MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE MANOVA
MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE
(MANOVA)
MAKALAH
Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah
Multivariat
yang dibimbing oleh Ibu Trianingsih Eni Lestari
oleh
Sherly Dwi Kharisma
100312400839
Silvia Indrayani
100312400844
Vivin Octiana
110312406323
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
Oktober 2013
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu cabang ilmu statistika adalah Analisis Statistik Multivariat.
Ada beberapa metode analisis data statistik yang dapat dipelajari dalam
cabang ilmu tersebut, salah satu metode yang cukup banyak diterapkan dalam
berbagai bidang adalah MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance.
MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance merupakan pengembangan
dari ANOVA, yaitu sebagai metode statistik untuk menganalisis hubungan
antara beberapa variabel bebas dan beberapa variabel terikat. Karakteristik
pada MANOVA yaitu variabel bebas bisa lebih dari satu atau satu, namun
variabel terikat harus lebih dari satu. Pada Analisis Variansi Multivariat
(MANOVA) analisis yang dilakukan harus memenuhi asumsi sebagai berikut:
asumsi data berdistribusi normal multivariate, homogenitas matrik varians
kovarians, serta adanya korelasi antar variabel yang digunakan.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana hasil uji normal multivariat pada data nilai kognitif dan nilai
afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
2. Bagaimana hasil uji kesamaan matriks kovarian pada data nilai kognitif
dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
3. Bagaimana hasil uji manova pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa
dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
1.3 Tujuan
1. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji multivariat normal pada data nilai
kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa.
2. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji kesamaan matriks kovarians pada
data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ
siswa.
3. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji manova pada data nilai kognitif dan
nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Analisis Multivariat
Analisis statistika multivariate adalah analisis statistika yang
dikenakan pada data yang terdiri dari banyak variabel dan antar variabel yang
saling berkorelasi. Beberapa metode yang termasuk ke dalam golongan
analisis ini adalah : Analisis Faktor, Analisis Cluster, Analisis Diskriminan,
Analisis Komponen Utama, Korespondensi, dan MANOVA.
2.2 Pengertian MANOVA (Multivariate Analysis of Variance)
MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance merupakan
pengembangan dari ANOVA, yaitu sebagai metode statistik suatu teknik
statistik yang digunakan untuk menghitung pengujian signifikansi perbedaan
rata-rata secara bersamaan antara kelompok untuk dua atau lebih variable
terikat. Karakteristik pada MANOVA yaitu variabel bebas bisa lebih dari satu
atau satu, namun variabel terikat harus lebih dari satu. Skala pengukuran
variabel bebas berjenis kategorikal artinya data bisa berupa data nominal atau
ordinal, sedangkan pada variabel terikat merupakan variabel kontinu artinya
data bisa berupa interval atau rasio .
Asumsi yang harus di penuhi dalam MANOVA yaitu:
1. Distribusi datanya harus normal multivariat.
2. Matriks varian kovarian antar levelnya harus sama.
3. Setiap pengamatan manova diasumsikan bersifat independen.
4. Manova mengasumsikan bahwa variabel bebas adalah kategorik dan
variabel terikat variabel kontinu dan juga bersifat homogenitas.
Pada Analisis Varians Multivariat ada statistik uji yang dapat
digunakan yaitu sebagai berikut:
1. Uji hasil bagi kemungkinan, dengan statistik uji (lambda) dari Wilks atau
statistik uji U,
dimana (JKK) = matriks varians kovarians kekeliruan
dan (JKPr) = matriks varians kovarians perlakuan
2. Uji telusur dari lawley Hotelling dengan statistik LH tr (JKK)-1 (JKPr) ,
dimana (JKK)-1 adalah invers dari matriks varians kovarians kekeliruan,
sedang (JKPr) adalah matrik varians kovarians perlakuan yang
bersangkutan.
3. Uji akar maksimum dari Roy, dengan statistik uji R = akar karakteristik
maksimum dari (JKK)-1 (JKPr)
dimana
4. Uji pillai dengan statistik uji
adalah
akar-akar karakteristik dari (JKK)-1 (JKPr).
Dalam hal ini diberikan statistik yang menggunakan statistik U. Ada
beberapa sifat pada statistik U yang digunakan untuk menganalisis yaitu,
1. Distribusi U dengan derajat kebebasan (p;m;n) sama dengan distribusi U
yang berderajat kebebasan (m;p;n+m-p)
2. Untuk p = 2 nilai Up;m;n dapat ditransformasikan ke nilai F dengan rumus
dimana U2;m;n menyatakan nilai variabel acak
yang berdistristribusi U dengan derajat kebebasan (2;m;n), sedangkan
F2m;2(n-1) menyatakan nilai variabel acak yang berdistribusi F dengan
derajat kebebasan [2m;(2n-2)].
