SUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN k-PSEUDONONSPREADING SEJATI DI RUANG HILBERT

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 52 – 60

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

SUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN

k-PSEUDONONSPREADING SEJATI DI RUANG

  

HILBERT

DESI RAHMADANI

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

  

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

desi.rahmadani39@gmail.com

Abstract.

  Let C be a subset of a real Hilbert space H. Let T : H → H be a strictly k-pseudononspreading mapping with a nonempty fixed point set. Let ω ∈ [k, 1) be fixed.

  N i i

Let {T } be N k -strictly pseudononspreading mappings. In this paper, we study the

i=1

relationship between of a fixed point set of a k -strictly pseudononspreading mapping and

other forms of certain combinations of some k-strictly pseudononspreading mappings in

Hilbert space.

  Kata Kunci : k-strictly pseudononspreading mapping, Hilbert space.

  1. Pendahuluan

Teori ruang Hilbert pertama kali diperkenalkan oleh David Hilbert pada tahun

1909. Kajian ini mengawali penelitian dalam bidang analisis fungsional di ruang

berdimensi tak hingga, yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang Hilbert.

Selanjutnya, John Von Naumann merumuskan sifat-sifat teori ruang Hilbert dan

mengembangkan teori baru dari operator-operator dalam ruang Hilbert.

  Dalam [7], Osilike dan Isiogugu memperkenalkan suatu pemetaan baru yang

disebut dengan pemetaan k-pseudononspreading sejati. Misalkan T : C → H, C

adalah suatu himpunan bagian tak kosong, tertutup dan konveks dari ruang Hilbert

riil H. Pemetaan T dikatakan pemetaan k-pseudononspreading sejati jika terdapat

k ∈ [0, 1) sedemikian sehingga

  2

  2

  2

  kT x − T yk ≤ kx − yk

• kkx − T x − (y − T y)k + 2hx − T x, y − T yi, ∀x, y ∈ C.

  (1.1)

Sedangkan T dikatakan pemetaan k-pseudocontraction sejati jika terdapat k ∈ [0, 1)

sedemikian sehingga

  2

  2

  2

  kT x − T yk ≤ kx − yk

• kkx − T x − (y − T y)k , ∀x, y ∈ C (1.2) Dalam makalah ini akan dikaji hubungan himpunan titik tetap dari suatu

  N i i }

  

pemetaan k -pseudononspreading sejati {T i=1 dengan bentuk-bentuk kombinasi

tertentu dari beberapa pemetaan k-pseudononspreading sejati di ruang Hilbert yang

  Titik Tetap Pemetaan k-pseudononspreading di Ruang Hilbert

  

(1) Terdapat titik tetap dan hubungan titik tetap dari pemetaan k

• i

  N i

  pseudocontraction sejati {T } dengan bentuk-bentuk kombinasi tertentu dari

  i=1 beberapa pemetaan tersebut di ruang Hilbert [1].

  

(2) Terdapat titik tetap pada pemetaan k-pseudononspreading sejati dan menun-

jukkan bahwa titik tetap ini merupakan solusi untuk suatu masalah optimasi [2].

  2. Kajian Titik Tetap Pemetaan k-pseudononspreading Sejati di Ruang Hilbert

Sebelum mengkaji bukti dari hubungan himpunan titik tetap dari suatu pemetaan

  N

  

k i -k-pseudononspreading sejati {T i } dengan bentuk-bentuk kombinasi tertentu

  i=1

  

dari beberapa pemetaan k-pseudononspreading sejati di ruang Hilbert, akan dibuk-

tikan beberapa lema berikut.

Lema 2.1. [3] Misalkan H adalah ruang Hilbert riil. Maka pernyataan berikut

berlaku:

  2

  2

  2

  2

  

(1) ktx + (1 − t)yk = tkxk + (1 − t)kyk − t(1 − t)kx − yk , ∀x, y ∈ H, ∀t ∈ [0, 1],

  2

  2 (2) kx − yk ≤ kxk + 2hy, x + yi, ∀x, y ∈ H.

