MODUL MATRIKS
Konsep yang di pakai :
6. Perkalian Matirks ( dot product ) :
1. Kesamaan Matriks :
Misalkan A dan B dua buah matriks yang berordo sama ,
Misalkan A dan B dua buah matriks
a b dan
p q
A
B
c d
r s
a
A 11
a 21
A = B, jika dan hanya jika a=p, b=q, c=r, dan d=s
Perkalian matriks A dan B dirumuskan dengan :
2. Transpose Matriks :
a b maka transpose matriks A adalah :
Jika A =
c d
T
t
1
a12
b
b
b
dan B 11 12 13
a 22
b21 b22 b23
a12 b11 b12 b13
a 22 b21 b22 b23
a11
A B =
a 21
= a11.b11 a12 .b21 a11.b12 a12 .b22
a .b a .b
a 21.b12 a 22 .b22
22 21
21 11
a c ( elemen baris jadi elemen kolom dan
b d
A =A =A =
a11.b13 a12 .b23
a 21.b13 a 22 .b23
Apabila matriks A berordo m x n dan matriks B berordo n
sebaliknya )
x p, maka hasil perkalian matriks A.B berordo m x p
3. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Am x n . Bn x p = Cm x p
Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan jika :
Ordo matirks – matriksnya sama
Cara me ju lah atau
e gu a gka adalah “ dengan
7. Persamaan Matriks :
-1
( i ). AX = B, maka X = A . B ( jika A di kirinya X, maka
menjumlah atau mengurangkan elemen-elemen yang
-1
munculnya A dikirinya B )
seletak “
-1
( ii ). XA = B, maka X = B. A ( jika A dikananya X, maka
4. Determinan Matriks ordo 2 x 2 :
-1
Misalkan diketahui matriks A a
c
munculnya A dikanannya B
b , determinan
d
)
matrik A ditulis dengan :
Contoh Soal :
a b
a.d b.c
det ( A ) = A
c d
1. Diketahui
disebut matriks singular dan akibatnya matriks
Dan jika dete
i a ya ≠ , maka disebut matriks
nonsingular, dan matirks tersebut memiliki invers
http://matematrick.blogspot.com
2
1
x y
2 2
Nilai x – y = ....
tersebut tidak memiliki invers matriks.
matriks
x
.
2
8
6
Apabila sebuah matriks nilai determinannya = 0, maka
perkaliann
a. -4
d. 6
b. 0
e. 8
c. 4
matriks.
Jika C = A . B, maka det ( C ) = det ( A ) . det ( B )
Jika C = kA, maka det ( C ) = k . det ( A ), dg k
2
Penyelesaian :
2
1
konstanta
5. Misalkan matriks A = a
c
b , da det A ≠ , i ve s
d
matriks A dirumuskan dengan :
d b
1 d b
1
=
A 1
a.d b.c c a det( A) c a
Elemen a dan d di tukar, elemen
b dan c berubah tanda
x
2
y
2
0 = 8
1 6
2 y 2x 0 x
=
y
4
0
2
berarti : -y +4 = 6
-y = 6 – 4
-y = 2
8
6
x
2
x
2
dan 2y + 2x = 8
y+x =4
-2 + x = 4
x=6
y = -2
Maka nilai x – y = 6 – (-2) = 8 ( jawaban E )
0
1
=
2. Diketahui matriks A =
2
0
1
dan B =
3
1 2
. Jika
1 0
a.
12
a b
3
b.
11
adalah ....
c.
2
a. 1
d. 4
d.
2
b. 2
e. 5
e.
12
c. 3
matriks C = AB, maka determinan C = ....
a 2b 1
3b 6
2
0
Jelas C = A. B =
1 1
3 1
2
=
0
2 1 4 1 4
=
3
0
3 0
adalah ….
a.
5
Maka det (C) = 1.0 – (-4).(-3) = 0 – 12 = -12 ( jawaban A )
b.
3
Cara lain : C = A.B, maka det(C )= det(A ).det(B )
c.
-2
det ( C )
= ( 2.3 – 1.0) . ( 0 - (-2).(-1) )
d.
-3
det ( C )
= 6 . ( -2 )
e.
-5
det ( C )
= -12
3. Invers matriks A =
a.
2
1
3
2
1
b.
2
1
3
2
1
c.
2
1
3
2
1
d.
2
1
3
2
1
e.
