BAB II OPERASI ALJABAR Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional
BAB II
OPERASI ALJABAR
Kata kunci
Koefisien
Variabel
Konstanta
Suku
Suku sejenis
Kompetensi dasar
Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional
PETA KONSEP
PBbOP
ePe
nEm
r
gjtRbk
uAa
kSgl
rm
alVsI i
Aa
naem
ghrbLn
aboJ
nalA
lkB
A
R
i
i
Menyederhanakan
Bentuk ALjabar
Berkenalan Dekat Dengan AlKhwarizmi
Ilmuan yang satu ini dikenal
juga dengan nama lain yakni Abu
Abdullah Muhammad Bin Ahmad Bin
Yusoff. Sementara itu, di dunia barat
ia dikenal dengan sebutan antara lain
Al-Khawarizmi,
Al-Cowarizmi,
AlAhawizmi, Al-Gorismi, Al-Karismi, dan
beberapa
nama
dengan
ejaan
lainnya. Ilmuan dari dunia Arab ini
memang tersohor akan kejeniusan
serta kerendahan hatinya. Ia lahir di
Bukhara pada kisaran tahun yang
belum dipastikan. Namun, peneliti
sejarah meyakini masa gemilangnya
ada di tahun 780 hingga 850 Masehi.
Sama seperti kelahirannya, peneliti
tidak menjumpai angka pasti. Mereka
memprediksi ilmuan tersebut wafat
antara 220 – 230 Masehi. Di sisi lain,
banyak pula ilmuan yang percaya
bahwa ia meninggal di tahun 266
Hijriah atau pada tahun 850 Masehi di
kota Baghdad.
Selama
masa
hidupnya,
Khawarizmi mengabdikan hidupnya
sebagai dosen sekolah kehormatan
yang ada di Kota Baghdad. Sebagai
seorang ilmuan, ia telah menelurkan
banyak karya monumentalnya antara
lain al-Kitab al-mukhtasar fi hisab aljabr
wa'l-muqabala
yang
berisi
rangkuman perhitungan, pelengkapan
serta
peneimbangan.
Buku
ini
merangkum
dasar-dasar
Al-jabar.
Karya kedua beliau adalah kitab
bernama Kitāb al-Jam’a wa-l-tafrīq biḥisāb al-Hind atau yang dikenal
dengan nama Dixit Algirizmi. Buku ini
berisi pengirangan serta penjumlahan
yang
didasarkan
pada
sistem
kalkulasi hindu. Buku ketiga adalah
Kitab Surat Al-Ard yakni buku yang
berisi rekonstruksi planetarium. Masih
ada banyak lagi buku-buku lainnya
yang merupakan karya terbaik dari AlKhawarizmi. Meski demikian, dunia
A. Pengertian Bentuk Aljabar
Di kelas VII Anda sudah mempelajari mengenai bentuk-bentuk aljabar. Selain itu,
Anda juga harus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebih dan
sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraian berikut. Bonar dan
Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah. Mereka membeli 5 buku tulis, 2
pensil, dan 3 bolpoin. Jika buku tulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan
bolpoin dengan z maka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z.
Selanjutnya, bentuk-bentuk 5x + 2y + 3z, 2x2, 4xy2, 5x2 – 1, dan (x – 1) (x + 3)disebut
bentuk-bentuk aljabar. Sebelum mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita
ingat kembali istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.
Perhatikan ilustrasi berikut.
Misalkan , pak Gunawan memiliki 3 ekor sapi dan sepux+10yluh ekor
kambing , kemudian seluruh ternak kambing dan sapi dijual kepada seorang
pedagang ternak . harga satu ekor sapi adalah X dan harga satu ekor kambing adalah
Y, berapa uang yang diperoleh Pak Gunawan?
Uang yang diperoleh pak gunawan adalah 3x+10y.
1. Suku dan Variabel Bentuk Aljabar
Hasil penjualan seluruh hewan ternak Pak Gunawan, yaitu 3x+10y merupakan
salah satu bentuk aljabar. Bentuk aljabar 3x+10y mempunyai dua suku, yaiutu 3x
dan 10y. Kedua suku tersebut mempunyai dua variabel yang berbeda yaitu x dan
y. Adapun koefisien dari 3x adalah 3 da koefisien dari 10 y adalah 10
Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya
dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan
dengan huruf kecil a, b, c, ... z.
