The Effects of Variance of Interest rate to Variance of Annuity Future Values
PENGARUH KERAGAMAN SUKU BUNGA TERHADAP
KERAGAMAN FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
WINA FATMILA SARI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pengaruh Keragaman Suku
Bunga terhadap Keragaman Future Value suatu Anuitas adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis
ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Wina Fatmila Sari
NRP G551090221
RINGKASAN
WINA FATMILA SARI. Pengaruh Keragaman Suku Bunga terhadap Keragaman
FutureValue suatu Anuitas. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan
RETNO BUDIARTI.
Time value of money merupakan suatu konsep yang mengacu pada
perbedaan nilai uang yang disebabkan karena perbedaan waktu, bahwa nilai uang
sekarang tidak akan sama dengan nilai uang yang akan datang. Nilai uang
sekarang dinyatakan sebagai Present Value (PV) dari uang tersebut, sedangkan
nilai uang di masa yang akan datang dinyatakan sebagai Future Value (FV) dari
uang tersebut.
Penentuan nilai uang, baik nilai uang sekarang maupun nilai uang yang akan
datang bergantung pada waktu dan tingkat pengembalian. Perubahan nilai uang
dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain inflasi, perubahan suku bunga,
kebijakan pemerintah dalam bidang sekuritas dan dalam hal perpajakan. Karena
perubahan nilai uang tersebut maka dibutuhkan suatu perumusan FV, hal tersebut
berguna untuk mengetahui apakah sebuah investasi dapat menguntungkan atau
tidak, dan untuk analisis anggaran.
Anuitas didefinisikan sebagai rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu
yang dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Pembayaran dapat
dilakukan pada awal atau pada akhir periode, dengan jumlah tetap atau bervariasi.
Anuitas yang dibayarkan pada awal periode disebut anuitas awal dan yang
dibayarkan pada akhir periode disebut anuitas pasti. Nilai akumulasi dari anuitas
tersebut setelah beberapa tahun kemudian disebut nilai akhir atau future value.
Burnecki et al. (2003) telah membahas tentang FV suatu anuitas dengan
suku bunga tetap yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau
deret geometri. Kemudian dikaji pula FV untuk anuitas yang pembayarannya
mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan suku bunga acak.
Dalam tulisan ini dikaji FV anuitas awal yang pembayarannya mengikuti bentuk
deret aritmatika dan deret geometri dengan suku bunga sebagai peubah acak yang
menyebar normal , . Formula dari FV dinyatakan dalam bentuk rekursif.
Perhitungan FV dari anuitas awal yang pembayarannya mengikuti bentuk
deret aritmatika dan deret geometri dengan suku bunga acak dilakukan secara
teoritis maupun simulasi. Suku bunga acak dinotasikan dengan ik i k di mana
ik merupakan peubah acak independen, i adalah konstanta dan k peubah acak
yang menyebar normal , . Dengan parameter-parameter yang telah
ditentukan, dibangkitkan satu barisan suku bunga acak untuk perhitungan secara
teoritis, sedangkan untuk perhitungan secara simulasi dibangkitkan barisan suku
bunga acak sebanyak 1000 kali. Perhitungan tersebut masing-masing akan
mendapatkan nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku. Kemudian akan dihitung
galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku hasil teoritis dan hasil
simulasi. Perhitungan galat menggunakan Symmetric Mean Absolute Percentage
Error (SMAPE). Semakin kecil nilai SMAPE, maka semakin akurat nilai
simulasinya. Selanjutnya dengan memvariasikan keragaman tingkat suku bunga
dari 0.000036 sampai 0.0001 diperoleh hubungan antara keragaman suku bunga
dan keragaman FV.
Hasil perhitungan secara teoritis maupun simulasi menunjukkan bahwa
ketika ragam dari barisan suku bunga acak meningkat maka ragam dari FV juga
meningkat secara linear. FV dari anuitas awal yang pembayarannya bervariasi
mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan tingkat suku bunga
acak secara teoritis maupun simulasi tidak berbeda secara signifikan, karena nilai
SMAPE kurang dari 5%.
Kata kunci: anuitas, future value, suku bunga acak
SUMMARY
WINA FATMILA SARI. The Effects of Variance of Interest rate to Variance of
Annuity Future Values. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO
BUDIARTI.
Time value of money is a concept that refers to the difference of the value of
money due to time difference. The value of money for present time would not be
the same as the value of money in the future. The value of money for present time
is called as Present Value (PV) of the money and the value of money for future
time is called Future Value (FV) of the money.
Determination the value of money, for present and future time, depends on
the time and rate of return. The value of money is determined by several factors
such as inflation, fluctuation of interest rates, and government policy in securities
and taxation. Due to fluctuation of the value of money we need a FV formulation,
it is useful for knowing whether an investment can be profitable or not, and this
information is useful also in budget analysis.
Annuity is defined as a series of payments made for a specific period. The
payment, fixed or varied, can be made at the beginning or at the end of the period.
Annuity paid at the beginning of the period is called annuity-due and annuity paid
at the end of the period is called immediate annuity-certain. The accumulated
value of the annuity after few years later is called as a final value or a future
value.
Burnecki et al. (2003) have discussed about the FV of a fixed-rate annuity
in which payments are made according to the arithmetic or geometric series. They
have also examined FV for annuities in which payments are made according to
arithmetic or geometric series with random rates of interest. This paper examines
FV for annuity-due in which payments are made according to arithmetic or
geometric series with interest rates as a random variable, which is normal
distribution , . Future value formula is expressed in recursive form.
FV for annuity-due which payments are made according to the arithmetic or
geometric series with random rates of interest is calculated by theoretical way and
simulation way. The random rates of interest is denoted as ik i k , where ik an
independent random variable; i is a constant and k is a random variable which
has normal distribution , . By using the determined parameters, a sequence of
random rates of interest are generated for theoretical calculation. Meanwhile for
the simulation, the random rates of interest is generated 1000 times for the
simulation. The generated data give mean value, variance, and standard deviation.
Moreover, error of mean value, variance, and standard deviation from the
theoretical and simulation results are calculated. Error calculation uses Symmetric
Mean Absolute Percentage Error (SMAPE). The smaller the value of SMAPE is
the more accurate the simulation. The interest rate variances are varied from
0.000036 to 0.0001 to study the relationship between variance of rates of interest
and variance of future value.
The theoretical and simulation results show that when the variance of
random rates of interest increases, then the variance of FV increases linearly. FV
of the annuity-due in which payments are made according to the arithmetic or
geometric series, the random rates of interest in theory and simulation are not
significantly different, because the value of SMAPE is less than 5%.
Keywords: annuity, future value, random rates of interest.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2013
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENGARUH KERAGAMAN SUKU BUNGA TERHADAP
KERAGAMAN FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
WINA FATMILA SARI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Judul Tesis : Pengaruh Keragaman Suku Bunga terhadap Keragaman Future
Value suatu Anuitas
Nama
: Wina Fatmila Sari
NRP
: G551090221
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Ketua
Ir Retno Budiarti, MS
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 01 Juli 2013
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Pebruari 2011 ini ialah
future value dari suatu anuitas, dengan judul Pengaruh Keragaman Suku Bunga
terhadap Keragaman Future Value suatu Anuitas.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba,
DEA dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing, serta Ibu Dr Ir Endar
Hasafah Nugrahani, MS yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada Ayah (Alm), Emak (Alm), Ce’ Danil, adek
Nathania serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Wina Fatmila Sari
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
xiv
DAFTAR GAMBAR
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
xiv
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
Sistematika Penulisan
1
1
1
2
LANDASAN TEORI
Percobaan Acak
Ruang Contoh dan Kejadian
Peubah Acak
Peubah Acak Diskret
Fungsi Sebaran
Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
Fungsi Kerapatan Peluang
Sebaran Normal
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan)
Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret
Suku Bunga
Anuitas dan Future Value
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
Anuitas dengan Suku Bunga Tetap
Anuitas Awal Sebesar 1 Satuan Selama k Tahun
Anuitas Awal Sebesar 1, 2, , k Selama k Tahun
Anuitas Awal Sebesar 1, 22 , , k 2 Selama k Tahun
Anuitas Awal yang Menurun
Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika
Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
Anuitas dengan Suku Bunga Acak
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
5
6
6
7
8
9
11
12
12
13
17
SIMULASI
Future Value Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam
Bentuk Deret Aritmatika
Future Value Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam
Bentuk Deret Geometri
20
SIMPULAN
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
53
21
23
DAFTAR TABEL
1 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas
yang pembayarannya tetap tiga satuan dengan suku bunga acak
2 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas
yang pembayarannya meningkat dengan suku bunga acak
3 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas
yang pembayarannya mengikuti bentuk deret geometri dengan suku
bunga acak
21
22
23
DAFTAR GAMBAR
1 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang
pembayarannya tetap tiga satuan dengan suku bunga acak
2 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang
pembayarannya meningkat dengan suku bunga acak
3 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang
pembayarannya mengikuti bentuk deret geometri dengan suku bunga
acak
22
23
24
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan)
2 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas dengan tingkat
suku bunga tetap
3 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas yang pembayarannya
dalam bentuk deret aritmatika dengan tingkat suku bunga acak
4 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas yang pembayarannya
dalam bentuk deret geometri dengan tingkat suku bunga acak
5 Pemrograman menggunakan software Mathematica 8.0
26
28
30
47
50
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Time value of money atau dalam bahasa Indonesia disebut nilai uang
menurut waktu merupakan suatu konsep yang mengacu pada perbedaan nilai uang
yang disebabkan karena perbedaan waktu. Jika seseorang diminta memilih untuk
menerima 1 juta rupiah saat ini ataukah, misalnya 1 juta rupiah sepuluh tahun
yang akan datang maka biasanya orang tersebut akan memilih untuk menerima 1
juta rupiah saat ini. Hal ini menunjukkan bahwa nilai uang 1 juta rupiah yang kita
punya saat ini atau sekarang tidak sama dengan 1 juta rupiah pada sepuluh tahun
yang lalu atau sepuluh tahun kemudian. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai
uang sekarang tidak akan sama dengan nilai uang yang akan datang. Nilai uang
sekarang dinyatakan sebagai Present Value (PV) dari uang tersebut, sedangkan
nilai uang di masa yang akan datang dinyatakan sebagai Future Value (FV) dari
uang tersebut.
