Bootstrap Confidence Interval Estimation of Preferred Direction for Circular Data

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN BOOTSTRAP BAGI
UKURAN PEMUSATAN DATA SIRKULAR

CICI SUHAENI

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pendugaan Selang Kepercayaan
Bootstrap bagi Ukuran Pemusatan Data Sirkular adalah karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada
perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan tercantum dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Mei 2012

Cici Suhaeni
G151100011

ABSTRACT
CICI SUHAENI. Bootstrap Confidence Interval Estimation of Preferred Direction
for Circular Data. Under direction of I MADE SUMERTAJAYA and ANIK
DJURAIDAH.

The confidence interval is an estimator based on the sampling distribution.
When the sampling distribution can not be derived from population distribution,
the bootstrap method can be used to estimate it. Three methods used to estimate
the bootstrap confidence interval for circular data were equal-tailed arc (ETA),
symmetric arc (SYMA), and likelihood-based arc (LBA). In this study, three
methods were evaluated through simulation study. The most important criterion to
evaluate them were true coverage and interval width. The simulation results
indicated in all methods, the interval width shortened when the concentration
parameter increased. True coverage approached confidence level when the
concentration parameter were one or more. For small concentration parameter, all
three methods appeared unstable. Based on the true coverage, SYMA was the
best, while in terms the interval width, LBA was the best one. For both criterion
could be summarized that ETA is the best result. ETA and SYMA applicated for
estimate the period of Dengue Fever outbreaks in Bengkulu. The estimation
showed that Dengue Fever outbreaks in 2009 were October through January. In
2010, it were January through March, and in 2011, it were June through
September.
Keywords : Circular data, Bootstrap confidence interval, Equal-tailed arc,
Symmetric arc, Likelihood-based arc.

RINGKASAN
CICI SUHAENI. Pendugaan Selang Kepercayaan Bootstrap bagi Ukuran
Pemusatan Data Sirkular. Dibimbing oleh I MADE SUMERTAJAYA dan ANIK
DJURAIDAH.
Data sirkular merupakan salah satu jenis data berarah yang bersifat
periodik. Data diukur menggunakan instrumen kompas dan jam. Seperti pada
kasus data linier, pada data sirkular juga dapat dijumpai kondisi sulitnya
menentukan sebaran penarikan contoh dari sebaran populasi yang tidak diketahui
maupun diketahui. Oleh karena itu, pendugaan selang kepercayaan menggunakan
resampling bootstrap pada data sirkular menjadi kajian yang menarik dilakukan.
Metode yang telah berkembang untuk pendugaan selang kepercayaan
bootstrap pada data sirkular ada tiga, yaitu busur ekor sama (BES), busur simetri
(BSIM), dan busur berbasis kemungkinan (BBK). Baik buruknya selang
kepercayaan dievaluasi melalui dua kriteria, yaitu lebar selang dan kemampuan
selang dalam mencakup parameter sesungguhnya. Selang kepercayaan ini
ditentukan oleh keragaman data. Pada data sirkular dengan sebaran von Mises,
keragaman data dapat dilihat dari parameter konsentrasi.
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji pengaruh parameter konsentrasi
terhadap dugaan selang kepercayaan bootstrap bagi arah rata-rata dan arah median
pada metode BES, BSIM, dan BBK. Kemudian, menerapkan metode terbaik pada
kasus waktu (bulan) kejadian Demam Berdarah Dengue (DBD) di Provinsi
Bengkulu.
Data yang digunakan adalah data simulasi dan data riil. Data simulasi
diperoleh dari proses pembangkitan melalui sebaran vonMises. Data riil berupa
data waktu (bulan) kedatangan pasien DBD di instalasi rawat inap RSUD M
Yunus Bengkulu Tahun 2009, 2010, dan 2011. Penelitian dibagi menjadi empat
tahap. Tahapan 1 membangkitkan data, Tahapan 2 menentukan selang
kepercayaan bootstrap, Tahapan 3 mengevaluasi hasil selang dugaan bootstrap,
dan Tahapan 4 implementasi metode terbaik terhadap data riil.
Hasil studi simulasi menunjukkan bahwa pada parameter konsentrasi yang
kecil (
, ketiga metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap bagi arah
rata-rata dan arah median menghasilkan cakupan selang yang tidak stabil. Metode
yang terbaik untuk selang kepercayaan bagi arah rata-rata adalah BES dan bagi
arah median adalah BSIM. Untuk
, ketiga metode cenderung memberikan
cakupan yang stabil dekat dengan tingkat kepercayaan. Metode yang terbaik
adalah BSIM.
Lebar selang dari ketiga metode juga tidak stabil pada pada
. Untuk
selang kepercayaan bagi arah rata rata yang terbaik adalah BSIM, namun bagi
arah median yang terbaik adalah BES. Metode yang memberikan selang
kepercayaan paling sempit untuk kondisi
1 adalah BBK. Secara umum, ada
kecenderungan bahwa ketiga metode akan memberikan selang yang semakin
sempit dan sama (konvergen) seiring dengan meningkatnya parameter
konsentrasi. Kekonvergenan lebar selang ini dicapai saat parameter
konsentrasinya sekitar 20. Dari segi cakupan dan lebar selang, BES adalah yang
terbaik.

Penerapan metode BES dan BSIM terhadap data riil menunjukkan bahwa
periode waktu wabah DBD di Provinsi Bengkulu selalu berbeda pada tiga tahun
terakhir. Tahun 2009 periodenya adalah Oktober sampai Januari, tahun 2010
adalah Januari sampai Maret, dan tahun 2011 adalah Juni sampai September.

Kata kunci : Data sirkular, Selang kepercayaan bootstrap, Busur ekor sama, Busur
simetri, Busur berbasis kemungkinan.

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012
Hak Cipta dilindungi Undang-undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar bagi IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN BOOTSTRAP BAGI
UKURAN PEMUSATAN DATA SIRKULAR

CICI SUHAENI

Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hari Wijayanto, MSi.

Judul Penelitian

: Pendugaan Selang Kepercayaan Bootstrap bagi Ukuran
Pemusatan Data Sirkular

Nama

: Cici Suhaeni

NRP

: G151100011

Disetujui
Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Made Sumertajaya, MSi.
Ketua

Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS.
Anggota

Diketahui,

Ketua Program Studi Statistika

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Erfiani, MSi.

Dr. Ir. Dahrul Syah, MSc. Agr.

