DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK matematika

DIFERENSIASI NUMERIK

DIFERENSIASI DAN 
INTEGRASI NUMERIK
Diferensiasi Numerik
(Forward, Central atau Centered, &
Backward Difference; Turunan Pertama &
Kedua)

Integrasi Numerik
(Trapezoidal Rule & Simpson’s Rule; Lebar
Inkremen Tetap & Berubah)
by: siti diyar kholisoh

dy/analisis_numerik/april2007

dy
dx

diferensiasi dan integrasi numerik

Visualisasi Grafik

= ...?

Nilai turunan y = f (x) pada x = xi dapat
dievaluasi dengan memanfaatkan nilai-nilai x
di sekitar xi Æ dalam hal ini: xi-1 dan xi+1

xi

y

2

Keterangan:

3
y = f (x)

1

4

1: Forward
difference approx.
2: Backward
difference approx.

2h
h

3: Centered
difference approx.

h

4: True derivative

i-1

i

i+1

x

dy
Misalnya: y = f(x), dan ingin dicari harga
pada x = x0
dx
Berdasarkan definisi matematika:
dy lim
f ( x + Δ x )− f ( x )
=
Δ
x
→
0
dx
Δx
Pada diferensiasi numerik yang sederhana, harga Δx → 0 didekati

dengan sebuah bilangan kecil ε, sehingga akan diperoleh:
Cara forward: dy ≈ f ( x + ε ) − f ( x )
dx
ε
Cara backward: dy ≈ f ( x ) − f ( x − ε )
dx
ε
Cara central atau centered: dy ≈ f ( x + ε ) − f ( x − ε )
dx
2ε
Menurut teori:
♦ pendekatan dengan central merupakan yang terbaik.
♦ makin kecil ε, hasil makin baik

Contoh Ilustratif:
Pada gerak lurus suatu benda, posisi (jarak dari titik tertentu)
benda tersebut pada berbagai waktu dapat dinyatakan dengan
persamaan:
3

x=2t

dengan x dalam meter dan t dalam detik
Posisi benda pada berbagai waktu dapat dicari:
t (detik) x (m)
0
0
1
2
2
16
3
54
4
128

Kecepatan rata-rata:
dari t = 0 hingga t = 1…?
dari t = 1 hingga t = 2…?
dari t = 0 hingga t = 2…?

Kesimpulannya: …………….

1

Untuk kecepatan tetap: v =

jarak
waktu

Kecepatan sesaat:

v=

Yang ditunjukkan oleh speedometer: kecepatan sesaat
Misal, ingin dicari kecepatan sesaat pada saat t = 1
Hal ini dapat didekati dengan kecepatan rata-rata antara
t = 1 dan t = 1,1:
v

1→1,1

Jika Δt yang dipakai
lebih kecil:
Δt = 0,01: v

1→1,01

=

x

Δt = 0,001: v 1→1,001 =

=

x

t =1,1

−x

1,1 − 1

t =1,01

−x

1,01 − 1

x

t =1,001

t =1

−x

1,001 − 1

x = 2 t3

2 ( 1,1 )3 − 2 ( 1 )3
= 6 ,62
0 ,1

=

2 ( 1,01 ) − 2 ( 1 )
= 6 ,06
0 ,01

t =1

3

=

PENJABARAN FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED
DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR
Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward:

…(*)

Ο ( h ) ≡ error
Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga:
f ' ( xi ) ≅

f ( xi +1 ) − f ( xi )
h

dengan: h ≡ step size

Pada t = 1:

3

2 ( 1,001 )3 − 2 ( 1 )3
= 6 ,006
0 ,001

h2

f ' ' ( xi ) + ...
f ( xi +1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) +
2
h2
f ' ' ( xi ) + ...
f ( xi +1 ) − f ( xi ) = h f ' ( xi ) +
2
f ( xi +1 ) − f ( xi ) h
f ' ( xi ) =
− f ' ' ( xi ) − ...
h
2

x

t +Δ t

−x

Δt

t

=

dx
= x'
dt

Bandingkan dengan diferensiasi secara analitik:

=

t =1

lim
Δt → 0

(formula first forward
finite-divided difference
2 titik)

v

t =1

=

v=

dx
= 6 t2
dt

dx
= 6 ( 1 )2 = 6
dt t =1

Kesimpulan:

Jika menggunakan Δt yang makin kecil, maka nilai
kecepatan rata-rata akan mendekati kecepatan
sesaat.