Penentuan nilai uang, baik nilai uang sekarang maupun nilai uang yang akan
datang bergantung pada waktu dan tingkat pengembalian. Perubahan nilai uang
dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain inflasi, perubahan suku bunga,
kebijakan pemerintah dalam bidang sekuritas dan dalam hal perpajakan. Karena
perubahan nilai uang tersebut maka dibutuhkan suatu rumusan FV, hal tersebut
berguna untuk mengetahui apakah sebuah investasi dapat menguntungkan atau
tidak, dan untuk analisis anggaran.
Pembahasan tentang FV sudah banyak dilakukan di antaranya oleh
McCutcheon dan Scott (1986), Zaks (2001) membahas tentang FV suatu anuitas
dengan suku bunga acak, sedangkan Burnecki et al. (2003) telah membahas
tentang FV suatu anuitas dengan suku bunga tetap yang pembayarannya
mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri. Kemudian dikaji pula FV
untuk anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret
geometri dengan suku bunga acak. Dalam tulisannya tersebut Burnecki et al.
(2003) juga mengoreksi hasil penelitian Zaks (2001).
Dalam penelitian ini dikaji FV anuitas awal yang pembayarannya mengikuti
bentuk deret aritmatika dan deret geometri sebagai fungsi dari tingkat suku bunga
dengan suku bunga sebagai peubah acak yang menyebar normal dengan parameter
dan .
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengkaji Future Value (FV) menggunakan formula rekursif dari suatu anuitas
dengan suku bunga tetap dan suku bunga acak.
2. Menentukan Future Value (FV) dari suatu anuitas dengan suku bunga acak
menggunakan simulasi.
2
Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas lima Bab. Bab pertama merupakan pendahuluan
yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan penelitian, dan sistematika
penulisan. Bab kedua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam
penyusunan pembahasan. Bab ketiga merupakan pembahasan secara teoritis
mengenai future value suatu anuitas dengan tingkat suku bunga tetap dan suku
bunga acak menggunakan formula rekursif. Bab keempat berisi simulasi future
value suatu anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika dan
deret geometri dengan tingkat suku bunga acak. Bab terakhir pada tulisan ini
berisi simpulan dari keseluruhan penulisan karya ilmiah ini.
LANDASAN TEORI
Landasan teori berikut merupakan beberapa landasan yang akan digunakan
untuk menganalisis nilai akhir atau future value dari suatu anuitas dengan suku
bunga acak. Di antara landasan tersebut ialah percobaan acak, ruang contoh,
kejadian, peubah acak, fungsi sebaran, fungsi kerapatan peluang, sebaran normal,
nilai harapan (expected value), simpangan baku (standard deviation), ragam
(variance), anuitas, bunga dan nilai yang akan datang (future value).
Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan
dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah
diketahui, namun hasil dari percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat.
Percobaan semacam ini disebut percobaan acak (Hogg et al. 2005).
Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan . Himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebut kejadian
(Grimmett dan Stirzaker 2001).
Peubah Acak
Misalnya , , P adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable)
merupakan fungsi X :
di mana : X x
untuk setiap
X . Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah
acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil (Grimmett dan Stirzaker 2001).
3
Peubah Acak Diskret
Peubah acak X disebut peubah acak diskret jika himpunan semua
kemungkinan nilai x1 , x2 , x3 , dari peubah acak tersebut merupakan himpunan
(Grimmett dan Stirzaker 2001).
terhitung dari
Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan
bulat terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan
bulat positif.
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran (distribution function) dari suatu peubah acak X adalah
fungsi FX : 0,1 yang diberikan oleh FX x P X x .
(Ghahramani 2005)
Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
F:
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suatu fungsi
0,1 yang didefinisikan oleh: FXY x, y P X x, Y y .
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
2
Fungsi Kerapatan Peluang
p:
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi
0,1 yaitu pX ( x) P X x .
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Sebaran Normal
Peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan parameter dan jika
X memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai
berikut:
x 2
1
,
exp
f x
x .
2
2
2
(Ghahramani 2005)
4
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang
mungkin adalah A. Jika pX x adalah fungsi massa peluang dari X, maka nilai
harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai:
E X x pX x
xA
dan E X dikatakan ada jika
x p x konvergen mutlak (Ghahramani 2005).
xA
X
Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan)
1. Jika X 0 , maka E X 0.
2. Jika a, b
maka E aX bY aE X bE Y .
3. Jika X adalah peubah acak konstan, dengan P X c 1 untuk
suatu
konstanta, maka E X c.
4. Jika
dan
adalah independen maka E XY E X E Y .
5. Jika X dan Y dependen maka E XY E X E Y Cov X , Y .
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Bukti pada Lampiran 1
Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan semua
kemungkinan nilai X adalah A. Jika pX x adalah fungsi massa peluang dari X
dan E X adalah nilai harapan dari X, X dan Var X masing-masing
adalah simpangan baku (standard daviation) dan ragam (variance) dari X dan
didefinisikan sebagai:
2
X E X
dan
2
2
Var X E X X pX x .
xA
(Ghahramani 2005)
5
Suku Bunga
Bunga dapat dianggap sebagai imbalan yang dibayar oleh satu orang atau
organisasi (peminjam) untuk penggunaan aset yang disebut sebagai modal, milik
orang lain atau organisasi (McCutcheon & Scott 1986).
Anuitas dan Future Value
Anuitas adalah pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap
selang waktu dan lama tertentu, secara berkelanjutan (Futami 1993).
Berdasarkan waktu pembayaran, anuitas dibedakan atas:
a. Anuitas awal adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada awal
periode, misal jika periodenya tahun, artinya pembayaran dilakukan pada
awal tahun, dan seterusnya.
b. Anuitas akhir adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada akhir
periode, misal jika periodenya tahun, artinya pembayaran dilakukan pada
akhir tahun, dan seterusnya.
Future Value adalah nilai uang di masa yang akan datang dari uang yang
diterima atau dibayarkan pada masa sekarang dengan memperhitungkan tingkat
bunga setiap periode selama jangka waktu tertentu.
Anuitas awal yang dibayarkan selama n tahun sebesar 1 satuan, maka nilai
akumulasi anuitas tersebut n tahun kemudian disebut nilai akhir atau future value
dinotasikan dengan sn| .
FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
Anuitas bukan sesuatu yang baru dalam kehidupan ekonomi saat ini, dengan
mudah dapat ditemui contoh-contoh anuitas di antaranya orang tua yang
membelikan motor untuk anaknya secara kredit, tetangga yang membeli rumah
secara kredit, atau orang tua yang mempersiapkan tabungan pendidikan untuk
anak-anaknya, semuanya merupakan contoh kongkrit dari anuitas. Anuitas dari
annuity dapat didefinisikan sebagai rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu
yang dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Kata annuity asalnya
berarti pembayaran annual (tahunan), akan tetapi seiring dengan berjalannya
waktu kata anuitas juga mencakup pembayaran yang dilakukan pada interval
waktu yang lain juga, seperti pembayaran bulanan, tiga bulanan, dan seterusnya.
Pembayaran dapat dilakukan pada awal atau pada akhir periode, dengan jumlah
tetap atau bervariasi. Jika dibayarkan pada awal periode disebut anuitas awal dan
jika dibayarkan pada akhir periode disebut anuitas pasti. Nilai akumulasi dari
anuitas tersebut setelah beberapa tahun kemudian disebut nilai akhir atau future
value.
Burnecki et al. (2003) telah membahas tentang future value suatu anuitas
dengan suku bunga tetap yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika
6
atau deret geometri. Kemudian dikaji pula FV suatu anuitas yang pembayarannya
mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan suku bunga acak.
Pada Bab ini akan mengkaji ulang tentang future value anuitas awal yang
pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri
dengan tingkat suku bunga tetap dan suku bunga acak yang dibayarkan selama k
tahun. Anuitas dengan suku bunga tetap terdapat berbagai macam variasi
pembayaran di antaranya anuitas awal dengan pembayaran sebesar 1 satuan,
anuitas awal yang meningkat sebesar 1 satuan, anuitas awal sebesar 1, 22 , , k 2 ,
anuitas awal yang menurun, serta anuitas awal yang pembayarannya bervariasi
mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri. Selanjutnya, anuitas dengan
tingkat suku bunga acak terdapat anuitas awal yang pembayarannya bervarisi
mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri.
Anuitas dengan Suku Bunga Tetap
Notasi dasar yang digunakan dalam teori anuitas adalah sebagai berikut:
j : Tingkat bunga tahunan dan tetap selama periode k tahun.
1
v : Faktor diskon tahunan dengan v 1 j .
d : Tingkat diskon tahunan dengan d 1 v.
Selanjutnya akan dibahas mengenai future value atau nilai akhir dari anuitas awal
dengan berbagai macam bentuk pembayaran.
Anuitas Awal Sebesar 1 Satuan Selama k Tahun
Jika anuitas awal sebesar 1 satuan dibayarkan selama k tahun, maka future
value anuitas awal tersebut dinotasikan oleh sk | j dan diberikan oleh rumus
sk | j 1 j 1 j
k
1 j
1
k
d
k 1
1 j
(1)
.
Bukti:
sk | j 1 j 1 j
k
v sk | j 1 j
k 1
1 v sk| j 1 j
k
k 1
1 j
1 j
k 2
1 j 1
1
d sk | j 1 j 1
k
sk | j
1 j
d
k
1
.
Selain persamaan (1), sk | j juga dapat dinyatakan secara rekursif sebagai
sk| j 1 j 1 sk 1| j .
(2)
7
Bukti:
sk | j 1 j 1 j
k
sk 1| j 1 j
k 1
k 1
1 j
1 j 1 j
2
k 2
1 j ,
sehingga
sk | j 1 j 1 j
k
1 j 1 j
k 1
1 j 1 j
2
1 j
k 1
k 2
1 j 1
sk| j 1 j 1 sk 1| j .
, k Selama k Tahun
Anuitas Awal Sebesar 1, 2,
Jika besarnya pembayaran anuitas awal meningkat masing-masing 1, 2, , k
yang dibayarkan selama k tahun, maka future value anuitas awal tersebut
dinotasikan dengan Is k | j dan diberikan oleh rumus
Is k| j 1 j
Bukti:
2 1 j
k
sk | j k
d
k 1 j
(3)
.
