Two Sector Economic Growth Model in Discrete Time

DALAM WAKTU DISKRET

DRAJAT STIAWAN

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011 

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Sektor dalam Waktu Diskret adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Oktober 2011

Drajat Stiawan

DRAJAT STIAWAN. Two Sector Economic Growth Model in Discrete Time. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI.

Economic growth is a condition in the economy that is reflected in the increase of goods and services produced within the community. The purpose of this thesis is to study two sectors economic growth model in discrete time proposed by Zhang (2007). The model involves an economic society with two commodities produced, i.e. capital goods and consumption goods. Both goods are produced with capital and labor as independent variables. The production function is the Cobb-Douglas function. This model shows that the dynamic system has a unique equilibrium solution. Based on some simulations, it has been shown that an increased propensity to save will increase per capita capital and output.

DRAJAT STIAWAN. Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Sektor Dalam Waktu Diskret. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI.

Model pertumbuhan ekonomi yang dikemukakan oleh Solow menyatakan bahwa output (produksi) merupakan fungsi dari modal dan tenaga kerja, di mana tenaga kerja dapat dikombinasikan dengan modal dalam berbagai proporsi. Model Solow ini merupakan pengembangan dari model Domar yang menyatakan bahwa output (produksi) merupakan fungsi dari modal saja tanpa memasukkan tenaga kerja. Model pertumbuhan ini dikenal sebagai model pertumbuhan neoklasik.

Pertumbuhan ekonomi merupakan perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah dan kemakmuran masyarakat meningkat dari satu periode ke periode berikutnya. Ada tiga faktor utama yang mempengaruhi pertumbuhan ekonomi dari setiap bangsa, yaitu akumulasi modal, pertumbuhan penduduk dan kemajuan teknologi. Akumulasi modal akan terjadi apabila sebagian dari pendapatan ditabungkan kembali dengan tujuan untuk memperbesar output atau pendapatan dikemudian hari. Pertumbuhan penduduk (angkatan kerja) secara tradisional dianggap sebagai salah satu faktor positif yang memacu pertumbuhan ekonomi, ini berarti jumlah tenaga kerja yang lebih besar akan menambah jumlah produksi. Pengaruh positif atau negatifnya pertambahan penduduk bagi upaya pembangunan ekonomi bergantung pada kemampuan sistem perekonomian yang bersangkutan untuk menyerap dan secara produktif memanfaatkan jumlah tenaga kerja yang ada. Kemajuan teknologi dalam bentuk yang paling sederhana merupakan pengembangan cara-cara lama atau penemuan metode baru dalam menyelesaikan tugas-tugas tradisional.

Zhang (2007) mengajukan model pertumbuhan ekonomi dua sektor dalam waktu diskret, di mana dalam sistem produksi, produsen akan menghasilkan dua output (dua jenis produk) yang menggunakan input modal dan tenaga kerja, salah satu menghasilkan barang modal dan lainnya menghasilkan barang konsumsi. Pada model ini diasumsikan bahwa tingkat suku bunga dan tingkat upah adalah sama didua sektor. Diasumsikan pula bahwa semua tenaga kerja diberdayakan dan bebas bergerak. Lebih lanjut diasumsikan bahwa pendapatan yang siap dibelanjakan hanya digunakan untuk konsumsi dan ditabung.

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji model pertumbuhan ekonomi dua sektor dalam waktu diskret, seperti yang diajukan oleh Zhang, termasuk di dalamnya menentukan solusi ekuilibrium dan membuat simulasi dari model tersebut.

Dari hasil penelitian ini diperoleh bahwa model pertumbuhan ekonomi dua sektor dalam waktu diskret dapat dinyatakan oleh persamaan dalam fungsi ki dan pada saat ekuilibrium sistem memiliki solusi yang tunggal. Selanjutnya dari hasil simulasi dapat dilihat bahwa pada saat kecenderungan menabung rendah, yaitu 20%, modal dan outputnya makin lama makin turun seiring berjalannya waktu, pada saat kecenderungan menabung sedang, yaitu 50%, modal dan outputnya sudah mengalami kenaikan meskipun tidak signifikan sedangkan pada saat

pada masing-masing sektor dan output.

Kata kunci: Pertumbuhan ekonomi dua sektor, kecenderungan untuk menabung, ekuilibrium

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah,

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA SEKTOR

DALAM WAKTU DISKRET

DRAJAT STIAWAN

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

NRP : G551090031

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Ketua

Ir. Retno Budiarti, M.S. Anggota

Diketahui Ketua Program Studi

Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.

Teriring do’a dan puji syukur kehadirat Allah SWT,

penulis mempersembahkan karya ini untuk:

Ayah dan Bunda Tercinta

Terima kasih telah percaya padaku dan selalu mendoakan setiap

langkah-langkah hidupku,

Adikku Tersayang

Belajar, Belajar, dan Belajar

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2011 ini adalah model pertumbuhan ekonomi yang memperhatikan unsur komoditas, dengan judul Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Sektor dalam Waktu Diskret.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. yang telah membimbing penulis dengan penuh kesabaran dan kebijaksanaan dalam penulisan tesis ini. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah membiayai penelitian ini. Kepada ibunda, bapak, dan seluruh keluarga atas segala doa, motivasi, serta kasih sayangnya. Ucapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada semua pihak yang telah turut membantu dalam penulisan tesis ini. Penulis berdoa semoga Allah SWT membalas kebaikan mereka dengan berkah, hikmah, serta rahmat-Nya di dunia dan akherat.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Oktober 2011

Penulis dilahirkan di Kebumen pada tanggal 18 Januari 1983 dari pasangan bapak Moh. Jazim dan Siti Maemunah. Penulis merupakan putra pertama dari empat bersaudara.

Tahun 2000 penulis lulus dari MAN I Kabupaten Kebumen. Pada tahun yang sama pula penulis diterima masuk Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta. Penulis memilih program studi Pendidikan Matematika pada Jurusan Tadris Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Setelah mengikuti perkuliahan selama lima tahun, pada bulan Desember 2005 penulis dinyatakan lulus.

Pada tahun 2004 penulis bekerja sebagai guru di Madrasah Tsanawiyah Sembada Karanggayam Kabupaten Kebumen. Tahun 2009 penulis mengikuti seleksi beasiswa S-2 Matematika, dan alhamdulillah penulis berkesempatan mendapatkan beasiswa tersebut. Awal bulan Agustus 2009 penulis mulai mengikuti matrikulasi selama tiga bulan, kemudian dilanjutkan dengan mengikuti perkuliahan S-2 pada Program Studi Matematika Terapan di IPB dan berhasil menyelesaikan studi pada bulan Oktober tahun 2011.

Halaman DAFTAR TABEL ...

DAFTAR GAMBAR ... DAFTAR LAMPIRAN... 1 PENDAHULUAN ...

1.1 Latar Belakang ... 1.2 Tujuan Penelitian ... 2 TINJAUAN PUSTAKA ... 2.1 Pertumbuhan Ekonomi ... 2.2 Model - Model Pertumbuhan Ekonomi ... 2.3 Istilah - Istilah Ekonomi ... 2.4 Barang Modal dan Barang Konsumsi ... 2.5 Ekuilibrium ... 3 MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA SEKTOR ... 3.1 Asumsi dan Notasi ... 3.2 Produksi dan Akumulasi Modal ... 3.3Sistem Dinamik Model Dua Sektor ... 3.4 Kondisi Ekuilibrium ...

4 SIMULASI MODEL ... 4.1 Pertumbuhan Modal Per kapita ... 4.2 Output Produksi Per kapita... .. 4.3 Kondisi Ekuilibrium ...

5 SIMPULAN DAN SARAN ... 5.1 Simpulan ... 5.2 Saran ... DAFTAR PUSTAKA ... LAMPIRAN ...

xiv xv xvi 1 1 3 5 5 6 11 12 13 15 15 15 18 20 21 21 26 30 33 33 33 35 37

Halaman

1. Besaran parameter model ... 21

2. Titik ekuilibrium masing-masing variabel saat λ= 0.20 ... 30

3. Titik ekuilibrium masing-masing variabel saat λ= 0.50 ... 30

Halaman

1. Modal per kapita masing-masing sektor dengan λ= 0.20 ... 22

2. Modal per kapita total dengan λ= 0.20 ... 22

3. Modal per kapita masing-masing sektor dengan λ= 0.50 ... 23

4. Modal per kapita total dengan λ= 0.50 ... 24

5. Modal per kapita masing-masing sektor dengan λ= 0.80 ... 25

6. Modal per kapita total dengan λ= 0.80 ... 25

7. Output produksi per kapita dengan λ= 0.20 ... 27

8. Output produksi per kapita dengan λ= 0.50 ... 28

Halaman

1. Penjabaran Persamaan (3.3) ... 39

2. Penjabaran Persamaan (3.11) ... 43

3. Penjabaran Persamaan (3.15) ... 45

4. Penjabaran Persamaan (3.16) ... 46

5. Penjabaran Persamaan (3.17) ... 47

6. Penjabaran Persamaan (3.18) ... 48

7. Penjabaran Persamaan (3.19) ... 49

8. Penjabaran Persamaan (3.20) ... 50

9. Penjabaran Persamaan (3.22) ... 52

10. Penjabaran Persamaan (3.23) ... 54

11. Penjabaran Persamaan (3.24) ... 55

12. Penjabaran Persamaan (3.25) ... 56

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Keberhasilan perekonomian suatu negara dapat diukur melalui berbagai indikator, diantaranya adalah dengan mengetahui pendapatan nasional, pendapatan per kapita dan tingkat kesempatan kerja. Suatu negara dikatakan mengalami pertumbuhan ekonomi apabila terjadi kenaikan pendapatan nasional atau kenaikan produk nasional bruto (Gross National Product) di negara tersebut. Pertumbuhan ekonomi juga berarti perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah dan kemakmuran masyarakat meningkat dari satu periode ke periode lainnya. Kemampuan yang meningkat ini disebabkan karena faktor-faktor produksi akan selalu mengalami pertambahan dalam jumlah dan kualitasnya.

