Determining Optimum Strata Boundary Points on Stratified Random Sampling using Dynamic Programming (Case: Expenditure per Capita of East Java Province Year 2008)
PENENTUAN TITIK-TITIK BATAS OPTIMUM STRATA
PADA PENARIKAN CONTOH ACAK BERLAPIS
DENGAN PEMROGRAMAN DINAMIK
(Kasus : Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008)
MAHYUDI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penentuan Titik-titik Batas
Optimum Strata pada Penarikan Contoh Acak Berlapis dengan Pemrograman
Dinamik (Kasus: Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008)
adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir tesis ini.
Bogor, September 2011
Mahyudi
NIM G151080021
ABSTRACT
MAHYUDI. Determining Optimum Strata Boundary Points on Stratified Random
Sampling using Dynamic Programming (Case: Expenditure per Capita of East
Java Province Year 2008). Under direction of BUDI SUSETYO and UTAMI
DYAH SYAFITRI.
Optimum stratification is the method of choosing the best boundaries that make
strata internally homogeneous, given some sample allocation. In order to make the
strata internally homogenous, the strata should be constructed in such a way that
the strata variances for the characteristic under study be as small as possible. This
could be achieved effectively by having the distribution of the main study variable
known and create strata by cutting the range of the distribution at suitable points.
The problem of finding Optimum Strata Boundaries (OSB) is considered as the
problem of determining Optimum Strata Widths (OSW). The problem is
formulated as a Mathematical Programming Problem (MPP), which minimizes the
variance of the estimated population parameter under Neyman allocation subject
to the restriction that sum of the widths of all the strata is equal to the total range
of the distribution. The distributions of the study variable are considered as
continuous with standard normal density functions. The formulated MPPs, which
turn out to be multistage decision problems, can then be solved using dynamic
programming technique proposed by Bühler and Deutler (1975). After the
counting process using C++ program received the width of each stratum. From
these results the optimal boundary point can be determined for each stratum. For
the two strata to get the optimal point on the boundary x1 = 0.002. For the
formation of three strata obtained the optimal point on the boundary x1 = -0.546
and x2 = 0.552. For the formation of four strata obtained optimal boundary point is
x1 = -0.869, x2 = 0.003 and x3 = 0.878. In forming five strata obtained optimal
boundary point x1 = -1.096, x2 = -0.331, x3 = 0.339 and x4 = 1.107. The
establishment of a total of six strata obtained the optimal point on the boundary x1
= -1.267, x2 = -0.569, x3 = 0.005, x4 = 0.579 and x5 = 1.281.
Keywords : stratified random sampling, optimum stratification, standard normal
distribution, mathematical programming, dynamic programming.
RINGKASAN
MAHYUDI. Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata pada Penarikan Contoh
Acak Berlapis dengan Pemrograman Dinamik (Kasus: Pengeluaran per Kapita
Propinsi Jawa Timur Tahun 2008). Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan
UTAMI DYAH SYAFITRI.
Penarikan contoh (sampling) dalam survei adalah suatu proses untuk
memilih sebagian elemen dari suatu populasi dengan prosedur tertentu sehingga
dapat digunakan untuk menduga parameter populasi. Untuk mencapai tujuan
tersebut diperlukan metode penarikan contoh yang sesuai, salah satunya adalah
penarikan contoh acak berlapis (stratified random sampling). Pada penarikan
contoh acak berlapis, perlu diperhatikan peubah apa yang digunakan sebagai dasar
pembentukan strata.
Apabila peubah kualitatif digunakan untuk stratifikasi, pada umumnya
pembentukan strata tidak terlalu mengalami masalah, misalnya berdasarkan
tingkat pendidikan, pekerjaan dan jenis kelamin. Sebaliknya jika peubah yang
digunakan untuk stratifikasi adalah peubah kuantitatif maka diperlukan teknik
tertentu untuk menentukan batas antar strata. Masalah penentuan batas optimum
strata ekuivalen dengan masalah menentukan lebar optimum strata yang
diformulasikan sebagai masalah pemrograman matematika. Salah satunya adalah
pendekatan pemrograman dinamik Bühler dan Deutler yaitu dengan
meminimumkan ragam dari parameter populasi yang diduga berdasarkan alokasi
Neyman dengan batasan bahwa jumlah lebar dari semua strata sama dengan total
jarak dari sebaran peubah yang diteliti.
Penelitian ini bertujuan untuk menerapkan pemrograman dinamik yang
merupakan salah satu masalah pengoptimuman dalam pemrograman matematika
untuk menentukan batas optimum strata dalam penarikan contoh acak berlapis.
Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari BPS yaitu data
pengeluaran per kapita penduduk Jawa Timur Tahun 2008 dengan jumlah contoh
sebanyak 8607 kepala rumah tangga.
Teknik pemrograman dinamik dimulai dengan pembentukan fungsi
objektif. Dari fungsi objektif ini diperoleh persamaan rekursif yang
menghubungkan tahapan yang berbeda dalam suatu metode yang menjamin
bahwa tiap tahap solusi layak optimal, juga optimal dan layak untuk semua
masalah. Dari persamaan rekursif ini akan diperoleh lebar dari masing-masing
strata dan titik batas optimum pada tiap strata. Metode ini juga memberikan nilai
optimum fungsi objektif untuk setiap strata L.
Data yang digunakan dalam penelitian ini khusus yang memiliki sebaran
normal baku. Untuk data pengeluaran per kapita propinsi Jawa Timur harus
ditransformasi terlebih dahulu agar memenuhi syarat kenormalan. Nilai-nilai yang
digunakan dalam proses penghitungan adalah nilai-nilai hasil transformasi. Nilai
yang diperlukan adalah nilai awal
, nilai akhir
dan jarak dari sebaran
dengan rumusan
. Kemudian dibentuk fungsi objektif untuk sebaran
normal baku, sehingga diperoleh persamaan rekursif untuk
dan
.
Setelah dilakukan proses penghitungan dengan menggunakan program C++
diperoleh lebar tiap strata. Dari hasil ini dapat ditentukan titik-titik batas optimum
untuk tiap strata. Untuk dua strata diperoleh titik batas optimum pada x1 = 0.002.
Untuk pembentukan tiga strata diperoleh titik batas optimum pada x1 = -0.546 dan
x2 = 0.552. Untuk pembentukan sebanyak empat strata diperoleh titik batas
optimum adalah x1 = -0.869, x2 = 0.003 dan x3 = 0.878. Pada pembentukan
sebanyak lima strata diperoleh titik batas optimum x1 = -1.096, x2 = -0.331, x3 =
0.339 dan x4 = 1.107. Sedangkan
untuk pembentukan sebanyak enam strata
diperoleh titik batas optimum pada x1 = -1.267, x2 = -0.569, x3 = 0.005, x4 = 0.579
dan x5 = 1.281.
Metode pemrograman dinamik ini juga memberikan nilai optimum fungsi
objektif untuk tiap jumlah strata. Hasilnya menunjukkan bahwa semakin banyak
jumlah strata maka nilai optimum fungsi ini akan semakin kecil. Nilai optimum
fungsi objektif untuk jumlah strata 2, 3, 4, 5, dan 6 berturut-turut adalah 0.599,
0.424, 0.328, 0.267 dan 0.225. Untuk melihat karakteristik keragaman dalam tiap
jumlah strata dapat dilakukan uji khi-kuadrat yang dikenal dengan uji Bartlett.
Hasil uji ini memperlihatkan bahwa adanya pebedaan yang nyata antara ragamragam pada setiap jumlah strata L. Artinya bahwa antar strata lebih bervariasi
karakteristiknya (heterogen).
Penentuan strata dengan peubah kuantitatif dapat dilakukan dengan
pendekatan pemrograman dinamik dan dapat menjadi salah satu alternatif
pembentukan strata selain dengan menggunakan peubah kualitatif.
Kata kunci : penarikan contoh acak berlapis, stratifikasi optimum, sebaran
normal baku, masalah pemrograman matematika, teknik
pemrograman dinamik
v
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau meyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
PENENTUAN TITIK-TITIK BATAS OPTIMUM STRATA
PADA PENARIKAN CONTOH ACAK BERLAPIS
DENGAN PEMROGRAMAN DINAMIK
(Kasus : Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008)
MAHYUDI
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc
Judul Tesis
: Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata pada Penarikan
Contoh Acak Berlapis dengan Pemrograman Dinamik
(Kasus: Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun
2008)
Nama
: Mahyudi
NIM
: G151080021
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Budi Susetyo, MS
Utami Dyah Syafitri, S.Si, M.Si
Ketua
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Erfiani, M.Si
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc. Agr
Tanggal Ujian: 24 Agustus 2011
Tanggal Lulus:
ix
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia
dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul
“Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata pada Penarikan contoh Acak
Berlapis dengan Pemrograman Dinamik (Kasus: Pengeluaran per Kapita Propinsi
Jawa Timur Tahun 2008”.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Budi Susetyo, MS
selaku ketua komisi pembimbing dan Ibu Utami Dyah Syafitri, S.Si, M.Si selaku
anggota komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan, masukan dan
saran yang sangat berarti dalam penyusunan tesis ini. Ungkapan terima kasih juga
penulis sampaikan untuk istri tercinta yang tiada henti-hentinya memberikan doa
dan motivasi untuk menyelesaikan tesis ini dan jagoan kecilku yang selalu
menjadi penyemangat. Kedua orang tua dan seluruh keluarga atas segala doa dan
kasih sayangnya. Teman-teman mahasiswa Pascasarjana Statistika yang telah
membantu dan memberi dukungan selama penyusunan tesis ini. Serta semua
pihak yang telah membantu penulis secara fisik, ilmu maupun dukungan moral
dalam penyusunan tesis ini.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tesis ini memiliki banyak
kekurangan. Saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat penulis harapkan
demi perbaikan di masa yang akan datang. Semoga tesis ini dapat bermanfaat.