Is k| j 1 j
v Is k | j 1 j
k
2 1 j
k 1
k
sk | j k
d
k 1
2 1 j
1 v Is k| j 1 j 1 j
d Is k | j sk | j k
Is k| j
k 1
k 1
k 1 j
k 2
k 11 j k
1 j k
.
Persamaan berikut merupakan formula rekursif untuk Is k | j yaitu
Is k| j 1 j k Is k 1| j .
Bukti:
Is k| j 1 j
k
Is k 1| j 1 j
2 1 j
k 1
k 1
2 1 j
(4)
k 2
sehingga
k
k 1
Is k| j 1 j 2 1 j
2
k 1
k 1| j
k 11 j ,
k 11 j k 1 j
2 1 j
1 j k Is .
1 j 1 j
Is k| j
k 11 j k 1 j
2
k 2
k 11 j k
8
Anuitas Awal Sebesar 1, 22 ,
, k 2 Selama k Tahun
Future value dari anuitas awal dengan pembayaran meningkat masingmasing 1, 22 , , k 2 dinotasikan dengan I 2 s dan diberikan oleh rumus
I s
k| j
1 j 2 1 j
k
2
k| j
Bukti:
2
2 Is k | j sk | j k 2
2
k
k| j
22 1 j
k 1
2
k| j
1 v I 2 s k| j 1 j
k
k 1
22 1 j
3 1 j
k 1
d I 2 s 2 1 j 4 1 j
(5)
k 2
k 1 1 j k 2
2
5 1 j
k 1
1 j
d I 2 s 2 1 j 2 1 j
k| j
2 Is k | j sk | j k 2
2
.
I s k | j
d
k
k 1
k 2
2k 11 j k 2
2k 1 j
k 1
k
k
k 2 1 j
k| j
1 j 1 j
k 2 1 j
.
d
I s 1 j
v I s 1 j
k 1
k 2
1 j k 2
k 1 j sk | j k 2
Selain persamaan (5), I 2 s juga dapat dinyatakan secara rekursif sebagai
k| j
I s
k| j
1 j k 2 I 2 s
k| j
1 j 22 1 j
2
k 1| j
.
(6)
Bukti:
I s
I s
k
2
2
sehingga
I 2s
k 1| j
1 j
k 1
1 j 22 1 j
1 j 1 j
I s
2
k| j
22 1 j
k
k| j
k 1
k 1
k 1
k 2
k 1 1 j k 2 1 j
2
k 1| j
k 1 1 j ,
2
k 1 1 j k 2 1 j
22 1 j
1 j k 2 I 2 s
2
2
k 2
.
2
k 1 1 j k 2
2
Persamaan berikut diperoleh dari persamaan (5) dan (3) yang mengatur hubungan
antara I 2 s dan sk | j .
k| j
I s
2
1 v sk| j k 2 2k 2k 2
d2
Bukti pada Lampiran 2 sub 2.1
k| j
.
(7)
9
Selanjutnya dari beberapa persamaan yang diperoleh berlaku hubungan berikut
(8)
Is k 1| j Is k| j sk| j ,
I s
2
k 1| j
I 2 s 2 Is k | j sk| j .
k| j
(9)
Bukti persamaan (8) dan (9)
Untuk membuktikan persamaan (8) gunakan persamaan (4) sehingga:
Is k| j
1 j k Is k 1| j
Is k| j
k
1 j
v Is k | j k
Is k 1| j
substitusi persamaan (3), sehingga didapat:
sk | j k
k
d
sk | j k
sk | j k k
d
Is k| j sk | j .
Is k 1| j 1 d
Is k 1| j
Untuk membuktikan persamaan (9) gunakan persamaan (6) sehingga:
I s
2
I s
k| j
1 j k 2 I 2 s
I s
k 1| j
2
2
k 1| j
k| j
1 j
v I 2s
k2
k| j
k2
substitusi persamaan (5), sehingga didapat:
I s
2
k 1| j
I s
2
k 1| j
2 Is k | j sk | j k 2 2
k
1 d
d
2
2 Is k | j sk | j k
2 Is k | j sk | j k 2 k 2
d
I 2 s 2 Is k | j sk | j .
k| j
Anuitas Awal yang Menurun
Future value dari anuitas awal dengan pembayaran menurun masing-masing
n, n 1, , n k 1 yang dibayarkan selama k tahun dinotasikan dengan Ds n,k | j
dan diberikan oleh rumus:
10
Ds n,k| j n 1 j n 11 j
n sk | j Is k 1| j .
k
k 1
n k 11 j
(10)
Bukti:
Ds n,k| j n 1 j n 11 j
k
v Ds n ,k | j n 1 j
k 1
n 11 j
1 v Ds n,k| j n 1 j 1 j
k
k 1
d Ds n ,k | j n 1 j 1 j
k
k 2
n k 2 1 j n k 1
1 j
k 1
n k 11 j
k 2
1 j
n 1 j n sk 1| j k 1
k
Ds n,k| j
k 1
k 2
s
n 1 j 1
k 1| j
d
k
k 1
1 j n k 1
1 j n k 1
d
d
substitusi persamaan (1) dan (3), sehingga didapat:
Ds n,k| j n sk| j Is k 1| j .
Formula rekursif dari Ds n,k | j diberikan sebagai berikut:
Ds n,k| j 1 j Ds n,k 1| j n k 1 .
(11)
Bukti:
Ds n,k| j n 1 j n 11 j
k
Ds n,k 1| j n 1 j
k 1
n 11 j
maka
k
k 1
Ds n,k| j n 1 j n 11 j
1 j n 1 j
k 1
k 1
k 2
n k 11 j
n k 2 1 j ,
n k 11 j
n 11 j
k 2
Ds n,k| j 1 j Ds n,k 1| j n k 1 .
n k 2 1 j n k 1
Dari beberapa persamaan tersebut, diperoleh persamaan yang mengatur hubungan
antara Ds n,k | j , Is k | j dan sk | j sebagai berikut:
Ds n,k| j n 1 sk| j Is k| j .
Bukti:
Dari persamaan (10) dan (8) maka:
Ds n,k| j n sk| j Is k 1| j
n sk | j Is k | j sk | j
n sk | j sk | j Is k | j
Ds n,k| j n 1 sk| j Is k| j .
(12)
11
Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika
Anuitas awal dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret
aritmatika, misalkan pembayaran pertama adalah p satuan dan kemudian
pembayaran berikutnya meningkat q satuan per periode, sehingga pembayaran
tersebut membentuk urutan p, p q, p 2q, , p k 1 q dengan p harus
positif tetapi q dapat berupa positif atau negatif, dan p k 1 q 0 untuk
menghindari pembayaran negatif, maka nilai akhir anuitas tersebut akan
p ,q
dinotasikan dengan sa k | j dan didefinisikan oleh
sa k| j
p ,q
p 1 j p q 1 j
k
k 1
p k 1 q 1 j
p sk | j q ( Is )k 1| j .
(13)
Bukti:
sa k| j p 1 j p q 1 j
p ,q
k
p ,q
v sa k | j p 1 j
1 v sa k| j p 1 j
k 1
p ,q
k
p ,q
k
p q 1 j
q 1 j
k 1
d sa k | j p 1 j q 1 j
sa k| j
p k 1 q 1 j
k 2
p k 2 q 1 j p k 1 q
k 2
q 1 j p k 1 q
k 2
1 j p q k 1
q 1 j
k 1
1 j
p 1 j p q sk 1|| j q k 1
k
p ,q
k 1
d
qs
p 1 j 1
k
d
k 1|| j
k 1
d
substitusi persamaan (4) dan (6), sehingga didapat:
p ,q
sa k| j p sk| j q Is k 1| j .
p ,q
Formula lain dari sa k | j
sa k| j
p ,q
ditunjukkan oleh persamaan berikut
p q sk| j q( Is )k | j .
Bukti:
Dari persamaan (13) dan (8) maka
p ,q
sa k| j p sk| j q( Is )k 1| j
p sk | j q ( Is )k | j sk | j
p sk | j q sk | j q ( Is ) k | j
sa k| j
p ,q
p q sk| j q( Is )k | j .
(14)
12
Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
Anuitas awal dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret
geometri, misalkan pembayaran pertama adalah p dan kemudian pembayaran
berikutnya meningkat sehingga membentuk deret geometri dengan q q 1 j
rasio per periode, yaitu p, pq, pq 2 ,
, pq k 1 dengan p dan q harus positif untuk
menghindari pembayaran negatif, maka nilai akumulasi anuitas tersebut akan
dinotasikan dengan sg
s
p ,q
g k| j
p ,q
k| j
dan didefinisikan oleh
p 1 j p q 1 j
k
1 j
p(1 j )
k 1
p q 2 1 j
k 2
p q k 1 1 j
qk
.
1 j q
Bukti pada Lampiran 2 sub 2.2
k
(15)
Anuitas dengan Suku Bunga Acak
Andaikan tingkat suku bunga tahunan pada tahun ke-k adalah peubah acak
ik . Diasumsikan juga untuk masing-masing k, memiliki E ik j dan
Var ik s 2 serta i1 , i2 , , in adalah peubah acak independen. Berdasarkan asumsi
ini maka
E 1 ik 1 j
dan
E 1 ik 1 j s 2 1 f m , di mana
2
f 2 j j s2.
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.1
2
2
(16)
Sehingga diperoleh
Var 1 ik E 1 ik E 1 ik
2
m .
Selanjutnya didefinisikan sebagai solusi
1 f
,
1 r
1 j
dengan mensubstitusi persamaan (16) ke persamaan (17) maka didapat
s2
.
r j
1 j
2
2
(17)
13
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika
Untuk anuitas awal dengan pembayaran c1 , c2 , , ck yang dibayarkan
selama k tahun, maka nilai akumulasi atau future value anuitas tersebut
dinotasikan dengan Ck . Dalam kasus pembayaran yang berbeda-beda mengikuti
bentuk deret aritmatika di mana ck p k 1 q untuk k 1, 2,3, , n maka
future value dari suatu anuitas dengan pembayaran tersebut diberikan secara
rekursif:
Ck 1 ik Ck 1 p k 1 q , untuk k 1, 2,3,
(18)
,n
Bukti:
Pada tahun pertama maka C1 c1 1 i1
pada tahun ke-2 maka C2 C1 1 i2 c2 1 i2 1 i2 C1 c2
pada tahun ke-3 maka C3 C2 1 i3 c3 1 i3 1 i3 C2 c3
pada tahun ke-k maka Ck Ck 1 1 ik ck 1 ik 1 ik Ck 1 ck ,
sehingga Ck 1 ik Ck 1 p k 1 q , untuk k 1, 2,3,
,n
Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan nilai
harapan E Ck k secara rekursif untuk k 2,3,
E Ck E 1 ik Ck 1 p k 1 q
, n sebagai berikut:
E 1 ik E Ck 1 p k 1 q
k k 1 p k 1 q ,
sehingga 1 p 1 j p.
