Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan
BEBERAPA FAKTOR YANG MEMENGARUHI
KEBERHASILAN PENGGABUNGAN
DUA PERUSAHAAN
ARIF WICAKSONO UTOMO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Beberapa Faktor yang
Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Desember 2013
Arif Wicaksono Utomo
NIM G54061662
ABSTRAK
ARIF WICAKSONO UTOMO. Beberapa Faktor yang Memengaruhi
Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU
PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Perusahaan akan membayar dividen kepada para pemegang saham
sedemikian rupa sehingga besarnya akumulasi total pembayaran dividen yang
dihitung berdasarkan nilai sekarang sesuai harapan pemegang saham. Dividen
akan dibayarkan berdasarkan strategi barier, artinya jika surplus perusahaan telah
melebihi optimal barrier keuntungan perusahaan, maka kelebihan dari barrier
keuntungan tersebut semuanya akan dibayarkan sebagai dividen kepada para
pemegang saham. Pembayaran dividen akan terhenti bila perusahaan mengalami
kebangkrutan. Jumlah pendapatan bersih yang dihasilkan oleh gabungan dua
perusahaan dimodelkan dengan gerak Brown bivariat dengan parameter drift µ
dan ragam
per satuan waktu. Fungsi surplus merupakan turunan model gerak
Brown dan dari fungsi surplus didapatkan hasil tentang potensi untung dan rugi
pada penggabungan dua perusahaan. Jika optimal barrier perusahaan gabungan
lebih kecil dari hasil penjumlahan optimal barrier setiap perusahaan, untuk nilai
koefisien korelasi sama dengan satu, dan hasil kali dari nilai tingkat bunga
dengan koefisien ragam
dari proses agregat pendapatan bersih setiap
perusahaan pada tingkat suku bunga kurang dari 6,87%, maka merger akan
mendapatkan keuntungan.
Kata kunci: gabungan, dividen optimal, strategi barrier, gerak Brown.
ABSTRACT
ARIF WICAKSONO UTOMO. Several Factors that Influence the Merger Process
of Two Companies. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO
BUDIARTI.
A company will payout dividends to its shareholders in such a way it
maximizes the expectation of discounted dividends. Dividends are paid according
to strategy barrier. The strategy barrier is to pay dividends to shareholders
whenever the surplus attains the optimal barriers. The dividend payments are
stopped whenever the company becomes ruin. The aggregate net income stream
of two companies are modeled by bivariate Brownian motion with µ as a drift
parameter and
as a variance parameter per unit time. Surplus function can be
obtained by using the model of Brownian motion. It is used to obtain result about
the potensial gain or loss upon merging two companies. If the combined
company's optimal barrier is smaller than the sum of the optimal barrier of each
companies, for the value of correlation coefficient equals to one, and for each
companies, multiplication of interest and the square of the coefficient of
variation
of its aggregate net income process is less than 6,87%, so the merger
of two companies would be benefit.
Keywords: merger, optimal dividends, barrier strategy, Brownian motion.
BEBERAPA FAKTOR YANG MEMENGARUHI
KEBERHASILAN PENGGABUNGAN DUA PERUSAHAAN
ARIF WICAKSONO UTOMO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan
Dua Perusahaan
Nama
: Arif Wicaksono Utomo
NIM
: G54061662
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juli 2012 ini optimasi
dividen, dengan judul Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan
Penggabungan Dua Perusahaan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba,
DEA. dan Ibu Ir. Retno Budiarti MS. selaku dosen pembimbing, serta seluruh
dosen di Departemen Matematika IPB yang telah banyak memberikan pelajaran
tentang berbagai ilmu Matematika kepada penulis. Tak lupa terima kasih juga
untuk para staf tata usaha serta staf perpustakan Departemen Matematika IPB
yang telah banyak membantu penulis dalam hal administrasi perkuliahan semasa
penulis menjalani masa-masa kuliah. Terima kasih juga untuk teman-teman Math
43 untuk dukungan dan doa serta persahabatan yang telah terjalin selama ini.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, adik serta seluruh
keluarga atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2013
Arif Wicaksono Utomo
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
HASIL DAN PEMBAHASAN
2
10
Formulasi Masalah
10
Optimal Barrier
13
Situasi Sebelum dan Setelah Penggabungan
14
Syarat Cukup untuk Penggabungan
16
Generalisasi
17
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
32
DAFTAR GAMBAR
1 Ilustrasi M(t), D(t), dan X(t)
2 Ilustrasi nilai harapan dari present value dividen perusahaan V(x;b)
sebagai fungsi dari modal awal x
3 Grafik turunan kedua g(y) terhadap y
11
13
14
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
Pembuktian Teorema 2
Pembuktian Persamaan (2)
Pembuktian Persamaan (5), (7) dan (8)
Pembuktian Persamaan (11)
Pembuktian Persamaan (12)
Pembuktian Persamaan (14)
Sintaks Grafik 3 menggunakan software Mathematica 7.0
21
23
25
27
28
29
30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada zaman modern seperti sekarang ini, perusahaan melakukan
berbagai cara untuk meningkatkan keuntungan serta mempelajari cara untuk
mengantisipasi risiko-risiko yang menyebabkan kerugian hingga berpotensi
menyebabkan kebangkrutan bagi perusahaan tersebut. Salah satu solusi
untuk mengantisipasi hal di atas adalah dengan melakukan penggabungan
antara dua perusahaan dan menentukan faktor-faktor apa saja sehingga
penggabungan dua perusahaan dapat meningkatkan surplus atau keuntungan
perusahaan tersebut.
Proses surplus adalah proses akumulasi kekayaan yang diperoleh
dengan penjumlahan modal awal (initial capital) dengan total pendapatan
yang masuk kemudian dikurangi dengan total dividen yang dibayarkan
kepada pemegang saham. Bila suatu ketika besar modal dan total pendapatan
perusahaan lebih kecil dari jumlah akumulasi dari dividen yang harus
dibayar maka perusahaan mengalami kerugian yang berpotensi mengalami
kebangkrutan. Kerugian ini disebabkan karena jumlah dividen yang dibayar
melebihi batas kemampuan dari perusahaan tersebut sehingga diperlukan
suatu strategi optimasi dividen untuk menentukan batasan banyaknya modal
yang optimal sehingga dividen dapat mulai dibayar pada suatu batasan modal
tersebut.
Tulisan ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Gerber dan Shiu
(2006) yang berjudul “ On The Merger of Two Companies”.
Perumusan Masalah
Asumsi awal, perusahaan akan membayar dividen kepada pemegang
saham sedemikian rupa sehingga dapat memaksimalkan present value dari total
angsuran pembayaran dividen sesuai harapan pemegang saham. Pembayaran
dividen akan terhenti bila perusahaan mengalami kebangkrutan. Nilai sekarang
(present value) dari perusahaan sendiri adalah nilai dari total pendapatan yang
masuk kas perusahaan dikurangi dengan dividen yang dibayarkan sebagai kas
keluar, yang nilainya sesuai dengan yang telah disepakati antara para pemegang
saham dengan perusahaan sesuai dengan strategi optimasi dividen.
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk mengetahui faktor-faktor yang
memengaruhi keberhasilan penggabungan dua perusahaan.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah-masalah yang terjadi pada karya tulis ini diperlukan
pengertian beberapa konsep berikut ini.
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak
bisa diprediksi secara tepat, tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil
yang muncul disebut percobaan acak.
(Hogg dan Craig 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak, dan dinotasikan dengan .
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh .
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Kejadian Lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan
kosong
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 5 (Medan- )
Medanadalah suatu himpunan
yang anggotanya terdiri atas himpunan
bagian ruang contoh , yang memenuhi syarat berikut:
1.
2. Jika
, maka
3. Jika
, maka
(Hogg et al. 2005)
Definisi 6 (Ukuran Peluang)
Misalkan adalah ruang contoh suatu percobaan acak dan
adalah medanpada . Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur
ke himpunan bilangan
nyata () atau
disebut ukuran peluang jika:
1. P tak negatif, yaitu untuk setiap
,
2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika
dengan
maka
3. P bernorma satu, yaitu
Pasangan
disebut ruang peluang atau ruang probabilitas.
(Hogg et al. 2005)
3
Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:
=
.
Secara umum, himpunan kejadian
dikatakan saling bebas jika
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 8 (Peubah Acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi yang
terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ke satu dan hanya satu
bilangan real
disebut peubah acak.
Ruang dari adalah himpunan bagian bilangan real
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.
Sedangkan nilai
(Hogg et al. 2005)
Definisi 9 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak
tersebut merupakan himpunan tercacah.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 10 (Fungsi Sebaran)
Misalkan
adalah peubah acak dengan kejadian
maka peluang dari kejadian adalah
Misalkan kejadian
Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret
yang diberikan oleh:
adalah fungsi
(Hogg et al. 2005)
Definisi 12 (Peubah Acak Poisson)
Suatu peubah acak
dikatakan menyebar Poisson dengan parameter , jika
memiliki fungsi massa peluang:
(Hogg et al. 2005)
Definisi 13 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan
sebagai
4
yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi
untuk suatu fungsi
disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Peubah Acak Eksponensial)
Peubah acak kontinu disebut menyebar eksponensial dengan parameter
jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh
(Hogg et al. 2005)
Definisi 15 (Peubah Acak Gamma)
Peubah acak kontinu disebut menyebar Gamma dengan parameter
jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh
(Hogg et al. 2005)
Definisi 16 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Marjinal)
Misalkan
and adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan
fungsi sebaran
dan fungsi kepekatan peluang bersama
. Fungsi
sebaran marjinal dari peubah acak dan adalah masing-masing
Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah masingmasing
(Ghahramani 2005)
Teorema 1 (Peubah Acak Bebas)
Misalkan
adalah n peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang bersama
dan fungsi kepekatan peluang marjinal masingmasing
Peubah-peubah acak
dikatakan bebas
secara bersama jika dan hanya jika
Bukti Teorema 1 dapat dilihat di Ghahramani, 2005.
