University of Lampung | LPPM-UNILA Institutional Repository (LPPM-UNILA-IR)

  ENDOMORFISMA RIGID DAN COMPATIBLE PADA RING DERET PANGKAT TERGENERALISASI MIRING Ahmad Faisol

  Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung

  E-mail: faisol_mathunila@yahoo.co.id Abstract. Given a ring R, a strictly ordered monoid ( , , )

  S ⋅ ≤ and monoid homomorphism : ( ) S End R

  ω → . Constructed the set of all function from S to R whose support is artinian and

narrow, with pointwise addition and the skew convolution multiplication, it becomes a ring called

the skew generalized power series rings (SGPSR) and denoted by

  [[ , , ]] R S ω ≤

  . A ring R is called reduced if it contains no nonzero nilpotent elements, reversible if for all , r s R ∈ , rs = implies sr

  = . Let : R R

  µ → be a ring endomorphism, if for r R

  ∈ , ( ) r r

  µ = implies r

  = , then

  µ is called rigid. If for all , r s R ∈ , = 0 if and only if ( ) = 0

  , then µ is called compatible.

  

In this paper we will discuss about the constructing of SGPSR homomorphism. Beside that, we

also discuss about rigid and compatible endomorphism on SGPSR [[ , , ]] R S ω ≤ .

  Keywords: SGPSR, homomorphism, endomorphism, rigid, compatible.

1. PENDAHULUAN

  ≤ S

  ≤ S dikatakan monoid

  (Elliot dan Ribenboim [4]). Konstruksi RDPTM pertama kali dipublikasikan oleh R. Mazurek dan M. Ziembowski [5]. Ring ini merupakan perumuman dari ring deret pangkat tergeneralisasi yang dikonstruksi oleh Ribenboim [2]. Pada perkembangannya, pembahasan tentang RDPTM oleh R. Mazurek dan M. Ziembowski diawali dengan membahas syarat perlu dan cukup RDPTM merupakan ring uniserial [5]. Pada tahun 2008 dibahas tentang karakterisasi RDPTM sebagai ring Von Neumann [6]. Pada tahun 2010 dibahas tentang weak dimension dan sifat distributif kanan dari RDPTM, serta karakterisasi RDPTM sebagai ring duo, Bézout dan distributif [7]. Selain R. Mazurek dan M. Ziembowski, Renyu Zhao [8] membahas tentang karakterisasi RDPTM sebagai ring-

  < ⇒ < ∈ ∀

  dikatakan monoid terurut tegas jika urutannya compatible tegas, yakni jika ). ' ' )( , ' , ( t s st s s S t s s

  ≤ S

  dan ) , (

  ≤ ⇒ ≤ ∈ ∀

  ) ' ' )( , ' , ( t s st s s S t s s

  compatible yakni jika

  terurut jika S monoid dan “≤ ” relasi urutan

  Himpunan ) , (

  menyatakan S himpunan terurut terhadap urutan parsial ≤ (Adkins [1]).

  (Howie [3]).

  Himpunan tak kosong S dengan operasi biner yang asosiatif disebut semigrup. Jika semigrup S mempunyai elemen identitas, maka S disebut monoid

  S juga Artin dan narrow (Ribenboim [2]).

  narrow , maka sebarang himpunan bagian X ⊂

  Artin dan

  ≤ S

  ) , (

  dikatakan Artin jika setiap barisan turun tegas dari anggota- anggota S selalu berhingga, dikatakan Noether jika setiap barisan naik tegas dari anggota-anggota S selalu berhingga, sedangkan dikatakan narrow jika setiap himpunan bagian S yang terurut trivial berhingga. Jika himpunan

  Suatu relasi biner “≤ ” pada himpunan tak kosong S disebut relasi urutan parsial jika memenuhi sifat refleksif, anti simetris, dan transitif. Suatu urutan parsial ≤ dikatakan total jika sebarang dua anggota yang berbeda pada S dapat diperbandingkan. Jika tidak, maka urutan parsial ≤ dikatakan trivial. Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan suatu urutan parsial disebut himpunan terurut. Untuk selanjutnya notasi ) , (

  Himpunan ) , (

  ≤ S Ahmad Faisol (Endomorfisma Rigid dan Compatible pada Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring)

  APP kiri, sedangkan A. R. Nasr [9] karena , maka

  supp( ) f ⊆ σ (supp( )) f

  membahas tentang RDPTM yang dapat Artin dan narrow. Dengan kata

  supp( ) f dibalik.