PENJABARAN FIRST BACKWARD FINITE-DIVIDED
DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR
Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan backward:

f ( xi −1 ) = f ( xi ) − h f ' ( xi ) +

h2
f ' ' ( xi ) − ...
2
h2
f ' ' ( xi ) + ...
f ( xi ) − f ( xi −1 ) = h f ' ( xi ) −
2
f ( xi ) − f ( xi −1 ) h
f ' ( xi ) =
+ f ' ' ( xi ) − ...
h
2

…(**)

Ο ( h ) ≡ error
Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga:
(formula first backward
f ( xi ) − f ( xi −1 )
f ' ( xi ) ≅
finite-divided difference
h
2 titik)

2

PENJABARAN FIRST CENTERED FINITE-DIVIDED
DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR
Pendekatan centered menggabungkan kedua pendekatan sebelumnya:

h
h
f ( xi +1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) +
f ' ' ( xi ) +
f ' ' ' ( xi ) + ...
6
2
h3
h2
f ( xi −1 ) = f ( xi ) − h f ' ( xi ) +
f ' ' ( xi ) −
f ' ' ' ( xi ) + ...
2
6
2

Kurangkan (**) dari (*), maka:

3

f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) = 2h f ' ( xi ) +
f ' ( xi ) =

(*)
(**)

h3
f ' ' ' ( xi ) + ...
3

f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) h 2
f ' ' ' ( xi ) − ...
−
6
2h

f ( xi +1 ) − f ( xi −1 )
f ' ( xi ) ≅
2h

sehingga:

Ο ( h 2 ) ≡ error

(formula first centered finitedivided difference 2 titik)

PENJABARAN SECOND FORWARD FINITE-DIVIDED
DIFFERENCE 3 TITIK DARI DERET TAYLOR
Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward:
h3
h2
(*)
f ' ' ' ( xi ) + ...
f ' ' ( xi ) +
f ( xi +1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) +
6
2
f ( xi + 2 ) = f ( xi ) + 2 h f ' ( xi ) +

( 2 h )2
( 2 h )3
f ' ' ( xi ) +
f ' ' ' ( xi ) + ... (***)
2
6

Kalikan (*) dengan 2, selanjutnya kurangkan dari (***), sehingga:
f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) = h 2 f ' ' ( xi ) + h3 f ' ' ' ( xi ) + ...

f ' ' ( xi ) =

sehingga:

f ' ' ( xi ) ≅

f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi )
h2

− h f ' ' ' ( xi ) − ...

f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi )

Ο ( h ) ≡ error

h2

(formula second forward finite-divided difference 3 titik)

PENJABARAN FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED
DIFFERENCE 3 TITIK DARI DERET TAYLOR
Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward:

f ( xi +1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) +

f ( xi + 2 ) = f ( xi ) + 2 h f ' ( xi ) +

h3
h2
f ' ' ' ( xi ) + ...
f ' ' ( xi ) +
6
2

(*)

( 2 h )2
( 2 h )3
f ' ' ( xi ) +
f ' ' ' ( xi ) + ... (***)
2
6

Kalikan (*) dengan 4, selanjutnya kurangkan ke (***), maka:
2h3
− f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) = 2 h f ' ( xi ) −
f ' ' ' ( xi ) − ...
3
− f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) h 2
f ' ( xi ) =
f ' ' ' ( xi ) + ...
+
2h
3
sehingga:
Ο ( h 2 ) ≡ error

f ' ( xi ) ≅

− f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi )
2h

(formula first forward finite-divided difference 3 titik)

SECARA UMUM
Secara umum, proses penjabaran diferensiasi numerik untuk kasus:
„ Turunan yang melibatkan jumlah titik data lebih banyak, atau
„ Turunan yang lebih tinggi
dapat dilakukan dengan mengekspansi deret Taylor di sekitar f (xi)
dan mengikuti langkah-langkah manipulasi aljabar yang sama atau
analog dengan beberapa penjabaran di atas.
Secara umum, berlaku:
1. Hasil pendekatan turunan akan semakin baik jika:
• h (step size) semakin kecil, atau
• menggunakan jumlah titik data semakin banyak
2. Pendekatan centered difference memberikan hasil yang lebih
baik dibandingkan dengan forward dan backward difference.