Contoh Soal
Tulislah setiap kalimat “Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3,
hasilnya adalah 12” dengan menggunakan variabel sebagai pengganti bilangan
yang belum diketahui nilainya.
Penyelesaian:
Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.
Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada
bentuk aljabar.
Contoh Soal
Tentukan koefisien x pada bentuk aljabar 2x2 + 6x – 3
Penyelesaian:
Koefisien x dari 2x2 + 6x – 3 adalah 6.
Konstanta
Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel
disebut konstanta.
Contoh Soal
Tentukan konstanta pada bentuk aljabar 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
Penyelesaian:
Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel, sehingga konstanta
dari 2x2 + 3xy + 7x – y – 8 adalah –8.
Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar
yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi
jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...
b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi
jumlah atau selisih. Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...
c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi
jumlah atau selisih. Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau
polinom.
2. Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Kamu telah mempelajari operasi penjumlahan dan pengurangan suku-suku
pada bentuk aljabar di kelas VII , misalkan 3x+6y dan 7x+4y. Dapatkah kamu
menentukan hasil menetukan hasil dari 3x+6y dan 7x-4y?
Penjumlahan bentuk aljabar 3x+7x mrupakan bentuk penjumlahan alajabar
suku sejenis. Dengan demikian , hasil dari 3x+7x adalah (3+7)x=10x.
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada
suku yang sejenis, dengan cara mengoperasikannya pada konstantanya.
contoh :
-> tidak dapat dijumlahkan karena bukan suku yang sejenis
bisa dituliskan sebagai x saja.
-> bukan suku sejenis
Penjumlahan dan Pengurangan suku sejenis dilakukan dengan sifat distributif.
a. ab + ac = a( b + c ) atau ab + ac = ( b + c )a
b. ab – ac = a( b – c ) atau ab – ac = ( b – c )a
Contoh soal
Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini !
1). 4a + 5a
2). -5p – 3q + 2p – 6q + 4
Jawab
1). 4a + 5a = ( 4 + 5 )a = 9a.
2). -5p – 3q + 2p – 6q +4 = -5p + 2p – 3q -6q + 4
= ( -5 + 2 )p + (-3-6)q + 4
= -3p -9q + 4
Contoh soal II
1). Jumlahkan 2p – 5q + 3 dengan -4p – 6q + 7
2). Kurangkan 7X – 6y – 9 dari 4X + 5y – 8
Jawab.
1) ( 2p – 5q + 3 ) + ( -4p – 6q + 7 )
= 2p – 5q + 3 – 4p – 6q + 7
= 2p – 4p – 5q – 6q + 3 + 7
= ( 2 – 4 )p + ( -5 – 6 )q + ( 3 + 7 )
= - 2p – 11q + 10
2p – 5q + 3
- 4p – 6q + 7 +
- 2p – 11q + 10
Dengan cara disusun
2)
( 4X + 5y – 8 ) – ( 7X – 6y -9 )
= 4X + 5y – 8 – 7X + 6y + 9
= 4X – 7X + 5y + 6y – 8 +9
= ( 4 – 7 )X + ( 5 + 6 )y + ( -8 + 9 )
= -3X + 11y + 1
Dengan cara disusun :
4x + 5y -8
7x - 6y - 9 -3 x + 11 y + 1
Latihan
Di sebuah meja terdapat 5 sendok, 5 piring, dan 5 gelas. Budi mengambil
1 buah sendok dan piring. Lalu Ani menaruh 2 buah piring, 3 sendok, dan
1 gelas. Maka berapakah jumlah peralatan makan yang tersedia di meja
tersebut sekarang?
3. Operasi Perkalian Bentuk Aljabar
Ingat kembali bahwa pada operasi perkalian bilangan bulat terdapat sifat
distributif pada penjumlahan dan pengurangan, yaitu a( b+c )=ab+ ac , dan
a(b – c )=ab – ac . Pada operasi perkalian bentuk aljabar sifat tersebut juga
berlaku.
Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar.
Untuk melakukan operasi perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar,
dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan mengalikan konstanta tersebut
dengan
konstanta
pada
bentuk
aljabar.
Contoh
:
Perkalian antara dua bentuk aljabar.
Seperti pada perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar, dalam perkalian
dua bentuk aljabar berlaku juga sifat distributif. Untuk suku yang sejenis, jika
variabel dikalikan maka akan menjadi pangkat, misal
, sedangkan
konstanta dikalikan seperti biasa. Untuk suku yang tidak sejenis maka
variabelnya akan dituliskan saja, dan konstanta dikalikan seperti biasa.
Perkalian satu suku dengan dua suku,
Perkalian antara dua suku,
Perkalian antara dua suku dengan tiga suku,
Contoh
:
4. Operasi pembagian
Operasi pembagian pada bentuk aljabar dilakukan dengan cara membagi
konstantanya seperti biasa, namun untuk variabelnya, dilihat dulu koefisien dari
kedua variabelnya, kemudian bagi masing-masing variabelnya dengan
koefisiennya.
Contoh
:
DAFTAR PUSTAKA
Buku Guru Matematika SMP kelas VIII, Kurikulum 2013
Marsigit.2006. MATEMATIKA SMP KELAS VII. Bogor : Quadra
https://iputuwidyantara.wordpress.com/2013/12/20/operasi-aljabar-smp-kelas-viii
semester-ganjil/
http://duniamatematika.com/matematika-smp/materi-matematika-smp-kelas-viibentuk-aljabar-dan-operasinya/
http://muchlis-7a.blogspot.co.id/2011/11/operasi-bentuk-aljabar-penjumlahandan.html
http://rumusdasarmatematika.blogspot.co.id/2015/01/materi-aljabar-penjumlahandan.html
http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/08/Operasi-Penjumlahan-danPengurangan-pada-Bentuk-Aljabar.html
http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/02/5-contoh-soal-cerita-aljabarmatematika.html
OPERASI ALJABAR
Kata kunci
Koefisien
Variabel
Konstanta
Suku
Suku sejenis
Kompetensi dasar
Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional
PETA KONSEP
PBbOP
ePe
nEm
r
gjtRbk
uAa
kSgl
rm
alVsI i
Aa
naem
ghrbLn
aboJ
nalA
lkB
A
R
i
i
Menyederhanakan
Bentuk ALjabar
Berkenalan Dekat Dengan AlKhwarizmi
Ilmuan yang satu ini dikenal
juga dengan nama lain yakni Abu
Abdullah Muhammad Bin Ahmad Bin
Yusoff. Sementara itu, di dunia barat
ia dikenal dengan sebutan antara lain
Al-Khawarizmi,
Al-Cowarizmi,
AlAhawizmi, Al-Gorismi, Al-Karismi, dan
beberapa
nama
dengan
ejaan
lainnya. Ilmuan dari dunia Arab ini
memang tersohor akan kejeniusan
serta kerendahan hatinya. Ia lahir di
Bukhara pada kisaran tahun yang
belum dipastikan. Namun, peneliti
sejarah meyakini masa gemilangnya
ada di tahun 780 hingga 850 Masehi.
Sama seperti kelahirannya, peneliti
tidak menjumpai angka pasti. Mereka
memprediksi ilmuan tersebut wafat
antara 220 – 230 Masehi. Di sisi lain,
banyak pula ilmuan yang percaya
bahwa ia meninggal di tahun 266
Hijriah atau pada tahun 850 Masehi di
kota Baghdad.
Selama
masa
hidupnya,
Khawarizmi mengabdikan hidupnya
sebagai dosen sekolah kehormatan
yang ada di Kota Baghdad. Sebagai
seorang ilmuan, ia telah menelurkan
banyak karya monumentalnya antara
lain al-Kitab al-mukhtasar fi hisab aljabr
wa'l-muqabala
yang
berisi
rangkuman perhitungan, pelengkapan
serta
peneimbangan.