Bogor, September 2011
Mahyudi
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Atap (Palembang) pada tanggal 20
Desember 1975 dari ayah Agussalim dan ibu Hadisah. Penulis merupakan putra
kelima dari delapan bersaudara.
Pada tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tanjung Batu dan pada
tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Sriwijaya Palembang melalui jalur UMPTN. Penulis memperoleh
gelar Sarjana Sains pada tahun 1998 dan pada tahun 2008 penulis melanjutkan
Program Magister Sains di Program Studi Statistika, Sekolah Pascasarjana,
Institut Pertanian Bogor.
Penulis diterima sebagai dosen Kopertis Wilayah II Palembang dan
dipekerjakan pada jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Bengkulu pada tahun 2005 hingga
sekarang.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ............................................................................................... xiiii
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiv
PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
Latar Belakang .................................................................................................... 1
Tujuan Penelitian ................................................................................................ 2
TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................................... 4
Penarikan Contoh Acak Berlapis ....................... Error! Bookmark not defined.
Prinsip Pemrograman Dinamik .......................... Error! Bookmark not defined.
Penentuan Batas Optimum Strata untuk Peubah Kuantitatif……… .................. 7
Prosedur Solusi Menggunakan Teknik Pemrograman Dinamik ................ Error!
Bookmark not defined.
Pemrograman Matematika Untuk Sebaran Normal………...…………………12
DATA DAN METODE ........................................................................................ 14
Data ................................................................................................................... 14
Metode Penelitian.............................................................................................. 14
HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................. 16
Data Pengeluaran Per Kapita propinsi Jawa Timur Tahun 2008 ...................... 16
Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata ..................................................... 18
Pengujian Kehomogenan Ragam……………………………………………...23
Pembentukan Strata Pengeluaran Per Kapita Jawa Timur Tahun 2008………24
SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................. 27
Simpulan ........................................................................................................... 27
Saran .................................................................................................................. 27
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 28
LAMPIRAN .......................................................................................................... 29
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1 Titik-titik batas optimum strata dari sebaran normal baku .............. Error!
Bookmark not defined.20
Tabel 2 Hasil uji khi-kuadrat untuk setiap jumlah strataError! Bookmark not
defined.23
Tabel 3 Titik-titik batas optimum strata pengeluaran per kapita Jawa Timur ..... 24
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1 Peta administratif Propinsi Jawa Timur ............................................. 16
Gambar 2 Probability Plot pengeluaran per kapita. ............................................ 17
Gambar 3 Probability Plot pengeluaran per kapita setelah ditransformasi .. Error!
Bookmark not defined.
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Program C++ untuk penentuan batas optimum strata .................... 30
Lampiran 2 Program macro SAS untuk uji Bartlett……………………………42
xv
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penarikan contoh (sampling) dalam survei adalah suatu proses untuk
memilih sebagian anggota dari suatu populasi dengan prosedur tertentu sehingga
dapat digunakan untuk menduga parameter populasi secara sah. Untuk mencapai
tujuan tersebut diperlukan metode
penarikan contoh yang sesuai. Salah satu
teknik penarikan contoh adalah penarikan contoh acak berlapis (stratified random
sampling). Pada penarikan contoh acak berlapis, perlu diperhatikan peubah yang
digunakan sebagai dasar pembentukan strata.
Apabila peubah kualitatif digunakan untuk stratifikasi, pada umumnya
pembentukan strata tidak terlalu mengalami masalah,
misalnya berdasarkan
tingkat pendidikan, pekerjaan dan jenis kelamin. Sebaliknya, jika peubah yang
digunakan untuk stratifikasi adalah peubah kuantitatif maka diperlukan teknik
tertentu untuk menentukan batas antar strata sesuai dengan kaidah teknik ini.
Pertimbangan dasar yang diperhatikan dalam penentuan batas-batas
optimum strata adalah bahwa anggota populasi dalam strata harus sehomogen
mungkin dan antar strata seheterogen mungkin, dengan perkataan lain ragam
dalam strata harus sekecil mungkin dibandingkan ragam antar strata. Masalah
yang timbul adalah penentuan titik optimum batas stratifikasi yang akan membagi
populasi menjadi dua atau lebih strata sehingga memenuhi kriteria di atas.
Metode dalam penentuan titik batas optimum strata telah dikemukakan oleh
beberapa peneliti. Lavallée dan Hidiroglou (1988) mengusulkan suatu algoritma
untuk menentukan batas-batas strata suatu alokasi kuasa
untuk contoh yang
distrata dari unit-unit contoh yang tidak tentu. Hidiroglou dan Srinath (1993)
dalam Khan (2008) menyajikan suatu algoritma yang lebih umum, yaitu dengan
memberikan nilai-nilai yang berbeda untuk mengoperasikan parameter-parameter
yang menghasilkan alokasi kuasa, alokasi Neyman, atau gabungan dari alokasialokasi ini.
Sweet dan Sigman (1995) dalam Khan (2008) dan Rivest (2002) meninjau
kembali algoritma Lavallée dan Hidiroglou dan mengusulkan algoritma versi
modifikasi yang menggabungkan hubungan berbeda antara stratifikasi dan
peubah-peubah yang diteliti. Nicolini (2001) mengusulkan suatu metode yang
diberi nama Natural Class Method (NCM), untuk menentang metode Dalenius
dan Hodges yang paling banyak digunakan, tetapi kedua metode tersebut tidak
terbukti lebih efisien dari yang lain.
Lednicki dan Wieczorkowski (2003) dalam Khan (2008) mengajukan
metode stratifikasi menggunakan metode simpleks dari Nelder dan Mead (1965)
dalam Khan (2008). Kemudian Kozak (2004) menyajikan algoritma pencarian
secara acak yang dimodifikasi sebagai metode stratifikasi optimum. Algoritma
Kozak benar-benar lebih cepat dan efisien dibandingkan dengan algoritma Rivest,
dan Lednicki dan Wieczorkowski dilihat dari kemampuan mengendalikan nilai
yang lebih kecil pada fungsi objektif tetapi hal itu tidak dapat menjamin bahwa
algoritma tersebut menunjukkan optimum global.
Mengingat bahwa masalah penentuan batas optimum strata ekuivalen
dengan masalah menentukan lebar optimum strata Khan et al. (2002) dalam Khan
(2008), mengatakan bahwa masalah lebar optimum strata sebagai masalah
pemrograman matematika. Khan et al. (2002) menerapkan prosedurnya untuk
menentukan batas optimum strata terhadap populasi yang memiliki sebaran
uniform dan segitiga siku-siku. Kemudian Khan et al. (2005) memperluas
pendekatan pemrograman dinamik untuk menentukan batas optimum strata
terhadap peubah eksponensial. Khan et al. (2008) juga melakukan pendekatan
pemrograman dinamik terhadap peubah yang memiliki sebaran normal baku.
Salah satu pemrograman matematika yang dapat digunakan dalam
menentukan lebar optimum strata adalah
pendekatan pemrograman dinamik
Bühler dan Deutler (1975). Formulasi masalah pemrograman matematika dengan
meminimumkan ragam dari parameter populasi yang diduga berdasarkan alokasi
Neyman dengan batasan bahwa jumlah lebar dari semua strata sama dengan total
jarak dari sebaran peubah yang diamati.
Tujuan Penelitian
Pada dasarnya penelitian ini bertujuan untuk memberikan suatu alternatif
pada pemerhati dan pengguna statistik teutama dalam penelitian survei. Tujuan
utama yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah untuk menerapkan
2
pemrograman dinamik untuk menentukan titik-titik batas optimum strata dalam
penarikan contoh acak berlapis untuk data peubah respon berupa pengeluaran per
kapita penduduk Jawa Timur tahun 2008.
3
TINJAUAN PUSTAKA
Penarikan Contoh Acak Berlapis
Penarikan contoh acak berlapis adalah suatu rancangan penarikan contoh
acak yang membagi N unit dari populasi ke dalam L strata yang tidak saling
tumpang tindih, sehingga setiap strata memiliki Ni unit (i = 1, 2, ..., L). Seperti
dinyatakan oleh Cochran (1977), salah satu alasan stratifikasi adalah dapat
menghasilkan keuntungan tingkat keakuratan dalam pendugaan karakteristik total
populasi.
Dalam pelaksanaannya, penarikan contoh acak berlapis diambil dengan
cara yang sama seperti penarikan contoh acak sederhana, tetapi penarikan contoh
dilakukan secara terpisah dan saling bebas dalam tiap strata. Jika N1, N2, ..., NL
merupakan jumlah populasi dalam tiap strata dan n1, n2, ..., nL merupakan
sampling unit yang terpilih secara acak dalam tiap strata, maka jumlah total
contoh acak stratifikasi yang mungkin adalah sama dengan
(
yang lebih kecil atau sama dengan
)
(
)
(
)
, jumlah total contoh acak sederhana yang
mungkin.
