Urban Growth Model Based on Economic Geography

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI PERKOTAAN
BERDASARKAN GEOGRAFI EKONOMI

NENENG KUSMAYANTI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Model Pertumbuhan
Ekonomi Perkotaan Berdasarkan Geografi Ekonomi adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2013
Neneng Kusmayanti
NIM G551090091

RINGKASAN
NENENG KUSMAYANTI. Model Pertumbuhan Ekonomi Perkotaan
Berdasarkan Geografi Ekonomi. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI dan FARIDA HANUM.
Dalam kegiatan perekonomian, pertumbuhan ekonomi adalah
perkembangan produksi barang dan jasa, sedangkan geografi ekonomi adalah
struktur tatanan perekonomian suatu negara dari dimensi ruang geografis.
Pembangunan ekonomi yang cepat dan perubahan struktur seperti sewa, area
perumahan, dan sistem transportasi merupakan ciri dari kemajuan perekonomian
dan kemajuan suatu negara. Suatu negara dikatakan tumbuh lebih maju ketika laju
produksi barang dan jasa naik, sehingga volume barang dan jasa yang dihasilkan
meningkat dari waktu ke waktu.
Teori pertumbuhan ekonomi neoklasik menyatakan bahwa pertumbuhan
ekonomi bergantung kepada pertambahan penyediaan faktor-faktor produksi dan
tingkat kemajuan teknologi. Faktor produksi yang dimaksud adalah tenaga kerja
dan modal. Domar pada tahun 1948 menyatakan bahwa output produksi

merupakan fungsi dari modal saja. Akibatnya tenaga kerja selalu dikombinasikan
dengan modal dalam proporsi yang tetap. Solow pada tahun 1956 memasukkan
tenaga kerja sebagai salah satu variabel dalam fungsi produksi, sehingga modal
dan tenaga kerja dapat dikombinasikan dalam berbagai proporsi.
Penelitian ini bertujuan mengkaji model dinamika pertumbuhan ekonomi
perkotaan berdasarkan geografi ekonomi, yaitu pembahasan sistem ekonomi
berdasarkan lokasi dan kondisi geografisnya. Model ini membagi area perkotaan
menjadi dua, yaitu area perumahan dan kawasan bisnis. Asumsi yang dipakai
adalah perkotaan memiliki tenaga kerja terpusat serta sistem ekonominya bersifat
multi sektor. Kegiatan ekonomi penduduk berupa produksi terjadi di kawasan
bisnis, sedang kegiatan konsumsi dan menabung dilakukan di area perumahan.
Untuk melakukan kegiatan perekonomian, penduduk menempuh perjalanan dari
area perumahan ke kawasan bisnis. Penelitian ini juga akan mengkaji solusi
ekuilibrium model dan simulasinya.
Hasil kajian teoritis menunjukkan bahwa sistem dinamik pertumbuhan
ekonomi perkotaan memenuhi bentuk sistem persamaan diferensial linear orde
satu. Variabel penentu pertumbuhan ekonomi, yaitu akumulasi modal dan input
tenaga kerja, dapat ditentukan ekuilibriumnya. Akumulasi modal menunjukkan
pola yang mengikuti fungsi eksponensial.
Studi simulasi memberikan hasil berikut. Selaras dengan ciri-ciri proses

pertumbuhan ekonomi perkotaan maka peningkatan elastisitas modal sektor
industri meningkatkan output produksi kedua sektor, baik sektor industri maupun
sektor jasa. Produksi sektor industri tersebut naik tajam, sedangkan output
produksi sektor jasa cenderung stagnan kemudian meningkat dengan kenaikan
yang lebih lambat dari sektor industri. Peningkatan elastisitas modal sektor
industri mendorong peningkatan pendapatan penduduk perkotaan, tingkat upah
tenaga kerja, serta modal di kedua sektor. Meskipun demikian konsumsi
perumahan cenderung turun seiring peningkatan elastisitas modal sektor industri.
Selain itu, hasil simulasi terhadap ruang dan waktu menunjukkan
perubahan nilai sewa lahan di perkotaan cenderung menurun seiring dengan

bertambahnya jarak dari kawasan bisnis dan bertambahnya waktu. Nilai sewa
lahan tertinggi ada pada lokasi yang memiliki jarak terdekat dengan kawasan
bisnis. Hasil simulasi juga memperlihatkan adanya peningkatan konsumsi
perumahan seiring kenaikan jarak dari kawasan bisnis. Hal ini menunjukkan
bahwa semakin menjauhi kawasan bisnis, semakin banyak penduduk yang
menyewa atau membeli perumahan. Dilain pihak, harga sewa perumahan
menunjukkan penurunan terhadap pertambahan jarak dan waktu, hal ini
menunjukkan bahwa semakin jauh dari kawasan bisnis, maka harga sewa
perumahan semakin murah.

Kata kunci:

ekuilibrium, geografi ekonomi, pertumbuhan ekonomi

SUMMARY
NENENG KUSMAYANTI. Urban Growth Model Based on Economic
Geography. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and FARIDA
HANUM.
In economic activity, economic growth means increasing production of
goods and services. Economic geography is economic system with respect to
spatial dimension. Rapid economic development and structural changes such as
rents, residential area, and transportation systems are indicators of progressivity of
a country and its economics. A country is said to progress when the production
rate of goods and services are increasing, then the volume of goods and services
produced are also increasing from time to time.
Neoclassical theory of economic growth depends on the increased the
supply of factors of production and the rate of technological progress. The
production factors are labor and capital. Domar in 1948 stated that production
output is a function of capital. As a result, labor is always combined with capital
on fixed proportion. Solow in 1956 added labour as one of the variables of

production function.
This study aims to examine the dynamics of urban growth model based on
economic geography, i.e. study of the economic system based on the location and
geographical conditions. The urban economic growth model considers the urban
area to be divided into two areas, namely residential area and central business
district. Urban area is assumed to have centralized workforce and multi sector
economic system. The main economic activity in the central business district is
production. On the other hand, consumption and saving activities are carried out
in the residential area. More over people need to travel from residential area to the
business district in their economic activities. This study will also examine the
equilibrium solutions of the model and then give simulation on the model.
The results of theoretical study show that the dynamic system of urban
economic growth model is formulated in the form of linear system of first order
differential equations. The variables which determine economic growth are the
accumulation of capital and labor inputs. The equilibrium of these variables can
be determined. Capital accumulation shows a pattern that follows an exponential
function.
Simulation study give the following results. The characteristics of urban
economic growth are confirmed by the fact that when the elasticity of the urban
industrial sector capital increases, then production output of the two sectors, both

industrial and service sector, are increased. The industrial production increases
sharply, while the service sector production output is relatively stagnant and then
increased with a slower rate compared to the industrial sector. Increased elasticity
of capital in industrial sector also tends to increase the income of urban residents,
the labor wages, and the capital of both sectors. However, housing consumption
tends to fall with increases in industrial sector capital elasticity.
Furthermore, simulation results demonstrate the spatial and temporal
changes in urban land rental values tend to decrease with increasing distance from
the central business district and increasing time. Highest land rent is in a location
that has the shortest distance to the central business district. The simulations also

show increase in consumption following the increase in distance from the central
business district. This suggests that the further away from the business district, the
more people who rent or buy housing. On the other hand, housing rents tend to
increase according to distance and time. It indicates that the further away from the
central business district, the price of rental housing is more affordable.
Key words: economic geography, equilibrium, economic growth