3.
4.
5.
Kegunaan dan Kelebihan MANOVA
MANOVA digunakan untuk mengetahui apakah vektor rata-rata
populasi sama, dan jika tidak sama, komponen rata-rata mana yang berbeda
secara nyata. Karena kemampuannya untuk menganalisis beberapa
pengukuran variabel terikat secara simultan, MANOVA memiliki kelebihan:
•
Menyediakan kontrol tingkat kesalahan eksperimen ketika terjadi beberapa
derajat inter-korelasi diantara variabel terikat.
•
Menyediakan statistik yang lebih kuat dari ANOVA ketika variabel
terikatnyaberjumlah 5 atau kurang.
2.3 Distribusi Normal Multivariat
Variabel acak X dikatakan berdistribusi normal dengan rerata dan
varians 2, dimana jika fungsi kerapatan probabilitas dari X tertentu
dengan rumus :
merupakan kurva atau garis lengkung, atau biasanya
grafik dari
dikatakan bentuk lonceng (irisan bentuk lonceng).
Pada situasi multivariat, yang terlibat adalah sekelompok variabel
dikatakan berdistribusi normal p-variat dengan vektor rerata
dan matriks varians-kovarians atau matriks dipersi ,
jika fungsi kerapan probabilitas bersama dari p variabel tertentu oleh rumus:
dimana
Jika
( X )'
1
X i , X 2 ,..., X
(X )
berdistribusi normal multivariat maka
p
berditribusi
2
p
. Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan
distribusi multinormal dapat dilakukan dengan cara membuat q-q plot dari
nilai d i2
X
i
X )' S
1
(X
i
X , i 1 ,..., n
.
Tahapan dari pembuatan q-q plot ini adalah sebagai berikut (Johnson,
1990):
1. Menentukan nilai vektor rata-rata :
X
2. Menentukan nilai matriks varians-kovarians : S
3. Menentukan nilai jarak setiap titik tergeneralisasi pengamatan dengan
vektor rata-ratanya
di X
2
2
4. Mengurutkan nilai
di
5. Menentukan nilai
pi
i
X )' S
1
(X
X , i 1 ,..., n
i
dari kecil ke besar :
i 1/ 2
d (1 ) d ( 2 ) d ( 3 ) ... d ( n )
2
2
2
2
, i 1 ,..., n
n
qi
6. Menentukan nilai
qi
sedemikian hingga
f ( )d
2
2
pi
7. Membuat scatter-plot
2
d (i)
dengan
qi
8. Jika scatter-plot ini cenderung membentuk garis lurus dan lebih dari 50 %
nilai
di
2
2
p , 0 . 50
dimana :
-
Xi = objek pengamatan ke i
-
n = banyak pengamatan
-
S-1 = invers matrik varians kovarians yang berukuran p x p
-
p = banyak variabel
Selain dengan memeriksa nilai jarak Mahalanobis setiap pengamatan
dengan vektor rata-ratanya. Menurut Mardia (1974) di dalam Rencher (1995)
pemeriksaan kemultinormalan data dapat juga dikaji melalui nilai multivariate
skewnewss ( b 1 , p ) dan kurtosisnya ( b 2 , p )
b2, p
1
n
b1, p
1
n
2
n
n
i 1
3
g ij
dan
j 1
n
2
g ii
sedangkan
g ij ( X i X )' S
1
(X
j
X ) Jika
i 1
X i , X 2 ,..., X
-
z1
-
z2
p
dikatakan berditribusi normal multivariat maka :
( p 1 )( n 1 )( n 3 )
6 ( n 1 )( p 1 ) 6
b2, p p ( p 2)
8 p( p 2) / n
b1, p
berditribusi p2 ( p 1 )( p 2 ) / 6 dan
berdistribusi normal baku.
2.4 Uji Homogenitas Matrik
Beberapa analisis statistika multivariate seperti discriminant analysis
dan MANOVA membutuhkan syarat matriks varians-kovarians yang homogen.
Untuk menguji syarat ini dapat dipergunakan statistik uji Box-M. Hipoteris
dan statistik uji Box-M adalah (Rencher, 1995) :
Hipotesis
-
Ho :
1
-
H1 :
2
i
Statistik uji :
...
j
untuk
hitung
k
dan S
pool
viS i
i 1
k
vi
i 1
2
k
i j
1
2 (1 c 1 )
2
k
1
c1
i 1 v i
k
i 1
v i ln S i
1
2
k
ln S
pool
ii 1
vi
2
1
2p 3p 1
vi ni 1
k
6 ( p 1 )( k 1 )
vi
i 1
Terima
hipotesis nol yang berarti matriks varians-kovarians bersifat homogen jika
hitung
2
2
1
( k 1) p ( p 1
2
Adapun langkah-langkah uji homogenitas varians-kovarians menggunakan
program SPSS 16 adalah sebagai berikut:
a. Buka aplikasi SPSS .