Sebagai contoh, jika ada tiga strata dengan N1 = 3 , N2 = 5 dan N3 = 6 ,
jumlah total contoh yang mungkin dari n1 = 1 contoh dari strata pertama, n2 = 2
contoh dari strata kedua, dan n3 = 4 contoh dari strata ketiga adalah
Jumlah total contoh acak sederhana 7 contoh dari 14 contoh dalam populasi
adalah
Peluang suatu contoh terpilih pada suatu strata tertentu dapat ditunjukkan
sama dengan
(jika contoh dalam strata h). Seperti pada kasus di atas, peluang
contoh terpilih adalah 1/3 untuk contoh dalam strata pertama, 2/5 untuk contoh
dalam strata kedua, dan 4/6 untuk contoh dalam strata ketiga.
Menurut Dalenius dalam Singh (1986), pada penerapan rancangan contoh
berlapis perlu diperhatikan:
1. Pemilihan peubah stratifikasi;
2. Pemilihan jumlah L strata;
3. Penentuan cara populasi distratifikasi;
4. Pemilihan ukuran contoh nh yang diambil dari strata ke- h;
5. Pemilihan rancangan penarikan contoh di dalam strata.
Dalam pembentukan strata, diusahakan agar anggota-anggota yang hampir
sama dimasukkan ke dalam satu strata sehingga ragam di dalam masing-masing
strata menjadi homogen. Selain itu, akan lebih baik lagi jika perbedaan rata-rata
karakteristik antar strata dibuat sebesar mungkin.
Prinsip-prinsip yang dapat digunakan dalam stratifikasi populasi adalah
sebagai berikut:
1. Strata tidak boleh tumpang tindih (non-overlapping) dan harus melibatkan
populasi secara keseluruhan;
2. Stratifikasi populasi harus dilakukan sehingga membuat strata homogen
secara internal
dengan mempertimbangkan karakteristik peubah
penelitian;
3. Dalam
beberapa
mempertimbangkan
situasi
praktis
karakteristik
ketika
stratifikasi
peubah
penelitian,
sulit
untuk
kesesuaian
administrasi dapat dianggap sebagai dasar untuk stratifikasi.
Pebedaan mendasar untuk strata adalah nilai kuantitas y
yang diukur
dalam survei. Jika kita dapat membuat strata dengan nilai y, tidak akan terjadi
tumpang tindih antar strata, dan ragam di dalam strata akan jauh lebih kecil
daripada ragam keseluruhan terutama jika terdapat beberapa strata.
Keuntungan penerapan penarikan contoh berlapis:
1. Dapat diperoleh nilai dugaan dengan tingkat keakuratan lebih tinggi untuk
setiap strata maupun untuk populasi secara keseluruhan;
2. Pada setiap strata dapat dipergunakan rancangan penarikan contoh yang
berbeda, tergantung keadaan setiap strata dan kebutuhannya;
5
3. Setiap strata dapat dianggap sebagai populasi tersendiri sehingga bisa saja
menentukan presisi yang dikehendaki pada setiap strata dan disajikan
tersendiri;
4. Secara administratif, pelaksanaannya menjadi lebih mudah.
5. Biaya pengumpulan dan analisis data seringkali dapat diperkecil dengan
adanya pembagian populasi yang besar menjadi strata-strata yang lebih
kecil.
Adapun kerugian penerapan penarikan contoh berlapis adalah:
1. Sering
dijumpai
kenyataan
bahwa
dasar
yang
tepat
untuk
mengelompokkan data sulit diperoleh. Akibatnya strata yang dibuat tidak
sesuai dengan tujuan;
2. Diperlukan sebuah kerangka contoh yang terpisah dan berbeda untuk
setiap kelompok.
Prinsip Pemrograman Dinamik
Pemrograman dinamik adalah prosedur matematika yang terutama
dirancang untuk memperbaiki efisiensi perhitungan masalah pemrograman
matematika tertentu dengan menguraikannya menjadi bagian-bagian masalah
yang lebih kecil. Pemrograman dinamik pada umumnya menjawab masalah dalam
tahap-tahap, dengan setiap tahap meliputi tepat satu peubah optimisasi.
Perhitungan di tahap yang berbeda-beda dihubungkan melalui perhitungan
rekursif yang menghasilkan pemecahan optimal yang
mungkin bagi seluruh
masalah.
Pendekatan pemrograman dinamik didasarkan pada prinsip optimisasi
Bellman dalam Siagian P ( 2006) yang mengatakan:
„suatu kebijakan optimal mempunyai sifat bahwa apa pun keadaan dan
keputusan awal, keputusan berikutnya harus membentuk suatu kebijakan
optimal dengan memperhatikan keadaan dari hasil keputusan pertama.’
Teori utama dalam pemrograman dinamik adalah prinsip optimalitas.
Prinsip itu pada dasarnya menentukan bagaimana suatu masalah yang diuraikan
dengan benar dapat dijawab dalam tahap-tahap (bukannya sebagai satu kesatuan)
melalui perhitungan rekursif. Ini berarti bahwa keadaan yang diakibatkan oleh
6
suatu keputusan didasarkan pada keadaan dari keputusan sebelumnya dan
merupakan landasan bagi keputusan berikutnya.
Jika proses menghitung perolehan optimal sampai pada tahap ke- n, maka
selesailah prosedur perhitungan berdasarkan pendekatan pemrograman dinamik.
Langkah selanjutnya adalah menentukan keputusan optimal untuk seluruh
persoalan. Dimulai dari keputusan optimal pada tahap ke- n dan kemudian
menelusuri keputusan optimal pada tahap-tahap sebelumnya.
pada tahap ke- n sehingga keputusan optimal untuk
Diketahui
tahap ke- n dapat ditentukan, misalnya pada alternatif k. Tentu
, yaitu biaya
yang diperlukan untuk alternatif k sudah dapat diketahui. Karena itu
. Setelah melakukan perhitungan pada tahap (n-1), keputusan
optimal pada tahap ini dapat ditentukan sesuai jumlah
.
Misalkan keputusan diperoleh pada alternatif j sehingga
pun dapat
. Proses ini
diketahui, sehingga
dilanjutkan terus, sampai diperoleh nilai
sehingga dapat ditentukan keputusan
optimal pada tahap ke- 1. Keputusan optimal untuk seluruh persoalan adalah
kumpulan dari semua keputusan optimal pada masing-masing tahap.
Penentuan Batas Optimum Strata Untuk Peubah Kuantitatif
adalah batas-batas strata. Strata h mengandung
Misalkan
semua unit dengan satu nilai X dalam interval [
sehingga
dan
untuk
, dengan
dan
masing-masing adalah nilai minimum dan maksimum peubah stratifikasi
(Baillargeon 2010).
Misalkan X adalah peubah acak, diskret atau kontinu dengan fungsi
kepadatan peluang
contoh
[
](
acak
]
. Untuk menduga rataan populasi µ dengan
distratifikasi,
], sehingga
X
dipartisi
menjadi
L
strata
(1)
Anggap bahwa dari strata h ( h = 1, 2, ..., L ) mengandung Nh unit, sebuah contoh
berukuran nh dipilih dari yhj unit ( h = 1, 2, ..., L; j = 1, 2, ..., nh ). Kemudian
7
rataan stratifikasi
ragam
∑
̅
̅
dengan
dan
∑
̅
∑
̅
adalah dugaan tak bias untuk µ dengan
(2)
∑
∑
(Cochran 1977) .
(
)
diketahui, nilai-nilai Wh dan
Apabila fungsi frekuensi
pada
persamaan (2) dapat diperoleh dengan
∫
(3)
∫
(4)
∫
dengan
(5)
adalah batas-batas dari strata ke- h. Kemudian
adalah rataan dan
persamaan (2) dibaca sebagai fungsi dari titik-titik batas strata dan ukuran contoh
dengan
̅
̅ |
.
Jika nh ditetapkan, tujuan stratifikasi optimum adalah untuk menentukan
titik-titik batas optimum strata
sehingga
Selain itu, jika rasio pengambilan contoh
̅
adalah minimum.
kecil atau pengambilan contoh
dengan pengembalian, maka masalah pengoptimuman berikut diperoleh,
tergantung pada tipe dari alokasi ukuran total contoh
(Cochran 1977).
∑
pada strata
1. Alokasi proporsional
Minimumkan ∑
dengan kendala
(6)
2. Alokasi sama
Minimumkan ∑
dengan kendala
3. Alokasi Neyman
(7)
∑
8
Minimumkan ∑
dengan kendala
(8)
Masalah pada persamaan (6) dan (8) memiliki struktur sebagai berikut :
Minimumkan ∑
dengan kendala
(9)
Bühler dan Deutler (1975) telah menyarankan suatu metode pengoptimuman
rekursif untuk menyelesaikan persamaan (9) menggunakan teknik pemrograman
dinamik sebagai berikut.