3

Forward finite-divided-difference:

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA
Turunan pertama:
(2 titik)

f ' ( xi ) =

(3 titik)

f ' ( xi ) =

f ( xi +1 ) − f ( xi )
h

− f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi )
2h

Turunan kedua:
(3 titik)

f ' ' ( xi ) =

(4 titik)

f ' ' ( xi ) =

f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi )
h

2

− f ( xi +3 ) + 4 f ( xi + 2 ) − 5 f ( xi +1 ) + 2 f ( xi )
h2

Ο(h)

(2 titik)

f ' ( xi ) =

Ο(h2)

(3 titik)

f ' ( xi ) =

(2 titik)
(4 titik)

f ' ( xi ) =

(3 titik) f ' ' ( xi ) =

f ' ' ( xi ) =

f ( xi ) − 2 f ( xi −1 ) + f ( xi −2 )

Ο(h2)

(4 titik)

f ' ' ( xi ) =

2 f ( xi ) − 5 f ( xi −1 ) + 4 f ( xi − 2 ) − f ( xi −3 )

(5 titik)

f ' ' ( xi ) =

Ο(h4)

Turunan kedua:

Error

h2

Ο(h2)

f ( xi +1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi −1 )

− f ( xi + 2 ) + 16 f ( xi +1 ) − 30 f ( xi ) + 16 f ( xi −1 ) − f ( xi −2 )
12 h 2

3 f ( xi ) − 4 f ( xi −1 ) + f ( xi −2 )
2h

(3 titik)

Error

Ο(h4)

Error

Ο(h)

Ο(h)

Ο(h2)

− f ( xi + 2 ) + 8 f ( xi +1 ) − 8 f ( xi −1 ) + f ( xi −2 )
12 h

f ( xi ) − f ( xi −1 )
h

Turunan kedua:

Error

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA
f ( xi +1 ) − f ( xi −1 )
f ' ( xi ) =
2h

Turunan pertama:

Error

Centered finite-divided-difference:
Turunan pertama:

Backward finite-divided-difference:

UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA

Ο(h2)
Error

Ο(h)

h2

h2

Ο(h2)

CONTOH SOAL:
Gunakan finite divided difference approximation
(forward, backward, dan centered) untuk
menentukan nilai turunan pertama dari fungsi:

f ( x ) = −0 ,1 x 4 − 0 ,15 x 3 − 0 ,5 x 2 − 0 ,25 x + 1,2

pada x = 0,5, menggunakan step size h = 0,5.
Ulangi perhitungan dengan menggunakan h = 0,25
dan h = 0,1.
Bandingkan hasil-hasilnya…!

4

DERIVATIVES OF UNEQUALLY SPACED DATA

CONTOH APLIKASI:
Berikut ini adalah data kinetika sebuah reaksi homogen-searah
dalam reaktor sistem batch isotermal (t [=] menit, C [=] mol.m-3):
t

C

t

C

t

C

t

C

t

C

0

25,0000 25 7,1626 50 2,0521 75 0,5879 100 0,1684

5

19,4700 30 5,5783 55 1,5982 80 0,4579 105 0,1312

10 15,1633 35 4,3443 60 1,2447 85 0,3566 110 0,1022
15 11,8092 40 3,3834 65 0,9694 90 0,2777 115 0,0796
20

