Fungtor u-eksak dan u-fungtor

FUNGTOR U-EKSAK DAN U -FUNGTOR

MAFTUL FAHRULROHMAN

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2015 M / 1436 H

FUNGTOR U-EKSAK DAN U-FUNGTOR

SKRIPSI
Sebagai syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Oleh
MAFTUL FAHRULROHMAN
1111094000038

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2015 M / 1436 H

L-

PENGESAHAN UJIAN

Skripsi ini berjudui "Fungtor U-eksak dan

U-finstor"

yang ditulis oleh

Maftul F'ahrulrohman, NIM 1111094000038 telah diuii dan dinyatakan lulus
dalam sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri

Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Senin, 29 Jum 2015. Skripsi ini telah
diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana
strata satu (S1) Program Studi Matematika.

Menyetujui,

Penguji I

Penguji

tl

II

r?d

Yudi Mahatma. M. Si

Suma'inna, NLSi

NIP. 19791208 200701 2 015

NIP.19761020 200812 1 001

Pembimbing I

Pembimbing

II

elh,r,
vv

Gustina Elfiyanti. M. Si

Mahmudi. M.Si

NrP.19820820 200901 2 006

Mengetahui,

Sains dan Teknologi

Ketua Program Studi Matematika
I

+Se'4.
Pr..lYipa Fitrivati, M.Kom
16 199903 1 003

NIP. 19760414 200604 2 001

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENARBENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN
SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI
ATAU LEMBAGA MANAPUN

Jakarta, Juni 2015

Maftul Fahrulrohman
1111094000038

iii

ABSTRAK

Maftul Fahrulrohman, Fungtor U eksak dan U fungtor. Di bawah bimbingan Gustina Elviyanti, M.Si dan Mahmudi, M.Si.
Kategori adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari koleksi objek, koleksi
homomor…sma antar objek dan sebuah operasi komposisi. Mor…sma yang mengaitkan kategori satu dengan kategori yang lain disebut fungtor.
Davvaz dan Parnian memperkenalkan generalisasi dari konsep barisan eksak
yang disebut barisan U eksak. Kemudian Davvaz dan Shabani memperkenalkan
konsep fungtor U eksak dan U fungtor. Fungtor U eksak adalah fungtor yang
mengawetkan sifat keeksakan dari suatu barisan U eksak. U fungtor adalah
fungtor dengan kondisi jika setiap homomor…sma ' : A ! B dan setiap U
submodul B dengan U Im ' maka T (U ) Im T (').
Tulisan ini bertujuan untuk menjelaskan struktur fungtor U eksak dan
U fungtor dan membuktikan sifat-sifat dari struktur U eksak fungtor dan U
fungtor.
Kata kunci: Barisan eksak, fungtor U eksak, U fungtor.

iv

ABSTRACT

Maftul Fahrulrohman, U exact functor and U functor.
Category is an algebraic structure consisting of the collection of objects,
homomorphism between objects, and the composition operation. The notion of
U exact sequence was introducted by Davvaz and Parnian as a generalization
of exact sequences. Davvaz and Shabani introducted the concepts of U exact
functor and U functor. In this paper, we prove the futher results about U exact
functor and U functor.
Keywords: exact sequence, U exact functor, U functor.

v

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk
Kedua orang tua saya tercinta

Yang aku ketahui hanyalah satu: aku tidak tahu apa-apa.
- Socrates

vi

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas karunia-Nya penulis
dapat menyelesaikan skripsi dengan judul "Fungtor U eksak dan U fungtor".
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu kewajiban akhir mahasiswa
untuk memperoleh gelar sarjana. Penulis mendapat banyak pelajaran selama
mengkaji bahan-bahan penelitian yang tidak didapatkan dalam bangku perkuliahan. Pelajaran yang paling penting adalah kesabaran, kerja keras dan pantang
menyerah dalam mencapai tujuan.
Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do’a dari berbagai pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karena
itu, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Dr. Agus Salim M.Si. sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN
Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing akademik.
2. Dr. Nina Fitriyati, M.Kom. sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Suma’inna M.Si. sebagai Sekretaris Prodi Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai penguji I.
4. Gustina El…yanti M.Si. sebagai dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing

I.
5. Mahmudi M.Si sebagai dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing II.
6. Yudi Mahatma M.Si. sebagai dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai penguji II.
7. Edo Abdullah Faqih, S.Si. sebagai dosen Prodi Matematika Fakultas Sains
dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
8. Para dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif
Hidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapi
tidak mengurangi rasa hormat penulis kepada mereka.
9. Kedua orang tua penulis, Sarikam dan Sanah, yang selalu memberikan doa,
kasih sayang, dukungan moril maupun materil kepada penulis.
vii

10. Seluruh teman matematika 2011 yang telah bekerja sebagai rekan seperjuangan selama masa pekuliahan.
11. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu tanpa mengurangi rasa hormat, yang telah memberikan dorongan dan bantuan sehingga
skripsi ini selesai disusun.
Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat khususnya bagi penulis dan umumnya
bagi kita semua dalam rangka menambah wawasan pengetahuan kita.

Jakarta,

Juli 2015

Penulis

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

i

HALAMAN PENGESAHAN

ii

PERNYATAAN

iii

ABSTRAK

iv

ABSTRACT

v

PERSEMBAHAN

vi

KATA PENGANTAR

vii

DAFTAR ISI
1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang . .
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah .
1.4 Tujuan . . . . . . .

ix

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1
1
2
2
2

2 LANDASAN TEORI
2.1 Gelanggang dan Modul . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modul Projektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Rantai Kompleks dan Barisan Eksak . . . . . . .
2.4 Kategori dan Fungtor . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Fungtor Eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Rantai U Kompleks dan Barisan U Eksak . . .
2.7 Mor…sma U Kompleks dan Rantai U Homotopi

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

3
3
5
8
9
14
15
17

3 Fungtor U eksak dan U fungtor
3.1 Fungtor U eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 U fungtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
29

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

ix

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
34
35

DAFTAR PUSTAKA

36

x

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang
Kategori adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari koleksi objek, koleksi

homomor…sma antar objek dan sebuah operasi komposisi. Kategori merupakan
generalisasi dari struktur objek-objek aljabar seperti ruang vektor, grup, gelanggang, lapangan, dan modul. Pada struktur ruang vektor kita mengenal pemetaan
linier, pada grup kita mengenal homomor…sma grup, pada gelanggang kita mengenal homomor…sma gelanggang, dan sebagainya, sedangkan pada kategori, suatu
pengaitan dari kategori satu dengan kategori lain dikenal dengan konsep fungtor.
Suatu rantai kompleks
! Cn+1 ! Cn ! Cn
dn+1

dn

1

! Cn

dn

2

!

1

dikatakan barisan eksak jika Im (dn+1 ) = ker (dn ) atau Im (dn+1 ) = dn 1 (f0g) :
Pertanyaan yang muncul adalah bagaimana jika f0g diganti dengan Un

1

sebuah

submodul dari Cn 1 : Dalam [1]; Davvaz dan Parnian memperkenalkan generalisasi dari konsep ini yang disebut barisan U eksak, yang merupakan modi…kasi dari notasi barisan eksak biasa dan menjawab permasalahan di atas. Kemudian dalam [3] Davvaz dan Shabani memperkenalkan generalisasi dari beberapa topik dalam aljabar homologik. Mereka mende…nisikan konsep rantai
U kompleks, U homologi, rantai (U; U 0 ) pemetaan; rantai (U; U 0 ) homotopi
dan U fungtor.
Dari itu, penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan struktur fungtor U eksak
dan U fungtor yang telah diperkenalkan oleh Davvaz dan Shabani pada [3] dan
membuktikan sifat-sifat dari struktur fungtor U eksak dan U fungtor.
1

1.2

Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka permasalahan yang akan dikaji

dalam penulisan ini adalah:
1. Bagaimana struktur dan sifat dari fungtor U eksak?
2. Bagaimana struktur dan sifat dari U fungtor?