  Bukti.

  2

  2

  2

  2

(1) ktx + (1 − t)yk = tkxk + (1 − t)kyk − t(1 − t)kx − yk , ∀x, y ∈ H, ∀t ∈ [0, 1].

  2

  ktx + (1 − t)yk = htx + (1 − t)y, tx + (1 − t)yi = htx, txi + 2htx, (1 − t)yi + h(1 − t)y, (1 − t)yi

  2

  = t hx, xi + 2htx, (y − ty)i + hy − ty, y − tyi

  2

  = t hx, xi + 2(htx, yi − htx, tyi) + hy, yi − 2thy, yi + hty, tyi

  2

  2

  = t hx, xi + 2thx, yi − 2t hx, yi + hy, yi − 2thy, yi + hty, tyi

  2 = thx, xi + hy, yi − thy, yi − (t − t )(hx, xi + 2hx, yi + hy, yi).

  2

  = thx, xi + hy, yi − thy, yi − (t − t )hx − y, x − yi = thx, xi + (1 − t)hy, yi − t(1 − t)hx − y, x − yi

  2

  2

  2

= tkxk + (1 − t)kyk − t(1 − t)kx − yk .

  2

  2 (2) kx − yk ≤ kxk + 2hy, x + yi, ∀x, y ∈ H.

  2

  kx − yk = hx − y, x − yi = hx, xi − 2hx, yi + hy, yi ≤ hx, xi + 2hx, yi + 2hy, yi, = hx, xi + 2hy, x + yi,

  2

  = kxk + 2hy, x + yi,

  2

  2 sehingga, kx − yk ≤ kxk + 2hy, x + yi, ∀x, y ∈ H.

  Berikut adalah lema yang menjelaskan hubungan dari suatu pemetaaan k-

pseudononspreading dengan suatu bentuk pemetaan k-pseudononspreading yang

  Desi Rahmadani

Lema 2.2. [3] Misalkan C merupakan himpunan bagian dari ruang Hilbert riil H,

dan misalkan T : H → H merupakan suatu pemetaan k-pseudononspreading sejati

dengan suatu himpunan titik tetap tak kosong. Misalkan ω ∈ [k, 1) ditetapkan dan

  ω

  didefinisikan T : C → C dengan T ω x = (1 − ω)T x + ωx, ∀x ∈ C. (2.1)

  ω maka F (T ) = F (T ).

  ω ω

  

Bukti. Misalkan T x = (1−ω)T x+ωx, atau dapat ditulis x−T x = (1−ω)(x−T x),

∀x ∈ C.

  ω ω ω

  

(i) Akan dibuktikan F (T ) ⊂ F (T ). Misalkan x ∈ F (T ) dengan x = T x. Dari

persamaan (2.1) diperoleh

  ω

  T x = (1 − ω)T x + ωx x = (1 − ω)T x + ωx x = (1 − ω)T x + ωx

x − ωx = (1 − ω)T x

  

(1 − ω)x = (1 − ω)T x.

Karena (1 − ω) 6= 0, maka x = T x. Sehingga terbukti x ∈ F (T ).

  ω

  

(ii) Akan dibuktikan F (T ) ⊆ F (T ). Misalkan x ∈ F (T ) dengan x = T x. Dari

persamaan (2.1) diperoleh

  ω

  T x = (1 − ω)T x + ωx

  ω

  T x = (1 − ω)x + ωx

T ω x = x − ωx + ωx

T ω x = x.

  ω ω Karena T x = x, maka terbukti x ∈ F (T ).

  Dari (i) dan (ii), dapat disimpulkan F (T ω ) = F (T ).

  Lema 2.1 dan Lema 2.2 digunakan dalam pembuktian Teorema 2.3, yang meru-

pakan bahasan utama dalam makalah ini. Teorema tersebut mengkaji hubungan

titik tetap dari N pemetaan k − pseudononspreading sejati di ruang Hilbert. Teorema 2.3.