9,1970

45 2,6350 70 0,7549 95 0,2163 120 0,0620

Tentukan nilai-nilai kecepatan reaksi: r = −

dC
dt
pada setiap titik data, dgn menggunakan finite-divided difference
cara: (a) forward, (b) backward, dan (c) centered atau central.
Bandingkan ketiganya dan bandingkan juga dengan penurunan
secara analitik (yakni dengan melalui proses curve-fitting)

Reaksi isomerisasi searah fase cair: A Æ B
berlangsung dalam sebuah reaktor batch, dan menghasilkan
data konsentrasi A tersisa (CA) vs waktu (t) sbb.:
t (menit)
0
5
8 10 12 15 17,5
CA (mol/L) 4,0 2,25 1,45 1,0 0,65 0,25 0,06
Jika persamaan laju reaksi dinyatakan dalam bentuk:

d CA
= k C An
dt

maka besarnya orde reaksi (n) dan laju reaksi spesifik (k)
dapat ditentukan.

Gunakan diferensiasi numerik untuk menentukan:

Dengan menggunakan 3 titik data yang berdekatan:
(xi-1, f (xi-1)), (xi, f (xi)), dan (xi+1, f (xi+1))
Melalui penurunan secara analitik, diperoleh:
2 x − xi − xi +1
f ' ( x ) = f ( xi −1 )
( xi −1 − xi )( xi −1 − xi +1 )
2 x − xi −1 − xi +1
+ f ( xi )
( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )
+ f ( xi +1 )

2 x − xi −1 − xi
( xi +1 − xi −1 )( xi +1 − xi )

(x merupakan
nilai yang ingin
dievaluasi
turunannya)

INTEGRASI NUMERIK

CONTOH APLIKASI:

− rA = −

Untuk sekumpulan data-data yang melibatkan interval x yang tidak
sama (misal: data yang diperoleh dari eksperimen), nilai
turunannya dapat diperkirakan melalui pendekatan interpolasi
polinomial Lagrange orde dua.

d CA
dt

Persoalan integrasi numerik:
1. Fungsi (persamaan) tunggal dengan variabel tunggal
(Trapezoidal rule; Simpson’s Rule)
b
Misal: Penyelesaian integral berbentuk: ∫ f ( x ) dx
a

yang akan dipelajari pada bagian ini
2. Bentuk persamaan diferensial (PD), baik tunggal maupun simultan
(Metode: Euler, Heun, Modified Euler; Runge-Kutta)
Misal: Penyelesaian PD berbentuk:
dy
dy
= f ( x, y,z )
+ P( x ) . y = Q( x )
dx
dx
dz
(tunggal)
= f ( x, y,z )

dx

(simultan)

5

FORMULA NEWTON-COTES
Formula integrasi Newton-Cotes merupakan basis penyelesaian
integrasi numerik untuk kasus persamaan dengan variabel tunggal.
Ide dasar:
Menggantikan bentuk fungsi atau persamaan yang kompleks
dengan data-data dalam bentuk tabel. Selanjutnya, dilakukan
proses curve-fitting terhadap data-data tersebut, sehingga
diperoleh fungsi atau persamaan yang mudah diintegralkan.
Integral fungsi f (x) dari x = a
hingga x = b dapat dituliskan sbb.:

I = ∫ f ( x ) dx

TRAPEZOIDAL RULE
Merupakan bentuk integrasi Newton-Cotes yang paling sederhana
Æ menggunakan pendekatan polinomial orde satu (linier)
y
y = f (x)
f (b)
f (a)
Integral (I)

b

a

dengan: f (x) ≡ fungsi polinomial berorder m

f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + am−1 x m−1 + am x m

Ingat kembali bahwa: Untuk membentuk polinomial berorder m,
maka dibutuhkan sekurang-kurangnya (m+1) titik data.