Lema berikut ini berasal dari persamaan (19) dan (13)
(19)
Lema 1
Jika Ck menunjukkan nilai akumulasi atau future value dari suatu anuitas awal
dengan pembayaran tahunan bervariasi dalam bentuk deret aritmatika, masingmasing: p, p q, p 2q, , p k 1 q , dan apabila suku bunga tahunan selama
tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j dan
Var 1 ik s 2 , serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka:
p ,q
k E Ck sa k| j .
Bukti:
Dari persamaan (19)
k k 1 p k 1 q , didapat
1 p
2 p 2 p q
(20)
14
3 p 3 p q 2 p 2 q
4 p 4 p q 3 p 2q 2 p 3q
p k 1 q
k p k p q k 1 p 2q k 2
substitusi 1 j dan persamaan (13), maka:
k p 1 j p q 1 j
k
k 1
p k 1 q 1 j
p ,q
k sa k | j .
Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan rekursif
momen kedua E Ck2 mk untuk k 2,3,
, n sebagai berikut:
E Ck2 E 1 ik Ck 1 p k 1 q
2
E 1 ik E Ck21 2 p k 1 q Ck 1 p k 1 q
2
2
2
mk m mk 1 2 p k 1 q k 1 p k 1 q ,
2
sehingga m1 p m .
(21)
Untuk menghitung momen kedua diperlukan Lema berikut.
Lema 2
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
mk p 2 mk p q mk 1
2
p k 1 q m
2
2 p q mk 11 p 2q mk 2 2
Jika M1.k p 2 mk p q mk 1
2
p k 1 q mk 1 .
p k 1 q m
2
p k 1 q mk 1 ,
dan M 2.k p q mk 11 p 2q mk 2 2
maka mk M1.k 2M 2.k .
Dengan menggunakan persamaan (23) dan 1 f m didapat
M1.k p 2 sk| f 2 p q Is k 1| f q 2 I 2 s
k 1| f
.
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.2
Lema 3
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
2
M1.k p q sk | f 2 q p q Is k | f q 2 I 2 s .
k| f
Dari persamaan (14), (24) dan fakta bahwa 1 f m sehingga didapat:
(27)
15
M 2.k
p q 1 f k 1 1 j p 2q 1 f k 2 1 j 2
p k 1 q 1 f 1 j k 1
d p q q
p q 1 f k 1 p 2q 1 f k 2
d2
p k 1 q 1 f 1 j k 1
q p q 1 f 2 p 2q 1 f
d k 1 p k 1 q 1 f
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.3
k 1
k 2
.
Lema 4
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
p q d p q q 1 j k s
k |r
q d p q q 1 j k Is
1
k |r
.
M 2k 2
d p q d p q qv s
k| f
q 2d p q qv Is q 2 d I 2 s
k| f
k| f
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.4
Lema 5
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
q p d p q 1 v 2qv s
k| f
1
2
2
.
mk 2 2q d p q 1 v qv Is k | f dq 1 v I s
k| f
d
k
k
2 p q d p q q 1 j sk |r 2q d p q q 1 j Is k |r
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.5
Lema 6
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
2q p q k
pq
2q
k2
sk | j
p q s2 k | j 2sk | j
d
d
d
(28)
(29)
(30)
2
q
Is 2 k | j 2 1 kd Is k | j k 2 .
d
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.6
Teorema 2
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
p ,q
E Ck sa k | j dan Var Ck mk k2 .
Bukti:
Berdasarkan pada Lema 1, Lema 5 dan Lema 6 maka Teorema 1 terbukti.
(31)
16
Corollary 1
Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan
pembayaran sebesar 1 satuan selama k tahun dan jika tingkat suku bunga tahunan
selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j
dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka:
a. Ck 1 ik Ck 1 1 , untuk k 2,3,
,n
b. E Ck sk | j ,
c. mk
2 1 j
k 1
sk |r 2 j sk | f
j
d. Var Ck
2 1 j
k 1
,
sk |r 2 j sk | f 1 j s2 k | j 2 1 j sk | j
j
.
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.7
Corollary 2
Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan
pembayaran masing-masing sebesar 1, 2, , k selama k tahun dan jika tingkat
suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian
sehingga E 1 ik 1 j dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 ,
independen, maka:
a. Ck 1 ik Ck 1 k , untuk k 2,3, , n
, in adalah peubah acak
b. E Ck Is k | j ,
c. M1.k I 2 s ,
k| f
1 j Is k|r 1 j Is k| f
k 2
d. M 2.k
e. mk
j
2 1 j
f. Var Ck
k 2
j 1 j I 2 s
Is k|r 2 1 j Is k| f
j
2 1 j
k 2
k| f
2
j 2 j I 2s
2
,
k| f
,
( Is ) k |r 2 1 j ( Is ) k | f j 2 j ( I 2 s ) k | f
j2
Is 2k| j 2 1 kd Is k| j k 2
d2
.
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.8
Corollary 3
Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan
pembayaran masing-masing sebesar n, n 1, , n k 1 selama k tahun dan jika
tingkat suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian
17
sehingga E 1 ik 1 j dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 , , in adalah peubah acak
independen, maka:
a. Ck 1 ik Ck 1 n k 1 , untuk k 2,3, , n
b. E Ck Ds n,k| j ,
c. M1.k n 1 sk | j 2 n 1 Is k | j I 2 s ,
2
k| j
jn 11 j Ds n,k|r 1 j jn j 1 Ds n,k| f
k 1
d. M 2.k
e. mk
j2
j 1 j n 1 Is k | f I 2 s
k| f
j2
2 jn 11 j
k 1
,
Ds n,k|r 2 1 j jn j 1 Ds n,k| f
j2
j n 1
2
sk | f 2 j n 1 Is k | f 3 j 2 2 j I 2 s
j
2
k| f
,
f. Var Ck mk k2 .
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.9
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
Dalam kasus anuitas awal dengan pembayaran yang berbeda-beda seperti
mengikuti bentuk deret geometri terdapat ck p q k 1 dengan k 1, 2, , n dan
diasumsikan p dan q positif, q 1 j, q 2 1 f , dan q 1 r . Nilai akumulasi
atau future value dari anuitas dengan pembayaran tersebut dinotasikan dengan Ck
dan diberikan secara rekursif
Ck 1 ik Ck 1 p q k 1 , untuk k 1, 2,
(32)
,n
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.1
Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan nilai
harapan E Ck k secara rekursif untuk k 2,3,
E Ck E 1 ik Ck 1 pq k 1
, n sebagai berikut:
E 1 ik E Ck 1 pq k 1
k k 1 pq k 1 ,
sehingga 1 p 1 j p.
(33)
Dengan cara yang sama didapat persamaan rekursif momen kedua E Ck2 mk
untuk k 2,3,
, n sebagai berikut:
18
E Ck2 E 1 ik Ck 1 pq k 1
2
2
2 k 1
E 1 ik E Ck21 pq
2 k 1
mk m mk 1 2 pq k 1k 1 p 2 q ,
didapat m1 p 2 m.
(34)
Lema 7
Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari sebuah anuitas awal
dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret geometri:
p, pq, pq 2 , , pq k 1 selama k tahun dan jika tingkat suku bunga tahunan selama
tahun ke-k
peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j dan
adalah
Var 1 ik s 2 , serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka
k E Ck sg k| j .
p ,q
(35)
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.2
Lema 8
Berdasarkan asumsi pada Lema 7 didapat
2 k 1
mk p 2 mk p 2 q 2 mk 1 p 2 q m
2 pqmk 11 pq 2 mk 2 2
Jika M1.k p 2 mk p 2 q 2mk 1
dan M 2.k pqm 1 pq m
maka mk M1.k 2M 2.k .
k 1
2
p 2q
k 2
2
2 k 1
pq k 1mk 1 .
m
pq mk 1 ,
(36)
(37)
k 1
(38)
(39)
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.3
Lema 9
Dari persamaan (37) dan fakta 1 f m maka didapat
M1k p 1 f
2
p
sg
2
k| f
,q2
1 f
q2k
1 f q2
k
.
(40)
Kemudian dari persamaan (38), 1 f m dan 1 f 1 j 1 r maka didapat:
p2 ,q2
k
k
s
g
1
p 2 1 j
r
q
k
k| f
M 2.k
1 j 1 r
2
.
1 j q
1 j q
p
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.4
(41)
19
Lema 10
Berdasarkan asumsi pada Lema 7, didapat
M 2.k
p 1 j
k 1
sg
p ,q
k |r
p
1 j sg
2
,q2
k| f
(42)
.
1 j q
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.5
Berdasarkan pada Lema 9 dan Lema 10, serta fakta bahwa mk M1.k 2M 2.k
sehingga didapat Lema berikut:
Lema 11
Berdasarkan asumsi pada Lema 7, didapat
mk
2 p 1 j
k 1
sg
p ,q
k |r
p
q 1 j sg
2
,q2
k| f
(43)
.
1 j q
Bukti :
Dari persamaan (39) kemudian substitusi persamaan (40) dan Lema 10 maka:
mk M 1.k 2M 2.k
sg
mk
p
2
,q
k| f
2
p ,q
p2 ,q2
k 1
p
j
s
j
s
1
1
g k|r g k| f
2
1 j q
2 p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
1 j q 2 2 j sg
p
2
,q2
k|f
1 j q
2 p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
p
q 1 j sg
2
k| f
1 j q
,q2
.