b. Dari worksheet, entry data dilakukan melalui Variable View dan Data
View.
c. Dari menu utama SPSS dipilih menu Analyze, kemudian submenu General
Linear Model dipilih Multivariate.
d. Setelah tampak dilayar tampilan window Multivariat, kemudian
melakukan entry variabel-variabel yang sesuai pada kotak Dependent
Variables dan Fixed Factor(s).
e. Selanjutnya Option dipilih Homogenitas test dan Continue, terakhir OK.
2.5 Uji Korelasi Antar Variabel
Variabel
dikaatakan bersifat saling bebas (independent)
jika matriks korelasi antar variabel membentuk matriks identitas. Korelasi
antar variabel dilakukan dengan menggunakan uji Bartlett Sphercity pada
program SPSS. Hipotesis yang digunakan pada uji tersebut adalah sebagai
berikut:
Statistik uji yang digunakan yaitu:
Berikut adalah flowchart dari langkah-langkah pengerjaan analisis data:
Data Uji Variabel Y dengan Variabel X
Uji
Independensi
ANOVA
Pemeriksaan
Asumsi
Normal
Multivariat
Kesamaan Matriks
Varian Kovarian
Tidak Memenuhi
Pemeriksaan Asumsi
Memenuhi Pemeriksaan
Asumsi
Manova
PEMBAHASAN DAN ANALISA
3.1 Pembahasan
Masalah yang akan dibahas yaitu kemampuan siswa dalam menguasai
mata pelajaran matematika dilihat dari nilai kognitif, afektif dan tingkat
kecerdasan IQ. Data terdiri dari dua variabel terikat Y1 (nilai kognitif) dan Y2
(nilai afektif) dan variabel bebas X (tingkat kecerdasan IQ).
Berikut data yang akan digunakan dalam analisis MANOVA yang
terdiri dari data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan
IQ siswa.
Variabel bebas:X= tingkat kecerdasan IQ siswa
level 1 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ, x ≤ 100
level 2 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ ,100 < x ≤ 125
level 3 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ ,125 < x ≤ 150
level 4 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ , x >150
Variabel terikat:
Y1:Nilai Kognitif siswa
Y2: Nilai Afektif siswa
Tabel 1: Data nilai kognitif siswa, nilai afektif siswa, dan tingkat kecerdasan IQ
No.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Y1
78
81
79
84
80
78
77
77
80
80
80
76
87
83
84
81
Y2
75
78
76
81
77
75
74
74
77
77
77
73
84
80
81
78
X
1
3
1
2
2
2
1
1
3
4
4
1
4
1
2
2
No
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Y1
75
87
78
84
87
87
77
83
83
84
78
80
80
80
75
83
Y2
72
84
75
81
84
84
74
80
78
80
78
80
78
79
78
79
X
3
3
4
4
4
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
80
78
86
79
85
78
62
77
76
76
83
74
75
83
77
75
83
76
82
75
59
74
73
73
80
71
72
80
2
2
3
1
4
4
1
2
1
1
2
2
2
3
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
81
84
77
82
79
8
78
83
75
82
85
78
68
80
78
79
80
80
78
79
77
80
72
79
79
76
74
78
2
3
2
4
2
2
2
3
1
2
3
1
1
2
Sebelum melakukan analisis MANOVA, terlebih dahulu ada asumsiasumsi yang harus dipenuhi terlebih dahulu yaitu data berdistribusi normal
multivariate normal dan dan varians data adalah homogen. Berikut
pemeriksaan asumsi-asumsi MANOVA.
a. Pengujian Distribusi Multivariat Normal
Variabel yang diuji hanyalah variabel terikat Y1 (nilai kognitif) dan Y2
(nilai afektif). Berikut pengujian multivariate normal dengan
menggunakan macro minitab:
Berikut scatterplot dari q vs dj
Dilihat dari tabel
sehingga
diperoleh 77.9305 dan
. Dan karena plot
membentuk garis lurus sehingga
dapat disimpulkan data ini berdistribusi normal multivariat.
b. Homogenitas Matrik Varian Covarian
Hipotesis:
H
0
: Matrik
H1 :
bernilai 0.858
varians covarians adalah homogen
Matrik varians covarians tidak homogen
Hipotesis
H
0
= Kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif)
mempunyai matrik varian-kovarian yang sama variabel X (tingkat
kecerdasan IQ).
H 1 : Kedua
variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif) mempunyai
matrik varian-kovarian yang berbeda variabel X (tingkat
kecerdasan IQ).
Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka
H
0
diterima
Jika angka sig. < 0,05, maka
H
0
ditolak
Output
Dari table terlihat nilai Box’M=12,186 dengan nilai signifikasi
0,254. Karena nilai signifikan lebih besar dari 0,05, maka
H
0
diterima.
Artinya matrik varians-kovarians pada variabel Y ( nilai kognitif dan
nilai afektif) adalah sama untuk X (tingkatan kecerdasan IQ). Dengan
demikian keputusan gagal menolak
H
0
dan matrik varians-kovarians
pada data sudah homogen.
c. Uji homogenitas varian
Dengan taraf signifikansi 0,05 dari tabel di atas terlihat angka
signifikansi uji Levene diatas menunjukan bahwa untuk kedua variabel Y,
yaitu :
Y1 nilai F=0.722 dengan signifikansi 0,543 > 0,05.
Y2 nilai F=0.693 dengan signifikansi 0,560 > 0,05.
Maka
H
0
diterima. Hal ini berarti matrik varians-kovarians pada variabel
Y1 dan Y2 secara individu adalah sama untuk setiap variabel X. Sehingga
bisa dilanjutkan dengan analisis MANOVA.
d. Tabel Manova
Tabel Multivariate Test dibawah ini menjelaskan pengujian perbandingan
rata-rata komponen kognitif dan komponen afektif secara bersamaan
dengan komponen IQ. Terdapat uji statistic, yaitu Pillai’s Trace, Wilk’s
Lamda, Hotelling Trace, dan Roy’s Largers.
Hipotesis
H
0
= variabel X (tingkat kecerdasan IQ) tidak menunjukkan
perbedaan pada kedua variabel Y (nilai kognitif dan nilai afektif).
H1 :
variabel X (tingkat kecerdasan IQ) menunjukkan perbedaan
pada kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif).
Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka
H
0
diterima
Jika angka sig. < 0,05, maka
H
0
ditolak
Perhatikan pada baris X pada angka signifikansi yang diuji dengan
prosedur Pillai, Wilk’s Lambda, Hotelling dan Roy’s. Ketiga procedure
yang pertama menunjukan angka signifikansi diatas 0.05 yaitu 0.037,
0.031, 0.026 dan 0,004. Maka bisa dikatakan Ho ditolak. Karena Ho
ditolak maka secara bersama-sama nilai kognitif dan afektif menunjukkan
perbedaan pada tingkat kecerdasan IQ.
e. Pengujian Model Secara Univariat
Hipotesis
Hipotesis untuk variabel Y dan X secara individu
Untuk faktor X dan Y1 (nilai kognitif)
H
0
= Rata-rata variabel Y (nilai kognitif) tidak menunjukkan
perbedaan pada variabel X (Komponen IQ).
H1=
Rata-rata variabel Y (nilai kognitif) menunjukkan
perbedaan pada variabel X (Komponen IQ).
Untuk faktor X dan Y2 (nilai afektif)
H
0
= Rata-rata variabel Y (nilai afektif) tidak menunjukkan
perbedaan pada variabel X (tingkat kecerdasan IQ).
H1=
Rata-rata variabel Y (nilai afektif) menunjukkan
perbedaan pada variabel X tingkat kecerdasan IQ).
Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka
H
0
diterima
Jika angka sig. < 0,05, maka
H
0
ditolak
Output
Untuk faktor X dan Y1 (nilai kognitif)
Perhatikan baris faktor X dan sub Y1, dimana angka signifikansi
adalah 0,006. Karena lebih besar dari 0,005, maka
H
0
diterima,
atau rata-rata Y2 memang berbeda secara nyata pada X.
Untuk faktor X dan Y2 (Komponen Afektif)
Perhatikan baris faktor X dan sub Y2, dimana angka signifikansi
adalah 0,004. Karena kurang dari 0,005, maka
H
0
ditolak, atau
rata-rata Y1 sama dengan X. Ini terjadi karena kemungkinan ada
siswa yang memiliki IQ, memiliki nilai kognitif lebih tinggi, atau
ada kemungkinan lain.
BAB IV
KESIMPULAN
Hasil pembahasan dan analisa yang dilakukan menunjukan bahwa data yang
digunakan dalam pembahasan ini berdistribusi normal multivariate. Pada
pengolahan data dengan menggunakan program paket SPSS didapat kesimpulan
bahwa varian-covarians masing-masing variabel yang digunakan dalam
pembahasan adalah homogen. Pengujian MANOVA dapat dilakukan karena
asumsi-asumsi awal dapat dipenuhi oleh data yang digunakan. Pengujian
MANOVA memberikan kesimpulan bahwa tingkat kecerdasan IQ menunjukkan
perbedaan terhadap nilai kognitif dan afektif siswa.