  [[ , , ]] Pada publikasi-publikasi sebelumnya, lain f R S . Oleh karena itu,

  ∈ ^{2 2 β ≤ 2}

  belum ada pembahasan mendalam tentang dapat didefinisikan suatu pemetaan homomorfisma RDPTM, sehingga

  : [[ , , ]] [[ , , ]] dengan

  R S R S τ ^{1 1 α ≤ → 1 2 2 β ≤ 2}

  memberikan motivasi untuk membahas .

  τ ( ) f = f

  tentang konstruksi homomorfisma RDPTM. Selain itu, pada makalah ini juga

  Lemma 2.1 [11] Pemetaan

  akan dibahas tentang endomorfisma : R [[ , , S ]] R [[ S , , ]] dengan

  RDPTM yang compatible dan rigid. Sifat- τ ^{1 1 α ≤ → 1 2 2 β ≤ 2} sifat dasar tentang endomorfisma ring yang

  τ ( ) f = f merupakan suatu homomorfisma compatible dan rigid dapat dilihat pada ring.

  makalah yang dibahas oleh E. Hashemi dan

  Bukti: A. Moussavi [10].

  (i) Ambil sebarang

  f g , R [[ , , S ]] , akan ditunjukkan ∈ ^{1 1 α ≤ 1} 2.

   HOMOMORFISMA RDPTM ( f g ) ( ) f ( ) g .

  τ = τ τ + +

  Pada bagian ini akan dibahas tentang homomorfisma RDPTM yang dikonstruksi

  f g f g

  ( )

  τ + = +

  oleh M. Ziembowski [11]. Pada bagian ini

  − f g t t S

  = o ( ) o ( ) ; ∈ ( ) µ σ σ

• 1

  1

  juga dibuktikkan beberapa lemma terkait homomorfisma RDPTM.

  − = ( ) ( )

  f g t

• 1

  µ σ ( )

  ( )

  Misalkan R dan R ring, ( , S ) dan _{1 2 1} ≤ ₁

  − −

  1

  ( S , ) monoid terurut tegas, dan ₂ ≤ ₂

  f t g t

  ( ) ( )

  = µ σ σ ( ) ( )

• 1

  ( )

  misalkan : S End R ( ) dan

  → α −

  1 f t g t ^{1 1} = ( ) ( )

• 1 −

  µ σ µ σ ( ) ( )

  ( ) ( ) : S End R ( ) homomorfisma monoid.

  → β ^{2 2}

  1 − −

  Didefinisikan suatu homomorfisma monoid

  f ( ) t g ( ) t = o o o o

• 1

  µ σ µ σ ( ) ( )

  : S S sedemikian sehingga untuk

  → σ ^{1 2} f g

  = +

  setiap himpunan bagian

  X S yang Artin ⊂ ¹ + f g

  ( ) ( )

  = τ τ

  dan narrow, ( )

  X S juga Artin dan ⊂ σ ² narrow . Selanjutnya didefinisikan suatu

  (ii) Ambil sebarang homomorfisma ring : R R

  µ → _{1 2} f g , R [[ , , S ]] , akan ditunjukkan

  ∈ ≤ _{1 1 α 1}

  sedemikian sehingga untuk setiap s S

  ∈ ₁ ( ) = ( ) ( ) .