Lema 12
Berdasarkan asumsi pada Lema 7 didapat
p 1 j
p ,q
p ,q
2q k s g
k2
.
sg
2
|
k
j
k| j
1 j q
Bukti:
Dari Lema 7 dan persamaan (15) maka
k2 sg k | j
p ,q
2
k
1 j qk
p 1 j
1 j
KERAGAMAN FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
WINA FATMILA SARI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pengaruh Keragaman Suku
Bunga terhadap Keragaman Future Value suatu Anuitas adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis
ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Wina Fatmila Sari
NRP G551090221
RINGKASAN
WINA FATMILA SARI. Pengaruh Keragaman Suku Bunga terhadap Keragaman
FutureValue suatu Anuitas. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan
RETNO BUDIARTI.
Time value of money merupakan suatu konsep yang mengacu pada
perbedaan nilai uang yang disebabkan karena perbedaan waktu, bahwa nilai uang
sekarang tidak akan sama dengan nilai uang yang akan datang. Nilai uang
sekarang dinyatakan sebagai Present Value (PV) dari uang tersebut, sedangkan
nilai uang di masa yang akan datang dinyatakan sebagai Future Value (FV) dari
uang tersebut.
Penentuan nilai uang, baik nilai uang sekarang maupun nilai uang yang akan
datang bergantung pada waktu dan tingkat pengembalian. Perubahan nilai uang
dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain inflasi, perubahan suku bunga,
kebijakan pemerintah dalam bidang sekuritas dan dalam hal perpajakan. Karena
perubahan nilai uang tersebut maka dibutuhkan suatu perumusan FV, hal tersebut
berguna untuk mengetahui apakah sebuah investasi dapat menguntungkan atau
tidak, dan untuk analisis anggaran.
Anuitas didefinisikan sebagai rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu
yang dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Pembayaran dapat
dilakukan pada awal atau pada akhir periode, dengan jumlah tetap atau bervariasi.
Anuitas yang dibayarkan pada awal periode disebut anuitas awal dan yang
dibayarkan pada akhir periode disebut anuitas pasti. Nilai akumulasi dari anuitas
tersebut setelah beberapa tahun kemudian disebut nilai akhir atau future value.
Burnecki et al. (2003) telah membahas tentang FV suatu anuitas dengan
suku bunga tetap yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau
deret geometri. Kemudian dikaji pula FV untuk anuitas yang pembayarannya
mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan suku bunga acak.
Dalam tulisan ini dikaji FV anuitas awal yang pembayarannya mengikuti bentuk
deret aritmatika dan deret geometri dengan suku bunga sebagai peubah acak yang
menyebar normal , . Formula dari FV dinyatakan dalam bentuk rekursif.
Perhitungan FV dari anuitas awal yang pembayarannya mengikuti bentuk
deret aritmatika dan deret geometri dengan suku bunga acak dilakukan secara
teoritis maupun simulasi. Suku bunga acak dinotasikan dengan ik i k di mana
ik merupakan peubah acak independen, i adalah konstanta dan k peubah acak
yang menyebar normal , . Dengan parameter-parameter yang telah
ditentukan, dibangkitkan satu barisan suku bunga acak untuk perhitungan secara
teoritis, sedangkan untuk perhitungan secara simulasi dibangkitkan barisan suku
bunga acak sebanyak 1000 kali. Perhitungan tersebut masing-masing akan
mendapatkan nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku. Kemudian akan dihitung
galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku hasil teoritis dan hasil
simulasi. Perhitungan galat menggunakan Symmetric Mean Absolute Percentage
Error (SMAPE). Semakin kecil nilai SMAPE, maka semakin akurat nilai
simulasinya. Selanjutnya dengan memvariasikan keragaman tingkat suku bunga
dari 0.000036 sampai 0.0001 diperoleh hubungan antara keragaman suku bunga
dan keragaman FV.
Hasil perhitungan secara teoritis maupun simulasi menunjukkan bahwa
ketika ragam dari barisan suku bunga acak meningkat maka ragam dari FV juga
meningkat secara linear. FV dari anuitas awal yang pembayarannya bervariasi
mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan tingkat suku bunga
acak secara teoritis maupun simulasi tidak berbeda secara signifikan, karena nilai
SMAPE kurang dari 5%.
Kata kunci: anuitas, future value, suku bunga acak
SUMMARY
WINA FATMILA SARI. The Effects of Variance of Interest rate to Variance of
Annuity Future Values. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO
BUDIARTI.
Time value of money is a concept that refers to the difference of the value of
money due to time difference. The value of money for present time would not be
the same as the value of money in the future. The value of money for present time
is called as Present Value (PV) of the money and the value of money for future
time is called Future Value (FV) of the money.
Determination the value of money, for present and future time, depends on
the time and rate of return. The value of money is determined by several factors
such as inflation, fluctuation of interest rates, and government policy in securities
and taxation. Due to fluctuation of the value of money we need a FV formulation,
it is useful for knowing whether an investment can be profitable or not, and this
information is useful also in budget analysis.
Annuity is defined as a series of payments made for a specific period. The
payment, fixed or varied, can be made at the beginning or at the end of the period.
Annuity paid at the beginning of the period is called annuity-due and annuity paid
at the end of the period is called immediate annuity-certain. The accumulated
value of the annuity after few years later is called as a final value or a future
value.
Burnecki et al. (2003) have discussed about the FV of a fixed-rate annuity
in which payments are made according to the arithmetic or geometric series. They
have also examined FV for annuities in which payments are made according to
arithmetic or geometric series with random rates of interest. This paper examines
FV for annuity-due in which payments are made according to arithmetic or
geometric series with interest rates as a random variable, which is normal
distribution , . Future value formula is expressed in recursive form.
FV for annuity-due which payments are made according to the arithmetic or
geometric series with random rates of interest is calculated by theoretical way and
simulation way. The random rates of interest is denoted as ik i k , where ik an
independent random variable; i is a constant and k is a random variable which
has normal distribution , . By using the determined parameters, a sequence of
random rates of interest are generated for theoretical calculation. Meanwhile for
the simulation, the random rates of interest is generated 1000 times for the
simulation. The generated data give mean value, variance, and standard deviation.
Moreover, error of mean value, variance, and standard deviation from the
theoretical and simulation results are calculated. Error calculation uses Symmetric
Mean Absolute Percentage Error (SMAPE). The smaller the value of SMAPE is
the more accurate the simulation. The interest rate variances are varied from
0.000036 to 0.0001 to study the relationship between variance of rates of interest
and variance of future value.
The theoretical and simulation results show that when the variance of
random rates of interest increases, then the variance of FV increases linearly. FV
of the annuity-due in which payments are made according to the arithmetic or
geometric series, the random rates of interest in theory and simulation are not
significantly different, because the value of SMAPE is less than 5%.
Keywords: annuity, future value, random rates of interest.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2013
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENGARUH KERAGAMAN SUKU BUNGA TERHADAP
KERAGAMAN FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
WINA FATMILA SARI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Judul Tesis : Pengaruh Keragaman Suku Bunga terhadap Keragaman Future
Value suatu Anuitas
Nama
: Wina Fatmila Sari
NRP
: G551090221
Disetujui oleh
Komisi Pembimbing
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Ketua
Ir Retno Budiarti, MS
Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 01 Juli 2013
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Pebruari 2011 ini ialah
future value dari suatu anuitas, dengan judul Pengaruh Keragaman Suku Bunga
terhadap Keragaman Future Value suatu Anuitas.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba,
DEA dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing, serta Ibu Dr Ir Endar
Hasafah Nugrahani, MS yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima
kasih juga disampaikan kepada Ayah (Alm), Emak (Alm), Ce’ Danil, adek
Nathania serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Wina Fatmila Sari
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
xiv
DAFTAR GAMBAR
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
xiv
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
Sistematika Penulisan
1
1
1
2
LANDASAN TEORI
Percobaan Acak
Ruang Contoh dan Kejadian
Peubah Acak
Peubah Acak Diskret
Fungsi Sebaran
Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
Fungsi Kerapatan Peluang
Sebaran Normal
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan)
Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret
Suku Bunga
Anuitas dan Future Value
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
Anuitas dengan Suku Bunga Tetap
Anuitas Awal Sebesar 1 Satuan Selama k Tahun
Anuitas Awal Sebesar 1, 2, , k Selama k Tahun
Anuitas Awal Sebesar 1, 22 , , k 2 Selama k Tahun
Anuitas Awal yang Menurun
Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika
Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
Anuitas dengan Suku Bunga Acak
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
5
6
6
7
8
9
11
12
12
13
17
SIMULASI
Future Value Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam
Bentuk Deret Aritmatika
Future Value Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam
Bentuk Deret Geometri
20
SIMPULAN
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
53
21
23
DAFTAR TABEL
1 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas
yang pembayarannya tetap tiga satuan dengan suku bunga acak
2 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas
yang pembayarannya meningkat dengan suku bunga acak
3 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas
yang pembayarannya mengikuti bentuk deret geometri dengan suku
bunga acak
21
22
23
DAFTAR GAMBAR
1 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang
pembayarannya tetap tiga satuan dengan suku bunga acak
2 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang
pembayarannya meningkat dengan suku bunga acak
3 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang
pembayarannya mengikuti bentuk deret geometri dengan suku bunga
acak
22
23
24
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan)
2 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas dengan tingkat
suku bunga tetap
3 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas yang pembayarannya
dalam bentuk deret aritmatika dengan tingkat suku bunga acak
4 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas yang pembayarannya
dalam bentuk deret geometri dengan tingkat suku bunga acak
5 Pemrograman menggunakan software Mathematica 8.0
26
28
30
47
50
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Time value of money atau dalam bahasa Indonesia disebut nilai uang
menurut waktu merupakan suatu konsep yang mengacu pada perbedaan nilai uang
yang disebabkan karena perbedaan waktu. Jika seseorang diminta memilih untuk
menerima 1 juta rupiah saat ini ataukah, misalnya 1 juta rupiah sepuluh tahun
yang akan datang maka biasanya orang tersebut akan memilih untuk menerima 1
juta rupiah saat ini. Hal ini menunjukkan bahwa nilai uang 1 juta rupiah yang kita
punya saat ini atau sekarang tidak sama dengan 1 juta rupiah pada sepuluh tahun
yang lalu atau sepuluh tahun kemudian. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai
uang sekarang tidak akan sama dengan nilai uang yang akan datang. Nilai uang
sekarang dinyatakan sebagai Present Value (PV) dari uang tersebut, sedangkan
nilai uang di masa yang akan datang dinyatakan sebagai Future Value (FV) dari
uang tersebut.
