Kapasitas Panas Model Debye Nilai Rapat Keadaan g

4

2.1 Pendahuluan

Salah satu model kapasitas panas yang terkenal dalam teori fisika benda padat adalah kapasitas panas model Debye. Dalam beberapa penelitian dan literatur tentang kapasitas panas Debye[1-5], perhitungan batas frekuensi Debye D  -nya masih menggunakan model materi kontinu walaupun perhitungan kapasitas panasnya sudah menggunakan model rantai atom tunggal monoatomik. Dalam penelitian yang dilakukan S. Jacimovski et al pada tahun 2011[1], telah disimulasikan kapasitas panas Debye dengan model rantai monoatomik dalam bentuk 1D. Pada penelitian tersebut, dibahas perbedaan antara model kontinu 1D dan model rantai monoatomik 1D. Oleh karena penelitian tersebut bertujuan untuk mencari karakteristik kapasitas panas pada temperatur rendah dan tinggi, maka diperlukan bentuk D  yang eksplisit agar dapat dilakukan analisa secara as y mptotics [10], walaupun model yang digunakan memakai rantai monoatomik. Dalam penelitian ini dilakukan pendekatan yang berbeda dari penelitian tersebut, yakni pendekatan analisa secara numerik.Dengan pendekatan tersebut, D  bisa dihitung untuk model rantai monoatomik. Penelitian ini bertujuan untuk mensimulasikan kapasitas panas Debye berbentuk 1D, 2D, dan 3D model rantai monoatomik dengan perhitungan D  dari model rantai monoatomik menggunakan analisa secara numerik dan untuk menghitung besar kapasitas panas Debye menggunakan metode integral trapesium.

2.1.1 Kapasitas Panas Model Debye

Besar kapasitas panas Debyedalam bentuk diferensial pada volume tetap adalah[6] : v v dT dE C  1 dimana nilai E merupakan total energi yang ada di dalam padatan baik bentuk vibrasi atom maupun energi kinetik eletron-bebas. Persamaan E untuk model Debye adalah[7] :       d g e E i D T B K         1 2 1    2 dimana  adalah tetapan Planck,  adalah frekuensi sudut, B k tetapan Boltzmann, dan    g merupakan rapat keadaan kisi kristal. Untuk menentukan besar kapasitas panas pada volume tetap, maka persamaan 1 dapat ditulis menjadi :                      i D i T B K i v d g e dT d C      1   3 dimana i adalah dimensi sistem koordinat. Persamaan 3 ini akan digunakan untuk menghitung kapasitas panas v C model Debye dengan tinjauan kontinu dan rantai monoatomik 1D, 2D, dan 3D. Dalam vibrasi kisi kristal, kapasitas panas model Einstein menganggap bahwa atom-atom pada benda padat bergetar secara teriosilasi dengan atom tetangganya. Debye beranggapan bahwa teori tidak dapat diterapkan karena atom akan saling berinteraksi satu sama lain yang membentuk osilasi harmonik. Frekuensi getaran atom akan bervariasi dari   sampai dengan D    . Batas frekuensi D  ini disebut sebagai frekuensi potong Debye cutoff Debye frequency [9]. Bentuk persamaannya adalah : iN d g i D i      4 Nilai frekuensi D  merupakan kumpulan dari banyaknya bentuk  di dalam suatu interval N yang membentuk suatu kerapatan yakni rapat keadaan    i g . Pada penelitian[1], nilai frekuensi D  yang digunakan adalah a v 2 . Nilai ini merupakan bentuk materi kontinu 1D. Pada penelitian ini untuk menghitung frekuensi D  ditempuh dengan analisa numerik. 5

2.1.2 Nilai Rapat Keadaan g

i K Rapat keadaan g i K merupakan jumlah ragam gelombang dn dalam setiap interval panjang dK . Nilai g i K ini tergantung dari bentuk sistem koordinat seperti pada gambar berikut ini. a b c GAMBAR 1. a bentuk kisi kristal 1D, b bentuk kisi kistal 2D dengan K merupakan jari-jari lingkaran dan tebal lingkaran dK, c bentuk kisi kistal 3D dengan K jari-jari bola dan dK tebal kulit bola Rapat keadaan g i K jugadapat dinyatakan dalam    i g . Hubungan keduanya dapat diekspresikan dalam bentuk persamaan :   dK K g d g i i    5 Persamaan 5 dapat ditulis juga dalam bentuk persamaan :   1         dK d K g g i i   6 Berdasarkan gambar 1, dapat diperoleh nilai g i K sebagai berikut : TABEL 1. Bentuk rapat keadaan g i K dari berbagai jenis dimensi Dimensi i Bentuk rapat keadaan g i K 1        2 L 2 K L   2 2 2       3 2 3 4 2 K L         dengan mensubstitusi setiap nilai g i K pada masing-masing bentuk dimensi seperti pada tabel 1, maka dapat diperoleh besar rapat keadaan    i g untuk 1D, 2D, dan 3D.

2.1.3 Kapasitas Panas Model Rantai Monoatomik