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2013
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI PERKOTAAN
BERDASARKAN GEOGRAFI EKONOMI

NENENG KUSMAYANTI

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

Penguji Luar Komisi:

Dr Ir Hadi Sumarno, MS

Judul Tesis : Model Pertumbuhan Ekonomi Perkotaan Berdasarkan Oeografi
Ekonomi
: Neneng Kusmayanti
Nama
: 0551090091
NIM

Disetujui oleh
Komisi Pembimbing

Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS
Ketua

Dra Farida Hanum, MSi
Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi
Matematika Terapan

Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS

Tanggal Ujian: 25 Juli 2013

Tanggal Lulus:

0 2 AUG 2013

Judul Tesis : Model Pertumbuhan Ekonomi Perkotaan Berdasarkan Geografi
Ekonomi
Nama

: Neneng Kusmayanti
NIM
: G551090091

Disetujui oleh
Komisi Pembimbing

Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS
Ketua

Dra Farida Hanum, MSi
Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi
Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS

Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr

Tanggal Ujian: 25 Juli 2013

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2011 ini ialah
pemodelan, dengan judul Model Pertumbuhan Ekonomi Perkotaan Berdasarkan
Geografi Ekonomi.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr Ir Endar H. Nugrahani MS,
dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Dr Ir Hadi
Sumarno MS, yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, suami serta seluruh keluarga, atas segala doa dan
kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2013
Neneng Kusmayanti

DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian

1
1
2

2 TINJAUAN PUSTAKA
Definisi Pertumbuhan Ekonomi
Fungsi Produksi
Ekuilibrium
Model Pertumbuhan Ekonomi Domar
Model Pertumbuhan Ekonomi Solow

2
2
3
3
4
4

3 MODEL PERTUMBUHAN GEOGRAFI EKONOMI PERKOTAAN
Asumsi, Definisi, dan Fungsi
Perumusan Model
Sistem Dinamik Model Geografi Ekonomi
Ekuilibrium Sistem Dinamik

6
6
7
12
17

4 SIMULASI SISTEM EKONOMI GEOGRAFI
Dinamika Akumulasi Modal Perkotaan
Pertumbuhan Modal dan Penduduk pada Ekuilibrium
Pengaruh Perubahan Produktivitas Sektor Industri
Dinamika Sistem Ekonomi Terhadap Ruang dan Waktu

17
18
19
20
23

5 SIMPULAN

24

DAFTAR PUSTAKA

25

LAMPIRAN

26

RIWAYAT HIDUP

36

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

Geografi ekonomi perkotaan
Akumulasi modal per penduduk terhadap waktu
Kepadatan penduduk dan nilai sewa lahan
Konsumsi perumahan dan sewa perumahan
Produk sektor industri dan jasa per penduduk
Modal total keseluruhan sektor
Pendapatan total penduduk
Upah tenaga kerja
Modal pada sektor industri dan jasa
Modal sektor perumahan
Konsumsi sektor perumahan
Nilai sewa lahan perkotaan
Konsumsi perumahan terhadap lokasi dan waktu
Harga sewa perumahan

7
18
19
20
20
21
21
21
22
22
23
23
24
24

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Penjabaran persamaan (3.2)
Penjabaran persamaan (3.11)
Penjabaran persamaan (3.20)
Penjabaran persamaan (3.29)
Penjabaran persamaan (3.30)
Penjabaran persamaan (3.32)
Penjabaran persamaan (3.33)
Penjabaran persamaan (3.35)
Penjabaran persamaan (3.36)
Penjabaran persamaan (3.47)

26
27
29
29
31
32
32
33
34
34

1

1 PENDAHULUAN

Latar Belakang
Perekonomian suatu negara disebut modern jika mengalami pembangunan
dan perubahan struktur yang relatif cepat. Perubahan dan pembangunan yang
terjadi dalam perekonomian modern terlihat juga pada variabel keruangan, seperti
peningkatan kebutuhan atas rumah dan lahan, perubahan fungsi lahan, kenaikan
harga sewa, kenaikan harga rumah dan lahan, serta sistem transportasi. Hal ini
menunjukkan bahwa geografi ekonomi berkaitan erat dengan pertumbuhan
ekonomi sebagai salah satu indikator kemajuan suatu negara. Dalam kegiatan
perekonomian, pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan produksi barang dan
jasa, sedangkan geografi ekonomi adalah perubahan struktur tatanan suatu negara
dari dimensi keruangan (Zhang 2010).
Suatu negara dikatakan maju ketika laju negara tersebut dalam
memproduksi barang dan jasa naik sehingga volume barang dan jasa yang
dihasilkan meningkat dari waktu ke waktu. Teori pertumbuhan ekonomi neoklasik
menyatakan pertumbuhan ekonomi bergantung kepada pertambahan penyediaan
faktor-faktor produksi dan tingkat kemajuan teknologi. Faktor produksi yang
dimaksud adalah penduduk, tenaga kerja, dan modal. Domar pada tahun 1948
menyatakan bahwa output produksi merupakan fungsi dari modal saja. Akibatnya
tenaga kerja selalu dikombinasikan dengan modal dalam proporsi yang tetap
(Chiang & Wainwright 2005).
Pada tahun 1956 Robert Solow merancang model interaksi pertumbuhan
modal, tenaga kerja dan teknologi serta pengaruhnya terhadap output produksi
sebagai indikator pertumbuhan ekonomi. Model Solow ini merevisi model
pertumbuhan Domar dengan memasukkan tenaga kerja sebagai variabel yang
menandakan bahwa rasio modal dan tenaga kerja bisa berubah-ubah proporsinya
bergantung kepada kebutuhan. Model Solow belakangan ini telah mengalami
perluasan, antara lain pada tahun 1961 Uzawa membuat rincian sistem produksi
menjadi dua sektor menggunakan modal dan pekerja, yaitu sektor yang
memproduksi barang industri, serta sektor yang memproduksi barang konsumsi
(Zhang 2005).
Perkembangan teori pertumbuhan ekonomi dengan akumulasi modal
hampir mengabaikan studi terhadap sistem transportasi dan distribusi penduduk.
Ide yang berkembang saat ini, analisis pertumbuhan ekonomi ingin
mempertimbangkan unsur geografis. Secara lebih spesifik, kajian yang
berkembang adalah menelaah aspek area perumahan dilihat dari jumlah
perkembangannya maupun dari ukuran area yang dipakai untuk perumahan dan
pengaruhnya terhadap pertumbuhan ekonomi. Alonso memelopori lahirnya teori
tentang pasar perumahan adalah aspek yang berpengaruh terhadap pertumbuhan
perkotaan (Anas 1978). Sejalan dengan itu, teori pembangunan Lewis
membedakan area perkotaan dan pedesaan. Untuk memahami perilaku ekonomi
perkotaan, Alonso pada tahun 1964 memulai penerapan teori pertumbuhan
ekonomi Solow di perkotaan. Fujita dan Thisse pada tahun 2002 menyatakan
bahwa proses pembangunan ekonomi melibatkan ruang dan waktu, walaupun
interaksi antara keduanya belum banyak dikaji (Zhang 2010).