Tanggal Ujian : 31 Mei 2012

Tanggal Lulus : 11 Juni 2012

PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas kemudahan yang diberikan sehingga
tesis dengan judul “Pendugaan Selang Kepercayaan Bootstrap bagi Ukuran
Pemusatan Data Sirkular” ini dapat diselesaikan dengan baik. Penelitian untuk
penulisan tesis ini dilakukan dengan simulasi dan diaplikasikan pada kasus waktu
kejadian Demam Berdarah Dengue (DBD) di Provinsi Bengkulu.
Terimakasih penulis ucapkan kepada pihak-pihak yang telah membantu
proses penyusunan tesis ini, yaitu :
1. Dr. Ir. I Made Sumertajaya, MSi. dan Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS. selaku
pembimbing, atas arahan dan bimbingannya selama penulisan tesis ini.
2. Dr. Ir. Hari Wijayanto, MSi. dan Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, MSc. yang telah
turut memberikan masukan positif pada pelaksanaan ujian tesis.
3. Dr. Ir. Erfiani, MSi. selaku Ketua Program Studi Statistika S2 yang telah turut
membantu kelancaran penyelesaian tesis ini.
4. Tanoto Foundation yang telah memberikan beasiswa dan bantuan biaya
penelitian sehingga memperlancar semua kegiatan dalam studi dan penyusunan
tesis ini.
5. Seluruh keluarga yang turut membantu penulis berupa materi, mendapatkan
data, serta memberikan dukungan moral dan doa yang tulus.
6. dr. Syafriadi dari RSUD M Yunus Bengkulu yang telah membantu penulis
dalam memperoleh data DBD.
7. Seluruh mahasiswa Program Studi Statistika dan Statistika Terapan baik S2
maupun S3, serta semua yang turut membantu penulis secara fisik, ilmu,
maupun dukungan moral dalam penyusunan tesis ini.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tesis ini masih banyak kekurangan.
Masukan-masukan yang membangun sangat penulis harapkan demi perbaikan di
masa yang akan datang. Semoga, tesis ini dapat bermanfaat.

Bogor, Mei 2012
Cici Suhaeni

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sri Bawono (Lampung Tengah) pada tanggal 5
Februari 1983 dari ayah Sudarso dan ibu Sarni. Penulis merupakan putri kelima
dari tujuh bersaudara.
Tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikan di SMU N 1 Putri Hijau,
Bengkulu Utara. Pada tahun 2005 penulis menamatkan S1 Matematika dari
Universitas Bengkulu (UNIB). Enam bulan berikutnya penulis mulai mengajar di
SMA Muhammadiyah 4 Kota Bengkulu hingga akhir tahun ajaran 2009/2010.
Selain itu, penulis juga mengajar di Sekolah Tinggi Ilmu Kesehatan (STIKES) Tri
Mandiri Sakti Bengkulu dan Bimbingan Belajar Primagama Bengkulu. Pada tahun
2010, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Magister Sains di Program
Studi Statistika, Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Disamping
menjalani kuliah, penulis juga sempat mengajar di Bimbingan Belajar Ganesha
Operation Bogor.

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ............................................................................................
DAFTAR GAMBAR .......................................................................................
DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................

xii
xiii
xiv

PENDAHULUAN ...........................................................................................
Latar Belakang ........................................................................................
Tujuan Penelitian ....................................................................................

1
1
2

TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................................
Penduga Titik dan Selang Kepercayaan .................................................
Data Sirkular ...........................................................................................
Ukuran Pemusatan Data Sirkular (Preferred Direction) ........................
Ukuran Konsentrasi dan Penyebaran ......................................................
Sebaran von Mises dan Parameter Konsentrasi ......................................
Metode Bootstrap....................................................................................
Selang Kepercayaan Bootstrap untuk Data Sirkular ..............................

3
3
4
6
7
8
8
10

METODOLOGI ...............................................................................................
Data .........................................................................................................
Metode Analisis ......................................................................................

12
12
13

HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................................
Selang Kepercayaan Bootstrap bagi arah Rata-rata dan Arah
Median ....................................................................................................
Selang Kepercayaan Waktu Terjadinya wabah DBD di Provinsi
Bengkulu .................................................................................................

17
17

SIMPULAN DAN SARAN .............................................................................
Kesimpulan .............................................................................................
Saran .......................................................................................................

33
33
33

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................

34

LAMPIRAN .....................................................................................................

36

30

DAFTAR TABEL
Halaman

1 Statistika deskriptif sirkular data DBD .......................................................

31

DAFTAR GAMBAR

1
2

Halaman
Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar ......................
6
Selang kepercayaan busur ekor sama, busur simetri, dan busur berbasis
kemungkinan ............................................................................................
.

dan

11

3

Pola sebaran data dengan parameter konsentrasi

....

12

4

Diagram alir tahapan penelitian ...............................................................

16

5

Cakupan selang BES Mean ......................................................................

18

6

Cakupan selang BES Median ...................................................................

18

7

Lebar selang BES Mean ...........................................................................

19

8

Lebar selang BES Median ........................................................................

19

9

Keragaman lebar selang BES Mean .........................................................

20

10 Keragaman lebar selang BES Median......................................................

20

11 Cakupan selang BSIM Mean ...................................................................

21

12 Cakupan selang BSIM Median ................................................................

21

13 Lebar selang BSIM Mean ........................................................................

22

14 Lebar selang BSIM Median .....................................................................

22

15 Keragaman lebar selang BSIM Mean ......................................................

23

16 Keragaman lebar selang BSIM Median ...................................................

23

17 Cakupan selang BBK Mean .....................................................................

24

18 Cakupan selang BBK Median ..................................................................

24

19 Lebar selang BBK Mean ..........................................................................

25

20 Lebar selang BBK Median .......................................................................

25

21 Keragaman lebar selang BBK Mean ........................................................

26

22 Keragaman lebar selang BBK Median .....................................................

26

23 Peringkat dari cakupan selang kepercayaan bagi arah rata-rata...............

27

24 Peringkat dari cakupan selang kepercayaan bagi arah median ................

27

25 Peringkat dari lebar selang kepercayaan bagi arah rata-rata ....................

28

26 Peringkat dari lebar selang kepercayaan bagi arah median .....................

28

27 Peringkat dari keragaman lebar selang kepercayaan bagi arah rata-rata .

29

28 Peringkat dari keragaman lebar selang kepercayaan bagi arah median ...

30

29 Diagram mawar data DBD Provinsi Bengkulu ........................................

30

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman
1 Pola sebaran data untuk berbagai parameter konsentrasi .........................