Definisi 17 (Sebaran Bersyarat Peubah Acak Kontinu)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran bersama
Fungsi sebaran bersyarat dari dengan syarat
ditulis
atau
diberikan oleh
5
untuk sembarang x dan f Y ( y) 0.
(Ghahramani 2005)
Definisi 18 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)
Misalkan dan merupakan dua peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang bersama
maka fungsi kepekatan peluang bersyarat X dengan
syarat
ditulis
diberikan oleh
untuk sembarang x dan
(Ghahramani 2005)
Momen, Nilai Harapan, dan Ragam
Definisi 19 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
Nilai harapan dari dinotasikan dengan
adalah
jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan
dari tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 20 (Ragam Peubah Acak Kontinu)
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
dan nilai harapan
. Ragam dari X dinotasikan dengan
atau X2
adalah
X2 E (( X E ( X )) 2 )
( x E ( X )) 2 f X ( x)dx
jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas tidak konvergen maka ragam
dari tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 21 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan
dan merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang bersama
dan fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan
syarat
adalah
Nilai harapan bersyarat dari dengan syarat
diberikan oleh
dengan
(Ghahramani 2005)
Proses Stokastik
Definisi 22 (Proses Stokastik)
Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) S.
6
(Ross 1996)
Definisi 23 (Proses Pencacahan)
Proses stokastik
disebut proses pencacahan (counting process) jika
menyatakan banyaknya kejadian (events) yang telah terjadi sampai waktu t.
Jadi proses pencacahan N(t) harus memenuhi:
(i)
(ii) Nilai
adalah integer.
(iii) Jika
, maka
(iv) Untuk
, maka
sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada selang
(Ross 1996)
Kadangkala, proses pencacahan
ditulis
yang menyatakan
banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu
].
Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya
kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih
(tidak overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut
memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi
pada sembarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut.
Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga
merupakan salah satu contoh penting dari proses stokastik dengan waktu kontinu.
Definisi 24 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan intensitas ,
jika:
(i)
(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas dan stasioner.
(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang waktu dengan panjang t, memiliki
sebaran Poisson dengan rataan (mean) . Jadi, untuk semua
dan
maka:
(Ross 1996)
Definisi 25 (Waktu Antar Kedatangan)
Barisan { X n , n 1,2,...} disebut barisan waktu antar kedatangan (sequence of
interarrival times) dari suatu proses Poisson, dengan X n menyatakan jarak antar
waktu kejadian proses Poisson ke-(n-1) dengan kejadian proses Poisson ke-n.
(Ross 2000)
7
Integral Parsial
Definisi 26 (Integral Parsial)
Aturan yang berkaitan dengan aturan hasil kali untuk turunan disebut aturan
pengintegralan
parsial
dengan
formula
Misalkan, jika
dan
, maka turunannya adalah
dan
. Dengan demikian, menurut aturan substitusi,
rumus pengintegralan parsial menjadi
(Stewart 1998)
Hukum Total Peluang
Definisi 27 (Hukum Total Peluang)
yang
Misalkan ruang contoh dipartisi ke dalam buah kejadian
saling lepas satu dengan yang lainnya. Kejadian-kejadian tersebut memiliki
, dimana
Misalkan terdapat suatu kejadian yang lain
dengan
, maka berlaku kejadian-kejadian
terhadap
sebagai berikut:
di mana
sehingga diperoleh
diasumsikan saling lepas satu dengan yang lain,
sebagai berikut:
dengan peluang bersyarat
Jadi didapat
dapat ditulis
dengan penguraian secara rinci sebagai beirikut:
inilah yang disebut sebagai hukum total peluang.
(Hogg et al. 2005)
Waktu Kebangkrutan
Definisi 28 (Waktu Kebangkrutan)
Misalkan T menyatakan waktu kebangkrutan dan U(t) surplus perusahaan pada
waktu t. Maka waktu kebangkrutan yang dinotasikan dengan T adalah waktu di
mana nilai surplus perusahaan bernilai negatif U(t) 0. Jika tidak ada dividen yang dibayarkan maka fungsi
surplus yang diturunkan dari model gerak Brown dengan parameter drift
sehingga modelnya dapat ditulis sebagai berikut:
dan parameter ragam
(1)
Keterangan:
adalah fungsi surplus yang merupakan model gerak Brown dengan
untuk nilai
.
parameter drift dan ragam
x adalah modal awal,
adalah gerak Brown.
.
Perusahaan akan membayarkan dividen berdasarkan optimal barrier-nya
dengan parameter optimal barrier
. Artinya, pada saat surplus perusahaan
mencapai atau melebihi b,
maka kelebihan arus kas tersebut akan
dibayarkan sebagai dividen.
Misalkan
adalah nilai maksimum yang dapat dicapai oleh
maka
dapat ditulis:
Kemudian, misalkan
dinotasikan sebagai dividen agregat yang dibayarkan
antara waktu 0 dan waktu t, maka
Diasumsikan bahwa pembayaran dividen tidak memiliki pengaruh
terhadap keberlangsungan perusahaan, sehingga fungsi surplus pada waktu t
dapat diubah menjadi X(t) – D(t) di mana X(t) adalah surplus perusahaan dan
D(t) adalah dividen yang dibayar oleh perusahaan.
Misalkan juga D menyatakan present value dari akumulasi pembayaran
dividen hingga terjadinya kebangkrutan dengan
di mana
10
menyatakan waktu ketika perusahaan bangkrut. Misalkan
,
menyatakan nilai harapan present value dari akumulasi pembayaran dividen
hingga bangkrut, ditulis:
Gambar 1 Ilustrasi Grafik
memenuhi persamaan diferensial
Sebagai fungsi dari modal awal x,
homogen orde-2 sehingga
dapat ditulis menjadi:
(2)
Bukti Persamaan 2 disajikan pada Lampiran 2.
Nilai harapan present value dari akumulasi dividen perusahaan hingga
perusahaan tersebut mengalami bangkrut dinotasikan dengan
di
mana x adalah modal awal dan b adalah ambang batas optimal dividen
(optimal barrier).
Fungsi
memiliki syarat
,
(3)
.
(4)
Persamaan (3) menjelaskan bahwa jika
perusahaan mengalami
kebangkrutan dan tidak ada dividen yang dibayar. Persamaan (4)
menjelaskan bahwa
terdapat dua situasi, pertama perusahaan memiliki
modal awal sebesar
, kedua perusahaan memiliki modal awal sebesar
dan bernilai sangat kecil).
Berdasarkan Persamaan (3) dan (4) solusi pada persamaan diferensial
homogen Persamaan (2) adalah
(5)
11
Misalkan
fungsi
dan
berturut-turut adalah pembilang dan penyebut pada
dan
(6)
dengan
r
2 2 2
2
(7)
dan
s
2 2 2
2
0 adalah tingkat suku bunga.
(8)
Bukti Persamaan (5), (7), dan (8) disajikan pada Lampiran 3.
Misalkan, b* menyatakan nilai optimal b, artinya b* adalah nilai dari b
(ambang batas besarnya modal awal (x) pada saat dividen dapat mulai dibayar)
yang meminimumkan
misalkan, buat turunan
sama dengan nol,
Maka turunan
sebagai berikut:
sehingga,
(9)
(10)
Berdasarkan Persamaan (9) dan (5) diperoleh
.
Bukti Persamaan (11) disajikan pada Lampiran 4.
Berdasarkan Persamaan (11) dan (2) turunan kedua dari fungsi
fungsi kontinu pada saat nilai x sebesar , atau
, maka
(11)
adalah
(12)
Bukti Persamaan (12) disajikan pada Lampiran 5.
Bentuk dari fungsi
syarat
untuk
Gambar 2).
,
, dapat dengan mudah diperoleh dengan
, dan
untuk
(lihat
12
Gambar 2 Ilustrasi nilai harapan dividen perusahaan
sebagai fungsi dari modal awal (x).
Optimal Barrier
Subbab ini akan menjelaskan mengenai b* yang merupakan optimal barrier
atau batasan banyaknya modal yang optimal sehingga dividen bisa dibayarkan
kepada pemegang saham. Misalkan merupakan koefisien ragam dari gerak
Brown, dapat ditulis sebagai berikut:
(13)
Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (10), (7), dan (8) diperoleh
dengan kata lain
:
dapat ditulis sebagai berikut:
(14)
di mana
(15)
Bukti Persamaan (14) dan (15) disajikan pada Lampiran 6.
Untuk mempermudah melihat hubungan fungsi
ditambahkan suatu fungsi bebas
pada
di mana
ditulis
dengan
,
dapat
dapat
(16)
sehingga
(17)
dan
(18)
13
Fungsi
dengan y ≥ 0, adalah fungsi naik, dengan
dan
. Dengan menggunakan suatu software matematika ditemukan nilai
saat ~
y = 0.3708.
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.5
1.0
Gambar 3 Grafik Turunan Kedua
terhadap y,
dengan
,
(19a)
dan
(19b)
Dari grafik turunan kedua,
Gambar
dan sintaks Gambar
adalah saat nilai ~
y sebesar 0.3708.
dan
disajikan pada Lampiran 7.