1.3

Batasan Masalah
Pembahasan pada penulisan ini menggunakan kategori R Mod.

1.4

Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan struktur fungtor U eksak dan

U fungtor yang telah diperkenalkan oleh Davvaz dan Shabani pada [3] dan membuktikan sifat-sifatnya secara detail:

2

BAB 2
LANDASAN TEORI

2.1

Gelanggang dan Modul

De…nisi 2.1 Gelanggang adalah himpunan tak kosong R dengan dua operasi,
disebut penjumlahan dan perkalian, sehingga memenuhi
1. (R; +) grup abel
2. (R; :) monoid
3. (R; +; :) distributif, yaitu a (b + c) = ab + ac dan (a + b) c = ac + bc untuk
setiap a; b; c 2 R
Jika (R ; :) grup maka R disebut gelanggang pembagian dan jika (R; :) grup abel
maka R disebut gelanggang komutatif.
Contoh 2.2 Himpunan bilangan bulat Z adalah gelanggang komutatif.
De…nisi 2.3 Misalkan R suatu gelanggang. Sebuah R-modul kanan adalah himpunan tak kosong M , dengan dua operasi. Operasi pertama disebut penjumlahan
(+) yang mengaitkan (M1 ; M2 ) 2 M1

M2 ke M1 + M2 2 M . Operasi kedua

disebut perkalian skalar yang mengaitkan (M; r) 2 M
1. (M; +) grup abel
2. Untuk setiap M1 ; M2 2 M dan r; s 2 R berlaku
(a) M1 r 2 M
(b) M1 (rs) = (M1 r)s
(c) M1 (r + s) = M1 r + M1 s
(d) (M1 + M2 )r = M1 r + M2 r
(e) M1 1 = M1
3

r ke M r 2 M: Memeuhi.

Dan M dikatakan R modul kiri jika perkalian skalar dilakukan di sebelah kiri.
Jika M merupakan modul kiri sekaligus modul kanan maka M disebut R modul.
Submodul dari M .adalah subhimpunan tak kosong S dengan S

M yang ter-

tutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar di M:
Contoh 2.4

1. Himpunan bilangan real R membentuk modul atas dirinya

sendiri dan atas himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian skalar.
2. Himpunan bilangan bulat Z membentuk modul atas dirinya sendiri terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
3. Himpunan bilangan bulat Zn membentuk modul atas Z terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian skalar.
4. Himpunan bilangan bulat Z adalah submodul dari R:
De…nisi 2.5 Misalkan X; Y masing-masing adalah R modul, pemetaan
f : X ! Y dikatakan homomor…sma R modul, ditulis R homomor…sma, jika:
1. f (a + b) = f (a) + f (b); 8a; b 2 X
2. f (ka) = kf (a); 8a 2 X dan k 2 R.
Lema 2.6 Misalkan X; Y masing-masing adalah R modul, pemetaan
f : X ! Y dikatakan homomor…sma R modul, ditulis R homomor…sma, jika
dan hanya jika
f (ra + sb) = rf (a) + sf (b); 8a; b 2 X dan r; s 2 R
Contoh 2.7 Diketahui Z modul atas dirinya sendiri. Pemetaan nol ; : Z ! Z
yang dide…nisikan dengan ;(x) = 0, untuk setiap x 2 Z, merupakan homomor…sma modul.
Bukti. Ambil sebarang x; y; k; l 2 Z akan dibuktikan ;(kx + ly) = k;(x) + l;(y).
Perhatikan :
4

;(kx + ly) = 0 = 0 + 0 = k0 + l0
= k;(x) + l;(y)
maka ;(kx + ly) = k;(x) + l;(y).
De…nisi 2.8 Misalkan M modul atas R dan S submodul dari M . Modul kuosien
dari M oleh S adalah M=S dimana
M=S = v + S = fv + sjs 2 Sg
dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar berikut :
(u + S) + (v + S) = (u + v) + S dan r(u + S) = (ru) + S
untuk setiap u + S; v + S 2 M=S dan r 2 R.
Contoh 2.9 Diketahui R modul atas dirinya sendiri dan Z submodul dari R
Diketahui R Z = fa + Z j a 2 Rg.De…nisikan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar pada R Z
(a + Z) + (b + Z) = (a + b) + Z
r(a + Z)

= (ra) + Z

untuk setiap (a+Z); (b+Z) 2 R Z dan r 2 R. Maka R Z adalah modul kuosien
dari R oleh Z.

2.2

Modul Projektif
Teori yang dijelaskan pada bagian ini mengacu pada [4] dan [5].

De…nisi 2.10 Sebuah pengangkatan dari pemetaan h : C ! A00 adalah pemetaan
g : C ! A dengan pg = h
C
g

A

. #h
p

! A00
5

maka g adalah pengangkatan dari h, ditulis h = p (g),
dimana p : HomR (C; A) ! HomR (C; A00 ) :
Berikut ini adalah de…nisi dari modul projektif.

De…nisi 2.11 Misalkan P adalah R mod, P dikatakan projektif jika apabila
diberikan p surjektif dan h suatu pemetaan, maka terdapat pengangkatan g, yaitu
terdapat pemetaan g sehingga diagram berikut komutatif
P
g

A
Contoh 2.12 Misalkan Z; Zm
Obj (Z

. #h
p

! A00

! 0
o

n
= 0; 1; :::; m

1 ; Zn =

0; 1; :::; n

1

2

Mod) dengan mjn. Misalkan
p

:

Zn ! Zm

x 7 ! x mod m
1. Jika h : Z

! Zm dengan h (y) = y mod m maka g : Z

! Zn dengan

g (z) = z mod n adalah pengangkatan dari h.
2. Jika h : Z ! Zm dengan h (y) = ky mod m untuk k 2 Z maka g : Z !
Zn dengan g (z) = kz mod n adalah pengangkatan dari h.
3. Jika h : Z

! Zm dengan h (y) = (k + y) mod m untuk k 2 Z maka

g : Z ! Zn dengan g (z) = (k + z) mod n adalah pengangkatan dari h.

Bukti.

1. Perhatikan
pg (Z) = p (Z mod n) = p

0; 1; :::; n

1
6

karena mjn maka
0; 1; :::; n

p

1

=

0; 1; :::; n 1 mod m
n
o
0; 1; :::; m 1
=

= Z mod m
= h (Z)

Maka g adalah pengangkatan dari h.

2. Perhatikan
pg (Z) = p (kZ mod n) = p ((k mod n:Z mod n) mod n)
= p k mod n: 0; 1; :::; n

1

karena mjn maka
p k mod n: 0; 1; :::; n

1

=

k mod n: 0; 1; :::; n 1 mod m
n
o
= (k mod n) mod m: 0; 1; :::; m 1
n
o
=
0; k; k2; :::; k (m 1)

= kZ mod m = h (Z)

Maka g adalah pengangkatan dari h:

3. Perhatikan
pg (Z) = p ((k + Z) mod n) = p ((k mod n + Z mod n) mod n)
= p k mod n + 0; 1; :::; n

1
7

karena mjn maka
p k mod n + 0; 1; :::; n

1

=

k mod n + 0; 1; :::; n 1 mod m
n
o
= (k mod n) mod m + 0; 1; :::; m 1
n
o
=
k; k + 1; k + 2; :::; k + (m 1)
= (k + Z) mod m = h (Z)

Maka g adalah pengangkatan dari h.

2.3

Rantai Kompleks dan Barisan Eksak
Teori-teori berikut mengacu pada [5]. Berikut ini de…nisi dari rantai kom-

pleks.
De…nisi 2.13 Rantai kompleks C dari R modul adalah koleksi C = (Cn ; dn )n2Z
dimana Cn dan dn masing-masing adalah R modul dan R homomor…sma
(Cn ; dn ) :

! Cn+1 ! Cn ! Cn
dn+1

dn

1

! Cn

dn

2

!