Penentuan nilai uang, baik nilai uang sekarang maupun nilai uang yang akan
datang bergantung pada waktu dan tingkat pengembalian. Perubahan nilai uang
dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain inflasi, perubahan suku bunga,
kebijakan pemerintah dalam bidang sekuritas dan dalam hal perpajakan. Karena
perubahan nilai uang tersebut maka dibutuhkan suatu rumusan FV, hal tersebut
berguna untuk mengetahui apakah sebuah investasi dapat menguntungkan atau
tidak, dan untuk analisis anggaran.
Pembahasan tentang FV sudah banyak dilakukan di antaranya oleh
McCutcheon dan Scott (1986), Zaks (2001) membahas tentang FV suatu anuitas
dengan suku bunga acak, sedangkan Burnecki et al. (2003) telah membahas
tentang FV suatu anuitas dengan suku bunga tetap yang pembayarannya
mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri. Kemudian dikaji pula FV
untuk anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret
geometri dengan suku bunga acak. Dalam tulisannya tersebut Burnecki et al.
(2003) juga mengoreksi hasil penelitian Zaks (2001).
Dalam penelitian ini dikaji FV anuitas awal yang pembayarannya mengikuti
bentuk deret aritmatika dan deret geometri sebagai fungsi dari tingkat suku bunga
dengan suku bunga sebagai peubah acak yang menyebar normal dengan parameter
dan .
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengkaji Future Value (FV) menggunakan formula rekursif dari suatu anuitas
dengan suku bunga tetap dan suku bunga acak.
2. Menentukan Future Value (FV) dari suatu anuitas dengan suku bunga acak
menggunakan simulasi.
2
Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas lima Bab. Bab pertama merupakan pendahuluan
yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan penelitian, dan sistematika
penulisan. Bab kedua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam
penyusunan pembahasan. Bab ketiga merupakan pembahasan secara teoritis
mengenai future value suatu anuitas dengan tingkat suku bunga tetap dan suku
bunga acak menggunakan formula rekursif. Bab keempat berisi simulasi future
value suatu anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika dan
deret geometri dengan tingkat suku bunga acak. Bab terakhir pada tulisan ini
berisi simpulan dari keseluruhan penulisan karya ilmiah ini.
LANDASAN TEORI
Landasan teori berikut merupakan beberapa landasan yang akan digunakan
untuk menganalisis nilai akhir atau future value dari suatu anuitas dengan suku
bunga acak. Di antara landasan tersebut ialah percobaan acak, ruang contoh,
kejadian, peubah acak, fungsi sebaran, fungsi kerapatan peluang, sebaran normal,
nilai harapan (expected value), simpangan baku (standard deviation), ragam
(variance), anuitas, bunga dan nilai yang akan datang (future value).
Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan
dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah
diketahui, namun hasil dari percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat.
Percobaan semacam ini disebut percobaan acak (Hogg et al. 2005).
Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan . Himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebut kejadian
(Grimmett dan Stirzaker 2001).
Peubah Acak
Misalnya , , P adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable)
merupakan fungsi X :
di mana : X x
untuk setiap
X . Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah
acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil (Grimmett dan Stirzaker 2001).
3
Peubah Acak Diskret
Peubah acak X disebut peubah acak diskret jika himpunan semua
kemungkinan nilai x1 , x2 , x3 , dari peubah acak tersebut merupakan himpunan
(Grimmett dan Stirzaker 2001).
terhitung dari
Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan
bulat terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan
bulat positif.
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran (distribution function) dari suatu peubah acak X adalah
fungsi FX : 0,1 yang diberikan oleh FX x P X x .
(Ghahramani 2005)
Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
F:
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suatu fungsi
0,1 yang didefinisikan oleh: FXY x, y P X x, Y y .
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
2
Fungsi Kerapatan Peluang
p:
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi
0,1 yaitu pX ( x) P X x .
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Sebaran Normal
Peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan parameter dan jika
X memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai
berikut:
x 2
1
,
exp
f x
x .
2
2
2
(Ghahramani 2005)
4
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang
mungkin adalah A. Jika pX x adalah fungsi massa peluang dari X, maka nilai
harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai:
E X x pX x
xA
dan E X dikatakan ada jika
x p x konvergen mutlak (Ghahramani 2005).
xA
X
Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan)
1. Jika X 0 , maka E X 0.
2. Jika a, b
maka E aX bY aE X bE Y .
3. Jika X adalah peubah acak konstan, dengan P X c 1 untuk
suatu
konstanta, maka E X c.
4. Jika
dan
adalah independen maka E XY E X E Y .
5. Jika X dan Y dependen maka E XY E X E Y Cov X , Y .
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Bukti pada Lampiran 1
Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan semua
kemungkinan nilai X adalah A. Jika pX x adalah fungsi massa peluang dari X
dan E X adalah nilai harapan dari X, X dan Var X masing-masing
adalah simpangan baku (standard daviation) dan ragam (variance) dari X dan
didefinisikan sebagai:
2
X E X
dan
2
2
Var X E X X pX x .
xA
(Ghahramani 2005)
5
Suku Bunga
Bunga dapat dianggap sebagai imbalan yang dibayar oleh satu orang atau
organisasi (peminjam) untuk penggunaan aset yang disebut sebagai modal, milik
orang lain atau organisasi (McCutcheon & Scott 1986).
Anuitas dan Future Value
Anuitas adalah pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap
selang waktu dan lama tertentu, secara berkelanjutan (Futami 1993).
Berdasarkan waktu pembayaran, anuitas dibedakan atas:
a. Anuitas awal adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada awal
periode, misal jika periodenya tahun, artinya pembayaran dilakukan pada
awal tahun, dan seterusnya.
b. Anuitas akhir adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada akhir
periode, misal jika periodenya tahun, artinya pembayaran dilakukan pada
akhir tahun, dan seterusnya.
Future Value adalah nilai uang di masa yang akan datang dari uang yang
diterima atau dibayarkan pada masa sekarang dengan memperhitungkan tingkat
bunga setiap periode selama jangka waktu tertentu.
Anuitas awal yang dibayarkan selama n tahun sebesar 1 satuan, maka nilai
akumulasi anuitas tersebut n tahun kemudian disebut nilai akhir atau future value
dinotasikan dengan sn| .
FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
Anuitas bukan sesuatu yang baru dalam kehidupan ekonomi saat ini, dengan
mudah dapat ditemui contoh-contoh anuitas di antaranya orang tua yang
membelikan motor untuk anaknya secara kredit, tetangga yang membeli rumah
secara kredit, atau orang tua yang mempersiapkan tabungan pendidikan untuk
anak-anaknya, semuanya merupakan contoh kongkrit dari anuitas. Anuitas dari
annuity dapat didefinisikan sebagai rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu
yang dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Kata annuity asalnya
berarti pembayaran annual (tahunan), akan tetapi seiring dengan berjalannya
waktu kata anuitas juga mencakup pembayaran yang dilakukan pada interval
waktu yang lain juga, seperti pembayaran bulanan, tiga bulanan, dan seterusnya.
Pembayaran dapat dilakukan pada awal atau pada akhir periode, dengan jumlah
tetap atau bervariasi. Jika dibayarkan pada awal periode disebut anuitas awal dan
jika dibayarkan pada akhir periode disebut anuitas pasti. Nilai akumulasi dari
anuitas tersebut setelah beberapa tahun kemudian disebut nilai akhir atau future
value.
Burnecki et al. (2003) telah membahas tentang future value suatu anuitas
dengan suku bunga tetap yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika
6
atau deret geometri. Kemudian dikaji pula FV suatu anuitas yang pembayarannya
mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan suku bunga acak.
Pada Bab ini akan mengkaji ulang tentang future value anuitas awal yang
pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri
dengan tingkat suku bunga tetap dan suku bunga acak yang dibayarkan selama k
tahun. Anuitas dengan suku bunga tetap terdapat berbagai macam variasi
pembayaran di antaranya anuitas awal dengan pembayaran sebesar 1 satuan,
anuitas awal yang meningkat sebesar 1 satuan, anuitas awal sebesar 1, 22 , , k 2 ,
anuitas awal yang menurun, serta anuitas awal yang pembayarannya bervariasi
mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri. Selanjutnya, anuitas dengan
tingkat suku bunga acak terdapat anuitas awal yang pembayarannya bervarisi
mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri.
Anuitas dengan Suku Bunga Tetap
Notasi dasar yang digunakan dalam teori anuitas adalah sebagai berikut:
j : Tingkat bunga tahunan dan tetap selama periode k tahun.
1
v : Faktor diskon tahunan dengan v 1 j .
d : Tingkat diskon tahunan dengan d 1 v.
Selanjutnya akan dibahas mengenai future value atau nilai akhir dari anuitas awal
dengan berbagai macam bentuk pembayaran.
Anuitas Awal Sebesar 1 Satuan Selama k Tahun
Jika anuitas awal sebesar 1 satuan dibayarkan selama k tahun, maka future
value anuitas awal tersebut dinotasikan oleh sk | j dan diberikan oleh rumus
sk | j 1 j 1 j
k
1 j
1
k
d
k 1
1 j
(1)
.
Bukti:
sk | j 1 j 1 j
k
v sk | j 1 j
k 1
1 v sk| j 1 j
k
k 1
1 j
1 j
k 2
1 j 1
1
d sk | j 1 j 1
k
sk | j
1 j
d
k
1
.
Selain persamaan (1), sk | j juga dapat dinyatakan secara rekursif sebagai
sk| j 1 j 1 sk 1| j .
(2)
7
Bukti:
sk | j 1 j 1 j
k
sk 1| j 1 j
k 1
k 1
1 j
1 j 1 j
2
k 2
1 j ,
sehingga
sk | j 1 j 1 j
k
1 j 1 j
k 1
1 j 1 j
2
1 j
k 1
k 2
1 j 1
sk| j 1 j 1 sk 1| j .
, k Selama k Tahun
Anuitas Awal Sebesar 1, 2,
Jika besarnya pembayaran anuitas awal meningkat masing-masing 1, 2, , k
yang dibayarkan selama k tahun, maka future value anuitas awal tersebut
dinotasikan dengan Is k | j dan diberikan oleh rumus
Is k| j 1 j
Bukti:
2 1 j
k
sk | j k
d
k 1 j
(3)
.