2

Penelitian mengenai model pertumbuhan ekonomi telah juga dilakukan di
Indonesia. Dayat (2009) meneliti model perdagangan antarnegara berdasarkan
akumulasi modal, dengan hasil simulasinya menunjukkan peningkatan tingkat
teknologi dari suatu negara berpengaruh pada peningkatan cadangan modal
keseluruhan, cadangan modal dan tingkat produksi negara tersebut. Herliani
(2009) meneliti model distribusi pertumbuhan ekonomi antarkelompok pada dua
daerah, pada model tersebut modal manusia (human capital) dimasukkan ke
dalam fungsi produksi sebagai parameter yang mengukur produktivitas manusia.
Tajau (2008) meneliti model pertumbuhan dua daerah yang memasukkan
knowledge sebagai salah satu variabel fungsi produksi. Sehingga dapat dilihat
bahwa akumulasi modal dan tingkat teknologi berpengaruh terhadap peningkatan
produksi.
Penelitian ini akan mengkaji model dinamika pertumbuhan ekonomi
perkotaan berdasarkan geografi ekonomi, yaitu pembahasan sistem ekonomi
berdasarkan lokasi dan kondisi geografisnya, secara khusus meneliti aspek
pertumbuhan cadangan modal dan pertumbuhan input tenaga kerja. Model
pertumbuhan ekonomi perkotaan membagi area perkotaan menjadi dua, yaitu area
perumahan dan kawasan bisnis. Asumsi yang dipakai ialah perkotaan memiliki
tenaga kerja terpusat serta sistem ekonominya multisektor. Selain itu penelitian ini
juga akan mengkaji bagaimana solusi ekuilibrium model dan simulasi dari
modelnya.

Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini ialah :
1. mengkaji model pertumbuhan ekonomi perkotaan berdasarkan geografi

ekonomi,
2. menentukan solusi ekuilibrium model,
3. membuat simulasi dari model.

2 TINJAUAN PUSTAKA

Definisi Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi adalah proses terjadinya kenaikan produk nasional
bruto riil atau pendapatan nasional riil. Jadi perekonomian dikatakan tumbuh atau
berkembang bila terjadi pertumbuhan output riil. Pertumbuhan ekonomi terjadi
bila ada kenaikan output per kapita. Pertumbuhan ekonomi menggambarkan
kenaikan taraf hidup diukur dengan output riil per orang.
Proses pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh dua macam faktor, yaitu
faktor ekonomi dan faktor nonekonomi. Faktor ekonomi meliputi sumber daya
alam, akumulasi modal, organisasi, dan kemajuan teknologi. Sedangkan faktor
nonekonomi antara lain lembaga atau faktor sosial dan budaya, modal manusia,
dan faktor politik dan administratif.

3

Menurut Todaro (1985), terdapat tiga faktor utama dalam pertumbuhan
ekonomi dari setiap bangsa, yaitu akumulasi modal, pertumbuhan penduduk dan
kemajuan teknologi. Akumulasi modal (capital accumulation) meliputi semua
jenis investasi baru yang ditanamkan pada tanah, peralatan fisik, dan modal
sumber daya. Akumulasi modal akan terjadi apabila sebagian dari pendapatan
ditabungkan (diinvestasikan) kembali dengan tujuan memperbesar output atau
pendapatan di kemudian hari. Pertumbuhan penduduk (angkatan kerja) secara
tradisional dianggap sebagai salah satu faktor positif yang memacu pertumbuhan
ekonomi. Ini berarti jumlah tenaga kerja yang lebih besar akan menambah jumlah
produksi. Pertumbuhan penduduk yang lebih besar berarti ukuran pasar domestik
juga akan semakin besar, namun positif atau negatifnya pertambahan penduduk
bagi upaya pembangunan ekonomi bergantung pada kemampuan sistem
perekonomian yang bersangkutan untuk menyerap dan secara produktif
memanfaatkan tambahan jumlah angkatan kerja. Kemajuan teknologi
(technological progress) merupakan sumber pertumbuhan ekonomi yang paling
penting menurut kebanyakan ekonom terutama kalangan teknokrat.

Fungsi Produksi
Adanya faktor produksi bersifat mutlak agar produksi dapat dijalankan
untuk menghasilkan produk. Fungsi produksi menggambarkan teknologi yang
dipakai oleh suatu perusahaan, suatu industri atau suatu perekonomian secara
keseluruhan. Dalam keadaan teknologi tertentu hubungan antara input dan output
tercermin dalam rumusan fungsi produksinya. Suatu fungsi produksi
menggambarkan semua metode produksi yang efisien secara teknis dalam arti
menggunakan kuantitas bahan mentah yang minimal, tenaga kerja yang minimal
dan barang-barang modal lain yang minimal. Dornbusch R & Fischer S (2008)
menyatakan fungsi produksi sebagai hubungan kuantitatif antara input dan output.
Output tumbuh melalui kenaikan input dan kenaikan produktivitas yang terjadi
sebagai akibat perbaikan dalam teknologi dan peningkatan kemampuan angkatan
kerja.

Ekuilibrium
Ekuilibrium adalah suatu kumpulan variabel-variabel terpilih yang saling
berhubungan (interrelated) dan disesuaikan satu dengan yang lainnya dengan cara
sedemikian rupa, sehingga tidak ada kecenderungan yang melekat (inherent)
dalam model tersebut untuk berubah. Pernyataan terpilih menunjukkan kenyataan
ada variabel yang tidak dimasukkan ke dalam model, sehingga apabila modelnya
diperluas dengan memasukkan variabel tambahan maka ekuilibrium pada model
semula tidak dapat digunakan lagi. Pernyataan saling berhubungan menunjukkan
bahwa untuk dapat mencapai ekuilibrium, semua variabel dalam model harus
secara bersamaan dalam keadaan tetap. Sedangkan pernyataan melekat
menunjukkan bahwa dalam mendefinisikan ekuilibrium, keadaan tetap variabel
dalam model hanya didasarkan pada penyeimbangan kekuatan internal dari model

4

tersebut, sedangkan faktor-faktor eksternal dianggap tetap (Chiang & Wainwright
2005).

