BY : SRI ESTI
BAB 5 POSET dan LATTICE
1. Himpunan Urut Parsial
Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat : 1.
Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2.
Anti simetris, yaitu a R b dan b R a maka a = b 3.
Transitif, yaitu jika a R b dan b R c maka a R c. Himpunan S berikut dengan urut parsial pada S dikatakan himpunan urut parsial
atau POSET Partially Ordered Set
Relasi urutan yang paling dikenal, disebut urutan usual
, adalah relasi ≤ kurang dari atau sama dengan pada N atau secara lebih umum pada subset dari R. karena
alasan ini, sebuah relasi urutan parsial biasanya dinotasikan oleh ≤; dan a≤b dibaca “a mendahului b”. Dalam kasus ini, juga dituliskan:
ab dibaca “a secara kuat mendahului b” jika a≤b tetapi a≠b a≥b dibaca “a didahului b” jika b≤a
ab dibaca “a secara kuat diahului b” jika ba Memang istilah pengurutan ordering berarti bahwa benda-benda di dalam
himpunan itu diurutkan menurut sifat atau kriteria tersebut. Akan tetapi, juga ada kemungkinan bahwa dua benda di dalam himpunan itu tidak berhubungan dalam
relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tak dapat membandingkan keduanya dan tidak mengidentifikasi mana yang lebih kecil atau lebih rendah. Itulah
alasannya digunakan istilah “ pengurutan parsial partial ordering ”.
Contoh : 1.
Misal X adalah sebarang kelas dari himpunan. Relasi antara himpunan ⊆ merupakan suatu urutan parsial pada S karena :
BY : SRI ESTI
a. A ⊆ A, untuk setiap A Є S
b. Jika A ⊆ B dan B ⊆ A maka A = B
c. Jika A ⊆ B dan B ⊆ C maka A ⊆ C
2. Misal N himpunan bilangan-bilangan positif. S
ebut “a membagi b” ditulis a|b, jika terdapat sebuah bilangan bulat c sedemikian sehingga ac = b.
Contoh : 2|4, 3|12, 7|21, dsb. Tunjukkan bahwa pembagian adalah pengurutan parsial dai N, yaitu tunjukkan bahwa:
a a│a
b jika a │b dan b│a maka a = b c jika a│a dan b│c maka a│c
Jawab: a.
Karena a.1 = a, maka a│a b.
Anggap a│b dan b│a, misal b = ra dan a = sb. Maka b = rsb sehingga rs =1. Karena r dan s adalah bilangan bulat positif maka r =1 dan s = 1. Dengan
demikian a = b c.
Anggap a│b dan b│c, misal b = ra dan c = sb. Maka c = sra sehingga a│b
b Himpunan Z adalah himpunan bilangan bulat positif. Relasi
kurang atau sama dengan adalah sebuah parsial order pada Z . Hal ini berlaku pula untuk relasi
Jawab :
Bila a,b ada didalam R jika a b.
a. Karena setiap bilangan bulat = dirinya sendiri
refleksif b.
Karena a b dan b a kecuali a = b antisimetris
c. Jika a
b dan b c maka a c transitif.
Latihan soal:
1. Misalkan bilangan-bilangan bulat positif N = {1,
2, 3, …} diurutkan dengan relasi dapat dibagi :
a. Isilah simbol yang tepat, , atau || tidak dapat dibandingkan antara
setiap pasangan dari bilangan-bilangan : 1
2 … 8 2 18 … 24
3 9 … 3 4 5 … 15
BY : SRI ESTI
b. Nyatakan apakah masing-masing sub-sub himpunan dari N adalah terurut
secara linier: a.
[24, 2, 6] b. [3, 15, 5]
c. [15, 5, 30] d.
[2, 8, 32, 4] e. [1, 2, 3,…]
f. [7]
2. Misalkan V = {a, b, c, d, e} terurut menurut diagram berikut. Sisipkan simbol
yang tepat, , , atau || setiap pasangan dari elemen-elemen : a.
a … c b. b … c
c. d … a d. c … d
a b
c d
e 3.
Misalkan S = {1, 2, 3}. Tuliskan himpunan urut parsial dari R pada S. 4.
Misalkan R = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 3, 3}. Apakah R adalah himpunan urut parsial pada A = {1, 2, 3, 4}.
5. Misalkan R = {1, 1, 2, 2}. Apakah R adalah suatu himpunan urut parsial
pada A = {1, 2}
2. Diagram Poset
Kategori