Misalkan
merupakan fungsi frekuensi dan
dan
adalah nilai x
terkecil dan terbesar. Jika rataan populasi diduga berdasarkan alokasi Neyman,
maka masalah penentuan batas-batas strata adalah untuk memotong jarak,
(10)
sehingga ∑
pada titik-titik tengah
persamaan (8) minimum.
pada
memiliki n fungsi bagian linear atau non linear
Perhatikan bahwa
{
sebagai berikut :
(11)
Juga diasumsikan bahwa ada L strata, li jumlah strata yang dibentuk berdasarkan
dan ∑
fungsi kepadatan
Jika
.
pada persamaan (11) dapat diintegralkan, menggunakan
pernyataan persamaan (3), (4) dan (5),
fungsi dari titik-titik batas
dan
,
dan
diperoleh sebagai suatu
. Sehingga fungsi objektif pada persamaan
(8) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari titik-titik batas pada
dan
. Ambil
, sehingga masalah persamaan (8) dapat diperlakukan
sebagai masalah optimasi untuk menentukan
pada persamaan (9). Ambil
strata ke-
seperti dinyatakan
yang menunjukkan lebar dari
.
9
Dengan definisi dari
di atas, jarak dari sebaran yang diberikan pada
persamaan (10) dinyatakan sebagai fungsi dari lebar strata sebagai
∑
∑
Stratifikasi ke- k titik
(12)
k = 1, 2, ..., L – 1 dinyatakan sebagai:
yang merupakan fungsi lebar strata ke- k dan batas strata ke (k – 1).
Perhatikan bahwa dengan menambahkan persamaan (12) sebagai batas/
kendala baru, masalah persamaan (9) dapat ditulis kembali sebagai masalah yang
ekuivalen dengan penentuan lebar optimum strata sebagai berikut:
Minimumkan ∑
dengan kendala ∑
,
dan
Nilai awal
(13)
diketahui. Oleh karena itu, syarat pertama
fungsi objektif persamaan (13) adalah suatu fungsi dari
diketahui, titik stratifikasi selanjutnya
kedua pada fungsi objektif
pada
itu sendiri. Jika
akan diketahui dan syarat
akan menjadi fungsi dari
Fungsi objektif merupakan fungsi
itu sendiri.
itu sendiri, sehingga masalah
pemrograman matematika persamaan (13) dinyatakan sebagai:
Minimumkan ∑
dengan kendala ∑
,
dan
(14)
Prosedur Solusi Menggunakan Teknik Pemrograman Dinamik
Sebuah model pemrograman dinamik pada dasarnya adalah sebuah
persamaan rekursif berdasarkan prinsip optimalisasi Bellman. Persamaan rekursif
ini menghubungkan tahapan yang berbeda dalam suatu metode yang menjamin
bahwa tiap tahap solusi layak optimal, juga optimal dan layak untuk semua
masalah.
10
Perhatikan submasalah berikut dari persamaan (14) untuk k
Minimumkan ∑
pertama:
dengan kendala ∑
strata
,
dan
(15)
adalah lebar total yang tersedia untuk bagian dalam k strata atau
dengan
nilai tertentu pada k langkah. Catatan bahwa
untuk
.
Fungsi transformasi diberikan oleh:
,
,
,
,
,
sebagai notasi nilai minimum fungsi objektif dari
Ambil
[∑
persamaan (15), yaitu:
]. Dari definisi
|∑
dan
tersebut, masalah pemrograman
matematika persamaan (14) ekuivalen untuk menentukan
dengan
untuk
menentukan
dan
[
Untuk suatu nilai tetap dari
dan
∑
|∑
[∑
|∑
;
]
secara rekursif
.
]
dan
Menggunakan prinsip pengoptimalan Bellman, diperoleh hubungan
berulang dari teknik pemrograman dinamik sebagai berikut:
[
]
(16)
11
Untuk langkah pertama, yaitu untuk k = 1:
dengan
⇒
(17)
adalah lebar optimum strata pertama. Hubungan persamaan (16)
dan (17) diselesaikan secara rekursif untuk tiap
dan
dan
, lebar optimum strata ke- L,
diperoleh. Dari
lebar optimum strata ke- L-1,
seterusnya sampai
, diperoleh. Dari
, diperoleh dan begitu
diperoleh.
Pemrograman Matematika Untuk Sebaran Normal
Misalkan peubah penelitian x memiliki sebaran normal baku dengan fungsi
kepadatan peluang diberikan oleh:
;
√
Menurut Bühler dan Deutler (1975), dengan menggunakan definisi
persamaan (3), (4) dan (5), dapat dilihat bahwa:
√
√
√
√
√
(18)
(
–
)
, dan
√
–
√
–
√
√
√
√
√
√
}
–
√
√
(19)
12
dengan
dan
√
.
∫
Dengan demikian, dengan menggunakan nilai pada persamaan (18) dan
(19), masalah pemrograman matematika persamaan (14) dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Minimumkan ∑
–
√
–
√
√
√
√
√
dengan kendala ∑
dan
–
,
√
}
(20)
dengan sqrt adalah square root, exp adalah eksponensial, dan erf adalah error
function.
13
DATA DAN METODE
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan data SUSENAS
Propinsi Jawa Timur Tahun 2008 berupa data pengeluaran per kapita penduduk
sebanyak 8607 Kepala Rumah Tangga.
Metode Penelitian
Pembentukan strata dengan menggunakan teknik pemrograman dinamik
terbagi menjadi beberapa tahapan sebagai berikut.
Tahap 1. Penyusunan model/ fungsi objektif.
Langkah yang dilakukan pada tahap 1 adalah pembentukan fungsi objektif
seperti pada persamaan (20) di mana fungsi kendala ∑
, dengan
. Kemudian tentukan fungsi lebar strata ke-
Substitusikan nilai
, yaitu
.
ini ke dalam fungsi objektif yang telah disusun. Gunakan
persamaan (16) dan (17) untuk mendapatkan persamaan rekursifnya.
Tahap 2. Penyelesaian persamaan rekursif.
Langkah-langkah dalam penyelesaian persamaan rekursif adalah sebagai
berikut.
1. Mulai dengan
, nilai minimum RHS (right hand side) dari persamaan rekursif
2. Hitung
yang diperoleh untuk
3. Simpan nilai
4. Untuk
dan
dan
.
.
jika
, di mana
.
.
, nilai minimum RHS dari persamaan rekursif yang diperoleh
6. Hitung
;
7. Simpan nilai
8. Untuk
,
, nyatakan peubah penjelas sebagai
5. Tetapkan
untuk
.
. Tetapkan
.
dan
.
kembali ke langkah 4.
9. Pada
,
10. Pada
diperoleh sehingga nilai optimum
dari
diperoleh.
, gunakan penghitungan mundur untuk
, sehingga nilai optimum
nilai dari
dari
11. Ulangi langkah ke-10 sampai nilai optimum
dari
, baca
.
diperoleh dari
.
Penyelesaian persamaan rekursif tersebut menggunakan Program C++.
Tahap 3. Penghitungan nilai optimum fungsi objektif.
Sebagai tahapan terakhir adalah menghitung nilai optimum fungsi objektif
∑
untuk setiap strata L yaitu ∑
.
Untuk mengetahui karakteristik antar strata dilakukan pengujian
kehomogenan ragam. Metode statistika untuk menguji kehomogenan ragam
adalah uji khi-kuadrat yang dikenal dengan uji Bartlett. Hipotesis yang diuji pada
uji Bartlett adalah:
H0 :
H1 : paling sedikit ada satu pasang
, untuk setiap
, di mana
Uji Bartlett dapat dilakukan untuk ulangan sama atau tidak sama. Uji khikuadarat untuk jumlah ulangan tidak sama adalah:
∑
(
)
(∑
∑(
∑
)
)
dengan dbi adalah derajat bebas strata ke-i, si2 adalah ragam dari strata ke-i dan
s2gab adalah ragam gabungan untuk semua strata.
Dengan kaidah keputusan sebagai berikut:
Apabila
, maka H0 ditolak artinya kehomogenan ragam tidak
dapat dipenuhi. Dan jika sebaliknya hipotesis kehomogenan ragam diterima.
15
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data Pengeluaran Per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008
Jawa Timur adalah provinsi yang terdiri dari 29 kabupaten dan 9 kota. Secara
umum wilayah provinsi Jawa Timur dapat dibagi menjadi dua bagian besar yaitu
Jawa Timur daratan dan Pulau Madura. Luas wilayah Jawa Timur daratan hampir
mencapai 90 persen dari luas keseluruhan, sedangkan wilayah Madura hanya sekitar
10 persen.
Peta wilayah kabupaten/ kota di Jawa Timur disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1 Peta administratif Propinsi Jawa Timur
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data pengeluaran per kapita
penduduk Jawa Timur tahun 2008 dengan jumlah contoh n = 8607 Kepala Rumah
Tangga. Data ini diperoleh dari publikasi BPS dari hasil SUSENAS. Dari data
tersebut dapat diperoleh informasi bahwa rata-rata pengeluaran per kapita
penduduk Jawa Timur adalah Rp337.105,93 dan ragam Rp8.49 x 1010.
Pengeluaran minimum adalah sebesar Rp41.349,94 dan pengeluaran maksimum
sebesar Rp5.442.241,45.
Probability plot (p-p) diperlukan untuk menentukan apakah sebaran dari
pengeluaran per kapita sesuai dengan jenis sebaran tertentu. Setelah dilakukan uji
kenormalan Anderson Darling terhadap data pengeluaran per kapita, hasilnya
menunjukkan bahwa adanya penyimpangan asumsi kenormalan sepeti terlihat
pada Gambar 2.