  Asumsikan C adalah himpunan bagian konveks tertutup dari ruang Hilbert riil H.

(a) Diberikan suatu bilangan bulat N ≥ 1, asumsikan T i : H → H adalah

  i i

  suatu pemetaan k − pseudononspreading sejati, untuk suatu k ∈ [0, 1),

  N i

  (i = 1, 2, . . . , N ). Misalkan {λ } adalah suatu barisan positif sedemikian

  i=1 N

  P N

  i i

  sehingga λ = 1. Jika {T } i=1 memiliki suatu titik tetap bersama dan

  i=1 N

  T

  i

  F (T ) 6= ∅, maka

  i=1 N N

  

X \

  i i i

  F ( λ T ) = F (T ). (2.2)

  i=1 i=1

  2

  2

  1 x) − (x − T 2 x)k

  2

  = (1 − λ)(kz − xk

  2

  1 )k

  2

  ) + λ(kz − xk

  2

  2 )k

  2

  

) − λ(1 − λ)kx(I − T

  1 ) − x(I − T 2 )k

  = (1 − λ)(kz − xk

  2

  2

  1

  

xk

  2

  ) + λ(kz − xk

  2

  2

  xk

  2

  ) − λ(1 − λ)kV

  1

  x − V

  2

  ) − λ(1 − λ)k(x − T

  2 xk

  2

  1

  2

  2

  xk

  2

  − λ(1 − λ)kT

  1

  x − T

  2

  xk

  2

  ≤ (1 − λ)(kz − xk

  2

  xk

  2

  2

  ) + λ(kz − xk

  2

  2 xk

  2

  ) − λ(1 − λ)kT

  1 x − T 2 xk

  2

  = (1 − λ)(kz − xk

  2

  1 xk

  2

  ) + λ(kz − xk

  x)k

  = kz − xk

  1

  2

  1

  x − V

  2

  x)k

  2

  = kz − xk

  2

  1

  

xk

  2

  2

  xk

  ] − λ(1 − λ)kV

  2

  1

  x − V

  2

  xk

  2

  , mengakibatkan

  1

  2

  2

  ≤ k[(1 − λ)kV

  1

  2

  2

  − λ(1 − λ)kV

  xk

  2

  − λ(1 − λ)kV

  1

  xk

  2

  − λkz − xk

  2

  − λkkV

  1

  xk

  2

  2

  2

  xk

  2

  1

  2

  x − V

  2

  x)k

  2

  = kz − xk

  2

  1

  xk

  2

  

− λkkV

  1

  xk

  2

  xk

  = (1 − λ)kz − T

  Titik Tetap Pemetaan k-pseudononspreading di Ruang Hilbert (b) Asumsikan T

  2 i=1

  i

  T

  i

  ) = T N

  i=1

  F (T

  i ).

  (a1) Akan dibuktikan benar untuk n = 2, yakni T

  2 i=1

  F (T

  i

  ) = F ( P

  λ

  i=1

  i

  T

  i ).

  Pertama-tama, akan dibuktikan bahwa T

  2 i=1

  F (T

  i

  ) ⊆ F ( P

  2 i=1

  λ

  i

  T

  i

  λ

  (a) Akan dibuktikan bahwa F ( P N

  2 i=1

  i

  i

  : H → H adalah suatu pemetaan k

  i

  − pseudononspreading sejati untuk suatu k

  i

  ∈ [0, 1), (i = 1, 2, ..., N). Misalkan T

  ωi

  = (1 − ω

  i

  )I + ω

  i

  T

  , 1 ≤ i ≤ N. Jika F (T

  ). (2.3) Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan Induksi Matematika [3].

  i

  ) 6= ∅ maka F (T

  ω1

  T

  ω2

  ...T

  ωN

  

) =

  N

  \

  i=1

  F (T

  ωi

  ), den- gan 0 < λ < 1. Misalkan x ∈ T

  F (T

  2

  λ

  x, = (1 − λ)T

  1

  x + λT

  2 x.

