01a Pengertian Polionomial
POLINOMIAL
A. Pengertian Polinomial
Bentuk umum polinim adalah anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 , n 0
Polinim tersebut dikatakan polinim berderajat n, dimana n adalah pangkat tertinggi dari
polinim
Sebagai contoh diberikan polinim 5x4 + 2x3 – 6x2 + 8x – 7, maka polinim tersebut
dinamanakan polinim berderajat 4
Koefisien adalah angka-angka didepan variabel , sehingga angka 5, 2, -6 dan 8
berturut-turut adalah koefisien suku ke 1, 2, 3 dan 4. Sedangkan -7 dinamakan
konstanta.
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:
01. Tentukan derajat polinim (2x2 + 5)( x3 – 4)
Jawab
(2x2 + 5)( x3 – 4) = (2x2)(x3) – (2x2)(4) + (5)(x3) – (5)(4)
= 2x6 – 8x2 + 5x3 – 20
= 2x6 + 5x3 – 8x2 – 20
Jadi polinim di atas berderajat 5
02. Tentukan derajat polinim (x – 4)(2x2 + 6x)
Jawab
(x – 4)(2x2 + 6x) = (x)(2x2) + (x)(6x) – (4)(2x2) – (4)(6x)
= 2x3 + 6x2 – 8x2 – 24x
= 2x3 – 2x2 – 24x
Jadi polinim di atas berderajat 3
03. Tentukan koefisien suku ke 3 dari uraian bentuk (2x – 4)(x2 + 3x + 1)
Jawab
(2x – 4)(x2 + 3x + 1) = (2x)(x2) + (2x)(3x) + (2x)(1) – (4)(x2) – (4)(3x) – (4)(1)
= 2x3 + 6x2 + 2x – 4x2 – 12x – 4
= 2x3 + 2x2 – 10x – 4
Jadi koefisien suku ke 3 dari polinim di atas adalah –10
Polinomial
1
04. Tentukan koefisien x2 dari uraian bentuk (x + 2)(x – 5)(2x + 3)
Jawab
(x + 2)(x – 5)(2x + 3) = (x + 2) ((x)(2x) + (x)(3) – (5)(2x) – (5)(3))
= (x + 2)(2x2 + 3x – 10x – 15)
= (x + 2)(2x2 – 7x – 15)
= (x)(2x2) – (x)(7x) – (x)(15) + (2)(2x2) – (2)(7x) – (2)(15)
= 2x3 – 7x2 – 15x + 4x2 – 14x – 30
= 2x3 – 3x2 – 29x – 30
Jadi koefisien x2 dari uraian polinim di atas adalah –3
Nilai polinim adalah nilai yang didapat dengan cara mensubstitusikan angka tertentu
pada variabel polinom. Sebagai contoh pada polinom P(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 5x + 4
akan ditentukan nilai polinom untuk x = 2.
P(2) = 3(2)4 – (2)3 + 2(2)2 – 5(2) + 4 = 48 – 8 + 8 – 10 + 4 = 42
Selain dengan cara diatas, menentukan nilai polinom dapat pula dengan bantuan
skema Horner, yakni :
x=2
3
3
–1
2
–5
4
+
+
+
+
3(2)
5(2)
12(2)
19(2)
5
12
19
42
P(2)
Analisa dari bentuk skema Horner didapat dengan mengubah bentuk polinom diatas
menjadi : P(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 5x + 4
P(x) = (3x3 – x2 + 2x – 5)x + 4
P(x) = ( [3x2 – x + 2]x – 5)x + 4
P(x) = ( [ (3x – 1)x + 2]x – 5)x + 4
Sehingga ketika disubstitusikan x = 2, menjadi
P(2) = ( [ (3.2 – 1)2 + 2]2 – 5)2 + 4
P(2) = ( [(5)2 + 2]2 – 5)2 + 4
P(2) = ( [12]2 – 5)2 + 4
P(2) = (19)2 + 4
P(2) = 42
Alur proses diatas sama seperti alur pada skema Horner
Untuk pemahaman lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini :
05. Tentukan nilai polinim x3 – 2x2 + 3x – 5 untuk x = 3
Jawab
Misalkan F(x) = x3 – 2x2 + 3x – 5
Maka F(3) = (3)3 – 2(3)2 + 3(3) – 5
F(3) = 27 – 18 + 9 – 5 = 13
Polinomial
2
Atau dengan skema
3
1
1
–2
3
–5
3
3
18
1
6
13
Jadi F(3) = 13
06. Tentukan nilai polinim 2x4 – 3x3 + x2 – 5x – 6 untuk x = 3
Jawab
Misalkan 2x4 – 3x3 + x2 – 5x – 6
Maka F(3) = 2(3)4 – 3(3)3 + (3)2 – 5(3) – 6
F(3) = 243 – 81 + 9 – 15 – 6
F(3) = 69
Atau dengan skema
3
2
2
–3
1
–5
–6
6
9
30
75
3
10
25
69
Jadi F(3) = 69
07. Tentukan nilai polinim 2x4 – 4x2 + 5x + 2 untuk x = –1
Jawab
Misalkan 2x4 – 4x3 + 5x + 2
Maka F(–1) = 2(–1)4 – 4(–1)3 + 5(–1) + 2
F(–1) = 2 + 4 – 5 + 2
F(–1) = 3
Atau dengan skema
–1
2
2
Polinomial
–4
0
5
2
–2
6
–6
1
–6
6
–1
3
Jadi F(–1) = 3
3
A. Pengertian Polinomial
Bentuk umum polinim adalah anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 , n 0
Polinim tersebut dikatakan polinim berderajat n, dimana n adalah pangkat tertinggi dari
polinim
Sebagai contoh diberikan polinim 5x4 + 2x3 – 6x2 + 8x – 7, maka polinim tersebut
dinamanakan polinim berderajat 4
Koefisien adalah angka-angka didepan variabel , sehingga angka 5, 2, -6 dan 8
berturut-turut adalah koefisien suku ke 1, 2, 3 dan 4. Sedangkan -7 dinamakan
konstanta.