Probability Plot of kapita
Normal - 95% CI
Mean
StDev
N
AD
P-Value
99.99
99
337106
291371
8607
746.460
PADA PENARIKAN CONTOH ACAK BERLAPIS
DENGAN PEMROGRAMAN DINAMIK
(Kasus : Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008)
MAHYUDI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penentuan Titik-titik Batas
Optimum Strata pada Penarikan Contoh Acak Berlapis dengan Pemrograman
Dinamik (Kasus: Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008)
adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir tesis ini.
Bogor, September 2011
Mahyudi
NIM G151080021
ABSTRACT
MAHYUDI. Determining Optimum Strata Boundary Points on Stratified Random
Sampling using Dynamic Programming (Case: Expenditure per Capita of East
Java Province Year 2008). Under direction of BUDI SUSETYO and UTAMI
DYAH SYAFITRI.
Optimum stratification is the method of choosing the best boundaries that make
strata internally homogeneous, given some sample allocation. In order to make the
strata internally homogenous, the strata should be constructed in such a way that
the strata variances for the characteristic under study be as small as possible. This
could be achieved effectively by having the distribution of the main study variable
known and create strata by cutting the range of the distribution at suitable points.
The problem of finding Optimum Strata Boundaries (OSB) is considered as the
problem of determining Optimum Strata Widths (OSW). The problem is
formulated as a Mathematical Programming Problem (MPP), which minimizes the
variance of the estimated population parameter under Neyman allocation subject
to the restriction that sum of the widths of all the strata is equal to the total range
of the distribution. The distributions of the study variable are considered as
continuous with standard normal density functions. The formulated MPPs, which
turn out to be multistage decision problems, can then be solved using dynamic
programming technique proposed by Bühler and Deutler (1975). After the
counting process using C++ program received the width of each stratum. From
these results the optimal boundary point can be determined for each stratum. For
the two strata to get the optimal point on the boundary x1 = 0.002. For the
formation of three strata obtained the optimal point on the boundary x1 = -0.546
and x2 = 0.552. For the formation of four strata obtained optimal boundary point is
x1 = -0.869, x2 = 0.003 and x3 = 0.878. In forming five strata obtained optimal
boundary point x1 = -1.096, x2 = -0.331, x3 = 0.339 and x4 = 1.107. The
establishment of a total of six strata obtained the optimal point on the boundary x1
= -1.267, x2 = -0.569, x3 = 0.005, x4 = 0.579 and x5 = 1.281.
Keywords : stratified random sampling, optimum stratification, standard normal
distribution, mathematical programming, dynamic programming.
RINGKASAN
MAHYUDI. Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata pada Penarikan Contoh
Acak Berlapis dengan Pemrograman Dinamik (Kasus: Pengeluaran per Kapita
Propinsi Jawa Timur Tahun 2008). Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan
UTAMI DYAH SYAFITRI.
Penarikan contoh (sampling) dalam survei adalah suatu proses untuk
memilih sebagian elemen dari suatu populasi dengan prosedur tertentu sehingga
dapat digunakan untuk menduga parameter populasi. Untuk mencapai tujuan
tersebut diperlukan metode penarikan contoh yang sesuai, salah satunya adalah
penarikan contoh acak berlapis (stratified random sampling). Pada penarikan
contoh acak berlapis, perlu diperhatikan peubah apa yang digunakan sebagai dasar
pembentukan strata.
Apabila peubah kualitatif digunakan untuk stratifikasi, pada umumnya
pembentukan strata tidak terlalu mengalami masalah, misalnya berdasarkan
tingkat pendidikan, pekerjaan dan jenis kelamin. Sebaliknya jika peubah yang
digunakan untuk stratifikasi adalah peubah kuantitatif maka diperlukan teknik
tertentu untuk menentukan batas antar strata. Masalah penentuan batas optimum
strata ekuivalen dengan masalah menentukan lebar optimum strata yang
diformulasikan sebagai masalah pemrograman matematika. Salah satunya adalah
pendekatan pemrograman dinamik Bühler dan Deutler yaitu dengan
meminimumkan ragam dari parameter populasi yang diduga berdasarkan alokasi
Neyman dengan batasan bahwa jumlah lebar dari semua strata sama dengan total
jarak dari sebaran peubah yang diteliti.
Penelitian ini bertujuan untuk menerapkan pemrograman dinamik yang
merupakan salah satu masalah pengoptimuman dalam pemrograman matematika
untuk menentukan batas optimum strata dalam penarikan contoh acak berlapis.
Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari BPS yaitu data
pengeluaran per kapita penduduk Jawa Timur Tahun 2008 dengan jumlah contoh
sebanyak 8607 kepala rumah tangga.
Teknik pemrograman dinamik dimulai dengan pembentukan fungsi
objektif. Dari fungsi objektif ini diperoleh persamaan rekursif yang
menghubungkan tahapan yang berbeda dalam suatu metode yang menjamin
bahwa tiap tahap solusi layak optimal, juga optimal dan layak untuk semua
masalah. Dari persamaan rekursif ini akan diperoleh lebar dari masing-masing
strata dan titik batas optimum pada tiap strata. Metode ini juga memberikan nilai
optimum fungsi objektif untuk setiap strata L.
Data yang digunakan dalam penelitian ini khusus yang memiliki sebaran
normal baku. Untuk data pengeluaran per kapita propinsi Jawa Timur harus
ditransformasi terlebih dahulu agar memenuhi syarat kenormalan. Nilai-nilai yang
digunakan dalam proses penghitungan adalah nilai-nilai hasil transformasi. Nilai
yang diperlukan adalah nilai awal
, nilai akhir
dan jarak dari sebaran
dengan rumusan
. Kemudian dibentuk fungsi objektif untuk sebaran
normal baku, sehingga diperoleh persamaan rekursif untuk
dan
.
Setelah dilakukan proses penghitungan dengan menggunakan program C++
diperoleh lebar tiap strata. Dari hasil ini dapat ditentukan titik-titik batas optimum
untuk tiap strata. Untuk dua strata diperoleh titik batas optimum pada x1 = 0.002.
Untuk pembentukan tiga strata diperoleh titik batas optimum pada x1 = -0.546 dan
x2 = 0.552. Untuk pembentukan sebanyak empat strata diperoleh titik batas
optimum adalah x1 = -0.869, x2 = 0.003 dan x3 = 0.878. Pada pembentukan
sebanyak lima strata diperoleh titik batas optimum x1 = -1.096, x2 = -0.331, x3 =
0.339 dan x4 = 1.107. Sedangkan
untuk pembentukan sebanyak enam strata
diperoleh titik batas optimum pada x1 = -1.267, x2 = -0.569, x3 = 0.005, x4 = 0.579
dan x5 = 1.281.
Metode pemrograman dinamik ini juga memberikan nilai optimum fungsi
objektif untuk tiap jumlah strata. Hasilnya menunjukkan bahwa semakin banyak
jumlah strata maka nilai optimum fungsi ini akan semakin kecil. Nilai optimum
fungsi objektif untuk jumlah strata 2, 3, 4, 5, dan 6 berturut-turut adalah 0.599,
0.424, 0.328, 0.267 dan 0.225. Untuk melihat karakteristik keragaman dalam tiap
jumlah strata dapat dilakukan uji khi-kuadrat yang dikenal dengan uji Bartlett.
Hasil uji ini memperlihatkan bahwa adanya pebedaan yang nyata antara ragamragam pada setiap jumlah strata L. Artinya bahwa antar strata lebih bervariasi
karakteristiknya (heterogen).
Penentuan strata dengan peubah kuantitatif dapat dilakukan dengan
pendekatan pemrograman dinamik dan dapat menjadi salah satu alternatif
pembentukan strata selain dengan menggunakan peubah kualitatif.
Kata kunci : penarikan contoh acak berlapis, stratifikasi optimum, sebaran
normal baku, masalah pemrograman matematika, teknik
pemrograman dinamik
v
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau meyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
PENENTUAN TITIK-TITIK BATAS OPTIMUM STRATA
PADA PENARIKAN CONTOH ACAK BERLAPIS
DENGAN PEMROGRAMAN DINAMIK
(Kasus : Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008)
MAHYUDI
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc
Judul Tesis
: Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata pada Penarikan
Contoh Acak Berlapis dengan Pemrograman Dinamik
(Kasus: Pengeluaran per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun
2008)
Nama
: Mahyudi
NIM
: G151080021
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Budi Susetyo, MS
Utami Dyah Syafitri, S.Si, M.Si
Ketua
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Erfiani, M.Si
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc. Agr
Tanggal Ujian: 24 Agustus 2011
Tanggal Lulus:
ix
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia
dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul
“Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata pada Penarikan contoh Acak
Berlapis dengan Pemrograman Dinamik (Kasus: Pengeluaran per Kapita Propinsi
Jawa Timur Tahun 2008”.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Budi Susetyo, MS
selaku ketua komisi pembimbing dan Ibu Utami Dyah Syafitri, S.Si, M.Si selaku
anggota komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan, masukan dan
saran yang sangat berarti dalam penyusunan tesis ini. Ungkapan terima kasih juga
penulis sampaikan untuk istri tercinta yang tiada henti-hentinya memberikan doa
dan motivasi untuk menyelesaikan tesis ini dan jagoan kecilku yang selalu
menjadi penyemangat. Kedua orang tua dan seluruh keluarga atas segala doa dan
kasih sayangnya. Teman-teman mahasiswa Pascasarjana Statistika yang telah
membantu dan memberi dukungan selama penyusunan tesis ini. Serta semua
pihak yang telah membantu penulis secara fisik, ilmu maupun dukungan moral
dalam penyusunan tesis ini.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tesis ini memiliki banyak
kekurangan. Saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat penulis harapkan
demi perbaikan di masa yang akan datang. Semoga tesis ini dapat bermanfaat.