Model Pertumbuhan Ekonomi Domar
Model pertumbuhan ekonomi klasik yang dikemukakan oleh Domar
memiliki dasar pemikiran sebagai berikut (Chiang & Wainwright 2005).
1. Setiap perubahan dalam tingkat arus investasi per tahun I(t) akan
menghasilkan dua pengaruh yaitu permintaan agregat serta kapasitas produksi
ekonomi.
2. Pengaruh permintaan akibat perubahan dalam I(t) adalah proses multiplier
(penggandaan), yang diasumsikan bekerja seketika itu juga. Jadi kenaikan
dalam I(t) akan menaikkan tingkat arus pendapatan per tahun Y(t) sebesar
kelipatan dari pertambahan dalam I(t). Multipliernya adalah a = 1/s dengan
merupakan kecenderungan menabung marjinal tertentu. Dengan asumsi bahwa
I(t) merupakan satu-satunya yang memengaruhi tingkat arus pendapatan, maka
dapat dinyatakan bahwa:
dY
dI 1
.

dt
ds s

(2.1)

3. Kapasitas pengaruh investasi diukur dengan perubahan tingkat output
potensial ekonomi yang mampu diproduksi. Dengan mengasumsikan rasio
kapasitas modal yang konstan, dapat ditulis

(2.2)
 ,
K

dengan  menunjukkan banyaknya output produksi per tahun, dan 
menunjukkan rasio kapasitas modal tertentu. Hal ini berarti bahwa persediaan
modal perekonomian K(t) secara potensial sanggup memproduksi output
tahunan sebesar    K , maka d    dK , dan
d
 dK
(2.3)

  I.
dt

dt

Dalam model Domar, ekuilibrium didefinisikan sebagai situasi ketika
faktor-faktor produksi digunakan sepenuhnya. Oleh karena itu untuk mencapai
ekuilibrium diperlukan permintaan agregat yang tepat sama dengan output
potensial yang dapat dihasilkan dalam satu tahun, yaitu Y =  . Akan tetapi, bila
sejak awal dimulai dari situasi ekuilibrium, persyaratannya akan berkurang
menjadi menyeimbangkan perubahan kapasitas dan permintaan agregat, yaitu:
dY
d
(2.4)
dt



dt

.

Model Pertumbuhan Ekonomi Solow
Dalam model pertumbuhan neoklasik Solow (1956), tenaga kerja
dimasukkan sebagai salah satu variabel dari fungsi produksi, sehingga modal dan
tenaga kerja dapat dikombinasikan dalam berbagai proporsi. Fungsi produksi
model pertumbuhan ekonomi Solow ditunjukkan dengan persamaan berikut:

5

Y  F  K , N  , K  0, L  0.

(2.5)
dengan Y adalah output, K adalah modal, dan N adalah tenaga kerja. Diasumsikan
bahwa turunan parsial F terhadap K dan L yaitu FK dan FL , bernilai positif
(produk marjinal yang positif), serta FKK dan FNN bernilai negatif. Fungsi
produksi F yang digunakan adalah homogen secara linear, sehingga dapat ditulis:
K 
Y  NF  ,1   N   k  ,
N 

(2.6)

dengan k  K . Karena Y bergantung pada K dan N, maka untuk menentukan
N

kedua variabel, Solow berasumsi bahwa:
dK
K 
 sY ,
dt

(2.7)

N
dN / dt

 n.
N
N

(2.8)

Simbol s menggambarkan kecenderungan menabung marjinal (konstan), dan n
adalah laju pertumbuhan tenaga kerja (konstan). Persamaan (2.7) dan (2.8) tidak
menjelaskan bagaimana tingkat K dan N ditentukan, tetapi menjelaskan penentuan
tingkat perubahan K dan N. Persamaan (2.6), (2.7), dan (2.8) merupakan model
yang lengkap. Untuk memecahkan model ini, pertama akan disederhanakan
menjadi satu persamaan dalam satu variabel, yaitu dengan menyubstitusikan
persamaan (2.6) ke dalam (2.7) sehingga diperoleh:
(2.9)
K  sN   k  .
Karena k  K  K  kN , maka dengan mendiferensialkan K  kN dan dengan
N

menggunakan persamaan (2.8), diperoleh:
K  Nk  kN  Nk  knN .
(2.10)
Dari persamaan (2.8), (2.9), dan dengan menghilangkan N, maka akan diperoleh
persamaan sebagai berikut:

k  s  k   nk.

(2.11)
Persamaan (2.11) adalah persamaan dasar dari model pertumbuhan ekonomi
Solow, yang merupakan persamaan diferensial dari variabel k, dengan dua
parameter s dan n.
Penelitian ini mengkaji model pertumbuhan ekonomi dua sektor yaitu
sektor yang memproduksi barang industri dan yang memproduksi jasa dengan
mempertimbangkan struktur tata ruang perkotaan. Selanjutnya model ditentukan
solusi persamaannya serta diperlihatkan dinamika atau perilaku model
pertumbuhan ekonomi perkotaan melalui simulasi.

6

3 MODEL GEOGRAFI EKONOMI PERKOTAAN
Asumsi, Definisi, dan Fungsi
Model pertumbuhan ekonomi dirancang untuk menunjukkan bagaimana
pertumbuhan persediaan modal, pertumbuhan angkatan kerja, dan kemajuan
teknologi berinteraksi dalam suatu perekonomian, serta melihat pengaruhnya
terhadap output barang dan jasa (Zhang 2010). Diasumsikan penduduk perkotaan
memiliki kekayaan dari lahan dan pendapatan dari upah, perolehan sewa lahan,
dan pembayaran bunga dari modal yang diinvestasikan. Terdapat satu jenis barang
industri dan satu jenis barang jasa, dan harganya dinyatakan sebagai satu satuan.
Tingkat teknologi produktivitas perkotaan dipilih constant returns to scale.
Misalkan sistem ekonomi perkotaan terdiri dari sektor industri, jasa, dan
perumahan, masing masing dinotasikan dengan i untuk sektor industri, s untuk
sektor jasa, dan h untuk sektor perumahan. Sektor industri memproduksi sejumlah
barang industri berupa barang jadi, sektor jasa memproduksi jasa, dan sektor
perumahan menyediakan tempat bagi penduduk. Hasil produksi tersebut adalah
hasil transformasi dari input produksi yaitu angkatan kerja, modal, dan teknologi.
Setiap sektor memiliki modal sumber daya manusia berikut fungsi utilitas masingmasing. Modal dan angkatan kerja bebas berpindah di antara sektor tersebut.
Kegiatan ekonomi penduduk berupa produksi terjadi di CBD (central
business district), sedang kegiatan konsumsi dan menabung dilakukan di area
perumahan. Untuk melakukan kegiatan perekonomian, penduduk menempuh
perjalanan dari rumah ke CBD. Perjalanan antara rumah dan CBD memakan biaya
yang bergantung pada jarak rumah. Penduduk kota berdiam atau tinggal di area
perumahan.
Model ini dikembangkan oleh Zhang (2010) dan untuk menggambarkan
model didefinisikan:
= tingkat teknologi sektor j, dengan j terdiri dari sektor industri i
Aj
dan jasa s
Ah
= tingkat teknologi sektor perumahan h
= konsumsi jasa oleh penduduk pada waktu t di 
cs  , t 
ci   , t 