Situasi Sebelum dan Setelah Penggabungan
Misalkan dua perusahaan, dengan variabel j = 1, 2, diasumsikan bahwa
keuntungan perusahaan yang merupakan selisih dari pemasukan perusahaan
dikurangi pengeluaran perusahaan dalam bentuk dividen adalah gerak Brown
dengan parameter drift j dan ragam 2j per satuan waktu. Optimal barrier untuk
dividen perusahaan j adalah
(20)
b *j j f ( j ) ,
dengan f ( j ) didefinisikan pada Persamaan (17) dan
j
(21)
j
j
Misalkan V j ( x; b) menunjukkan nilai harapan dari present value akumulasi
dividen perusahaan j hingga mengalami kebangkrutan, x adalah modal awal
perusahaan dan strategi barrier sesuai dengan parameter b yang digunakan.
Selanjutnya, diasumsikan bahwa jumlah dari proses pendapatan bersih (sebelum
pembayaran dividen) adalah gerak Brown bivariat dengan koefisien korelasi .
Diasumsikan bahwa penggabungan tidak memengaruhi model dan parameternya.
Karena itu, setelah penggabungan hasil dari penjumlahan proses surplus (sebelum
pembayaran dividen) adalah gerak Brown, dengan:
14
(22)
dan
(23)
sehingga, optimal barrier dari dividen perusahaan setelah penggabungan adalah
(24)
dengan
(25)
Misalkan Vm ( x; b) menyatakan nilai harapan dari present value akumulasi
dividen perusahaan yang digabung hingga mengalami kebangkrutan. Kemudian
keuntungan hasil penggabungan dua perusahaan adalah
(26)
di mana x j adalah banyaknya modal awal dari perusahaan j, j = 1, 2 dan
adalah banyaknya modal dari dua perusahaan yang bergabung. Setiap persamaan
dari tiga persamaan yang ada pada Persamaan (26) dapat dihitung dengan
menggunakan penjabaran dari Persamaan (5), (7), (8) dan (10). Keuntungan
penggabungan adalah jika persamaan (26) bernilai positif. Kemudian dari
persamaan (12) dan (25) dapat ditarik kesimpulan di mana Persamaan (26) dapat
menggambarkan kondisi perusahaan yang digabung akan mengalami untung atau
rugi sebagai berikut:
(27)
dengan asumsi yang sama berlaku untuk setiap perusahaan. Misalkan
diasumsikan bahwa present value perusahaan j adalah , j = 1, 2 dan
)
adalah jumlah banyaknya modal perusahaan yang telah bergabung. Terdapat dua
kesimpulan yang diakibatkan Persamaan (26):
a. Jika
(28)
maka,
(29)
artinya, hasil penggabungan perusahaan dalam kondisi positif atau perusahaan
untung.
b. Jika
(30)
15
maka,
(31)
artinya, present value penggabungan perusahaan dikurangi dengan jumlah present
value dari dua perusahan jika tidak digabung bernilai negatif yang artinya
penggabungan perusahaan dinilai merugikan untuk dua perusahaan tersebut.
Penjelasan lebih lanjut mengenai keuntungan hasil penggabungan adalah
dengan melihat Gambar 2, dengan menyesuaikan menjadi
dan
menjadi
. Keuntungan penggabungan dapat dilihat dari banyaknya jumlah modal pada
masing-masing perusahaan.
Jika Persamaan (28) terpenuhi maka penggabungan menghasilkan keuntungan:
.
Jika Persamaan (30) terpenuhi maka penggabungan mengakibatkan kerugian:
.
Syarat Cukup untuk Penggabungan
Subbab ini memiliki tujuan mendapatkan syarat cukup untuk Persamaan
(24). Jika =1, berdasarkan Persamaan (25) bahwa
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai rata-rata tertimbang dari
dan
:
.
Jadi, jika
maka
juga memiliki nilai yang sama dengan
*
*
*
, berdasarkan Persamaan (28)
bm b1 b2 . Jika
dan
, dan
(32)
Persamaan (32) sesuai dengan kondisi penggabungan menghasilkan keuntungan
pada Persamaan (28) yang disebabkan dari Persamaan (24) dan (20), untuk
membuktikan syarat cukup Persamaan (32),
merupakan fungsi convex untuk
nilai antara
dan , atau f " ( ) 0 untuk nilai antara
dan . Sekarang
~
dapat dilihat Persamaan (19a), g" ( y) 0 untuk 0 y y 0,3708 hal tersebut
diketahui dari Persamaan (17) bahwa
16
untuk j = 1 dan j = 2, kita dapat membuktikan Pertidaksamaan (30). Akibatnya,
untuk kedua perusahaan (perusahaan 1 dan perusahaan 2) berlaku
Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa perusahaan akan untung bila hasil kali
dari nilai tingkat suku bunga ( ) dengan ragam ( 2 ) kurang dari 6,87%.
Generalisasi
Cai et al. (2006) mengembangkan model pada Persamaan (12) dengan
mengasumsikan bahwa tingkat bunga yang dikenakan pada seluruh akumulasi
modal pada tingkat bunga konstan, yang pada karya ilmiah ini dinyatakan dengan
,
Kita misalkan
menyatakan nilai harapan dari dividen yang
didiskon hingga bangkrut, jika strategi barrier sesuai dengan parameter b yang
digunakan, dan misalkan b * menyatakan optimal barrier. Untuk 0 , Cai et al
(2006) membuktikan bahwa
(33)
merupakan pengembangan dari Persamaan (17). Selanjutnya,
dan
untuk 0 < x < b*, dan
untuk
. Oleh karena itu,
Gambar 1 tetap berlaku jika kita mengganti
pada sumbu x dengan
.
Misal dua saham perusahaan, yang diberi label 1 dan 2, kemudian V1 dan
V2 adalah nilai harapan dari present value fungsi dividen, dan dan berturutturut adalah optimal barrier. Untuk perusahaan yang akan digabung, misalkan
merupakan nilai harapan dari present value fungsi dividen gabungan dua
perusahaan dan
adalah optimal barrier-nya. Dari Persamaan (22) dan (32)
bahwa
yang merupakan Persamaan (27) yang diperumum (generalisasi).
Penggabungan menghasilkan keuntungan bila kondisi pada Persamaan
(28) terpenuhi. Jika Persamaan (28) terpenuhi maka keuntungan yang didapatkan
sebesar
Sebaliknya jika yang terpenuhi Persamaan (30) maka kerugian yang diakibatkan
penggabungan perusahaan sebesar
17
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah disajikan sebelumnya dapat
disimpulkan bahwa terdapat beberapa faktor yang harus dipenuhi sehingga
perusahaan akan menghasilkan keuntungan. Pada saat surplus perusahaan
mencapai optimal barrier
penggabungan dua perusahaan akan
menguntungkan jika:
sehingga
.
Untuk nilai =1, didapatkan suatu syarat cukup sehingga penggabungan dua
perusahaan dapat menguntungkan, yaitu pada saat
Artinya perusahaan akan untung pada saat hasil kali dari tingkat suku bunga ()
dan ragam
) kurang dari 6,87% untuk kedua perusahaan yang bergabung.
Saran
Untuk permasalahan selanjutnya disarankan untuk menganalisis lebih
lanjut mengenai waktu dapat dilakukannya penggabungan, atau lebih tepatnya,
kapan waktu yang tepat untuk malakukan penggabungan dua perusahaan.
DAFTAR PUSTAKA
Cai J, Gerber HU, Yang H. 2006. Optimal dividends in an ornstein-uhlenbeck
type model with credit and debit interest. North American Actuarial Journal
Vol 10(2):94-108.
Dickson, David CM, Waters HR. 2004. Some optimal dividends problems.
ASTIN Bulletin 34:49–74.
Gerber HU, Shiu ESW. 2004. Optimal dividends analysis with brownian motion.
North American Actuarial Journal Vol. 8(1):1-20.
Gerber HU, Shiu ESW. 2006. On the merger of two companies. North American
Actuarial Journal Vol. 10(3):1-8.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Ed
ke-3. New Jersey (US): Pearson Prentice Hall.
18
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Process. Ed ke-3.
Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-5. New
Jersey (US): Prentice Hall, Inc.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed Ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs.
Klugman SA, Panjer HH, Willmot GE. 1998. Loss Models – From Data to
Decisions. NewYork (US): John Wiley & Sons.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York. John Wiley & Sons.
Ross SM. 2000. Introduction to Probability Models. Ed ke-7. California (US):
Academic Press.
Stewart J. 1998. Terjemahan dari: Calculus. Ed. ke-4. Susila IN dan Gunawan H.
Jakarta (ID): Penerjemah Erlangga.
Taylor HM, Karlin S. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling. Ed ke-3.
New York (US): Academic Press.
19
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2
Berdasarkan Taylor dan Karlin (1998) untuk membuktikan Teorema 2,
terdapat dua asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:
1. Diasumsikan u(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan dua kali.
2. Diasumsikan inkremen t, t pada interval (a,b), (t b t a ) , memiliki selisih
nilai yang sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
Kemudian berdasarkan hukum peluang total, maka:
u(x) = P{X(T) = b|X(0) = x} = [P{X(T) = b|X(0) = x, X( t) = x+ X}
|X(0) = x] = E[u(x+ X)], di mana a < x < b.
Selanjutnya, menggunakan ekspansi deret Taylor maka persamaan u(x+ X)
dapat ditulis menjadi:
1
u(x+ X) = u ( x) u ' ( x)X u" ( x)(X ) 2 o(X ) 2 .
2
Kemudian berdasarkan definisi u(x) di atas maka:
1
u(x)=E[u(x+ X)]=E[ u ( x) u ' ( x)X u" ( x)(X ) 2 o(X ) 2 ]
2
1
= u ( x) u ' ( x) E[X ] u" ( x) E[(X ) 2 ] E[o(X ) 2 ] .
2
Kemudian berdasarkan (a2), (a3), a(5) pada Definisi 30, maka:
1
u ( x) u ( x) u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot
2
1
u ( x) u ( x) u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot
2
1
0 u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot
2
1
0 [u ' ( x) u" ( x) 2 o]t .