Is k| j 1 j
v Is k | j 1 j
k
2 1 j
k 1
k
sk | j k
d
k 1
2 1 j
1 v Is k| j 1 j 1 j
d Is k | j sk | j k
Is k| j
k 1
k 1
k 1 j
k 2
k 11 j k
1 j k
.
Persamaan berikut merupakan formula rekursif untuk Is k | j yaitu
Is k| j 1 j k Is k 1| j .
Bukti:
Is k| j 1 j
k
Is k 1| j 1 j
2 1 j
k 1
k 1
2 1 j
(4)
k 2
sehingga
k
k 1
Is k| j 1 j 2 1 j
2
k 1
k 1| j
k 11 j ,
k 11 j k 1 j
2 1 j
1 j k Is .
1 j 1 j
Is k| j
k 11 j k 1 j
2
k 2
k 11 j k
8
Anuitas Awal Sebesar 1, 22 ,
, k 2 Selama k Tahun
Future value dari anuitas awal dengan pembayaran meningkat masingmasing 1, 22 , , k 2 dinotasikan dengan I 2 s dan diberikan oleh rumus
I s
k| j
1 j 2 1 j
k
2
k| j
Bukti:
2
2 Is k | j sk | j k 2
2
k
k| j
22 1 j
k 1
2
k| j
1 v I 2 s k| j 1 j
k
k 1
22 1 j
3 1 j
k 1
d I 2 s 2 1 j 4 1 j
(5)
k 2
k 1 1 j k 2
2
5 1 j
k 1
1 j
d I 2 s 2 1 j 2 1 j
k| j
2 Is k | j sk | j k 2
2
.
I s k | j
d
k
k 1
k 2
2k 11 j k 2
2k 1 j
k 1
k
k
k 2 1 j
k| j
1 j 1 j
k 2 1 j
.
d
I s 1 j
v I s 1 j
k 1
k 2
1 j k 2
k 1 j sk | j k 2
Selain persamaan (5), I 2 s juga dapat dinyatakan secara rekursif sebagai
k| j
I s
k| j
1 j k 2 I 2 s
k| j
1 j 22 1 j
2
k 1| j
.
(6)
Bukti:
I s
I s
k
2
2
sehingga
I 2s
k 1| j
1 j
k 1
1 j 22 1 j
1 j 1 j
I s
2
k| j
22 1 j
k
k| j
k 1
k 1
k 1
k 2
k 1 1 j k 2 1 j
2
k 1| j
k 1 1 j ,
2
k 1 1 j k 2 1 j
22 1 j
1 j k 2 I 2 s
2
2
k 2
.
2
k 1 1 j k 2
2
Persamaan berikut diperoleh dari persamaan (5) dan (3) yang mengatur hubungan
antara I 2 s dan sk | j .
k| j
I s
2
1 v sk| j k 2 2k 2k 2
d2
Bukti pada Lampiran 2 sub 2.1
k| j
.
(7)
9
Selanjutnya dari beberapa persamaan yang diperoleh berlaku hubungan berikut
(8)
Is k 1| j Is k| j sk| j ,
I s
2
k 1| j
I 2 s 2 Is k | j sk| j .
k| j
(9)
Bukti persamaan (8) dan (9)
Untuk membuktikan persamaan (8) gunakan persamaan (4) sehingga:
Is k| j
1 j k Is k 1| j
Is k| j
k
1 j
v Is k | j k
Is k 1| j
substitusi persamaan (3), sehingga didapat:
sk | j k
k
d
sk | j k
sk | j k k
d
Is k| j sk | j .
Is k 1| j 1 d
Is k 1| j
Untuk membuktikan persamaan (9) gunakan persamaan (6) sehingga:
I s
2
I s
k| j
1 j k 2 I 2 s
I s
k 1| j
2
2
k 1| j
k| j
1 j
v I 2s
k2
k| j
k2
substitusi persamaan (5), sehingga didapat:
I s
2
k 1| j
I s
2
k 1| j
2 Is k | j sk | j k 2 2
k
1 d
d
2
2 Is k | j sk | j k
2 Is k | j sk | j k 2 k 2
d
I 2 s 2 Is k | j sk | j .
k| j
Anuitas Awal yang Menurun
Future value dari anuitas awal dengan pembayaran menurun masing-masing
n, n 1, , n k 1 yang dibayarkan selama k tahun dinotasikan dengan Ds n,k | j
dan diberikan oleh rumus:
10
Ds n,k| j n 1 j n 11 j
n sk | j Is k 1| j .
k
k 1
n k 11 j
(10)
Bukti:
Ds n,k| j n 1 j n 11 j
k
v Ds n ,k | j n 1 j
k 1
n 11 j
1 v Ds n,k| j n 1 j 1 j
k
k 1
d Ds n ,k | j n 1 j 1 j
k
k 2
n k 2 1 j n k 1
1 j
k 1
n k 11 j
k 2
1 j
n 1 j n sk 1| j k 1
k
Ds n,k| j
k 1
k 2
s
n 1 j 1
k 1| j
d
k
k 1
1 j n k 1
1 j n k 1
d
d
substitusi persamaan (1) dan (3), sehingga didapat:
Ds n,k| j n sk| j Is k 1| j .
Formula rekursif dari Ds n,k | j diberikan sebagai berikut:
Ds n,k| j 1 j Ds n,k 1| j n k 1 .
(11)
Bukti:
Ds n,k| j n 1 j n 11 j
k
Ds n,k 1| j n 1 j
k 1
n 11 j
maka
k
k 1
Ds n,k| j n 1 j n 11 j
1 j n 1 j
k 1
k 1
k 2
n k 11 j
n k 2 1 j ,
n k 11 j
n 11 j
k 2
Ds n,k| j 1 j Ds n,k 1| j n k 1 .
n k 2 1 j n k 1
Dari beberapa persamaan tersebut, diperoleh persamaan yang mengatur hubungan
antara Ds n,k | j , Is k | j dan sk | j sebagai berikut:
Ds n,k| j n 1 sk| j Is k| j .
Bukti:
Dari persamaan (10) dan (8) maka:
Ds n,k| j n sk| j Is k 1| j
n sk | j Is k | j sk | j
n sk | j sk | j Is k | j
Ds n,k| j n 1 sk| j Is k| j .
(12)
11
Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika
Anuitas awal dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret
aritmatika, misalkan pembayaran pertama adalah p satuan dan kemudian
pembayaran berikutnya meningkat q satuan per periode, sehingga pembayaran
tersebut membentuk urutan p, p q, p 2q, , p k 1 q dengan p harus
positif tetapi q dapat berupa positif atau negatif, dan p k 1 q 0 untuk
menghindari pembayaran negatif, maka nilai akhir anuitas tersebut akan
p ,q
dinotasikan dengan sa k | j dan didefinisikan oleh
sa k| j
p ,q
p 1 j p q 1 j
k
k 1
p k 1 q 1 j
p sk | j q ( Is )k 1| j .
(13)
Bukti:
sa k| j p 1 j p q 1 j
p ,q
k
p ,q
v sa k | j p 1 j
1 v sa k| j p 1 j
k 1
p ,q
k
p ,q
k
p q 1 j
q 1 j
k 1
d sa k | j p 1 j q 1 j
sa k| j
p k 1 q 1 j
k 2
p k 2 q 1 j p k 1 q
k 2
q 1 j p k 1 q
k 2
1 j p q k 1
q 1 j
k 1
1 j
p 1 j p q sk 1|| j q k 1
k
p ,q
k 1
d
qs
p 1 j 1
k
d
k 1|| j
k 1
d
substitusi persamaan (4) dan (6), sehingga didapat:
p ,q
sa k| j p sk| j q Is k 1| j .
p ,q
Formula lain dari sa k | j
sa k| j
p ,q
ditunjukkan oleh persamaan berikut
p q sk| j q( Is )k | j .
Bukti:
Dari persamaan (13) dan (8) maka
p ,q
sa k| j p sk| j q( Is )k 1| j
p sk | j q ( Is )k | j sk | j
p sk | j q sk | j q ( Is ) k | j
sa k| j
p ,q
p q sk| j q( Is )k | j .
(14)
12
Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
Anuitas awal dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret
geometri, misalkan pembayaran pertama adalah p dan kemudian pembayaran
berikutnya meningkat sehingga membentuk deret geometri dengan q q 1 j
rasio per periode, yaitu p, pq, pq 2 ,
, pq k 1 dengan p dan q harus positif untuk
menghindari pembayaran negatif, maka nilai akumulasi anuitas tersebut akan
dinotasikan dengan sg
s
p ,q
g k| j
p ,q
k| j
dan didefinisikan oleh
p 1 j p q 1 j
k
1 j
p(1 j )
k 1
p q 2 1 j
k 2
p q k 1 1 j
qk
.
1 j q
Bukti pada Lampiran 2 sub 2.2
k
(15)
Anuitas dengan Suku Bunga Acak
Andaikan tingkat suku bunga tahunan pada tahun ke-k adalah peubah acak
ik . Diasumsikan juga untuk masing-masing k, memiliki E ik j dan
Var ik s 2 serta i1 , i2 , , in adalah peubah acak independen. Berdasarkan asumsi
ini maka
E 1 ik 1 j
dan
E 1 ik 1 j s 2 1 f m , di mana
2
f 2 j j s2.
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.1
2
2
(16)
Sehingga diperoleh
Var 1 ik E 1 ik E 1 ik
2
m .
Selanjutnya didefinisikan sebagai solusi
1 f
,
1 r
1 j
dengan mensubstitusi persamaan (16) ke persamaan (17) maka didapat
s2
.
r j
1 j
2
2
(17)
13
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika
Untuk anuitas awal dengan pembayaran c1 , c2 , , ck yang dibayarkan
selama k tahun, maka nilai akumulasi atau future value anuitas tersebut
dinotasikan dengan Ck . Dalam kasus pembayaran yang berbeda-beda mengikuti
bentuk deret aritmatika di mana ck p k 1 q untuk k 1, 2,3, , n maka
future value dari suatu anuitas dengan pembayaran tersebut diberikan secara
rekursif:
Ck 1 ik Ck 1 p k 1 q , untuk k 1, 2,3,
(18)
,n
Bukti:
Pada tahun pertama maka C1 c1 1 i1
pada tahun ke-2 maka C2 C1 1 i2 c2 1 i2 1 i2 C1 c2
pada tahun ke-3 maka C3 C2 1 i3 c3 1 i3 1 i3 C2 c3
pada tahun ke-k maka Ck Ck 1 1 ik ck 1 ik 1 ik Ck 1 ck ,
sehingga Ck 1 ik Ck 1 p k 1 q , untuk k 1, 2,3,
,n
Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan nilai
harapan E Ck k secara rekursif untuk k 2,3,
E Ck E 1 ik Ck 1 p k 1 q
, n sebagai berikut:
E 1 ik E Ck 1 p k 1 q
k k 1 p k 1 q ,
sehingga 1 p 1 j p.