= konsumsi barang industri oleh penduduk pada waktu t di 

ch   , t 

= konsumsi perumahan oleh penduduk pada waktu t di 

F j (t )

= output sektor pada waktu t

K j (t )

Lh   , t 

= modal sektor j pada waktu t dengan j terdiri dari sektor i
industri dan s sektor jasa
= modal sektor perumahan pada waktu t
= modal sektor perumahan per penduduk pada waktu t
= lebar kota
= luas lahan yang dimiliki penduduk pada waktu t di 

N t 

= banyaknya angkatan kerja total pada waktu t

N j (t )

= angkatan kerja pada sektor j pada waktu t

Kh (t )
kh (t )

L

7

n  , t 

R  , t 

= kepadatan penduduk perkotaan pada waktu t di 
= titik di area perumahan yang berjarak  dari CBD,   0
= harga barang konsumsi sektor jasa pada waktu t
= rata rata suku bunga pada waktu t
= sewa lahan per penduduk pada waktu t di 

Rh ( , t )
s  , t 

= sewa perumahan per penduduk pada waktu t di 
= tabungan yang dimiliki penduduk pada waktu t di 

  , t 

= tingkat kenyamanan penduduk terhadap perumahan pada waktu t

Th   , t  ,

di 
= waktu luang penduduk pada waktu t di 

y  , t 

= pendapatan yang diterima per penduduk pada waktu t di 

wt 

= rata-rata upah pekerja pada waktu t.


p(t)

r t 

Diasumsikan seluruh perumahan adalah area untuk tempat tinggal, berikut
gambar model geografi perekonomian perkotaan:

CENTRAL BUSINESS
DISTRICT (CBD)

RESIDENTIAL AREA

Gambar 1 Geografi ekonomi perkotaan
Gambar 1 memperlihatkan sketsa area perkotaan dalam sistem dipisahkan
menjadi dua, yaitu area CBD sebagai tempat produksi dan tempat penduduk
bekerja, serta residential area sebagai tempat mengonsumsi barang industri, jasa,
perumahan, dan menabung, yang selanjutnya disebut area perumahan. CBD
diasumsikan sebagai suatu titik sedangkan area perumahan adalah suatu garis
yang membentang dari CBD sepanjang L.
Diasumsikan produksi barang industri dan barang jasa adalah hasil
kombinasi dari tingkat teknologi, modal, dan tenaga kerja dalam:
F j ( K j (t ), N j (t )) dengan j  i, s,
indeks i adalah notasi sektor barang industri, s sektor jasa, Fj adalah output dari
sektor j, K j (t ) adalah modal sektor j dan N j (t ) tenaga kerja yang digunakan
dalam sektor j.

Perumusan Model
Fungsi produksi yang digunakan dalam pembahasan model adalah fungsi
produksi Cobb-Douglas sebagai berikut:

Fj t   Aj K j j t  N j j t  ,




(3.1)

8

dengan  j ,  j  0,  j   j  1, j  i, s, dan adalah tingkat teknologi sektor j.
Elastisitas modal sektor j, yaitu  j , sedangkan  j adalah besaran elastisitas
tenaga kerja sektor j. Selanjutnya fungsi produksi pada persamaan (3.1) dibagi
dengan total penduduk untuk menjadikannya sebagai besaran per kapita, maka
diperoleh:
Fj (t )

, atau f j t   Aj k j j t  ,
f j (t ) 
N j (t )
K j (t )
dengan k j (t ) 
, j = i,s dan f j memenuhi beberapa persyaratan, yaitu: (i)
N j (t )

 

 

'
''
f j (0)  0; (ii) f j adalah fungsi monoton naik; f j k j  0, dan f j k j  0, dan

(iii) lim k 0 f  k j  
'
j

, dan

limk

f

'
j

 k   0.
j

Diasumsikan tingkat suku bunga dan tingkat upah di dua sektor adalah sama.
Misalkan harga barang konsumsi jasa dinotasikan p t  , tingkat suku bunga r  t  ,
dan tingkat upah wt  . Kondisi marjinal dengan kondisi pasar yang homogen
diberikan oleh:
r   k   i Ai k i   t   p  t   s As k s   t  ,
i

s

w (t )   i Ai k i i (t )   s As p (t ) k s s (t ).

(3.2)

Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 1.
Total persediaan modal K(t) dialokasikan pada tiga sektor dengan proporsi
bebas, keseluruhan tenaga kerja terdistribusi pada dua sektor industri dan jasa.
Keseluruhan tenaga kerja dan modal digunakan semua, maka dapat dinyatakan:
Ki t   Ks t   Kh t   K t  , Ni (t )  Ns (t )  N (t ),
(3.3)
dengan N adalah populasi penduduk yang merupakan tenaga kerja, K h adalah
persediaan modal yang digunakan sektor perumahan. Persamaan (3.3) dapat
dituliskan kembali menjadi:
Ni (t )ki (t )  N s (t )ks (t )  K h (t )  K (t ) ,
(3.4)
K j (t )
, k (t ) tetap, j = i,s.
dengan k j (t ) 
N j t  j
Persamaan (3.4) merumuskan modal perkotaan K dalam ukuran per penduduk
dengan asumsi penduduk perkotaan homogen, begitu pun dengan input tenaga
kerja dihitung per penduduk.
Selanjutnya, diasumsikan seluruh area perumahan adalah tempat tinggal
penduduk, dan setiap penduduk menempati suatu titik di area perumahan.
Misalkan dinotasikan ch (, t ) adalah konsumsi perumahan per penduduk di 
dan fungsi produksi jasa perumahan dinyatakan sebagai berikut:

ch , t   Ah khh , t  Lhh , t  ,

(3.5)

dengan k h ( , t ) adalah tingkat pemasukan modal untuk produksi perumahan per
penduduk di  pada saat t, Lh ( , t ) adalah lebar area yang digunakan per