  Sehingga jelas bahwa x ∈ F ( P

  2 i=1

  λ i T i ). Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa F ( P

  2 i=1

  λ i T i ) ⊆ F (T

  1 ) ∩ F (T 2 ). Mis-

  alkan x ∈ F ( P

  2 i=1

  i

  x + λT

  T

  i

  ), tetapkan V

  1 = I − T 1 dan V 2 = I − T 2 , dengan

  0 < λ < 1. Ambil sebarang z ∈ F (T

  1 ) ∩ F (T 2 ). Perhatikan bahwa

  kz − xk

  2

  = k(1 − λ)(z − T

  1

  x) + λ(z − T

  2

  x)k

  2

  1

  i

  2

  ) = (F (T

  1

  ) ∩ F (T

  2

  )), ini berarti x ∈ F (T

  1

  ) dan x ∈ F (T

  2

  ). Karena x ∈ F (T

  1

  ) maka x = T

  1

  x dan x ∈ F (T

  ) maka x = T

  x − λT

  2

  x. Dengan perkataan lain x = T

  1

  x = T

  2

  x. Perhatikan hubung- an berikut: x = x − λT

  1 x + λT 1 x,

  = x − λT

  1

  x + λT

  2

  x, = T

  1

• + λkz − T

• kkx − T
• kkx − T
• kkx − T
• kkx − T

• + kkx(I − T

• kkx(I − T
• kkV
• kkV
• kkV
• λkz − xk
• λkkV
• kkV
• λkkV
• k[(1 − λ)kV
• λkV

Desi Rahmadani

  1 Persamaan (2.4) akan berlaku untuk suatu k ∈ [0, 1) jika (1 − λ)V x −

  2

  λV x = 0, dengan menggunakan Lema 2.1(1) diperoleh

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  (1 − λ)kV xk + λkV xk = λ(1 − λ)kV x − V xk . (2.5) Persamaan (2.4) dan persamaan (2.5) mengakibatkan:

  2

  1 2 ≤ 0

  (1 − k)λ(1 − λ)kV x − V xk (2.6)

  1

  2

  karena 0 < λ < 1 dan k < 1, dari persamaan (2.6) diperoleh kV x−V xk =

  1

  2

  1

  2

  0, yang mengakibatkan T x = T x. Karena (1 − λ)T x + λT x = x maka

  1

  2

  1

  2 T x = T x = x. Ini berarti x ∈ F (T ) ∩ F (T ).

  (a2) Asumsikan pernyataan benar untuk n = N − 1, sehingga

  N

  1 N

  1 − −

  \

  

X

  i i i

  F (T ) = F ( λ T ),

  i=1 i=1

  yang berarti bahwa

  N

  1 N

  1 N

  1 N

  1 − − − −

  \

  X X \

  i i i i i i F (T ) ⊆ F ( λ T ) dan F ( λ T ) ⊆ F (T ). i=1 i=1 i=1 i=1 (a3) Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk n = N .

  N N

  T P

  i i i

  Akan dibuktikan bahwa i=1 F (T ) ⊆ F ( i=1 λ T ), dengan 0 < λ <

  N N

  T T

  i i

  1

1. Misal-kan x ∈ i=1 F (T ) = i=1 F (T ), ini berarti x ∈ F (T ), x ∈

  2 N

  F (T ), . . . , x ∈ F (T ). Hal ini mengakibatkan

  1

  1

  x ∈ F (T ) ⇒ x = T x,

  2

  2

  x ∈ F (T ) ⇒ x = T x, ..

  . x ∈ F (T N ) ⇒ x = T N x.