(MANOVA)
MAKALAH
Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah
Multivariat
yang dibimbing oleh Ibu Trianingsih Eni Lestari
oleh
Sherly Dwi Kharisma
100312400839
Silvia Indrayani
100312400844
Vivin Octiana
110312406323
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
Oktober 2013
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu cabang ilmu statistika adalah Analisis Statistik Multivariat.
Ada beberapa metode analisis data statistik yang dapat dipelajari dalam
cabang ilmu tersebut, salah satu metode yang cukup banyak diterapkan dalam
berbagai bidang adalah MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance.
MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance merupakan pengembangan
dari ANOVA, yaitu sebagai metode statistik untuk menganalisis hubungan
antara beberapa variabel bebas dan beberapa variabel terikat. Karakteristik
pada MANOVA yaitu variabel bebas bisa lebih dari satu atau satu, namun
variabel terikat harus lebih dari satu. Pada Analisis Variansi Multivariat
(MANOVA) analisis yang dilakukan harus memenuhi asumsi sebagai berikut:
asumsi data berdistribusi normal multivariate, homogenitas matrik varians
kovarians, serta adanya korelasi antar variabel yang digunakan.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana hasil uji normal multivariat pada data nilai kognitif dan nilai
afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
2. Bagaimana hasil uji kesamaan matriks kovarian pada data nilai kognitif
dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
3. Bagaimana hasil uji manova pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa
dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
1.3 Tujuan
1. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji multivariat normal pada data nilai
kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa.
2. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji kesamaan matriks kovarians pada
data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ
siswa.
3. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji manova pada data nilai kognitif dan
nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Analisis Multivariat
Analisis statistika multivariate adalah analisis statistika yang
dikenakan pada data yang terdiri dari banyak variabel dan antar variabel yang
saling berkorelasi. Beberapa metode yang termasuk ke dalam golongan
analisis ini adalah : Analisis Faktor, Analisis Cluster, Analisis Diskriminan,
Analisis Komponen Utama, Korespondensi, dan MANOVA.
2.2 Pengertian MANOVA (Multivariate Analysis of Variance)
MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance merupakan
pengembangan dari ANOVA, yaitu sebagai metode statistik suatu teknik
statistik yang digunakan untuk menghitung pengujian signifikansi perbedaan
rata-rata secara bersamaan antara kelompok untuk dua atau lebih variable
terikat. Karakteristik pada MANOVA yaitu variabel bebas bisa lebih dari satu
atau satu, namun variabel terikat harus lebih dari satu. Skala pengukuran
variabel bebas berjenis kategorikal artinya data bisa berupa data nominal atau
ordinal, sedangkan pada variabel terikat merupakan variabel kontinu artinya
data bisa berupa interval atau rasio .
Asumsi yang harus di penuhi dalam MANOVA yaitu:
1. Distribusi datanya harus normal multivariat.
2. Matriks varian kovarian antar levelnya harus sama.
3. Setiap pengamatan manova diasumsikan bersifat independen.
4. Manova mengasumsikan bahwa variabel bebas adalah kategorik dan
variabel terikat variabel kontinu dan juga bersifat homogenitas.
Pada Analisis Varians Multivariat ada statistik uji yang dapat
digunakan yaitu sebagai berikut:
1. Uji hasil bagi kemungkinan, dengan statistik uji (lambda) dari Wilks atau
statistik uji U,
dimana (JKK) = matriks varians kovarians kekeliruan
dan (JKPr) = matriks varians kovarians perlakuan
2. Uji telusur dari lawley Hotelling dengan statistik LH tr (JKK)-1 (JKPr) ,
dimana (JKK)-1 adalah invers dari matriks varians kovarians kekeliruan,
sedang (JKPr) adalah matrik varians kovarians perlakuan yang
bersangkutan.
3. Uji akar maksimum dari Roy, dengan statistik uji R = akar karakteristik
maksimum dari (JKK)-1 (JKPr)
dimana
4. Uji pillai dengan statistik uji
adalah
akar-akar karakteristik dari (JKK)-1 (JKPr).
Dalam hal ini diberikan statistik yang menggunakan statistik U. Ada
beberapa sifat pada statistik U yang digunakan untuk menganalisis yaitu,
1. Distribusi U dengan derajat kebebasan (p;m;n) sama dengan distribusi U
yang berderajat kebebasan (m;p;n+m-p)
2. Untuk p = 2 nilai Up;m;n dapat ditransformasikan ke nilai F dengan rumus
dimana U2;m;n menyatakan nilai variabel acak
yang berdistristribusi U dengan derajat kebebasan (2;m;n), sedangkan
F2m;2(n-1) menyatakan nilai variabel acak yang berdistribusi F dengan
derajat kebebasan [2m;(2n-2)].