1

sedemikian sehingga dn dn+1 = 0: Pemetaan dn disebut di¤erensial dari C. Lebih
jauh jika Im (dn+1 ) = ker (dn ) n 2 Z maka C disebut barisan eksak.
Berikut ini adalah de…nisi dari barisan eksak pendek.
De…nisi 2.14 Misalkan A; B;dan C adalah modul. Barisan homomor…sma modul
f

g

0!A!B!C!0
adalah barisan eksak pendek jika f adalah injektif, g adalah surjektif dan Im(g) =
ker(h).
g

f

Jika B ! C ! 0 adalah eksak maka g adalah surjektif dan jika 0 ! A ! B
adalah eksak maka f adalah injektif.
8

2.4

Kategori dan Fungtor
Teori-teori mengenai kategori dan fungtor berikut mengacu pada [6].

De…nisi 2.15 Suatu kategori C terdiri dari:
1. Kelas objek ObC yang elemennya disebut objek dari C
2. Koleksi himpunan Hom (X; Y ) ; satu untuk setiap pasangan terurut objekobjek dari X; Y 2 C. Unsur di Hom (X; Y ) disebut mor…sma (dari C) dari
X ke Y
3. Koleksi pemetaan
: Hom (X; Y )

Hom (Y; Z) ! Hom (X; Z)

(f; g)

7!

gf

untuk setiap triple terurut X; Y; Z 2 C.
Ketiga data di atas harus memenuhi
1. Setiap mor…sma f secara tunggal menentukan X; Y 2 C sedemikian sehingga f 2 Hom (X; Y ).
Dengan perkataan lain jika (X; Y ) 6= (X 0 ; Y 0 ) maka Hom (X; Y )\Hom (X 0 ; Y 0 )
=;
2. Untuk setiap X 2 C terdapat mor…sma
1X 2 Hom (X; X)
dinamakan identitas pada X, sedemikian sehingga jika f 2 Hom (X; Y ) dan
g 2 Hom (W; X) maka
f 1X = f dan 1X g = g
9

3. Komposisi mor…sma bersifat asosiatif, yaitu jika f 2 Hom (X; Y ) ; g 2
Hom (Y; Z) dan h 2 Hom (Z; W ) maka
h (gf ) = (hg) f

Dalam [6] dijelaskan bahwa kita juga dapat menulis X 2 C untuk menyatakan
X 2 ObC, dan HomC (X; Y ) atau C (X; Y ) untuk menyatakan Hom (X; Y ) : Morf

…sma f 2 Hom (X; Y ) juga dapat ditulis f : X ! Y atau X ! Y: Pada mor…sma
tersebut, objek X dan Y masing-masing disebut sumber dan target dari f: Himpunan [X;Y 2C Hom (X; Y ) dinotasikan dengan M or (C) :
Jika X suatu objek di C maka 1X tunggal. Dengan demikian terdapat korespondensi satu-satu antara kelas objek dari C dan kelas mor…sma identitas,
oleh karena itu dalam mende…nisikan sifat-sifat pada kategori cukup dilihat mor…sma dan komposisi (bukan objek). Pernyataan paling sederhana dalam kategori
adalah suatu komposisi mor…sma sama dengan suatu komposisi lainnya, misalkan gf = g 0 f 0 : Dalam hal ini kita katakan juga diagram berikut komutatif jika
gf = g 0 f 0 :
X

f

! Y

#f 0

#g
g0

X0 ! Y 0
Contoh 2.16
1. Sets. Objeknya berupa himpunan, mor…smanya berupa pemetaan, dan komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa.
2. Groups. Objeknya berupa grup, mor…smanya berupa homomor…sma grup,
dan komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa.
3. Ab. Objeknya berupa grup abel, mor…smanya berupa homomor…sma grup,
dan komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa.
4. R Mod. Objeknya berupa R modul, mor…smanya berupa homomor…sma
R modul, dan komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa.
10

Pemetaan yang mengawetkan operasi pada kategori disebut fungtor.
De…nisi 2.17 Sebuah fungtor dari kategori C ke kategori D, dinotasikan dengan
F : C ! D, terdiri dari:
1. Pemetaan ObC ! ObD : X ! F (X)
2. Pemetaan M orC ! M orD : f ! F (f ) sedemikian sehingga untuk setiap
f 2 HomC (X; Y ) kita punya F (f ) 2 HomD (F (X) ; F (Y ))
Kedua data di atas harus memenuhi kondisi berikut : F (f g) = F (f ) F (g) ; untuk
setiap f; g 2 M orC dimana f g terde…nisi. Lebih khusus, F (1X ) = 1F (X) :
De…nisi 2.18 Misalkan C kategori.
1. Mor…sma f : X ! Y di C dikatakan isomor…sma jika terdapat mor…sma
g : Y ! X sehingga gf = 1X dan f g = 1Y :
2. Objek X dan Y dikatakan isomor…k jika terdapat isomor…sma diantara keduanya.
Dengan analogi serupa kita juga dapat mende…nisikan isomor…sma kategori.
Isomor…sma antara ategori C dan Ddiberikan oleh fungtor F : C ! D dan
G : D ! C sedemikian sehingga F G = 1D dan GF = 1C : Namun syarat ini
terlalu kuat dan tidak realistis, oleh karena itu dide…nisikan istilah ekivalensi dua
kategori.
Lebih lanjut de…nisi dari fungtor kontravarian dan fungtor kovarian yang
beerdasarkan pada [5] adalah sebagai berikut.
De…nisi 2.19 Sebuah kontravarian fungtor T : C ! D, dimana C dan D kategori, adalah pemetaan yang memenuhi:
1. Jika C 2 ObC maka T (C) 2 ObC
2. Jika f : C ! C 0 di C maka T (f ) : T (C 0 ) ! T (C) di D
11

f

T (g)

g

T (f )

3. Jika C ! C 0 ! C 00 di C maka T (C 00 ) ! T (C 0 ) ! T (C) di D dan
T (gf ) = T (f ) T (g)

4. T (1A ) = 1T (A) untuk setiap A 2 ObC
De…nisi 2.20 Sebuah kovarian fungtor T : C ! D, dimana C dan D kategori,
adalah pemetaan yang memenuhi:
1. Jika A 2 ObC maka T (A) 2 ObC
2. Jika f : A ! A0 di C maka T (f ) : T (A) ! T (A0 ) di D
f

T (g)

g

T (f )

3. Jika A ! A0 ! A00 di C maka T (A) ! T (A0 ) ! T (A00 ) di D dan
T (gf ) = T (g) T (f )

4. T (1A ) = 1T (A) untuk setiap A 2 ObC
Berikut ini contoh dari fungtor kovarian yang berdasarkan pada [5].
Contoh 2.21 Misalkan C adalah kategori dan A 2 ObC, fungtor kovarian hom
TA : C !Sets, dinotasikan Hom (A; ), yaitu
TA (B) = Hom (A; B) ; 8B 2 ObC
dan jika f : B ! B 0 di C maka
TA (f ) : Hom (A; B) ! Hom (A; B 0 )
yaitu
Hom (A; f ) = TA (f ) : h 7 ! f h
Jika B 2 ObC maka Hom (A; B) 2 ObSets.
12

Misalkan f : B ! B 0 dan g : B 0 ! B" maka
Hom (A; f g) = Hom (A; f ) Hom (A; g)
:

Hom (A; B) ! Hom (A; B")

dan bersifat assosiatif, yaitu
Hom (A; f ) Hom (A; g) : h 7 ! f h 7 ! g (f h) = (gf ) h

Misalkan 1B : B ! B adalah pemetan identitas, maka
Hom (A; 1B ) : h 7 ! 1B h = h

8h 2 Hom (A; B), maka Hom (A; 1B ) = 1Hom(A;B)
De…nisi 2.22 Sebuah fungtor T : R Mod ! Ab dikatakan fungtor aditif jika
8R homomor…sma f; g : A ! B maka
T (f + g) = T (f ) + T (g)
Kemudian berikut ini adalah de…nisi kategori aditif. De…nisi berikut mengacu
pada [9].
De…nisi 2.23 Kategori A dikatakan kategori aditif jika berlaku:
A1 Untuk setiap pasang objek X; Y di A, himpunan HomA (X; Y ) merupakan
grup abel dan komposisi mor…sma
HomA (X; Y )