  1

  2 N

  Dengan perkataan lain, x = T x = T x = . . . T x. Perhatikan hubungan berikut: x = x − (λ

  1 T 1 x + λ

  2 T 2 x + . . . + λ N T N 1 x) + (λ

  1 T 1 x + λ

  2 T 2 x + . . . + λ N

  1 T N 1 x) − − −

  = T N x − λ

  1 T 1 x − λ

  2 T 2 x − . . . − λ N

  1 T N 1 x + (λ

  1 T 1 x + λ

  2 T 2 x + . . . + λ N

  1 T N 1 x) − − − −

  = [1 − (λ

  1 + λ 2 + λ 3 + . . . + λ N 1 )]x + (λ 1 + λ 2 + λ 3 + . . . + λ N 1 )T N x, − −

  N N

  = (λ

  1 T 1 + λ

  2 T 2 + λ

  2 T 2 + . . . + λ T )x.

  N

  P

  i i Sehingga terbukti bahwa x ∈ F ( i=1 λ T ).

  N N

  P T

  i i i

  Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa F ( i=1 λ T ) ⊆ i=1 F (T ). Mis-

  N

  P

  i i

  alkan x ∈ F ( i=1 λ T ), atau dengan perkataan lain

  1

  1

  2

  2 N N

  1

  1

  2

  2 N

  1 N

  1 N N x = (λ T +λ T +. . .+λ T )x = (λ T +λ T +. . .+λ T )x+λ T . − −

  N

  T

1 N 2 i Tetapkan V = I − T dan V = I − T . Ambil sebarang z ∈ i=1 F (T ).

  1

  1

  2

  2 N N

  Dari (a2) diperoleh x = (λ T + λ T + . . . + λ T )x. Misalkan

  N

  1 −

  X

  1

  1

  2

  2 N

  1 N 1 i T = (λ T + λ T + . . . + λ T ) = ( T )x. − − Titik Tetap Pemetaan k-pseudononspreading di Ruang Hilbert Maka,

  N

  1 −

  X

  2

  2

  kz − xk i N

= k(1 − λ)(z − T x) + λ(z − T x)k

  i=1

  2

  2 N

  = (1 − λ)kz − T xk + λkz − T xk −

  2 N

  λ(1 − λ)kT x − T xk

  2

  2

  2

  ≤ (1 − λ)(kz − xk + + kkx − T xk ) + λ(kz − xk

  2

  2 N N

  

kkx − T xk ) − λ(1 − λ)kT x − T xk

  2

  2

  2

• = (1 − λ)(kz − xk + kkx − T xk ) + λ(kz − xk

  N

  2

  2 N

  kkx − T xk ) − λ(1 − λ)k(x − T x) − (x − T x)k

  2

  2

  2

• = (1 − λ)(kz − xk + kkx(I − T )k ) + λ(kz − xk

  2

  2 N N

  kkx(I − T )k ) − λ(1 − λ)kx(I − T ) − x(I − T )k

  2

  2

  2

  2 N

  = (1 − λ)(kz − xk + kkV xk ) + λ(kz − xk + kkV xk ) −

  2

  1

  2

  λ(1 − λ)kV x − V x)k

  2

  2

  2

  2

  = kz − xk + kkV xk + − λkz − xk − λkkV N xk

  2

  2

  2

  λkz − xk + λkkV N xk − λ(1 − λ)kV x − V N x)k

  2

  2

  2

  2

  = kz − xk + kkV xk − λkkV N xk + λkkV N xk −

  2 N

  λ(1 − λ)kV x − V x)k

  2

  2

  2 N

  = kz − xk + k[(1 − λ)kV xk + λkV xk ] −

  2 N

  λ(1 − λ)kV x − V xk , (2.7) mengakibatkan

  2

  2

  2 N N

  λ(1 − λ)kV x − V xk ≤ k[(1 − λ)kV xk + λkV xk ]. (2.8)

  N

  Dari persamaan (2.8) diperoleh (1 − λ)V x − λV x = 0, dengan menggu- nakan Lema 2.1(1) diperoleh

  2

  2

  2 N N

  (1 − λ)kV xk + λkV xk = λ(1 − λ)kV x − V xk . (2.9) Persamaan (2.8) dan persamaan (2.9) mengakibatkan