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:
01. Tentukan derajat polinim (2x2 + 5)( x3 – 4)
Jawab
(2x2 + 5)( x3 – 4) = (2x2)(x3) – (2x2)(4) + (5)(x3) – (5)(4)
= 2x6 – 8x2 + 5x3 – 20
= 2x6 + 5x3 – 8x2 – 20
Jadi polinim di atas berderajat 5
02. Tentukan derajat polinim (x – 4)(2x2 + 6x)
Jawab
(x – 4)(2x2 + 6x) = (x)(2x2) + (x)(6x) – (4)(2x2) – (4)(6x)
= 2x3 + 6x2 – 8x2 – 24x
= 2x3 – 2x2 – 24x
Jadi polinim di atas berderajat 3
03. Tentukan koefisien suku ke 3 dari uraian bentuk (2x – 4)(x2 + 3x + 1)
Jawab
(2x – 4)(x2 + 3x + 1) = (2x)(x2) + (2x)(3x) + (2x)(1) – (4)(x2) – (4)(3x) – (4)(1)
= 2x3 + 6x2 + 2x – 4x2 – 12x – 4
= 2x3 + 2x2 – 10x – 4
Jadi koefisien suku ke 3 dari polinim di atas adalah –10
Polinomial
1
04. Tentukan koefisien x2 dari uraian bentuk (x + 2)(x – 5)(2x + 3)
Jawab
(x + 2)(x – 5)(2x + 3) = (x + 2) ((x)(2x) + (x)(3) – (5)(2x) – (5)(3))
= (x + 2)(2x2 + 3x – 10x – 15)
= (x + 2)(2x2 – 7x – 15)
= (x)(2x2) – (x)(7x) – (x)(15) + (2)(2x2) – (2)(7x) – (2)(15)
= 2x3 – 7x2 – 15x + 4x2 – 14x – 30
= 2x3 – 3x2 – 29x – 30
Jadi koefisien x2 dari uraian polinim di atas adalah –3
Nilai polinim adalah nilai yang didapat dengan cara mensubstitusikan angka tertentu
pada variabel polinom. Sebagai contoh pada polinom P(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 5x + 4
akan ditentukan nilai polinom untuk x = 2.
P(2) = 3(2)4 – (2)3 + 2(2)2 – 5(2) + 4 = 48 – 8 + 8 – 10 + 4 = 42
Selain dengan cara diatas, menentukan nilai polinom dapat pula dengan bantuan
skema Horner, yakni :
x=2
3
3
–1
2
–5
4
+
+
+
+
3(2)
5(2)
12(2)
19(2)
5
12
19
42
P(2)
Analisa dari bentuk skema Horner didapat dengan mengubah bentuk polinom diatas
menjadi : P(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 5x + 4
P(x) = (3x3 – x2 + 2x – 5)x + 4
P(x) = ( [3x2 – x + 2]x – 5)x + 4
P(x) = ( [ (3x – 1)x + 2]x – 5)x + 4
Sehingga ketika disubstitusikan x = 2, menjadi
P(2) = ( [ (3.2 – 1)2 + 2]2 – 5)2 + 4
P(2) = ( [(5)2 + 2]2 – 5)2 + 4
P(2) = ( [12]2 – 5)2 + 4
P(2) = (19)2 + 4
P(2) = 42
Alur proses diatas sama seperti alur pada skema Horner
Untuk pemahaman lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini :
05. Tentukan nilai polinim x3 – 2x2 + 3x – 5 untuk x = 3
Jawab
Misalkan F(x) = x3 – 2x2 + 3x – 5
Maka F(3) = (3)3 – 2(3)2 + 3(3) – 5
F(3) = 27 – 18 + 9 – 5 = 13
Polinomial
2
Atau dengan skema
3
1
1
–2
3
–5
3
3
18
1
6
13
Jadi F(3) = 13
06. Tentukan nilai polinim 2x4 – 3x3 + x2 – 5x – 6 untuk x = 3
Jawab
Misalkan 2x4 – 3x3 + x2 – 5x – 6
Maka F(3) = 2(3)4 – 3(3)3 + (3)2 – 5(3) – 6
F(3) = 243 – 81 + 9 – 15 – 6
F(3) = 69
Atau dengan skema
3
2
2
–3
1
–5
–6
6
9
30
75
3
10
25
69
Jadi F(3) = 69
07. Tentukan nilai polinim 2x4 – 4x2 + 5x + 2 untuk x = –1
Jawab
Misalkan 2x4 – 4x3 + 5x + 2
Maka F(–1) = 2(–1)4 – 4(–1)3 + 5(–1) + 2
F(–1) = 2 + 4 – 5 + 2
F(–1) = 3
Atau dengan skema
–1
2
2
Polinomial
–4
0
5
2
–2
6
–6
1
–6
6
–1
3
Jadi F(–1) = 3
3