3t 2 j + 3t + t 3 k
a. Menentukan vektor kecepatan dan vektor percepatan partikel di titik
(5,3,4)
Vektor kecepatan dan percepatan untuk sembarang nilai t secara
berturut turut adalah
(
(
)
)
(
(
)
)
v (t ) = F ' (t ) = 3 + 6t 2 i + 6t j + 3 + 3t 2 k
a (t ) = F " (t ) = 12t i + 6 j + 6t k
Titik (5,3,4) dipenuhi ketika t = 1 . sehingga vektor kecepatan dan
percepatan di titik tersebut yaitu
v (1) = 9 i + 6 j + 6 k
a (1) = 12 i + 6 j + 6 k
b. Menentukan cosinus sudut antara vektor kecepatan dan vektor
percepatan partikel di titik (5,3,4)
Misalkan sudut antara vektor kecepatan dan percepatan di titik (5,3,4)
adalah α , maka
v (1) • a (1)
9.12 + 6.6 + 6.6
=
v (1) a (1)
81 + 36 + 36 144 + 36 + 36
180
180
10
=
=
=
153 216
9 17 36 6
102
cos α =
43