  2 N ≤ 0,

  (1 − k)λ(1 − λ)kV x − V xk (2.10)

  N

  karena 0 < λ < 1 dan k < 1, dari persamaan 2.10 diperoleh kV x−V xk =

  N N

  0, yang mengakibatkan T x = T x. Karena (1 − λ)T x + λT x = x maka

  N

  1

  1 P − i N

  2 N T x = ( i=1 T )x = T x = x. Ini berarti x ∈ F (T ) ∩ F (T ) ∩ . . . F (T ). N

  T (b) Akan dibuktikan F (T ω ^{1 T ω 2 . . . T ω N ) = F (T ω i ).}

  i=1

  (b1) Akan dibuktikan benar untuk n = 2, yakni F (T ω ^{1 T ω 2 ) = F (T ω i ),}

  i=1

  2 T

  dengan T ω ^{1 = (1 − ω}

  1 )I + ω

  1 T 1 dan T ω ^{2 = (1 − ω} 2 )I + ω

  2 T 2 , 0 < k i < ω i < 1/2, i = 1, 2.

  ω ω ω ω

  (i) Akan dibuktikan bahwa F (T i ) ⊆ F (T ^{1 T 2 ). Ambil q ∈ F (T 1 )∩}

2 T

  i=1 ω

  F (T ^{2 ), ini berarti}

  ω ^{1 ω 1}

  q ∈ F (T ) ⇒ q = T q, dan

  ω ^{2 ω 2} Desi Rahmadani

  ω ^{1 ω 2 ω 1 ω 2} Dengan perkataan lain, q = T q = T q, dapat juga ditulis q = T T q = ω ^{1 ω 2 ω 1 ω 2} T (T q), sehingga dapat disimpulkan q ∈ F (T T ).

  (ii) Selanjutnya, akan dibuktikan F (T ω ^{1 T ω 2 ) ⊆ F (T ω 1 ) ∩ F (T ω 2 ). Ambil} q ∈ F (T ω ^{1 T ω 1 ) dengan q = T ω 1 T ω 2 q, sedemikian sehingga} T ω ^{2 q = q ⇒ T ω 1 q = q. (2.11)} Oleh karena itu, cukup dengan menunjukkan T ω ^{2 q = q, maka akan meng-} akibatkan q = T ω ^{1 q atau q ∈ F (T ω 1 ), sehingga q ∈ F (T ω 1 ) ∩ F (T ω 2 ).}

  Dari Lema 2.2, diketahui bahwa F (T ω ^{1 ) ∩ F (T ω 2 ) = F (T}

  1 ) ∩ F (T 2 ) 6= ∅. ω ω

  Misalkan p ∈ F (T ^{1 ) ∩ F (T 2 ), maka}

  2

  2 ω ω

  kp − qk = kp − T ^{1 T 2 qk}

  2 ω ω

  = kp − [(1 − ω

  1 )(T ^{2 q) + ω}

  1 T

  1 T ^{2 ]k}

  2 1 ω 1 1 ω

  = k(1 − ω )(p − T ^{2 q) + ω (p − T T 2 q)k}

  2

  2

  2 1 ω 1 1 ω

  1 1 ω 1 ω

  = (1 − ω )kp − T ^{2 qk + ω kp − T T 2 qk − ω (1 − ω )kT 2 q − T T 2 qk}

  2

  2 1 ω 1 1 ω 1 ω

  ≤ (1 − ω )kp − T ^{2 qk − ω (1 − ω )kT + 2 q − T T 2 qk}

  2

  2 1 ω 1 ω 1 ω 1 ω ω 1 ω

  ω [kp − T ^{2 qk + k kT}

^{2 q − T T}

^{2 qk + 2hp − T T 2 p, T 2 q − T T 2 qi]}

  2

  2

  2

  1 1 ω 1 ω 1 ω

  = (1 − ω )kp − T ^{2 qk − ω (1 − ω )kT 2 q − T T 2 qk + ω [kp − T 2 qk}

• 1 ω

  2 1 ω ² 1 ω ²

  k kT q − T T qk ],

  2

  2 ω ²

  1

  1 1 ω ² 1 ω ²

  ≤ kp − T qk − ω (1 − ω − k )kT q − T T qk

  2

  2

  ≤ kp − qk − ω

  1 1 − k 1 ω ² 1 ω ²

  (1 − ω )kT q − T T qk . (2.12)