3.
4.
5.
Kegunaan dan Kelebihan MANOVA
MANOVA digunakan untuk mengetahui apakah vektor rata-rata
populasi sama, dan jika tidak sama, komponen rata-rata mana yang berbeda
secara nyata. Karena kemampuannya untuk menganalisis beberapa
pengukuran variabel terikat secara simultan, MANOVA memiliki kelebihan:
•
Menyediakan kontrol tingkat kesalahan eksperimen ketika terjadi beberapa
derajat inter-korelasi diantara variabel terikat.
•
Menyediakan statistik yang lebih kuat dari ANOVA ketika variabel
terikatnyaberjumlah 5 atau kurang.
2.3 Distribusi Normal Multivariat
Variabel acak X dikatakan berdistribusi normal dengan rerata dan
varians 2, dimana jika fungsi kerapatan probabilitas dari X tertentu
dengan rumus :
merupakan kurva atau garis lengkung, atau biasanya
grafik dari
dikatakan bentuk lonceng (irisan bentuk lonceng).
Pada situasi multivariat, yang terlibat adalah sekelompok variabel
dikatakan berdistribusi normal p-variat dengan vektor rerata
dan matriks varians-kovarians atau matriks dipersi ,
jika fungsi kerapan probabilitas bersama dari p variabel tertentu oleh rumus:
dimana
Jika
( X )'
1
X i , X 2 ,..., X
(X )
berdistribusi normal multivariat maka
p
berditribusi
2
p
. Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan
distribusi multinormal dapat dilakukan dengan cara membuat q-q plot dari
nilai d i2
X
i
X )' S
1
(X
i
X , i 1 ,..., n
.
Tahapan dari pembuatan q-q plot ini adalah sebagai berikut (Johnson,
1990):
1. Menentukan nilai vektor rata-rata :
X
2. Menentukan nilai matriks varians-kovarians : S
3. Menentukan nilai jarak setiap titik tergeneralisasi pengamatan dengan
vektor rata-ratanya
di X
2
2
4. Mengurutkan nilai
di
5. Menentukan nilai
pi
i
X )' S
1
(X
X , i 1 ,..., n
i
dari kecil ke besar :
i 1/ 2
d (1 ) d ( 2 ) d ( 3 ) ... d ( n )
2
2
2
2
, i 1 ,..., n
n
qi
6. Menentukan nilai
qi
sedemikian hingga
f ( )d
2
2
pi
7. Membuat scatter-plot
2
d (i)
dengan
qi
8. Jika scatter-plot ini cenderung membentuk garis lurus dan lebih dari 50 %
nilai
di
2
2
p , 0 . 50
dimana :
-
Xi = objek pengamatan ke i
-
n = banyak pengamatan
-
S-1 = invers matrik varians kovarians yang berukuran p x p
-
p = banyak variabel
Selain dengan memeriksa nilai jarak Mahalanobis setiap pengamatan
dengan vektor rata-ratanya. Menurut Mardia (1974) di dalam Rencher (1995)
pemeriksaan kemultinormalan data dapat juga dikaji melalui nilai multivariate
skewnewss ( b 1 , p ) dan kurtosisnya ( b 2 , p )
b2, p
1
n
b1, p
1
n
2
n
n
i 1
3
g ij
dan
j 1
n
2
g ii
sedangkan
g ij ( X i X )' S
1
(X
j
X ) Jika
i 1
X i , X 2 ,..., X
-
z1
-
z2
p
dikatakan berditribusi normal multivariat maka :
( p 1 )( n 1 )( n 3 )
6 ( n 1 )( p 1 ) 6
b2, p p ( p 2)
8 p( p 2) / n
b1, p
berditribusi p2 ( p 1 )( p 2 ) / 6 dan
berdistribusi normal baku.
2.4 Uji Homogenitas Matrik
Beberapa analisis statistika multivariate seperti discriminant analysis
dan MANOVA membutuhkan syarat matriks varians-kovarians yang homogen.
Untuk menguji syarat ini dapat dipergunakan statistik uji Box-M. Hipoteris
dan statistik uji Box-M adalah (Rencher, 1995) :
Hipotesis
-
Ho :
1
-
H1 :
2
i
Statistik uji :
...
j
untuk
hitung
k
dan S
pool
viS i
i 1
k
vi
i 1
2
k
i j
1
2 (1 c 1 )
2
k
1
c1
i 1 v i
k
i 1
v i ln S i
1
2
k
ln S
pool
ii 1
vi
2
1
2p 3p 1
vi ni 1
k
6 ( p 1 )( k 1 )
vi
i 1
Terima
hipotesis nol yang berarti matriks varians-kovarians bersifat homogen jika
hitung
2
2
1
( k 1) p ( p 1
2
Adapun langkah-langkah uji homogenitas varians-kovarians menggunakan
program SPSS 16 adalah sebagai berikut:
a. Buka aplikasi SPSS .
b. Dari worksheet, entry data dilakukan melalui Variable View dan Data
View.
c. Dari menu utama SPSS dipilih menu Analyze, kemudian submenu General
Linear Model dipilih Multivariate.
d. Setelah tampak dilayar tampilan window Multivariat, kemudian
melakukan entry variabel-variabel yang sesuai pada kotak Dependent
Variables dan Fixed Factor(s).
e. Selanjutnya Option dipilih Homogenitas test dan Continue, terakhir OK.