2
Misalkan t 0 maka persamaan di atas menjadi suatu persamaan
diferensial
1
0 u ' ( x) u" ( x) 2 , untuk a < x < b.
2
Solusi dari persamaan diferensial di atas adalah:
dan
, maka persamaan menjadi:
Misalkan
1
0 2 A 2 A
2
1
0 ( 2 A ) A .
2
Akar-akar dari persamaan di atas adalah
1
1
2
A= 0 dan 0 2 A 2 A A 2
2
2
atau
A1 0 dan A2 22
sehingga solusi umum persamaan diferensial menjadi:
20
u ( x) Ce x ( 0) De
x(
2
)
2
2 x
u ( x) C De
di mana C dan D adalah konstanta. Menentukan nilai dari C dan D berdasarkan
peluang u(a)=0 dan u(b)=1, artinya peluang u pasti terjadi saat x = b, dan tidak
terjadi saat x = a sehingga:
2
u (a) C De
u (b) C De
a(
b(
2
)
2
2
2
)
0
(L1)
1
(L2)
kemudian
u (a) C De
u (b) C De
2 a
De
2 b
D[e
2
2
b(
2
)
0
)
1 _
2 b
2
De
2
a(
1
2
2 a
e ] 1
1
D 2 b
.
2 a
2
e
1
Subtitusi D
2 b
e
u (a) C De
a(
2
2
2
e
2
ke Persamaan u(a):
2 a
e
2
2
2
a(
)
e
0C
e
Didapatkan nilai C
2
2
2 b
e
2
)
2 a
e
2
2 b
e
2
Maka solusi khusus untuk u(x) adalah:
e
u ( x)
a(
2
2
2 b
e
2
2 a
e
2 x
u ( x)
e
2
e
2
e
2
2 a
e
2
.
2 x
1
2 b
e
2 a
2 b
2
)
2
2 a
e
2
e
2
2 a
e
2
.
a(
2
2
2 b
e
1
dan D
e
0C
2
)
2 a
e
2
2
2 b
e
a(
2
2
)
2 a
e
2
.
21
Lampiran 2 Pembuktian Persamaan 2
X (t ) t W (t )
Di mana
adalah gerak Brown, adalah parameter drift dan 2 adalah
parameter ragam, dengan modal awal
Selanjutnya, V V ( x X ), dengan menggunakan ekspansi deret Taylor
V ( x) X dapat ditulis menjadi:
1
V ( x) X V ( x) V ' ( x)X V " ( x)(X ) 2 (X ) 2
2
kemudian
V ( x) E[V ( x X )]
1
V ( x) V ' ( x) E[(X )] V " ( x) E[(X 2 )] E[t ]
2
sehingga
1
V ( x; b) V ( x; b) V ' ( x; b) E[(X )] V " ( x; b) E[(X 2 )] E[t ] .
2
Berdasarkan Definisi (30)
V ( x; b) V ( x; b) V ' ( x; b)dt
2
2
V " ( x; b)dt .
Selanjutnya diketahui
E[V ( x; b)] edtV ( x; b).
(a5)
Dengan menggunakan pendekatan deret Taylor
1
ex
n 0
xn
1 x .
n!
Sehingga
edtV ( x; b) (1 dt )V ( x; b)
V ( x; b) dt[V ( x; b)] .
Kemudian dari (a5)
E[V ( x; b)] V ( x; b) dt[V ( x; b)]
V ( x; b) V ' ( x; b)dt
2
2
V " ( x; b)dt V ( x; b) dt[V ( x; b)]
V ( x; b) V ( x; b) dt[V ( x; b)] V ' ( x; b)dt
dt[V ( x; b)] V ' ( x; b)dt
2
2
2
2
V " ( x; b)dt 0 .
V " ( x; b)dt 0
22
Lampiran 3 Pembuktian Persamaan (5), (7) dan (8)
2
V " ( x; b) V ' ( x; b) V ( x; b) 0
2
Dengan menggunakan persamaan diferensial orde-2 persamaan di atas menjadi
2
A 2 A 0 .
2
Solusi dari persamaan di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus ABC
.
Dari hasil di atas didapatkan dua akar untuk persamaan diferensial di atas
dan
maka solusi umum
menjadi:
V ( x) We
x
2 2 2
Ve
2
x
2 2 2
2
W dan E adalah konstanta, berdasarkan Persamaan (3) dan (4) yang menyatakan
dan
, maka
0( r )
V (0) We Ve 0( s ) 0 V (0) W V 0
dan
V ' (b) rWeb( r ) sVe b( s ) 1
kemudian, untuk V(0) kedua ruas dikalikan reb (r )
V (0) W V 0
reb (r )
dan untuk V ' (b) kedua ruas dikalikan 1
V ' (b) rWeb( r ) sVeb( s ) 1
1
Kemudian untuk mendapatkan V eliminasi rWeb (r ) dari dua persamaan diatas:
V (0) rWeb ( r ) rVeb ( r ) 0
V ' (b) rWeb( r ) sVeb( s ) 1 _
rVeb( r ) sVeb( s ) 1
V [reb( r ) reb( s ) ] 1
1
.
re
seb ( s )
Kemudian untuk mendapatkan W, substitusi V ke Persamaan
V
b( r )
V (0) W
W
re
re
b(r )
b( r )
1
0
seb ( s )
1
seb ( s )
setelah nilai W dan V didapatkan, subtitusi W dan V ke solusi umumV(x;b)
23
1 e xs
1 e xr
reb ( r ) seb ( s ) reb ( r ) seb ( s )
e xr e xs
V ( x) br
re sebs
V ( x)
atau
V ( x)
e rx e sx
rerb sesb
dengan
r
2 2
2
2
dan
s
2 2
2
Lampiran 4 Pembuktian Persamaan 11
e rx e sx
re rb* se sb* .
Saat x = b*, maka:
e rb* e sb*
V (b*; b*) rb*
re se sb*
Misal: u = e rb* e sb*
u’ = re rb* se sb*
v = re rb* se sb*
v’ = r 2 e rb* s 2 e sb*
u ' v uv'
V ' (b*; b*)
v2
[(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )] [(e rb* e sb* )(r 2 e rb* s 2 e sb* )]
=
(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )
V ( x; b*)
(e rb* e sb* )(r 2 e rb* s 2 e sb* )
(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )
berdasarkan Persamaan (10)
= 1
r 2erb* s 2esb* 0
maka:
(e rb* e sb* )(0)
(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )
= 1 0
V ' (b*; b*) 1
V " (b*; b*) 0 .
V ' (b*; b*) 1
Lampiran 5 Pembuktian Persamaan 12
Akan dibuktikan bahwa :
V (b*; b*)
Bukti:
Berdasarkan Lampiran 3
2
24
V ' (b*; b*) 1
V " (b*; b*) 0
dan
serta
2
(2)
V ' ' ( x; b) 0
2
Jika x = b = b* merupakan kondisi yang optimal, maka Persamaan Diferensial (2)
dapat ditulis menjadi:
V ( x; b) V ' ( x; b)
V (b*; b*) V ' (b*; b*)
2
V ' ' (b*; b*) 0
2
Sehingga dengan cara subtitusi (2.6.1) dan (2.6) ke Persamaan (2)
2
V (b*; b*) (1) (0) 0
2
V (b*; b*) 0
V (b*; b*)
V (b*; b*)
.
Lampiran 6 Pembuktian Persamaan 14
Akan dibuktikan bahwa
b* f ( ).
Berdasarkan Persamaan (7), (8), dan (11)
2
s
b*
ln
.
rs r
Di mana
r
2 2 2
s
dan
2
2 2 2
2
sehingga
b*
2
2 2 2
2
b*
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
ln
2 2 2
2 2 2
2
ln
2 2 2
2
.
Misalkan
subtitusi ke persamaan di atas
b*
2 2 2 2
ln
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
25
2 2 2 2
ln
2
2 2
2 2 2 2
2
(1 1 2 2
2 2
b*
ln
2
2
(1 1 2
1 2
2 2
b*
(1 1 2 2
b*
ln
2
(1 1 2 2
1 2
2
(1 1 2 2
ln
2
(1 1 2 2
1 2
2
b*
.
terbukti
b* f ( )
dengan
f ( )
2
1 2 2
(1 1 2 2
ln
(1 1 2 2
.
Lampiran 7 Sintaks software Mathematica 7 untuk Grafik 3
f[y_] :=
f''[0]0; f''[]2;
Plot[f''[y],{y,0,4}]
f''[y]
26
2.0
1.5
1.0
0.5
1
2
3
4
5
6
7
Grafik fungsi
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
Grafik fungsi
1.0
1.5
2.0
2.5
27
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 11 Desember 1987 sebagai anak
pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan bapak Grambang Suwahyo dan
ibu Sri Nurdayani.
Tahun 1999 penulis lulus dari MI (Madrasah Ibtidaiyah) pambangunan UIN
Jakarta. Tahun 2002 penulis lulus dari MTs (Madrasah Tsanawiyah) UIN Jakarta.
Tahun 2005 penulis lulus dari SMA Muhammadiyah 25 Setia Budi. Penulis
melanjutkan kuliah di IPB pada tahun 2006 melalui jalur SPMB.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam bebagai kegiatan
kemahasiswaan antara lain GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai
staf kewirausahaan periode 2008-2009. Selain itu penulis terlibat dalam beberapa
kegiatan, antara lain: Matematika Ria 2008 dalam rangkaian Pesta sains Nasional
2008, dan berbagai kegiatan yang diselenggarakan oleh GUMATIKA maupun
BEM FMIPA IPB.