TRAPEZOIDAL RULE
Maka:

b⎛
⎞
f (b)− f (a )
( x − a ) ⎟⎟ dx
I = ∫ ⎜⎜ f ( a ) +
b
a
−
a⎝
⎠
f (b )− f (a ) 1
I = f ( a ).( b − a ) +
( b − a )2
b−a
2

I = ( b − a ). f ( a ) + ( b − a )

I = ( b − a ).

f ( a )+ f (b )
2

f (b )− f (a )
2

(formula trapezoidal rule)

Secara geometri:
I bermakna luas daerah di bawah kurva y = f (x)
Luas trapesium = lebar x rerata panjang sisi sejajar
Luas daerah yang diarsir: I = ( b − a ).

f (a )+ f (b )
2

x

a
b
Integral f (x) antara x = a dan x = b:

I = ∫ f ( x ) dx
b

a

orde satu

dengan:

f ( x )= f (a )+

f ( b )− f ( a )
(x−a)
b−a

MULTIPLE-APPLICATION TRAPEZOIDAL RULE
= Composite Trapezoidal Rule
Interval dari x = x0 = a dan
x = xn = b dibagi menjadi
bagian-bagian kecil
(inkremen atau segmen) yang
masing-masing selebar h,
berjumlah n buah.

h=

b − a xn − x0
=
n
n

y = f (x)
f (b)
f (a)
I

…

a
= x0

b
= xn

x

Batas-batas interval diberi indeks 0, 1, 2, …, n shg: xi = x0 + i . h
Masing-masing bagian dianggap berbentuk trapesium. Harga
integral yang merupakan luas di bawah kurva y = f (x) dari x0 s.d xn
didekati dengan penjumlahan dari luas trapesium-trapesium tsb.

6

Dengan demikian, jika tersedia data-data berikut:
x0
y0
atau
f (x0)

x
y
atau
f (x)
maka:

x1
y1
atau
f (x1)

x2
y2
atau
f (x2)

…

xn-1
yn-1
atau
f (xn-1)

…

xn
yn
atau
f (xn)

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
b

x

a
x

x
x

x

x

x

x

0

n

2

f ( x0 ) + f ( x1 )
f ( x1 ) + f ( x2 )
f ( xn −1 ) + f ( xn )
I =h
+h
+"+ h
2
2
2
0

I=

Perkirakan integral:

f ( x ) = 0 ,2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

n

I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx
1

CONTOH SOAL:

n−1

1

n −1
⎤
h⎡
⎢ f ( x0 ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( xn )⎥
2 ⎣⎢
i =1
⎦⎥

(formula composite
trapezoidal rule)

Jika jumlah n semakin besar, maka hasil integrasi akan semakin baik.

dari a = 0 hingga b = 0,8
dengan menggunakan metode trapezoidal:
(a) 1 segmen,
(b) 2 segmen,
Bandingkan hasil-hasilnya…!
(c) 4 segmen, dan
(d) 20 segmen
(Sebagai perbandingan, penyelesaian secara analitik
untuk integral ini adalah 1,640533)

x ⎡ ( x − x )( x − x )
x
1
2
I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ⎢
f ( x0 )
x ⎣⎢( x0 − x1 ) ( x0 − x2 )
x
( x − x0 ) ( x − x2 )
+
f ( x1 )
( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )

Dengan demikian:

SIMPSON’S RULE

Æ menggunakan pendekatan polinomial orde dua (kuadrat)
Jika tersedia 3 titik data:

x
y
atau
f (x)

x0
y0
atau
f (x0)

x1
y1
atau
f (x1)

x2
y2
atau
f (x2)

Integral f (x) antara x = x0 dan x = x2:
x
( x − x1 ) ( x − x2 )
I = ∫ f ( x ) dx dengan: f ( x ) = ( x0 − x1 ) ( x0 − x2 ) f ( x0 )
x
( x − x0 ) ( x − x2 )
+
f ( x1 )
( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )
orde dua
( x − x0 ) ( x − x1 )
+
f ( x2 )
( x2 − x0 ) ( x2 − x1 )

2

0

0

+

2

[

⎤
( x − x0 ) ( x − x1 )
f ( x2 )⎥ dx
( x2 − x0 ) ( x2 − x1 )
⎦⎥

]

Setelah melalui proses integrasi dan manipulasi aljabar, diperoleh:
I≅

0

(Persamaan f (x) yang melalui ketiga titik data tsb. di atas dapat
didekati dengan interpolasi polinomial Lagrange orde dua)