Bogor, September 2011
Mahyudi
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Atap (Palembang) pada tanggal 20
Desember 1975 dari ayah Agussalim dan ibu Hadisah. Penulis merupakan putra
kelima dari delapan bersaudara.
Pada tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tanjung Batu dan pada
tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Sriwijaya Palembang melalui jalur UMPTN. Penulis memperoleh
gelar Sarjana Sains pada tahun 1998 dan pada tahun 2008 penulis melanjutkan
Program Magister Sains di Program Studi Statistika, Sekolah Pascasarjana,
Institut Pertanian Bogor.
Penulis diterima sebagai dosen Kopertis Wilayah II Palembang dan
dipekerjakan pada jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Bengkulu pada tahun 2005 hingga
sekarang.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ............................................................................................... xiiii
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiv
PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
Latar Belakang .................................................................................................... 1
Tujuan Penelitian ................................................................................................ 2
TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................................... 4
Penarikan Contoh Acak Berlapis ....................... Error! Bookmark not defined.
Prinsip Pemrograman Dinamik .......................... Error! Bookmark not defined.
Penentuan Batas Optimum Strata untuk Peubah Kuantitatif……… .................. 7
Prosedur Solusi Menggunakan Teknik Pemrograman Dinamik ................ Error!
Bookmark not defined.
Pemrograman Matematika Untuk Sebaran Normal………...…………………12
DATA DAN METODE ........................................................................................ 14
Data ................................................................................................................... 14
Metode Penelitian.............................................................................................. 14
HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................. 16
Data Pengeluaran Per Kapita propinsi Jawa Timur Tahun 2008 ...................... 16
Penentuan Titik-titik Batas Optimum Strata ..................................................... 18
Pengujian Kehomogenan Ragam……………………………………………...23
Pembentukan Strata Pengeluaran Per Kapita Jawa Timur Tahun 2008………24
SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................. 27
Simpulan ........................................................................................................... 27
Saran .................................................................................................................. 27
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 28
LAMPIRAN .......................................................................................................... 29
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1 Titik-titik batas optimum strata dari sebaran normal baku .............. Error!
Bookmark not defined.20
Tabel 2 Hasil uji khi-kuadrat untuk setiap jumlah strataError! Bookmark not
defined.23
Tabel 3 Titik-titik batas optimum strata pengeluaran per kapita Jawa Timur ..... 24
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1 Peta administratif Propinsi Jawa Timur ............................................. 16
Gambar 2 Probability Plot pengeluaran per kapita. ............................................ 17
Gambar 3 Probability Plot pengeluaran per kapita setelah ditransformasi .. Error!
Bookmark not defined.
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Program C++ untuk penentuan batas optimum strata .................... 30
Lampiran 2 Program macro SAS untuk uji Bartlett……………………………42
xv
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penarikan contoh (sampling) dalam survei adalah suatu proses untuk
memilih sebagian anggota dari suatu populasi dengan prosedur tertentu sehingga
dapat digunakan untuk menduga parameter populasi secara sah. Untuk mencapai
tujuan tersebut diperlukan metode
penarikan contoh yang sesuai. Salah satu
teknik penarikan contoh adalah penarikan contoh acak berlapis (stratified random
sampling). Pada penarikan contoh acak berlapis, perlu diperhatikan peubah yang
digunakan sebagai dasar pembentukan strata.
Apabila peubah kualitatif digunakan untuk stratifikasi, pada umumnya
pembentukan strata tidak terlalu mengalami masalah,
misalnya berdasarkan
tingkat pendidikan, pekerjaan dan jenis kelamin. Sebaliknya, jika peubah yang
digunakan untuk stratifikasi adalah peubah kuantitatif maka diperlukan teknik
tertentu untuk menentukan batas antar strata sesuai dengan kaidah teknik ini.
Pertimbangan dasar yang diperhatikan dalam penentuan batas-batas
optimum strata adalah bahwa anggota populasi dalam strata harus sehomogen
mungkin dan antar strata seheterogen mungkin, dengan perkataan lain ragam
dalam strata harus sekecil mungkin dibandingkan ragam antar strata. Masalah
yang timbul adalah penentuan titik optimum batas stratifikasi yang akan membagi
populasi menjadi dua atau lebih strata sehingga memenuhi kriteria di atas.
Metode dalam penentuan titik batas optimum strata telah dikemukakan oleh
beberapa peneliti. Lavallée dan Hidiroglou (1988) mengusulkan suatu algoritma
untuk menentukan batas-batas strata suatu alokasi kuasa
untuk contoh yang
distrata dari unit-unit contoh yang tidak tentu. Hidiroglou dan Srinath (1993)
dalam Khan (2008) menyajikan suatu algoritma yang lebih umum, yaitu dengan
memberikan nilai-nilai yang berbeda untuk mengoperasikan parameter-parameter
yang menghasilkan alokasi kuasa, alokasi Neyman, atau gabungan dari alokasialokasi ini.
Sweet dan Sigman (1995) dalam Khan (2008) dan Rivest (2002) meninjau
kembali algoritma Lavallée dan Hidiroglou dan mengusulkan algoritma versi
modifikasi yang menggabungkan hubungan berbeda antara stratifikasi dan
peubah-peubah yang diteliti. Nicolini (2001) mengusulkan suatu metode yang
diberi nama Natural Class Method (NCM), untuk menentang metode Dalenius
dan Hodges yang paling banyak digunakan, tetapi kedua metode tersebut tidak
terbukti lebih efisien dari yang lain.
Lednicki dan Wieczorkowski (2003) dalam Khan (2008) mengajukan
metode stratifikasi menggunakan metode simpleks dari Nelder dan Mead (1965)
dalam Khan (2008). Kemudian Kozak (2004) menyajikan algoritma pencarian
secara acak yang dimodifikasi sebagai metode stratifikasi optimum. Algoritma
Kozak benar-benar lebih cepat dan efisien dibandingkan dengan algoritma Rivest,
dan Lednicki dan Wieczorkowski dilihat dari kemampuan mengendalikan nilai
yang lebih kecil pada fungsi objektif tetapi hal itu tidak dapat menjamin bahwa
algoritma tersebut menunjukkan optimum global.
Mengingat bahwa masalah penentuan batas optimum strata ekuivalen
dengan masalah menentukan lebar optimum strata Khan et al. (2002) dalam Khan
(2008), mengatakan bahwa masalah lebar optimum strata sebagai masalah
pemrograman matematika. Khan et al. (2002) menerapkan prosedurnya untuk
menentukan batas optimum strata terhadap populasi yang memiliki sebaran
uniform dan segitiga siku-siku. Kemudian Khan et al. (2005) memperluas
pendekatan pemrograman dinamik untuk menentukan batas optimum strata
terhadap peubah eksponensial. Khan et al. (2008) juga melakukan pendekatan
pemrograman dinamik terhadap peubah yang memiliki sebaran normal baku.
Salah satu pemrograman matematika yang dapat digunakan dalam
menentukan lebar optimum strata adalah
pendekatan pemrograman dinamik
Bühler dan Deutler (1975). Formulasi masalah pemrograman matematika dengan
meminimumkan ragam dari parameter populasi yang diduga berdasarkan alokasi
Neyman dengan batasan bahwa jumlah lebar dari semua strata sama dengan total
jarak dari sebaran peubah yang diamati.
Tujuan Penelitian
Pada dasarnya penelitian ini bertujuan untuk memberikan suatu alternatif
pada pemerhati dan pengguna statistik teutama dalam penelitian survei. Tujuan
utama yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah untuk menerapkan
2
pemrograman dinamik untuk menentukan titik-titik batas optimum strata dalam
penarikan contoh acak berlapis untuk data peubah respon berupa pengeluaran per
kapita penduduk Jawa Timur tahun 2008.
3
TINJAUAN PUSTAKA
Penarikan Contoh Acak Berlapis
Penarikan contoh acak berlapis adalah suatu rancangan penarikan contoh
acak yang membagi N unit dari populasi ke dalam L strata yang tidak saling
tumpang tindih, sehingga setiap strata memiliki Ni unit (i = 1, 2, ..., L). Seperti
dinyatakan oleh Cochran (1977), salah satu alasan stratifikasi adalah dapat
menghasilkan keuntungan tingkat keakuratan dalam pendugaan karakteristik total
populasi.
Dalam pelaksanaannya, penarikan contoh acak berlapis diambil dengan
cara yang sama seperti penarikan contoh acak sederhana, tetapi penarikan contoh
dilakukan secara terpisah dan saling bebas dalam tiap strata. Jika N1, N2, ..., NL
merupakan jumlah populasi dalam tiap strata dan n1, n2, ..., nL merupakan
sampling unit yang terpilih secara acak dalam tiap strata, maka jumlah total
contoh acak stratifikasi yang mungkin adalah sama dengan
(
yang lebih kecil atau sama dengan
)
(
)
(
)
, jumlah total contoh acak sederhana yang
mungkin.