Menurut Todaro & Smith (2006), ada tiga faktor utama yang memengaruhi pertumbuhan ekonomi dari setiap bangsa, yaitu akumulasi modal, pertumbuhan penduduk dan kemajuan teknologi. Akumulasi modal (capital accumulation) meliputi semua jenis investasi baru yang ditanamkan pada tanah, peralatan fisik, dan modal sumber daya. Akumulasi modal akan terjadi apabila sebagian dari pendapatan ditabungkan (diinvestasikan) kembali dengan tujuan untuk memperbesar output atau pendapatan dikemudian hari. Pertumbuhan penduduk (angkatan kerja) secara tradisional dianggap sebagai salah satu faktor positif yang memacu pertumbuhan ekonomi. Ini berarti jumlah tenaga kerja yang lebih besar akan menambah jumlah produksi. Pertumbuhan penduduk yang lebih besar berarti ukuran pasar domestik juga akan semakin besar, namun pengaruh positif atau negatifnya pertambahan penduduk bagi upaya pembangunan ekonomi bergantung pada kemampuan sistem perekonomian yang bersangkutan untuk menyerap dan secara produktif memanfaatkan tambahan jumlah angkatan kerja. Kemajuan teknologi (technological progress) merupakan sumber pertumbuhan ekonomi yang paling penting menurut kebanyakan ekonom terutama kalangan teknokrat.

Para ahli ekonomi mempunyai pandangan yang tidak selalu sama mengenai pertumbuhan ekonomi. Pandangan para ahli tersebut sering dipengaruhi oleh keadaan atau peristiwa-peristiwa yang terjadi pada zaman mereka hidup dan oleh ideologi yang mereka anut. Model pertumbuhan ekonomi yang dikemukakan oleh Domar pada tahun 1946 yang menyatakan bahwa output (produksi) secara eksplisit merupakan fungsi dari modal/capital saja tanpa memasukkan variabel tenaga kerja/labor. Hal ini terjadi karena tenaga kerja selalu dikombinasikan dengan modal dalam proporsi yang tetap. Solow pada tahun 1956 merevisi model pertumbuhan Domar dengan memasukkan tenaga kerja sebagai variabel, artinya bahwa tenaga kerja dapat dikombinasikan dengan modal dalam berbagai proporsi. Model pertumbuhan ini dikenal sebagai model pertumbuhan neoklasik Solow (Chiang & Wainwright 2006).

Untuk konsep perubahan variabel waktu kontinu maka perubahan terjadi dari saat ke saat. Jika sebaliknya perubahan waktu diambil sebagai variabel diskret maka perubahan hanya terjadi sekali per periode dan tidak dari saat ke saat. Variabel waktu (t) berubah dari satu bilangan bulat ke bilangan bulat lainya seperti dari t = 1 ke t = 2.

Model Pertumbuhan Ekonomi telah banyak dimodelkan oleh Zhang (2005). Model yang diajukan oleh Zhang telah dikaji oleh Tajau (2008) dalam tesisnya tentang model pertumbuhan ekonomi dua daerah berdasarkan modal dan

knowledge. Kemudian Herliani (2009) dalam tesisnya mengkaji tentang model

distribusi pertumbuhan ekonomi antarkelompok pada dua daerah. Tajau menekankan pada modal dan knowledge sedangkan Herliani menekankan pada perpindahan/pertukaran modal antarkelompok.

Pada karya ilmiah ini yang akan dikaji adalah model pertumbuhan ekonomi dua sektor dalam waktu diskret yang diajukan oleh Zhang (2007). Model pertumbuhan ekonomi dua sektor adalah model pertumbuhan ekonomi di mana dalam sistem produksi, produsen akan menghasilkan dua output (2 jenis produk) yang menggunakan input modal dan tenaga kerja, salah satu menghasilkan barang modal dan lainnya menghasilkan barang konsumsi.

1.2 Tujuan Penelitian

1. Mengkaji model pertumbuhan ekonomi dua sektor dalam waktu diskret. 2. Menentukan solusi ekuilibrium dari model tersebut.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pertumbuhan Ekonomi

Pertumbuhan ekonomi adalah proses kenaikan kapasitas produksi suatu perekonomian yang diwujudkan dalam bentuk kenaikan pendapatan nasional. Pendapatan nasional adalah jumlah seluruh pendapatan yang diterima oleh masyarakat dalam suatu negara selama satu tahun.

GNP (Gross National Product) disebut juga produk nasional bruto adalah nilai barang dan jasa yang diproduksi oleh suatu negara selama satu tahun yang diukur dengan satuan uang. GNP dihitung dengan cara menjumlahkan seluruh nilai barang dan jasa yang dihasilkan oleh seluruh warga negara yang berada pada negara tersebut, termasuk barang dan jasa yang dihasilkan oleh warga negara yang berada di luar negeri, tetapi tidak termasuk hasil produksi perusahaan asing yang beroperasi di wilayah negara tersebut.

Proses pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh dua macam faktor, yaitu faktor ekonomi dan faktor nonekonomi.

Faktor ekonomi meliputi :

1. Sumber daya alam atau tanah. Mencakup kesuburan tanah, letak dan susunannya, kekayaan hutan, mineral, iklim, sumber air, sumber lautan.

2. Akumulasi Modal. Akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima saat ini ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan meningkatkan output dan pendapatan di masa depan.

3. Organisasi. Berkaitan dengan penggunaan faktor produksi di dalam kegiatan ekonomi, organisasi bersifat melengkapi modal, tenaga kerja, dan membantu meningkatkan produktivitasnya.

4. Kemajuan teknologi. Perubahan teknologi dianggap sebagai faktor paling penting di dalam proses pertumbuhan ekonomi. Perubahan tersebut berkaitan dengan perubahan di dalam metode produksi sebagai hasil pembaruan atau teknik penelitian baru. Perubahan ini menaikkan produktivitas tenaga kerja, modal, dan faktor produksi lain. Ada beberapa faktor penting pertumbuhan

teknologi dalam pertumbuhan ekonomi modern, yaitu penemuan ilmiah, inovasi atau pembaruan, penyempurnaan, dan penyebarluasan penemuan.

5. Pembagian kerja dan skala produksi. Spesialisasi dan pembagian kerja menimbulkan peningkatan produktivitas. Adam Smith menekankan arti pentingnya pembagian kerja bagi perkembangan ekonomi, diantaranya perbaikan kemampuan produksi tenaga kerja, tenaga kerja lebih efisien, penghematan waktu, penemuan mesin baru, dan produksi meningkat.

Sedangkan faktor non-ekonomi meliputi:

1. Lembaga atau faktor sosial dan budaya. Pendidikan dan kebudayaan membawa ke arah penalaran, menanamkan semangat baru, menghasilkan perubahan pandangan, harapan, struktur, dan nilai-nilai sosial. Orang dibiasakan menabung dan berinvestasi untuk memperoleh keuntungan.

2. Modal manusia (human capital). Pengembangan faktor manusia berkaitan dengan efisiensi dan produktivitas, yang oleh ahli ekonomi disebut pembentukan modal manusia, yaitu proses peningkatan ilmu pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan seluruh penduduk negara tersebut. Jumlah penduduk yang melonjak cepat merupakan penghambat bagi pembangunan di negara berkembang.

3. Faktor politik dan administratif. Stabilitas politik dan administrasi yang kokoh membantu pertumbuhan ekonomi modern. Administrasi yang kuat, efisien, dan tidak korup sangat penting bagi pembangunan ekonomi. Demikian juga dengan ketertiban, stabilitas, dan perlindungan hukum mendorong kewiraswastaan. Struktur politik dan administrasi yang lemah merupakan penghambat besar bagi pembangunan ekonomi negara terbelakang.