HomA (Y; Z) ! HomA (X; Z)

bilinier atas Z:
A2 A memuat objek 0 (yaitu untuk setiap objek di A maka himpunan HomA (X; 0)
dan HomA (0; X) memuat tepat satu unsur).
13

A3 Untuk setiap pasang objek X; Y di A terdapat koproduk X

Y:

Keterangan.
1. Kategori yang memenuhi kondisi (A1) dan (A2) disebut kategori pra-aditif
2. Misalkan C adalah kategori dan X; Y objek di C. Koproduk dari X dan
Y di C adalah objek X
1Y : Y ! X

Y bersama mor…sma 1X : X ! X

Y dan

Y dan memenuhi kondisi universal berikut: untuk setiap

objek Z di C dan mor…sma fX : X ! Z dan fY : Y ! Z terdapat
tunggal homomor…sma f : X Y ! Z sedemikian sehingga diagram berikut
komutatif.
Z
fX

%

-fY

"

X ! X
1X

Y

1Y

Y

Contoh 2.24 Kategori R Mod adalah kategori aditif.

2.5

Fungtor Eksak
Teori yang dijelaskan pada bagian ini mengacu pada [5] dan [7].

De…nisi 2.25 Misalkan fungtor aditif F : R

Mod

eksak kiri jika untuk setiap barisan eksak 0 ! A ! B

! Ab. F dikatakan
! C, maka barisan

0 ! F (A) ! F (B) ! F (C) adalah barisan eksak.
F dikatakan eksak kanan jika untuk setiap barisan eksak A
0, maka barisan F (A)

! F (B)

! F (C)

! B

! C

!

! 0 adalah barisan eksak. F

dikatakan eksak jika memenuhi keduanya.
Proposisi 2.26 HomR (D; ) adalah fungtor eksak adalah eksak kiri.
Proposisi 2.27 P adalah R mod projektif jika dan hanya jika HomR (P; )
adalah fungtor eksak.
14

2.6

Rantai U Kompleks dan Barisan U Eksak
Teori yang dijelaskan pada bagian ini mengacu pada [3]. Generalisasi dari

rantai kompleks adalah rantai U kompleks. Berikut de…nisi dari rantai U kompleks.
De…nisi 2.28 Diberikan keluarga C = (Cn ; Un ; dn )n2Z dimana Cn ; Un adalah
R modul dan setiap Cn memuat Un dan dn : Cn ! Cn 1 : Rantai
! Cn+1 ! Cn ! Cn

(Cn ; Un ; dn ) :

dn+1

dn

1

! Cn

dn

2

!

1

dikatakan rantai U kompleks jika:
1. dn dn+1 (Cn+1 )
2. Im (dn )

Un

Un

1

1

Dari de…nisi di atas maka jelas bahwa rantai kompleks adalah rantai 0 kompleks,
dimana 0 barisan submodul 0: Begitu juga dengan rantai (Cn ; Un ; dn ) dengan
sifat dn dn+1 (Cn+1 ) = Un+1 juga rantai U kompleks. Jika (Cn ; Un ; dn ) rantai
U kompleks maka Im (dn )

d

1

(Un 1 ) :Jika Im (dn ) = d

1

(Un 1 ) 8n 2 Z maka

rantai U kompleks tersebut dikatakan barisan U eksak.
1. Diberikan Z8 = 0; 1; :::; 7 dan barisan

Contoh 2.29

! Z8 ! Z8 ! Z8 ! Z8 !
dn+1

dn

dn

1

dengan dn = 2x mod 8 8x 2 Z8 ; n 2 Z:
Perhatikan
dn dn+1 (Z8 ) = dn (2Z8 mod 8) = 4Z8 mod 8
0; 4

0; 4

0; 2; 4; 6 = 2x mod 8 = Im dn

maka Z8 ; 0; 4 ; 2x mod 8 adalah 0; 4

kompleks.
15

n
o
2. Diberikan Z12 = 0; 1; :::; 11 dan barisan
! Z12 ! Z12 ! Z12 ! Z12 !
dn+1

dn

dn

1

dengan dn = 2x mod 12 8x 2 Z12 ; n 2 Z:
Perhatikan
o
n
0; 4; 8
dn dn+1 (Z12 ) = dn (2Z12 mod 12) = 4Z12 mod 12
n
o
n
o
0; 4; 8
0; 2; 4; 6; 8; 10 = 2x mod 12 = Im dn
o
n
o
n
kompleks.
maka Z12 ; 0; 4; 8 ; 2x mod 12 adalah 0; 4; 8
Generalisasi dari barisan eksak pendek adalah barisan U eksak.
De…nisi 2.30 Misalkan 0

f

! A

! B

g

! C

! 0 adalah f0g eksak di

A; U eksak di B; dan f0g eksak di C maka barisan tersebut dikatakan barisan
U eksak pendek.
Barisan 0

f

! A

g

! B

! C

injektif, g surjektif, dan Im f = g
Contoh 2.31
0

! Z2

1

! 0 dikatakan U eksak pendek jika f

(U ).

1. Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul
f

! Z5

g

! Z5

! 0 dengan f (x) = x mod 5; 8x 2 Z2 ; dan

g (x) = x mod 5; 8x 2 Z5.
Karena jZ2 j < jZ5 j maka f injektif. Karena jZ5 j = jZ5 j maka g surjektif.
Dan
f (Z2 ) = Z2 mod 5
=
g
f

g

1

0; 1

0; 1
= 0; 1

Z5
Z5

maka 0 ! Z2 ! Z5 ! Z5 ! 0 adalah 0; 1

eksak di Z5 .
16

2. Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul 0

! Zl

f

!

g

Zm ! Zm ! 0 dengan f (x) = x mod m dan g (x) = x mod m, l < m:
Karena jZl j < jZm j maka f injektif. Karena jZm j = jZm j maka g surjektif.
Dan
f (Zl ) = Zl mod m
0; 1; :::; l

=
1

g

0; 1; :::; l

f

1

1

Zm

= 0; 1; :::; l

1

Zm

g

maka 0 ! Zl ! Zm ! Zm ! 0 adalah 0; 1; :::; l

2.7

1

eksak di Zm :

Mor…sma U Kompleks dan Rantai U Homotopi
Generalisasi dari mor…sma kompleks adalah mor…sma U kompleks. Berikut

adalah de…nisi dari mor…sma U kompleks.

De…nisi 2.32 Misalkan (C; U; @) adalah rantai U kompleks dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) adalah
rantai U 0 kompleks. Mor…sma U kompleks adalah barisan F = Fp : Cp ! Cp0

p2Z

sehingga diagram berikut
:::

!

Cp+1

@p+1

!

#Fp+1
:::

!

0
Cp+1

Cp

@p

!

#F p
0
@p+1

!

Cp0

Cp
#Fp

@p0

!

adalah komutatif, yaitu Fp 1 @p = @p0 Fp dan Fp (Up )

Cp0

! :::

1
1

1

! :::

Up0 . Mor…sma U kompleks

disubut juga rantai (U; U 0 ) pemetaan.
n
o
Contoh 2.33 Misalkan Z8 = 0; 1; :::; 7 , Z12 = 0; 1; :::; 11 , Z8 ; 0; 4 ; 2x mod 8
adalah 0; 4
kompleks dan
o
n
o
n
kompleks. Misalkan F = (Fp )p2Z
Z12 ; 0; 4; 8 ; 2x mod 12 adalah 0; 4; 8
dengan Fp (x) = x mod 12; 8x 2 Z8 .
17

Perhatikan
!

:::

p+1

!

Z8
#Fp+1

!

:::
Fp

p

!

#F p
p+1

!

Z12

Z12

! :::

Z8
#Fp

p

!

