belajar matematika numerik

Metode Terbuka
Metode Iterasi Titik Tetap,
Newton-Rapson, Secant,
Kasus Khusus

Metode Terbuka
• Tidak memerlukan selang yang mengurung
akar
• Hanya perlu tebakan awal akar sembarang
• Kadang konvergen namun kadang divergen
• Jika iterasi konvergen, konvergensinya akan
berlangsung sangat cepat dibanding metode
tertutup

Metode Iterasi Titik Tetap
Ide awal: mengubah persamaan nonlinear f(x)
menjadi bentuk ekivalen x=g(x)
f ( x)  x  g ( x)  0 � x  g ( x) � xr 1  g ( xr )

Metode Iterasi Titik Tetap
• Misalkan f(x)=0 diubah menjadi x=g(x).

Jika g fungsi kontinu dan (xr) adalah
barisan yang dibangun dari iterasi x r+1=g(xr)
yang konvergen maka barisan (x r)
konvergen ke akar f(x)
( xr 1 )  g ( xr ) � s maka f ( x) � 0 dengan x  s

• s disebut titik tetap dan g disebut iterator

Metode Iterasi Titik Tetap
• Susun f(x)=0 menjadi persamaan x=g(x)
menjadi prosedur iterasi xr 1  g ( xr )
• Tebaklah sebuah nilai awal x0
• Hitung nilai x1 , x2 , x3 ,... sampai kondisi
xr 1  xr  
Contoh

xr 1  xr

atau sampai xr 1

sin x  x  0
x3  6 x  3  0
x2  2x  3  0

Latihan
• Tentukan akar dari
f ( x)  x 3  4 x 2  10

dg menggunakan iterasi titik tetap dengan ε
toleransi galat kurang dari 0.0001 dan
toleransi lebar selang kurang dari 0.001.

Kriteria Konvergensi
• Misalkan dalam selang I=[s-h,s+h], dengan s titik
tetap,
• Jika 0  g �
( x)  1 x �I maka iterasi konvergen
monoton
• Jika 1  g �
( x)  0 x �I maka iterasi konvergen

berosilasi
• Jika g �
( x)  1 x �I maka iterasi divergen
monoton
• Jika g�
( x)  1 x �I maka iterasi divergen
berosilasi

konvergen monoton

konvergen berosilasi

divergen monoton

divergen berosilasi

• Meskipun menyatakan x r iterasi divergen dari
suatu akar, namun iterasi mungkin konvergen ke
akar yang lain.
Latihan

1. Tentukan akar dari
f ( x)   x 2  2 x  3

dengan menggunakan tebakan awal x0 = 1
dan epsilon