  diagram berikut komutatif : ( ) fg fg

  τ = µ

  R R _{1 → 2 1} −

  o ( ) o ( ) ; ( )

  fg t t S = µ σ ∈ σ ¹

  α _{s ↓ ↓ ( ) s} βσ ₁ − µ

  ( ) fg ( ) t

  = µ σ R R _{1 → 2 ( )}

  ( )   f u ( ) g v ( )

  µ α u =   ( )

  ∑

  Untuk sebarang f R [[ , , S ]] ,

  ∈ ≤  _{1 1 α 1 − uv ( ) t} ^{1 } = σ

   

  misalkan f S : R suatu pemetaan yang ₂ → ₂ didefinisikan oleh : ₁

  −

  o o f ( ) t jika t ( ) S

   ∈ µ σ σ ¹ f t ( ) (2.1)

  = 

  selainnya

  

  Jurnal Matematika Vol 17, No. 2, Agustus 2014 : 45-49 _{1 u} -RIGID 3. dan f u ( ) g v ( ) τ τ

• - − _{uv ( ) t}

   RDPTM = µ α

  ( ) ( ) ∑

  COMPATIBLE = σ

  Misalkan R suatu ring. R dikatakan

  f u ( ) g v ( ) = µ µ α u

  ( ) ( ) ( ) ∑

  − ¹ _{uv = ( ) t} tereduksi jika tidak memuat elemen σ

  nilpoten tak nol, dikatakan dapat dibalik

  f u ( ) g v ( ) = µ β ( ) u µ

  ( ) ( ) σ ( )

  ∑ _{1 jika untuk setiap r r , R , maka r r uv ( ) t} − ^{1 2 ∈ 1 2 =} = σ

  mengakibatkan r r . Dan R dikatakan _{2 1 =}

  f u ( ) g v ( ) =

  µ ( ) β ( ) u µ ( ) σ

  ( ) _{( ) ( ) u v t} ∑ σ σ =

  semikomutatif jika r r , maka r Rr _{1 2 = 1 2 =}

  − ^{1 − 1}

  untuk setiap r r , R . Lebih lanjut, setiap

  ( ) ( ) ^{1 2 ∈} f x g y

  = µ σ β µ x σ ∑ ( ) ( )

  ( ) ( ) _{xy t} ( ) = _{1 1} ring tereduksi adalah dapat dibalik dan

  − −

  setiap ring dapat dibalik adalah

  o o f ( ) x o o g ( ) y = µ σ β µ σ _{x xy t} ∑ ( ) ( )

  =

  semikomutatif tetapi secara umum tidak berlaku sebaliknya (Marks, Mazurek dan

  f x ( ) g y ( ) = β x

  ∑ ( ) _{xy t} Ziembowski [12]).

  =

  Misalkan : R R dan : R R

  µ → π → f g

  =

  endomorfisma ring. Jika untuk r R ,

  ∈ ( ) ( ) f g

  = τ τ r ( ) r r

  µ = mengakibatkan , maka µ =

  dikatakan rigid. Suatu ring R dikatakan Dari (i) dan (ii), maka terbukti bahwa

  rigid

  ring − jika terdapat suatu

  µ µ

  pemetaan endomorfisma rigid dari ring R. Sifat-sifat : R [[ , , S ]] R [[ S , , ]]

  τ α ≤ → β ≤ _{1 1 1 2 2 2}

  dari ring rigid dapat dilihat dalam

  µ − merupakan suatu homomorfisma RDPTM.

  Krempa [13]. Sebarang endomorfisma

  rigid dari suatu ring adalah monomorfisma

  dan ring rigid adalah tereduksi. Suatu

  µ − Lemma 2.2 [11] compatible

  ring R dikatakan − jika

  µ Misalkan

  untuk setiap r r , R , r r jika dan _{1 2 1 2} ∈ = : R [[ , , S ]] R [[ S , , ]] suatu