2.2 Model-model Pertumbuhan Ekonomi Model Pertumbuhan Ekonomi Domar

Model pertumbuhan ekonomi klasik yang dikemukakan oleh Domar memiliki dasar pemikiran sebagai berikut (Todaro & Smith 2006):

Setiap perekonomian pada dasarnya harus mencadangkan atau menabung sebagian tertentu dari pendapatannya untuk menambah stok modal. Tabungan (S)

adalah bagian dalam jumlah tertentu (s)dari pendapatan nasional (Y). Oleh karena itu dapat dituliskan hubungan tersebut dalam bentuk persamaan:

S =sY ; 0< <s 1 (2.1)

Investasi neto (I) didefinisikan sebagai perubahan stok modal (K) yang dapat diwakili oleh ΔK, sehingga dapat dituliskan persamaan yang kedua sebagai berikut:

I = ΔK_. (2.2)

Karena jumlah stok modal K, mempunyai hubungan langsung dengan jumlah pendapatan nasional atau output Y dan ditetapkan bahwa rasio modal-output adalah k maka:

K k Y = atau

K k Y

Δ ₌

Δ ,

sehingga

K k Y

Δ = Δ _. (2.3)

Mengingat tabungan nasional neto (S) harus sama dengan investasi neto (I), maka persamaan berikutnya dapat dituliskan sebagai berikut:

S =I. (2.4)

Dari persamaan (2.1) telah diketahui bahwa S =sY dan dari persamaan (2.2) serta persamaan (2.3) dapat diketahui juga bahwa

I = Δ = ΔK k Y

Dengan demikian dapat dituliskan bahwa tabungan sama dengan investasi dalam persamaan (2.4) sebagai berikut:

S =sY = Δ = Δ =k Y K I (2.5)

atau bisa diringkas menjadi

sY = Δk Y . (2.6)

Selanjutnya apabila kedua sisi persamaan (2.6) dibagi mula-mula dengan Y dan kemudian dengan k, maka didapat:

Y s

Y k

Δ ₌

. (2.7)

Persamaan (2.7) menyatakan bahwa tingkat pertumbuhan GDP (ΔY Y/ ) ditentukan secara bersama-sama oleh rasio tabungan s serta rasio modal-output k.

pendapatan nasional akan berbanding lurus dengan rasio tabungan yakni semakin banyak bagian GDP yang ditabung dan diinvestasikan maka akan lebih besar lagi pertumbuhan GDP yang dihasilkannya. Namun berbanding terbalik terhadap rasio modal-output dari suatu perekonomian yakni semakin besar rasio modal-output atau k maka tingkat pertumbuhan GDP akan semakin rendah. Hal ini dapat dikatakan bahwa agar bisa tumbuh dengan pesat maka setiap perekonomian harus menabung dan menginvestasikan sebanyak mungkin bagian dari GDPnya. Semakin banyak yang ditabung maka laju pertumbuhan perekonomian akan semakin cepat.

Model Pertumbuhan Ekonomi Solow

Dalam model pertumbuhan neoklasik Solow (Chiang & Wainwright 2006), tenaga kerja dimasukkan sebagai salah satu variabel dari fungsi produksi, sehingga modal dan tenaga kerja dapat dikombinasikan dalam berbagai proporsi. Fungsi produksi model pertumbuhan ekonomi Solow ditunjukkan dengan persamaan berikut:

) , (K L F

Y = (K,L>0) (2.8) dengan Y adalah output (setelah penyusutan), K adalah modal, dan L adalah tenaga kerja, yang semuanya digunakan dalam pengertian makro. Diasumsikan bahwa F_Kdan F_L adalah positif (produk marjinal yang positif), serta F_KK dan F_LL

adalah negatif. Sedangkan fungsi produksi F yang digunakan adalah homogen secara linear, sehingga dapat ditulis:

) ( 1

, Lo k L

K LF

Y ⎟= /

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= (2.9)

dengan

L K

k≡ . Karena Y bergantung pada K dan L, maka untuk menentukan kedua variabel, Solow berasumsi bahwa:

sY dt dK

K ≡ = (2.10)

n L

dt dL L L

=

≡ /

Simbol s menggambarkan kecenderungan menabung marjinal (konstan), dan n

adalah laju pertumbuhan tenaga kerja (konstan). Dengan memperhatikan asumsi tersebut bisa dilihat bahwa persamaan (2.10) dan persamaan (2.11) tidak menjelaskan bagaimana tingkat K dan L ditentukan, tetapi menjelaskan penentuan tingkat perubahan K dan L. Persamaan (2.9), persamaan (2.10), dan persamaan (2.11) merupakan model yang lengkap.

Untuk memecahkan model ini, pertama akan disederhanakan menjadi satu persamaan dalam satu variabel, yaitu dengan menyubstitusikan persamaan (2.9) ke dalam persamaan (2.10) sehingga diperoleh:

) (k o sL

K = / . (2.12)

Karena

L K

k = ⇔ K =kL, maka dengan mendiferensialkan K =kL dan dengan menggunakan persamaan (2.11), diperoleh:

L k k L

K = + =Lk+knL. (2.13)

Dari persamaan (2.12), persamaan (2.13), dan dengan menghilangkan L, maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

nk k o s

k= /( )− . (2.14)

Persamaan (2.14) merupakan persamaan dasar dari model pertumbuhan ekonomi Solow, yang merupakan persamaan diferensial dari variabel k, dengan dua parameter s dan n. Model pertumbuhan ekonomi satu sektor merupakan model yang dikemukakan oleh Solow di mana dalam sistem produksi, produsen akan menghasilkan satu output (1 jenis produk) yang menggunakan input modal dan tenaga kerja. Pada hakekatnya teori pertumbuhan Neo-Klasik Solow didasarkan pada fungsi produksi yang telah dikembangkan oleh dua penulis Amerika, yaitu Charles Cobb dan Paul Douglas yang lebih terkenal dengan sebutan fungsi produksi Cobb-Douglas.

Secara matematis fungsi produksi Cobb-Douglas dapat ditulis dengan persamaan:

  Y = AK Lα β  

Keterangan:

Y = output

L = inputtenaga kerja

A = parameter efisiensi/koefisien teknologi

α = elastisitas input modal

β = elastisitas inputtenaga kerja

Menurut Soekartawi (1994), returns to scale (RTS) perlu diketahui untuk melihat apakah kegiatan produksi tersebut mengikuti kaidah increasing, constant,

atau decreasing returns to scale. untuk menjelaskan hal ini maka jumlah besaran elastisitas α dan β kemungkinannya ada tiga alternatif yaitu:

1. Decreasing return to scale, bila (α + β) < 1. Dalam keadaan demikian dapat

diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi melebihi proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25% , maka produksi akan bertambah sebesar 15%.

2. Contstant return to scale, bila (α + β) = 1. Dalam keadaan demikian dapat

diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi akan proporsional dengan proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25% , maka produksi akan bertambah sebesar 25%.

3. Increasing return to scale, bila (α + β) > 1. Dalam keadaan demikian dapat

diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi kurang dari proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 10% , maka produksi akan bertambah sebesar 20%.

Dalam penelitian ini menggunakan contstant return to scale yakni α + β =1. Dalam keadaan seperti ini, walaupun input ditambah pada tingkatan tertentu, maka tambahan produksi dapat dihitung dengan mudah.

Fungsi produksi Cobb Douglas:

  Y = AK Lα β

Misalnya apabila input dinaikkan dua kali lipat maka: 2 (2 1) .(2 )1

Y = A K α L β ; Y₁= AK L₁α β₁

       A2 K1 .2 L1

α α β β

=  

       2 AK1 .L1

α β+ α β

=  

       2 Y1

α β+

=  

Perubahan outputsebagai akibat dari perubahan input. Apabila input (baik

K maupun L) naik sebesar 2 (dua) kali maka outputakan naik sebesar 2 (dua) kali pula. Dengan demikian, bila faktor produksi K dan L ditambah n kali, maka produksi juga akan bertambah n kali.

2.3 Istilah-istilah Ekonomi Fungsi Produksi

Fungsi produksi adalah hubungan teknis antara faktor produksi (input) dan hasil produksi/output (Wahyu 2006).

Faktor Produksi

Faktor produksi adalah variabel-variabel input yang digunakan dalam proses produksi untuk menghasilkan output (Wahyu 2006).

Tenaga Kerja

Tenaga kerja adalah kemampuan atau kemahiran yang dimiliki suatu penduduk untuk digunakan dalam proses produksi (Sukirno 2009).

Modal

Modal adalah segala barang-barang yang diciptakan manusia dengan tujuan untuk menghasilkan barang-barang lain atau jasa-jasa yang akan digunakan masyarakat (Sukirno 2004).

Upah

Upah adalah biaya penggunaan satu unit pekerja selama satu satuan waktu tertentu (Suherman 2009).

Produk Marjinal

Produk marjinal terhadap suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut (Soekartawi 2002):

Produk marjinal modal

k F

PMK f

K

∂

= =

Produk marjinal tenaga kerja

L F

PML f

L

∂

= =

∂     

Elastisitas 

Elastisitas adalah ukuran persentase perubahan suatu variabel yang disebabkan oleh satu persen perubahan lain (Soekartawi 2002).

Konsumsi

Dalam ilmu ekonomi, konsumsi adalah tindakan menghabiskan atau mengurangi secara berangsur-angsur manfaat suatu barang dalam memenuhi kebutuhan untuk memelihara kelangsungan hidupnya.

Tabungan

Tabungan adalah bagian dari pendapatan yang tidak dikeluarkan untuk konsumsi (Suherman 2009).  