Sebagai contoh, jika ada tiga strata dengan N1 = 3 , N2 = 5 dan N3 = 6 ,
jumlah total contoh yang mungkin dari n1 = 1 contoh dari strata pertama, n2 = 2
contoh dari strata kedua, dan n3 = 4 contoh dari strata ketiga adalah
Jumlah total contoh acak sederhana 7 contoh dari 14 contoh dalam populasi
adalah
Peluang suatu contoh terpilih pada suatu strata tertentu dapat ditunjukkan
sama dengan
(jika contoh dalam strata h). Seperti pada kasus di atas, peluang
contoh terpilih adalah 1/3 untuk contoh dalam strata pertama, 2/5 untuk contoh
dalam strata kedua, dan 4/6 untuk contoh dalam strata ketiga.
Menurut Dalenius dalam Singh (1986), pada penerapan rancangan contoh
berlapis perlu diperhatikan:
1. Pemilihan peubah stratifikasi;
2. Pemilihan jumlah L strata;
3. Penentuan cara populasi distratifikasi;
4. Pemilihan ukuran contoh nh yang diambil dari strata ke- h;
5. Pemilihan rancangan penarikan contoh di dalam strata.
Dalam pembentukan strata, diusahakan agar anggota-anggota yang hampir
sama dimasukkan ke dalam satu strata sehingga ragam di dalam masing-masing
strata menjadi homogen. Selain itu, akan lebih baik lagi jika perbedaan rata-rata
karakteristik antar strata dibuat sebesar mungkin.
Prinsip-prinsip yang dapat digunakan dalam stratifikasi populasi adalah
sebagai berikut:
1. Strata tidak boleh tumpang tindih (non-overlapping) dan harus melibatkan
populasi secara keseluruhan;
2. Stratifikasi populasi harus dilakukan sehingga membuat strata homogen
secara internal
dengan mempertimbangkan karakteristik peubah
penelitian;
3. Dalam
beberapa
mempertimbangkan
situasi
praktis
karakteristik
ketika
stratifikasi
peubah
penelitian,
sulit
untuk
kesesuaian
administrasi dapat dianggap sebagai dasar untuk stratifikasi.
Pebedaan mendasar untuk strata adalah nilai kuantitas y
yang diukur
dalam survei. Jika kita dapat membuat strata dengan nilai y, tidak akan terjadi
tumpang tindih antar strata, dan ragam di dalam strata akan jauh lebih kecil
daripada ragam keseluruhan terutama jika terdapat beberapa strata.
Keuntungan penerapan penarikan contoh berlapis:
1. Dapat diperoleh nilai dugaan dengan tingkat keakuratan lebih tinggi untuk
setiap strata maupun untuk populasi secara keseluruhan;
2. Pada setiap strata dapat dipergunakan rancangan penarikan contoh yang
berbeda, tergantung keadaan setiap strata dan kebutuhannya;
5
3. Setiap strata dapat dianggap sebagai populasi tersendiri sehingga bisa saja
menentukan presisi yang dikehendaki pada setiap strata dan disajikan
tersendiri;
4. Secara administratif, pelaksanaannya menjadi lebih mudah.
5. Biaya pengumpulan dan analisis data seringkali dapat diperkecil dengan
adanya pembagian populasi yang besar menjadi strata-strata yang lebih
kecil.
Adapun kerugian penerapan penarikan contoh berlapis adalah:
1. Sering
dijumpai
kenyataan
bahwa
dasar
yang
tepat
untuk
mengelompokkan data sulit diperoleh. Akibatnya strata yang dibuat tidak
sesuai dengan tujuan;
2. Diperlukan sebuah kerangka contoh yang terpisah dan berbeda untuk
setiap kelompok.
Prinsip Pemrograman Dinamik
Pemrograman dinamik adalah prosedur matematika yang terutama
dirancang untuk memperbaiki efisiensi perhitungan masalah pemrograman
matematika tertentu dengan menguraikannya menjadi bagian-bagian masalah
yang lebih kecil. Pemrograman dinamik pada umumnya menjawab masalah dalam
tahap-tahap, dengan setiap tahap meliputi tepat satu peubah optimisasi.
Perhitungan di tahap yang berbeda-beda dihubungkan melalui perhitungan
rekursif yang menghasilkan pemecahan optimal yang
mungkin bagi seluruh
masalah.
Pendekatan pemrograman dinamik didasarkan pada prinsip optimisasi
Bellman dalam Siagian P ( 2006) yang mengatakan:
„suatu kebijakan optimal mempunyai sifat bahwa apa pun keadaan dan
keputusan awal, keputusan berikutnya harus membentuk suatu kebijakan
optimal dengan memperhatikan keadaan dari hasil keputusan pertama.’
Teori utama dalam pemrograman dinamik adalah prinsip optimalitas.
Prinsip itu pada dasarnya menentukan bagaimana suatu masalah yang diuraikan
dengan benar dapat dijawab dalam tahap-tahap (bukannya sebagai satu kesatuan)
melalui perhitungan rekursif. Ini berarti bahwa keadaan yang diakibatkan oleh
6
suatu keputusan didasarkan pada keadaan dari keputusan sebelumnya dan
merupakan landasan bagi keputusan berikutnya.
Jika proses menghitung perolehan optimal sampai pada tahap ke- n, maka
selesailah prosedur perhitungan berdasarkan pendekatan pemrograman dinamik.
Langkah selanjutnya adalah menentukan keputusan optimal untuk seluruh
persoalan. Dimulai dari keputusan optimal pada tahap ke- n dan kemudian
menelusuri keputusan optimal pada tahap-tahap sebelumnya.
pada tahap ke- n sehingga keputusan optimal untuk
Diketahui
tahap ke- n dapat ditentukan, misalnya pada alternatif k. Tentu
, yaitu biaya
yang diperlukan untuk alternatif k sudah dapat diketahui. Karena itu
. Setelah melakukan perhitungan pada tahap (n-1), keputusan
optimal pada tahap ini dapat ditentukan sesuai jumlah
.
Misalkan keputusan diperoleh pada alternatif j sehingga
pun dapat
. Proses ini
diketahui, sehingga
dilanjutkan terus, sampai diperoleh nilai
sehingga dapat ditentukan keputusan
optimal pada tahap ke- 1. Keputusan optimal untuk seluruh persoalan adalah
kumpulan dari semua keputusan optimal pada masing-masing tahap.
Penentuan Batas Optimum Strata Untuk Peubah Kuantitatif
adalah batas-batas strata. Strata h mengandung
Misalkan
semua unit dengan satu nilai X dalam interval [
sehingga
dan
untuk
, dengan
dan
masing-masing adalah nilai minimum dan maksimum peubah stratifikasi
(Baillargeon 2010).
Misalkan X adalah peubah acak, diskret atau kontinu dengan fungsi
kepadatan peluang
contoh
[
](
acak
]
. Untuk menduga rataan populasi µ dengan
distratifikasi,
], sehingga
X
dipartisi
menjadi
L
strata
(1)
Anggap bahwa dari strata h ( h = 1, 2, ..., L ) mengandung Nh unit, sebuah contoh
berukuran nh dipilih dari yhj unit ( h = 1, 2, ..., L; j = 1, 2, ..., nh ). Kemudian
7
rataan stratifikasi
ragam
∑
̅
̅
dengan
dan
∑
̅
∑
̅
adalah dugaan tak bias untuk µ dengan
(2)
∑
∑
(Cochran 1977) .
(
)
diketahui, nilai-nilai Wh dan
Apabila fungsi frekuensi
pada
persamaan (2) dapat diperoleh dengan
∫
(3)
∫
(4)
∫
dengan
(5)
adalah batas-batas dari strata ke- h. Kemudian
adalah rataan dan
persamaan (2) dibaca sebagai fungsi dari titik-titik batas strata dan ukuran contoh
dengan
̅
̅ |
.
Jika nh ditetapkan, tujuan stratifikasi optimum adalah untuk menentukan
titik-titik batas optimum strata
sehingga
Selain itu, jika rasio pengambilan contoh
̅
adalah minimum.
kecil atau pengambilan contoh
dengan pengembalian, maka masalah pengoptimuman berikut diperoleh,
tergantung pada tipe dari alokasi ukuran total contoh
(Cochran 1977).
∑
pada strata
1. Alokasi proporsional
Minimumkan ∑
dengan kendala
(6)
2. Alokasi sama
Minimumkan ∑
dengan kendala
3. Alokasi Neyman
(7)
∑
8
Minimumkan ∑
dengan kendala
(8)
Masalah pada persamaan (6) dan (8) memiliki struktur sebagai berikut :
Minimumkan ∑
dengan kendala
(9)
Bühler dan Deutler (1975) telah menyarankan suatu metode pengoptimuman
rekursif untuk menyelesaikan persamaan (9) menggunakan teknik pemrograman
dinamik sebagai berikut.