  τ ^{1 1 α ≤ → 1 2 2 β ≤ 2}

  hanya jika r ( ) r . Lebih lanjut, ring R ₁ µ = ₂

  homomorfisma RDPTM. Jika : R R µ ^{1 → 2}

  dikatakan compatible jika untuk setiap

  π − monomorfisma, maka

  , , jika dan hanya jika : R [[ , , S ]] R [[ S , , ]] juga r r R r r

  τ ^{1 1 α ≤ → 1 2 2 β ≤ 2 1 2 ∈ 1 2 =}

monomorfisma. ( ) . Jika R compatible

r r µ − _{1 π 2 =}

  Bukti :

  sekaligus − compatible , maka R

  π

  Ambil sebarang f g , R [[ , , S ]] , akan

  ∈ ≤ _{1 1 α 1}

  dikatakan ( , ) compatible . Suatu ring

  µ π −

  ditunjukkan injektif. Andaikan

  τ rigid R adalah − jika dan hanya jika R

  µ

  ( ) ( )

  f = g , maka berdasarkan (1) jelas τ τ

  adalah ( , ) compatible dan tereduksi _{1 1} µ π −

  − −

  bahwa o o f ( ) t o o g ( ) t

  µ σ = µ σ untuk (Hashemi dan Moussavi [10]).

  setiap t ( ) S . Dengan kata lain ₁ ∈ σ _{1 1}

  − − Lemma 3.1 Misalkan endomorfisma

  τ f t g t . Karena

  µ σ ( ) = µ σ ( ) µ ( ) ( )

  ( ) ( ) R S RDPTM [[ , , ]] ≤ , maka berlaku :

  ω

  merupakan monomorfisma, maka

  (i) rigid, maka R S [[ , , ]] τ ω ≤ _{1 1} Jika

  − − f σ ( ) t g σ ( ) t . Jadi diperoleh

  = ( ) ( ) tereduksi. f g , dengan kata lain terbukti injektif

  = R S [[ , , ]]

  τ (ii) ω ≤ tereduksi, maka Jika

  atau merupakan monomorfisma. R S [[ , , ]]

  τ ≤ dapat dibalik.

  ω (iii) rigid, maka R S [[ , , ]]

  ω ≤ Jika τ dapat dibalik.

  47

  τ τ τ = = .

  ω ∈ ≤ , berakibat

  τ =

  jika dan hanya jika ( ) g f

  τ = .

  Proposisi

  3.2 Diberikan τ

  ω ≤ .

  τ compatible jika dan hanya jika untuk setiap

  , [[ , , ]] f g R S

  ( ) f g

  ω ∈ ≤

  τ = jika dan hanya jika fg

  = .

  Bukti:

  Ambil sebarang , [[ , , ]] f g R S

  ω ∈ ≤ .

  Misalkan ( ) f g

  τ = , maka diperoleh

  ( ) ( ) ( ) g f gf gf gf

  , ( ) f g

  sebarang , [[ , , ]] f g R S

  Akibatnya

  dan _{2 2} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ( )) 0 f gf g f g f g f g f g

  τ =

  , maka ( ) ( ) ( ) fg f g fg fg

  τ τ τ = = . Karena τ rigid , maka fg

  =

  . Selanjutnya, dari (iii) diperoleh

  gf = . Akibatnya

  ( ) gf

  τ =

  τ τ τ τ τ τ τ τ = = =

  ω ≤ rigid, maka untuk

  Karena

  τ

  rigid, maka ( ) f g

  τ = .

  Jadi terbukti bahwa, jika

  τ

  endomorfisma RDPTM

  [[ , , ]] R S

• -rigid endomorfisma RDPTM [[ , , ]] R S

  ( ) ( ) ^{2 2}

  Di sisi lain, jika ( ) g f

  ω ∈ ≤

  Karena

  τ rigid , maka ( ) f g

  τ = .

  Jadi terbukti bahwa, jika

  τ

  rigid, maka

  τ compatible jika dan hanya jika untuk setiap

  , [[ , , ]] f g R S

  , ( ) f g

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g f f f g f g f g f g

  τ =

  jika dan hanya jika fg

  = .

