118
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harus menguasai materi mengenai segitiga, segi empat, sudut, dan bilangan
kuadrat, serta akar kuadrat. Namun, sebelumnya mari kita ingat kembali mengenai luas persegi dan luas segitiga siku-siku.
A. TEOREMA PYTHAGORAS 1. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-Siku
Perhatikan Gambar 5.1. Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi ABCD yang
panjang sisinya s satuan panjang.
Luas persegi ABCD = sisi
u
sisi L =
s
u
s L =
s
2
satuan luas Selanjutnya, perhatikan Gambar 5.2.
Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi panjang PQRS yang panjangnya
p dan lebarnya l satuan. Diagonal QS membagi persegi panjang PQRS menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu
PQS dan QRS. Luas persegi panjang PQRS sama dengan
jumlah luas PQS dan
QRS. Adapun luas PQS sama dengan
luas QRS, sehingga diperoleh
luas PQS
luas QRS 1
luas persegi panjang PQRS 2
u
Karena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebar
l, luas PQS =
1 2
u u p l
atau luas segitiga siku-siku =
1 alas tinggi
2 u
u Luas persegi dan luas segitiga siku-siku sangat bermanfaat
dalam menemukan teorema Pythagoras.
2. Menemukan Teorema P ythagoras
Untuk menemukan teorema Pythagoras lakukan kegiatan berikut. Ambillah dua potong kertas berbentuk persegi berukuran
b + c cm seperti tampak pada Gambar 5.3 i dan 5.3 ii. Kita akan menemukan hubungan antara besarnya
a, b, dan c.
A B
C D
s
s Gambar 5.1
Q P
S R
p l
Gambar 5.2
Di unduh dari : Bukupaket.com
119
Teorema Pythagoras
Gambar 5.3 i menunjukkan persegi ABCD berukuran b + c cm. Pada keempat sudutnya buatlah empat segitiga siku-
siku dengan panjang sisi siku-sikunya b cm dan c cm.
Dari Gambar 5.3 i tampak bahwa luas persegi ABCD sama dengan luas persegi luas daerah yang tidak diarsir ditambah luas
empat segitiga siku-siku luas daerah yang diarsir, sehingga diperoleh
luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku
1 4
2 2
u u u b c
bc
dan luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi PQRS =
a
u
a = a
2
. Lalu buatlah persegi EFGH berukuran
b + c cm seperti tampak pada gambar 5.3 ii. Pada dua buah sudutnya buatlah
empat segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk dua persegi panjang berukuran
b
u
c cm. Dari Gambar 5.3 ii tampak bahwa luas persegi EFGH sama
dengan luas persegi luas daerah yang tidak diarsir ditambah luas empat segitiga siku-siku luas daerah yang diarsir, sehingga
diperoleh
luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang = 2
u b u c
= 2 bc
luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN+ luas persegi OFML
= b
u
b + c
u
c = b
2
+ c
2
. Dari Gambar 5.3 i dan 5.3 ii tampak bahwa ukuran persegi
ABCD = ukuran persegi EFGH, sehingga diperoleh luas persegi ABCD
= luas persegi EFGH 2
bc + a
2
= 2 bc + b
2
+ c
2
a
2
= b
2
+ c
2
. Kesimpulan di atas jika digambarkan akan tampak seperti pada
Gambar 5.3 iii. Luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring
suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi siku-siku segitiga
tersebut.
D
A B
C a
a a
a
2
a c
c
c c
b b
b b
P
R Q
S
i
E F
G H
b b
2
b b
c c
c c
c
2
K L
M N
O ii
a a
2
b b
2
c c
2
iii
Gambar 5.3
Di unduh dari : Bukupaket.com
120
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kesimpulan tersebut selanjutnya dikenal dengan teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras tersebut selanjutnya dapat
dirumuskan seperti berikut. Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisi
miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya. Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan
a panjang sisi mi- ring, sedangkan
b dan c panjang sisi siku-sikunya maka berlaku a
2
= b
2
+ c
2
. Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi
b
2
= a
2
– c
2
atau c
2
= a
2
– b
2
.