1

! :::

Z12

(2x mod 8) = 2x mod 12 = p (x mod 12) =
n
o
0; 4; 8 .
Fp 0; 4 = 0; 4 mod 12
n
o
Maka F adalah rantai
0; 4 ; 0; 4; 8
pemetaan.
1

p

(Z8 ) = Fp

Z8

1

p Fp

(Z8 ) :

Kemudian generalisasi rantai homotopi adalah rantai (U; U 0 ) homotopi.
De…nisi 2.34 Misalkan (C; U; @) adalah rantai U kompleks dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) adalah
rantai U 0 kompleks. Dan misalkan Fp ; Gp : Cp

! Cp0 adalah rantai (U; U 0 )

pemetaan. F dan G dikatakan rantai (U; U 0 ) homotopik, dinotasikan F ' G,
jika terdapat barisan homomor…sma R modul D = (Dp )p2Z , sehingga memenuhi
kondisi berikut
0
1. @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp

Gp

0
Up+1

2. Dp (Up )

:::

! Cp+1

@p+1

!

Dp

:::

0
! Cp+1

.

@p

!

Cp
#Fp

0
@p+1

Gp

Dp

1

! :::

Cp0

1

! :::

.

@p0

Cp0

!

1

Cp

!

Barisan D = fDp g disebut rantai (U; U 0 ) homotopi.
Contoh 2.35 Berdasarkan Contoh 2:33, Z8 ; 0; 4 ; 2x mod 8 adalah 0; 4
o
n
o
n
kompleks. Misalkan
kompleks dan Z12 ; 0; 4; 8 ; 2x mod 12 adalah 0; 4; 8
F = (Fp )p2Z dengan Fp (x) = 5x mod 12; G = (Gp )p2Z dengan Gp (x) = x mod 12;
8x 2 Z8
:::

:::

!

Z8

! Z12

p+1

!

Z8

.Dp

#Fp

p+1

!

Z12

p

!
Gp

.Dp
p

!

Z8

! :::

Z12

! :::

1

18

De…nisikan D = (Dp )p2Z dengan Dp (x) = x mod 12 8x 2 Z8 . Perhatikan
p+1 Dp

+ Dp

1

p

(x) =
=

p+1 Dp
p+1

(x) + Dp

1

p

(x)

(x mod 12) + Dp

1

(2x mod 8)

= 2 (x mod 12) mod 12 + (2x mod 8) mod 12
= 2x mod 12 + 2x mod 12
= 2x + 2x = 4x = 4x mod 12
= 5x

x mod 12

= 5x mod 12
= Fp (x)

x mod 12

Gp (x) = (Fp

dan
Dp

0; 4

= 0; 4 mod 12

Gp ) (x)

n
o
0; 4; 8

Maka F ' G.

19

BAB 3
Fungtor U eksak dan U fungtor

Pada bagian ini akan dibahas struktur dan sifat dari fungtor U eksak.

Fungtor U eksak

3.1

De…nisi 3.1 Misalkan R dan S gelanggang komutatif dan T fungtor kovarian
aditif dari R modul ke S modul. T adalah U eksak kiri jika memenuhi kondisi
berikut.
Misalkan diberikan barisan U eksak dari R modul dan R homomor…sma
'

0 !A !B !C
maka barisan S modul dan S homomor…sma
T (')

T( )

0 ! T (A) ! T (B) ! T (C)
adalah T (U ) eksak.
Contoh 3.2 Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul 0
Z2

f

! Z5

!

g

! Z5 dengan f (x) = x mod 5 dan g (x) = x mod 5, berdasarkan
eksak. Maka barisan 0 ! HomR

Contoh 2:31 (1) barisan tersebut adalah 0; 1
f

g

(Z; Z2 ) ! HomR (Z; Z5 ) ! HomR (Z; Z5 ) adalah HomR Z; 0; 1
Z
.
0

! Z2

f

#

! Z5

&
g

! Z5

Bukti.
1. Ambil sebarang

2 ker f , akan ditunjukkan
20

= 0:

eksak.

= 0, artinya f (x) = 0 8x 2 Z:

Berdasarkan de…nisi f , kita puya f
f

g

Karena 0 ! Z2 ! Z5 ! Z5 adalah 0; 1
sehingga

eksak maka f monomor…sma

= 0.

Jelas bahwa
f (0) = f 0 dan f 0 (x) = 0 8x 2 Z
maka 0 2 ker f .
2. Ambil sebarang
Karena
: Maka

2 Im f maka terdapat

1

f

! Z2

0; 1

! Z5 adalah

, maka kita punya

3. Ambil sebarang

=

2 g 1 HomR Z; 0; 1

0; 1

Karena Im f = g

(U ) atau g (x) 2

, akan ditunjukkan

maka terdapat

= : Maka g (x) 2 0; 1

sehingga g ( ) = g
1

1

eksak maka Im f =
0; 1

se-

: Oleh karena

:

2 g 1 HomR Z; 0; 1

Karena

(x) 2 g

0; 1

atau g ( ) 2 HomR Z; 0; 1

2 g 1 HomR Z; 0; 1

(x) 2 g

2 HomR (Z; Z2 ) sehingga f ( ) = f

g

! Z5

hingga g 2 HomR Z; 0; 1
itu

:

(x) 2 Im f 8x 2.Z:

Karena 0
g

2 g 1 HomR Z; 0; 1

2 Im f , akan ditunjukkan

2 Im f :

2 HomR Z; 0; 1

8x 2 Z: Oleh karena itu

:
1

0; 1

(x) 2 Im f:

, maka kita punya

Karena f monomor…sma maka f : A ! Im f isomor…sma. Konstruksikan
pemetaan komposisi h : Z ! Z2
f

maka h 2 HomR (Z; Z2 ) dan

1

Im f ! Z2

Z ! Im

= f h = f (h) sehingga

2 Im f :

Z
h

Z2

.
f

#

! Im f

&
Z5

g

! Z5
21

f

Maka berdasarkan (1) (3) kita peroleh bahwa barisan 0 ! HomR (Z; Z2 ) !
g

HomR (Z; Z5 ) ! HomR (Z; Z5 ) adalah HomR Z; 0; 1

eksak.

Proposisi 3.3 HomR (D; ) adalah U eksak kiri.
'

Bukti. Misalkan 0 ! A ! B ! C adalah barisan U eksak. Akan dibuk'

tikan 0 ! HomR (D; A) ! HomR (D; B) ! HomR (D; C) adalah HomR (D; U )
eksak.
D
.

&

'

! A

0

#

! B

! C

1. Akan dibuktikan ker ' = f0g. Ambil sebarang f 2 ker ', akan dibuktikan
f = 0:
Berdasarkan de…nisi ', kita puya 'f = 0, artinya 'f (x) = 0 8x 2 D:
Karena 0

'

! A

! B

! C adalah U eksak maka ' monomor…sma

sehingga f = 0.
Jelas bahwa
' (0) = '0 dan '0 (x) = 0 8x 2 D

maka 0 2 ker '.
1

2. Akan dibuktikan Im '
1

akan dibuktikan f 2

(HomR (D; U )). Ambil sebarang f 2 Im ',

(HomR (D; U )) :

Karena f 2 Im ' maka terdapat g 2 HomR (D; A) sehingga ' (g) = 'g = f:
Maka f (x) 2 Im ' 8x 2 D.
'

Karena 0 ! A ! B ! C adalah U eksak maka Im ' =
1

kita punya f (x) 2
atau

(U ) atau

Ambil sebarang f 2

1

(HomR (D; U ))
1

(U ), maka

(f (x)) 2 U sehingga f 2 HomR (D; U )

(f ) 2 HomR (D; U ) : Oleh karena itu f 2

3. Akan dibuktikan

1

1

(HomR (D; U )) :

Im '.