  1

1 Karena 0 < k < ω < 1/2, maka diperoleh

  2

  kT ω ²

  1 ω ^{2 ≤ 0.}

  q − T T qk (2.13)

  ω ² Berdasarkan definisi norm (nilai norm adalah nonnegatif), maka kT q − 1 ω ^{2 ω 2} 1 ω ² T T qk = 0, yang berarti T q = T T q, ini berarti ω ² 1 ω ¹ T q ∈ F (T ) = F (T ), (2.14)

  ω ^{2 ω 1 ω 2 ω 2}

  dengan kata lain T q = T T q = q Sehingga q ∈ F (T ). Dapat disim-

  ω ^{2 ω 1 ω 2} pulkan bahwa q ∈ F (T ), ini berarti q ∈ F (T ) ∩ F (T ).

  Dari (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa F (T ω ^{1 T ω 2 ) ⊂ F (T ω 1 ) ∩ F (T ω 2 ).}

  (b2) Asumsikan benar untuk n = N − 1, yang berarti

  N N

  \ \

  ω ω ω ω ω ω ω ω

  F (T ^{1 T 2 . . . T N ) ⊆ F (T i ) dan F (T i ) ⊆ F (T 1 T 2 . . . T N ).}

  i=1 i=1

  (b3) Akan ditunjukkan benar untuk n = N , yakni

  N

  \

  ω ω ω ω

  F (T ^{1 T 2 . . . T N ) = F (T i ).}

  i=1 N

  T

  ω i ω ^{1 ω 2 ω N}

  (i) Akan dibuktikan bahwa i=1 F (T ) ⊆ F (T T . . . T ). Misalkan

  N

  T

  ω i

  q ∈ i=1 F (T ), ini berarti

  ω ^{1 ω 1}

  q ∈ F (T ) ⇒ q = T q,

  ω ^{2 ω 2} Titik Tetap Pemetaan k-pseudononspreading di Ruang Hilbert

  ω ^{1 ω 2 ω N}

  

Dengan perkataan lain, q = T q = T q = . . . = T q, dapat juga ditulis

  ω ^{1 ω 1 ω 2 ω 1 ω 2 ω N 1 ω N}

  

q = T q = T (T q) = . . . = T (T . . . T )T q, sehingga dapat

₋ disimpulkan q ∈ F (T ω ^{1 T ω 2 . . . T ω N ).}

  N

  T (ii) Akan dibuktikan F (T ω ^{1 T ω 2 . . . T ω N ) ⊆ F (T ω i ). Ambil q ∈}

  i=1

  F (T ω ^{1 T ω 2 . . . T ω N ), maka q = T ω 1 T ω 2 . . . T ω N} ₋ ^{1 T ω N q, sedemikian sehingga} T ω N q = q ⇒ T ω ^{1 T ω 2 . . . T ω N} ₋ ^{1 q = q. (2.15)}

  ω N

  