37

2 Nilai harapan dari arah rata-rata dan arah median 1000 simulasi ............

38

3 Hasil selang kepercayaan bagi arah rata-rata ...........................................

39

4 Hasil selang kepercayaan bagi arah median.............................................

40

5 Konversi bulan ke dalam derajat arah ......................................................

41

6 Interpretasi sudut ke dalam bulan ............................................................

42

7 Progam R untuk konversi sudut ...............................................................

41

8 Program R untuk fungsi BES, BSIM, dan BBK bagi arah rata-rata ........

44

9 Program R untuk fungsi BES, BSIM, dan BBK bagi arah median..........

46

10 Program R untuk simulasi selang kepercayaan ........................................

48

PENDAHULUAN

Latar Belakang
Statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang pendugaan parameter.
Selang kepercayaan merupakan penduga parameter yang sangat penting sebagai
pelengkap bagi penduga titik. Proses pendugaannya tergantung pada sebaran
penarikan contoh yang diturunkan dari sebaran populasi (Moore & McCabe
1998). Pada beberapa kasus, terkadang dijumpai masalah tidak dapat menentukan
sebaran penarikan contoh karena sebaran populasi tidak diketahui dan rumitnya
menurunkan sebaran penarikan contoh meskipun sebaran populasi diketahui.
Masalah tersebut dijumpai baik untuk data linier maupun data sirkular. Untuk
mengatasinya, dapat didekati dengan metode bootstrap (Rice 2007).
Metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap banyak dikaji oleh para
peneliti, diantaranya, Hall (1988a), Hall (1988b), dan Benton & Krishnamoorthy
(2002) mengkaji untuk data linier. Pada data sirkular, Fisher & Hall (1989)
memperkenalkan metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap berdasarkan
besaran pivot, yaitu metode busur ekor sama (BES), metode busur simetri
(BSIM), dan metode busur berbasis kemungkinan (BBK). Metode ini merupakan
pengembangan metode yang diusulkan oleh Ducharme et al. (1985) yaitu hanya
menggunakan metode busur simetri.
Hal terpenting yang digunakan untuk mengevaluasi baik buruknya selang
kepercayaan adalah lebar selang dan seberapa besar peluang selang tersebut dapat
mencakup nilai parameter yang sesungguhnya (Casella & Berger 2002). Lebar
selang sangat dipengaruhi oleh keragaman data. Pada data sirkular berdistribusi
von Mises (normal sirkular), ukuran keragaman data dapat dilihat dari besarnya
parameter konsentrasi ( .
Otieno (2002) telah membandingkan ketiga metode tersebut untuk
menduga

selang

menggunakan

kepercayaan

ukuran

pemusatan

data

sirkular

dengan

dengan ukuran contoh N = 10. Dari penelitian

tersebut diperoleh bahwa metode selang kepercayaan yang berbeda-beda akan
cenderung memberikan hasil yang sama atau konvergen dengan meningkatnya
parameter konsentrasi. Namun, Otieno sendiri menyatakan bahwa penerapan

2

ketiga metode bootstrap dengan menggunakan

masih

memberikan efek yang kecil terhadap perubahan selang kepercayaan, sehingga
disarankan untuk dilakukan studi simulasi yang lebih luas agar diperoleh
kesimpulan yang bersifat umum.
Kasus yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah kejadian Demam
Berdarah Dengue (DBD) di Provinsi Bengkulu. Permasalahan ini menarik untuk
dikaji karena DBD merupakan penyakit yang mewabah, terjadi secara nasional,
dan dapat menyebabkan kematian. Peubah yang akan dikaji dalam penelitian ini
adalah waktu kejadian DBD yang akan diukur melalui waktu (bulan) kedatangan
pasien DBD di instalasi rawat inap Rumah Sakit Umum Daerah (RSUD)
Bengkulu. Data waktu (bulan) kedatangan pasien DBD ini merupakan data
sirkular yang sebaran populasinya masih sulit untuk diidentifikasi, sehingga
analisis terhadap data ini dapat didekati dengan metode bootstrap untuk data
sirkular.

Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :
1.

Mengkaji pengaruh parameter konsentrasi

terhadap dugaan selang

kepercayaan bootstrap bagi arah rata-rata dan arah median pada metode busur
ekor sama, busur simetri, dan busur berbasis kemungkinan.
2.

Menduga selang kepercayaan untuk waktu (bulan) atau periode terjadinya
wabah DBD di Provinsi Bengkulu.

TINJAUAN PUSTAKA

Penduga Titik dan Selang Kepercayaan
Penduga bagi parameter populasi ada dua jenis, yaitu penduga titik dan
penduga selang atau disebut sebagai selang kepercayaan. Penduga titik dari suatu
parameter

adalah bilangan tunggal yang dapat dianggap sebagai nilai yang

paling dekat dengan

Penduga titik diperoleh dengan cara memilih statistik yang

sesuai dan menghitung nilai statistik tersebut dari data contoh yang diberikan.
Statistik yang terpilih disebut sebagai penduga titik dari

(Devore 2004).
yang tidak

Statistik adalah suatu fungsi peubah acak
tergantung pada

(Casella & Berger 2001). Standar deviasi dari suatu penduga

(statistik) dinamakan galat baku statistik, yang dinotasikan dengan
(Johnson & Bhattacharyya 1992).

Jika galat baku dari statistik melibatkan

parameter yang tidak diketahui, maka nilai dari galat baku dapat diduga. Dengan
mensubstitusikan nilai dugaan parameter ini ke

maka dihasilkan dugaan galat

baku statistik (Devore 2004). Galat baku dari statistik ini yang dijadikan sebagai
dasar dalam menentukan selang kepercayaan.
Selang kepercayaan merupakan penduga parameter yang berupa kisaran
nilai. Sebuah selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan sebesar C bagi
parameter adalah selang yang dihitung dari data contoh dengan suatu metode
tertentu yang memiliki peluang sebesar C untuk menghasilkan selang yang
mengandung nilai parameter sesungguhnya (Moore & McCabe 1998). Secara
matematis, Casella & Berger (2001) mendefinisikan selang dugaan tertutup bagi
parameter

yaitu selang tertutup yang ujung bawah dan ujung atasnya masing-

masing

dan
anggota ruang sampel X. Jika

adalah sampel yang terambil
disebut selang dugaan acak bagi

secara acak, maka
. Jika

untuk

atau

disebut

adalah sampel acak, maka

selang penduga (acak) bagi

. Sedangkan, peluang dari selang penduga bagi
untuk

mencakup

pencakupan” dituliskan sebagai berikut :

nilai

disebut

“peluang

4

Jika besarnya peluang pencakupan adalah
kepercayaan

bagi

, maka selang ini disebut selang

. Misalnya, untuk

maka diperoleh

selang kepercayaan 95% bagi .
Bentuk umum dari selang kepercayaan adalah (Moore & McCabe 1998) :

Dugaan titik adalah perkiraan untuk parameter yang tidak diketahui. Batas
kesalahan (margin of error) menunjukkan seberapa akurat nilai dugaan tersebut
dapat dipercaya, berdasarkan variasi dugaan yang diperoleh.
Selanjutnya, Levy & Lemeshow (1999) memaknai selang kepercayaan
95% sebagai berikut : jika kita lakukan pengambilan sampel berukuran

dari

sebuah populasi yang sama berulangkali, dan untuk setiap sampel dilakukan
perhitungan selang kepercayaan, maka 95% dari selang kepercayaan tersebut akan
mencakup nilai parameter populasi yang sesungguhnya.
Penentuan selang kepercayaan bagi parameter populasi dapat dilakukan
dengan pembalikan statistik uji, menggunakan besaran pivot, pivoting fungsi
sebaran kumulatif, dan metode bayes. Baik buruknya selang kepercayaan dugaan
yang diperoleh dari berbagai metode tersebut, dapat dievaluasi dengan melihat
dua aspek, yaitu lebar selang dan peluang pencakupan. Lebar selang didefinisikan
sebagai selisih antara batas atas dan batas bawah selang kepercayaan (Casella &
Berger 2001).