KEBERHASILAN PENGGABUNGAN
DUA PERUSAHAAN
ARIF WICAKSONO UTOMO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Beberapa Faktor yang
Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Desember 2013
Arif Wicaksono Utomo
NIM G54061662
ABSTRAK
ARIF WICAKSONO UTOMO. Beberapa Faktor yang Memengaruhi
Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU
PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Perusahaan akan membayar dividen kepada para pemegang saham
sedemikian rupa sehingga besarnya akumulasi total pembayaran dividen yang
dihitung berdasarkan nilai sekarang sesuai harapan pemegang saham. Dividen
akan dibayarkan berdasarkan strategi barier, artinya jika surplus perusahaan telah
melebihi optimal barrier keuntungan perusahaan, maka kelebihan dari barrier
keuntungan tersebut semuanya akan dibayarkan sebagai dividen kepada para
pemegang saham. Pembayaran dividen akan terhenti bila perusahaan mengalami
kebangkrutan. Jumlah pendapatan bersih yang dihasilkan oleh gabungan dua
perusahaan dimodelkan dengan gerak Brown bivariat dengan parameter drift µ
dan ragam
per satuan waktu. Fungsi surplus merupakan turunan model gerak
Brown dan dari fungsi surplus didapatkan hasil tentang potensi untung dan rugi
pada penggabungan dua perusahaan. Jika optimal barrier perusahaan gabungan
lebih kecil dari hasil penjumlahan optimal barrier setiap perusahaan, untuk nilai
koefisien korelasi sama dengan satu, dan hasil kali dari nilai tingkat bunga
dengan koefisien ragam
dari proses agregat pendapatan bersih setiap
perusahaan pada tingkat suku bunga kurang dari 6,87%, maka merger akan
mendapatkan keuntungan.
Kata kunci: gabungan, dividen optimal, strategi barrier, gerak Brown.
ABSTRACT
ARIF WICAKSONO UTOMO. Several Factors that Influence the Merger Process
of Two Companies. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO
BUDIARTI.
A company will payout dividends to its shareholders in such a way it
maximizes the expectation of discounted dividends. Dividends are paid according
to strategy barrier. The strategy barrier is to pay dividends to shareholders
whenever the surplus attains the optimal barriers. The dividend payments are
stopped whenever the company becomes ruin. The aggregate net income stream
of two companies are modeled by bivariate Brownian motion with µ as a drift
parameter and
as a variance parameter per unit time. Surplus function can be
obtained by using the model of Brownian motion. It is used to obtain result about
the potensial gain or loss upon merging two companies. If the combined
company's optimal barrier is smaller than the sum of the optimal barrier of each
companies, for the value of correlation coefficient equals to one, and for each
companies, multiplication of interest and the square of the coefficient of
variation
of its aggregate net income process is less than 6,87%, so the merger
of two companies would be benefit.
Keywords: merger, optimal dividends, barrier strategy, Brownian motion.
BEBERAPA FAKTOR YANG MEMENGARUHI
KEBERHASILAN PENGGABUNGAN DUA PERUSAHAAN
ARIF WICAKSONO UTOMO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan
Dua Perusahaan
Nama
: Arif Wicaksono Utomo
NIM
: G54061662
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juli 2012 ini optimasi
dividen, dengan judul Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan
Penggabungan Dua Perusahaan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba,
DEA. dan Ibu Ir. Retno Budiarti MS. selaku dosen pembimbing, serta seluruh
dosen di Departemen Matematika IPB yang telah banyak memberikan pelajaran
tentang berbagai ilmu Matematika kepada penulis. Tak lupa terima kasih juga
untuk para staf tata usaha serta staf perpustakan Departemen Matematika IPB
yang telah banyak membantu penulis dalam hal administrasi perkuliahan semasa
penulis menjalani masa-masa kuliah. Terima kasih juga untuk teman-teman Math
43 untuk dukungan dan doa serta persahabatan yang telah terjalin selama ini.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, adik serta seluruh
keluarga atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2013
Arif Wicaksono Utomo
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
HASIL DAN PEMBAHASAN
2
10
Formulasi Masalah
10
Optimal Barrier
13
Situasi Sebelum dan Setelah Penggabungan
14
Syarat Cukup untuk Penggabungan
16
Generalisasi
17
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
32
DAFTAR GAMBAR
1 Ilustrasi M(t), D(t), dan X(t)
2 Ilustrasi nilai harapan dari present value dividen perusahaan V(x;b)
sebagai fungsi dari modal awal x
3 Grafik turunan kedua g(y) terhadap y
11
13
14
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
Pembuktian Teorema 2
Pembuktian Persamaan (2)
Pembuktian Persamaan (5), (7) dan (8)
Pembuktian Persamaan (11)
Pembuktian Persamaan (12)
Pembuktian Persamaan (14)
Sintaks Grafik 3 menggunakan software Mathematica 7.0
21
23
25
27
28
29
30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada zaman modern seperti sekarang ini, perusahaan melakukan
berbagai cara untuk meningkatkan keuntungan serta mempelajari cara untuk
mengantisipasi risiko-risiko yang menyebabkan kerugian hingga berpotensi
menyebabkan kebangkrutan bagi perusahaan tersebut. Salah satu solusi
untuk mengantisipasi hal di atas adalah dengan melakukan penggabungan
antara dua perusahaan dan menentukan faktor-faktor apa saja sehingga
penggabungan dua perusahaan dapat meningkatkan surplus atau keuntungan
perusahaan tersebut.
Proses surplus adalah proses akumulasi kekayaan yang diperoleh
dengan penjumlahan modal awal (initial capital) dengan total pendapatan
yang masuk kemudian dikurangi dengan total dividen yang dibayarkan
kepada pemegang saham. Bila suatu ketika besar modal dan total pendapatan
perusahaan lebih kecil dari jumlah akumulasi dari dividen yang harus
dibayar maka perusahaan mengalami kerugian yang berpotensi mengalami
kebangkrutan. Kerugian ini disebabkan karena jumlah dividen yang dibayar
melebihi batas kemampuan dari perusahaan tersebut sehingga diperlukan
suatu strategi optimasi dividen untuk menentukan batasan banyaknya modal
yang optimal sehingga dividen dapat mulai dibayar pada suatu batasan modal
tersebut.
Tulisan ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Gerber dan Shiu
(2006) yang berjudul “ On The Merger of Two Companies”.
Perumusan Masalah
Asumsi awal, perusahaan akan membayar dividen kepada pemegang
saham sedemikian rupa sehingga dapat memaksimalkan present value dari total
angsuran pembayaran dividen sesuai harapan pemegang saham. Pembayaran
dividen akan terhenti bila perusahaan mengalami kebangkrutan. Nilai sekarang
(present value) dari perusahaan sendiri adalah nilai dari total pendapatan yang
masuk kas perusahaan dikurangi dengan dividen yang dibayarkan sebagai kas
keluar, yang nilainya sesuai dengan yang telah disepakati antara para pemegang
saham dengan perusahaan sesuai dengan strategi optimasi dividen.
Tujuan Penelitian
Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk mengetahui faktor-faktor yang
memengaruhi keberhasilan penggabungan dua perusahaan.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah-masalah yang terjadi pada karya tulis ini diperlukan
pengertian beberapa konsep berikut ini.
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak
bisa diprediksi secara tepat, tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil
yang muncul disebut percobaan acak.
(Hogg dan Craig 1995)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak, dan dinotasikan dengan .
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh .
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Kejadian Lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan
kosong
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Definisi 5 (Medan- )
Medanadalah suatu himpunan
yang anggotanya terdiri atas himpunan
bagian ruang contoh , yang memenuhi syarat berikut:
1.
2. Jika
, maka
3. Jika
, maka
(Hogg et al. 2005)
Definisi 6 (Ukuran Peluang)
Misalkan adalah ruang contoh suatu percobaan acak dan
adalah medanpada . Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur
ke himpunan bilangan
nyata () atau
disebut ukuran peluang jika:
1. P tak negatif, yaitu untuk setiap
,
2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika
dengan
maka
3. P bernorma satu, yaitu
Pasangan
disebut ruang peluang atau ruang probabilitas.
(Hogg et al. 2005)
3
Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:
=
.
Secara umum, himpunan kejadian
dikatakan saling bebas jika
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 8 (Peubah Acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi yang
terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ke satu dan hanya satu
bilangan real
disebut peubah acak.
Ruang dari adalah himpunan bagian bilangan real
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya
peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.
Sedangkan nilai
(Hogg et al. 2005)
Definisi 9 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak
tersebut merupakan himpunan tercacah.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 10 (Fungsi Sebaran)
Misalkan
adalah peubah acak dengan kejadian
maka peluang dari kejadian adalah
Misalkan kejadian
Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret
yang diberikan oleh:
adalah fungsi
(Hogg et al. 2005)
Definisi 12 (Peubah Acak Poisson)
Suatu peubah acak
dikatakan menyebar Poisson dengan parameter , jika
memiliki fungsi massa peluang:
(Hogg et al. 2005)
Definisi 13 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan
sebagai
4
yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi
untuk suatu fungsi
disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Peubah Acak Eksponensial)
Peubah acak kontinu disebut menyebar eksponensial dengan parameter
jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh
(Hogg et al. 2005)
Definisi 15 (Peubah Acak Gamma)
Peubah acak kontinu disebut menyebar Gamma dengan parameter
jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh
(Hogg et al. 2005)
Definisi 16 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Marjinal)
Misalkan
and adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan
fungsi sebaran
dan fungsi kepekatan peluang bersama
. Fungsi
sebaran marjinal dari peubah acak dan adalah masing-masing
Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah masingmasing
(Ghahramani 2005)
Teorema 1 (Peubah Acak Bebas)
Misalkan
adalah n peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang bersama
dan fungsi kepekatan peluang marjinal masingmasing
Peubah-peubah acak
dikatakan bebas
secara bersama jika dan hanya jika
Bukti Teorema 1 dapat dilihat di Ghahramani, 2005.