(HomR (D; U )), akan dibuktikan f 2 Im ':
22

1

Karena f 2
(f ) =
1

(HomR (D; U )) maka terdapat g 2 HomR (D; U ) sehingga
f (x) 2 U 8x 2 D: Oleh karena itu f (x) 2

f = g: Maka

(U ) :

Karena 0

! A

'

! B

! C adalah U eksak maka Im ' =

1

(U ),

maka kita punya f (x) 2 Im ':
Karena ' monomor…sma maka ' : A ! Im ' isomor…sma. Konstruksikan
pemetaan komposisi h : D ! A
f

'

D ! Im f

1

Im ' ! A

maka h 2 HomR (D; A) dan f = 'h = ' (h) sehingga f 2 Im ':
D
h

.

#f

'

! Im '

A

&
B

! C

De…nisi 3.4 Fungtor aditif kovarian T adalah U eksak kanan jika memenuhi
kondisi berikut.
Misalkan diberikan barisan U eksak dari R modul dan R homomor…sma
'

A !B !C !0
maka barisan S modul dan S homomor…sma
T (')

T( )

T (A) ! T (B) ! T (C) ! 0
adalah T (U ) eksak.
Contoh 3.5 Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul Zl
Zm

g

! Zm

f

!

! 0 dengan f (x) = x mod m dan g (x) = x mod m, l <

m; berdasarkan Contoh 2:31 (2) barisan tersebut adalah

0; 1; :::; l

1

eksak.
23

f

g

Maka barisan HomR (Z; Zl ) ! HomR (Z; Zm ) ! HomR (Z; Zm ) ! 0 adalah
HomR Z; 0; 1; :::; l

1

eksak.
Z
.

#

&

f

g

! Zm

Zl

! Zm

! 0

Bukti.

Karena

2 Im f maka terdapat

1

HomR Z; 0; 1; :::; l

2 HomR (Z; Zl ) sehingga f ( ) = f

1

Karena Zl

f

g

! Zm

1

! Zm

0; 1; :::; l

1

! 0 adalah

2 g

1

(x) 2 g

, sehingga kita punya

atau g ( ) 2 HomR Z; 0; 1; :::; l
2. Ambil sebarang

0; 1; :::; l

=

eksak maka
1

0; 1; :::; l

1 8x 2 Z; maka g 2 HomR Z; 0; 1; :::; l

atau g (x) 2 0; 1; :::; l

1

1

sehingga

HomR Z; 0; 1; :::; l

1
1

2g

1

1

, akan ditunjukkan

HomR Z; 0; 1; :::; l

2 Im f :
Karena

1

2g

HomR Z; 0; 1; :::; l

0; 1; :::; l

1 ) sehingga g ( ) = g

0; 1; :::; l

1

Karena Zl
Im f = g

1

8x 2 Z atau

f

(x) 2 g

g

! Zm

! Zm

0; 1; :::; l

bahwa f : A ! Im f

1
=
1

maka terdapat

2 HomR (Z;

. Maka kita punya g (x) 2
0; 1; :::; l

! 0 adalah

1

0; 1; :::; l

:
1

eksak maka

, sehingga kita punya (x) 2 Im f . Kita punya

1

B epimor…sma dan berdasarkan Contoh 2:12 maka

terdapat h : Z ! Zl sehingga f h = f (h) = :
Z
h

Zl
Sehingga

.

(x) 2 Im f 8x 2 Z:

, maka

Im f = g

2g

2 Im f , akan ditunjukkan

1. Ambil sebarang

.
f

#

! Im f

&
Zm

g

! Zm

2 Im f :
24

1

:

2 Im g, akan ditunjukkan

3. Ambil sebarang

2 Im g maka terdapat

Karena
maka

2 HomR (Z; Zm ) :

2 HomR (Z; Zm ) sehingga g ( ) = g =

(x) 2 Im g 8x 2 Z:
f

g

! Zm

Karena Zl

! Zm

! 0 adalah 0; 1; :::; l

epimor…sma dan Im g = Zm , sehingga kita punya
Maka

1

eksak maka g

(x) 2 Zm 8x 2 Z.

2 HomR (Z; Zm ) :
2 HomR (Z; Zm ) ; akan ditunjukkan

4. Ambil sebarang
Karena

2 HomR (Z; Zm ) kita punya

g

Zm ! Zm ! 0 adalah 0; 1; :::; l

2 Im g.

(x) 2 Zm 8x 2 Z. KarenaZl

1

f

!

eksak maka Im g = Zm , sehingga

(x) 2 Im g 8x 2 Z.
Karena g epimor…sma dan berdasarkan Contoh 2:12 maka terdapat h :
Z ! Zm sehingga gh = g (h) = .
Z
.

#h

f

! Im f

Zl

&
Zm

g

! Zm

2 Im g.

Sehingga

f

Maka berdasarkan (1) (4) kita peroleh barisan HomR (Z; Zl ) ! HomR (Z; Zm )
g

! HomR (Z; Zm ) ! 0 adalah HomR Z; 0; 1; :::; l

1

eksak.

Proposisi 3.6 D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR (D; )
adalah U eksak kanan.
Bukti. Misalkan A

'

! B

! C

! 0 adalah U eksak. Akan dibuktikan

'

HomR (D; A) ! HomR (D; B) ! HomR (D; C) ! 0 adalah HomR (D; U )
eksak
D
.
A

'

#

! B

&
! C

! 0
25

1

1. Akan dibuktikan Im '
1

akan dibuktikan f 2

(HomR (D; U )) : Ambil sebarang f 2 Im ',

(HomR (D; U )).

Karena f 2 Im ':maka terdapat g 2 HomR (D; A) sehingga ' (g) = 'g = f ,
maka f (x) 2 Im ' 8x 2 D:
'

! B

Karena A

! C

! 0 adalah U eksak maka Im ' =
1

sehingga kita punya f (x) 2

1

2. Akan dibuktikan

(f ) =
1

(HomR (D; U ))
1

Ambil sebarang f 2
1

f (x) 2 U 8x 2 D; maka

(f ) 2 HomR (D; U ) sehingga f 2

HomR (D; U ) atau

Karena f 2

(U ) atau

1

1

(U ),
f 2

(HomR (D; U )) :

Im ':

(HomR (D; U )), akan dibuktikan f 2 Im ':

(HomR (D; U )) maka terdapat g 2 HomR (D; U ) sehingga

f = g. Maka kita punya

f (x) 2 U 8x 2 D atau f (x) 2

(U ) :
'

1

(U ),

sehingga kita punya f (x) 2 Im '. Kita punya bahwa ' : A ! Im '

B

Karena A

! B

! C

! 0 adalah U eksak maka Im ' =

epimor…sma dan karena D adalah R mod proyektif maka terdapat h :
D ! A sehingga 'h = ' (h) = f:
D
h

.
'

#f

! Im '

A

&
B

! C

Sehingga f 2 Im ':
3. Akan dibuktikan Im

HomR (D; C) : Ambil sebarang f 2 Im , akan

dibuktikan f 2 HomR (D; C) :
Karena f 2 Im
maka f (x) 2 Im
'

Karena A ! B
Im

maka terdapat g 2 HomR (D; B) sehingga

(g) = g = f

8x 2 D:
!C

! 0 adalah U eksak maka

epimor…sma dan

= C, sehingga kita punya f (x) 2 C 8x 2 D. Maka f 2 HomR (D; C) :
26

Im : Ambil sebarang f 2 HomR (D; C),

4. Akan dibuktikan HomR (D; C)
akan dibuktikan f 2 Im .

Karena f 2 HomR (D; C) kita punya f (x) 2 C 8x 2 D. Karena A
B ! C ! 0 adalah U eksak Im
Karena

= C, sehingga f (x) 2 Im

'

!

8x 2 D.

epimor…sma dan D adalah R mod proyektif maka terdapat h :

D ! B sehingga h =

(h) = f .
D
.

#h &f

'

! B

A

! C

Sehingga f 2 Im .
Maka dari (1)

(4) terbukti bahwa HomR (D; ) adalah U eksak kanan.