Lema berikut ini berasal dari persamaan (19) dan (13)
(19)
Lema 1
Jika Ck menunjukkan nilai akumulasi atau future value dari suatu anuitas awal
dengan pembayaran tahunan bervariasi dalam bentuk deret aritmatika, masingmasing: p, p q, p 2q, , p k 1 q , dan apabila suku bunga tahunan selama
tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j dan
Var 1 ik s 2 , serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka:
p ,q
k E Ck sa k| j .
Bukti:
Dari persamaan (19)
k k 1 p k 1 q , didapat
1 p
2 p 2 p q
(20)
14
3 p 3 p q 2 p 2 q
4 p 4 p q 3 p 2q 2 p 3q
p k 1 q
k p k p q k 1 p 2q k 2
substitusi 1 j dan persamaan (13), maka:
k p 1 j p q 1 j
k
k 1
p k 1 q 1 j
p ,q
k sa k | j .
Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan rekursif
momen kedua E Ck2 mk untuk k 2,3,
, n sebagai berikut:
E Ck2 E 1 ik Ck 1 p k 1 q
2
E 1 ik E Ck21 2 p k 1 q Ck 1 p k 1 q
2
2
2
mk m mk 1 2 p k 1 q k 1 p k 1 q ,
2
sehingga m1 p m .
(21)
Untuk menghitung momen kedua diperlukan Lema berikut.
Lema 2
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
mk p 2 mk p q mk 1
2
p k 1 q m
2
2 p q mk 11 p 2q mk 2 2
Jika M1.k p 2 mk p q mk 1
2
p k 1 q mk 1 .
p k 1 q m
2
p k 1 q mk 1 ,
dan M 2.k p q mk 11 p 2q mk 2 2
maka mk M1.k 2M 2.k .
Dengan menggunakan persamaan (23) dan 1 f m didapat
M1.k p 2 sk| f 2 p q Is k 1| f q 2 I 2 s
k 1| f
.
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.2
Lema 3
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
2
M1.k p q sk | f 2 q p q Is k | f q 2 I 2 s .
k| f
Dari persamaan (14), (24) dan fakta bahwa 1 f m sehingga didapat:
(27)
15
M 2.k
p q 1 f k 1 1 j p 2q 1 f k 2 1 j 2
p k 1 q 1 f 1 j k 1
d p q q
p q 1 f k 1 p 2q 1 f k 2
d2
p k 1 q 1 f 1 j k 1
q p q 1 f 2 p 2q 1 f
d k 1 p k 1 q 1 f
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.3
k 1
k 2
.
Lema 4
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
p q d p q q 1 j k s
k |r
q d p q q 1 j k Is
1
k |r
.
M 2k 2
d p q d p q qv s
k| f
q 2d p q qv Is q 2 d I 2 s
k| f
k| f
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.4
Lema 5
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
q p d p q 1 v 2qv s
k| f
1
2
2
.
mk 2 2q d p q 1 v qv Is k | f dq 1 v I s
k| f
d
k
k
2 p q d p q q 1 j sk |r 2q d p q q 1 j Is k |r
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.5
Lema 6
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
2q p q k
pq
2q
k2
sk | j
p q s2 k | j 2sk | j
d
d
d
(28)
(29)
(30)
2
q
Is 2 k | j 2 1 kd Is k | j k 2 .
d
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.6
Teorema 2
Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat
p ,q
E Ck sa k | j dan Var Ck mk k2 .
Bukti:
Berdasarkan pada Lema 1, Lema 5 dan Lema 6 maka Teorema 1 terbukti.
(31)
16
Corollary 1
Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan
pembayaran sebesar 1 satuan selama k tahun dan jika tingkat suku bunga tahunan
selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j
dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka:
a. Ck 1 ik Ck 1 1 , untuk k 2,3,
,n
b. E Ck sk | j ,
c. mk
2 1 j
k 1
sk |r 2 j sk | f
j
d. Var Ck
2 1 j
k 1
,
sk |r 2 j sk | f 1 j s2 k | j 2 1 j sk | j
j
.
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.7
Corollary 2
Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan
pembayaran masing-masing sebesar 1, 2, , k selama k tahun dan jika tingkat
suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian
sehingga E 1 ik 1 j dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 ,
independen, maka:
a. Ck 1 ik Ck 1 k , untuk k 2,3, , n
, in adalah peubah acak
b. E Ck Is k | j ,
c. M1.k I 2 s ,
k| f
1 j Is k|r 1 j Is k| f
k 2
d. M 2.k
e. mk
j
2 1 j
f. Var Ck
k 2
j 1 j I 2 s
Is k|r 2 1 j Is k| f
j
2 1 j
k 2
k| f
2
j 2 j I 2s
2
,
k| f
,
( Is ) k |r 2 1 j ( Is ) k | f j 2 j ( I 2 s ) k | f
j2
Is 2k| j 2 1 kd Is k| j k 2
d2
.
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.8
Corollary 3
Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan
pembayaran masing-masing sebesar n, n 1, , n k 1 selama k tahun dan jika
tingkat suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian
17
sehingga E 1 ik 1 j dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 , , in adalah peubah acak
independen, maka:
a. Ck 1 ik Ck 1 n k 1 , untuk k 2,3, , n
b. E Ck Ds n,k| j ,
c. M1.k n 1 sk | j 2 n 1 Is k | j I 2 s ,
2
k| j
jn 11 j Ds n,k|r 1 j jn j 1 Ds n,k| f
k 1
d. M 2.k
e. mk
j2
j 1 j n 1 Is k | f I 2 s
k| f
j2
2 jn 11 j
k 1
,
Ds n,k|r 2 1 j jn j 1 Ds n,k| f
j2
j n 1
2
sk | f 2 j n 1 Is k | f 3 j 2 2 j I 2 s
j
2
k| f
,
f. Var Ck mk k2 .
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.9
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
Dalam kasus anuitas awal dengan pembayaran yang berbeda-beda seperti
mengikuti bentuk deret geometri terdapat ck p q k 1 dengan k 1, 2, , n dan
diasumsikan p dan q positif, q 1 j, q 2 1 f , dan q 1 r . Nilai akumulasi
atau future value dari anuitas dengan pembayaran tersebut dinotasikan dengan Ck
dan diberikan secara rekursif
Ck 1 ik Ck 1 p q k 1 , untuk k 1, 2,
(32)
,n
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.1
Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan nilai
harapan E Ck k secara rekursif untuk k 2,3,
E Ck E 1 ik Ck 1 pq k 1
, n sebagai berikut:
E 1 ik E Ck 1 pq k 1
k k 1 pq k 1 ,
sehingga 1 p 1 j p.
(33)
Dengan cara yang sama didapat persamaan rekursif momen kedua E Ck2 mk
untuk k 2,3,
, n sebagai berikut:
18
E Ck2 E 1 ik Ck 1 pq k 1
2
2
2 k 1
E 1 ik E Ck21 pq
2 k 1
mk m mk 1 2 pq k 1k 1 p 2 q ,
didapat m1 p 2 m.
(34)
Lema 7
Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari sebuah anuitas awal
dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret geometri:
p, pq, pq 2 , , pq k 1 selama k tahun dan jika tingkat suku bunga tahunan selama
tahun ke-k
peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j dan
adalah
Var 1 ik s 2 , serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka
k E Ck sg k| j .
p ,q
(35)
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.2
Lema 8
Berdasarkan asumsi pada Lema 7 didapat
2 k 1
mk p 2 mk p 2 q 2 mk 1 p 2 q m
2 pqmk 11 pq 2 mk 2 2
Jika M1.k p 2 mk p 2 q 2mk 1
dan M 2.k pqm 1 pq m
maka mk M1.k 2M 2.k .
k 1
2
p 2q
k 2
2
2 k 1
pq k 1mk 1 .
m
pq mk 1 ,
(36)
(37)
k 1
(38)
(39)
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.3
Lema 9
Dari persamaan (37) dan fakta 1 f m maka didapat
M1k p 1 f
2
p
sg
2
k| f
,q2
1 f
q2k
1 f q2
k
.
(40)
Kemudian dari persamaan (38), 1 f m dan 1 f 1 j 1 r maka didapat:
p2 ,q2
k
k
s
g
1
p 2 1 j
r
q
k
k| f
M 2.k
1 j 1 r
2
.
1 j q
1 j q
p
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.4
(41)
19
Lema 10
Berdasarkan asumsi pada Lema 7, didapat
M 2.k
p 1 j
k 1
sg
p ,q
k |r
p
1 j sg
2
,q2
k| f
(42)
.
1 j q
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.5
Berdasarkan pada Lema 9 dan Lema 10, serta fakta bahwa mk M1.k 2M 2.k
sehingga didapat Lema berikut:
Lema 11
Berdasarkan asumsi pada Lema 7, didapat
mk
2 p 1 j
k 1
sg
p ,q
k |r
p
q 1 j sg
2
,q2
k| f
(43)
.
1 j q
Bukti :
Dari persamaan (39) kemudian substitusi persamaan (40) dan Lema 10 maka:
mk M 1.k 2M 2.k
sg
mk
p
2
,q
k| f
2
p ,q
p2 ,q2
k 1
p
j
s
j
s
1
1
g k|r g k| f
2
1 j q
2 p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
1 j q 2 2 j sg
p
2
,q2
k|f
1 j q
2 p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
p
q 1 j sg
2
k| f
1 j q
,q2
.
Lema 12
Berdasarkan asumsi pada Lema 7 didapat
p 1 j
p ,q
p ,q
2q k s g
k2
.
sg
2
|
k
j
k| j
1 j q
Bukti:
Dari Lema 7 dan persamaan (15) maka
k2 sg k | j
p ,q
2
k
1 j qk
p 1 j
1 j