9

penduduk untuk perumahan, dan Ah adalah tingkat teknologi yang digunakan
pada industri perumahan.
Diasumsikan bahwa tingkat suku bunga di sektor perumahan adalah sama,
maka kondisi marjinal dari sektor perumahan diberikan sebagai berikut:

(r  k ) 

hch Rh
hch Rh
, dan R 
, dengan 0    L ,
Lh
kh

(3.6)

1
, menyatakan kepadatan penduduk di area perumahan
Lh (, t )
selebar 0    L.

dan n(, t ) 

Modal sektor perumahan perkotaan dinyatakan sebagai jumlah total modal
sektor perumahan yang diinvestasikan per penduduk, yang dinyatakan sebagai
berikut:
Kh t  

L

 n  , t k  , t  d .
h

0

Selanjutnya, setiap penduduk memperoleh pendapatan dari kepemilikan
lahan. Lahan dimiliki oleh penduduk dengan proporsi yang sama, sehingga
perolehan nilai dari lahan terbagi rata antarpenduduk. Perolehan total nilai lahan
perkotaan diberikan oleh:
L

R (t )   R ( , t ) d  .
0

Sedangkan pendapatan yang diperoleh per penduduk dari lahan disebut sebagai
nilai sewa dari lahan adalah sebagai berikut:
r t  

R (t )
.
N

Setiap penduduk memeroleh pendapatan dari pembayaran bunga modal
yang diinvestasikan, upah, dan nilai sewa di lokasi  pada suatu waktu t yang
dinyatakan sebagai berikut:
(3.7)
y   , t   rk   , t   w  t   r  t  .
Selanjutnya, pendapatan yang diperoleh penduduk ditambahkan dengan kekayaan
yang dimiliki akan menjadi pendapatan yang siap dibelanjakan (disposable
income) di  pada waktu t, yaitu:
y  , t   y  , t   k  , t   1  r  t   k  , t   w  t   r  t  ,
(3.8)
dengan y  , t  adalah pendapatan penduduk yang siap didistribusikan untuk
menabung dan konsumsi. Pada setiap titik waktu, penduduk sebagai konsumen di
 mendistribusikan total pendapatannya terhadap kenyamanan    , t  , waktu
luang T h   , t  , konsumsi perumahan ch ( , t ), konsumsi jasa cs ( , t ), konsumsi
barang industri ci ( , t ), dan tabungan s(, t ). Pendapatan total penduduk kota
dapat dinyatakan dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan n(, t ), dan
mengintegralkan persamaan (3.8) dari 0 sampai L terhadap  , sehingga
diperoleh:

Y  Y  K  1  r  t   K  wN  R. Batasan anggaran penduduk

diberikan sebagai berikut:
Rh ( , t )ch (, t )  pcs (, t )  ci (, t )  s(, t )  y(, t ).

(3.9)

10

Diasumsikan tingkat utilitas per penduduk di  bergantung pada
kenyamanan  , t  , waktu luang Th ( , t ), konsumsi perumahan ch ( , t ),
konsumsi jasa cs ( , t ), konsumsi barang industri ci (, t ) , dan tabungan s(, t )
dan dinyatakan sebagai berikut:
(3.10)
U ( , t )   ( , t )Th ( , t ) c  ( , t ) c s ( , t ) ci ( , t ) s  (  , t ),
h

dengan         1,  , ,  ,  ,   0,  ( , t )  1n  ( , t ), dan 1 adalah

Th  1  (), serta     v. Fungsi  ( , t )
menunjukkan kenyamanan penduduk bergantung pada kepadatan penduduk di 
pada waktu t. Fungsi Th () adalah waktu senggang, yaitu total waktu yang ada
dikurangi waktu perjalanan dari CBD ke perumahan sebesar v, dengan v adalah
kecepatan penduduk melakukan perjalanan.
Karena populasi penduduk homogen, maka penduduk mendapatkan nilai
utilitas yang sama di semua area perumahan, yang dinyatakan oleh:
U (1 , t )  U ( 2 , t ), untuk 0  1 , 2  L.
Dengan memaksimalkan nilai utilitas terhadap kendala pendapatan penduduk
pada persamaan (3.9), maka akan diperoleh kepuasan optimal penduduk sebagai
berikut:
 y , t 
 y  , t 
, dan
, ci   , t    y  , t  , cs , t  
ch   , t  
p
Rh   , t 
(3.11)
s  , t    y  , t  .
Persamaan (3.11) menunjukkan bahwa konsumsi perumahan, konsumsi jasa, dan
tabungan secara positif proporsional terhadap pendapatan yang ada. Penjabaran
perolehan solusi dapat dilihat pada Lampiran 2.
Dengan menganggap bahwa tabungan yang dimiliki penduduk di 
adalah keseluruhan modal dan cadangan modal penduduk di  , maka akumulasi
cadangan modal diberikan:
k   , t   s   , t   k   , t  , atau
(3.12)
k   , t    y   , t   k   , t  , dengan 0    L .
Keseluruhan populasi penduduk tersebar di seluruh area perkotaan
konstanta

kenyamanan,

L

dinyatakan dengan:  n   , t  d   N , sedangkan keseluruhan jumlah konsumsi
0

L

jasa diberikan oleh: C s   c s   , t  n   , t  d  . Selanjutnya kesetimbangan antara
0

permintaan dan persediaan pada pasar jasa diperoleh ketika jumlah output
produksi sektor jasa memenuhi keseluruhan kebutuhan konsumsi di sektor itu,
dinyatakan oleh Cs  t   Fs  t  .
Kekayaan seluruh area perkotaan K t  , adalah jumlah kekayaan yang
dimiliki oleh seluruh penduduk kota, dan dinyatakan dengan:
L

K (t )   k ( , t ) n ( , t ) d  ,
0

11

sedangkan total konsumsi barang industri Ci  t  dan tabungan kota S adalah:
L

C i   ci   , t  n   , t  d  ,
0

L

S   s  , t  n  , t  d .