Data Sirkular
Data sirkular merupakan salah satu jenis data berarah (directional data).
Secara umum, data berarah dibagi menjadi dua, yaitu data berarah dua dimensi
dan tiga dimensi. Untuk data berarah dua dimensi disebut data sirkular (circular
data) dan untuk tiga dimensi disebut data bola (spherical data) (Jammalamadaka
& SenGupta 2001).
Banyak cara memperoleh data sirkular, namun yang utama, data sirkular
diperoleh dari dua instrumen pengukuran yaitu kompas dan jam. Hasil
pengukuran menggunakan kompas adalah data bersatuan arah (derajat/radian)
sedangkan hasil pengukuran menggunakan jam adalah waktu (dalam hal ini bisa

5

berupa jam/hari/bulan/tahun) (Mardia & Jupp 2000). Contoh pengamatan yang
diukur menggunakan kompas adalah arah angin dan arah migrasi binatang.
Sedangkan, contoh pengamatan yang diukur menggunakan jam adalah waktu
terjadinya kecelakaan lalu lintas.
Pengamatan sirkular dapat dianggap sebagai titik pada lingkaran dengan
satu unit jari-jari, atau satu unit vektor pada garis (Mardia & Jupp 2000).
Representasi numerik dari data sirkular adalah sudut yang diukur berdasarkan
pemilihan titik awal (starting point)

dan arah positif rotasinya yaitu searah atau

berlawanan arah dengan jarum jam. Pemilihan titik awal

ini bersifat sembarang

sehingga besarnya sudut untuk sebuah pengamatan bisa berbeda-beda. Meskipun
titik awal

dan arah rotasinya bersifat sembarang, analisis statistika sirkular tetap

memberikan hasil yang sama. Namun, penentuan titik awal

yang bersifat

sembarang ini, membuat data sirkular tidak dapat dianalisis menggunakan
prosedur analisis statistika untuk data linier karena akan memberikan kesimpulan
yang tidak tepat (Jammalamadaka & SenGupta 2001).
Khusus data sirkular bersatuan waktu, harus dikonversikan menjadi data
sirkular bersatuan derajat arah. Misalkan, x adalah data hasil pengamatan
bersatuan waktu dan

adalah nilai maksimumnya. Rumus konversi data sirkular

bersatuan waktu menjadi bersatuan derajat arah adalah :

Untuk menganalisis data sirkular ada dua fungsi trigonometri yang
digunakan sebagai dasar, yaitu sinus dan cosinus. Kedua fungsi dasar trigonometri
ini digunakan untuk membantu menentukan posisi suatu data dan untuk
menyelaraskan dua sistem koordinat, yaitu sistem koordinat kartesius (X,Y)
dengan titik pusat 0 dan sumbu tegak lurus X dan Y yang melalui pusat, dan
sistem koordinat polar (r α) dengan r adalah jarak titik pusat ke keliling lingkaran
dan α adalah sudutnya. Misal titik P dengan koordinat polar (r α). Maka
koordinat kartesius titik P adalah :

, dan

. Hal ini

diilustrasikan pada Gambar 1.
Pada statistika sirkular yang diperhatikan adalah arah, bukan besarnya
vektor, sehingga untuk kemudahan diambil vektor-vektor ini menjadi vektor unit

6

yaitu vektor yang mempunyai panjang satu, atau r = 1. Setiap arah berhubungan
dengan sebuah titik P dalam keliling suatu lingkaran. Kebalikannya, titik ini
dalam suatu lingkaran dapat dinyatakan sebagai sudut. Jika titik P terletak dalam
keliling lingkaran, perubahan koordinat polar dan koordinat kartesius adalah
(1)

Gambar 1. Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar

Ukuran Pemusatan Data Sirkular (Preferred Direction)
Ukuran pemusatan data sirkular yang dikaji dalam penelitian ini adalah
arah rata-rata dan arah median. Penjelasannya adalah sebagai berikut.
a. Arah rata-rata (mean direction)
Perhitungan rata-rata yang tepat untuk data sirkular diperoleh dengan
memperlakukan data sebagai vektor-vektor unit, kemudian arah rata-rata adalah
arah dari vektor resultannya. Misalkan
pengamatan sirkular dengan
Misalkan
dari

dan

adalah pengamatan-

sebagai vektor-vektor unit yang berkaitan.

adalah komponen-komponen kartesius dari

. Vektor resultan

didapatkan dari penjumlahan komponen-komponen vector

.

Dengan menggunakan persamaan (1), vektor resultan dari
menjadi :
(2)
dan arah rata-rata sirkularnya (

dengan

dan

adalah

.

Untuk berbagai kemungkinan nilai C dan S, arah rata-rata akan bernilai :
1.
2.

jika
, jika

7

3.
4.

jika
jika

5. tidak terdefinisi, jika

.

(Fisher 1995; Jammalamadaka & SenGupta 2001; Mardia & Jupp 2000).
b. Arah Median (Median Direction)
Arah median contoh

diperkenalkan oleh Mardia pada tahun 1972 dan

dikenal dengan Mardia median. Untuk sekumpulan sudut atau titik data
arah median didefinisikan sebagai sebuah sudut

,

(atau titik tengah dari dua sudut

yang berdekatan jika ukuran contohnya genap) yang memenuhi : (i) setengah dari
titik-titik data terletak pada busur

dan (ii) mayoritas dari titik-titik data

tersebut lebih dekat ke

. (iii) Simpangan rata-rata sirkular

daripada

dari , yaitu
adalah minimum (Mardia & Jupp 2000; Fisher 1995; Ratanaruamkarn 2009).

Ukuran Konsentrasi dan Penyebaran
Ukuran konsentrasi data dapat dilihat dari panjang rata-rata resultan dan
ukuran penyebaran data dapat dilihat dari ragam sirkular. Dari persamaan (2)
dapat dihitung panjang dari vektor resultan, yaitu :
;
dan panjang rata-rata resultan (mean resultant length), yaitu :

Jika data cenderung mengumpul disekitar rata-ratanya, maka

akan bernilai 1.

Namun, jika data cenderung menyebar di sekeliling lingkaran maka

bernilai 0.