  Proposisi

  3.3 Diberikan τ

  [[ , , ]] R S ω ≤ .

  Pernyataan berikut ini ekuivalen : (a) τ adalah rigid.

  (b) τ compatible dan [[ , , ]] R S

  τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = =

  ( ) ²

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 gf gf gf gf gf gf gf gf

  τ rigid , maka gf

  τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = = =

  Selanjutnya, karena

  τ rigid

  , maka ( ) gf

  τ =

  yang berakibat ( ) gf gf

  τ = .

  Dan karena

  = . Oleh

  τ = .Akibatnya,

  karena itu, berdasarkan Lemma 3.1 (iii) diperoleh

  fg = .

  Di lain pihak, jika fg

  =

  , maka ( ) f g

  τ =

  . Karena

  τ

  dapat dibalik, maka diperoleh ( ) g f

• -rigid endomorfisma RDPTM

  rigid, maka ( ) g f

  τ = .

  Misalkan

  berakibat f

  = .

  Jadi terbukti bahwa jika

  τ

  rigid, maka [[ , , ]] R S

  ω ≤ tereduksi.

  (ii) Ambil sebarang , [[ , , ]]

  f g R S ω ∈ ≤ .

  fg = , maka

  rigid, maka ( ) f f

  ( ) ( )( ) g fg f gf gf

  = =

  . Karena [[ , , ]] R S

  ω ≤

  tereduksi, akibatnya gf

  = .

  Jadi terbukti bahwa jika [[ , , ]]

  R S ω

  τ = yang

  τ

  tereduksi, maka [[ , , ]] R S

  (i) Ambil sebarang [[ , , ]] f R S

  Ahmad Faisol (Endomorfisma Rigid dan Compatible pada Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring) (iv) Jika

  τ rigid, maka untuk sebarang

  , [[ , , ]] f g R S

  ω ∈ ≤ , ( ) f g

  τ = jika dan hanya jika

  ( ) g f

  τ = .

  Bukti:

  ω ∈ ≤

  . Karena

  dan misalkan

  ff = . Karena τ

  endomorfisma, maka ( ) ( ) ( ) ff f f

  τ τ τ = =

  . Selanjutnya diperoleh

  ( ) ²

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f

  τ τ τ τ τ τ = =

  ≤

  ω ≤ dapat dibalik.

  τ

  . Karena

  , akan ditunjukkan ( ) f g

  τ = jika dan

  hanya jika ( ) g f

  τ =

  . Misalkan ( ) f g

  τ = , maka

  ( ) ( ) ( ) gf g f gf gf

  τ τ τ = =

  τ rigid , maka gf

  (iv) Ambil sebarang , [[ , , ]] f g R S

  = . Selanjutnya, dari (iii)

  diperoleh fg

  =

  . Akibatnya ( ) fg

  τ =

  dan _{2 2} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 0 g fg f g f g f g f g f

  τ τ τ τ τ τ τ τ = = =

  Karena

  ω ∈ ≤

  ω ≤ dapat dibalik.

  (iii) Ambil sebarang [[ , , ]] f R S ω ∈ ≤ .

  ( ) ²

  Misalkan fg

  =

  , maka ( ) ( ) ( ) fg f g

  τ τ τ = = . Selanjutnya

  diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  g f g f gf gf τ τ τ τ τ τ

  = = , yang

  berakibat

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gf gf gf gf gf gf gf gf

  rigid, maka [[ , , ]] R S

  τ τ τ τ τ τ = =

  Karena

  τ

  rigid, maka ( ) gf gf

  τ =

  yang juga berakibat

  gf = .

  Jadi terbukti bahwa jika

  τ

  ω ≤ tereduksi.

  Jurnal Matematika Vol 17, No. 2, Agustus 2014 : 45-49

  , maka

  f f τ = yang

  Oleh karena itu, diperoleh ( )

  τ τ τ τ τ τ τ τ τ = = =

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f f f f f

  ( ) ^{2 2}

  . Akibatnya

  τ τ τ τ = =

  ( ) ( ) ( ) f f f f

  ( ) ²

  τ =

  = .