(3.13)

0

Didefinisikan B(t) adalah nilai aset eksternal kota pada waktu t.
Pendapatan dari aset eksternal ini bisa positif, nol, atau negatif, diberikan oleh
rB(t). Output dari sektor barang industri perkotaan adalah sama dengan depresiasi
persediaan modal dan tabungan bersih perkotaan yaitu:
(3.14)
S  t   C i  K  t   rB  t    k K  t   Fi .
Pada persamaan (3.14), K  t  adalah kekayaan seluruh kota dan K  t  adalah total
persediaan modal yang digunakan seluruh kota. Kekayaan kota dapat dinyatakan
juga sebagai pendapatan yang digunakan untuk modal ditambah perolehan nilai
aset eksternal yakni sebesar:
(3.15)
K t   K t   B t .
Selanjutnya akan diperlihatkan output produksi perumahan. Dengan
mengalikan kedua sisi persamaan (3.7) dengan n , t  dan mengintegralkan
hasilnya dari 0 sampai L terhadap  menghasilkan:

Y  t   rK  t   wN  R  t  ,

(3.16)

dengan Y t  adalah pendapatan seluruh kota saat ini yaitu jumlah total pendapatan
seluruh penduduk perkotaan. Y t  dinyatakan oleh:
L

Y  t    y  , t  n   , t  d .
0

Berikut, pendapatan seluruh kota yang didapat dengan menyubstitusikan
persamaan (3.3) terhadap (3.16) maka diperoleh:
(3.17)
Y  t    rK i  wN i    rK s  wN s   R  t   E  t   rK h ,
dengan E t   rB t  .
Dari persamaan (3.3) bagian kedua, diperoleh bahwa seluruh penduduk
bekerja di sektor industri dan sektor jasa, maka dapat dinyatakan bahwa:
rK i  wN i  Fi   k K i dan rKs  wNs  pFs   k Ks .
(3.18)
Dari persamaan (3.18) terlihat output setiap sektor, diperoleh dari depresiasi
cadangan modal, perolehan nilai pertumbuhan modal serta upah pekerja di sektor
tersebut. Sedangkan output sektor perumahan diperoleh dari depresiasi persediaan
modal pada sektor perumahan ditambah dengan nilai sewa dari lahan serta sewa
perumahan. Dari persamaan (3.6) diperoleh:
L

 r   k   k h    n    d    h  Rh    c h    n    d  ,

(3.19a)

0

L

L

0

0

 R   d    h  Rh   ch   n   d .

(3.19b)

Dengan menambahkan kedua persamaan (3.19a) dan (3.19b), diperoleh output
sektor perumahan sebagai berikut:

12

L

 r   k  K h  R  Fh  t    Rh   ch   n   d .

(3.19)

0

Fungsi Fh (t ) adalah output seluruh kota dari sektor perumahan dan merupakan
jumlah nilai sewa lahan dan sewa rumah keseluruhan penduduk ditambah dengan
depresiasi cadangan modal sektor perumahan. Dengan menyubstitusikan
persamaan (3.18) dan (3.19) ke dalam persamaan (3.14), maka diperoleh:
Y  F  k K  E ,
dengan F  Fi  pFs  Fh , sedangkan output dari sektor jasa yang dikonsumsi
oleh penduduk adalah sebesar: C s  Fs .

Sistem Dinamik Model Geografi Ekonomi
Sistem dinamik model pertumbuhan ekonomi berdasarkan geografi
ekonomi dapat diamati dengan melihat sistem sebagai pergerakan fungsi
perubahan akumulasi cadangan modal, dan perubahan input penduduk
antarwaktu. Pertumbuhan kekayaan perkotaan dapat diamati melalui pergerakan
modal K dan pertumbuhan tenaga kerja atau penduduk N.
Sebelum mengamati sistem dinamik, akan ditunjukkan terlebih dahulu
hubungan antarmodal setiap sektor per penduduk. Berdasarkan persamaan (3.2)
dan asumsi tingkat suku bunga dan upah di kedua sektor sama, maka diperoleh:

ki   k s

(3.20)

dengan   ki s / ks i . Penjabaran persamaan dapat dilihat pada Lampiran 3.
Dari persamaan (3.2) diperoleh solusi khusus dari modal per penduduk, upah, dan
harga di sektor i dan s sebagai berikut:
1

  A  i
ki   i i  , w   i Ai ki , p   p ki    ,
 r  k 
i

i

(3.21)

s

dengan  p   i Ai  /  s As .
Selanjutnya akan dikaji sistem dinamik model pertumbuhan perkotaan dari
pergerakan variabel tunggal K  t  . Dengan mengalikan persamaan (3.11) dengan
s

n , t  dan kemudian diintegralkan dari 0 sampai L terhadap  menghasilkan:
(r   k ) K h   hY , C s 

Y
p

, C i   Y , dan S   Y ,

(r  k )kh
dari persamaan (3.6). Dari R   h Rh c h n   , t  pada
h
persamaan (3.6) dan ch Rh   y pada persamaan (3.13), maka diperoleh:
R   h yn .
(3.22)
dengan Rhch 

Dengan mengintegralkan persamaan (3.22), diperoleh:

R   h Y ,

kemudian disubstitusikan ke dalam Y  (1  r ) K  wN  R , menghasilkan:

13

Y  (1  r ) K  wN   h Y .

(3.23)
maka persamaan (3.23) dapat

Selanjutnya, karena         Y  Y ,
dinyatakan sebagai berikut:
(1  r ) K  wN  (     )Y   hY ,

dengan  h   h  1 . Dari persamaan (3.16), Y  (1  r ) K  wN  R

(3.24)
dan

R   h yn maka persamaan (3.24) menjadi:
K  Y  pFs  C i  S  Fh ,

(3.25)

dengan Fh  (r   k ) K h  R dan Cs  Fs .
Dari persamaan (3.25) dan persamaan Y  F  k K  E , maka diperoleh:
Fi  Ci  S  K  rB   k K ,

dengan Fi merupakan output sektor industri perkotaan dan sama dengan tabungan
bersih kota yaitu persamaan (3.14). Dengan melakukan substitusi Ci   Y (t ),
S   Y , terhadap persamaan (3.14) maka diperoleh:

(    ) y  (1  r ) K (t )  ( r   k ) K (t )  f i N i

(3.26)

dengan Fi  f i N i , B  K  K .
Berikut akan diperlihatkan input tenaga kerja masing-masing sektor. Dari
dan Cs (t )  Fs (t ) maka diperoleh:
dan
pFs (t )   Y (t )
Cs (t )   Y (t ),
N s (t )   Y (t ) / pf s . Selanjutnya dari Ni (t )  Ns (t )  N (t ) dan N s (t )   Y (t ) / pf s ,

maka diperoleh:
Ni (t )  N (t ) 

 Y (t )

(3.27)
.
pf s
Karena p dan fs didefinisikan sebagai fungsi dari r, maka distribusi penduduk atau
tenaga kerja di sektor industri maupun sektor jasa ditentukan oleh N(t) dan Y (t) .
Dengan menyubstitusikan

N s   Y (t ) / pf s ,

persamaan (3.27) dan

( r   k ) K h   h Y (t ) terhadap persamaan (3.3) maka diperoleh:

 h 


K ( t )  k i N (t )    k s  k i 
 Y (t ).
pf s ( r   k ) 


(3.28)

Dari persamaan (3.28) terlihat bahwa total modal yang digunakan dalam sistem
perekonomian perkotaan adalah K(t) yang dapat dinyatakan sebagai fungsi dari

N t  dan Y t  .