Untuk keperluan deskriptif dan inferensia, penggunaan panjang rata-rata resultan
lebih baik dari pada ukuran penyebaran data. Namun, untuk tujuan pembandingan
dengan data pada garis, terkadang lebih baik menggunakan ragam sirkular sebagai
ukuran penyebaran data (Mardia & Jupp 2000), yaitu :

8

Titik sudut dalam arah yang sama mengindikasikan pemusatan yang besar,
nilai R dapat sebesar n. Sebaliknya data yang menyebar merata pada sekeliling
lingkaran mengindikasikan tidak adanya pemusatan, R dapat mendekati nilai 0.
Artinya, semakin besar ragam sirkular maka semakin besar pula sebaran data dan
semakin kecil konsentrasi data terhadap arah rata-ratanya (Jammalamadaka &
SenGupta 2001).

Sebaran von Mises dan Parameter Konsentrasi
Sebaran von Mises diperkenalkan oleh von Mises pada Tahun 1918.
Parameter pada sebaran ini adalah arah rata-rata ( ) dan parameter konsentrasi
( ). Fungsi kepekatan peluang dari sebaran von Mises adalah :

yang merupakan fungsi

dengan
Bessel orde nol.

Parameter konsentrasi menunjukkan seberapa besar data menuju suatu
arah tertentu. Parameter konsentrasi dilambangkan dengan . Pendugaan

pada

sebaran von Mises dilakukan menggunakan metode kemungkinan maksimum.
Hasil dugaannya adalah (Fisher 1995) :
untuk
.

.

.

untuk
untuk

Jika

berarti sebaran data mendekati sebaran seragam dan jika

berarti

sebaran data terkonsentrasi pada arah rata-ratanya.

Metode Bootstrap
Bootstrap adalah prosedur statistika berbasis komputer menggunakan
teknik pengambilan contoh ulang dengan pengembalian (resampling with
replacement). Metode yang diperkenalkan oleh Efron (1979) ini merupakan salah

9

satu alternatif metode untuk menduga sebaran statistik, galat baku statistik, bias,
selang kepercayaan, dan beberapa parameter lain selain rata-rata (Efron 1981;
Efron & Tibsirani 1993). Efron memberikan dua pendekatan bootstrap, yaitu
bootstrap non parametrik dan bootstrap parametrik. Berikut akan dijelaskan
bagaimana konsep kedua pendekatan ini dan kapan pendekatan tersebut cocok
digunakan.
a. Bootstrap non parametrik
Pada pendekatan bootstrap non parametrik, sebaran peluang populasi tidak
diketahui. Metode ini bertujuan untuk memperoleh dugaan parameter dan sebaran
populasi. Asumsikan

adalah contoh acak dari sebaran peluang

populasi F yang tidak diketahui dan

adalah parameter yang ingin diduga.

Prinsip pembangkitan contoh bootstrap adalah sebagai berikut. Ambil contoh
berukuran n secara acak dengan pengembalian dari fungsi sebaran empiris
adalah sebaran diskret yang menentukan peluang

.

untuk stiap pengamatan

,

untuk

. Lakukan sebanyak B kali. Untuk setiap contoh bootstrap

dihitung dugaan

, sehingga diperoleh gugus data

. Sebaran dari B

buah

dapat digunakan untuk menduga sebaran dari . Nilai rata rata dari B

buah

adalah penduga bootstrap. Pada umumnya, ukuran B antara 50–200 untuk

menduga galat baku , dan paling sedikit 500 untuk menduga selang kepercayaan
(Efron & Tibsirani 1993).
b. Bootstrap Parametrik
Pada bootstrap parametrik, sebaran populasi data asli diketahui, tetapi
sebaran statistiknya tidak diketahui (Otieno 2002). Pendekatan bootstrap
parametrik membangkitan contoh bootstrap dengan sebaran parametrik (Amiri et
al. 2008). Berikut adalah prosedur dari pendekatan ini. Misalkan
adalah contoh dari pengamatan yang berasal dari populasi dengan
fungsi sebaran

.

adalah parameter yang tidak diketahui. Dari data

tersebut, dihitung dugaan . Ambil contoh bootstrap,

, berukuran n dari sebaran

. Hitung penduga dari setiap contoh bootstrap,
sebanyak B kali, sehingga diperoleh

. Ulangi proses ini

. Sebaran penarikan contoh dari

10

dapat didekati dengan frekuensi sebaran dari

. (Benton & Krishnamoorthy

2002). Efron (1993) memberikan ilustrasi bootstrap parametrik untuk menghitung
galat baku dari koefisien korelasi. Bootstrap parametrik cenderung memberikan
dugaan yang lebih halus mengenai sebaran dari data dengan ukuran contoh kecil
dan untuk parameter yang hanya melibatkan sedikit nilai numerik dari data
contoh, misalnya median, nilai minimum, dan nilai maksimum (Otieno 2002).

Selang Kepercayaan Boostrap untuk Data Sirkular
Metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap untuk data sirkular
pertama kali diusulkan oleh Ducharme (1985) menggunakan metode busur simetri
(syimmetric arc). Kemudian, Fisher & Hall (1989) mengembangkannya menjadi
tiga metode, yaitu metode busur ekor sama (equal-tailed arc), metode busur
simetri (syimmetric arc) dan metode busur berbasis kemungkinan (likelihood
based arc).
a. Busur Ekor Sama (Equal-Tailed Arc)
Metode busur ekor sama menggunakan dugaan titik dari ukuran pemusatan
(Preferred Direction, PD) sebagai pengamatan tengah. Titik ujung selang
kepercayaan didefinisikan sebagai lokasi dimana

dari nilai bootstrap

terletak antara ujung selang dan PD. Ilustrasi mengenai metode ini dapat dilihat
pada Gambar 2a. Metode ini cukup baik untuk mengatasi sebaran miring. Fisher
(1995) menyebut metode ini sebagai metode dasar. Prosedur penentuan selang
kepercayaan

100% bagi ukuran pemusatan populasi adalah menghitung

perbedaan antara ukuran pemusatan dari data asli dan ukuran pemusatan dari
contoh bootstrap ke-b, yaitu :

adalah ukuran pemusatan contoh bootstrap ke-b. Kemudian, nilai-nilai
diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. Misalkan,
terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
kepercayaan

adalah bilangan bulat
dan

. Selang

100% bagi ukuran pemusatan populasi adalah

11

, dengan
adalah nilai

adalah nilai

pada posisi ke-

dan

pada posisi ke- .