Nyatakan hubungan yang berlaku mengenai sisi-sisi
segitiga pada gambar di bawah ini.
a.
p q
r
b.
l k
m
Gambar 5.5
Penyelesaian: Karena kedua segitiga di samping adalah segitiga siku-
siku, maka berlaku teorema Pythagoras, yaitu kuadrat panjang sisi miring = jumlah kuadrat sisi siku-sikunya,
sehingga berlaku
a. q
2
= p
2
+ r
2
atau p
2
= q
2
– r
2
r
2
= q
2
– p
2
b. k
2
= l
2
+ m
2
atau l
2
= k
2
– m
2
m
2
= k
2
– l
2
A B
C a
b c
Gambar 5.4
Berpikir kritis Bentuklah kelompok yang terdiri atas 2 orang, 1 pria dan 1 wanita.
Buatlah empat buah segitiga siku-siku dengan ukuran yang berbeda pada kertas karton. Guntinglah segitiga-segitiga tersebut.
Ukurlah panjang sisi setiap segitiga tersebut. Lalu ujilah, apakah panjang sisi setiap segitiga tersebut memenuhi teorema
Pythagoras? Ceritakan pengalamanmu secara singkat di depan kelas.
Di unduh dari : Bukupaket.com
121
Teorema Pythagoras
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1.
A B
C i
a b
c
A B
C iii
a b
c
A B
C ii
a b
c
A B
C iv
a b
c
Berdasarkan gambar di atas salin dan lengkapilah tabel berikut. Hubungan
apakah yang tampak pada kolom luas C dan luas A + B?
2. Gunakan teorema Pythagoras untuk me- nyatakan persamaan-persamaan yang
berlaku pada segitiga berikut.
a b
c
e f
d
i ii
h i
g k
j l
iii iv
3. Ukurlah panjang sisi setiap segitiga siku- siku pada soal no. 2 di atas. Cek, apakah
kuadrat panjang sisi miring = kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya. Ujilah
jawabanmu dengan jawaban soal no. 2.
Gambar Luas Daerah Persegi
A B
C A + B
i ii
iii iv
3. Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Menghitung Panjang Salah Satu Sisi Segitiga Siku-Siku jika Kedua
Sisi Lain Diketahui
Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjang
kedua sisi lain diketahui.
Di unduh dari : Bukupaket.com
122
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
3. Diketahui segitiga PQR siku-siku di P dengan PQ = 12 cm dan QR = 13 cm.
a. Buatlah sketsa segitiga tersebut. b. Tentukan panjang PR.
4. Panjang hipotenusa suatu segitiga siku- siku adalah 15 cm, sedangkan panjang
sisi siku-sikunya 12 cm dan x cm.
Berapakah nilai x?
5.
A B
C D
25 cm
9 cm 12 cm
Pada gambar di atas, diketahui panjang AB = 12 cm, BC = 9 cm, dan CD = 25
cm. Tentukan panjang AD. 1. Gunakan teorema Pythagoras untuk
menghitung nilai x pada gambar berikut.
2. Hitunglah nilai y pada setiap segitiga
berikut.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AB
= 6 cm dan BC = 8 cm. Hitunglah panjang AC.
Penyelesaian: Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlaku
AC
2
= AB
2
+ BC
2
= 6
2
+ 8
2
= 36 + 64 = 100
AC = 100
10 Jadi, panjang AC = 10 cm.
x
24 25
8 6
x
c d
x 12
9 x
10 26
a b
40 24
y 3,5
12,5 y
c d
y y
8 3
y 4
y 20
a b
A
B C
6 cm 8 cm
Gambar 5.6
Di unduh dari : Bukupaket.com
123
Teorema Pythagoras
B. PENGGUNAAN TEOREMA PYTHAGORAS 1. Kebalikan Teorema Pythagoras untuk Menentukan