 

2.4 Barang Modal dan Barang konsumsi

Barang modal adalah barang-barang yang harus melalui proses produksi lebih lanjut untuk menjadi barang yang siap untuk dikonsumsi. Sedangkan barang konsumsi adalah barang-barang yang siap untuk dikonsumsi untuk memenuhi kebutuhan pribadi dan tidak memberikan pendapatan bagi yang mengkonsumsinya. Barang konsumsi memberikan utility bagi yang menggunakannya (Wahyu 2006). Menurut Suherman (2009), barang konsumsi adalah barang yang langsung dapat dipakai atau dinikmati, sedangkan barang modal adalah barang-barang yang hanya dapat dinikmati hasilnya, jadi bukan barang itu sendirilah yang dinikmati melainkan hasilnya. Contoh untuk barang konsumsi adalah makanan, rokok, minyak rambut dan sebagainya. Sedangkan contoh barang-barang modal adalah mesin jahit, traktor, bulldozer dan sebagainya. Namun ada pula jenis barang yang membingungkan dan termasuk golongan yang mana. Sebab terasa seperti barang konsumsi tetapi kadangkala terasa seperti barang modal. Sebagai contoh adalah mobil. Apakah mobil dikategorikan barang konsumsi atau barang modal? Untuk menjawab pertanyaan ini maka perlu ditinjau mobil tersebut digunakan untuk apa. Apabila mobil tersebut dipakai oleh seorang supir taksi, maka mobil dalam perspektif barang

modal. Mobil dipakai sebagai salah satu faktor produksi bagi supir taksi guna memberikan pelayanan/jasa bagi konsumennya. Sementara itu, mobil bagi seorang istri direktur bank adalah barang konsumsi, karena ia dapat berjalan-jalan dan belanja dengan mobil tersebut.

2.5 Ekuilibrium

Ekuilibrium adalah suatu keadaan di mana kumpulan variabel-variabel terpilih saling berhubungan (interrelated) dan disesuaikan satu dengan yang lainnya dengan cara sedemikian rupa, sehingga tidak ada kecenderungan yang melekat (inherent) dalam model tersebut untuk berubah (Chiang & Wainwright 2006).

Pernyataan terpilih menunjukkan kenyataan ada variabel yang tidak dimasukkan ke dalam model, sehingga apabila modelnya diperluas dengan memasukkan variabel tambahan maka ekuilibrium pada model semula tidak dapat digunakan lagi. Pernyataan saling berhubungan menunjukkan bahwa untuk dapat mencapai ekuilibrium, semua variabel dalam model harus secara bersamaan dalam keadaan tetap. Sedangkan pernyataan melekat menunjukkan bahwa dalam mendefinisikan ekuilibrium keadaan tetap variabel dalam model hanya didasarkan pada penyeimbangan kekuatan internal dari model tersebut, sedangkan faktor-faktor eksternal dianggap tetap. Pada intinya, ekuilibrium untuk suatu model tertentu adalah suatu keadaan yang mempunyai ciri tidak adanya kecenderungan untuk berubah atau suatu keadaan yang ideal.

Sedangkan menurut (Zhang 2006) ekonomi yang berada pada kondisi mapan/equilibrium (steady state) adalah suatu keadaan di mana modal per kapita pada suatu periode tertentu adalah sama dengan modal per kapita pada periode sebelumnya. Untuk model diskret secara matematis dapat dituliskan

* ( 1) ( )

k t+ =k t =k

BAB III

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA SEKTOR

3.1 Asumsi dan Notasi

Model pertumbuhan dua sektor ini merupakan model pertumbuhan dengan dua komoditi yang dihasilkan, yaitu barang modal dan barang konsumsi. Kedua barang ini diproduksi dengan modal dan tenaga kerja. Diasumsikan bahwa barang modal dan barang konsumsi merupakan komoditas yang berbeda. Model dikembangkan dalam waktu diskret disajikan dalam suatu barisan periode dan diberi indeks t = 0, 1, 2... di mana waktu 0 menunjukkan dimulainya periode 0 yang mewakili perekonomian pada situasi awal hinggga mengalami pertumbuhan sampai akhir periode t-1. Total populasi N dianggap tetap. Rumah tangga mendistribusikan pendapatan mereka untuk konsumsi dan tabungan. Dalam model pertumbuhan dua sektor ini diasumsikan dan didefinisikan sebagai berikut (Zhang 2007):

Kj(t) = modal yang di gunakan sektor j pada periode t

Nj(t) = jasa tenaga kerja yang digunakan sektor j dalam periode t

Fj(t) = output dari sektor j pada periode t

p(t) = harga untuk barang konsumsi pada periode t

Y(t) = pendapatan saat ini pada periode t

r(t) = tingkat suku bunga pada periode t

w(t) = tingkat upah pada periode t

c(t) = konsumsi komoditas pada periode t s(t) = tabungan pada periode t.

3.2 Produksi dan Akumulasi Modal

Fungsi produksi diberikan F K t N tj( j( ), j( )) j = i, s,di mana indeks i dan s adalah notasi sektor barang modal dan sektor barang konsumsi, dan Fj adalah

output dari sektor j; Kj(t) dan Nj(t) adalah modal dan tenaga kerja yang digunakan

Dalam pembahasan, fungsi produksi adalah fungsi produksi Cobb-Douglas sebagai berikut:

( ) j( ) j( )

j j j j

F t = A Kα t Nβ t , α β_j, _j> 0, α_j+β_j =1, j= i, s. (3.1) Dengan menjadikan sebagai besaran per kapita, yaitu ( ) ( ),

( ) j j j F t f t N t

≡ maka

diperoleh ( )

j

f t = j( )

j j

A kα t , di mana ( ) ( ), ( ) j j j K t k t N t

≡ j = i ,s. (3.2)

Diasumsikan bahwa tingkat suku bunga dan tingkat upah di dua sektor adalah sama. Harga barang konsumsi dinotasikan p(t), tingkat suku bunga r(t), dan tingkat upah w(t). Kondisi marjinal adalah

( ) i( ) ( ) s( ),

k i i i s s s

r t +δ =α A k−β t = p t α A k−β t ( ) i( ) ( ) s( ).

i i i s s s

w t =β A kα t =β A p t kα t (3.3)

( Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 1).

Total persediaan modal K(t) dialokasikan pada dua sektor. Diasumsikan bahwa tenaga kerja dan persediaan modal dinyatakan oleh

( ) ( ) ( ),

i s

K t +K t =K t N t_i( )+N t_s( )=N, (3.4) dengan N adalah populasi fixed (tetap), persamaan (3.4) dapat ditulis kembali menjadi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

i i s s

n t k t +n t k t =k t n t_i( )+n t_s( ) 1,= (3.5)

dengan

( ) ( ) K t ,

k t N

≡ n t_j( ) N tj( ),

N

≡ j= i, s. (3.6) Pendapatan rumah tangga saat ini y(t), diperoleh dari pembayaran bunga,

r(t)k(t), dan pembayaran upah w(t) dinyatakan sebagaimana berikut: ( ) ( ) ( ) ( )

y t =r t k t +w t . (3.7)

Pendapatan yang siap dibelanjakan perkapita (percapita disposable

income) rumah tangga didefinisikan sebagai jumlah dari pendapatan saat ini

(current income) dan kekayaan yang tersedia k(t).

ˆ( ) ( ) ( ) (1 ( )) ( ) ( ).

Pendapatan yang siap dibelanjakan tersebut digunakan untuk menabung dan konsumsi.

Konsumen akan mendistribusikan total ketersediaan anggaran untuk menabung s(t) dan mengkonsumsi barang c(t). Batasan anggaran diberikan oleh

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )

p t c t +s t = y t . (3.9)

Dengan mengasumsikan bahwa tingkat utilitas U(t), yang konsumen dapatkan adalah tergantung pada tingkat konsumsi komoditas, c(t), dan tabungan, s(t). Fungsi utilitas yang digunakan adalah sebagai berikut:

( ) ( ) ( );

U t =c t s tξ λ  ξ λ, >0; ξ λ+ =1 (3.10)

di mana ξ adalah kecenderungan untuk mengkonsumsi barang, dan λ adalah kecenderungan untuk memiliki modal (menabung). Fungsi utilitas tersebut akan dimaksimumkan dengan batasan anggaran yang diberikan. Sehingga dapat diselesaikan kepuasan optimal konsumen sebagai berikut:

ˆ ( ) ( ) ( )

p t c t =ξy t , s t( )=λy tˆ( ). (3.11)

(Penjabaran perolehan solusi dapat lihat pada Lampiran 2).

Dengan menganggap bahwa perubahan modal terhadap waktu adalah diskret sehingga akumulasi modal rumah tangga diberikan:

ˆ ( 1) ( ) ( )

k t+ =s t =λy t (3.12)

Persamaan (3.12) berarti bahwa kekayaan k pada periode t+1 adalah sama dengan tabungan pada periode t.

Output dari sektor barang konsumsi yang dikonsumsi oleh rumahtangga, yaitu,

( ) _s( )

c t N=F t , (3.13)

Sedangkan output dari sektor barang modal adalah sama dengan depresiasi persediaan modal dan tabungan bersih, yakni

( ) ( ) _k ( ) _i( )

S t −K t +δ K t =F t (3.14)

3.3 Sistem Dinamik Model Dua Sektor

Hubungan antara modal perkapita dari sektor barang modal dan sektor barang konsumsi berdasarkan persamaan (3.3) dan berdasarkan asumsi tingkat suku bunga dan tingkat upah di kedua sektor sama akan diperoleh

( ) ( )

s i

k t =αk t (3.15)

di mana α β α β α≡ _{i s} / _{s i}. (Penjabaran persamaan dapat lihat pada Lampiran 3). Modal perkapita dari sektor barang konsumsi adalah berproporsi dengan sektor barang modal.