b. Metode Busur Simetri (Symmetric-Arc Method)
Metode busur simetri menggunakan dugaan titik dari ukuran pemusatan
sebagai titik tengah interval dan memilih sudut D*, sedemikian rupa sehingga
dari nilai-nilai

terletak dalam selang. Besar D* di atas dan bawah

dugaan titik adalah sama. Ilustrasi untuk metode ini dapat dilihat pada Gambar 2b.
Metode ini dirancang untuk menduga selang dengan asumsi sebaran simetri.
Fisher (1995) menyebut metode ini sebagai metode sebaran simetris. Prosedur
penentuan selang kepercayaan

100% bagi ukuran pemusatan populasi

adalah menghitung perbedaan mutlak antara ukuran pemusatan data asli dan
contoh bootstrap ke-b, yaitu :
, b = 1, .., B
Kemudian, nilai-nilai

diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. Misalkan

adalah bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan
Selang kepercayaan

100% untuk

dan

.

ukuran pemusatan populasi adalah

.
c. Busur Berbasis Kemungkinan (Likelihood Based Arc)
Metode busur berbasis kemungkinan adalah metode yang paling fleksibel.
Melalui metode ini, dimungkinkan untuk menemukan selang sempit yang
memenuhi persyaratan dari selang kepercayaan
dengan memilih busur terpendek yang mengandung

100%. Caranya adalah
dari nilai-nilai

.

D** adalah lebar selang kepercayaan. Gambaran mengenai metode ini
diilustrasikan pada Gambar 2c.

(a)

(b)

(c)

Gambar 2. Selang kepercayaan busur ekor sama, busur simetri, dan busur berbasis
kemungkinan

METODOLOGI

Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini ada dua jenis, yaitu data
simulasi dan data riil. Data simulasi digunakan untuk melihat pengaruh perubahan
parameter konsentrasi ( ) terhadap karakteristik selang kepercayaan. Simulasi
dilakukan dengan membangkitkan data berdistribusi von Mises dengan nilai
.

.

rata-rata

.

, ukuran contoh N=10, 30, 50, 100, dan arah

. Untuk melihat konsistensi nilai dugaan, maka pembangkitan data ini

akan diulang sebanyak M=1000 kali. Proses pembangkitan dan analisis data
dilakukan dengan menggunakan Package CircStat dan Circular dalam R.
Dasar penentuan parameter konsentrasi yang digunakan dalam simulasi
adalah dengan mengambil parameter konsentrasi yang mewakili pola keadaan
data dari yang sangat menyebar hingga sangat mengumpul. Caranya adalah
dengan melihat plot sebaran titik-titik data pada berbagai parameter konsentrasi.
Gambar 3 berikut menampilkan ilustrasi pola sebaran titik-titik data di sekeliling
.

lingkaran untuk

dan N=50 yang dianggap cukup menjadi dasar

pemilihan parameter konsentrasi dalam simulasi seperti disebutkan di atas. Untuk
yang lain dapat dilihat pada Lampiran 1.

(a)

.

(b)

Gambar 3. Pola sebaran data dengan

(c)
= 0.05, 5, dan 50

Data riil digunakan sebagai aplikasi metode pendugaan selang
kepercayaan bootstrap yang terbaik. Data yang digunakan adalah data sekunder
mengenai waktu (bulan) kedatangan pasien DBD di instalasi rawat inap RSUD M
Yunus Bengkulu tahun 2009, 2010, dan 2011.

13

Metode Analisis
Langkah-langkah analisis data yang dilakukan berkaitan dengan tujuan
penelitian terbagi menjadi tiga tahap. Tahap-tahap tersebut, yaitu :
Tahap I : Membangkitkan data.
Langkah-langkah dalam membangkitkan data adalah sebagai berikut :
1.

Menetapkan ukuran contoh ( ).

2.

Menetapkan arah rata-rata
penelitian ini, ditetapkan

3.

dan parameter konsentrasi ( . Dalam
dan

.

Membangkitkan data dengan sebaran von Mises
data bangkitan ini dinotasikan dengan

berukuran N. Gugus
, yang selanjutnya disebut

sebagai gugus data asli.
Tahap II : Menentukan selang kepercayaan bootstrap
Dari data yang telah dibangkitkan pada tahap I, selanjutnya dilakukan analisis
untuk menduga selang kepercayaan bootstrap bagi arah rata-rata dan arah median.
Selang kepercayaan yang akan dibentuk menggunakan α

.

dan dilakukan

pada 1000 contoh dari data simulasi. Adapun langkah-langkah dalam menentukan
selang kepercayaannnya adalah sebagai berikut :
1.

Pengambilan contoh (sampling)
Pada tahap ini, ambil contoh acak berukuran

dari gugus data asli dengan

pengembalian. Gugus data hasil sampling tersebut dinotasikan dengan
.
2.

Menghitung arah rata-rata dan arah median dugaan
Dari gugus data hasil sampling yang diperoleh pada langkah 1, kemudian
dihitung dugaan arah rata-rata dan arah median, selanjutnya dinotasikan
dengan

3.

.

Pengambilan contoh ulang (resampling)
Ulangi langkah 1 dan 2 sebanyak B=500 kali untuk memperoleh dugaan arah
rata-rata dan arah median

. Dengan demikian, akan diperoleh

sebanyak 500 dugaan bagi arah rata-rata dan arah median.
4.

Menentukan selang kepercayaan bootstrap.
Selang kepercayaan bootstrap bagi arah rata-rata dan arah median, ditentukan
dengan tiga metode, yaitu :

14

a. Metode busur ekor sama (BES)
Prosedurnya :
1) Menghitung perbedaan ukuran pemusatan (arah rata-rata dan arah
median) dari data asli (

dan contoh bootstrap ke-b

, dengan

rumus :

2) Urutkan nilai-nilai

dari yang terkecil sampai yang terbesar.

3) Selang kepercayaan Busur Ekor Sama :

dengan :
= bilangan bulat terbesar

b. Metode busur simetri (BSIM)
Prosedurnya :
1) Menghitung perbedaan ukuran pemusatan dari data asli (
contoh bootstrap ke-b (

2) Urutkan

dan

, dengan rumus :

dari yang terkecil sampai yang terbesar

3) Selang kepercayaan busur simetri adalah :

dengan :

= nilai

pada posisi ke-m.

c. Metode busur berbasis kemungkinan (BBK)
Prosedur metode ini sangat fleksibel, yaitu dengan cara memilih busur
terpendek yang mengandung

dari nilai-nilai

.

15

Tahap III : Mengevaluasi hasil selang dugaan bootstrap
Evaluasi selang kepercayaan didasarkan pada tiga ukuran, yaitu :
a. Cakupan sebenarnya (true coverage), yaitu persentase dari jumlah selang
kepercayaan yang dengan benar mencakup arah rata-rata sesungguhnya.
Cakupan yang terbaik adalah cakupan yang dekat atau sama dengan
cakupan nominal (tingkat kepercayaan).
b. Lebar selang, yang merupakan rata-rata lebar selang dari 1000 simulasi.
Selang yang terbaik adalah selang terpendek.
c. Keragaman lebar selang, yang diukur menggunakan ragam sirkular dari
1000 lebar selang hasil simulasi. Semakin kecil nilai dari keragaman lebar
selang ini, maka lebar selang yang dihasilkan semakin seragam atau
konsisten.
Proses evaluasi ini ada dua tahap, yaitu :
1. Melihat pengaruh perubahan nilai

terhadap cakupan dan lebar selang.