Buku
ini
merangkum
dasar-dasar
Al-jabar.
Karya kedua beliau adalah kitab
bernama Kitāb al-Jam’a wa-l-tafrīq biḥisāb al-Hind atau yang dikenal
dengan nama Dixit Algirizmi. Buku ini
berisi pengirangan serta penjumlahan
yang
didasarkan
pada
sistem
kalkulasi hindu. Buku ketiga adalah
Kitab Surat Al-Ard yakni buku yang
berisi rekonstruksi planetarium. Masih
ada banyak lagi buku-buku lainnya
yang merupakan karya terbaik dari AlKhawarizmi. Meski demikian, dunia
A. Pengertian Bentuk Aljabar
Di kelas VII Anda sudah mempelajari mengenai bentuk-bentuk aljabar. Selain itu,
Anda juga harus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebih dan
sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraian berikut. Bonar dan
Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah. Mereka membeli 5 buku tulis, 2
pensil, dan 3 bolpoin. Jika buku tulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan
bolpoin dengan z maka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z.
Selanjutnya, bentuk-bentuk 5x + 2y + 3z, 2x2, 4xy2, 5x2 – 1, dan (x – 1) (x + 3)disebut
bentuk-bentuk aljabar. Sebelum mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita
ingat kembali istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.
Perhatikan ilustrasi berikut.
Misalkan , pak Gunawan memiliki 3 ekor sapi dan sepux+10yluh ekor
kambing , kemudian seluruh ternak kambing dan sapi dijual kepada seorang
pedagang ternak . harga satu ekor sapi adalah X dan harga satu ekor kambing adalah
Y, berapa uang yang diperoleh Pak Gunawan?
Uang yang diperoleh pak gunawan adalah 3x+10y.
1. Suku dan Variabel Bentuk Aljabar
Hasil penjualan seluruh hewan ternak Pak Gunawan, yaitu 3x+10y merupakan
salah satu bentuk aljabar. Bentuk aljabar 3x+10y mempunyai dua suku, yaiutu 3x
dan 10y. Kedua suku tersebut mempunyai dua variabel yang berbeda yaitu x dan
y. Adapun koefisien dari 3x adalah 3 da koefisien dari 10 y adalah 10
Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya
dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan
dengan huruf kecil a, b, c, ... z.
Contoh Soal
Tulislah setiap kalimat “Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3,
hasilnya adalah 12” dengan menggunakan variabel sebagai pengganti bilangan
yang belum diketahui nilainya.
Penyelesaian:
Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.
Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada
bentuk aljabar.
Contoh Soal
Tentukan koefisien x pada bentuk aljabar 2x2 + 6x – 3
Penyelesaian:
Koefisien x dari 2x2 + 6x – 3 adalah 6.
Konstanta
Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel
disebut konstanta.
Contoh Soal
Tentukan konstanta pada bentuk aljabar 2x2 + 3xy + 7x – y – 8
Penyelesaian:
Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel, sehingga konstanta
dari 2x2 + 3xy + 7x – y – 8 adalah –8.
Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar
yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi
jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...
b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi
jumlah atau selisih. Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...
c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi
jumlah atau selisih. Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau
polinom.
2. Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Kamu telah mempelajari operasi penjumlahan dan pengurangan suku-suku
pada bentuk aljabar di kelas VII , misalkan 3x+6y dan 7x+4y. Dapatkah kamu
menentukan hasil menetukan hasil dari 3x+6y dan 7x-4y?
Penjumlahan bentuk aljabar 3x+7x mrupakan bentuk penjumlahan alajabar
suku sejenis. Dengan demikian , hasil dari 3x+7x adalah (3+7)x=10x.
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada
suku yang sejenis, dengan cara mengoperasikannya pada konstantanya.
contoh :
-> tidak dapat dijumlahkan karena bukan suku yang sejenis
bisa dituliskan sebagai x saja.
-> bukan suku sejenis
Penjumlahan dan Pengurangan suku sejenis dilakukan dengan sifat distributif.
a. ab + ac = a( b + c ) atau ab + ac = ( b + c )a
b. ab – ac = a( b – c ) atau ab – ac = ( b – c )a
Contoh soal
Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini !
1). 4a + 5a
2). -5p – 3q + 2p – 6q + 4
Jawab
1). 4a + 5a = ( 4 + 5 )a = 9a.
2). -5p – 3q + 2p – 6q +4 = -5p + 2p – 3q -6q + 4
= ( -5 + 2 )p + (-3-6)q + 4
= -3p -9q + 4
Contoh soal II
1). Jumlahkan 2p – 5q + 3 dengan -4p – 6q + 7
2). Kurangkan 7X – 6y – 9 dari 4X + 5y – 8
Jawab.
1) ( 2p – 5q + 3 ) + ( -4p – 6q + 7 )
= 2p – 5q + 3 – 4p – 6q + 7
= 2p – 4p – 5q – 6q + 3 + 7
= ( 2 – 4 )p + ( -5 – 6 )q + ( 3 + 7 )
= - 2p – 11q + 10
2p – 5q + 3
- 4p – 6q + 7 +
- 2p – 11q + 10
Dengan cara disusun
2)
( 4X + 5y – 8 ) – ( 7X – 6y -9 )
= 4X + 5y – 8 – 7X + 6y + 9
= 4X – 7X + 5y + 6y – 8 +9
= ( 4 – 7 )X + ( 5 + 6 )y + ( -8 + 9 )
= -3X + 11y + 1
Dengan cara disusun :
4x + 5y -8
7x - 6y - 9 -3 x + 11 y + 1
Latihan
Di sebuah meja terdapat 5 sendok, 5 piring, dan 5 gelas. Budi mengambil
1 buah sendok dan piring. Lalu Ani menaruh 2 buah piring, 3 sendok, dan
1 gelas. Maka berapakah jumlah peralatan makan yang tersedia di meja
tersebut sekarang?
3. Operasi Perkalian Bentuk Aljabar
Ingat kembali bahwa pada operasi perkalian bilangan bulat terdapat sifat
distributif pada penjumlahan dan pengurangan, yaitu a( b+c )=ab+ ac , dan
a(b – c )=ab – ac . Pada operasi perkalian bentuk aljabar sifat tersebut juga
berlaku.
Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar.
Untuk melakukan operasi perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar,
dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan mengalikan konstanta tersebut
dengan
konstanta
pada
bentuk
aljabar.
Contoh
:
Perkalian antara dua bentuk aljabar.
Seperti pada perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar, dalam perkalian
dua bentuk aljabar berlaku juga sifat distributif. Untuk suku yang sejenis, jika
variabel dikalikan maka akan menjadi pangkat, misal
, sedangkan
konstanta dikalikan seperti biasa. Untuk suku yang tidak sejenis maka
variabelnya akan dituliskan saja, dan konstanta dikalikan seperti biasa.
Perkalian satu suku dengan dua suku,
Perkalian antara dua suku,
Perkalian antara dua suku dengan tiga suku,
Contoh
:
4. Operasi pembagian
Operasi pembagian pada bentuk aljabar dilakukan dengan cara membagi
konstantanya seperti biasa, namun untuk variabelnya, dilihat dulu koefisien dari
kedua variabelnya, kemudian bagi masing-masing variabelnya dengan
koefisiennya.
Contoh
:
DAFTAR PUSTAKA
Buku Guru Matematika SMP kelas VIII, Kurikulum 2013
Marsigit.2006. MATEMATIKA SMP KELAS VII. Bogor : Quadra
https://iputuwidyantara.wordpress.com/2013/12/20/operasi-aljabar-smp-kelas-viii
semester-ganjil/
http://duniamatematika.com/matematika-smp/materi-matematika-smp-kelas-viibentuk-aljabar-dan-operasinya/
http://muchlis-7a.blogspot.co.id/2011/11/operasi-bentuk-aljabar-penjumlahandan.html
http://rumusdasarmatematika.blogspot.co.id/2015/01/materi-aljabar-penjumlahandan.html
http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/08/Operasi-Penjumlahan-danPengurangan-pada-Bentuk-Aljabar.html
http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/02/5-contoh-soal-cerita-aljabarmatematika.html