Dengan k t_s( )=αk t_i( ) dan β_if_i =β_spf_sdiperoleh

( ) ( ) i s

s

i i

i

s s

A

p t k t

A α α α β β α −

= . (3.16)

(Penjabaran perolehan persamaan dapat lihat pada Lampiran 4). Harga barang-barang konsumsi mempunyai hubungan positif dengan tingkat teknologi dari sektor barang modal tetapi mempunyai hubungan negatif dengan sektor barang konsumsi.

Berdasarkan persamaan (3.5) dan persamaan (3.15) diperoleh distribusi tenaga kerja sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ,

( 1) ( )

i i

i

k t k t

n t k t α α − = − ( ) ( ) ( )

( 1) ( )

i s

i

k t k t

n t

k t

α − =

− . (3.17)

(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 5). Berdasarkan persamaan (3.14) dan s=λyˆ, didapatkan

( ) ( ) ( )

ˆ( ) n t f ti i k t

y t δ

λ

+

= . (3.18)

(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 6)

Dari persamaan (3.11) yaitu pc=ξyˆ, serta c=n f_{s s}, dan p= f_i'/ f_s',didapatkan ' '

ˆ s s i / s

y=n f f ξf dari persamaan ini dan persamaan (3.18), didapatkan

' ( )

( ) ( ) s ( ) ( ) ( )

s i i i

s k t

n t f t λ n t f t δk t

ξα = + . (3.19)

(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 7)

Substitusi n t_i( ) 1= −n t_s( )dan n t_s( ) pada persamaan (3.17) ke dalam persamaan (3.19) menghasilkan

( ) ( ( )) ( )_{i i}

k t = Φ k t k t , (3.20)

di mana

0 1 ( ( ))

(1 i( ))

i

i k t

A Akβ t

Φ ≡ + , 0 0 0 1 0 A λ α λ + ≡ >

+ , ₀

(1 ) / 1

i A

A α δ

λ − ≡ + 0 i s β λ λ β ξ

≡ . (3.21) (Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 8)

dengan persamaan (3.19) dan persamaan (3.20) serta menurut definisi dari A dan

A0, dapat diselesaikan

1 2 ( ) ( ( ))( i( ))

i i i

n t = Φ k t α α− kβ t , (3.22)

di mana α λ α λ₁≡ ₀ / ( + ₀) dan α₂ ≡αδ /A_i(α λ+ ₀). (Lihat Lampiran 9)

Berdasarkan persamaan (3.20) dan persamaan (3.22) masukan ke dalam persamaan (3.18) didapatkan

ŷ(t) = ( 1 2 ( )) ( ) ( ) ( ( ))

i

i i i i

kβ t f t k t k t

α α δ

λ

⎡ − + ⎤Φ

⎣ ⎦ _{. (3.23)}

(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 10)

Substitusikan persamaan (3.20) dan persamaan (3.23) ke dalam persamaan (3.12), sehingga diperoleh

1 2

( ( 1)) ( 1) ( i( )) ( ) ( ) ( ( ))

i i i i i i

k t k t ⎡α α kβ t f t δk t ⎤ k t

Φ + + =_⎣ − + _⎦Φ . (3.24)

(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 11) Pertumbuhan ekonomi dapat digambarkan sebagai fungsi dari ki yaitu

  k ti( 1) k ti( ) t

+ − ≡

Δ f(ki(t)) dengan Δt=1

Pertumbuhan ekonomi dapat diketahui dengan akumulasi modal, untuk mengetahui pergerakan akumulasi modal terlebih dahulu mengetahui pergerakan modal pada sektor barang modal sehingga dari persamaan (3.21) dan persamaan (3.24) dapat dibuat persamaan sebagai berikut

1 2 1 2

[( ( )) ( ) ( )] ( ( )) ( ) ( )

( 1) ( 1) 0

1 ( ) 1 ( )

i i

i

i i

i i i i i i

i i

i i

k t f t k t A k t f t k t

k t k t

Ak t Ak t

β β

β

β β

α α− +δ α α− +δ

+ − + − =

+ + (3.25)

(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 12).

Fungsi modal (k t_i +1)dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (3.25) secara numerik. Nilai-nilai dari semua variabel pada setiap titik waktu dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.

3.4 Kondisi Equilibrium

  Ekuilibrium untuk model tertentu adalah suatu keadaan yang mempunyai ciri tidak adanya kecenderungan untuk berubah. Selanjutnya agar sistem berada dalam kondisi ekuilibrium, jika dipenuhi

( 1)

i

k t+ = ( )k t_i = *

k . (3.26)

Substitusi kondisi (3.26) ke persamaan (3.24), sehingga diperoleh persamaan yang memiliki solusi positif unik yaitu

1/

* 1

2

i i

i

k i

A k

A

β

α

δ α

⎛ ⎞

= ⎜ ₊ ⎟

⎝ ⎠ . (3.27)

(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 13). Nilai dari semua variabel pada saat ekuilibrium dapat diselesaikan melalui pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.

BAB IV

SIMULASI MODEL

Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi model melalui pendekatan numerik dengan menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica. Oleh karena itu ditentukan nilai-nilai parameter seperti yang disajikan pada Tabel 4.1 sebagai berikut:

Tabel 4.1 Besaran Parameter Model

j α β A δk

i 1/3 2/3 1.3 0.1

s 0.30 0.70 1.2 0.1

Pada simulasi ini akan dibuat tiga kasus pada kecenderungan menabung untuk pertumbuhan modal dan output per kapita yaitu kasus 1 saat kecenderungan menabung 20 persen, kasus 2 saat kecenderungan menabung 50 persen, kasus 3 saat kecenderungan menabung 80 persen.

4.1 Pertumbuhan Modal Per kapita

Laju perubahan modal per kapita pada sektor barang modal dapat disimulasikan dengan menggunakan persamaan (3.25), laju perubahan modal per kapita pada sektor barang konsumsi dapat disimulasikan dengan menggunakan persamaan (3.15). Sedangkan laju perubahan modal per kapita total dapat simulasikan dengan persamaan (3.5).

Kasus 1: Kecenderungan menabung λ= 0.20

Dengan kecenderungan untuk menabung adalah 0.20, ini menunjukkan bahwa kecenderungan mengkonsumsi adalah 80 persen. Laju perubahan modal pada masing-masing sektor diberikan pada Gambar 1. Sedangkan laju perubahan modal totalnya dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 1 Modal per kapita masing-masing sektor dengan λ= 0.20.

Dari Gambar 1 terlihat bahwa perubahan modal per kapita pada semua sektor mengalami penurunan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Ini terlihat dengan modal per kapita yang besar pada waktu awal, lama kelamaan modal perkapita tersebut berkurang seiring berjalannya waktu, penurunan tajam terjadi pada sekitar t≤ 5, namun pada saat t > 5 penurunan sudah tidak signifikan bahkan akan menjadi konstan. Hal ini disebabkan karena kecenderungan menabung yang kecil sedangkan kecenderungan mengkonsumsi lebih besar yakni 80 persen.

             

Gambar 2 Modal per kapita total dengan λ= 0.20.

 

5 10 15 20 t

-0.2 0.0 0.2 0.4

niki 

nsks 

k 

t k

 

5 10 15 20

0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

ks 

ki 

t 

Dari Gambar 2 terlihat bahwa perubahan modal per kapita total k mengalami penurunan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Ini terlihat dengan modal per kapita total k yang besar pada waktu awal, lama kelamaan modal perkapita total k

tersebut berkurang seiring berjalannya waktu, penurunan tajam terjadi pada sekitar t≤ 5, namun pada saat t > 5 penurunan sudah tidak signifikan bahkan akan menjadi konstan. Hal ini disebabkan karena kecenderungan menabung yang kecil yaitu 20 persen sedangkan kecenderungan mengkonsumsi lebih besar yakni 80 persen.

Kasus 2: Kecenderungan menabung λ= 0.50 

Jika kecenderungan menabung berubah naik menjadi 0.50 yang berarti kecenderungan mengkonsumsi turun menjadi 50 persen, ternyata grafik laju perubahan modal pada masing-masing sektor juga mengalami perubahan sebagaimana diberikan Gambar 3. Sedangkan laju perubahan modal totalnya dapat dilihat pada Gambar 4.

Gambar 3 Modal per kapita masing-masing sektor dengan λ= 0.50.

Dari Gambar 3 terlihat bahwa perubahan modal per kapita pada semua sektor mengalami kenaikan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Kenaikan tajam modal per kapita pada masing-masing sektor terjadi pada sekitar t ≤ 5, namun pada saat t > 5 kenaikan sudah tidak signifikan bahkan akan menjadi konstan. Hal

 

5 10 15 20

0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

ks

ki

t k

ini disebabkan karena adanya kenaikan kecenderungan menabung menjadi 50 persen.

Gambar 4 Modal per kapita total dengan λ= 0.50.

Dari Gambar 4 terlihat bahwa perubahan modal per kapita total mengalami kenaikan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Kenaikan tajam modal per kapita terjadi pada sekitar t ≤ 5, namun saat t > 5 kenaikanya sudah tidak signifikan bahkan cenderung konstan. Kenaikan ini akibat adanya penambahan pada kecenderungan menabung menjadi 50 persen.