2. Membandingkan selang kepercayaan bootstrap dari ketiga metode yang
digunakan pada Tahap II.
Prosedur pembandingannya adalah dengan cara memberikan peringkat
terhadap ketiga metode pada masing-masing ukuran contoh. Peringkat
tertinggi diberi nilai 3, tertinggi kedua diberi nilai 2, dan terendah diberi nilai
1. Kemudian, dihitung rata-rata peringkat dari empat ukuran contoh yang
digunakan dalam simulasi ini. Metode yang menempati peringkat tertinggi
pada interval

tertentu dikatakan metode terbaik.

3. Menarik kesimpulan
Tahap IV : Implementasi terhadap data riil
Langkah-langkahnya adalah :
1. Melakukan konversi bulan ke dalam derajat arah. Tabel konversi disajikan
pada Lampiran 4.
2. Menentukan selang kepercayaan bootstrap menggunakan metode terbaik yang
diperoleh dari Tahap III.
3. Menginterpretasikan batas atas dan batas bawah selang ke dalam bulan. Tabel
konversi disajikan pada Lampiran 5.
Diagram alir tahapan penelitian ini ditampilkan pada Gambar 4.

16

Penyiapan Populasi

Membangkitkan Data

Tetapkan n,

Bangkitkan data berdistribusi Von Mises(
Lakukan
sebanyak
M=1000 kali

Gugus data asli berukuran n

)

Output
Gugus data asli berukuran n

Menentukan selang kepercayaan
bootstrap

Proses Bootstrap

Sampel Bootstrap
Lakukan
sebanyak
B=500 kali

Hitung arah rata-rata & median
.

Output

Dugaan Mean & Median
.
Tentukan selang kepercayaan
Metode Busur Ekor
Sama (BES)

Metode Busur
Simetri (BSIM)

Metode Busur Berbasis
Kemungkinan (BBK)

Proses Perbandingan

Output
Mengevaluasi hasil selang kepercayaan bootstrap

Lihat pengaruh

terhadap perubahan lebar selang

Bandingkan BES, BSIM, dan BBK

Implementasi pada data riil

DAFTAR PUSTAKA

Gambar 4. Diagram alir tahapan penelitian

1000 SK
Bootstrap

HASIL DAN PEMBAHASAN

Sebelum dilakukan pendugaan selang kepercayaan, terlebih dahulu dilihat
ketakbiasan dari penduga titik. Caranya adalah dengan menghitung nilai harapan
dari arah rata-rata dan arah median 1000 contoh data simulasi. Hasil perhitungan
untuk seluruh contoh menunjukkan bahwa nilai harapan dari arah rata-rata dan
arah median relatif sama dengan arah rata-rata atau arah median populasi, yaitu
(Lampiran 2). Hal ini berarti bahwa, dugaan arah rata-rata dan arah median dari
data contoh merupakan penduga tak bias bagi parameter sesungguhnya.
Selang Kepercayaan Bootstrap bagi Arah Rata-rata dan Arah Median
Hasil dugaan selang kepercayaan bootstrap bagi arah rata-rata dan arah
median secara lengkap disajikan pada Lampiran 3 dan 4. Berikut ini akan dibahas
hasil simulasi untuk selang kepercayaan dari metode busur ekor sama, busur
simetri, dan busur berbasis kemungkinan, serta evaluasi hasil ketiga metode
tersebut.
a. Busur ekor sama (BES)
Cakupan sebenarnya dari selang kepercayaan busur ekor sama bagi arah
rata-rata (BES Mean) ditampilkan pada

Gambar 5. Gambar tersebut

memperlihatkan bahwa untuk semua nilai parameter konsentrasi dan ukuran
contoh, cakupan sebenarnya selalu berada di bawah cakupan nominal (tingkat
kepercayaan), yaitu 95%. Ukuran contoh kecil (N=10) selalu menghasilkan
cakupan selang yang lebih rendah dari yang lain. Pada

.

, cakupan selang

dari semua ukuran contoh terlihat paling rendah dan jauh di bawah tingkat
kepercayaan. Cakupan selang BES Mean ini stabil mendekati 95% untuk

.

Hal ini menunjukkan bahwa, saat datanya menyebar di sekeliling lingkaran,
kemampuan selang dalam mencakup arah rata-rata sesungguhnya jauh lebih
rendah dari tingkat kepercayaan selang, terlebih lagi jika ukuran contohnya kecil.
Selang kepercayaan busur ekor sama bagi arah median (BES Median) juga
memberikan hasil yang relatif sama dengan BES Mean (Gambar 6). Untuk ukuran
contoh N=50 dan N=100, cakupan mulai berada di sekitar 95% pada
Namun, untuk semua ukuran contoh hal ini dicapai ketika

. .

. Ukuran contoh

18

kecil juga menghasilkan cakupan yang lebih kecil dari yang lainnya. Hal ini juga
mengindikasikan bahwa, data yang menyebar di sekeliling lingkaran akan
membuat selang kepercayaan BES Median tidak mampu mencakup arah median

Cakupan sebenarnya (%)

sesungguhnya dengan baik.

(a)

.

s.d

(b)

s.d

Cakupan sebenarnya (%)

Gambar 5. Cakupan selang kepercayaan BES Mean

(a)

.

s.d

(b)

s.d

Gambar 6. Cakupan selang kepercayaan BES Median

Lebar selang BES Mean akan semakin sempit seiring peningkatan
parameter konsentrasi (Gambar 7). Ukuran contoh kecil memberikan lebar selang
yang lebih besar dari yang lainnya. Namun, setelah

lebar selang dari

keempat macam ukuran contoh sudah cenderung sama. Hasil ini menunjukkan
bahwa data yang menyebar di sekeliling lingkaran akan membuat selang
kepercayaan BES Mean menjadi lebar, dan sebaliknya.
Selang

kepercayaan

BES

Median

juga

demikian.

Gambar

8

memperlihatkan, dari empat macam ukuran contoh, lebar selang akan membentuk
pola

menurun

(konvergen)

seiring

Konvergensi ini juga dicapai saat

peningkatan

parameter

konsentrasi.

. Ukuran contoh kecil pun menghasilkan

selang yang lebih lebar dari yang lainnya. Hasil ini juga menunjukkan bahwa,

19

selang kepercayaan BES Median akan menjadi lebar saat datanya menyebar di

Lebar selang

sekeliling lingkaran.