  Jika ( ) f f

  ⇒

  ) ( c a

  ( )

  = .

  τ = , maka f

  ( ) f f

  ω ∈ ≤ , jika

  [[ , , ]] f R S

  ≤ tereduksi, maka untuk setiap

  juga berakibat f

  Jadi terbukti jika untuk setiap [[ , , ]] f R S

  compatible dan [[ , , ]]

  [4] G.A. Elliot, P. Ribenboim, (1990), Fields of Generalized Power Series, Arch. Math. 54 : 365-371.

  Soc. 81 : 361–397.

  Ziembowski, (2010), A unified approach to various generalizations of Armendariz rings, Bull. Austral. Math.

  [12]G. Marks, R. Mazurek, M.

  Gaussian rings and related topics, University of Edinburgh.

  Polynomial extensions of quasi-Baer rings, Acta Math. Hungarica, 107(3) : 207–224. [11] M. Ziembowski, (2010), Right

  [8] R. Zhao, (2010), Left app-rings of skew generalized power series. [9] A. R. Nasr-Isfahani, (2010), Reversible skew generalized power series rings. [10] E. Hashemi, A. Moussavi, (2005),

  [7] R. Mazurek, M. Ziembowski, (2010), Weak dimension and right distributivity of skew generalized power series rings, Journal of the Mathematical Society of Japan .

  Algebra 36 (5) : 1855–1868.

  On von Neumann regular rings of skew generalized power series, Comm.

  [5] R. Mazurek, M. Ziembowski, (2007), Uniserial rings of skew generalized power series, J. Algebra 318 : 737– 764. [6] R. Mazurek, M. Ziembowski, (2008),

  Inc., London.

  ω ∈ ≤

  [3] J.M. Howie, (1976), An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press

  Semigroups and Universal Algebra , Plenum Press , New York, 271-277.

  [2] P. Ribenboim, (1990), Generalized Power Series Rings, In Lattice,

  Algebra An Approach Via Module Theory , Springer-Verlag, New York

  [1] W.A. Adkins, S.H. Weintraub, (1992),

  4. DAFTAR PUSTAKA

  τ rigid.

  , maka

  τ = → =

  , ( ) f f f

  R S ω

  τ

  49 (c) Untuk setiap

  . Akibatnya diperoleh ( ) ( ) ( ) fg f g fg fg

  Karena

  τ τ τ τ τ τ τ τ = = =

  diperoleh ₂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 0 f g g f g f g f g f

  τ = . Akibatnya

  ( ) fg

  fg = , maka

  . Di lain pihak, jika

  =

  τ τ τ = = . Karena τ rigid , maka fg

  τ =

  τ =

  ( ) g f

  τ = , maka

  Jika ( ) f g

  ⇒

  ) ( a b

  Bukti : ( )

  τ = , maka f = .

  ( ) f f

  ω ∈ ≤ , jika

  [[ , , ]] f R S

  τ rigid , maka ( ) g f

  yang berakibat ( ) f g

  Jadi terbukti jika

  b c ⇒

  = .

  ω ≤ tereduksi, berakibat f

  . Dan karena [[ , , ]] R S

  =

  τ = . Karena τ compatible , maka diperoleh ff

  Akibatnya ( ) f f

  = = = .

  ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f f τ τ τ τ

  τ = , maka ( ) ²

  Jika ( ) f f

  ) (

  τ = . Jadi terbukti jika τ

  ( )

  ω ≤ tereduksi.

  τ compatible dan [[ , , ]] R S

  rigid, maka

  τ

  Jadi terbukti jika

  ω ≤ tereduksi.

  Selanjutnya, dari Lemma 3.1 (i) jelas [[ , , ]] R S

  τ compatible.

  adalah rigid, maka

  [13] J. Krempa, (1996), Some examples of reduce rings, Algebra Colloq., 3 : 289–300.