Misalkan
merupakan fungsi frekuensi dan
dan
adalah nilai x
terkecil dan terbesar. Jika rataan populasi diduga berdasarkan alokasi Neyman,
maka masalah penentuan batas-batas strata adalah untuk memotong jarak,
(10)
sehingga ∑
pada titik-titik tengah
persamaan (8) minimum.
pada
memiliki n fungsi bagian linear atau non linear
Perhatikan bahwa
{
sebagai berikut :
(11)
Juga diasumsikan bahwa ada L strata, li jumlah strata yang dibentuk berdasarkan
dan ∑
fungsi kepadatan
Jika
.
pada persamaan (11) dapat diintegralkan, menggunakan
pernyataan persamaan (3), (4) dan (5),
fungsi dari titik-titik batas
dan
,
dan
diperoleh sebagai suatu
. Sehingga fungsi objektif pada persamaan
(8) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari titik-titik batas pada
dan
. Ambil
, sehingga masalah persamaan (8) dapat diperlakukan
sebagai masalah optimasi untuk menentukan
pada persamaan (9). Ambil
strata ke-
seperti dinyatakan
yang menunjukkan lebar dari
.
9
Dengan definisi dari
di atas, jarak dari sebaran yang diberikan pada
persamaan (10) dinyatakan sebagai fungsi dari lebar strata sebagai
∑
∑
Stratifikasi ke- k titik
(12)
k = 1, 2, ..., L – 1 dinyatakan sebagai:
yang merupakan fungsi lebar strata ke- k dan batas strata ke (k – 1).
Perhatikan bahwa dengan menambahkan persamaan (12) sebagai batas/
kendala baru, masalah persamaan (9) dapat ditulis kembali sebagai masalah yang
ekuivalen dengan penentuan lebar optimum strata sebagai berikut:
Minimumkan ∑
dengan kendala ∑
,
dan
Nilai awal
(13)
diketahui. Oleh karena itu, syarat pertama
fungsi objektif persamaan (13) adalah suatu fungsi dari
diketahui, titik stratifikasi selanjutnya
kedua pada fungsi objektif
pada
itu sendiri. Jika
akan diketahui dan syarat
akan menjadi fungsi dari
Fungsi objektif merupakan fungsi
itu sendiri.
itu sendiri, sehingga masalah
pemrograman matematika persamaan (13) dinyatakan sebagai:
Minimumkan ∑
dengan kendala ∑
,
dan
(14)
Prosedur Solusi Menggunakan Teknik Pemrograman Dinamik
Sebuah model pemrograman dinamik pada dasarnya adalah sebuah
persamaan rekursif berdasarkan prinsip optimalisasi Bellman. Persamaan rekursif
ini menghubungkan tahapan yang berbeda dalam suatu metode yang menjamin
bahwa tiap tahap solusi layak optimal, juga optimal dan layak untuk semua
masalah.
10
Perhatikan submasalah berikut dari persamaan (14) untuk k
Minimumkan ∑
pertama:
dengan kendala ∑
strata
,
dan
(15)
adalah lebar total yang tersedia untuk bagian dalam k strata atau
dengan
nilai tertentu pada k langkah. Catatan bahwa
untuk
.
Fungsi transformasi diberikan oleh:
,
,
,
,
,
sebagai notasi nilai minimum fungsi objektif dari
Ambil
[∑
persamaan (15), yaitu:
]. Dari definisi
|∑
dan
tersebut, masalah pemrograman
matematika persamaan (14) ekuivalen untuk menentukan
dengan
untuk
menentukan
dan
[
Untuk suatu nilai tetap dari
dan
∑
|∑
[∑
|∑
;
]
secara rekursif
.
]
dan
Menggunakan prinsip pengoptimalan Bellman, diperoleh hubungan
berulang dari teknik pemrograman dinamik sebagai berikut:
[
]
(16)
11
Untuk langkah pertama, yaitu untuk k = 1:
dengan
⇒
(17)
adalah lebar optimum strata pertama. Hubungan persamaan (16)
dan (17) diselesaikan secara rekursif untuk tiap
dan
dan
, lebar optimum strata ke- L,
diperoleh. Dari
lebar optimum strata ke- L-1,
seterusnya sampai
, diperoleh. Dari
, diperoleh dan begitu
diperoleh.
Pemrograman Matematika Untuk Sebaran Normal
Misalkan peubah penelitian x memiliki sebaran normal baku dengan fungsi
kepadatan peluang diberikan oleh:
;
√
Menurut Bühler dan Deutler (1975), dengan menggunakan definisi
persamaan (3), (4) dan (5), dapat dilihat bahwa:
√
√
√
√
√
(18)
(
–
)
, dan
√
–
√
–
√
√
√
√
√
√
}
–
√
√
(19)
12
dengan
dan
√
.
∫
Dengan demikian, dengan menggunakan nilai pada persamaan (18) dan
(19), masalah pemrograman matematika persamaan (14) dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Minimumkan ∑
–
√
–
√
√
√
√
√
dengan kendala ∑
dan
–
,
√
}
(20)
dengan sqrt adalah square root, exp adalah eksponensial, dan erf adalah error
function.
13
DATA DAN METODE
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan data SUSENAS
Propinsi Jawa Timur Tahun 2008 berupa data pengeluaran per kapita penduduk
sebanyak 8607 Kepala Rumah Tangga.
Metode Penelitian
Pembentukan strata dengan menggunakan teknik pemrograman dinamik
terbagi menjadi beberapa tahapan sebagai berikut.
Tahap 1. Penyusunan model/ fungsi objektif.
Langkah yang dilakukan pada tahap 1 adalah pembentukan fungsi objektif
seperti pada persamaan (20) di mana fungsi kendala ∑
, dengan
. Kemudian tentukan fungsi lebar strata ke-
Substitusikan nilai
, yaitu
.
ini ke dalam fungsi objektif yang telah disusun. Gunakan
persamaan (16) dan (17) untuk mendapatkan persamaan rekursifnya.
Tahap 2. Penyelesaian persamaan rekursif.
Langkah-langkah dalam penyelesaian persamaan rekursif adalah sebagai
berikut.
1. Mulai dengan
, nilai minimum RHS (right hand side) dari persamaan rekursif
2. Hitung
yang diperoleh untuk
3. Simpan nilai
4. Untuk
dan
dan
.
.
jika
, di mana
.
.
, nilai minimum RHS dari persamaan rekursif yang diperoleh
6. Hitung
;
7. Simpan nilai
8. Untuk
,
, nyatakan peubah penjelas sebagai
5. Tetapkan
untuk
.
. Tetapkan
.
dan
.
kembali ke langkah 4.
9. Pada
,
10. Pada
diperoleh sehingga nilai optimum
dari
diperoleh.
, gunakan penghitungan mundur untuk
, sehingga nilai optimum
nilai dari
dari
11. Ulangi langkah ke-10 sampai nilai optimum
dari
, baca
.
diperoleh dari
.
Penyelesaian persamaan rekursif tersebut menggunakan Program C++.
Tahap 3. Penghitungan nilai optimum fungsi objektif.
Sebagai tahapan terakhir adalah menghitung nilai optimum fungsi objektif
∑
untuk setiap strata L yaitu ∑
.
Untuk mengetahui karakteristik antar strata dilakukan pengujian
kehomogenan ragam. Metode statistika untuk menguji kehomogenan ragam
adalah uji khi-kuadrat yang dikenal dengan uji Bartlett. Hipotesis yang diuji pada
uji Bartlett adalah:
H0 :
H1 : paling sedikit ada satu pasang
, untuk setiap
, di mana
Uji Bartlett dapat dilakukan untuk ulangan sama atau tidak sama. Uji khikuadarat untuk jumlah ulangan tidak sama adalah:
∑
(
)
(∑
∑(
∑
)
)
dengan dbi adalah derajat bebas strata ke-i, si2 adalah ragam dari strata ke-i dan
s2gab adalah ragam gabungan untuk semua strata.
Dengan kaidah keputusan sebagai berikut:
Apabila
, maka H0 ditolak artinya kehomogenan ragam tidak
dapat dipenuhi. Dan jika sebaliknya hipotesis kehomogenan ragam diterima.
15
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data Pengeluaran Per Kapita Propinsi Jawa Timur Tahun 2008
Jawa Timur adalah provinsi yang terdiri dari 29 kabupaten dan 9 kota. Secara
umum wilayah provinsi Jawa Timur dapat dibagi menjadi dua bagian besar yaitu
Jawa Timur daratan dan Pulau Madura. Luas wilayah Jawa Timur daratan hampir
mencapai 90 persen dari luas keseluruhan, sedangkan wilayah Madura hanya sekitar
10 persen.
Peta wilayah kabupaten/ kota di Jawa Timur disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1 Peta administratif Propinsi Jawa Timur
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data pengeluaran per kapita
penduduk Jawa Timur tahun 2008 dengan jumlah contoh n = 8607 Kepala Rumah
Tangga. Data ini diperoleh dari publikasi BPS dari hasil SUSENAS. Dari data
tersebut dapat diperoleh informasi bahwa rata-rata pengeluaran per kapita
penduduk Jawa Timur adalah Rp337.105,93 dan ragam Rp8.49 x 1010.
Pengeluaran minimum adalah sebesar Rp41.349,94 dan pengeluaran maksimum
sebesar Rp5.442.241,45.
Probability plot (p-p) diperlukan untuk menentukan apakah sebaran dari
pengeluaran per kapita sesuai dengan jenis sebaran tertentu. Setelah dilakukan uji
kenormalan Anderson Darling terhadap data pengeluaran per kapita, hasilnya
menunjukkan bahwa adanya penyimpangan asumsi kenormalan sepeti terlihat
pada Gambar 2.
Probability Plot of kapita
Normal - 95% CI
Mean
StDev
N
AD
P-Value
99.99
99
337106
291371
8607
746.460