Kasus 3: Kecenderungan menabung λ= 0.80

Jika kecenderungan menabung berubah naik menjadi 0.80 yang berarti kecenderungan mengkonsumsi turun menjadi 20 persen ternyata grafik laju perubahan modal per kapita pada masing-masing sektor juga mengalami perubahan sebagaimana diberikan Gambar 5. Sedangkan laju perubahan modal totalnya dapat dilihat pada Gambar 6.

 

5 10 15 20 t

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

nsks

k

niki

t k

Gambar 5 Modal per kapita masing-masing sektor dengan λ= 0.80.

Dari Gambar 5 terlihat bahwa perubahan modal per kapita pada semua sektor mengalami kenaikan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Kenaikan tajam modal per kapita pada masing-masing sektor terjadi pada pada setiap waktu bahkan sampai t = 20. Hal ini disebabkan karena adanya kenaikan kecenderungan menabung menjadi 80 persen.

         

           Gambar 6 Modal per kapita total dengan λ= 0.80.

 

 

5 10 15 20

2 4 6 8

ki

ks

t k

 

5 10 15 20 t

1 2 3 4 5 6

7 _k

nsks

niki

t k

Dari Gambar 6 terlihat bahwa laju perubahan modal per kapita total mengalami kenaikan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Kenaikan tajam modal per kapita total terjadi pada pada setiap waktu bahkan sampai t = 20. Hal ini disebabkan karena adanya perubahan kecenderungan menabung menjadi 80 persen.  

Berdasarkan dari ketiga kasus di atas dapat disimpulkan bahwa jika kecenderungan untuk menabung semakin tinggi akan mempengaruhi laju perubahan modal per kapita menjadi semakin tinggi. Sehingga untuk mendapatkan modal yang lebih besar sebaiknya dengan meningkatkan kecenderungan menabung.

4.2 Output Produksi Per kapita.

Grafik banyaknya output produksi per kapita dari masing-masing sektor dapat disimulasikan dengan persamaan (3.2). Di sini diperkenalkan bahwa output produksi total dihitung dengan f =n f_{i i}+n pf_{s s}, dinotasikan n f_{i i} =e_i dan

s s s

n pf =e . Dengan besaran parameter masih sama seperti pada Tabel 4.1.

Kasus 1: Kecenderungan menabung λ= 0.20

Dengan kecenderungan untuk menabung adalah 0.20, ini menunjukkan bahwa kecenderungan mengkonsumsi adalah 80 persen. Untuk melihat grafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.

Gambar 7Output produksi per kapita dengan λ= 0.20.

Berdasarkan pada Gambar 7 terlihat bahwa output produksi per kapita mengalami penurunan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Penurunan tajam terjadi pada

t ≤ 5, namun pada saat t > 5 penurunan sudah tidak signifikan bahkan akan menjadi konstan. Hal ini disebabkan karena kecenderungan menabung yang kecil yaitu 20 persen sedangkan kecenderungan mengkonsumsi lebih besar yakni 80 persen.

 

5 10 15 20

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90

fs 

fi 

t 

f

t  

5 10 15 20 t

0.0 0.5 1.0 1.5

ei 

es 

f 

f

Kasus 2: Kecenderungan menabung λ= 0.50

Jika kecenderungan menabung berubah naik menjadi 0.50 yang berarti kecenderungan mengkonsumsi turun menjadi 50 persen ternyata grafik output per kapita juga mengalami perubahan sebagaimana Gambar 8.

Gambar 8 Output produksi per kapita dengan λ= 0.50.

Berdasarkan pada Gambar 8 terlihat bahwa output produksi per kapita mengalami kenaikan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Kenaikan tajam output produksi per kapita pada masing-masing sektor terjadi pada sekitar t ≤ 5, namun pada sekitar t > 5 kenaikan sudah tidak signifikan bahkan akan menjadi konstan. Kenaikan ini akibat adanya penambahan pada kecenderungan menabung menjadi 50 persen.

 

5 10 15 20

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

fi

fs

t f

5 10 15 20 t

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

1.4 f

es

ei

t f

Kasus 3: Kecenderungan menabung λ= 0.80

Jika kecenderungan menabung berubah naik menjadi 0.80 yang berarti kecenderungan mengkonsumsi turun menjadi 20 persen ternyata grafik laju perubahan output produksi per kapita juga mengalami perubahan sebagaimana Gambar 9.

     

Gambar 9 Output produksi per kapita dengan λ= 0.80.

Berdasarkan Gambar 9 terlihat bahwa output produksi per kapita total mengalami kenaikan secara eksponensial dari waktu ke waktu. Kenaikan tajam output

produksi per kapita terjadi pada setiap waktu bahkan sampai t = 20. Hal ini

 

5 10 15 20

1.0 1.5 2.0

2.5 fi

fs

t f

 

5 10 15 20 t

0.5 1.0 1.5 2.0

2.5 _f

ei

es

t f

disebabkan karena adanya perubahan kecenderungan menabung menjadi 80 persen.

Berdasarkan dari ketiga kasus di atas dapat disimpulkan bahwa jika parameter-parameter pada Tabel 4.1 ada perubahan pada kecenderungan untuk menabung akan mempengaruhi output produksi per kapita. Sehingga untuk mendapatkan output produksi yang lebih besar sebaiknya dengan meningkatkan kecenderungan menabung.

Kondisi Ekuilibrium

Salah satu definisi ekuilibrium adalah suatu keadaan yang mempunyai ciri tidak adanya kecenderungan untuk berubah (Chiang & Wainwright 2006).Untuk menentukan kondisi ekuilibrium pada variabel-variabel lain maka terlebih dahulu ditentukan kondisi ekuilibrium dari ki. Nilai titik ekuilibrium ki diperoleh dengan

mengunakan persamaan (3.27) maka diperoleh kondisi ekuilibrium adalah sebagai berikut:

Tabel 4.2 Titik ekuilibrium masing-masing variabel saat λ= 0.20 Variabel Titik Ekuilibrium Variabel Titik Ekuilibrium

ki  0.208263 fi  0.770574

ks 0.178511 fs 0.715617 

k 0.179203 f 0.734733

Tabel 4.3 Titik ekuilibrium masing-masing variabel saat λ= 0.50 Variabel Titik Ekuilibrium Variabel Titik Ekuilibrium

ki 1.48223 fi 1.48223

ks  1.27048 fs 1.28935

Tabel 4.4 Titik ekuilibrium masing-masing variabel saat λ= 0.80 Variabel Titik Ekuilibrium Variabel Titik Ekuilibrium

ki  8.00000 fi  2.60000 

ks 6.85714 fs 2.13808 

k 7.17241 f 2.51034

   

Dari Tabel 4.2, Tabel 4.3 dan Tabel 4.4 nampak bahwa saat kecenderungan menabung 20 persen, artinya bahwa kecenderungan menabung lebih rendah dari pada kecenderungan mengkonsumsi yakni 80 persen diperoleh modal per kapita total 0.179203 dan output produksi total 0.734733. Lalu dengan adanya kenaikan kecenderungan menabung menjadi 50 persen diperoleh modal per kapita menjadi 1.28889 dan output produksi total 1.41778. Selanjutnya kecenderungan menabung menjadi 80 persen diperoleh modal per kapita 8.00000 dan output produksi total 2.51034. Oleh karenanya dapat disimpulkan bahwa dengan adanya kenaikan kecenderungan menabung akan berpengaruh pada kenaikan modal per kapita sehingga diperoleh output yang tinggi.

BAB V

SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dari kajian terhadap model pertumbuhan ekonomi dua sektor dalam waktu diskret, dengan fungsi produksi Cobb-Douglas, serta berdasarkan hasil simulasi, maka dapat disimpulkan:

1. Model pertumbuhan ekonomi dua sektor dalam waktu diskret dapat dinyatakan oleh persamaan dalam fungsi ki.

2. Peningkatan kecenderungan menabung akan meningkatkan modal per kapita keseluruhan dan output keseluruhan.

3. Pada saat ekuilibrium model memiliki solusi tunggal.

5.2 Saran

Dalam penelitian ini perlu adanya perbaikan dan pengembangan diantaranya:

1. Perlu diteliti lebih lanjut pengaruh perubahan dari parameter-parameter lain baik melalui solusi analitik maupun simulasi.

DAFTAR PUSTAKA

Chiang AC, Wainwright K. 2006. Fundamental Methods of Mathematical

Economics. Ed. Ke-4. New York: McGraw-Hill Companies Inc.

Herliani AL. 2009. Model Distribusi Pertumbuhan Ekonomi Antarkelompok pada

Dua Daerah. [tesis]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian

Bogor.

Sukirno S. 2004. Teori Pengantar Makroekonomi. Jakarta: PT Raja Grafindo Persada.

Soekartawi. 1994. Teori Ekonomi Produksi. Jakarta: PT Raja Grafindo Persada Suherman R. 2009. Pengantar Teori Ekonomi: Pendekatan Kepada Teori

Ekonomi Mikro dan Makro. Jakarta: Rajawali Pers.

Tajau MTN. 2008. Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Daerah Berdasarkan

Modal dan Knowledge. [tesis]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut

Pertanian Bogor.

Todaro MP, Smith SC. 2006. Economics Development, 9th Edition. NewYork: Pearson Education Limited.

Wahyu AP. 2006. Teori Ekonomi Makro. Departemen Ekonomi Pembangunan Fakultas Ekonomi, Universitas Sumatera Utara. 