Definisi 17 (Sebaran Bersyarat Peubah Acak Kontinu)
Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran bersama
Fungsi sebaran bersyarat dari dengan syarat
ditulis
atau
diberikan oleh
5
untuk sembarang x dan f Y ( y) 0.
(Ghahramani 2005)
Definisi 18 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)
Misalkan dan merupakan dua peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang bersama
maka fungsi kepekatan peluang bersyarat X dengan
syarat
ditulis
diberikan oleh
untuk sembarang x dan
(Ghahramani 2005)
Momen, Nilai Harapan, dan Ragam
Definisi 19 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
Nilai harapan dari dinotasikan dengan
adalah
jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan
dari tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 20 (Ragam Peubah Acak Kontinu)
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
dan nilai harapan
. Ragam dari X dinotasikan dengan
atau X2
adalah
X2 E (( X E ( X )) 2 )
( x E ( X )) 2 f X ( x)dx
jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas tidak konvergen maka ragam
dari tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 21 (Nilai Harapan Bersyarat)
Misalkan
dan merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang bersama
dan fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan
syarat
adalah
Nilai harapan bersyarat dari dengan syarat
diberikan oleh
dengan
(Ghahramani 2005)
Proses Stokastik
Definisi 22 (Proses Stokastik)
Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) S.
6
(Ross 1996)
Definisi 23 (Proses Pencacahan)
Proses stokastik
disebut proses pencacahan (counting process) jika
menyatakan banyaknya kejadian (events) yang telah terjadi sampai waktu t.
Jadi proses pencacahan N(t) harus memenuhi:
(i)
(ii) Nilai
adalah integer.
(iii) Jika
, maka
(iv) Untuk
, maka
sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada selang
(Ross 1996)
Kadangkala, proses pencacahan
ditulis
yang menyatakan
banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu
].
Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya
kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih
(tidak overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut
memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi
pada sembarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut.
Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga
merupakan salah satu contoh penting dari proses stokastik dengan waktu kontinu.
Definisi 24 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan intensitas ,
jika:
(i)
(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas dan stasioner.
(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang waktu dengan panjang t, memiliki
sebaran Poisson dengan rataan (mean) . Jadi, untuk semua
dan
maka:
(Ross 1996)
Definisi 25 (Waktu Antar Kedatangan)
Barisan { X n , n 1,2,...} disebut barisan waktu antar kedatangan (sequence of
interarrival times) dari suatu proses Poisson, dengan X n menyatakan jarak antar
waktu kejadian proses Poisson ke-(n-1) dengan kejadian proses Poisson ke-n.
(Ross 2000)
7
Integral Parsial
Definisi 26 (Integral Parsial)
Aturan yang berkaitan dengan aturan hasil kali untuk turunan disebut aturan
pengintegralan
parsial
dengan
formula
Misalkan, jika
dan
, maka turunannya adalah
dan
. Dengan demikian, menurut aturan substitusi,
rumus pengintegralan parsial menjadi
(Stewart 1998)
Hukum Total Peluang
Definisi 27 (Hukum Total Peluang)
yang
Misalkan ruang contoh dipartisi ke dalam buah kejadian
saling lepas satu dengan yang lainnya. Kejadian-kejadian tersebut memiliki
, dimana
Misalkan terdapat suatu kejadian yang lain
dengan
, maka berlaku kejadian-kejadian
terhadap
sebagai berikut:
di mana
sehingga diperoleh
diasumsikan saling lepas satu dengan yang lain,
sebagai berikut:
dengan peluang bersyarat
Jadi didapat
dapat ditulis
dengan penguraian secara rinci sebagai beirikut:
inilah yang disebut sebagai hukum total peluang.
(Hogg et al. 2005)
Waktu Kebangkrutan
Definisi 28 (Waktu Kebangkrutan)
Misalkan T menyatakan waktu kebangkrutan dan U(t) surplus perusahaan pada
waktu t. Maka waktu kebangkrutan yang dinotasikan dengan T adalah waktu di
mana nilai surplus perusahaan bernilai negatif U(t) 0. Jika tidak ada dividen yang dibayarkan maka fungsi
surplus yang diturunkan dari model gerak Brown dengan parameter drift
sehingga modelnya dapat ditulis sebagai berikut:
dan parameter ragam
(1)
Keterangan:
adalah fungsi surplus yang merupakan model gerak Brown dengan
untuk nilai
.
parameter drift dan ragam
x adalah modal awal,
adalah gerak Brown.
.
Perusahaan akan membayarkan dividen berdasarkan optimal barrier-nya
dengan parameter optimal barrier
. Artinya, pada saat surplus perusahaan
mencapai atau melebihi b,
maka kelebihan arus kas tersebut akan
dibayarkan sebagai dividen.
Misalkan
adalah nilai maksimum yang dapat dicapai oleh
maka
dapat ditulis:
Kemudian, misalkan
dinotasikan sebagai dividen agregat yang dibayarkan
antara waktu 0 dan waktu t, maka
Diasumsikan bahwa pembayaran dividen tidak memiliki pengaruh
terhadap keberlangsungan perusahaan, sehingga fungsi surplus pada waktu t
dapat diubah menjadi X(t) – D(t) di mana X(t) adalah surplus perusahaan dan
D(t) adalah dividen yang dibayar oleh perusahaan.
Misalkan juga D menyatakan present value dari akumulasi pembayaran
dividen hingga terjadinya kebangkrutan dengan
di mana
10
menyatakan waktu ketika perusahaan bangkrut. Misalkan
,
menyatakan nilai harapan present value dari akumulasi pembayaran dividen
hingga bangkrut, ditulis:
Gambar 1 Ilustrasi Grafik
memenuhi persamaan diferensial
Sebagai fungsi dari modal awal x,
homogen orde-2 sehingga
dapat ditulis menjadi:
(2)
Bukti Persamaan 2 disajikan pada Lampiran 2.
Nilai harapan present value dari akumulasi dividen perusahaan hingga
perusahaan tersebut mengalami bangkrut dinotasikan dengan
di
mana x adalah modal awal dan b adalah ambang batas optimal dividen
(optimal barrier).
Fungsi
memiliki syarat
,
(3)
.
(4)
Persamaan (3) menjelaskan bahwa jika
perusahaan mengalami
kebangkrutan dan tidak ada dividen yang dibayar. Persamaan (4)
menjelaskan bahwa
terdapat dua situasi, pertama perusahaan memiliki
modal awal sebesar
, kedua perusahaan memiliki modal awal sebesar
dan bernilai sangat kecil).
Berdasarkan Persamaan (3) dan (4) solusi pada persamaan diferensial
homogen Persamaan (2) adalah
(5)
11
Misalkan
fungsi
dan
berturut-turut adalah pembilang dan penyebut pada
dan
(6)
dengan
r
2 2 2
2
(7)
dan
s
2 2 2
2
0 adalah tingkat suku bunga.
(8)
Bukti Persamaan (5), (7), dan (8) disajikan pada Lampiran 3.
Misalkan, b* menyatakan nilai optimal b, artinya b* adalah nilai dari b
(ambang batas besarnya modal awal (x) pada saat dividen dapat mulai dibayar)
yang meminimumkan
misalkan, buat turunan
sama dengan nol,
Maka turunan
sebagai berikut:
sehingga,
(9)
(10)
Berdasarkan Persamaan (9) dan (5) diperoleh
.
Bukti Persamaan (11) disajikan pada Lampiran 4.
Berdasarkan Persamaan (11) dan (2) turunan kedua dari fungsi
fungsi kontinu pada saat nilai x sebesar , atau
, maka
(11)
adalah
(12)
Bukti Persamaan (12) disajikan pada Lampiran 5.
Bentuk dari fungsi
syarat
untuk
Gambar 2).
,
, dapat dengan mudah diperoleh dengan
, dan
untuk
(lihat
12
Gambar 2 Ilustrasi nilai harapan dividen perusahaan
sebagai fungsi dari modal awal (x).
Optimal Barrier
Subbab ini akan menjelaskan mengenai b* yang merupakan optimal barrier
atau batasan banyaknya modal yang optimal sehingga dividen bisa dibayarkan
kepada pemegang saham. Misalkan merupakan koefisien ragam dari gerak
Brown, dapat ditulis sebagai berikut:
(13)
Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (10), (7), dan (8) diperoleh
dengan kata lain
:
dapat ditulis sebagai berikut:
(14)
di mana
(15)
Bukti Persamaan (14) dan (15) disajikan pada Lampiran 6.
Untuk mempermudah melihat hubungan fungsi
ditambahkan suatu fungsi bebas
pada
di mana
ditulis
dengan
,
dapat
dapat
(16)
sehingga
(17)
dan
(18)
13
Fungsi
dengan y ≥ 0, adalah fungsi naik, dengan
dan
. Dengan menggunakan suatu software matematika ditemukan nilai
saat ~
y = 0.3708.
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.5
1.0
Gambar 3 Grafik Turunan Kedua
terhadap y,
dengan
,
(19a)
dan
(19b)
Dari grafik turunan kedua,
Gambar
dan sintaks Gambar
adalah saat nilai ~
y sebesar 0.3708.
dan
disajikan pada Lampiran 7.