Sebaliknya, jika HomR (D; ) adalah U eksak kanan maka
Oleh karena itu jika
maka terdapat

: B

! C dan

2 HomR (D; B),

2 HomR (D; C), yaitu

: D ! C sedemikian sehingga

epimor…sma.
: D

! C,

=

atau

( ) = . Maka D adalah R modul projektif.
De…nisi 3.7 Fungtor aditif kovarian T adalah U eksak, jika untuk setiap barisan
U eksak pendek dari R modul dan R homomor…sma
'

0 !A !B !C !0
maka barisan S modul dan S homomor…sma
T (')

T( )

0 ! T (A) ! T (B) ! T (C) ! 0
adalah T (U ) eksak.
Contoh 3.8 Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul 0
Zl

f

! Zm

g

! Zm

!

! 0 dengan f (x) = x mod m dan g (x) = x mod m, l <

m; berdasarkan Contoh 2:31 (2) barisan tersebut adalah

0; 1; :::; l

1

eksak
27

f

g

pendek. Maka barisan 0 ! HomR (Z; Zl ) ! HomR (Z; Zm ) ! HomR (Z; Zm )
! 0 adalah HomR Z; 0; 1; :::; l

1

eksak.
f

! HomR (Z; Zm )

Bukti. Berdasarkan Contoh 3:5 barisan HomR (Z; Zl )
HomR (Z; Zm ) ! 0 adalah HomR Z; 0; 1; :::; l
2 ker f , akan ditunjukkan

Ambil sebarang

Berdasarkan de…nisi f , kita puya f
0

! Zl

f

! Zm

g

! Zm

eksak.

= 0:

= 0, artinya f (x) = 0 8x 2 Z: Karena

! 0 adalah

f monomor…sma sehingga

1

g

!

0; 1; :::; l

1

eksak pendek maka

= 0.

Jelas bahwa
f (0) = f 0 dan f 0 (x) = 0 8x 2 Z
maka 0 2 ker f .
f

g

Sehingga kita peroleh 0 ! HomR (Z; Zl ) ! HomR (Z; Zm ) ! HomR (Z; Zm )
adalah HomR Z; 0; 1; :::; l

1

eksak. Oleh karena itu barisan

f

g

0 ! HomR (Z; Zl ) ! HomR (Z; Zm ) ! HomR (Z; Zm ) ! 0 adalah
HomR Z; 0; 1; :::; l

1

eksak.

Proposisi 3.9 D adalah R mod proyektif.jika dan hanya jika HomR (D; ) adalah
U eksak.
D
.
0

'

! A

#

! B

&
! C

! 0

'

Bukti. Misalkan 0 ! A ! B ! C ! 0 adalah U eksak, maka berdasarkan
'

Proposisi 3:3 dan 3:6 barisan 0 ! HomR (D; A) ! HomR (D; B) ! HomR (D; C)
! 0 adalah HomR (D; U ) eksak. Maka HomR (D; ) adalah U eksak.
Sebaliknya, jika HomR (D; ) adalah U eksak maka
karena itu jika
terdapat

:B

! C dan

2 HomR (D; B),

: D

2 HomR (D; C), yaitu

epimor…sma. Oleh
:D

! C sedemikian sehingga

! C, maka
=

atau

( ) = . Maka D adalah R modul projektif.
28

3.2

U fungtor
Pada bagian ini akan dibahas struktur dan sifat dari U fungtor kovarian.

De…nisi 3.10 Misalkan T adalah fungtor kovarian. T dikatakan U fungtor kovarian jika untuk setiap homomor…sma ' : A ! B dan setiap U submodul B
dengan U

Im ' sehingga memenuhi kondisi
T (U )

Im T (')

Contoh 3.11 Misalkan f : Zm ! Zn ; f (x) = x mod n 8x 2 Zm dengan njm.
Diketahui 0; 1

Im f . maka HomR Z; 0; 1

Bukti. Ambil sebarang
Karena
Im

2 HomR Z; 0; 1

2 HomR Z; 0; 1
0; 1 dan Im

=

0; 1

Im f :

, akan dibuktikan

f : Z ! 0; 1

2 Im f .

f homomor…smag maka

Im f sehingga kita punya diagram
Z
.

Zm

f

! Im f

Berdasarkan Contoh 2:12, maka terdapat
atau f ( ) = . Oleh karena itu

#
Zn
2 HomR (Z; Zm ) sehingga f

=

2 Im f .

Proposisi 3.12 D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR (D; )
adalah U fungtor kovarian.

Bukti. Misalkan homomor…sma ' : A ! B dan U submodul dari B dengan
U

Im ' = ' (A).

Ambil sebarang

2 HomR (D; U ), akan dibuktikan

2 Im '.
29

Karena
dan Im

2 HomR (D; U ) = ff : D ! U j f homomor…smag maka Im
U

U

Im ' sehingga kita punya diagram
D
.
A

#

'

! Im '

B

Karena D adalah R modul projektif maka terdapat
' =

2 HomR (D; A) sehingga

2 Im '. Maka HomR (D; ) adalah

atau ' ( ) = . Oleh karena itu

U fungtor kovarian.
Misalkan HomR (D; ) adalah U fungtor kovarian. Misalkan ' : A
Im '

B epimor…sma. Karena HomR (D; ) adalah U fungtor kovarian maka

' : HomR (D; A)
Im '

!

! Im '

HomR (D; B), yaitu

sehingga ' =

HomR (D; B) epimor…sma. Sehingga jika
: D ! Im '

B maka terdapat

2

2 HomR (D; A)

atau ' ( ) = . Akibatnya D adalah R modul projektif.

Contoh 3.13 Diketahui Z8 ; 0; 4 ; f ; dengan f (x) = 2x mod 8 8x 2 Z8 ,
adalah rantai 0; 4

kompleks. Maka HomR (Z; Z8 ) ; HomR Z; 0; 4

adalah rantai HomR Z; 0; 4

kompleks.

Bukti. Karena Z8 ; 0; 4 ; @ adalah rantai 0; 4
0; 4 dan kita punya homomor…sma (f
HomR (Z; f

; HomR (Z; f )

kompleks maka (f

f ) (Z8 )

f ) : Z8 ! 0; 4 , sehingga

f ) : HomR (Z; Z8 ) ! HomR Z; 0; 4

atau
HomR (Z; f ) HomR (Z; f ) : HomR (Z; Z8 ) ! HomR Z; 0; 4
sehingga (HomR (Z; f ) HomR (Z; f )) (HomR (Z; Z8 ))
Karena Z8 ; 0; 4 ; @ adalah rantai 0; 4

HomR Z; 0; 4

kompleks maka 0; 4

:
Im f .

Karena f : Z8 ! Z8 ; f (x) = 2x mod 8 8x 2 Z8 maka kita peroleh
HomR Z; 0; 4

HomR (Z; f ) (HomR (Z; Z8 )).

30

Proposisi 3.14 Misalkan T adalah U fungtor kovarian dan (C; U; @) adalah
rantai U kompleks, maka barisan
(T (C) ; T (U ) ; T (@)) : ::: ! T (Cp+1 )

T (@p+1 )

T (@p )

! T (Cp ) ! T (Cp 1 ) ! :::

adalah rantai T (U ) kompleks.
Bukti.
1. Akan dibuktikan T (@p ) T (@p+1 ) T (Cp+1 )

T (Up 1 ) :

Karena (C; U; @) adalah rantai U kompleks maka
@p @p+1 (Cp+1 )

Up

1

dan kita punya homomor…sma @p @p+1 : Cp+1

Up 1 , sehingga T (@p @p+1 ) : T (Cp+1 )

!

! T (Up 1 ). Karena T kovarian

maka T (@p @p+1 ) = T (@p ) T (@p+1 ) : T (Cp+1 ) ! T (Up 1 ) sehingga
T (@p ) T (@p+1 ) T (Cp+1 )
2. Akan dibuktikan T (Up 1 )

T (Up 1 ).
Im T (@p ) :

Karena (C; U; @) adalah rantai U kompleks maka Up
T adalah U fungtor kovarian dan @p : Cp
T (Up 1 )

T (@p ) (T (Cp )) atau T (Up 1 )

! Cp

1

1

Im @p . Karena

maka kita peroleh

Im T (@p ).