3
1
2
2
1
2
2
3
adalah A–1 = ....
4
maka nilai p + = ….
a. -3
d. 2
b. -1
e. 3
Nilai a dan b berturut – tu ut adalah ….
a.
3
dan 17 1
2
2
b. -
3
dan 17 1
2
2
c.
1 4 3 2 32
jadi jawabannya A.
=
2 2 2 1 1
Paket Soal 15 :
Kelompok Kesamaan Matriks : 1 - 9
2. Untuk persamaan
x 3 y 3 x 6 11 10
, harga x + y
2
x 7 8
3 y 1
adalah ….
a. -2
d. 6
b. 2
e. 7
c. 4
1
1 4 4 5 1 2 2 p
,
2 3 3 2 4 3 1 q 1
5a b = 7 10 .
6. Diketahui kesamaan matriks 7
2a 1
14 4 14
Jelas det A = -8 – ( -6 ) = -8 + 6 = -2
-1
5. Diketahui
c. 1
Penyelesaian :
Maka A =
4 2b
2 5 a 6
b 13 3a 4
4
4. Nilai a yang memenuhi persamaan
Penyelesaian :
http://matematrick.blogspot.com
3. Nilai 2a – b dari persamaan matriks
3
dan - 17 1
2
2
d. -
3
dan -17 1
2
2
e. - 17 1 dan - 3
2
2
4
7. Diketahui
8
6 a b
2 a 1
Nilai a+b+c = ....
a. 11
d. 14
b. 12
e. 16
c. 13
6 16 0
.
c 10 1
4 3
2x 1
2
x y 2
9
8. Diketahui
1
x
1 2
.
5 3
a. 48
d. - 34
b. 24
e. - 52
c. -8
Nilai y – x = …. UN
a. -5
14. Determinan
5x 2x
b. -1
x
c. 7
adalah ….
d. 9
a.
-2 dan 3
e. 11
b.
-2 dan -3
c.
2 dan 3
d.
-1 dan 6
e.
1 dan 6
4 2 , B =
x 1
9. Diketahui matriks A =
x 1 , dan
y
3
C= 10 7 . Jika 3A – B = C, maka nilai x + y = ….
9 2
2
= 12. Nilai
x yang memenuhi
15. Diketahui matriks P = 2 0 dan Q =
1 1
( UN 2011 )
a. – 3
d. 1
Jika R = 3P – Q,
b. – 2
e. 3
a. – 4
d. 7
b. 1
e. 14
c. – 1
aka dete
3 2 .
1 4
i a R = …. ( UN 2010 )
c. 4
Kelompok Determinan : 10 - 16
10. Diketahui A =
2 5
dan B =
1 3
5 4
Nilai determinan
1 1
da i AB adalah ….
16. Diketahui matriks A =
3 2
, B =
4 1
4 10
. Nilai determinan dari matriks (AB – C)
9 12
C=
a. 5
adalah …. UN
b. 4
a. – 7
d. 3
c. 3
b. – 5
e. 12
d. 2
3
4
, dan
2 1
c. 2
e. 1
11. Jika A =
2 3
maka determinan dari AT adalah ....
4 5
Kelompok Invers Matriks dan Bentuk AX = B, XA = B :
( 17 – 27 )
a. -22
http://matematrick.blogspot.com
b. -7
17. Diketahui empat matriks :
c. -2
(i)
d. 2
6 3
( ii )
4 2
e. 12
T
( iv )
( petunjuk : pakai saja konsep det A = det A )
12. Diketahui matriks A = 2
1
3 dan matriks B =
4
1
2
4 .
5
Mat iks ya g tidak
a.
( i ) dan ( iv )
adalah ....
b.
( ii ) dan ( iv )
a. –57
d. 48
c.
( ii ) dan ( iii )
b. –38
e. 57
d.
( iii )
e.
( iv )
c. 38
3 2
dan B=
1 2
13. Diketahui A=
adalah ….
1 4 . Determinan ABt
3 1
6 3
4 2
6 3
4
2
Jika matriks C = 2A – B maka determinan dari matriks C
t
3
6
( iii )
4 2
e iliki i ve s adalah ….
18. Diketahui empat matriks :
(i)
6 3
( ii )
4 2
iv )
6 3
4 2
Mat iks ya g
3
6
4 2
( iii )
6 3
4 2
(
e iliki i ve s adalah ….
a.
( i ) dan ( iv )
b.