2

dengan:

h=

h
f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )
3

x2 − x0
2

(formula Simpson’s
1/3 rule)
h

atau, secara grafik:

x0

h
x1

x2

7

MULTIPLE-APPLICATION SIMPSON’S 1/3 RULE
= Composite Simpson’s 1/3 Rule

CONTOH SOAL:
Perkirakan integral:

f ( x ) = 0 ,2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

Identik dengan penurunan formula composite trapezoidal rule,
metode ini dapat dijabarkan sbb.:

I = ∫ f ( x ) = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx
x

x

x

x

x

x

n

x

4

2

n

x

n −2

h
h
I = ( f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )) + ( f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + f ( x4 ))
3
3
0

0

2

h
+ ... + ( f ( xn−2 ) + 4 f ( xn−1 ) + f ( xn ))
3

atau:

I=

n −1
h⎡
⎢ f ( x0 ) + 4 ∑ f ( xi ) + 2
3⎢
i =1,3 ,5
⎣

dengan: h =

xn − x0
n

n−2

∑

j = 2 ,4 ,6

⎤
f ( x j ) + f ( xn )⎥
⎥⎦

dan n berupa bilangan genap

Pada kebanyakan situasi, kasus integrasi dengan lebar segmen (atau
inkremen) sama seringkali justru tidak banyak dijumpai. Misalnya,
data-data yang diperoleh melalui eksperimen di laboratorium.
Untuk kasus seperti ini, metode composite trapezoidal rule dapat
diterapkan, dengan cara yang sangat identik dengan kasus lebar
segmen yang sama.

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
x

b

a

n

x

I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx
x

x

x

x

0

I = h1

Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh dengan
metode trapezoidal…!

(formula composite Simpson’s 1/3 rule)

INTEGRASI DGN LEBAR SEGMEN TAK SAMA

1

dari a = 0 hingga b = 0,8
dengan menggunakan metode Simpson 1/3:
(a) 2 segmen,
(b) 4 segmen, dan
Bandingkan hasil-hasilnya…!
(c) 20 segmen

2

0

x

n

x

n−1

f ( x0 ) + f ( x1 )
f ( x1 ) + f ( x2 )
f ( xn−1 ) + f ( xn )
+ h2
+ " + hn
2
2
2
1

dengan: hi ≡ lebar segmen ke − i (i = 1, 2, …, n)

(Penyelesaian secara analitik untuk integral ini: 1,640533)

CONTOH APLIKASI:

Sebuah reaksi homogen fase gas: A Æ 3 R
mempunyai laju reaksi pada 215oC sebesar:

− rA = 10 −2 C A1 / 2 ( mol / liter .det ik )

Campuran reaksi yang berupa 50%-mol A dan 50%-mol inert
diumpankan ke dalam sebuah reaktor alir pipa yang beroperasi
pada 215oC dan 5 atm. CA0 = 0,0625 mol/liter. Tentukan space-time
yang dibutuhkan agar tercapai konversi A 80%.
Keterangan:
Persamaan kinerja reaktor alir pipa:
τ = C A0 ∫

X Af
0

Af
d XA
= C A0 ∫
− rA
0

X

d XA

⎛ 1− X ⎞
A ⎟
⎜
⎜ 1+ ε AX A ⎟
⎠
⎝

1/ 2

k C A0

Pada kasus ini: εA = 1

1/ 2

=

C A01 / 2 0 ,8 ⎛⎜ 1 + ε A X A ⎞⎟
∫ ⎜
⎟
k
0 ⎝ 1− X A ⎠

1/ 2

d XA

8

Integral ≈ luas daerah
di bawah kurva

Penyelesaian:
Metode yang bisa ditempuh:

⎛ g H O⎞
⎛ ⎞
2 ⎟ = C 1− ⎜ r ⎟
C⎜
o
⎜R⎟
⎜ cm3 ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠

Penyelesaian secara analitik:

X A ⎞⎟
∫ ⎜⎜
⎟
0 ⎝1− X A ⎠

1/ 2

d XA = ∫

0 ,8
0

1+ X A

1 − X A2

d X A = arc sin X A − 1 − X A2

0 ,8

= 1,328

0

Coba Anda ulangi kembali melalui penyelesaian secara
numerik! (Silakan pilih sendiri metode yang akan Anda
gunakan…)

dm = 4.π.r2.dr.C
(massa H2O = volume x kadar)
Dengan integrasi diperoleh:
m =m

∫ dm

m =0

r =R

= 4 .π .