Zhang WB. 2007. A Discrete Two-Sector Economic Growth Model. Hindawi Publishing Corporation.

Zhang WB. 2006. Discrete Dynamical Systems, Bifurcations and Chaos in

Economics. Amsterdam: Elsevier.

Zhang WB. 2005. Differential Equations, Bifurcations, and Chaos in

Economics, in “Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences”,

Lampiran 1

Penjabaran Persamaan (3.3)

Fungsi Produksi Cobb-Douglas ( ) j( ) j( )

j j j j

F t =A Kα t Nβ t di mana α_j +β_j =1 Keuntungan adalah penerimaan total dikurangi biaya produksi. Jika keuntungan dinotasikan dengan π maka:

π = Fhj−(rk+δkk+wN)

Untuk sektor barang modal dengan h_i =1 ( )k Fh_i rk _kk wN

π = − −δ −

( )k F rk _kk wN

π = − −δ −

k d dF r dk dk π _δ = − −

Agar keuntungan maksimum maka d 0

dk π ₌

0 dF (r _k)

dk δ = − + k dF r dk δ + = k

r+δ = i 1( ) i( )

iA Ki i t Ni t

α β

α −

( ) ( )

i i

iA Ki i t Ni t

β β α − = 1 ( ) ( ) i i

i i i

i

A K t

N t β β α − − = ( ) ( ) i i i i i i K t A N t β β

α −₋

= ( ) ( ) i i i i i K t A N t β α − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ k

r+δ i( )

iA ki i t

β

α −

=

Untuk sektor barang konsumsi dengan h_s = p t( )

( )k Fh_s rk _kk wN

π = − −δ −

( )k p t F( ) rk _kk wN

π = − −δ −

( ) _k

d dF

p t r

dk dk

π _{= − −δ}

0 p t( )dF (r _k)

dk δ

= − +

( )

k

dF

r p t

dk δ

+ =

k

r+δ = ( ) s 1( ) s( )

s s s s

p t α A Kα − t Nβ t

    ( ) s( ) s( )

s s s s

p t α A K−β t Nβ t

=  

  ( ) ( ) 1

( )

s

s

s s s

s

p t A K t

N t β β α − − =     ( ) ( ) ( ) s s s s s s K t

p t A

N t

β β

α −₋

=     ( ) ( ) ( ) s s s s s K t

p t A

N t β α − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠   k

r+δ   ( ) s( )

s s s

p t α A k −β t

=         ...(2) Dari (1) dan (2) maka diperoleh

k

r+δ i( ) ( ) s( )

iA ki i t p t sA ks s t

β β

α − α −

Tingkat produksi marginal tenaga kerja. Untuk sektor barang modal dengan h_i =1

( )N Fh_i rk _kk wN

π = − −δ −

( )N F rk _kk wN

d dF w dN dN π δ π = − − − = −  

Agar keuntungan maksimum maka d 0

dk π ₌

0 dF w dN = −   dF w dN =   1 ( ) ( ) i i

i i i i

w=β A Kα t Nβ− t i( ) i( )

iA Ki i t Ni t

α α β − = ( ) ( ) i i i i i i K t A N t α α β = ( ) ( ) i i i i i K t A N t α

β ⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

( )

i

i i i

w=β A kα t

... (3)

Untuk sektor barang modal dengan h_s = p t( )

( )N Fh_s rk _kk wN

π = − −δ −

( ) ( ) ( )

k

N p t F rk k wN

d dF

p t w

dN dN π δ π = − − − = −  

Agar keuntungan maksimum maka d 0

dk π ₌

0 p t( )dF w dN

( )dF

w p t

dN

=  

1 ( ) s( ) s ( )

s s s s

w= p t β A Kα t Nβ− t ( ) s( ) s( )

s s s s

p t β A K α t N−α t

=

( ) ( )

( )

s

s s

s s

s

K t

p t A

N t

α α

β =

( ) ( ) ( )

s s

s s

s K t

p t A

N t

α

β ⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

( ) s( )

s s s

w=β A p t k α t ...(4)

Dari (3) dan (4) maka diperoleh

( ) ( ) ( )

i s

i i i s s s

w=β A kα t =β A p t k α t

Lampiran 2

Penjabaran Persamaan ( 3.11 )     p t c t( ) ( )=ξy tˆ( ),    s t( )=λy tˆ( ) 

Maksimalkan ( )U t =c t s tξ( ) ( ), ,λ ξ λ>0,ξ λ+ =1 Dengan batasan p t c t( ) ( )+s t( )= y tˆ( )

Dengan metode lagrange ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 0

L_λ = p t c t +s t −y t =  

1

( ) ( ) ( ) 0

c

L =ξcξ− t s tλ +λp t =

...(1) 1

( ) ( ) 0

s

L =λc t sξ λ− t + =λ                 ...(2) 

dari (2) λ = −λc t sξ( ) λ−1( )t  substitusikan ke persamaan (1)

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

cξ t s tλ c t sξ λ t p t

ξ − ₋λ − ₌

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

c t s tξ λ ⎡_⎣

ξ

c− t −

λ

s− t p t ⎤_⎦= ( ) ( ) 0

c t s tξ λ = (Tidak mungkin)

1_{( )} 1_{( ) ( ) 0}

c t s t p t

ξ − ₋λ − ₌

 

1 1

( ) ( ) ( )

c t s t p t

ξ − ₌λ −

 

( ) ( ) ( )

s t p t c t

ξ =λ  

( )

( ) ( )

s t

p t c t ξ

λ = ...(3)

ˆ ( ) ( ) ( ) 0

L_λ = p t c t +s t − =y  

( )

ˆ ( ) ( ) 0

s t

s t y t

ξ

λ + − =  

( )

ˆ ( ) ( )

s t

s t y t

ξ

λ + =  

( ) ( ) ˆ( )

s t s t

y t

ξ λ

λ

+ ₌

( ) ( ) ˆ( )

s t y t ξ λ

λ

+

=  

( ) ˆ( )

s t y t

λ =          ...(4) 

ˆ ( ) ( )

s t =λy t  

dari (3) dan (4) ˆ ( ) ( ) ( )

Lampiran 3

Penjabaran Persamaan (3.15)

Dari persamaan (3.3) ( ) i( ) ( ) s( ),

k i i i s s s

r t +δ =α A k−β t = p t α A k−β t

( ) i( ) ( ) s( ).

i i i s s s

w t =β A kα t =β A p t kα t

Karena bunga dan upah pada kedua sektor besarnya sama sehingga:

  ri =rs dan wi =ws

( ) ( ) ( )

i s

iA ki i t k p t sA ks s t k

β β

α − ₋δ ₌ α − ₋δ  

( ) ( ) ( )

i s

iA ki i t p t sA ks s t

β β

α − ₌ α −       

( ) ( ) ( )

i s

iA ki i t sA p t ks s t

α α

β =β  

( ) ( )

( )

s

s

i s s

s i i

A p t k t

A k t

β β α α − − =       ( ) ( ) ( ) s i

i s s

s i i

A p t k t

A k t

α α β β =   ( ) ( ) ( ) s i s s i i

p t k t

k t β β α α − −  =  ( ) ( ) ( ) s i s s i i

p t k t

k t α α β β   ( ) ( ) s i s s i i k t k t β β α α − −  =  ( ) ( ) s i s s i i k t k t α α β β   ( ) ( ) s s s s k t k t β α −

=   s i

s i β α α β ( ) ( ) i i i i k t k t β α −  

( ( )) s s s

k t −β α− =  1 i i( )

i

k β α t

α − −   _;   i_s s_i β α α

β α

=  

1 ( ( ))k ts

−  

=  _α1ki1( )t

−  

[

] [

1

]

1

( ) ( )

s i

k t − =

α

k t −  

( ) ( )

s i

Lampiran 4

Penjabaran Persamaan (3.16)

Dengan k t_s( )=αk t_i( ) dan

  β_if t_i( )=β_sp t f t( ) ( )_s  

  i( ) ( ) s( )

iA ki i t sp t A ks s t

α α

β =β  

  i( ) ( ) ( ( )) s

iA ki i t sp t As k ti

α α

β =β α  

  i( ) ( ) s ( ) s

iA ki i t sp t As k ti

α α α

β =β α  

  ( ) ( )

( )

i

s s

i i i

s s i

A k t

p t

A k t

α α α

β β α

=  

  ( ) ( ) i s

s

i i

i

s s

A

p t k t

A

α α α

β β α

−

Lampiran 5

Penjabaran Persamaan (3.17) ( ) ( ) ( ), ( 1) ( )

i i

i

k t k t

n t k t α α − = − ( ) ( ) ( )

( 1) ( )

i s

i

k t k t

n t k t α − = −

Dari persamaan (3.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i s s

n t k t +n t k t =k t ,   n t_i( )+n t_s( ) 1,=

(1−n t k t_s( )) ( )_i +n t k t_s( ) ( )_s =k t( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i s i s s

k t −n t k t +n t k t =k t  

( ) ( )( ( ) ( )) ( )

i s s i

k t +n t k t −k t =k t  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i s s i

k t k t

n t

k t k t

− = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i s i i

k t k t

n t

k t k t

α − = −   ( ) ( ) ( )