Situasi Sebelum dan Setelah Penggabungan
Misalkan dua perusahaan, dengan variabel j = 1, 2, diasumsikan bahwa
keuntungan perusahaan yang merupakan selisih dari pemasukan perusahaan
dikurangi pengeluaran perusahaan dalam bentuk dividen adalah gerak Brown
dengan parameter drift j dan ragam 2j per satuan waktu. Optimal barrier untuk
dividen perusahaan j adalah
(20)
b *j j f ( j ) ,
dengan f ( j ) didefinisikan pada Persamaan (17) dan
j
(21)
j
j
Misalkan V j ( x; b) menunjukkan nilai harapan dari present value akumulasi
dividen perusahaan j hingga mengalami kebangkrutan, x adalah modal awal
perusahaan dan strategi barrier sesuai dengan parameter b yang digunakan.
Selanjutnya, diasumsikan bahwa jumlah dari proses pendapatan bersih (sebelum
pembayaran dividen) adalah gerak Brown bivariat dengan koefisien korelasi .
Diasumsikan bahwa penggabungan tidak memengaruhi model dan parameternya.
Karena itu, setelah penggabungan hasil dari penjumlahan proses surplus (sebelum
pembayaran dividen) adalah gerak Brown, dengan:
14
(22)
dan
(23)
sehingga, optimal barrier dari dividen perusahaan setelah penggabungan adalah
(24)
dengan
(25)
Misalkan Vm ( x; b) menyatakan nilai harapan dari present value akumulasi
dividen perusahaan yang digabung hingga mengalami kebangkrutan. Kemudian
keuntungan hasil penggabungan dua perusahaan adalah
(26)
di mana x j adalah banyaknya modal awal dari perusahaan j, j = 1, 2 dan
adalah banyaknya modal dari dua perusahaan yang bergabung. Setiap persamaan
dari tiga persamaan yang ada pada Persamaan (26) dapat dihitung dengan
menggunakan penjabaran dari Persamaan (5), (7), (8) dan (10). Keuntungan
penggabungan adalah jika persamaan (26) bernilai positif. Kemudian dari
persamaan (12) dan (25) dapat ditarik kesimpulan di mana Persamaan (26) dapat
menggambarkan kondisi perusahaan yang digabung akan mengalami untung atau
rugi sebagai berikut:
(27)
dengan asumsi yang sama berlaku untuk setiap perusahaan. Misalkan
diasumsikan bahwa present value perusahaan j adalah , j = 1, 2 dan
)
adalah jumlah banyaknya modal perusahaan yang telah bergabung. Terdapat dua
kesimpulan yang diakibatkan Persamaan (26):
a. Jika
(28)
maka,
(29)
artinya, hasil penggabungan perusahaan dalam kondisi positif atau perusahaan
untung.
b. Jika
(30)
15
maka,
(31)
artinya, present value penggabungan perusahaan dikurangi dengan jumlah present
value dari dua perusahan jika tidak digabung bernilai negatif yang artinya
penggabungan perusahaan dinilai merugikan untuk dua perusahaan tersebut.
Penjelasan lebih lanjut mengenai keuntungan hasil penggabungan adalah
dengan melihat Gambar 2, dengan menyesuaikan menjadi
dan
menjadi
. Keuntungan penggabungan dapat dilihat dari banyaknya jumlah modal pada
masing-masing perusahaan.
Jika Persamaan (28) terpenuhi maka penggabungan menghasilkan keuntungan:
.
Jika Persamaan (30) terpenuhi maka penggabungan mengakibatkan kerugian:
.
Syarat Cukup untuk Penggabungan
Subbab ini memiliki tujuan mendapatkan syarat cukup untuk Persamaan
(24). Jika =1, berdasarkan Persamaan (25) bahwa
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai rata-rata tertimbang dari
dan
:
.
Jadi, jika
maka
juga memiliki nilai yang sama dengan
*
*
*
, berdasarkan Persamaan (28)
bm b1 b2 . Jika
dan
, dan
(32)
Persamaan (32) sesuai dengan kondisi penggabungan menghasilkan keuntungan
pada Persamaan (28) yang disebabkan dari Persamaan (24) dan (20), untuk
membuktikan syarat cukup Persamaan (32),
merupakan fungsi convex untuk
nilai antara
dan , atau f " ( ) 0 untuk nilai antara
dan . Sekarang
~
dapat dilihat Persamaan (19a), g" ( y) 0 untuk 0 y y 0,3708 hal tersebut
diketahui dari Persamaan (17) bahwa
16
untuk j = 1 dan j = 2, kita dapat membuktikan Pertidaksamaan (30). Akibatnya,
untuk kedua perusahaan (perusahaan 1 dan perusahaan 2) berlaku
Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa perusahaan akan untung bila hasil kali
dari nilai tingkat suku bunga ( ) dengan ragam ( 2 ) kurang dari 6,87%.
Generalisasi
Cai et al. (2006) mengembangkan model pada Persamaan (12) dengan
mengasumsikan bahwa tingkat bunga yang dikenakan pada seluruh akumulasi
modal pada tingkat bunga konstan, yang pada karya ilmiah ini dinyatakan dengan
,
Kita misalkan
menyatakan nilai harapan dari dividen yang
didiskon hingga bangkrut, jika strategi barrier sesuai dengan parameter b yang
digunakan, dan misalkan b * menyatakan optimal barrier. Untuk 0 , Cai et al
(2006) membuktikan bahwa
(33)
merupakan pengembangan dari Persamaan (17). Selanjutnya,
dan
untuk 0 < x < b*, dan
untuk
. Oleh karena itu,
Gambar 1 tetap berlaku jika kita mengganti
pada sumbu x dengan
.
Misal dua saham perusahaan, yang diberi label 1 dan 2, kemudian V1 dan
V2 adalah nilai harapan dari present value fungsi dividen, dan dan berturutturut adalah optimal barrier. Untuk perusahaan yang akan digabung, misalkan
merupakan nilai harapan dari present value fungsi dividen gabungan dua
perusahaan dan
adalah optimal barrier-nya. Dari Persamaan (22) dan (32)
bahwa
yang merupakan Persamaan (27) yang diperumum (generalisasi).
Penggabungan menghasilkan keuntungan bila kondisi pada Persamaan
(28) terpenuhi. Jika Persamaan (28) terpenuhi maka keuntungan yang didapatkan
sebesar
Sebaliknya jika yang terpenuhi Persamaan (30) maka kerugian yang diakibatkan
penggabungan perusahaan sebesar
17
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah disajikan sebelumnya dapat
disimpulkan bahwa terdapat beberapa faktor yang harus dipenuhi sehingga
perusahaan akan menghasilkan keuntungan. Pada saat surplus perusahaan
mencapai optimal barrier
penggabungan dua perusahaan akan
menguntungkan jika:
sehingga
.
Untuk nilai =1, didapatkan suatu syarat cukup sehingga penggabungan dua
perusahaan dapat menguntungkan, yaitu pada saat
Artinya perusahaan akan untung pada saat hasil kali dari tingkat suku bunga ()
dan ragam
) kurang dari 6,87% untuk kedua perusahaan yang bergabung.
Saran
Untuk permasalahan selanjutnya disarankan untuk menganalisis lebih
lanjut mengenai waktu dapat dilakukannya penggabungan, atau lebih tepatnya,
kapan waktu yang tepat untuk malakukan penggabungan dua perusahaan.
DAFTAR PUSTAKA
Cai J, Gerber HU, Yang H. 2006. Optimal dividends in an ornstein-uhlenbeck
type model with credit and debit interest. North American Actuarial Journal
Vol 10(2):94-108.
Dickson, David CM, Waters HR. 2004. Some optimal dividends problems.
ASTIN Bulletin 34:49–74.
Gerber HU, Shiu ESW. 2004. Optimal dividends analysis with brownian motion.
North American Actuarial Journal Vol. 8(1):1-20.
Gerber HU, Shiu ESW. 2006. On the merger of two companies. North American
Actuarial Journal Vol. 10(3):1-8.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Ed
ke-3. New Jersey (US): Pearson Prentice Hall.
18
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Process. Ed ke-3.
Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-5. New
Jersey (US): Prentice Hall, Inc.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed Ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs.
Klugman SA, Panjer HH, Willmot GE. 1998. Loss Models – From Data to
Decisions. NewYork (US): John Wiley & Sons.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York. John Wiley & Sons.
Ross SM. 2000. Introduction to Probability Models. Ed ke-7. California (US):
Academic Press.
Stewart J. 1998. Terjemahan dari: Calculus. Ed. ke-4. Susila IN dan Gunawan H.
Jakarta (ID): Penerjemah Erlangga.
Taylor HM, Karlin S. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling. Ed ke-3.
New York (US): Academic Press.
19
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2
Berdasarkan Taylor dan Karlin (1998) untuk membuktikan Teorema 2,
terdapat dua asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:
1. Diasumsikan u(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan dua kali.
2. Diasumsikan inkremen t, t pada interval (a,b), (t b t a ) , memiliki selisih
nilai yang sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
Kemudian berdasarkan hukum peluang total, maka:
u(x) = P{X(T) = b|X(0) = x} = [P{X(T) = b|X(0) = x, X( t) = x+ X}
|X(0) = x] = E[u(x+ X)], di mana a < x < b.
Selanjutnya, menggunakan ekspansi deret Taylor maka persamaan u(x+ X)
dapat ditulis menjadi:
1
u(x+ X) = u ( x) u ' ( x)X u" ( x)(X ) 2 o(X ) 2 .
2
Kemudian berdasarkan definisi u(x) di atas maka:
1
u(x)=E[u(x+ X)]=E[ u ( x) u ' ( x)X u" ( x)(X ) 2 o(X ) 2 ]
2
1
= u ( x) u ' ( x) E[X ] u" ( x) E[(X ) 2 ] E[o(X ) 2 ] .