( ii ) dan ( iv )
c.
( ii ) dan ( iii )
d.
( iii )
e.
( iv )
2 5
dan B =
1 3
5 4
, maka ( AB )-1 adalah ....
1 1
13
a. 7
8 15
d. 7 13
8 15
13
b. 7
8 15
e.
7 13
15
8
c. 7 13
8 15
3 4
dan B =
1 2
19. Diberikan matriks A =
15 22 . Matriks X
7 10
3 2 2 1
=
, maka matriks X = ....
0 1 0 1
23. Jika X
3 1
a.
0
2
2
d. 3
0
13
1
a.
1 2
3 4
2 1
b.
0
3
2
e. 3
0
1
b.
1 2
4 3
c.
c.
3 4
1 2
berordo 2 x 2 yang me e uhi pe sa aa AX = B adalah ….
2 3 dan B =
2 1
24. Diketahui matriks A =
(UN 2010)
4 3
20. Diberikan matriks A =
dan B =
1 2
berordo 2 x 2 ya g
6 7 . Matriks X
19 18
a.
3 9
6 6
d. 5 6
4 5
b.
3 9
6 6
e. 5
c.
5 6
4 5
e e uhi pe sa aa XA = B adalah ….
1 2
a.
3 4
4 3
d.
2 1
1 2
b.
4 3
1 3
e.
2 4
3 4
1 2
c.
21. Jika A =
1 3 . Jika
2 2
matriks C = A – 3B, maka invers matriks C adalah ….
1 3
2 4
e.
1
3
2 2
3
0
4 3
2 1
d.
http://matematrick.blogspot.com
22. Jika A =
5 4
2 5
dan B =
, maka ( BA )-1 adalah ....
1
1
1
3
a.
7 13
8 15
d.
7 13
8 15
b.
7 13
8 15
e.
7 13
8 15
c.
7 13
8 15
4
25. Diketahui matriks A = 1 2 , dan B =
3 4
6
5
4 3 . Matriks X
2 1
yang memenuhi AX = B adalah …. ( UN 2010/ 2011 )
a.
12 10
10 8
d. 5 6
4 5
b.
4 2
3 1
e. 6 5
5
4
c.
6 5
5
4
6. Perkalian Matirks ( dot product ) :
1. Kesamaan Matriks :
Misalkan A dan B dua buah matriks yang berordo sama ,
Misalkan A dan B dua buah matriks
a b dan
p q
A
B
c d
r s
a
A 11
a 21
A = B, jika dan hanya jika a=p, b=q, c=r, dan d=s
Perkalian matriks A dan B dirumuskan dengan :
2. Transpose Matriks :
a b maka transpose matriks A adalah :
Jika A =
c d
T
t
1
a12
b
b
b
dan B 11 12 13
a 22
b21 b22 b23
a12 b11 b12 b13
a 22 b21 b22 b23
a11
A B =
a 21
= a11.b11 a12 .b21 a11.b12 a12 .b22
a .b a .b
a 21.b12 a 22 .b22
22 21
21 11
a c ( elemen baris jadi elemen kolom dan
b d
A =A =A =
a11.b13 a12 .b23
a 21.b13 a 22 .b23
Apabila matriks A berordo m x n dan matriks B berordo n
sebaliknya )
x p, maka hasil perkalian matriks A.B berordo m x p
3. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Am x n . Bn x p = Cm x p
Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan jika :
Ordo matirks – matriksnya sama
Cara me ju lah atau
e gu a gka adalah “ dengan
7. Persamaan Matriks :
-1
( i ). AX = B, maka X = A . B ( jika A di kirinya X, maka
menjumlah atau mengurangkan elemen-elemen yang
-1
munculnya A dikirinya B )
seletak “
-1
( ii ). XA = B, maka X = B. A ( jika A dikananya X, maka
4. Determinan Matriks ordo 2 x 2 :
-1
Misalkan diketahui matriks A a
c
munculnya A dikanannya B
b , determinan
d
)
matrik A ditulis dengan :
Contoh Soal :
a b
a.d b.c
det ( A ) = A
c d
1. Diketahui
disebut matriks singular dan akibatnya matriks
Dan jika dete
i a ya ≠ , maka disebut matriks
nonsingular, dan matirks tersebut memiliki invers
http://matematrick.blogspot.com
2
1
x y
2 2
Nilai x – y = ....
tersebut tidak memiliki invers matriks.
matriks
x
.