∫r

r =0

2

r =R

∫

⎛r ⎞
r 2 . 1 − ⎜ ⎟ .dr
⎝R ⎠
r =0

m = 4.π .Co .

m = …….. g
Cav =

massa
m
g
=
= .......
volume 4 π R 3
cm3
3

dengan r = jarak ke pusat bola. Ingin dicari jumlah air yang
ada dalam padatan (m) dan kadar air rata-ratanya (Cav)
Analisis:
Misal:
Ditinjau elemen volume dengan tebal dr (≈ 0)
R
Jumlah air pada elemen volume = dm
r
dr
Karena dr sangat kecil, maka kadar air pada
bagian tersebut praktis dapat dianggap
seragam, sehingga:

Latihan Soal #:

.C .dr

Jika diambil: C0 = 0,3 g/cm3; R = 5 cm
Dengan integrasi numerik, diperoleh:

Kadar air rata-rata:

KANDUNGAN AIR dalam PADATAN BASAH
Misal suatu padatan bentuk bola berjari-jari R, mengandung
air dengan kadar tidak seragam:
2

1. Integrasi secara grafik
2. Integrasi secara analitik
3. Integrasi numerik

0 ,8 ⎛ 1 +

CONTOH APLIKASI

2

Tentukan nilai turunan pertama fungsi-fungsi berikut
dengan pendekatan forward difference (2 titik (Ο(h)) dan
3 titik (Ο(h2))), backward difference (2 titik (Ο(h)) dan 3
titik (Ο(h2))), serta central/centered difference (2 titik
(Ο(h2)) dan 4 titik (Ο(h4))):
(a) y = x 3 + 4 x − 15
pada x = 0, dengan lebar langkah h = 0,5, h = 0,2, dan
h = 0,1
(b) y = e x + x
pada x = 1, dengan lebar langkah h = 0,25, h = 0,1,
dan h = 0,05
Bandingkan dan berikan analisis terhadap hasil perhitungan
yang Anda peroleh! Bandingkan juga dengan hasil yang
diperoleh melalui perhitungan secara analitik!

9

Latihan Soal #:

Latihan Soal #3:
Pada suhu tetap, sebuah proses termodinamika mengukur
perubahan tekanan terhadap perubahan volume sistem,
dan diperoleh data berikut:

Data berikut ini dikumpulkan pada saat pengisian
tangki bahan bakar minyak:
t, menit

0

15

30

45

60

90

120

V, 106 barrel 0,5 0,65 0,73 0,88 1,03 1,14 1,30
Hitunglah laju alir minyak yang terkumpul pada
setiap waktu pengamatan (Q = dV/dt).

Tekanan, P (kPa)
Volume, V

(m3)

420

368

333

326

316

312

242

207

0,5

2

3

4

6

8

10

11

Hitunglah kerja (W) yang terlibat selama proses tersebut,
dengan integrasi secara numerik.
Diketahui: W = ∫ P dV

Latihan Soal #4:
Kapasitas panas air (H2O(l)) sebagai fungsi suhu dapat
dinyatakan dalam persamaan:
Cp
= 8 ,712 + 1,25.10 − 3 T − 0 ,18.10 −6 T 2
R
(T dalam Kelvin)
R = tetapan gas universal.
Hitunglah besarnya panas sensibel (Q) yang dibutuhkan untuk
memanaskan 1 mol air dari T = 25oC hingga T = 85oC.
Gunakan integrasi secara numerik dengan metode (a)
trapezoidal, dan (b) Simpson 1/3. Gunakan interval T sebesar
5oC.

Panas sensibel per mol: Q = ∫ Cp dT

10