Dengan memasukkan persamaan (3.27) dan persamaan (3.28) ke dalam
persamaan (3.26) menghasilkan:
N

K (t ) 
y (t )  0 N (t ).
(3.29)

0

0

Penjabaran persamaan (3.29) dapat dilihat pada Lampiran 4, dengan
0  (1  r )0  0, N0   fi   r   k  ki  1  0,
N 0   f i  ( r   k ) k i  1  0

14

1
0


     fi  (r   k )ki 
 (r   k )ks
  h
pf s
pf s
(1  r )
 0.
0 


 (r   k )k s
  h
     f i  ( r   k ) ki 

1 

pf s
pf s
Dari persamaan (3.29) terlihat bahwa fungsi modal perkotaan adalah kombinasi
linear dari pendapatan penduduk dan input tenaga kerja perkotaan.
Berikut ini adalah suku bunga sektor perumahan per penduduk sebagai
penambah pendapatan penduduk dari perolehan nilai sewa. Karena 0  0  1, dan
dari persamaan (3.6) maka dapat didefinisikan:
R (t ) h (r   k ) kh
.

r
(3.30)
h
N
N
Penjabaran persamaan (3.30) dapat dilihat pada Lampiran 5. Dari persamaan
(3.30) terlihat fungsi nilai sewa lahan per penduduk berbanding lurus dengan
besaran modal di sektor perumahan, dan dipengaruhi oleh tingkat suku bunga
yang berlaku. Persamaan (3.30) dapat dituliskan kembali sebagai berikut:

   h
N
.
r ( t )   K ( t )  0 N (t )  0
(3.31)
0

  N (t )

Selanjutnya akan diamati pertumbuhan akumulasi modal dengan
menyatakannya dalam variabel tunggal modal. Dengan melakukan substitusi
persamaan (3.8) terhadap (3.12) maka diperoleh:
(3.32)
k ( , t )  (    r  1) k ( , t )   ( w  r (t )).
Penjabaran persamaan (3.32) dapat dilihat pada Lampiran 6. Dari persamaan
(3.32) terlihat bahwa pertumbuhan akumulasi modal memenuhi persamaan
diferensial linear orde satu dalam k   , t  . Persamaan ini dapat diselesaikan
dengan menggunakan metode penyelesaian PD linear biasa, salah satu solusinya
adalah:
  w  r t 
k , t   C   e  1 r t 
.
(3.33)
 1  r
Penjabaran solusi persamaan (3.33) dapat dilihat pada Lampiran 7.
Dengan menggunakan asumsi bahwa distribusi modal awal penduduk
homogen, maka pendapatan yang diterima penduduk juga homogen, tidak
bergantung  , maka bisa dinyatakan:
k  1 , t   k   2 , t  dan y  1   y   2  untuk 0  1 , 2  L.
Selanjutnya, akan ditelaah distribusi kepadatan penduduk dengan melihat
perubahan fungsi lahan perumahan. Dengan menyubstitusikan persamaan (3.11)
terhadap U  , t  dan menggunakan asumsi bahwa nilai utilitas penduduk tetap,
U  0   U   , t  , maka diperoleh:

Rh ( , t )  n( ) 


Rh (0)
 n(0) 

 /

 /

 Th ( ) 


 Th (0) 

,

(3.34)

15

dengan y  0   y    . Dari persamaan (3.34) dapat dilihat bahwa sewa perumahan
nilainya berubah terhadap waktu, rasio penyewaan rumah antara dua titik di area
perumahan tetap terhadap waktu. Karena n  1   n   2  , maka kepadatan
penduduk di 1 lebih tinggi dari 2 . Hal ini menyebabkan nilai sewa rumah lebih
tinggi di 1 , selanjutnya menurun seiring bertambahnya jarak perumahan
terhadap CBD.
Selanjutnya dapat diformulasikan besaran modal di sektor perumahan
sebagai berikut:

kh 

h Rhch h y(, t )
.

(r   k )
(r   k )

(3.35)

Penjabaran persamaan (3.35) dapat dilihat pada Lampiran 8. Kemudian dapat
dinyatakan nilai sewa perumahan adalah sebagai berikut:


Rh   
y(, t )
Ah
h

h

 (r   k ) 
h
h

 n , t  .
 h 

(3.36)

Penjabaran persamaan (3.36) dapat dilihat pada Lampiran 9. Pada persamaan
(3.36) terlihat bahwa fungsi nilai sewa perumahan per penduduk bergantung pada
kepadatan penduduk dan pendapatan per penduduk. Dengan menyubstitusikan
persamaan (3.36) ke persamaan (3.34) maka:

 T () 
n(, t )  n(0, t )  h

 Th (0) 
dengan 0 


h  

0

(3.37)

. Diasumsikan bahwa populasi tetap, lahan terbagi sama ke

seluruh penduduk, tidak ada biaya transportasi, tidak ada investasi pada
infrastruktur transportasi, dan tidak ada perubahan teknologi pada sistem
transportasi, maka kepadatan perumahan sebanding dengan waktu senggang yang
dimiliki penduduk, sehingga kepadatan penduduk tetap tidak mengalami
perubahan sepanjang waktu.
T  
Karena h 1  1, dan jika 1   2 , dan 0  0, maka n  1   n   2  ,
Th 2 
sehingga area perumahan lebih padat mendekati CBD, hal ini terlihat dari
kepadatan penduduk menurun seiring peningkatan jarak perumahan dengan CBD.
Jika 0  0, maka kepadatan penduduk semakin tinggi menjauhi CBD. Hal ini
dikarenakan parameter 0 bernilai negatif pada saat   h  0. Makna  positif
berarti bahwa kepadatan penduduk meningkat, maka kecenderungan terhadap
perumahan meningkat. Kondisi    h menyebabkan kecenderungan individu
secara positif terpengaruh.
Dengan mengintegralkan persamaan (3.37) dari 0 sampai L terhadap 
maka diperoleh:
N (t )Th (0)h
n(0, t )  L
 T0 N (t ),
(3.38)
0


T
(
)
d
 h
0

16

dimana T0 

Th (0)h



L

0

Th ( )0 d

. Th () secara eksplisit didefinisikan sebagai fungsi 

dan independen terhadap waktu, sedangkan n(0,t) bergantung pada waktu jika
N(t) bergantung waktu.
Dengan menyubstitusikan persamaan (3.11) terhadap fungsi utilitas dan
menggunakan U  0, t   U * maka dapat didefinisikan utilitas baru sebagai berikut:

U *   (0, t )

Th (0, t )       y(, t )
.
p Rh (0, t )

(3.39)

Selanjutnya, dengan menyubstitusikan  ( , 0)  1n  (0, t ) dan persamaan (3.36)
terhadap persamaan (3.39) maka diperoleh:
 h

n  h

 r  k 
p U *
 1 Ah Th  0, t  h       

1 h
 0, t  y  t 
 h 

.

(3.40)

Karena y 1, t   y   2, t  , n  0, t   T0 N  t  , dan Y t   y t �