( 1) ( )

i s

i

k t k t

n t k t α − = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i s s

n t k t +n t k t =k t ,   n t_i( )+n t_s( ) 1,=

( ) ( ) (1 ( )) ( ) ( )

i i i s

n t k t + −n t k t =k t  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i s i s

n t k t +k t −n t k t =k t  

( ) ( )( ( ) ( )) ( )

s i i s

k t +n t k t −k t =k t  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s i i s

k t k t

n t

k t k t

− = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s i s i

k t k t

n t

k t k t

− = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i

k t k t

n t

k t k t

α α − = −   ( ) ( ) ( )

( 1) ( )

i i

i

k t k t

n t k t α α − = −  

Lampiran 6

Penjabaran Persamaan (3.18)

Dari persamaan (3.14) ( ) ( ) _k ( ) _i

S t −K t +δ K t =F  

( ) (1 _k) ( ) _i

S t − −δ K t =F 

( ) ( ) _i

S t −δK t =F 

( ) ( ) ( ) F ti K t s t N δ + =   ( )

( ) F ti ( )

s t k t

N δ

= +  

1

( ) _i( ) ( )

s t F t k t

N δ

= +  

( ) i ( ) ( )

i i n

s t F t k t

N δ

= +     i

i N n

N

=    ⇒    1 i

i n

N = N    

( )

( ) i ( )

i i F t

s t n k t

N δ

= +  

( ) _{i i}( ) ( )

s t =n f t +δk t  

ˆ( ) _i( ) ( )_i ( )

y t n t f t k t

λ = +δ  

( ) ( ) ( )

ˆ( ) n t f ti i k t

y t δ

λ

+ =

   

Lampiran 9

Penjabaran Persamaan (3.22)

( )_{i i} k = Φ k k  

( )_i i

k

k k = Φ  

1 ( )

( 1) i i ( 1)

k

k k

α α

− _{= −Φ}

− −  

1 ( )

( 1) ( 1) 1 ( 1)

i i

i

i i i

k k

k

k

k k k

α

α

α

α

α

α

− _{+ = Φ} ⎛ − ⎞₊ ⎜ ⎟

− − ⎝ − ⎠ −  

( ) 1

( )

( 1) 1 ( ) ( 1)

i i

i

i i

k k k

k

k k

α

α

α

α

α

− _{= Φ} ⎛ − ⎞₊Φ ⎜ ⎟

− _⎝ − _⎠ Φ −  

1 ( )

1 ( 1) ( )

i i i n k k

α

α

α

⎡⎛ − ⎞ ⎤

= Φ _{⎢⎜ ⎟}+ _⎥

− − Φ

⎝ ⎠

⎣ ⎦ 

0

[ (1 )]

1 ( ) 1 1 i i i i A Ak n k β

_α

α

α

⎡⎛ − ⎞ + ⎤

= Φ _{⎢⎜ ⎟}+ _⎥

− −

⎝ ⎠

⎣ ⎦ 

0

[ (1 )] 1

( ) 1 i i i i A Ak n k β

_α

α

⎡ + − ⎤

= Φ _{⎢ ⎥}

−

⎣ ⎦ 

0

0 0

1 (1 )

1 1 (1 ) ( ) 1 i i i i i k A n k β

λ α δ _α

α λ λ

α

⎡⎛ + ⎞⎛ ₊ − ⎞ ₋ ⎤

⎢⎜ ₊ ⎟⎜ ₊ ⎟ ⎥

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎢ ⎥

= Φ _{⎢ ⎥}

− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦   0 0

0 0 0

(1 ) (1 )(1 )

1

( ) (1 )

( ) 1 i i i i i k A n k β

λ α

λ

α αδ

α λ

α λ

λ

α

⎡ + ₊ + − ₋ ⎤ ⎢ _{+ + +} ⎥ ⎢ ⎥ = Φ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦  

⎣ ⎦ 0

2 0

(1 ) 1

( )

( )( 1) ( 1)

i

i i i

n k

λ α

α

kβ

α λ α

α

⎡ + ⎤

= Φ _⎢ − − _⎥

+ − −

⎣ ⎦        ;   2 Ai( 0)

αδ α

α λ =

+  

0 0

2 0

( )

( )( 1)

i

i i i

n k

α αλ α λ α

kβ

α λ α

⎡ + − − ⎤

= Φ _⎢ − _⎥

+ −

⎣ ⎦ 

0

2 0

( 1) ( )

( )( 1)

i

i i i

n k

α

λ

α

kβ

α λ α

⎡ − ⎤

= Φ _⎢ − _⎥

+ −

⎣ ⎦ 

0 2 0

( ) i

i i i

n k

λ

α

kβ

α λ

⎡ ⎤

= Φ _⎢ − _⎥

+

⎣ ⎦   ;     

0 1

0 λ α

α λ =

+  

1 2

( )

i

i i i

Lampiran 10

Penjabaran Persamaan (3.23)

Dari persamaan (3.20) ( ) ( ( )) ( )_{i i} k t = Φ k t k t   dan persamaan (3.22)

1 2

( ) ( ( ))( i( ))

i i i

n t = Φ k t α α− kβ t   Substitusi kepersamaan (3.18)

( ) ( ) ( ) ˆ( ) n t f ti i k t

y t δ

λ +

=  

1 2

( ( ))( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ˆ( )

i

i i i i i

k t k t f t k t k t

y t

β

α α

δ

λ

Φ − + Φ

=  

1 2

[( ( )) ( ) ( )] ( ( ))

ˆ( )

i

i i i i

k t f t k t k t y t

β

α α

δ

λ

− + Φ

=  

                         

Dari persamaan (3.20) ( ) ( ( )) ( )_{i i} k t = Φ k t k t  

( 1) ( (_i 1)) (_i 1) k t+ = Φ k t+ k t+   dan persamaan (3.23)

1 2

[( ( )) ( ) ( )] ( ( ))

ˆ( )

i

i i i i

k t f t k t k t y t

β

α α

δ

λ

− + Φ

=  

1 2

ˆ( ) [( i( )) ( ) ( )] ( ( ))

i i i i

y t kβ t f t k t k t

λ = α α− +δ Φ  

Substitusi ke persamaan (3.12) ˆ

( 1) ( )

k t+ =λy t di dapat

1 2

( (

1)) (

1)

(

i

( )) ( )

( )

( ( ))

i i i i i i

k t

k t

⎡

α α

k

β

t f t

δ

k t

⎤

k t

Lampiran 12

Penjabaran Persamaan (3.25)

1 2

( ( 1) ( 1) [( i( )) ( ) ( )] ( ( ))

i i i i i i

k t k t α α kβ t f t δk t k t

Φ + + = − + Φ  

1 2

0 0

( 1) 1

[( ( )) ( ) ( )]

(1 ( 1) (1 ( ))

i

i i

i

i i i

i i

k t

k t f t k t

A Ak t A Ak t

β

β α α δ β

+ _{= − +}

+ + +  

0

1 2

0

(1 ( 1)

( 1) [( ( )) ( ) ( )]

(1 ( ))

i i

i i

i i i i

i

A Ak t

k t k t f t k t

A Ak t

β β

β

α α

δ

+ +

+ = − +

+  

1 2 1 2

( ( )) ( ) ( ) [( ( )) ( ) ( )]

( 1) ( 1)

1 ( ) 1 ( )

i i

i

i i

i i i i i i

i i

i i

k t f t k t k t f t k t A

k t k t

Ak t Ak t

β β

β

β β

α α

− +

δ

α α

− +

δ

+ = + +

+ +

1 2 1 2

( ( )) ( ) ( ) [( ( )) ( ) ( )]

( 1) ( 1) 0

1 ( ) 1 ( )

i i

i

i i

i i i i i i

i i

i i

k t f t k t k t f t k t A

k t k t

Ak t Ak t

β β

β

β β

α α

− +

δ

α α

− +

δ

+ − − + =

+ +

1 2 1 2

[( ( )) ( ) ( )] ( ( )) ( ) ( )

( 1) ( 1) 0

1 ( ) 1 ( )

i i

i

i i

i i i i i i

i i

i i

k t f t k t A k t f t k t

k t k t

Ak t Ak t

β β

β

β β

α α

− +

δ

α α

− +

δ

+ − + − =

1 2

( (

1)) (

1)

(

i

( )) ( )

( )

( ( ))

i i i i i i

k t

k t

⎡

α α

k

β

t f t

δ

k t

⎤

k t

Φ

+

+ =

_⎣

−

+

_⎦

Φ

 

1 2

( )

(

i

) ( )

( )

i i i i i i

k k

⎡

α α

k

β

f t

δ

k

⎤

k

Φ

=

_⎣

−

+

_⎦

Φ

 

1 2

(

i

) ( )

i i i i

k

=

⎡

_⎣

α α

−

k

β

f t

+

δ

k

⎤

_⎦

 

1 2

( i) i (1 )

i i i i k i

k = α α− kβ A kα + −δ k  

1 2

i

i i i i i i k i

k − =k α A kα −α A k −δ k  

2 1

i i i k i i i

A k k A kα

α +δ =α  

2 1

( ) i

k Ai ki A ki i α

δ + α =α  

1 2

i

i i

i k i

k A

kα A

α δ α =

+  

1 2

i i

i

k i A k

A

β α

δ α =

+  

1/

* 1

2

i i

i

k i A k

A β α

δ α

⎛ ⎞

= ⎜ ₊ ⎟