129
Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas I X
Kata Kunci
• Akar • Basis
• Eksponen • Faktor
• Pangkat • Sekawan
5. Sederhanakanlah bentuk berikut ini
Dalam proses matematika, penulisan bilangan, baik dalam bentuk penjumlahan maupun perkalian yang relatif
panjang, perlu dipermudah. Hal ini sebenarnya dapat dilakukan dengan cara eksponesial, yaitu suatu bentuk
yang menunjukkan pada pangkat berapa bilangan itu herus diperbanyak untuk menghasilkan suatu
bilangan tertentu.
A. Pangkat Bilangan Bulat
1. Pangkat Bulat Positif
Seringkali kita menemukan suatu operasi yang merupakan perkalian berulang dari sebuah bilangan yang sama.
Misalnya: 1. 3 × 3 × 3
2. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 3. –4 × –4 × –4 × –4 × –4
Kita memerlukan suatu notasi singkat yang dapat menyatakan operasi tersebut. Notasi singkat itu ditemukan pertama kali oleh Rene Descartes 1596
– 1650, yang disebut dengan notasi eksponen atau notasi pangkat. Sehingga:
1. 3 × 3 × 3 = 3
3
2. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2
6
3. –4 × –4 × –4 × –4 × –4 = –4
5
Bentuk a
n
dibaca: a pangkat n disebut bilangan berpangkat a dinamakan bilangan pokok atau basis dan n dinamakan pangkat atau eksponen.
Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif, a
n
didefinisikan sebagai hasil perkalian a sebanyak n, yaitu:
a
n
= a × a × a × . . . × a sebanyak n faktor
}
Di unduh dari : Bukupaket.com
130
Bab 5
Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
untuk n = 1 , a
1
= a
Contoh
Tentukanlah hasilnya a. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 32
b.
c. –5
4
= –5 × –5 × –5 × –5 = 625
d. –4 = –4 × 4 × 4 = –64
Berikut ini adalah sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif dimana a, b, bilangan real m, n, bilangan bulat positif.
1. a
m
x a
n
= a
m+n
2. b
m
: b
n
= b
m–n
untuk m n dan b ≠ 0
3. a
m n
= q
mn
4. ab
m
= a
m
b
m
5. , untuk b
≠ 0
Cobalah buktikan sifat-sifat bilangan bulat positif tersebut Buatlah contoh- nya
2. Pangkat Bulat Negatif
Pada sifat bilangan bulat b
m
: b
n
= b
m–n
, bagaimana apabila m n, m, n bilangan bulat positif, b bilangan real, b
≠ 0? Perhatikanlah contoh berikut: 3
2
: 3
3
= 3
2–3
= 3
–1
Berapakah hasil perkalian 3 sebanyak –1?
Kegiatan
Di unduh dari : Bukupaket.com
131
Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas I X
Definisi a
–n
= 1
a
n
Contoh di atas merupakan contoh dari sifat bilangan berpangkat bulat. a
m
: a
n
= a
m – n
untuk a ≠ 0
Contoh
Sederhanakanlah pembagian bilangan berpangkat berikut dengan menggunakan sifat pembagian dan
dengan definisi bilangan berpangkat. a. 3
4
: 3
6
b. 2
2
: 2
5
Penyelesaian:
Dari contoh tersebut dapat disimpulkan: Untuk
a R, a
≠ 0 berlaku: a
–n
= 1
a
n
atau a
n
= 1
a
-n
a
–n
disebut pangkat bulat negatif dan disebut pangkat tak sebenarnya. 3. Pangkat Nol
Telah diketahui sebelumnya bahwa a
n
adalah bentuk perkalian a sebanyak n dimana a
≠ 0 dan n bilangan bulat positif. Bagaimana apabila n = 0? Apakah a
dapat diarahkan perkalian a sebanyak 0? Perhatikanlah penjelasan berikut Dengan menggunakan sifat a
m
: a
n
= a
m – n
, apabila m = n a
3
: a
3
= a
3 – 3
= a
I nfo Plus
Untuk menyederhanakan penulisan bilangan yang
biasanya digunakan untuk bilangan sangat besar
atau juga yang sangat kecil, biasanya digunakan
penulisan dalam bentuk baku, yaitu:
a × 10
n
dengan 1 ≤ a 10
dan n bilangan bulat Contoh:
345 = 3,45 × 10
2
123.400.000 = 1,234 × 10
8
0,5 = 5 × 10
–1
0,000432 = 4,32 × 10
–4
Di unduh dari : Bukupaket.com
132
Bab 5
Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
a
3
: a
3
= = 1
Jadi, a = 1
Contoh
1. 3
5
: 3
5
= 3
5 – 5
= 3 3
5
: 3
5
= = 1
Jadi, 3
= 1 2. 4
3
: 4
3
= 4
3 – 3
= 4 4
3
: 4
3
= = 1
Jadi, 4
= 1 Untuk setiap a
R, a ≠ 0, maka berlaku a
= 1
Diskusikan
Bersama dengan teman sebangku kalian, selidiki: 1. a
m
x a
n
= . . . . a.
m = –n, a bilangan real b. –m = n, a bilangan real
2. a
m n
= . . . . a.
m = 0 dan n bilangan real c. m = 0 dan n = 0
b. m bilangan real dan n = 0
Dari hasil diskusi di atas buat kesimpulan kalian
Uji Kompetensi
Kerjakanlah pada buku latihan 1. Tulislah bentuk-bentuk di bawah ini dalam bentuk pangkat bulat positif
a. 3
–2
d. 3
a
2
. b
–3
g. b.
5
–3
e. x
–2
. b
–4
h. c.
a
–2
f. 2
–1
. a
–3
. b i.
Tokoh
Ahli matematika Prancis yaitu Rene Descartes 1596
-1650 adalah orang yang pertama kali mengenalkan
penggunaan notasi pangkat a
2
, a
3
, dan sebagainya pada tahun 1637.
Sumber: Encarta, 2004
Di unduh dari : Bukupaket.com
133
Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas I X
2. Hitunglah a. 3
–2
c. e. 2
–6
b. 8 . 2
–2
d. f.
12 .
3
–3
3. Hitunglah
B. Bilangan Pecahan Berpangkat dan Bilangan Ber- pangkat Pecahan