2
8
6
Apabila sebuah matriks nilai determinannya = 0, maka
perkaliann
a. -4
d. 6
b. 0
e. 8
c. 4
matriks.
Jika C = A . B, maka det ( C ) = det ( A ) . det ( B )
Jika C = kA, maka det ( C ) = k . det ( A ), dg k
2
Penyelesaian :
2
1
konstanta
5. Misalkan matriks A = a
c
b , da det A ≠ , i ve s
d
matriks A dirumuskan dengan :
d b
1 d b
1
=
A 1
a.d b.c c a det( A) c a
Elemen a dan d di tukar, elemen
b dan c berubah tanda
x
2
y
2
0 = 8
1 6
2 y 2x 0 x
=
y
4
0
2
berarti : -y +4 = 6
-y = 6 – 4
-y = 2
8
6
x
2
x
2
dan 2y + 2x = 8
y+x =4
-2 + x = 4
x=6
y = -2
Maka nilai x – y = 6 – (-2) = 8 ( jawaban E )
0
1
=
2. Diketahui matriks A =
2
0
1
dan B =
3
1 2
. Jika
1 0
a.
12
a b
3
b.
11
adalah ....
c.
2
a. 1
d. 4
d.
2
b. 2
e. 5
e.
12
c. 3
matriks C = AB, maka determinan C = ....
a 2b 1
3b 6
2
0
Jelas C = A. B =
1 1
3 1
2
=
0
2 1 4 1 4
=
3
0
3 0
adalah ….
a.
5
Maka det (C) = 1.0 – (-4).(-3) = 0 – 12 = -12 ( jawaban A )
b.
3
Cara lain : C = A.B, maka det(C )= det(A ).det(B )
c.
-2
det ( C )
= ( 2.3 – 1.0) . ( 0 - (-2).(-1) )
d.
-3
det ( C )
= 6 . ( -2 )
e.
-5
det ( C )
= -12
3. Invers matriks A =
a.
2
1
3
2
1
b.
2
1
3
2
1
c.
2
1
3
2
1
d.
2
1
3
2
1
e.
3
1
2
2
1
2
2
3
adalah A–1 = ....
4
maka nilai p + = ….
a. -3
d. 2
b. -1
e. 3
Nilai a dan b berturut – tu ut adalah ….
a.
3
dan 17 1
2
2
b. -
3
dan 17 1
2
2
c.
1 4 3 2 32
jadi jawabannya A.
=
2 2 2 1 1
Paket Soal 15 :
Kelompok Kesamaan Matriks : 1 - 9
2. Untuk persamaan
x 3 y 3 x 6 11 10
, harga x + y
2
x 7 8
3 y 1
adalah ….
a. -2
d. 6
b. 2
e. 7
c. 4
1
1 4 4 5 1 2 2 p
,
2 3 3 2 4 3 1 q 1
5a b = 7 10 .
6. Diketahui kesamaan matriks 7
2a 1
14 4 14
Jelas det A = -8 – ( -6 ) = -8 + 6 = -2
-1
5. Diketahui
c. 1
Penyelesaian :
Maka A =
4 2b
2 5 a 6
b 13 3a 4
4
4. Nilai a yang memenuhi persamaan
Penyelesaian :
http://matematrick.blogspot.com
3. Nilai 2a – b dari persamaan matriks
3
dan - 17 1
2
2
d. -
3
dan -17 1
2
2
e. - 17 1 dan - 3
2
2
4
7. Diketahui
8
6 a b
2 a 1
Nilai a+b+c = ....
a. 11
d. 14
b. 12
e. 16
c. 13
6 16 0
.
c 10 1
4 3
2x 1
2
x y 2
9
8. Diketahui
1
x
1 2
.
5 3
a. 48
d. - 34
b. 24
e. - 52
c. -8
Nilai y – x = …. UN
a. -5
14. Determinan
5x 2x
b. -1
x
c. 7
adalah ….
d. 9
a.
-2 dan 3
e. 11
b.
-2 dan -3
c.
2 dan 3
d.
-1 dan 6
e.
1 dan 6
4 2 , B =
x 1
9. Diketahui matriks A =
x 1 , dan
y
3
C= 10 7 . Jika 3A – B = C, maka nilai x + y = ….