Oleh karena itu, cukup dengan menunjukkan T q = q, hal ini akan

  N

  T

  ω i

  

mengakibatkan q ∈ i=1 F (T ). Dari Lema 2.2, diketahui bahwa

  N N N

  T T T F (T ω i ) = F (T i ) 6= ∅. Misalkan p ∈ F (T ω i ). Misalkan

  i=1 i=1 i=1

  T ω = T ω ^{1 T ω 2 . . . T ω N} ₋ ^{1 maka}

  2

  2

  kp − qk = kp − T ω T ω N qk

  2

  = kp − [(1 − ω )(T ω N q) + ω T T ω N q]k

  2

  = k(1 − ω )(p − T ω N q) + ω (p − T T ω N q)k

  2

  2

  2

  = (1 − ω )kp − T ω N qk + ω kp − T T ω N qk − ω (1 − ω )kT ω N q − T T ω N qk

  2

  2 ω ω ω

  ≤ (1 − ω )kp − T + N qk − ω

  1 (1 − ω )kT N q − T T N qk

  2

  2 ω ω ω ω ω ω

  ω

  1 [kp − T N qk + k 1 kT ^{2 q − T T N qk + 2hp − T T N p, T N q − T T N qi]}

  2

  2 ω ω ω

  = (1 − ω )kp − T qk − ω (1 − ω )kT + N q − T T N qk

  2

  2 ω ω ω

  ω [kp − T N qk + k kT N q − T T ^{2 qk ],}

  2

  2 ω ω ω

  ≤ kp − T N qk − ω (1 − ω − k )kT N q − T T N qk

  2

  2 ω ω

  ≤ kp − qk − ω (1 − ω − k )kT N q − T T N qk . (2.16) Karena 0 &lt; k &lt; ω &lt; 1/2, maka diperoleh

  2 ω 1 ω

  kT q − T T N qk ≤ 0. (2.17)

  ω ω

  Berdasarkan definisi norm, maka kT ^{2 q − T}

  1 T ^{2 qk = 0, yang berarti} ω ω

  T N q = T T N q, ini berarti

  ω ω

  T N q ∈ F (T ) = F (T ). (2.18)

Dengan kata lain, T ω N q = T ω T ω N q = q. Dari (3.0.19) diperoleh q ∈

F (T ω ). Ini berarti q ∈ F (T ω ) ∩ F (T ω N ). Dari (i) dan (ii), dapat di-

  N

  T

  ω ω ω ω

  simpulkan bahwa F (T ^{1 T 2 . . . T N ) = F (T i ).}

  i=1

  3. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Syafrizal Sy, Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Dr. Muhafzan, Ibu Arrival Rince Putri, MT, M.Si dan Bapak Efendi, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat dise- lesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Acedo, G.L. dan H.K. Xu. 2007. Iterative Methods for Strict Pseudo-contraction in Hilbert Spaces. Nonlinier Analysis: Theory, Methods, and Applications. 67:

  Desi Rahmadani

[2] Berinde, V. 2007. Iterative Approximations of Fixed Point. Verlag Berlin Hei-

delberg: Springer.

  

[3] Deng, B.C., T. Chen dan Z. Fang Li. 2012. Cyclic Iterative Method for Strictly

Pseudononspreading in Hilbert Spaces. Journal Of Applied Mathematics. 2012: 1 – 7.

[4] Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. United

States of America: John Wiley and Sons. Inc

[5] Lokenath, D. dan P. Mikusinki. 1990. Introduction to Hilbert Spaces with Ap-

plication. San Diego: Academic Press.

[6] Osilike, M.O. dan F.O. Isiogugu. 2011. Weak and Strong Convergence Theorems

for Nonspreading-Type Mapping in Hilbert Spaces. Nonlinier Analysis: Theory,

  Methods, and Applications. 74: 1814 – 1822.

  

[7] Petrot N. dan R. Wangkere. 2011. A general iterative scheme for strict

pseudononspreading mapping related to optimization problem in Hilbert Spaces.

  Journal of Nonlinier Analysis and Optimization. 2: 329 – 336.

  

[8] Ravi, P.A., D.O. Regan dan D.R. Sahu. 2009. Fixed Point Theory for

Lipschitzian-type Mappings with Applications. Springer Dordrecht Heidelberg, New York.

  

[9] Wulandari, E.R. 1991. Theorema Titik Tetap Banach Dan Peranannya. Under-

graduate thesis, FMIPA UNDIP.