.

(a)

s.d

(b)

s.d

Lebar selang

Gambar 7. Lebar selang kepercayaan BES Mean

(a)

.

s.d

(b)

s.d

Gambar 8. Lebar selang kepercayaan BES Median

Keragaman lebar selang BES Mean juga akan semakin kecil seiring
dengan meningkatnya parameter konsentrasi (Gambar 9). N=10 cenderung
memiliki keragaman lebar selang yang lebih besar dari yang lain. Setelah
keragaman lebar selang terlihat cenderung sama. Dengan demikian, data yang
menyebar akan membuat lebar selang menjadi tidak konsisten. Dengan kata lain,
untuk parameter konsentrasi yang kecil, lebar selang BES Mean yang dihasilkan
dari 1000 simulasi sangat bervariasi.
Pola yang sama juga dihasilkan selang kepercayaan BES Median. Semakin
besar parameter konsentrasi, keragaman lebar selang akan semakin kecil (Gambar
10).

juga menjadi titik konvergensi dari keragaman lebar selang. Artinya,

ketika parameter konsentrasinya sudah lebih dari 5, maka berapapun ukuran
contohnya, lebar selang yang dihasilkan dari 1000 simulasi akan cenderung
seragam atau konsisten.

Keragaman lebar selang

20

(a)

.

s.d

s.d

(b)

Keragaman lebar selang

Gambar 9. Keragaman lebar selang BES Mean

(a)

.

s.d

s.d

(b)

Gambar 10. Keragaman lebar selang BES Median

b. Busur simetri (BSIM)
Secara umum, hasil dari selang kepercayaan busur simetri bagi arah ratarata (BSIM Mean) sama dengan BES Mean. Pada

.

, cakupan selang yang

dihasilkan juga rendah dan jauh dari tingkat kepercayaan selang. Cakupan selang
akan mulai stabil mendekati tingkat kepercayaan selang saat

(Gambar 11).

Dengan demikian, selang kepercayaan BSIM Mean juga tidak mampu mencakup
arah rata-rata sesungguhnya dengan baik ketika datanya menyebar di sekeliling
lingkaran.
Cakupan selang kepercayaan busur simetri bagi arah median (BSIM
Median) sepertinya lebih baik dari BES Median. Hal ini diperlihatkan pada
Gambar 12. Pada

.

cakupan selang BSIM Median sudah mampu mencapai

70% lebih, sedangkan BES Median masih berada di bawah 50%. Berarti, pada
parameter konsentrasi kecil, BSIM Median memiliki kemampuan mencakup arah
median sesungguhnya lebih baik dari pada BES Median. Cakupan BSIM Median

21

ini sudah stabil mendekati atau sama dengan

% sejak

.

. Untuk

yang

Cakupan sebenarnya (%)

lebih besar dijumpai cakupan BES Median dapat mencapai 99%.

(a)

.

s.d

s.d

(b)

Cakupan sebenarnya (%)

Gambar 11. Cakupan selang BSIM Mean

(a)

.

s.d

s.d

(b)

Gambar 12. Cakupan selang BSIM Median

Untuk lebar selang, BSIM Mean juga menunjukkan pola yang sama
dengan BES Mean (Gambar 13). Semakin besar parameter konsentrasi maka lebar
selang kepercayaan BSIM Mean akan semakin sempit. Ukuran contoh kecil
terlihat memberikan lebar selang yang lebih besar dari ukuran contoh lainnya.
Lebar selang dari keempat ukuran contoh juga akan mulai sama saat

. Hasil

ini juga menunjukkan bahwa data yang menyebar akan membuat selang
kepercayaan BSIM Mean menjadi lebar.
BSIM Median juga demikian. Gambar 14 memperlihatkan bahwa selang
kepercayaan akan semakin sempit seiring dengan meningkatnya parameter
konsentrasi. Ukuran contoh kecil akan cenderung menghasilkan selang yang lebih
lebar dari ukuran contoh yang lain. Namun, ketika

, berapapun ukuran

contohnya selang BSIM Median akan memiliki lebar yang cenderung sama.
Ternyata, dalam hal lebar, selang kepercayaan BSIM Median juga sama dengan

22

BES Median dan BSIM Mean, yaitu selang akan semakin lebar ketika datanya

Lebar selang

menyebar di sekeliling lingkaran.

(a)

.

s.d

(b)

s.d

Lebar selang

Gambar 13. Lebar selang BSIM Mean

(a)

.

s.d

(b)

s.d

Gambar 14. Lebar selang BSIM Median

Dari segi keragaman lebar selang, secara umum perilaku BSIM Mean
relatif sama dengan BES Mean (Gambar 15). Semakin besar parameter
konsentrasi maka keragaman lebar selangnya akan semakin kecil. Ukuran contoh
kecil memberikan keragaman lebar selang yang lebih besar daripada ukuran
contoh lainnya. Setelah

5, keragaman lebar selang dari keempat macam

ukuran contoh sudah cenderung sama.
BSIM Median juga memberikan pola keragaman lebar selang yang relatif
sama dengan BSIM Mean (Gambar 16). Semakin besar parameter konsentrasi
maka keragaman lebar selang yang diperoleh akan semakin kecil, terutama untuk
. . Ukuran contoh kecil juga memiliki keragaman lebar selang yang lebih
besar daripada ukuran contoh yang lain. Setelah parameter konsentrasinya
mencapai 5, maka keragaman lebar selang dari empat macam ukuran contoh

23

cenderung sama. Hasil tersebut memberi kesimpulan yang sama dengan metode
BES, bahwa saat datanya menyebar maka selang kepercayaan dari 1000 simulasi

Keragaman lebar selang

akan bervariasi.

(a)

.

s.d

(b)

s.d

Keragaman lebar selang

Gambar 15. Keragaman lebar selang BSIM Mean

(a)

.

s.d

(b)

s.d

Gambar 16. Keragaman lebar selang BSIM Median

c. Busur berbasis kemungkinan (BBK)
Hasil selang kepercayaan busur berbasis kemungkinan bagi arah rata-rata
(BBK Mean) serupa dengan BES dan BSIM . Cakupan selang jauh dari 95% saat
.

. Setelah

cakupan selang mulai stabil mendekati 95% (Gambar 17).

Dengan demikian, selang kepercayaan BBK Mean juga akan mampu mencakup
arah rata-rata sesungguhnya setelah parameter konsentrasinya mencapai 1.
Hasil yang sama juga diperoleh metode BBK Median. Cakupan selang
akan stabil mendekati bahkan lebih dari 95% pada saat

(Gambar 18). Data

yang menyebar di sekeliling lingkaran ternyata membuat metode ini tidak mamp

Dokumen yang terkait

Bootstrap Confidence Interval Estimation of Preferred Direction for Circular Data