9 2
2
= 12. Nilai
x yang memenuhi
15. Diketahui matriks P = 2 0 dan Q =
1 1
( UN 2011 )
a. – 3
d. 1
Jika R = 3P – Q,
b. – 2
e. 3
a. – 4
d. 7
b. 1
e. 14
c. – 1
aka dete
3 2 .
1 4
i a R = …. ( UN 2010 )
c. 4
Kelompok Determinan : 10 - 16
10. Diketahui A =
2 5
dan B =
1 3
5 4
Nilai determinan
1 1
da i AB adalah ….
16. Diketahui matriks A =
3 2
, B =
4 1
4 10
. Nilai determinan dari matriks (AB – C)
9 12
C=
a. 5
adalah …. UN
b. 4
a. – 7
d. 3
c. 3
b. – 5
e. 12
d. 2
3
4
, dan
2 1
c. 2
e. 1
11. Jika A =
2 3
maka determinan dari AT adalah ....
4 5
Kelompok Invers Matriks dan Bentuk AX = B, XA = B :
( 17 – 27 )
a. -22
http://matematrick.blogspot.com
b. -7
17. Diketahui empat matriks :
c. -2
(i)
d. 2
6 3
( ii )
4 2
e. 12
T
( iv )
( petunjuk : pakai saja konsep det A = det A )
12. Diketahui matriks A = 2
1
3 dan matriks B =
4
1
2
4 .
5
Mat iks ya g tidak
a.
( i ) dan ( iv )
adalah ....
b.
( ii ) dan ( iv )
a. –57
d. 48
c.
( ii ) dan ( iii )
b. –38
e. 57
d.
( iii )
e.
( iv )
c. 38
3 2
dan B=
1 2
13. Diketahui A=
adalah ….
1 4 . Determinan ABt
3 1
6 3
4 2
6 3
4
2
Jika matriks C = 2A – B maka determinan dari matriks C
t
3
6
( iii )
4 2
e iliki i ve s adalah ….
18. Diketahui empat matriks :
(i)
6 3
( ii )
4 2
iv )
6 3
4 2
Mat iks ya g
3
6
4 2
( iii )
6 3
4 2
(
e iliki i ve s adalah ….
a.
( i ) dan ( iv )
b.
( ii ) dan ( iv )
c.
( ii ) dan ( iii )
d.
( iii )
e.
( iv )
2 5
dan B =
1 3
5 4
, maka ( AB )-1 adalah ....
1 1
13
a. 7
8 15
d. 7 13
8 15
13
b. 7
8 15
e.
7 13
15
8
c. 7 13
8 15
3 4
dan B =
1 2
19. Diberikan matriks A =
15 22 . Matriks X
7 10
3 2 2 1
=
, maka matriks X = ....
0 1 0 1
23. Jika X
3 1
a.
0
2
2
d. 3
0
13
1
a.
1 2
3 4
2 1
b.
0
3
2
e. 3
0
1
b.
1 2
4 3
c.
c.
3 4
1 2
berordo 2 x 2 yang me e uhi pe sa aa AX = B adalah ….
2 3 dan B =
2 1
24. Diketahui matriks A =
(UN 2010)
4 3
20. Diberikan matriks A =
dan B =
1 2
berordo 2 x 2 ya g
6 7 . Matriks X
19 18
a.
3 9
6 6
d. 5 6
4 5
b.
3 9
6 6
e. 5
c.
5 6
4 5
e e uhi pe sa aa XA = B adalah ….
1 2
a.
3 4
4 3
d.
2 1
1 2
b.
4 3
1 3
e.
2 4
3 4
1 2
c.
21. Jika A =
1 3 . Jika
2 2
matriks C = A – 3B, maka invers matriks C adalah ….
1 3
2 4
e.
1
3
2 2
3
0
4 3
2 1
d.
http://matematrick.blogspot.com
22. Jika A =
5 4
2 5
dan B =
, maka ( BA )-1 adalah ....
1
1
1
3
a.
7 13
8 15
d.
7 13
8 15
b.
7 13
8 15
e.
7 13
8 15
c.
7 13
8 15
4
25. Diketahui matriks A = 1 2 , dan B =
3 4
6
5
4 3 . Matriks X
2 1
yang memenuhi AX = B adalah …. ( UN 2010/ 2011 )
a.
12 10
10 8
d. 5 6
4 5
b.
4 2
3 1
e. 6 5
5
4
c.
6 5
5
4