2.5 Uji Korelasi Antar Variabel
Variabel
dikaatakan bersifat saling bebas (independent)
jika matriks korelasi antar variabel membentuk matriks identitas. Korelasi
antar variabel dilakukan dengan menggunakan uji Bartlett Sphercity pada
program SPSS. Hipotesis yang digunakan pada uji tersebut adalah sebagai
berikut:
Statistik uji yang digunakan yaitu:
Berikut adalah flowchart dari langkah-langkah pengerjaan analisis data:
Data Uji Variabel Y dengan Variabel X
Uji
Independensi
ANOVA
Pemeriksaan
Asumsi
Normal
Multivariat
Kesamaan Matriks
Varian Kovarian
Tidak Memenuhi
Pemeriksaan Asumsi
Memenuhi Pemeriksaan
Asumsi
Manova
PEMBAHASAN DAN ANALISA
3.1 Pembahasan
Masalah yang akan dibahas yaitu kemampuan siswa dalam menguasai
mata pelajaran matematika dilihat dari nilai kognitif, afektif dan tingkat
kecerdasan IQ. Data terdiri dari dua variabel terikat Y1 (nilai kognitif) dan Y2
(nilai afektif) dan variabel bebas X (tingkat kecerdasan IQ).
Berikut data yang akan digunakan dalam analisis MANOVA yang
terdiri dari data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan
IQ siswa.
Variabel bebas:X= tingkat kecerdasan IQ siswa
level 1 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ, x ≤ 100
level 2 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ ,100 < x ≤ 125
level 3 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ ,125 < x ≤ 150
level 4 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ , x >150
Variabel terikat:
Y1:Nilai Kognitif siswa
Y2: Nilai Afektif siswa
Tabel 1: Data nilai kognitif siswa, nilai afektif siswa, dan tingkat kecerdasan IQ
No.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Y1
78
81
79
84
80
78
77
77
80
80
80
76
87
83
84
81
Y2
75
78
76
81
77
75
74
74
77
77
77
73
84
80
81
78
X
1
3
1
2
2
2
1
1
3
4
4
1
4
1
2
2
No
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Y1
75
87
78
84
87
87
77
83
83
84
78
80
80
80
75
83
Y2
72
84
75
81
84
84
74
80
78
80
78
80
78
79
78
79
X
3
3
4
4
4
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
80
78
86
79
85
78
62
77
76
76
83
74
75
83
77
75
83
76
82
75
59
74
73
73
80
71
72
80
2
2
3
1
4
4
1
2
1
1
2
2
2
3
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
81
84
77
82
79
8
78
83
75
82
85
78
68
80
78
79
80
80
78
79
77
80
72
79
79
76
74
78
2
3
2
4
2
2
2
3
1
2
3
1
1
2
Sebelum melakukan analisis MANOVA, terlebih dahulu ada asumsiasumsi yang harus dipenuhi terlebih dahulu yaitu data berdistribusi normal
multivariate normal dan dan varians data adalah homogen. Berikut
pemeriksaan asumsi-asumsi MANOVA.
a. Pengujian Distribusi Multivariat Normal
Variabel yang diuji hanyalah variabel terikat Y1 (nilai kognitif) dan Y2
(nilai afektif). Berikut pengujian multivariate normal dengan
menggunakan macro minitab:
Berikut scatterplot dari q vs dj
Dilihat dari tabel
sehingga
diperoleh 77.9305 dan
. Dan karena plot
membentuk garis lurus sehingga
dapat disimpulkan data ini berdistribusi normal multivariat.
b. Homogenitas Matrik Varian Covarian
Hipotesis:
H
0
: Matrik
H1 :
bernilai 0.858
varians covarians adalah homogen
Matrik varians covarians tidak homogen
Hipotesis
H
0
= Kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif)
mempunyai matrik varian-kovarian yang sama variabel X (tingkat
kecerdasan IQ).
H 1 : Kedua
variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif) mempunyai
matrik varian-kovarian yang berbeda variabel X (tingkat
kecerdasan IQ).
Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka
H
0
diterima
Jika angka sig. < 0,05, maka
H
0
ditolak
Output
Dari table terlihat nilai Box’M=12,186 dengan nilai signifikasi
0,254. Karena nilai signifikan lebih besar dari 0,05, maka
H
0
diterima.
Artinya matrik varians-kovarians pada variabel Y ( nilai kognitif dan
nilai afektif) adalah sama untuk X (tingkatan kecerdasan IQ). Dengan
demikian keputusan gagal menolak
H
0
dan matrik varians-kovarians
pada data sudah homogen.
c. Uji homogenitas varian
Dengan taraf signifikansi 0,05 dari tabel di atas terlihat angka
signifikansi uji Levene diatas menunjukan bahwa untuk kedua variabel Y,
yaitu :
Y1 nilai F=0.722 dengan signifikansi 0,543 > 0,05.
Y2 nilai F=0.693 dengan signifikansi 0,560 > 0,05.
Maka
H
0
diterima. Hal ini berarti matrik varians-kovarians pada variabel
Y1 dan Y2 secara individu adalah sama untuk setiap variabel X. Sehingga
bisa dilanjutkan dengan analisis MANOVA.
d. Tabel Manova
Tabel Multivariate Test dibawah ini menjelaskan pengujian perbandingan
rata-rata komponen kognitif dan komponen afektif secara bersamaan
dengan komponen IQ. Terdapat uji statistic, yaitu Pillai’s Trace, Wilk’s
Lamda, Hotelling Trace, dan Roy’s Largers.
Hipotesis
H
0
= variabel X (tingkat kecerdasan IQ) tidak menunjukkan
perbedaan pada kedua variabel Y (nilai kognitif dan nilai afektif).
H1 :
variabel X (tingkat kecerdasan IQ) menunjukkan perbedaan
pada kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif).
Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka
H
0
diterima
Jika angka sig. < 0,05, maka
H
0
ditolak
Perhatikan pada baris X pada angka signifikansi yang diuji dengan
prosedur Pillai, Wilk’s Lambda, Hotelling dan Roy’s. Ketiga procedure
yang pertama menunjukan angka signifikansi diatas 0.05 yaitu 0.037,
0.031, 0.026 dan 0,004. Maka bisa dikatakan Ho ditolak. Karena Ho
ditolak maka secara bersama-sama nilai kognitif dan afektif menunjukkan
perbedaan pada tingkat kecerdasan IQ.
e. Pengujian Model Secara Univariat
Hipotesis
Hipotesis untuk variabel Y dan X secara individu
Untuk faktor X dan Y1 (nilai kognitif)
H
0
= Rata-rata variabel Y (nilai kognitif) tidak menunjukkan
perbedaan pada variabel X (Komponen IQ).
H1=
Rata-rata variabel Y (nilai kognitif) menunjukkan
perbedaan pada variabel X (Komponen IQ).
Untuk faktor X dan Y2 (nilai afektif)
H
0
= Rata-rata variabel Y (nilai afektif) tidak menunjukkan
perbedaan pada variabel X (tingkat kecerdasan IQ).
H1=
Rata-rata variabel Y (nilai afektif) menunjukkan
perbedaan pada variabel X tingkat kecerdasan IQ).
Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka
H
0
diterima
Jika angka sig. < 0,05, maka
H
0
ditolak
Output
Untuk faktor X dan Y1 (nilai kognitif)
Perhatikan baris faktor X dan sub Y1, dimana angka signifikansi
adalah 0,006. Karena lebih besar dari 0,005, maka
H
0
diterima,
atau rata-rata Y2 memang berbeda secara nyata pada X.
Untuk faktor X dan Y2 (Komponen Afektif)
Perhatikan baris faktor X dan sub Y2, dimana angka signifikansi
adalah 0,004. Karena kurang dari 0,005, maka
H
0
ditolak, atau
rata-rata Y1 sama dengan X. Ini terjadi karena kemungkinan ada
siswa yang memiliki IQ, memiliki nilai kognitif lebih tinggi, atau
ada kemungkinan lain.
BAB IV
KESIMPULAN
Hasil pembahasan dan analisa yang dilakukan menunjukan bahwa data yang
digunakan dalam pembahasan ini berdistribusi normal multivariate. Pada
pengolahan data dengan menggunakan program paket SPSS didapat kesimpulan
bahwa varian-covarians masing-masing variabel yang digunakan dalam
pembahasan adalah homogen. Pengujian MANOVA dapat dilakukan karena
asumsi-asumsi awal dapat dipenuhi oleh data yang digunakan. Pengujian
MANOVA memberikan kesimpulan bahwa tingkat kecerdasan IQ menunjukkan
perbedaan terhadap nilai kognitif dan afektif siswa.