2
Kemudian berdasarkan (a2), (a3), a(5) pada Definisi 30, maka:
1
u ( x) u ( x) u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot
2
1
u ( x) u ( x) u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot
2
1
0 u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot
2
1
0 [u ' ( x) u" ( x) 2 o]t .
2
Misalkan t 0 maka persamaan di atas menjadi suatu persamaan
diferensial
1
0 u ' ( x) u" ( x) 2 , untuk a < x < b.
2
Solusi dari persamaan diferensial di atas adalah:
dan
, maka persamaan menjadi:
Misalkan
1
0 2 A 2 A
2
1
0 ( 2 A ) A .
2
Akar-akar dari persamaan di atas adalah
1
1
2
A= 0 dan 0 2 A 2 A A 2
2
2
atau
A1 0 dan A2 22
sehingga solusi umum persamaan diferensial menjadi:
20
u ( x) Ce x ( 0) De
x(
2
)
2
2 x
u ( x) C De
di mana C dan D adalah konstanta. Menentukan nilai dari C dan D berdasarkan
peluang u(a)=0 dan u(b)=1, artinya peluang u pasti terjadi saat x = b, dan tidak
terjadi saat x = a sehingga:
2
u (a) C De
u (b) C De
a(
b(
2
)
2
2
2
)
0
(L1)
1
(L2)
kemudian
u (a) C De
u (b) C De
2 a
De
2 b
D[e
2
2
b(
2
)
0
)
1 _
2 b
2
De
2
a(
1
2
2 a
e ] 1
1
D 2 b
.
2 a
2
e
1
Subtitusi D
2 b
e
u (a) C De
a(
2
2
2
e
2
ke Persamaan u(a):
2 a
e
2
2
2
a(
)
e
0C
e
Didapatkan nilai C
2
2
2 b
e
2
)
2 a
e
2
2 b
e
2
Maka solusi khusus untuk u(x) adalah:
e
u ( x)
a(
2
2
2 b
e
2
2 a
e
2 x
u ( x)
e
2
e
2
e
2
2 a
e
2
.
2 x
1
2 b
e
2 a
2 b
2
)
2
2 a
e
2
e
2
2 a
e
2
.
a(
2
2
2 b
e
1
dan D
e
0C
2
)
2 a
e
2
2
2 b
e
a(
2
2
)
2 a
e
2
.
21
Lampiran 2 Pembuktian Persamaan 2
X (t ) t W (t )
Di mana
adalah gerak Brown, adalah parameter drift dan 2 adalah
parameter ragam, dengan modal awal
Selanjutnya, V V ( x X ), dengan menggunakan ekspansi deret Taylor
V ( x) X dapat ditulis menjadi:
1
V ( x) X V ( x) V ' ( x)X V " ( x)(X ) 2 (X ) 2
2
kemudian
V ( x) E[V ( x X )]
1
V ( x) V ' ( x) E[(X )] V " ( x) E[(X 2 )] E[t ]
2
sehingga
1
V ( x; b) V ( x; b) V ' ( x; b) E[(X )] V " ( x; b) E[(X 2 )] E[t ] .
2
Berdasarkan Definisi (30)
V ( x; b) V ( x; b) V ' ( x; b)dt
2
2
V " ( x; b)dt .
Selanjutnya diketahui
E[V ( x; b)] edtV ( x; b).
(a5)
Dengan menggunakan pendekatan deret Taylor
1
ex
n 0
xn
1 x .
n!
Sehingga
edtV ( x; b) (1 dt )V ( x; b)
V ( x; b) dt[V ( x; b)] .
Kemudian dari (a5)
E[V ( x; b)] V ( x; b) dt[V ( x; b)]
V ( x; b) V ' ( x; b)dt
2
2
V " ( x; b)dt V ( x; b) dt[V ( x; b)]
V ( x; b) V ( x; b) dt[V ( x; b)] V ' ( x; b)dt
dt[V ( x; b)] V ' ( x; b)dt
2
2
2
2
V " ( x; b)dt 0 .
V " ( x; b)dt 0
22
Lampiran 3 Pembuktian Persamaan (5), (7) dan (8)
2
V " ( x; b) V ' ( x; b) V ( x; b) 0
2
Dengan menggunakan persamaan diferensial orde-2 persamaan di atas menjadi
2
A 2 A 0 .
2
Solusi dari persamaan di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus ABC
.
Dari hasil di atas didapatkan dua akar untuk persamaan diferensial di atas
dan
maka solusi umum
menjadi:
V ( x) We
x
2 2 2
Ve
2
x
2 2 2
2
W dan E adalah konstanta, berdasarkan Persamaan (3) dan (4) yang menyatakan
dan
, maka
0( r )
V (0) We Ve 0( s ) 0 V (0) W V 0
dan
V ' (b) rWeb( r ) sVe b( s ) 1
kemudian, untuk V(0) kedua ruas dikalikan reb (r )
V (0) W V 0
reb (r )
dan untuk V ' (b) kedua ruas dikalikan 1
V ' (b) rWeb( r ) sVeb( s ) 1
1
Kemudian untuk mendapatkan V eliminasi rWeb (r ) dari dua persamaan diatas:
V (0) rWeb ( r ) rVeb ( r ) 0
V ' (b) rWeb( r ) sVeb( s ) 1 _
rVeb( r ) sVeb( s ) 1
V [reb( r ) reb( s ) ] 1
1
.
re
seb ( s )
Kemudian untuk mendapatkan W, substitusi V ke Persamaan
V
b( r )
V (0) W
W
re
re
b(r )
b( r )
1
0
seb ( s )
1
seb ( s )
setelah nilai W dan V didapatkan, subtitusi W dan V ke solusi umumV(x;b)
23
1 e xs
1 e xr
reb ( r ) seb ( s ) reb ( r ) seb ( s )
e xr e xs
V ( x) br
re sebs
V ( x)
atau
V ( x)
e rx e sx
rerb sesb
dengan
r
2 2
2
2
dan
s
2 2
2
Lampiran 4 Pembuktian Persamaan 11
e rx e sx
re rb* se sb* .
Saat x = b*, maka:
e rb* e sb*
V (b*; b*) rb*
re se sb*
Misal: u = e rb* e sb*
u’ = re rb* se sb*
v = re rb* se sb*
v’ = r 2 e rb* s 2 e sb*
u ' v uv'
V ' (b*; b*)
v2
[(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )] [(e rb* e sb* )(r 2 e rb* s 2 e sb* )]
=
(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )
V ( x; b*)
(e rb* e sb* )(r 2 e rb* s 2 e sb* )
(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )
berdasarkan Persamaan (10)
= 1
r 2erb* s 2esb* 0
maka:
(e rb* e sb* )(0)
(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )
= 1 0
V ' (b*; b*) 1
V " (b*; b*) 0 .
V ' (b*; b*) 1
Lampiran 5 Pembuktian Persamaan 12
Akan dibuktikan bahwa :
V (b*; b*)
Bukti:
Berdasarkan Lampiran 3
2
24
V ' (b*; b*) 1
V " (b*; b*) 0
dan
serta
2
(2)
V ' ' ( x; b) 0
2
Jika x = b = b* merupakan kondisi yang optimal, maka Persamaan Diferensial (2)
dapat ditulis menjadi:
V ( x; b) V ' ( x; b)
V (b*; b*) V ' (b*; b*)
2
V ' ' (b*; b*) 0
2
Sehingga dengan cara subtitusi (2.6.1) dan (2.6) ke Persamaan (2)
2
V (b*; b*) (1) (0) 0
2
V (b*; b*) 0
V (b*; b*)
V (b*; b*)
.
Lampiran 6 Pembuktian Persamaan 14
Akan dibuktikan bahwa
b* f ( ).
Berdasarkan Persamaan (7), (8), dan (11)
2
s
b*
ln
.
rs r
Di mana
r
2 2 2
s
dan
2
2 2 2
2
sehingga
b*
2
2 2 2
2
b*
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
ln
2 2 2
2 2 2
2
ln
2 2 2
2
.
Misalkan
subtitusi ke persamaan di atas
b*
2 2 2 2
ln
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
25
2 2 2 2
ln
2
2 2
2 2 2 2
2
(1 1 2 2
2 2
b*
ln
2
2
(1 1 2
1 2
2 2
b*
(1 1 2 2
b*
ln
2
(1 1 2 2
1 2
2
(1 1 2 2
ln
2
(1 1 2 2
1 2
2
b*
.
terbukti
b* f ( )
dengan
f ( )
2
1 2 2
(1 1 2 2
ln
(1 1 2 2
.
Lampiran 7 Sintaks software Mathematica 7 untuk Grafik 3
f[y_] :=
f''[0]0; f''[]2;
Plot[f''[y],{y,0,4}]
f''[y]
26
2.0
1.5
1.0
0.5
1
2
3
4
5
6
7
Grafik fungsi
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
Grafik fungsi
1.0
1.5
2.0
2.5
27
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 11 Desember 1987 sebagai anak
pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan bapak Grambang Suwahyo dan
ibu Sri Nurdayani.
Tahun 1999 penulis lulus dari MI (Madrasah Ibtidaiyah) pambangunan UIN
Jakarta. Tahun 2002 penulis lulus dari MTs (Madrasah Tsanawiyah) UIN Jakarta.
Tahun 2005 penulis lulus dari SMA Muhammadiyah 25 Setia Budi. Penulis
melanjutkan kuliah di IPB pada tahun 2006 melalui jalur SPMB.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam bebagai kegiatan
kemahasiswaan antara lain GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai
staf kewirausahaan periode 2008-2009. Selain itu penulis terlibat dalam beberapa
kegiatan, antara lain: Matematika Ria 2008 dalam rangkaian Pesta sains Nasional
2008, dan berbagai kegiatan yang diselenggarakan oleh GUMATIKA maupun
BEM FMIPA IPB.