Contoh 3.15 Lihat Contoh 2:33, kita punya F adalah rantai (f0; 4g ; f0; 4; 8g)
pemetaan, maka HomR (Z; F ) adalah rantai (HomR (Z; f0; 4g) ; HomR (Z; f0; 4; 8g))
pemetaan.
Bukti. Karena Fp

1

p

=

p Fp .

maka HomR (Z; Fp 1 ) HomR (Z;

p)

= HomR Z;

p

HomR (Z; Fp ).
Karena Fp (f0; 4g)

f0; 4; 8g maka kita punya Fp jf0;4g : f0; 4g

hingga HomR (Z; F ) (HomR (Z; f0; 4g))

! f0; 4g se-

HomR (Z; f0; 4; 8g) :

Maka HomR (Z; F ) adalah rantai (HomR (Z; f0; 4g) ; HomR (Z; f0; 4; 8g))

pemetaan.

31

Proposisi 3.16 Misalkan (C; U; @) adalah rantai U kompleks dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
adalah rantai U 0 kompleks. Dan misalkan F = fFp g adalah rantai (U; U 0 )
pemetaan. Jika T adalah U fungtor kovarian maka TF = fT (Fp )g adalah rantai
(T (U ) ; T (U 0 ))

pemetaan.

Bukti. Karena F = fFp g adalah rantai (U; U 0 ) pemetaan maka kita punya
diagram komutatif
:::

!

Cp+1

@p+1

!

#Fp+1
:::

!

0
Cp+1

Cp

@p

!

#Fp
0
@p+1

!

Cp0

Cp
#F p

@p0

!

Cp0

! :::

1
1

1

! :::

sehingga Fp 1 @p = @p0 Fp . Karena T fungtor kovarian maka T (Fp 1 ) T (@p ) =
T @p0 T (Fp ).
Karena Fp (Up )

Up0 maka kita punya Fp jUp : Up ! Up0 sehingga

T (Fp ) (T (Up ))

T Up0 .

Contoh 3.17 Berdasarkan Contoh 2:35 kita punya Z8 ; 0; 4 ; 2x mod 8 adalah
n
o
n
o
kompleks dan Z12 ; 0; 4; 8 ; 2x mod 12 adalah rantai 0; 4; 8
rantai 0; 4
kompleks. Misalkan F = (Fp )p2Z dengan Fp (x) = 5x mod 12; G = (Gp )p2Z dengan Gp (x) = x mod 12; 8x 2 Z8 , dan F ' G. Maka HomR (Z; F ),HomR (Z; G)
n
o
adalah rantai HomR Z; 0; 4 ; HomR Z; 0; 4; 8
homotopik.
Bukti. Perhatikan bahwa
HomR (Z; Fp

Gp ) = HomR Z;

p+1 Dp

HomR (Z; Fp )

HomR (Z; Gp ) = HomR Z;

p+1 Dp

HomR (Z; Fp )

HomR (Z; Gp ) = HomR Z;

p+1

+ Dp

1

p

+ HomR (Z; Dp

1

p)

HomR (Z; Dp )

+HomR (Z; Dp 1 ) HomR (Z;
n
o
Karena F ' G maka Dp 0; 4
0; 4; 8 maka kita punya
n
o
Dp jf0;4g : 0; 4
! 0; 4; 8 maka HomR (Z; Dp ) HomR Z; 0; 4
o
n
Z; 0; 4; 8 .

p)

HomR

32

Maka HomR (Z; F ) ' HomR (Z; G).
Proposisi 3.18 Misalkan T adalah kovarian aditif U fungtor. Jika
F; G : C

! C 0 adalah rantai (U; U 0 ) homotopik maka T F; T G : T (C)

!

T (C 0 ) adalah rantai (T (U ) ; T (U 0 )) homotopik.
Bukti. Karena T adalah U fungtor maka berdasarkan Proposisi 3:16
T F; T G : T (C) ! T (C 0 ) adalah rantai (T (U ) ; T (U 0 )) pemetaan. Karena
F; G : C ! C 0 adalah rantai (U; U 0 ) homotopik maka kita punya diagram
@p+1

! Cp+1

:::

!

Dp

0
@p+1

0
! Cp+1

:::

.
!

@p

!

Cp
#F p
Cp0

Gp

Dp

1

Cp

1

! :::

Cp0

1

! :::

.

@p0

!

Akan dibuktikan T F; T G : T (C) ! T (C 0 ) adalah rantai (T (U ) ; T (U 0 )) homotopi,
yaitu:
0
T (Dp ) + T (Dp 1 ) T (@p ) = T (Fp )
1. Akan dibuktikan T @p+1
0
Karena F ' G maka @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp

T (Gp ) :

Gp . Karena T kovarian

aditif maka kita punya
T (Fp

0
Gp ) = T @p+1
Dp + Dp 1 @p

T (Fp )

0
T (Gp ) = T @p+1
Dp + T (Dp 1 @p )

T (Fp )

0
T (Gp ) = T @p+1
T (Dp ) + T (Dp 1 ) T (@p )

2. Akan dibuktikan T (Dp ) (T (Up ))
Karena F ' G maka Dp (Up )
Dp jUp : Up

0
T Up+1
:
0
Up+1
maka kita punya

0
. Karena T kovarian aditif maka T (Dp ) (T (Up ))
! Up+1

0
.
T Up+1

33

BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN

4.1

Kesimpulan
Fungtor U eksak adalah fungtor yang mengawetkan sifat keeksakan dari

suatu barisan U eksak. Beberapa sifat dari fungtor U eksak adalah
1. HomR (D; ) adalah U eksak kiri.
2. D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR (D; ) adalah
U eksak kanan.
3. D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR (D; ) adalah
U eksak.
Suatu U fungtor kovarian adalah fungtor yang untuk setiap homomor…sma
' : A ! B dan setiap U submodul B dengan U
T (U )

Im ', memenuhi kondisi

Im T (')

Beberapa sifat U fungtor adalah
1. D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR (D; ) adalah
U fungtor.
2. Barisan ::: ! T (Cp+1 )

T (@p+1 )

! T (Cp )

T (@p )

! T (Cp 1 ) ! :::adalah rantai

T (U ) kompleks jika T adalah U fungtor.
3. Jika T adalah U fungtor maka F = fFp g adalah rantai (U; U 0 ) pemetaan.
4. Jika T adalah U fungtor maka F ' G.
34

4.2

Saran
Untuk penulisan selanjutnya diharapkan megkaji lebih dalam topik-topik

dalam aljabar homologik, seperti kategori, kategori abel, dan kategori tringulated.

35

DAFTAR PUSTAKA

[1] B.Davvaz dan Y.A Parnian - Gramaleky, A Note on Exact Sequence, Bull.
Malaysian Math. Soc. (2) 22 (1999) ; 53-56
[2] S.M. Anvariyeh dan B.Davvaz, U-Split Exact Sequence, Far East J. Math.
Sci. (FJMS) 4 (2002), 2, 209-219
[3] B.Davvaz dan H.Shabani-Solt, A generalization of Homological Algebra,
J.Korean Math. Soc, 39 (2002), 6, 881-898
[4] Muchtadi, Intan. Aljabar dan Modul. 2012.
[5] Rotman, Joseph J. An Introduction to Homological Algebra. London: Springer
Verlag.1992.
[6] Gelfand, S.I. dan Y.U.I. Manin, Methods of Homological Algebra, 2nd Editio,
Heidelberg: Springer-Verlag, 1997
[7] Weibel, C.A. An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University
Press, United Kingdom, 1994.
[8] Gustina El…yanti. Generalisasi Kategori Kompleks. Laporan penulisan. UIN
Syarif Hidayatullah Jakarta. Pusat penulisan dan Penerbitan, 2013.
[9] Holm, T. P.Jorgensen
/
dan R.Rouquier, Trianglated Categories, London
Math.Soc. Lecture Note Series 375, Cambridge University Press, 2010.

36